Métodos de actualización global de tablas input-output

con información limitada:

su importancia para el análisis regional

Autores: Xesús Pereira López* (xesus.pereira@usc.es), José Manuel Rueda

Cantuche** (josem.rcantuche@ec.europa.eu)

*Departamento de Economía Cuantitativa, Universidade de Santiago de

Compostela

**Joint Research Centre – IPTS, Sustainable Production and Consumption,

European Commission

Área Temática: Econometría espacial y métodos de análisis regional

Resumen:

En general, existen muchas limitaciones para elaborar tablas input-output anuales

mediante encuestas porque hay distintas restricciones, tanto técnicas como

presupuestarias. Este problema aún se acentúa más en el ámbito regional. Por lo tanto,

es oportuno construir tablas input-output estimadas para determinados años a partir de

los datos disponibles.

Entre las múltiples técnicas de ajuste matricial, se encuentran el método EURO y el

procedimiento de actualización global. Ambas técnicas son susceptibles de uso en

aquellos casos en donde se poseen pocos datos. De hecho, el método EURO es

empleado habitualmente por Eurostat para realizar proyecciones de tablas input-output

para los países de la Unión Europea, por lo que se puede afirmar que está

suficientemente contrastado.

El procedimiento de actualización global es un algoritmo de escala que logra

estimaciones de distintas magnitudes –mediante dos trayectorias opuestas– que

garantizan el equilibrio entre la oferta y demanda. En cada iteración, se obtienen dos

aproximaciones de los márgenes de la matriz de consumos intermedios, que en un

principio no coinciden pero a medida que avanza el proceso tienden a converger. Las

diferencias resultantes en cada fase iterativa se distribuyen en doble sentido según un

criterio de reparto específico.

2

En este artículo se analizan los métodos mencionados, tratando de resaltar sus

diferencias y similitudes; de hecho, es aconsejable desarrollar técnicas de este tipo para

aplicar en el ámbito regional. Además, se propondrá cómo tratar los datos para que las

proyecciones sean congruentes.

Palabras Clave: ajustes matriciales; análisis regional; información limitada; input-

output.

Clasificación JEL: C65, C89, D57.

Methods of global updating input-output tables with limited

information: their importance to regional analysis

Subject Area: Spatial economy and regional analysis methods

Abstract:

In general, there are several limitations in order to elaborate annual input-output tables -

by means of surveys because there are different constraints, both technical and

budgetary. This problem is accentuated even more in the regional field. Hence, it is

convenient to build input-output tables estimated to specific years based on available

data.

Among different techniques of matrix adjustment, the EURO Method and the global

updating procedure are two of fact, the EURO Method is usually used by Eurostat to

build scenarios in input-output tables for the EU members, thus this methods is

sufficiently trusted.

The global updating procedure is a scale algorithm which achieves estimations of

different magnitudes –by means of two opposite trajectories- which guarantee the

equilibrium between supply and demand. In every interaction, we obtain two

approximations of the intermediate sale margins. In spite of the lack of coincidence at

the beginning, the intermediate sale margins tend to converge. The resulting differences

in every recurrent step are allocated in a double way following specific distribution

criteria.

In this paper we analyse these previously mentioned methods, trying to highlight the

differences as well as the commonalities. In a special way, we emphasize their

applications in the regional field and in the accurate data process in order to achieve

coherent scenarios.

Keywords: matrix updates; regional analysis; limited data; input-output.

JEL Codes: C65, C89, D57.

3

1. Introducción

Los métodos de actualización matricial son de gran interés debido a la necesidad de

encontrar técnicas de estimación indirecta que ofrezcan una alternativa fiable a las

tablas input-output (TIO) obtenidas a partir de encuestas (survey). En este ámbito,

existen muchos métodos y con toda certeza el RAS es el más utilizado, bien en su

versión básica o bien formando parte de herramientas más complejas. Stone y Brown

(1962) diseñaron el método RAS, que consiste en realizar ajustes iterativos de carácter

biproporcional sobre los elementos de una matriz. Con el paso del tiempo, sus

referencias se han ido multiplicando; véase por ejemplo: Bacharach (1970), Allen y

Lecomber (1975) o Szyrmer (1989). En relación a las variantes del RAS, se pueden

mencionar, entre otras, el GRAS, Junius y Oosterhaven (2003), el KRAS, Lenzen et al.

(2009), y el SUT-RAS, Temurshoev y Timmer (2011).

Sin embargo, el RAS simple posee una gran limitación: la forzosa necesidad de conocer

previamente las sumas por filas y columnas de las matrices objeto de ajuste. Por eso,

distintos investigadores tratan de superar este problema, saltando esa frontera dada por

las sumas por filas y columnas de los elementos de dichas matrices. Las relaciones

intersectoriales tienen importancia por ellas mismas pero, a su vez, enlazan con un

conjunto y cualquier magnitud perteneciente al él puede ser útil para afrontar los ajustes.

Últimamente adquieren mayor fuerza los procedimientos que ejecutan, de modo

simultáneo, los ajustes sobre las matrices y determinados vectores que engloban las

TIO. El método EURO se enmarca dentro de esta tipología y además ha sido utilizado

en los últimos años por Eurostat para realizar ajustes matriciales. Las principales

ventajas del método EURO son las siguientes (Eurostat, 2008): procedimiento de

actualización robusto y de bajo coste, requerimientos de información escasos,

eliminación de cambios arbitrarios en los coeficientes técnicos, totales de filas y

columnas de los consumos intermedios obtenidos mediante la actualización,

composición estructural de la demanda final estimada en el proceso iterativo y

consistencia de oferta y demanda.

