Métodos Estatísticos BásicosAula 8 - Variáveis aleatórias

Regis A. Ely

Departamento de EconomiaUniversidade Federal de Pelotas

25 de agosto de 2020

Conteúdo

DefiniçõesExemplos de variáveis aleatórias

Variáveis aleatórias discretasDistribuição de BernoulliDistribuição Binomial

Variáveis aleatórias contínuasDistribuição uniforme

Função de distribuição acumuladaDistribuição uniforme acumuladaPropriedades da função de distribuição acumulada

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Definições

• Variável aleatória: dado um experimento e um espaço amostralΩ, uma variável aleatória é uma função X , que associa umnúmero real X (ω) a cada elemento ω ∈ Ω• Há duas interpretações de variável aleatória:

1. Realizamos um experimento, que resulta em ω ∈ Ω, e a seguircalculamos o número X (ω)

2. O número X (ω) é pensado como o próprio resultado doexperimento, e a imagem de X (ω), denotada RX , torna-se oespaço amostral

Lembre da definição de uma função:• ∀ ω ∈ Ω,∃ y ∈ R tal que X (ω) = y• ∀ y , z ∈ R com X (ω) = y e X (ω) = z , temos y = z

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Exemplos de variáveis aleatórias

• Ex 1: No experimento de lançar duas moedas e observar osresultados, temos Ω = (H , H), (H , T ), (T , H), (T , T ). Podemosdefinir a variável aleatória X como sendo o número de carasobtidas, de modo que X (H , H) = 2, X (H , T ) = X (T , H) = 1 eX (T , T ) = 0. Note que ao aplicar a função X alteramos aobservação do experimento• Ex 2: Considere o experimento de lançar 3 moedas e observar a

descrição detalhada de como e onde as moedas pousaram.Poderíamos avaliar:• X (ω) = nº de caras que aparecem• Y (ω) = distância máxima entre 2 moedas quaisquer• Z (ω) = distância mínima entre as moedas e a borda da mesa

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Exemplos de variáveis aleatórias

• Podemos incluir a avaliação de X (ω) na descrição do nossoexperimento, de modo que RX = {0, 1, 2} (ex. 1) é o nosso novoespaço amostral• Podemos também relacionar certos eventos A ⊆ Ω a eventos de

RX . Seja B ⊆ RX , podemos definir A comoA = {ω ∈ Ω|X (ω) ∈ B}. Dizemos então que A e B sãoequivalentes

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Variáveis aleatórias discretas

• Uma variável aleatória discreta possui o conjunto imagem X (Ω)finito ou infinito enumerável• A função de probabilidade de uma variável aleatória discreta X é

uma função que associa para cada resultado x1, x2, ... ∈ X , umnúmero p(xi) = P(X = xi), tal que:1. p(xi ) ≥ 0 para todo i2. ∑∞i=1 p(xi ) = 1

• Chamamos p de probabilidade, e a coleção de pares [xi , p(xi)]para i = 1, 2, ... de distribuição de probabilidade de X

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Variáveis aleatórias discretas

• Seja B ⊆ X (Ω) tal que B = {xi1, xi2, ...}, então P(B) =P[ω|X (ω) ∈ B] = P[ω|X (ω) = xij , j = 1, 2, ...] =

∑∞j=1 p(xij)

• Ou seja, a probabilidade de um evento B é igual a soma dasprobabilidades dos resultados individuais associados a B

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Distribuição de Bernoulli

• Considere um evento A associado a um experimento e definaP(A) = p e P(Ā) = 1− p. Agora considere a seguinte variávelaleatória: X = 0, se ω /∈ A (fracasso), ou X = 1, se ω ∈ A(sucesso)• Qual a função de probabilidade desta variável aleatória?• Distribuição de Bernoulli: P(X = k) = pk(1− p)1−k para

k ∈ 0, 1

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Distribuição Binomial

• Considere n repetições independentes do experimento de Bernoulli,sendo que P(A) permanece a mesma para todas as repetições• O espaço amostral deste novo experimento será formado por

todas as sequências possíveis {a1, a2, ..., an}, onde cada aipertence a A ou Ā• A variável aleatória X = nº de elementos favoráveis à A (número

de sucessos), terá valores possíveis que vão de 0 até n. Já onúmero total de formas de se obter k sucessos em n repetições doexperimento é

(nk

). Assim, a distribuição de X será:

• Distribuição binomial: P(X = k) =(

nk

)pk(1− p)n−k para

k = 0, 1, ..., n

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Exemplo de distribuição binomial

Qual a probabilidade de obtermos menos de 3 caras em 5 lançamentosde uma moeda justa?

