Sistemas Realimentados Resposta em Frequência Projeto de Controladores.
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Sistemas Realimentados
Resposta em Frequência
Projeto de Controladores
Estabilidade Relativa
Limiar de Instabilidade
Instável
Estável
Estabilidade Relativa
O Sistema a é mais estável que o sistema b!
Estabilidade Relativa
• MARGEM DE GANHO = é o ganho que falta para que o sistema atinja 0dB, quando a fase está em -180.
• MARGEM DE FASE = é a fase que falta para que o sistema atinja -180, quando o ganho é 0dB.
Estabilidade Relativa
Estabilidade Relativa
Compensação por Avanço de Fase
Onde α é o fator de atenuação do compensador.
Observe que:•O compensador possui um pólo em s=-1/αT e um zero em s=-1/T;•O zero fica sempre à direita do pólo no plano complexo;•O pólo fica localizado cada vez mais distante à esquerda para valores cada vez menores de α.
Compensação por Avanço de Fase
• Diagrama polar com Kc=1;• Φm é o ângulo máximo de
avanço de fase.
Compensação por Avanço de Fase
• Diagrama de Bode para Kc=1 e α=0,1;
• Frequências de canto ω=1/T e ω=1/ α T=1/(10T);
• Observa-se que ωm é a média geométrica das frequencias de canto. Logo:
Implicando em
Este compensador se comporta como um filtro passa-altas!
Compensação por Avanço de Fase
A principal função do compensador por avanço de fase é reconfigurar a curva de resposta em frequência de um sistema para se alcançar um ângulo de avanço de fase suficiente a fim de compensar o atraso de fase excessivo do sistema.
Compensação por Avanço de Fase
Suponha que as especificações de desempenho para o sistema acima sejam dadas em termo de:•Margem de fase;•Margem de ganho;•Constante de erro estático de velocidade, etc.
Compensação por Avanço de Fase
FTMA do sistema compensado:
1) Determinar o ganho K para satisfazer o requisito de erro estático;2) Construir o diagrama de Bode de G1 e avaliar a margem de fase;3) Determinar o ângulo de avanço de fase necessário (adicione de 5º a 12º
ao ângulo determinado, pois o compensador desloca a frequência de cruzamento de ganho para a direita e diminui a margem de fase);
4) Determine o fator de atenuação α usando5) Defina a frequência em que o módulo doSistema não compensado G1 seja igual a e selecione essa
frequência como sendo a nova frequência de cruzamento de ganho, que corresponde a e defazagem máxima Фm.
Compensação por Avanço de Fase6) Determine as frequências de canto como:
7) Calcule Kc=K/α.8) Verifique a margem de ganho para se certificar se ela é satisfatória. Se
não for, repita o processo modificando a localização do pólo e do zero do compensador até que o resultado seja satisfatório.
Compensação por Avanço de Fase
Compensação por Avanço de Fase
Margem de fase 17º e margem de ganho infinito.
Margem de fase 17º implica em sistema bastante oscilatório. Vamos aumentar para 50º, provocando um avanço de 33º acrescidos de 5º. Portanto, Φm=38º. Como
então α=0,24.
Compensação por Avanço de Fase
Observe que em decorrência da inclusão do compensador, a curva de módulo na frequência de máxima defasagem passa a ser como segue:
Compensação por Avanço de Fase
De modo que
com
Isto é,
Compensação por Avanço de FaseNote que
Compensação por Avanço de FaseDiagramas polares do sistema não compensado e compensado
Compensação por Avanço de FaseResposta transitória dos sistemas:
-não compensado
-compensado
Compensação por Avanço de FaseResposta transitória dos sistemas:
-não compensado
-compensado
Compensação por Atraso de FaseConsidere um compensador com atraso de fase que tenha a seguinte função de transferência:
-Possui um zero em -1/T e um pólo em -1/(βT);-O pólo fica à direita do zero;-Diagramas com Kc=1 e β=10.
Compensação por Atraso de FaseA principal função de um compensador por atraso de fase é produzir atenuação em altas frequências, aumentando assim a margem de fase.
Defina
De modo que
Considerando a função de transferência G(s) de um sistema não compensado.
Então
Compensação por Atraso de FaseExemplo: Dada a função de transferência de malha aberta
Deseja-se compensar o sistema , de modo que a constante de erro estática de velocidade Kv seja de 5s-1, a margem de fase de pelo menos 40º e a margem de ganho de pelo menos 10dB. Para isso, vamos utilizar um compensador de atraso de fase
Primeiro, vamos ajustar K para atender o requisito de erro estático de velocidade.
Compensação por Atraso de Fase
Na sequência, constroi-se o diagrama de Bode de
G1 é a FTMA com ganho ajustado, mas não compensado.
Para evitar constantes de tempo muito altas, selecionamos a frequência de canto 1/T como 0,1rad/s.