Ahora bien, el método EURO solamente es aplicable sobre matrices que posean un

mismo número de productos que de industrias; es decir, se requiere que las matrices

sean cuadradas. Esta circunstancia sugiere introducir algún tipo de refinamiento o

cambio metodológico de tal forma que no sea necesario realizar agregaciones por

4

productos. Por lo tanto, se trataría de efectuar ciertas modificaciones en la formulación,

o incluso recurrir a un nuevo diseño, para que la actualización sea ejecutable de forma

directa sobre el formato rectangular, para que se logren soluciones congruentes y,

cuando menos, que la propuesta metodológica no aporte resultados peores que el

método EURO.

En este sentido, el procedimiento de actualización global de reparto de diferencias

estimativas (GM)1 es una herramienta que se puede considerar como una alternativa

fiable al método EURO. Ambas técnicas tienen un rasgo en común, dado que efectúan

correcciones sucesivas de carácter biproporcional. Es decir, el RAS está presente de

algún modo en sus formulaciones, a pesar de que estas técnicas son más complejas

porque no se conocen los márgenes de las matrices objeto de actualización. En realidad

se pone de manifiesto que el RAS puede amoldarse convenientemente ante unas

circunstancias concretas. Estos dos métodos son perfectamente comparables entre si

porque se aplican en contextos afines, en lo que se refiere a la disponibilidad de

información. Además, poseen distintas versiones, hecho que los dota de una mayor

capacidad de aplicación práctica.

Por lo general, existen muchas limitaciones para elaborar el marco input-output survey

para cada año, todo ello porque hay restricciones, tanto técnicas como presupuestarias.

Y como es obvio este problema aún se enfatiza más en el ámbito regional. De ahí que se

considere oportuno profundizar en este tipo de métodos, o intentar perfeccionarlos,

porque sin duda alguna favorecerán un mayor desarrollo del análisis regional

2. Actualización global de tablas de origen y destino

2.1. Información necesaria para la aplicación de los algoritmos

Antes de abordar la formulación del método EURO y del GM, se recuerdan los vectores

y matrices que constituyen las tablas de origen y destino (TOD). A efectos de

1 Se utiliza esta abreviatura en referencia a la expresión Global Method. La formulación (versión simple) que sirve de base a este algoritmo puede verse en Pereira et al. (2013). Dicha formulación se expone en

contexto menos restrictivo de información disponible, en el que la producción se considera un dato

exógeno a la dinámica iterativa. Ahora se abordará un escenario con información limitada, por lo que se

planteará una extensión de la versión simple.

5

simplificación, no se entra de una forma explícita en la desagregación de flujos,

domésticos e importados2.

Para la aplicación de dichos procedimientos es preciso conocer las TOD del año base.

Sus elementos se simbolizan como se indica a continuación3:

V(0) – matriz de producción (m×n).

U(0) – matriz de consumos intermedios (m×n).

Y(0) – matriz de demanda final (m×f).

)0(u – vector de inputs intermedios (n×1).

)0(u – vector de demanda intermedia (m×1).

v(0) – vector de valores añadidos por sectores (n×1).

m(0) – vector de importaciones (m×1).

x(0) – vector de producción por ramas de actividad (n×1).

q(0) – vector de producción por productos (m×1).

Para el año que se pretende realizar la actualización de las TOD, también se necesitan

conocer algunas magnitudes. En concreto, se precisan las siguientes:

v(1) – vector de valor añadido (n×1).

y (1) =Y(1)Ti – totales de las componentes de la demanda final (f×1).

m (1) – total de importaciones (1×1).

Por lo tanto, se tiene el vector de tasas de crecimiento del valor añadido por industrias4:

,))1(ˆ)]0(ˆ([ 1vvg v (1)

El vector de tasas de los totales de las componentes de la demanda final:

2Los flujos domésticos e importados se denotarán a través m y d, respectivamente, a modo de superíndices y asociados a vectores o matrices según corresponda.

3En lo sucesivo, n es el número de industrias, m (siempre y cuando no se exprese en superíndice) es el

número de productos y f es el número de componentes del vector de la demanda final. Además, i es una matriz columna de unos de dimensión apropiada, el símbolo T (a modo de superíndice) denota la

trasposición matricial y –1 la inversión. La notación ^ hace referencia a la diagonalización de un vector. 4La notación g simboliza las diferentes tasas de variación, y los superíndices asociados a g hacen

referencia a la correspondiente magnitud vectorial.

6

,))1(ˆ)]0(ˆ([ 1 yygy (2)

y la tasa de crecimiento de las importaciones:

.)0(

)1(

m

mg m (3)

Asimismo resulta imprescindible recordar que, para un determinado año, el total de

producción por productos, doméstica e importada, es igual a la suma de la demanda

intermedia y final por productos:

).0()0()0()0()0()0( yuiYiUmq (4)

Desde la otra óptica contable, se tiene que la producción por industrias se corresponde

con la suma de inputs intermedios y primarios:

).0()0()0()]0([)0( vuviUx T (5)

2.2. El método EURO en el entorno de las tablas de origen y destino

El método EURO fue diseñado Joerg Beutel (Eurostat, 2008) y se caracteriza por

estimar TOD a partir de las previsiones macroeconómicas de las tasas de crecimiento

del valor añadido de las industrias, de los totales de las componentes de demanda final,

y del total de las importaciones. Por lo que este procedimiento utiliza estas previsiones

oficiales como datos exógenos.