P(X < 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)

P(X < 3) =(

50

)(1/2)0(1/2)5 +

(51

)(1/2)1(1/2)4 +

(52

)(1/2)2(1/2)3

P(X < 3) = 1/32 + 5(1/32) + 10(1/32) = 1/2

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Exemplo no R

No R podemos calcular a probabilidade acima com a função dbinom:

dbinom(2, size=5, prob=0.5) +dbinom(1, size=5, prob=0.5) +dbinom(0, size=5, prob=0.5)

[1] 0.5

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Variáveis aleatórias contínuas

• Variável aleatória contínua: quando a imagem da variávelaleatória X gera um conjunto infinito não-enumerável de valores• Neste caso substituímos a probabilidade p, definida somente para

x1, x2, ..., por uma função f , definida para todos os valores de x• Função densidade de probabilidade: X é uma variável

aleatória contínua se existir uma função f , denominada funçãodensidade de probabilidade (fdp) de X , que satisfaça:1. f (x) ≥ 0 para todo x2.∫+∞−∞ f (x)dx = 1

3. Para quaisquer a, b com −∞ < a < b

Distribuição uniforme

• Distribuição uniforme: variável aleatória contínua X comvalores no intervalo [a, b], sendo a e b finitos• Se X for uniformemente distribuída, então terá fdp dada por:

f (x) =

1b−a se a ≤ x ≤ b0 caso contrário

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Exemplo de distribuição uniforme

• Ex: Um ponto é escolhido ao acaso no segmento de reta [0, 2].Qual a probabilidade de que o ponto esteja entre 1 e 3/2?

f (x) = 12 para 0 < x < 2. Logo,P(1 ≤ x ≤ 3/2) = ∫ 3/21 12 = 12 .32 − 12 .1 Assim, P(1 ≤ x ≤ 3/2) = 14

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Exemplo no R

Podemos calcular o exemplo anterior no R utilizando a função punif:

punif(3/2, min=0, max=2)-punif(1, min=0, max=2)

[1] 0.25

Este código calcula P(X ≤ 3/2)− P(X ≤ 1) utilizando a chamadafunção de distribuição acumulada da distribuição uniforme

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Função de distribuição acumulada

• A Função de Distribuição Acumulada (fd) de uma variávelaleatória discreta ou contínua X é definida comoF (x) = P(X ≤ x)1. Se X for uma variável aleatória discreta, F (x) = ∑j p(xj) para

todo j tal que xj ≤ x2. Se X for uma variável aleatória contínua com fdp f ,

F (x) =∫ x−∞ f (s)ds

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Exemplo de distribuição acumulada

Ex: Seja X uma variável aleatória contínua com fdp f (x) = 2x para0 < x < 1 e igual a zero para quaisquer outros valores valores de x .Nesse caso, a função de distribuição acumulada será dada por:

F (x) =

0 se x ≤ 0∫ x

0 2sds = x2 se 0 < x ≤ 11 se x > 1

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Distribuição uniforme acumulada

A função de distribuição acumulada de uma variável aleatória contínuauniformemente distribuída será:

F (x) =

0 se x < ax−ab−a se a ≤ x < b1 se x > b

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Exemplo no R

Podemos calcular a probabilidade de obtermos menos de 3 caras em 5lançamentos de uma moeda justa através da função de distribuiçãobinomial acumulada utilizando a função pbinom no R:

pbinom(2, size=5, prob=0.5)

[1] 0.5

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Propriedades da função de distribuição acumulada

• A função F é não-decrescente, ou seja, se x1 ≤ x2, teremosF (x1) ≤ F (x2)• lim

x→−∞F (x) = 0 e lim

x→∞F (x) = 1

• f (x) = dF (x)dx para todo X no qual F é derivável• Se X é variável aleatória discreta com valores x1, x2, ... tais que

x1 < x2 < ...; então p(xi) = p(X = xi) = F (xi)− F (xi−1)

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Exemplo de propriedades da distribuição acumulada

Suponha que uma variável aleatória contínua tenha fd dada por:

F (x) =0 se x ≤ 01− e−x se x > 0

Nesse caso, F ′(x) = e−x para x > 0, e a fdp será f (x) = e−x parax > 0, e zero para quaisquer outros valores

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DefiniçõesExemplos de variáveis aleatórias

Variáveis aleatórias discretasDistribuição de BernoulliDistribuição Binomial

Variáveis aleatórias contínuasDistribuição uniforme

Função de distribuição acumuladaDistribuição uniforme acumuladaPropriedades da função de distribuição acumulada