MÉTODOS NUMÉRICOS - Apontamentos TSI · PDF filenuméricos iterativos....
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por Chedas Sampaio
Métodos Numéricos - Solução de equações de uma variávelEscola Náutica I.D.Henrique
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MÉTODOS NUMÉRICOS
Solução de Equaçõesde uma Variável
por Chedas SampaioÉpoca 2000/2001
(últ revisão Abr 2003)
Escola Náutica I.D.Henrique 2 de 92
Sumário• Introdução
• Solução de equações
• Revisões de Análise Matemática• Limite e continuidade de funções• Zeros de funções• Funções diferenciáveis
• Estratégia para a determinação de raízes
• Método da Bissecção• Descrição• Algoritmo• Critérios de paragem• Convergência• Vantagens/Desvantagens
por Chedas Sampaio
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Sumário• Método de Newton-Raphson
• Descrição• Algoritmo• Critérios de paragem• Convergência• Vantagens/Desvantagens
• Método da Secante• Descrição• Algoritmo• Critérios de paragem• Convergência• Vantagens/Desvantagens
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Sumário• Método do Ponto Fixo
• Descrição• Algoritmo• Critérios de paragem• Convergência• Vantagens/Desvantagens
• Funções do MathCad para a determinação de raízes• Raízes reais• Raízes reais e/ou complexas
• Referências bibliográficas
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Introdução
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Solução de equaçõesPor solução de equações entende-se a determinação das suas raízes ou os valores de x para os quais f(x)=0.
Introdução
x
y f(x)
p1
p2
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Solução de equaçõesIntrodução
Se há funções para as quais existe soluçãoanalítica fácil, como é o caso das funçõeslineares, outras há cuja solução é bem maisdifícil ou mesmo impossível. Neste grupoencontramos as funções não lineares, polinomiais ou transcendentes.
O recurso a métodos numéricos aproximadosé muitas vezes a única forma paradeterminarmos as suas raízes.
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Introdução
Exemplo: calcular o ângulo de inclinação (θ) daspernas de uma mesa de piquenique, de espessurab, cujo assento deverá ficar a h mm do chão e terum comprimento w mm.
As dimensões da perna satisfazem:
logo
h
b
θ
bhw +θ=θ cossin
w
Solução de equações
0cossin)( =−θ−θ=θ bhwf
O ângulo de inclinaçãoserá o que satisfizer a
equação
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Introdução
Exemplo: os valores de θ que satisfazem a equação serão os valores que procuramos
Solução de equações
bhwf −θ−θ=θ cossin)(
0 5 10
1000
500
500
1000
radianos
f θ( )
θ
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Introdução
Exemplo: calcular os valores de x que satisfazema equação
xx =cos
Solução de equações
É sempre possível reescrever para
e, portanto, queremos os zeros da função0cos =− xx
xxxf −= cos)(
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Introdução
Exemplo:
Solução de equações
xxxf −= cos)(
0 5 10
15
10
5
5
radianos
f x( )
x
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Solução de equaçõesEste processo costuma dividir-se em duaspartes:
Introdução
• Determinação de valores aproximados das raízes. Pressupõe um estudo da função com vista à suacaracterização, o que resultará no isolamento de possíveis raízes em intervalos bem definidos. Para tal é necessária a determinação de assímptotas, pontos notáveis e proceder-se ao traçado do gráfico da função.
• Após a obtenção do conhecimento aproximado das raízes procede-se ao refinamento da aproximaçãoatravés de métodos numéricos do tipo iterativo oude aproximações sucessivas.
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Solução de equaçõesSerá este o objectivo deste capítulo, ou seja a determinação das raízes, ou zeros, de equações do tipo f(x)=0 com a precisão quese desejar, utilizando para tal métodosnuméricos iterativos.
Introdução
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Revisõesde
Análise Matemática
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Limite e continuidade de funçõesDefinição: Seja f uma função definida para um conjuntoX de números reais. Diz-se que f tem limite Lem x0, escrevendo-se se, dado um número real ε>ε>ε>ε>0, existe um número real δ>δ>δ>δ>0 tal que
Revisões de Análise Matemática
Lxfxx
=→
)(lim0
δε <−<∈∀<− 00,)( xxeXxLxf
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Limite e continuidade de funçõesDefinição: Seja f uma função definida para um conjuntoX de números reais e x0 ∈∈∈∈X; diz-se que f é contínua em x0 se
A função f diz-se contínua em X se for contínua em todos os números de X; C(X)representa todas as funções contínuas em X. O conjunto de funções contínuas no intervalo[a,b] costuma ser representado por C[a,b].