Adicionamos 12º à margem de fase a ser alcançada, resultando em 40º+12º=52º.
Compensação por Atraso de Fase
Na sequência, constroi-se o diagrama de Bode de
G1 é a FTMA com ganho ajustado, mas não compensado.
Para evitar constantes de tempo muito altas, selecionamos a frequência de canto 1/T como 0,1rad/s.
Adicionamos 12º à margem de fase a ser alcançada, resultando em 40º+12º=52º.
Compensação por Atraso de Fase
Na sequência, constroi-se o diagrama de Bode de
O ângulo de fase de G1 é -128º em aproximadamente 0,5rad/s, que é para onde traremos a nova frequência de cruzamento de ganho.
Para isso, isso o compensador deve fornecer uma atenuação de -20dB. Então
Compensação por Atraso de Fase
Na sequência, constroi-se o diagrama de Bode de
O ângulo de fase de G1 é -128º em aproximadamente 0,5rad/s, que é para onde traremos a nova frequência de cruzamento de ganho.
Para isso, isso o compensador deve fornecer uma atenuação de -20dB. Então
Compensação por Atraso de FaseA outra frequência de canto em ω=1/(βT) é então determinada como
Portanto
Compensação por Atraso de Fase
A Margem de Fase do sistema compensado é de aproximadamente 40º;
A Margem de Ganho do sistema compensado é de 11dB.
A constante de erro estático de velocidade é de 5s-1.
Logo, o sistema compensado atende aos requisitos de regime permanente como de estabilidade relativa.
Em contrapartida, a frequência de cruzamento de ganho decresceu, o que implica em uma redução da banda passante.
Compensação por Atraso de Fase
-585 -540 -495 -450 -405 -360 -315 -270 -225 -180 -135 -90-250
-200
-150
-100
-50
0
50
100
Nichols Chart
Open-Loop Phase (deg)
Ope
n-Lo
op G
ain
(dB
)
G
G1
GcG1
Estabilidade absoluta
Compensação por Atraso de Fase
Resposta ao Degrau
Sistema Compensado:
Sistema Não Compensado:
Compensação por Atraso de Fase
Resposta à Rampa
Sistema Compensado:
Sistema Não Compensado:
Compensação por Atraso e Avanço de Fase
FT do compensador:
O termo produz o efeito de avanço de fase.
O termo produz o efeito de atraso de fase.
Compensação por Atraso e Avanço de Fase
Frequentemente selecionamos γ=β, embora γ possa ser diferente de β.
Considerando o caso em que γ=β e Kc=1
Fazendo o ângulo de fase igual a zero, encontramos
Avanço de fase
Atraso de fase
Compensação por Atraso e Avanço de Fase
Considerando o caso em que γ=β=10, Kc=1 e T2=10T1
Compensação por Atraso e Avanço de Fase
Exemplo: Considere o sistema com realimentação unitária cuja função de transferência é:
Deseja-se que a constante de erro estático de velocidade seja 10s-1, a margem de fase seja de 50º e a margem de ganho de 10dB ou mais. Para isso, vamosusar o compensador de atraso e avanço de fase.
Supondo Kc=1, então
Logo, K=20.
Compensação por Atraso e Avanço de Fase
Observe que a Margem de fasedo sistema com ganho ajustado,mas não compensado, é de 32º,isto é, INSTÁVEL!
Observe que
Logo, por conveniencia, escolhemosa nova frequência de cruzamento de ganho como 1,5rad/s, de modo que oângulo de avanço de fase seja de aproximadamente 50º.
Compensação por Atraso e Avanço de Fase
Agora, escolhemos a frequênciade canto da porção de atraso de fase do compensador uma décadaabaixo da nova frequência de cruzamento de ganho, isto é,0,15rad/s.
O ângulo de avanço de fase máximoé dado por
Testando β=10, encontramos Φm=54,9º .
Logo, a frequência de canto 1/(βT2)=0,015rad/s.
Compensação por Atraso e Avanço de Fase
A FT da porção de atraso de fase do compensador torna-se:
Para a porção de avanço de fase, considerando que na nova frequênciade cruzamento de ganho (ω=1,5rad/s)G(jω)=13dB, então, o compensador contribui com -13dB em 1,5rad/s. Daí,Trançando uma reta 20dB/década quePassa pelo ponto 1,5rad/s; -13dB, e Tomando a intersecção com as retas0dB e -20dB, encontramos as frequênciasDe canto da porção de avanço de faseDo compensador, isto é, 0,7rad/s e7rad/s.
Compensação por Atraso e Avanço de Fase
A FT da porção de avanço de fase do compensador torna-se:
De modo que a FT do compensador é
A FTMA do sistema compensado é
Compensação por Atraso e Avanço de Fase
A FTMF do sistema compensado é: