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RecursividadeProf. Cesar Augusto Tacla

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Métodos iterativos

�Métodos iterativos utilizam estruturas de repetição�For�While�Do while

�Normalmente, um método invoca outros métodos, não a si mesmo.

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Recursividade

� Em programação, é o fato de um método invocar ele mesmo.

� Exemplos clássicos� Fractais� Torre de Hanoi� Fatorial� Fibonnaci

� Exemplos em� http://www.krazydad.com/bestiary/bestiary_fern.html

Recursividade: aplicações

� Algoritmos de ordenação (sort)� Busca em árvores� Transformada rápida de Fourier utilizada em

processamento de sinais� Imagens de síntese

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Fonte http://www.cs.princeton.edu/introcs/23recursion

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Exemplo de recursividade: fatorial

� É um função matemática recursiva, pois é definida em função dela mesmo�Se n > 1 então n! = n * (n-1)!

�Se (n 0 or 1) então n! = 1

� De outra forma

�se (n==0 or n==1)

� fatorial(n) = 1

�se (n > 1)

� fatorial(n) = n * fatorial(n-1)

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Exemplo: fatorialpublic class JFatorial {

public static int fatorial(int n) {

if (n == 1 || n == 0) return 1;

return n * fatorial(n-1);

}

public static void main(String args[]) {

int n=1;

if (args.length > 0) {

n = Integer.parseInt(args[0]);

}

if (n > 0)

System.out.println("Fatorial de " + n + " = "

+ fatorial(n));

}

}

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Exemplo: fatorial

�ao executar: java JFatorial 5

fatorial(5)fatorial(4)

fatorial(3)fatorial(2)

fatorial(1)return 1

return 2*1return 3*2

return 4*6return 5*24

Fatorial(5)

Fatorial(4)

Fatorial(3)

Fatorial(2)

Fatorial(1)

PILHA (STACK)DE CHAMADA

topo

base

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Exemplo fatorial: pontos importantes

public static int fatorial(int n) {

if (n == 1 || n == 0) return 1; return n * fatorial(n-1);

}

Caso base: retorna um valorcalculado sem recursão

Passo de redução: os valores dos argumentosda invocação recursiva devem convergirpara o caso base � stack overflow

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Exercícios

� Até qual número é possível calcular antes de estourar a capacidade de armazenamento de um tipo de dado inteiro?

� Modifique o programa fatorial para que ele imprima a cada execução do método fatorial(int n) o valor de n no início do método e o valor retornado ao final. A cada chamada, os valores impressos devem ser identados em uma posição:

*N = 3**N = 2***N = 1***return 1**return 2*return 6

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Exercícios

� Implemente a série de Fibonacci de maneira recursiva e não recursiva.

�Compare os tempos de execução para séries grandes

Exemplo para N = 7

1: 1 = 12: 1 = 13: 2 = fib(2) + fib(1)4: 3 = fib(3) + fib(2)5: 5 = fib(4) + fib(3)6: 8 = fib(5) + fib(4)7: 13 = fib(6) + fib(5)

Tecno-OO\RepositorioJAVA\JRecursividade\JFibonacci

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Exercício Fibonacci: solução

public class Fibonacci {

public static long fib(int n) {

if (n <= 1) return n;

else return fib(n-1) + fib(n-2);

}

public static void main(String[] args) {

int N = Integer.parseInt(args[0]);

System.out.println("*** recursivo ***");

for (int i = 1; i <= N; i++)

System.out.println(i + ": " + fib(i));

}

}

Problema: tempo é exponencial

Sol. http://www.dainf.ct.utfpr.edu.br/~tacla/JAVARepositorio/JRecursividade/JFibonacci

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Fibonacci tempo exponencial

� Para calcular f(1) => 1 iteração� F(2) = 1� F(3) = f(2) + f(1) = 2� F(4) = f(3) + f(2) = 2 + 1 = 3� F(5) = f(4) + f(3) = 3 + 2 = 5� F(6) = f(5) + f(4) = 5 + 3 = 8� F(7) = f(6) + f(5) = 8 + 5 = 13� F(8) = f(7) + f(6) = 13 + 8 = 21� F(9) = f(8) + f(7) = 21 + 13 = 34� F(10) = f(9) + f(8) = 34 + 21 = 55

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13

Fibonacci tempo exponencial

0

10

20

30

40

50

60

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

ordem

Iterações

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Fibonacci: solução iterativa

public class FibonacciIterativo {

public static void main(String[] args) {

int N = Integer.parseInt(args[0]);

long ultimo = 0;

long penultimo = 1;

long atual = 1;

for (int i = 1; i <= N; i++) {

atual = ultimo + penultimo;

penultimo = ultimo;

ultimo = atual;

System.out.println(i + ": " + atual);

}

}

}

Sol. http://www.dainf.ct.utfpr.edu.br/~tacla/JAVARepositorio/JRecursividade/JFibonacci

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Exercício quadrados recursivos

�Faça um algoritmo recursivo que reproduza o padrão:

Árvore

� Árvore: é uma estrutura de dados onde os dados estão organizados de forma hierárquica.

� É composto por um nó raiz e, normalmente, por vários nós filhos.

� Um nó que não possui filhos é dito folha.

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raiz

filho filho

folhafolha folha

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Árvore binária

� Árvores binárias satisfazem aos critérios:� Não possuem nós

(árvores vazias) ou� Apresentam um nó raiz

que aponta para duas sub-árvores, a da esquerda e a da direita.

� É um grafo acíclico dirigido cujos nós tem grau zero, um ou dois

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raiz

filho filho

folhafolha folha

Observar que a definição é recursiva!

Árvores de busca binária

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Linda

Carla

MárioAndré

Norton

Xavier

Percurso em ordem: André, Carla, Linda, Mário, Norton, Xavier

Quantas nós devem ser visitados para se encontrar Xavier?Xavier < Linda? Não, então busque na sub-árvore direitaXavier < Norton? Não, então busque na sub-árvore direitaXavier (3 nós)

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Exercício classificação 1: travessia de árvore binária

� Faça um algoritmo recursivo que permita percorrer uma árvore de classificação binária em ordem crescente ou decrescente segundo um argumento passado na linha de comando.

� Dicas�Criar uma classe Nodo�Um nodo aponta para o nodo da esquerda e da direita

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Exercício classificação 2: Busca de um nodo em árvore binária

�Faça um algoritmo recursivo que permita buscar um certo nodo numa árvore de classificação binária por valor.

�Exemplo: Buscar nodo cujo nome seja “Clara”

�Se o nodo buscado não existir, retornar null

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Exercício gramática

�Fazer um analisador de expressões artiméticas utilizando a grámática recursiva abaixo

�Gramática�exp := exp + termo | exp – termo | termo�termo := termo * num | termo / num | num�num := 0|1|2|3|4|5|6|7|8|9

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Exemplo 1

�2 + 3*5 é válida segundo a gramática?

exp

exp + termo

termo * num5

num3

termo

num2

sim

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Exemplo 2

�5 + -5 é válida segundo a gramática?

exp

exp + termo

termo

num5

não

Não é possível gerar-5 com esta gramática a partirde um termo