En efecto, para implementar el método EURO es necesario disponer de unas TOD para

el año base y, además se necesitan conocer algunas magnitudes (o en su defecto,

previsiones) macroeconómicas para el año a realizar la actualización, que en concreto

son las especificadas en (1), (2) y (3).

Con vistas a facilitar la comprensión de la correspondiente formulación del algoritmo,

se introduce el gráfico 1 para explicar esquemáticamente el desarrollo de las sucesivas

estimaciones y los contrastes de éstas con los datos disponibles.

7

Gráfico 1: Proyección de tablas de origen y destino a través del método EURO

Tablas de Origen y Destino(año 0)

Previsiones macroeconómicas (año 1)

Tabla deOrigen

Tabla de Destino

Flujosdomésticos

Flujos importados

Valor añadido (1)

Total de las componenetes de la

demanda final (1)

Total de importaciones

(1)

Tasas de variación (0/1) para el valor añadido y demanda final

Coeficientes correctores para las industrias y los productos

Tabla de Origen inconsistente (1)

Tabla de Destino inconsistente (1)

Tabla Input-Output inconsistente (1)industria por industria

(hipótesis de tecnología de industria)

Coeficientes de inputs

InversaDemanda

Final

Tablas de origen y destino consistentes

(1)

Valor añadido (1)

Demanda final (1)

Importaciones (1)

Contrastes con los datos disponibles

Ajustes en los coeficientes correctores

Diferencia > 1 %

Stop

Diferencia < 1 %

Input-output table 2000

Value added

2000

Final demand

2000

Macroeconomic forecast 2005

Final demand

2005

Value added

2005

Growth rates 2000/2005 for

value added and final demand

Growth rates 2000/2005 for

activities and products

Input-output table 2005

(inconsistent)

Input coefficients

Inverse Final demand

Input-output table 2005

(consistent)

Value added

2005

Final demand

2005

Difference to forecastAdjustment factors for growth rates

Difference > 1 %

Stop

Difference < 1%

8

La matriz de coeficientes de mercado del año base viene dada por

).0())0(ˆ()0( 1VqD (6)

A partir de aquí se supone que dicha matriz es estable en el transcurso del tiempo, por lo

que se asume que la participación de la industria j en la producción del producto i

permanece fija, se sobreentiende para el año a realizar las actualizaciones.

En lo que se refiere a la formulación del método EURO, cada iteración consta de dos

pasos (o fases). En el primer paso de la primera iteración se obtienen los empleos

intermedios y finales (domésticos e importados), el vector de valor añadido, y la matriz

de producción del nuevo año del siguiente modo5:

),ˆ)0()0(ˆ(2

1)1( vddvd gUUgU (7)

),ˆ)0()0(ˆ(2

1)1( vmmvm gUUgU (8)

),ˆ)0()0(ˆ(2

1)1( yddvd gYYgY (9)

),ˆ)0()0(ˆ(2

1)1( ymmvm gYYgY (10)

),0()ˆ()1( vgv v (11)

),0(ˆ )1()1( DqV d en donde .)1()1()1( iYiUq ddd (12)

Las ecuaciones matriciales (7), (8), (9) y (10) requieren trabajar con el mismo número

de industrias que de productos. De no ser así, algún producto matricial no sería

ejecutable, por ejemplo el dado por ),0(ˆ dvUg que aparece en (7). Por lo tanto, aunque

en general las TOD disponen de un mayor número de productos que de industrias, es

precisamente por este motivo que el método EURO obliga a que coincidan en número

(m=n).

5 Se indica que la notación (1) a modo de superíndice –acompañando al símbolo d (flujos domésticos), al

símbolo m (flujos importados) o sola– hace referencia a la primera estimación que surge en el proceso

iterativo. Ahora bien, a medida que se avance en los distintos pasos, que engloban el proceso, figurarán

(2), (3) y así sucesivamente. Se recurre a un superíndice para diferenciar las estimaciones de los datos

reales, tal como se ha visto anteriormente. En todo caso, se recuerda que cuando (1) aparece en formato

normal se refiere a los datos del año 1.

9

Los outputs totales de la industria y los inputs no son iguales después de este primer

paso, es decir,

.)())1(()()()( )1()1()1()1()1( T

input

TmdTTTT

output xvUUiVix (13)

Para lograr un ajuste consistente, se admite que las estructuras de los inputs, domésticos

e importados, de las industrias y el total de demanda final de los productos son fijos (en

esta primera etapa).

En el segundo paso se obtiene la producción (por ramas de actividad) a través del

siguiente modelo de demanda (tecnología de industria):

,)]0([))]0([( )1(1)1()2( dTdT yDBDIx (14)

en donde la matriz de coeficientes técnicos domésticos se obtiene a través de

1)1()1()1( )ˆ( input

dd xUB y el vector de la demanda final (por productos) es .)1()1( iYy dd A

su vez, la estimación de la matriz de coeficientes técnicos importados se alcanza por

medio de .)ˆ( 1)1()1()1( input

mm xUB

En el siguiente paso se estiman las distintas matrices y vectores que constituyen las

TOD tal como se indica a continuación:

,ˆ )2()1()2( xBU dd (15)

,ˆ )2()1()2( xBU mm (16)

,)1()2( dd YY (17)

,)1()2( mm YY (18)

,)( )2()2()2()2( iUUxv dd (19)

,ˆ)0( )2()2( qDV en donde .)2()2()2( iYiUq dd (20)

Las desviaciones, entre las previsiones macroeconómicas y las proyecciones resultantes,

se definen como un cociente entre las mismas de n +f + 2 variables, que son los valores

añadidos de las n industrias, las f componentes de demanda final, el total del valor

añadido, y el total de las importaciones.

Las tasas de crecimiento utilizadas inicialmente se ajustan con el fin de hacer mínima la

diferencia entre las previsiones macroeconómicas y las tasas de crecimiento proyectadas

10

(inferior al 1% o incluso muy inferior). En este sentido, las desviaciones observadas se

usan para corregir las tasas de crecimiento vg y y

g a través de una pauta especifica. Lo

que debería garantizar que si el procedimiento sobreestima (subestima) las previsiones

macroeconómicas, las tasas de crecimiento correspondientes deben disminuir

(aumentar). Para lograr dicho efecto, se acude a una rectificación a través del factor de

corrección de la variable k, simbolizado abreviadamente por ,kc que se define del

siguiente modo:

,0,100/)100(1

,0,100/)100(1

kk

kk

ksi

sic

(21)

en donde 1 kk dev y es la elasticidad de ajuste que se suele fijar en el 0,9.

Entonces en la primera fase de la segunda iteración se calculan las componentes de las

TOD estimándolas de la siguiente manera:

),ˆˆ)0()0(ˆˆ(2

1)3( vvddvvd cgUUgcU (22)

),ˆˆ)0()0(ˆ(2

1)3( vvmmvmm cgUUgcU (23)

),ˆˆ)0()0(ˆˆ(2

1)3( yvddvvd cgYYgcY (24)

),ˆˆ)0()0(ˆ(2

1)3( yvmmvmm cgYYgcY (25)

),0()ˆˆ()3( vgcv vv (26)

),0(ˆ )3()3( DqV d en donde .)3()3()3( iYiUq ddd (27)

En efecto, las tasas de crecimiento, que han sido corregidas de forma apropiada, se

convierten ahora los nuevos “multiplicadores del ajuste”. Se aclara que v

jc es el factor

de corrección correspondiente al valor añadido de la industria j, mc es el factor de

11

corrección correspondiente a las importaciones totales y y

pc es el factor de corrección de

la p-ésima componente de la demanda final6.

Del mismo modo que en la primera etapa de la primera iteración, a esta altura del

proceso no se tiene que asegurar necesariamente la igualdad entre outputs e inputs. Pero

si se probase la consistencia entre los outputs y los inputs, y la diferencia entre tasas de

crecimiento fuesen aceptables, las TOD obtenidas serían el resultado final de la

actualización lograda mediante el algoritmo en cuestión. De lo contrario, habría que

continuar con el proceso iterativo hasta que las variables proyectadas se aproximen

(bastante o absolutamente) a los datos macroeconómicos conocidos de antemano. Es

importante tener en cuenta que en cada iteración surgen nuevos coeficientes correctores,

que multiplican los elementos de cada fila y cada columna de la matriz obtenida en la

iteración anterior. Siempre con el fin de conseguir una nueva fila (y columna) que se

ajuste a las de tasas de crecimiento conocidas de entrada.

2.3. Formulación de un algoritmo alternativo al método EURO

A continuación se plantea una propuesta metodológica, bajo la denominación de GM,

que se corresponde con una versión más completa de la presentada recientemente por

Pereira et al. (2013). El hecho de trabajar con la tabla de origen y la tabla de destino de

forma simultánea demanda un trato específico y en este caso la matriz de coeficientes de

especialización desempeñará un rol esencial, porque transformará los vectores de

producción por industrias en vectores de producción por productos. Además se deben

garantizar los equilibrios contables característicos en el entorno de las TOD y los

resultados deben ser consistentes. Se aclara que, en principio, no se aborda el trato dado

a las tasas de variación de magnitudes, que serán fundamentales en el momento de

efectuar las correcciones biproporcionales.

El objetivo primordial es que las TOD se puedan actualizar en el formato rectangular,

que por lo habitual el número de productos supera al número de industrias, tal como es

conocido. Así, si se conocen, o se prevén, las tasas de variación de los valores añadidos

6Estos factores de corrección aparecen en esta segunda iteración y en principio en las sucesivas

iteraciones también, pero no se considera necesario especificarlo porque de hacerlo la simbología aún

sería más complicada. Cierto es que si el proceso continua en la siguiente iteración volverán a surgir otros

factores y así sucesivamente.

12

por sectores, de los totales de las componentes de la demanda final y del total de

importaciones es factible la actualización las TOD de forma alternativa al método

EURO, todo ello sin necesidad de poseer los márgenes de la matriz de consumos

intermedios. Este hecho se considera relevante porque otros métodos, como el GRAS, el

INSD (Improved Normalized Squared Differences), el ISD (Improved Squared

Differences) el IWSD (Improved Weighted Squared Differences), el método de

Harthoorn y van Dalen, o el método de Kuroda no se pueden aplicar sin el conocimiento

de estos vectores, véase Temurshoev et al. (2011)7.