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)()(lim 00
xfxfxx
=→
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Limite e continuidade de funçõesDefinição: Seja uma sequência infinita de númerosreais ou complexos. Diz-se que a sequênciaconverge para um número p (chamado limite) se, para qualquer ε>ε>ε>ε>0, existe um númerointeiro positivo N(εεεε) tal que n>>>>N(εεεε) implica
A notação significa que a sequência converge para p .
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{ }∞=1nnp
ε<− ppn
ppnn
=∞→
lim
{ }∞=1nnp
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Limite e continuidade de funçõesTeorema: Se f é função definida para um conjunto X de
números reais e x0 ∈∈∈∈X , então sãoequivalentes as afirmações:
1) f é contínua em x0
2) se é uma sequência em Xconvergente para p , então
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{ }∞=1nnp
)()(lim pfpf nn
=∞→
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Revisões de Análise Matemática
Zeros de funçõesDefinição: Se f(p)=0 então diz-se que p é uma raíz da equação f(x)=0 ou que p é um zero da funçãof.
x
y
f(x)
p
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Revisões de Análise Matemática
Zeros de funçõesDefinição: A multiplicidade de um zero p da função f é o supremo m dos valores k tais que:
∞<=−→
cpxxf
kpx
)(lim
x
y
f(x)
p(simples)
p (triplo)
p (duplo)
f(x)f(x)
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Revisões de Análise Matemática
Zeros de funçõesDefinição: A multiplicidade de um zero p da função f é o supremo m dos valores k tais que:
∞<=−→
cpxxf
kpx
)(lim
Exemplo:
>∞
=
=
=−
−⇒∞<=
−
−
→→1
12
00
5.0
5.02
5.0
12limlim
5.05.0kse
kse
kse
xx
cx
xk
xk
x
p=0.5
f(x)=2x-1
logo a multiplicidade é 1
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Revisões de Análise Matemática
Zeros de funçõesDefinição: A multiplicidade de um zero p da função f é o supremo m dos valores k tais que:
∞<=−→
cpxxf
kpx
)(lim
Exemplo:
>∞
=
=
=
=−→
2
21
10
00
0
2
0lim
kse
kse
kse
kse
x
xk
x
p=0
f(x)=x2
e a multiplicidade é 2
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Revisões de Análise Matemática
Zeros de funçõesTeorema (Teorema de Cauchy): Se f∈∈∈∈C[a,b] e se f(a) x f(b)<0 (sinaiscontrários), então existe pelo menos um número p tal que a<p<b e f(p)=0.
x
y
f(x)
b
f(b)
f(a)
a p1p2
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Revisões de Análise Matemática
Zeros de funçõesCorolário (Teorema de Cauchy): Se f’ existe, se é contínua no intervalo (a,b) e se mantém o sinal nesse intervalo então a raízp é única.
x
y
f(x)
b
f(b)
f(a)
a
f’<0
f’<0
f’<0
f’<0
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Revisões de Análise Matemática
Zeros de funçõesCorolário (Teorema de Cauchy): Se f’ existe, se é contínua no intervalo (a,b) e se mantém o sinal nesse intervalo então a raízp é única.
x
y
f(x)
b
f(b)
f(a)
a
f’<0
f’<0
f’=0
f’>0
f’=0
f’<0
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Funções diferenciáveisDefinição: Se f é uma função definida num intervaloaberto contendo x0 , diz-se que f é diferenciável em x0 se existir o limite
Revisões de Análise Matemática
0
0 )()(lim0 xx
xfxfxx −
−→
Quando existe este limite é denotado porf’(x0 ) e é designado por derivada de f em x0 . Uma função que tenha derivada em cadanúmero de X é dita diferenciável em X.
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Revisões de Análise Matemática
Teorema: Se p for um zero da função f e se f for m vezesdiferenciável no ponto p, então a multiplicidade de p é m sse
( ) ( ) 0)(0)(...)(')( 1 ≠==== − pfepfpfpf mm
Funções diferenciáveis
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Teorema: Se f é uma função diferenciável em x0 , entãof é contínua em x0 .
Revisões de Análise Matemática
Teorema (Teorema de Rolle): Se f∈∈∈∈C[a,b] e é diferenciável em (a,b), se f(a)=f(b)=0, então existe um número c talque a<c<b e f’(c)=0.
Funções diferenciáveis
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Teorema (Teorema do valor médio): Se f∈∈∈∈C[a,b] e é diferenciável em (a,b), entãoexiste um número c tal que a<c<b e
Revisões de Análise Matemática
abafbfcf
−−= )()()('
Funções diferenciáveis
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Teorema (Teorema do valor extremo): Se f∈∈∈∈C[a,b] então existem c1, c2∈∈∈∈[a,b] com f(c1)≤≤≤≤f(x)≤≤≤≤f(c2) para cada x∈∈∈∈[a,b] . Se, alémdisso, f é diferenciável em (a,b), então ouci=a, ci=b ou f’(ci)=0 para cada i=1,2.
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Funções diferenciáveis
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Revisões de Análise Matemática
Teorema (Teorema do valor médio ponderadopara integrais): Se f∈∈∈∈C[a,b] e g é integrável em [a,b] e g(x)≥≥≥≥0, então existe um número c, a<c<b tal que:
Funções diferenciáveis
∫ ∫=b
a
b
adxxgcfdxxgxf )()()()(
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Teorema (Teorema de Rolle generalizado): Se f∈∈∈∈C[a,b] é n vezes diferenciável em (a,b) e f é zero para n+1 números distintosx0...xn∈∈∈∈[a,b] então existe um número c em(a,b) com f(n)(c)=0.
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Funções diferenciáveis
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Revisões de Análise Matemática
Teorema (Teorema do Valor intermédio): Se f∈∈∈∈C[a,b] e K é qualquer número entre f(a) e f(b), então existe um número c em (a,b)para o qual f(c)=K.
Funções diferenciáveis
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Estratégia para a determinação dasraízes
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EstratégiaEstratégia para a determinação das raízes
• Visualizar o gráfico da função
• Seleccionar os intervalos ondeexistem raízes
• Seleccionar um método adequado
• Seleccionar um valor inicial
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Intervalos onde existem raízesEstratégia para a determinação das raízes
Os intervalos onde existem raízes podemser obtidos automaticamente com um programa adequado de pesquisa de mudanças de sinal da função (condiçãonecessária e suficiente para a existência de pelo menos uma raíz).
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Intervalos onde existem raízesEstratégia para a determinação das raízes
Dados de entrada ou input: a,b – extremos do intervalo de pesquisa de subintervalos
com raízesN – nº de iterações máximo
Dados de saída ou output:int – matriz de n linhas (n<=N) e duas colunas
esta matriz contém os subintervalos com raízes
Ler a,bLer N
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Intervalos onde existem raízesEstratégia para a determinação das raízes
Processamento:h=(b-a)/N “comprimento dos subintervalosli=a “limite inferior do subintervalon=1 “índice dos subintervalos com raízesi=1Do While i<=N
ls=li+hIf sinal(f(li))<>sinal(f(ls)) Then
n=n+1int(n,1)=li “1ª coluna da matriz intint(n,2)=ls “2ª coluna da matriz int
Endifli=lsi=i+1
EnddoFim
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Método da Bissecção
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DescriçãoO Método da Bissecção baseia-se no Teorema de Cauchy e no Teorema do valor intermédio . Se escolhermos um intervalo[a,b] onde a função em estudo mude de sinal nos extremos, f(a)f(b)<0, então existepelo menos um zero entre a e b. Se de seguida dividirmos o intervalo em duasmetades e escolhermos para novo intervaloaquela metade cujos extremos garantamque a função muda de sinal e se continuarmos a repetir este processo, estaremos a aproximarmo-nos do zero.
