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Mtodos de Resposta em Frequncia Parte 1
Controle de Sistemas Renato Dourado Maia (Unimontes)

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Introduo
Os mtodos de resposta em frequncia, desenvolvidos por Nyquist e Bode nos
anos 30, so mais antigos do que o mtodo do lugar das razes,
desenvolvido por Evans em 1948.

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Introduo
A resposta em frequncia produz um novo enfoque vantajoso, a partir do qual podemos tratar os siste-mas de controle com retroao. Essa tcnica van-tajosa nas seguintes situaes:
1. Determinao experimental de funes de transferncia.
2. Projeto de compensadores em avano e atraso de fase.
3. Estudo da estabilidade de sistemas no lineares.
4. Remoo de ambiguidades existentes no Lugar das Razes.

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O Analisador Dinmico de Sinal HP 35670A obtm dados de resposta em frequncia de um sistema fsico. Os dados exibidos
podem ser utilizadospara analisar, projetar, ou determinar um modelo matemtico para o sistema.
Introduo

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Introduo
Nosso objetivo estudar a resposta de sistemas, em estado estacionrio, a um sinal de entrada senoidal. J sabemos que a sada tambm um sinal senoidal, de igual frequncia, mas com amplitude e fase diferen-tes das de entrada.
Ser examinada a funo de transferncia G(s) quan-
do s = jw, alm de formas de apresentar como o n-mero complexo G(jw) varia em funo de w.

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Entrada
Amortecimento viscoso
Mola
Massa
Sada
Introduo

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Anlise de Resposta em Frequncia
Seja um sistema LTI, tal que Y(s) = T(s)R(s):
Sada em Estado Estacionrio para Entrada Senoidal:
Considerando uma entrada senoidal:
( ) ( )r t senA t=
lim ( ) ( ), ( ) ( )t
y t senTA tj T j
= + =
J sabemos que a sada do sistema, em estado estacionrio :

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Portanto, o sinal de sada em estado estacionrio, considerando T(s) estvel,
depende apenas da amplitude e da fase de T(jw), numa dada frequncia w.

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O projeto de um sistema de controle no domnio da fre-quncia fornece informaes a respeito da faixa de passagem do sistema, e pode ser interpretado como uma medida de sua resposta a rudos e perturbaes indesejveis.
A representao grfica do mdulo e da fase de T(jw)
em funo de w ajuda enormemente no entendimento do comportamento do sistema e no projeto de controla-dores.

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A desvantagem bsica dessa abordagem a falta de uma conexo direta e clara entre as respostas no domnio do tempo e da frequncia. Na prtica,
as caractersticas da resposta no domnio da frequncia que redundam em uma resposta
temporal satisfatria so ajustadas por critrios de projeto conhecidos.

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Grficos de Resposta em Frequncia
A funo de transferncia de um sistema, G(s), pode ser descrita no domnio da frequncia pela relao:
com:
Alternativamente, pode-se utilizar a forma polar:
com:
( ) ( )) ( )(s j
G j s jR XG
=
= = +
Re[ ( )] e( ) ( ) Im[ ( )]R G GXj j = =
( )( ) ( ) ( ) ( )jG j G j e G = =
[ ] [ ]2 221( ) tan e ( ) ( ) ()
( )(
)GX R XR
= = +

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Exemplo: circuito RC:
O grfico polar traado partindo da relao:
Na forma polar:
Desenha-se o grfico com a parte real nas abcissas e a parte imaginria nas ordenadas.
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1 1 1 1( ) ( ) , 1 ( ) 1 ( ) 1RC RC
G s G jj j RCs
= = = =+ + +
2 21 1
1 1 12
1 ( ) ( )1( )( )
( ) (1 (
)1 1 ( ) )
jG j j jR X
= + = =
+ + +
1
1
1
2/
/1( ) ( ) ( ) ( ) , e ( ) tan ( )
1 ( )G j G G
= = =
+

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A resposta em frequncia pode ser graficamente re-presentada de trs maneiras:
1. Diagrama de Bode, ou Diagrama Logartmico.
2. Diagrama de Nyquist, ou Diagrama Polar.
3. Carta de Nichols, ou Magnitude Logartmica x Digrama de Fase.
Essa propriedade justifica a utilizao do logaritmo...
Diagrama Logartmico? [ ]log log log log log
nab n a n b c dcd
= +

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O logaritmo do mdulo da funo de transferncia normalmente expresso em decibis, dB:
No diagrama de Bode, o ganho logartmico, que o mdulo em dB, traado em um grfico, e o ngulo de G(jw), em outro.
10ganho logartmico 20log ( )G =

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Para o Circuito RC do Slide 12:
Para frequncias baixas: O ganho logartmico aproxima-se de .
Para frequncias altas:
O ganho logartmico aproxima-se de .
Para a frequncia de corte, :
12
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120log 20log 10log[1 ( ) ]1 ( )
RCRC
G
= = + + 1 RC >
10log(1) 0dB =
20log( )RC
1 RC =
20log 10log 2 3.01G dB= =

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As curvas de resposta em frequncia so traadas determinando-se os mdulos e argumentos da funo em vrias frequncias ao longo da parte
positiva do eixo imaginrio.

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Para frequncias altas:
A assntota para w >> 1/ uma linha reta com inclinao de -20dB/dcada... = RC a constante de tempo.
20log 20log 20log 20logG = =

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Freqncia (rad/s)
Freqncia (rad/s)
Fase
(gra
us)
0,1
0,1 0,1
Diagrama Logartmico ou de Bode para G(s) = 1/(s + 2)

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Diagrama Polar ou de Nyquist para G(s) = 1/(s + 2)
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
Nota:
0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0, 5 0, 1
0, 2
0, 3
0, 4 0, 5
0, 6 0, 7
0, 8 0, 9

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Funo de Transferncia Genrica:
Mdulo Logartmico:
O grfico de mdulo pode ser determinado adicionando-se as partes de cada fator...
1
2
1 1
(1 )( )
( ) (1 ) [1 (2 / ) ( / ) ]
Q
b ii
M RN
m k nk nkm k
K jG j
j j j j
=
= =
+=
+ + +
1 1
2
1
20 log 20 log 1 20log ( ) 20 log 1
220 log 1
Q MN
b i mi m
Rk
k nk nk
K j j j
jj
= =
=
+ + +
+ +

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Para a Fase:
Assim, os tipos de fatores que podem aparecer numa funo de transferncia so:
1. Ganho constante Kb; 2. Polos ou zeros na origem: 3. Polos ou zeros no eixo real: 4. Polos ou zeros complexos conjugados:
1 1 12 2
1 1 1
2( ) tan (90 ) tan tanQ M R
k nki m
i m k nk
N
= = =
=
j1j +
( ) ( )2[1 2 ]n nw j j + +

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Resumindo: para se obter a curva da funo completa, basta somar as curvas de cada fator. Esse procedimento pode ainda ser simplificado por meio da utilizao das
assntotas de cada curva, determinando-se a resposta precisa apenas em pontos
importantes de maior interesse.

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Ganho constante Kb:
Se Kb < 0, o mdulo se mantm, mas a fase passa a ser -180...
Polos ou Zeros na Origem:
Plo:
Zero:
20log constante em dB, ( ) 0bK = =
120log -20log , ( ) 90j
= =
20log +20log , ( ) 90j = = +

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Polos ou Zeros no Eixo Real: Para um polo ou zero localizado em -1/
2 2 1120log -10log(1+ ), ( ) tan1 j
= = +

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G(s) = (s + a):
Freqncia a Fase (graus)
rad/s Assinttica Assinttica Real Real
0,01 0,02
0,06 0,08 0,1 0,2 0,4 0,6 0,8
0,01
0,00 0,00
0,02 0,03 0,04 0,17
0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
0,64 1,34 2,15 3,01
0,04 0,06 0,08
0,6 0,8
26,03
15,56
26,02 32,04 35,56 38,06
40,00 38,06 35,56 32,04
20,04 18,13 15,68 12,30 6,99 3,01 2,15 1,34
90,00 90,00 90,00 90,00 90,00 90,00 85,64 80,02 72,09 58,55 45,00 40,64 35,02 27,09 13,55
0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,57
1,15
63,43
2,29 3,43 4,57 5,71
11,31 21,80 30,96 38,66 45,00
75,96 80,54 82,87 84,29 87,14 88,57 89,05 89,28 89,43
0,03

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Freqncia (rad/s)
Freqncia (rad/s)
0,01 0, 1
0,01 0, 1
Fase
(gra
us)
Inclinao = + 6 dB/oitava = +20 dB/dcada
Inclinao = 45/dcada
0,1
a. Magnitude. b. Fase.
G(s) = (s + a):

28
G(s) = (s + a):
Aproximao assinttica
Real
0,1
Magnitude
Freqncia (rad/s) a

29
G(s) = (s + a):
Real
Fase
(gra
us)
Aproximao assinttica
Freqncia (rad/s) a
0,1
F

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