El GM realiza ajustes de forma simultánea en todas las magnitudes de las TOD. Así,

efectúa aproximaciones mediante dos trayectorias que no alteran el equilibrio entre la

oferta y demanda. A través de estas trayectorias, se estiman reiteradamente distintos

vectores y, acto seguido, se comprueba si son iguales las estimaciones obtenidas. A

partir de ahí, se realizan las correspondientes rectificaciones por filas o columnas, según

proceda. De forma más concreta, en cada iteración hay que estimar el vector de

demanda intermedia, y de modo colateral los vectores de inputs intermedios y demanda

final. A partir de las diferencias resultantes en cada fase, se activarán las rectificaciones

a través de las trayectorias de estimación y así de forma sucesiva hasta lograr su

convergencia.

En este procedimiento se manejan sistemáticamente coeficientes correctores, que

figurarán en distintas matrices diagonales. En lo que atañe a las trayectorias de

aproximación, que en lo sucesivo se denominarán left y right, siguen sentidos opuestos8.

Además, los ajustes sobre las matrices de consumos intermedios domésticos e

importados, dU y mU respectivamente, se pueden ejecutar de forma conjunta, y

además facilitan mucho la labor. A estos efectos, se apunta que la matriz de consumos

intermedios, ,U engloba a dos matrices: dU y mU . Lo mismo sucede con la matriz de

7En relación a estos métodos, las fuentes originales son Günlük-Şenesen y Bates (1988), y Junius y

Oosterhaven (2003) para el GRAS; Friedlander (1961), Huang et al. (2008) para el INSD; Almon (1968),

Jackson y Murray (2004), y Huang et al. (2008) para el ISD; Pavia et al. (2009) en relación al IWSD;

Harthoorn y van Dalen (1987) para el método de Harthoorn y van Dalen; y por último Kuroda (1988)

para el método de Kuroda. 8 En la actualización de esquemas contables, se supone que las variaciones tanto en las variables como en los elementos de las matrices son mínimas; pero aún así, si alguna tasa dista mucho de 1 los resultados

obtenidos pueden ser discutibles o deben interpretarse debidamente. Es más, si por alguna razón cualquier

tasa se aleja bastante del valor 1 es recomendable, o incluso obligatorio, implementar un suavizado

específico de las tasas, dicho de otro modo, se trataría de buscar coeficientes de rectificación de acuerdo

con una transformación adecuada de las tasas.

13

demanda final, ,Y que contiene a dY e .mY En general, la matriz )(2

nmU

e ).(2 fmY

Es más, si la actualización se centra en la matriz de consumos

intermedios domésticos se recomienda agregar los flujos importados en un único vector.

De ese modo, las anteriores matrices tendrán m+1 filas, en donde la última fila se

corresponde con la suma (por columnas) de los consumos intermedios y demanda final

importados. Esquemáticamente se tiene que

)()1(

nmm

d

iU

UU e ).()1(

fmm

d

iY

YY

También hay que atender al vector de empleos, ,e que está formado –bajo el mismo

criterio– por q y .m Lo mismo sucede con el vector de demanda intermedia, ,u que

está formado por du y mu .

En el gráfico 2 se expone un diagrama que explica, aunque de forma resumida, las

trayectorias estimativas del GM. Como puede verse, es un procedimiento multietápico,

que encadena sucesivas estimaciones vectoriales hasta que se alcanza un resultado

convergente.

Seguidamente, se exponen los pasos de la PRIMERA ITERACIÓN9:

Paso 1.1

Inicialmente, basándose en la estabilidad de los coeficientes técnicos, se estima la

matriz consumos intermedios. Es decir, se rectifica la matriz inicial, ),0(U según las

tasas de variación de los inputs primarios, .vg

.ˆ)0()1( vgUU (28)

Por lo tanto, es posible alcanzar una primera aproximación del vector de la demanda

intermedia a través de la trayectoria right:

.)1()1( iUu right (29)

9 La primera iteración es levemente diferente a las siguientes. El primer dígito representa la iteración y el

segundo representa el correspondiente paso.

14

Basándose en el mismo supuesto, se cuantifica un primer vector de producción (por

ramas de actividad)

.ˆ)0()1( vgxx (30)

Gráfico 2: Proyección de tablas de origen y destino a través del GM

Tablas de Origen y Destino(año 0)

Previsiones macroeconómicas (año 1)

Tabla deOrigen

Tabla de Destino

FlujosDomésticos

Flujos Importados

Valor añadido (1)

Componentes de la demanda final (1)

Total de importaciones (1)

Tasas de variación del valor añadido por industrias

Coeficeintes correctores de la demanda final

Producción por industrias (1)

Producción por productos (1)

Demanda intermedia (1) Demanda intermedia (1)

Demanda final (1)LEFT

Estabilidad coeficientes de especialización

Ajuste biproporcional

LEFT

Inputs intermedios (1) Inputs intermedios (1)

Demanda final (1)

LEFT

RIGHT

LEFT

Stop

Contraste

RIGHT

RIGHT

Contraste

Coeficeintes correctores de la matriz de consumos intermedios

Coeficeintes correctores

de las matrices de

consumos intermedios y demanda final

RIGHT

Tasas de variación de las componentes la demanda final

A partir de este vector, se puede estimar alternativamente la demanda intermedia,

)1(rightu . Previamente es necesario obtener la matriz de producción mediante la hipótesis

15

de estabilidad de los coeficientes de especialización. Es decir, se tiene que

1)1()1( ))0(ˆ(ˆ)0( xxVV . Después, sumando por filas los elementos de la matriz de

producción se estima un primer vector de producción por productos: .)1()1( iVq

Paso 1.2

Se estima la matriz de demanda final, ,)1(Y mediante una doble rectificación por filas y

columnas. Hay que asegurarse la suma por columnas, indicada concretamente por la

tasa del total de las componentes de la demanda final, .y

g Analíticamente se expresa

como sigue:

igYgiYyyeleft ]ˆ))0(ˆ[()1()1( . (31)

Aparece una primera corrección proporcional de acuerdo con la variación de los

empleos por productos, ,eg pero a medida que se avance en el proceso emergen otro

tipo de rectificaciones que disminuyen este primer efecto.

A partir de aquí, se obtiene otra estimación de la demanda intermedia, en este caso

mediante la trayectoria left:

.)1()1()1( leftleft yeu (32)

Paso 1.3

En general, )1(rightu y

)1(leftu no coinciden. Por lo tanto, surge una diferencia, que viene

motivada por las dos trayectorias de estimación. A modo de efecto rebote, se modifica

la matriz de consumos intermedios estimada en última estancia, ,)1(U de la siguiente

forma:

)1(1)1()1()1()2( ˆ]ˆˆ)1[( UuuuU rightleftright

, (33)

el parámetro, , es una constante positiva que toma valores próximos a cero.

Consecuentemente, el elemento característico de )2(U es del siguiente modo:

mjniu

uuuu

right

i

left

i

right

iijij 2,...,2,1,...,2,1,

)1()1(

)1()1()1()2(

(34)

16

Paso 1.4

Ahora también se tienen dos estimaciones de los inputs intermedios, iUu Tright][ )1()1(

y

,][ )2()1(iUu Tleft

y tampoco son iguales. Por lo tanto, procede reestimar la matriz de

consumos intermedios mediante rectificaciones por columnas:

].ˆˆ)1[()ˆ( )1()1(1)1()2()2( rightleftleftc uuuUU (35)

Análogamente, el parámetro es una constante positiva que toma valores próximos a

cero10

.

El elemento característico de )2( cU es de la siguiente forma:

.2,...,2,1,...,2,1,)1(

)1(

)1()1(

)2()2( mjniu

uuuu

left

j

right

j

left

j

ij

c

ij

(36)

Paso 1.5

De acuerdo con el criterio de doble rectificación, se corrige el vector de demanda final:

,)2()1()1( rightright uey (37)

en donde .)2()2( iUu cright

Paso 1.6

Después se rectifica la matriz de demanda final:

1)1()1(1)1()1()1( )ˆ)(1(ˆ])ˆ(ˆ[ cleftrightc yyYyyY , (38)

en donde .])ˆ(ˆ[ )1(1)1()1()1(iYyyy Tleftrightc

A continuación, se describen los pasos de la SEGUNDA ITERACIÓN:

Paso 2.1

Ahora procede cuantificar de nuevo el vector de producción por industrias

,)1()2()2( right

uvx (39)

en donde iUu Tcright][ )2()2(

.

10 En principio, se puede alejar más que de cero.

17

En términos de producción por productos se tiene, a través de la matriz de producción,

que .])ˆ(ˆ[ 1)1()2()1()2()2( ixxViVq

Paso 2.2

De modo análogo al primer ciclo estimativo, se sigue rectificando el vector de demanda

final por productos:

iyyYeeiYycccleft ])ˆ)(1(ˆ))ˆ(ˆ[( 1)1()1(1)1()2()2()2( , (40)

en donde iYeey Tccc])ˆ(ˆ[ )1(1)1()2()1( .

Paso 2.3

En este momento se tiene que

.)2()2()2( leftleft yeu (41)

La otra estimación de la demanda intermedia era .)2(rightu Estos dos vectores cada vez se

aproximan más pero en esta segunda fase iterativa es normal que aún se distancien entre

sí. Por lo tanto, se avanza en la rectificación por filas según se indica a continuación:

,ˆ]ˆˆ)1[( )2(1)2()2()2()3( crightleftright UuuuU

(42)

Paso 2.4

Se modifica la matriz de consumos intermedios estimada anteriormente de la siguiente

forma:

],ˆˆ)1[()ˆ( )2()2(1)2()3()3( rightleftleftc uuuUU (43)

en donde el vector iUu Tcright][ )2()2(

y .][ )3()2(iUu Tleft

Paso 2.5

Después se transforma el vector de demanda final:

,)3()2()2( rightright uey (44)

en donde .)3()3( iUu cright

Paso 2.6

Por último, se corrige la matriz de demanda final:

18

1)2()2(1)2()2()2( )ˆ)(1(ˆ])ˆ(ˆ[ cleftrightc yyYyyY , (45)

en donde el vector .])ˆ(ˆ[ )2(1)2()2()2(iYyyy Tleftrightc

En definitiva, la dinámica iterativa continuará hasta que las estimaciones del vector de

demanda intermedia por productos sean iguales. En ese momento, también ocurrirá lo

mismo con las estimaciones de los inputs intermedios y demanda final. Dicho de otro

modo, el proceso finaliza cuando se alcanza la convergencia de los vectores de

referencia.