Método da Bissecção
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DescriçãoMétodo da Bissecção
a
f(a)
b
f(b)
x
yf(x)
f(a)f(b)>0Poderá não haver zerosTentar outro intervalo
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DescriçãoMétodo da Bissecção
a
f(a)
b
f(b)
x
yf(x)
f(a)f(b)>0Poderá não haver zerosTentar outro intervalo
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DescriçãoMétodo da Bissecção
a
f(a)
b
f(b)
x
yf(x)
f(a)f(b)<0Existe pelo menos um zeroIniciar as iterações
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DescriçãoMétodo da Bissecção
a
f(a)
b
f(b)
x
yf(x)
2bap +=
p
f(p)
f(a)f(p)<0Existe pelo menos um zeroFazer b=p
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DescriçãoMétodo da Bissecção
a
f(a)
x
yf(x)
2bap +=
b
f(b)
p
f(p)
f(a)f(p)<0Existe pelo menos um zeroFazer b=p
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DescriçãoMétodo da Bissecção
a
f(a)
x
yf(x)
2bap +=
b
f(b)
f(a)f(p)<0Existe pelo menos um zeroFazer b=p
p
f(p)
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DescriçãoMétodo da Bissecção
a
f(a)
x
yf(x)
2bap +=
f(p)f(b)<0Existe pelo menos um zeroFazer a=p
b
f(b)p
f(p)
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DescriçãoMétodo da Bissecção
x
yf(x)
...e assim sucessivamenteaté que f(p)≈0 (ou outro qualquercritério de paragem)
b
f(b)a
f(a)
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Dados de entrada ou input: a,b – extremos do intervaloN – nº de iterações máximoerro – erro máximo admitido
Dados de saída ou output:p – valor aproximado do zero da função
Ler a,bLer NLer erro
AlgoritmoMétodo da Bissecção
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Processamento:n=1Do While n≤≤≤≤N
p=(a+b)/2If |f(p)|<erro or (b-a)/2<erro Then
Escrever “o zero é”, pSair do ciclo
EndifIf f(a)*f(p)<0 Then
b=pElse
a=pEndifn=n+1
EnddoIf n>N Then
Escrever “Método não converge ao fim de”, N, “iterações”
EndifFim
AlgoritmoMétodo da Bissecção
Mathcad Document
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Processamento:n=1Do While n≤≤≤≤N
p=(a+b)/2If |f(p)|<erro or (b-a)/2<erro Then
Escrever “o zero é”, pSair do ciclo
EndifIf f(a)*f(p)<0 Then
b=pElse
a=pEndifn=n+1
EnddoIf n>N Then
Escrever “Método não converge ao fim de”, N, “iterações”
EndifFim
AlgoritmoMétodo da Bissecção
Qual será a melhor forma de calcular p para reduzir os erros de arredondamento? Será esta
p=a+(b-a)/2?(TPC)
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Critérios de paragemAlguns dos critérios de paragem destealgoritmo podem ser:
Método da Bissecção
( )
erroab
aerroa
aberropf
perrop
pperropp
nn
nn
nn
n
nn
nn
nn
<−
≠<−<
≠<−
<−
−
−
2)5
0,)4
)3
0)2
)1
1
1
Nota: n-iteração n; erro-máximo erro admitido
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ConvergênciaMétodo da Bissecção
Teorema: Seja f∈∈∈∈C[a,b] e se f(a) x f(b)<0 (sinaiscontrários), então o algoritmo do método da bissecção gera uma sequência {{{{pn}}}} que se aproxima de um zero p com a propriedade
12
≥−≤− nparaabpp nn
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ConvergênciaMétodo da Bissecção
12
≥−≤− nparaabpp nn
Demo:
nnnn
nabppab
abppab
abppabab
222
242
222
1
221
2
10
1
0
−≤−−=∆=∆
−≤−−=∆=∆
−≤−−=∆=∆
−=∆
−
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ConvergênciaMétodo da Bissecção
Podemos então dizer que 2n é a razão de convergência do método. Como um dos critérios de paragem élogo
podendo-se, assim, estimar o número de iterações, n, necessárias para aproximar a raíz com um erro inferior a erro:
erropp nn ≤− −1
)2ln()ln()ln( erroabn −−>
Mathcad Document
12
≥−≤− nparaabpp nn
naberro
2−=
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Vantagens/DesvantagensVantagens:
SimplesConverge sempre
Desvantagens:Lento a convergir
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Método de Newton-Raphson
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DescriçãoO Método de Newton-Raphson ou só Métodode Newton baseia-se na aproximação do zero da função através de sucessivastangentes. Partindo de uma estimativainicial do zero determina-se a tangente à função nesse ponto. A tangenteprovavelmente intersectará o eixo das abcissas e determinará o ponto seguintepara o qual se calcula novamente a tangente na função e assim por dianteaproximando-se da raíz.