3. Aplicación práctica

Con el objetivo de determinar la validez de los algoritmos presentados, el método

EURO y el GM, se hacen distintas comparaciones entre las estimaciones obtenidas a

través de los mismos para las TOD 2006 de seis países de la UE y las TOD survey. Si

bien los contrastes se centrarán en las matrices de consumos intermedios (domésticos)

también se podrían extender a otros vectores o matrices de las TOD. Para hacer las

proyecciones temporales se toman como base las TOD del año 2005. Según se verá más

adelante en la tabla 1, no se han dado grandes cambios en las magnitudes en este

período, cuestión importante en el ámbito de la actualización matricial porque serían

discutibles las técnicas de actualización ante abultadas tasas de variación. En relación a

los países seleccionados para realizar este estudio, indicar que son Bélgica, Finlandia,

Austria, España, Italia y Holanda. Para formalizar este tipo de tareas es importante

disponer de TOD survey, pero no todos los países de la EU reúnen esta particularidad,

pero se entiende que los indicados son más que suficientes.

Existen distintas formas de afrontar los correspondientes contrastes, pero en esta

ocasión se emplea el siguiente estadístico:

,/~1001 11 1

m

i

n

j

d

ij

m

i

n

j

d

ij

d

ij uuuWAPE (46)

en donde d

iju es el consumo intermedio (doméstico) de carácter genérico y obtenido de

forma directa, d

iju~ es consumo intermedio (doméstico) estimado mediante los

algoritmos, m es el número de productos y n es el número de sectores.

19

El WAPE (Weighted Absolute Percentage Error) expresa la desviación media absoluta

como un porcentaje del valor medio de d

iju~ (Sawyer y Miller, 1983), que se puede

traducir como el porcentaje de los errores absolutos ponderados.

En relación a las TOD utilizadas, la desagregación que usa Eurostat es de 59 productos

por 59 ramas; es decir, coincide m con n. Por lo tanto, no es necesario recurrir a

agregaciones por productos para poder aplicar el método EURO. La formulación del

GM es compatible con el formato rectangular y, en consecuencia, también lo es en

particular para el cuadrado.

Con la firme idea de aportar un mayor rigor al estudio previsto, se cree esencial

cuantificar previamente la distancia existente entre las TOD desde el año 2005 al 2006.

Así, es aconsejable calcular el porcentaje de las distancias absolutas ponderadas, que es

un indicador similar al WAPE pero que mide distancias entre matrices reales.

Por lo tanto, en la tabla 1 se recogen las distancias entre las matrices de consumos

intermedios domésticos del 2005 y el 2006, así como los errores entre la tabla real 2006

y las estimaciones obtenidas a través del método EURO y el GM. También se indica de

qué modo se reduce el error, por una vía o por otra, si en vez de tomar como referente

las estimaciones de la matriz de consumos intermedios domésticos del 2006 se

considerase la correspondiente al año 2005.

Tabla 1. Distancias y errores entre matrices

Distancia

(d)

WAPE (EURO)

(a) 100*[(d) – (a)]/(d)

WAPE (GM)

(b) 100*[(d) – (b)]/(d)

Austria 15,23 13,02 14,50 13,23 13,13

Bélgica 9,98 0,14 98,55 8,24 17,43

España 13,84 9,96 28,07 10,06 27,31

Finlandia 13,73 12,05 12,24 12,09 11,94

Italia 6,71 5,32 20,65 5,67 15,50

Holanda 9,20 6,64 27,81 8,76 4,78 Fuente: Elaboración propia a partir de la información de EUROSTAT

De acuerdo con los resultados reflejados en esta tabla, se observa que tanto el método

EURO como el GM reducen considerablemente el error, tal como se indica en las

columnas tercera y quinta. Las cifras indican que el método EURO aporta soluciones

20

ligeramente superiores a las obtenidas a través del GM, con la excepción del caso belga,

en donde el método EURO descubre casi de forma plena la matriz real. En este sentido,

sería importante tener la certeza absoluta de que en ninguna de las tablas publicadas por

los institutos oficiales de estadística no se hayan usado técnicas indirectas o híbridas. En

general, se puede afirmar que el GM se podría sustituir por el método EURO, sobre

todo en aquellos casos en donde las TOD se presentan en formato rectangular. Todo

ello, porque evita agregaciones por productos y aporta resultados similares, salvo alguna

excepción.

En esta ocasión, la aplicación de los métodos utilizados no ha dado ningún problema, de

hecho los resultados pueden considerarse congruentes. Aún así, es necesario señalar que

se recomienda el uso de alguna función sigmoidal para efectuar suavizados de las tasas

de variación de magnitudes, principalmente en aquellos escenarios en donde las tasas

disten mucho de la unidad. Eso sí, a medida que avanza la iteración desaparece este

problema porque los sucesivos coeficientes de rectificación tienden a converger a dicho

valor.

En lo que respecta a los resultados obtenidos mediante el GM, lo ideal sería saber con

ciertas garantías cuál es el par de parámetros que minimiza el error definido en la

fórmula (46). A modo de ejemplo, seguidamente se analizan los contrastes entre las

estimaciones de la matriz de consumos intermedios domésticos para el año 2006 de

España y la misma matriz para el 2006 pero con datos reales.

21

Tabla 2: Matriz del WAPE en función de los parámetros y

\ 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70

0,75 10,231 10,206 10,190 10,184 10,182 10,190 10,210 10,235

1,00 10,203 10,174 10,153 10,144 10,140 10,140 10,155 10,177

1,25 10,179 10,147 10,125 10,114 10,108 10,107 10,108 10,128

1,50 10,157 10,123 10,102 10,090 10,083 10,079 10,082 10,096

1,75 10,138 10,104 10,083 10,069 10,062 10,065 10,076 10,102

2,00 10,121 10,088 10,071 10,063 10,067 10,078 10,100 10,146

2,25 10,118 10,093 10,082 10,080 10,091 10,115 10,175 10,308

2,50 10,125 10,105 10,099 10,104 10,131 10,197 10,365 10,765

Fuente: Elaboración propia a partir de la información de EUROSTAT

El error se minimiza para = 0.55 y = 1.75, aunque para valores próximos, o incluso

no tan próximos, el error alcanzado tampoco varía excesivamente. Este hecho se

reproduce en términos muy análogos para las otras economías estudiadas.

Una vez que ya se conoce el par de parámetros que minimizan el estadístico, se puede

recurrir a la correspondiente representación gráfica en función de los parámetros, que a

partir de los datos de la tabla 2 se tiene un cuasi-plano. Ahora bien, para visualizar

mejor el comportamiento del estadístico se considera oportuno transformar previamente

los valores de dicha tabla según

.100

)],(inf[),(sup

)],(inf[),(),(

WAPEWAPE

WAPEWAPEWAPE

(47)

En esta expresión analítica puede verse que se realiza una modificación del WAPE, de

tal forma que sus valores queden comprendidos en el intervalo [0, 100].

22

Gráfico 3: Comportamiento de los WAPE transformados

Fuente: Elaboración propia a partir de la información de EUROSTAT

En principio, se podría suponer que los valores asignados a los parámetros y

merecen una atención extrema porque serán fundamentales para asegurarse un resultado

aceptable. De hecho, es evidente que siempre se deberían emplear los parámetros más

idóneos, aunque por el momento no existen suficientes evidencias empíricas a este

respecto. No obstante, la verdad es que existe un margen de maniobra amplio porque los

campos escalares dados por los WAPE (asociados y ) muestran que alrededor de sus

mínimos globales apenas se percibe un desnivel y además el campo escalar presenta un

“pseudovalle en diagonal” muy ancho, tal como se puede ver en el anterior gráfico y

que se repite de forma parecida en las demás economías estudiadas. En resumen, los

resultados de las actualizaciones a través del GM mudan en función de las cifras

utilizadas pero se sabe que para una determinada gama de parámetros los mismos son

muy similares.

4. Conclusiones

En este artículo se han comparado dos métodos de actualización global: el método

EURO y el GM. Ambos métodos no precisan excesivos costes y esfuerzos, a pesar de

que la disponibilidad de datos sea bastante reducida. El grado de información disponible

siempre es un factor determinante en la implementación de procedimientos de ajuste y,

23

tradicionalmente, la escasez de datos se ha presentado como una limitación insuperable.

Pero estos procedimientos sortean algunos obstáculos presentes en métodos más

tradicionales. De hecho, se ha manifestado cómo es posible hacer rectificaciones

bipropocionales sin la forzosa necesidad de conocer las sumas por filas y columnas de la

matriz de consumos intermedios. A modo de resumen, se puede afirmar que los

métodos estudiados presentan varias ventajas y entre ellas, se destacan las siguientes:

minimizan el retardo temporal, utilizan toda la información disponible y no implican

cálculos excesivamente complejos.

En relación al GM, los valores de los parámetros empelados en la proyección merecen

cierta atención porque no deberían ser irrelevantes para asegurarse un resultado

aceptable. En consecuencia, se procurará emplear los parámetros más idóneos, aunque

cierto es que hay un margen de maniobra amplio porque el comportamiento de los

campos escalares dados por los WAPE revelan que alrededor de sus mínimos globales

apenas existe desnivel. En todo caso, los resultados de las actualizaciones mudan en

función de las cifras utilizadas. Por lo tanto, en un futuro inmediato y en la medida de lo

posible se considera conveniente intentar averiguar cuál es la gama de parámetros que

ofrece mejores resultados.

Ambos procedimientos aportan resultados muy similares, por lo menos para los países

estudiados. Ahora bien, el método EURO solamente es aplicable sobre matrices que

sean cuadradas, por lo que a veces se requiere realizar agregaciones por productos, dado

que en general las TOD poseen un mayor número de productos que industrias. Por el

contrario, el GM se puede aplicar de forma directa sobre el formato rectangular y

además asegura soluciones convergentes, que por supuesto se trata de una característica

fundamental.

En definitiva, los métodos de actualización con información limitada son de vital

relevancia para el análisis de economías regionales, porque es precisamente en ese

ámbito en donde las limitaciones de información se incrementan.

24

Agradecimientos y Observaciones

Las opiniones expresadas en este artículo son solo responsabilidad de los autores y no

deben ser atribuidas ni a la Comisión Europea ni a ninguno de sus servicios.

Xesús Pereira agradece tanto la ayuda financiera recibida por parte de la Xunta de

Galicia, a través del proyecto PGIDIT 10TUR242004PR, como los comentarios

recibidos de los demás miembros del Grupo de Análisis y Modelización Económica

(GAME).

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