Método de Newton-Raphson
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Descrição
p0
f’(p0)
x
yf(x)
Método de Newton-Raphson
)()(
)()()(
)(0)()(
)(
0
00
10000
10
000
0
pfpfpp
logo
ppfppfpf
bppfbppfpf
bxpfybmxy
1 ′−=
′−′=
+′=+′=
+′=⇒+=
p1
)()(
1
11
−
−− ′
−=n
nnn pf
pfpp:ndogeneraliza
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Descrição
p0
f’(p0)
x
yf(x)
Método de Newton-Raphson
p1
f’(p1)
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Descrição
p0
f’(p0)
x
yf(x)
Método de Newton-Raphson
p1
f’(p1)
p2
f’(p2)
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Dados de entrada ou input: p0 – estimativa inicialN – nº de iterações máximoerro – erro máximo admitido
Dados de saída ou output:p – valor aproximado do zero da função
Ler p0
Ler NLer erro
AlgoritmoMétodo de Newton-Raphson
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Processamento:n=1Do While n≤≤≤≤N
p= p0-f(p0)/f’ (p0)If | p-p0 |<erro Then
Escrever “o zero é”, pSair do ciclo
Endifp0=p n=n+1
EnddoIf n=N Then
Escrever “Método não converge ao fim de”, N, “iterações”
EndifFim
AlgoritmoMétodo de Newton-Raphson
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Critérios de paragemAlguns dos critérios de paragem destealgoritmo podem ser:
( ) erropf
perrop
pperropp
n
nn
nn
nn
<
≠<−
<−
−
−
)3
0)2
)1
1
1
Nota: n-iteração n; erro-máximo erro admitido
Método de Newton-Raphson
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Vantagens/DesvantagensVantagens:
SimplesRápido a convergir
Desvantagens:Nem sempre convergeNecessidade de se conhecer a derivadada funçãoMuito sensível à estimativa inicialSe a derivada for nula o método falha
Método de Newton-Raphson
Mathcad Document
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Método da Secante
por Chedas Sampaio
Métodos Numéricos - Solução de equações de uma variávelEscola Náutica I.D.Henrique
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DescriçãoO Método da Secante é uma pequenavariação do método de Newton. É em tudoigual ao método de Newton com a excepçãode que as derivadas nos pontos não sãoexactas mas sim aproximadas. Esta varianteé útil uma vez que para funções complexasé por vezes muito difícil calcular a suaderivada.
Método da Secante
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DescriçãoPor definição de derivada:
Método da Secante
1
11
)()(lim)(1 −
−
→− −−=′
− n
npxn px
pfxfpfn
se x=pn-2
12
121
)()()(−−
−−− −
−≈′nn
nnn pp
pfpfpf
Como para calcularmos a derivadaaproximada necessitamos de 2 pontos passaa ser necessário que o método arranquecom uma estimativa inicial de 2 pontos.
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Dados de entrada ou input: p0 , p1 – estimativas iniciaisN – nº de iterações máximoerro – erro máximo admitido
Dados de saída ou output:p – valor aproximado do zero da função
Ler p0 , p1
Ler NLer erro
AlgoritmoMétodo da Secante
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Processamento:n=2Do While n≤≤≤≤N
p= p1-f(p1)(p0 -p1)/[f(p0)- f(p1)]If | p-p1 |<erro Then
Escrever “o zero é”, pSair do ciclo
Endifp0= p1p1= pn=n+1
EnddoIf n=N Then
Escrever “Método não converge ao fim de”, N, “iterações”
EndifFim
AlgoritmoMétodo da Secante
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Exercícios:
Programe em MathCad, Maple, MatLab ouFortran o Método da Secante. Teste-o com a função
e determine a raíz existente no intervalo[0,ππππ/2].
AlgoritmoMétodo da Secante
xxxf −= )cos()(
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Critérios de paragemAlguns dos critérios de paragem destealgoritmo podem ser:
( ) erropf
perrop
pperropp
n
nn
nn
nn
<
≠<−
<−
−
−
)3
0)2
)1
1
1
Nota: n-iteração n; erro-máximo erro admitido
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Vantagens/DesvantagensVantagens:
SimplesRápido a convergir como o método de Newton e não necessita do conhecimento da derivada da função
Desvantagens:Nem sempre convergeMuito sensível à estimativa inicialSe a derivada for nula o método falha
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Método do Ponto Fixo
por Chedas Sampaio
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DescriçãoEste método baseia-se na solução da equação f(x)=0 a partir da sua alteraçãopara a forma g(x)=x. Esta alteração podeconseguir-se de diferentes formas como a seguinte:
Método do Ponto Fixo
)()( xfxxg −≡Podemos vêr que quando x=p de forma a que g(p)=p então p é uma raíz de f ouf(p)=0:
0)()()(
=−==
pflogopfppentãoppgse
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DescriçãoDefinição:Se g é definida em [a,b] e se g(p)=p paraalgum p∈∈∈∈[a,b], então diz-se que a função gtem um ponto fixo p em [a,b] .
Método do Ponto Fixo
x
y
a b
y=x
y=g(x)
p
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DescriçãoMétodo do Ponto Fixo
Teorema:Seja g∈∈∈∈C[a,b] e g(x)∈∈∈∈[a,b] para todo o x∈∈∈∈[a,b], então g tem um ponto fixo p em[a,b] . Se além disso g´(x) existe em [a,b] e |g´(x)|≤≤≤≤k<1 para todo o x∈∈∈∈[a,b], então gtem um ponto fixo único p em [a,b] .
x
y
a b
y=x
y=g(x)p
a
b
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Descrição
1 0.5 0 0.5 1
1
0.5
0.5
11
1−
f x( )
11− x
Função f(x)
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Descrição
Funções y=g(x) e y=x
1 0.5 0 0.5 1
0.5
0.50.5
0.5−
g x( )
x
11− x
Método do Ponto Fixo
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Descrição
Funções y=g(x) e y=x
1 0.5 0 0.5 1
0.5
0.50.5
0.5−
g x( )
x
11− x
p0
g(p0)
p1
g(p1)
p2
g(p2)
p
Método do Ponto Fixo
)( 11 −− −= nnn pfpp
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Dados de entrada ou input: p0 – estimativas iniciaisN – nº de iterações máximoerro – erro máximo admitido
Dados de saída ou output:p – valor aproximado do zero da função
Ler p0
Ler NLer erro
AlgoritmoMétodo do Ponto Fixo
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Processamento:n=1Do While n≤≤≤≤N
p= p0-f(p0)If | p-p0 |<erro Then
Escrever “o zero é”, pSair do ciclo
Endifp0= pn=n+1
EnddoIf n=N Then
Escrever “Método não converge ao fim de”, N, “iterações”
EndifFim
AlgoritmoMétodo do Ponto Fixo
Mathcad Document
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Critérios de paragemAlguns dos critérios de paragem destealgoritmo podem ser:
( ) erropf
perrop
pperropp
n
nn
nn
nn
<
≠<−
<−
−
−
)3
0)2
)1
1
1
Nota: n-iteração n; erro-máximo erro admitido
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ConvergênciaMétodo do Ponto Fixo
Teorema:Seja g∈∈∈∈C[a,b] e g(x)∈∈∈∈[a,b] para todo o x∈∈∈∈[a,b]. Se além disso g´(x) existe em [a,b], se|g´(x)|≤≤≤≤k<1 para todo o x∈∈∈∈[a,b] e se p0 é qualquer número em [a,b], então a sequência definida por pn=g(pn-1) para n≥≥≥≥1converge para o ponto fixo único p em [a,b] .Demo:
[ ]
{ } pparaconvergeplogo
ppkppkcomoppkppkkppkpp
dondebacparappkppcgpgpgpp
nn
n
nnn
nnnn
nnnn
∞=
∞→∞→
−−
−−−
=−≤−⇒<−≤≤−≤−≤−
∈−≤−′≤−=−
0
0
021
111
0limlim1...
,)()()(
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ConvergênciaMétodo do Ponto Fixo
Corolário:Se g satisfaz as hipóteses do teoremaanterior o erro do método do ponto fixo é limitado por: { }
1,max 00
≥−−≤−
ntodoparapbapkpp n
n
Corolário:Se g satisfaz as hipóteses do teoremaanterior o erro do método do ponto fixo é limitado por:
11 01
≥
−−
≤−
ntodopara
ppk
kppn
n
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ConvergênciaMétodo do Ponto Fixo
Podemos concluir que a razão de convergência deste método depende do factor e que quanto menor for k (limite
de g’) mais rápida é a convergência.k
k n
−1
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Vantagens/DesvantagensVantagens:
SimplesRápido a convergir
Desvantagens:Nem sempre converge
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Funções do MathCad paradeterminação de raízes
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Raízes reaisPode usar-se o Método da Secante que é implementado pela função root, ou solve do menu Symbolics.
Funções do MathCad para determinação de raízes
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Raízes reais e/ou complexasUsa-se solve do menu Symbolics ou, no caso de polinómios, a função polyroots.
Funções do MathCad para determinação de raízes
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Referências bibliográficasNumerical Analysis, Burden et al. Wadsworth International Student Edition 1981
Métodos Numéricos, Heitor PinaInstituto Superior Técnico1982
ME 352 Engineering Numerical Methodshttp://www.me.pdx.edu/~gerry/class/ME352/Gerald W.Recktenwald2003
Apontamentos de Métodos Computacionais, Chedas Sampaio, ENIDH1992
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FIM