Neusa de Oliveira Santos O ensino de potenciação por atividades...

Universidade do Estado do Pará Centro de Ciências Sociais e Educação Programa de Pós-Graduação em Educação

Neusa de Oliveira Santos

O ensino de potenciação por atividades

Belém – PA 2017



Texto de Qualificação apresentado ao programa de Pós-Graduação em Educação da Universidade do Estado do Pará como exigência parcial para obtenção de título de Mestre em Educação. Linha: Formação de professores e práticas pedagógicas. Orientador: Prof. Dr. Pedro Franco de Sá.

Belém 2017



Dissertação apresentada ao programa de Pós-Graduação em Educação da Universidade do Estado do Pará como exigência para obtenção de título de Mestre em Educação. Linha: Formação de professores e práticas pedagógicas. Orientador: Prof. Dr. Pedro Franco de Sá.

Banca Examinadora ___________________________________ - Orientador Prof. Dr. Pedro Franco de Sá Doutor em Educação - Universidade Federal do Rio Grande do Norte Universidade do Estado do Pará

___________________________________ - Membro externo Prof. Dr. João Cláudio Brandemberg Quaresma Doutor em educação – Universidade Federal do Pará Universidade Federal do Pará

___________________________________ - Membro interno Prof. Dr. Fábio José da Costa Alves Doutor em Geofísica - Universidade Federal do Pará Universidade do Estado do Pará

RESUMO

SANTOS, Neusa de Oliveira. O ensino de Potenciação por meio de atividades. 2016. 99 f. Dissertação (Mestrado em Educação) - Universidade do Estado do Pará, Belém, 2016.

Esta pesquisa teve o objetivo de avaliar os efeitos de uma sequência didática

no ensino de potenciação por meio de atividades sobre o desempenho da resolução

de questões relacionadas a esta operação. A metodologia utilizada para embasar a

pesquisa foi a Engenharia Didática, constituída de quatro fases: análises prévias; concepção

e análise a priori; experimentação; e análise a posteriori e validação. Nas análises prévias,

são apresentados os resultados do levantamento sobre o ensino de potenciação, a análise

de um questionário aplicado aos professores de Matemática do Ensino Fundamental do 6º

ao 9º ano e aos egressos do 6º ano. Dentre as informações coletadas dos professores

detectamos que, 40% destes profissionais possuem pós-graduação em educação

matemática, e dentre os resultados obtidos dos egressos, identificamos que 76% gosta um

pouco de matemática, e apresentaram bastante dificuldade ao se depararem com as

propriedades dessa operação. A fase concepção e análise a priori apresenta como

resultado, a elaboração dos testes e da sequência didática, contendo 12 atividades que

foram realizados em 6 encontros. A fase experimentação teve como locus uma escola

pública municipal de Nova Ipixuna/PA com 31 alunos do 6º ano do Ensino Fundamental,

desenvolvemos a implementação da proposta planejada na fase anterior. E a última fase

nos conduziu a tirar as seguintes conclusões: a sequência didática utilizada nesta

pesquisa para o ensino de potenciações por meio de atividades trouxeram, um bom

desempenho dos alunos na resolução das questões trabalhadas na sala de aula; os

resultados das variáveis socioeconômicas não interferiram no desempenho dos

alunos; os alunos que elaboraram regras válidas para o cálculo de potenciações,

alcançaram melhores resultados; a medida que fomos desenvolvendo a sequência

didática os alunos se tornaram mais ágeis e com isso diminui o tempo de aplicação

das atividades e os alunos elaboram textos cada vez melhores, pois a capacidade

tenra de escrever suas interpretações, melhoraram bastante, tendo como ponto

referencial as primeiras produções textuais das atividades.

Palavras-chave: Educação. Educação Matemática. Ensino-aprendizagem de potenciação.

ABSTRACT

SANTOS, Neusa de Oliveira. The Teaching of Exponentiation by Activities. 2016. 99 f. Dissertação (Mestrado em Educação) - Universidade do Estado do Pará, Belém, 2016. This research had the objective of evaluating the effects of a didactic sequence in the teaching of empowerment through activities on the performance of the resolution of questions related to this operation. The methodology used to base the research was Didactic Engineering, consisting of four phases: previous analyzes; A priori conception and analysis; experimentation; and a posteriori analysis and validation. In the previous analyzes, the results of the survey on the teaching of potentiation, the analysis of a questionnaire applied to the teachers of Mathematics of Elementary School from the 6th to the 9th year and to the students from the 6th year are presented. Among the information collected from the teachers, we detected that 40% of these professionals have a postgraduate degree in mathematics education, and among the results obtained from the graduates, we identified that 76% liked a little mathematics, and presented a great difficulty when they came across the properties of this operation. The a priori conception and analysis phase presents, as a result, the elaboration of the tests and the didactic sequence, containing 12 activities that were carried out in 6 meetings. The experiment stage was based on a municipal public school in Nova Ipixuna / PA with 31 students from the 6th year of Elementary School, we developed the implementation of the proposal planned in the previous phase. And the last phase led us to draw the following conclusions: the didactic sequence used in this research for the teaching of potentiations through activities brought, a good performance of the students in solving the questions worked in the classroom; The results of the socioeconomic variables did not interfere in the students' performance; The students who elaborated valid rules for the calculation of potentiations, achieved better results; As we were developing the didactic sequence the students became more agile and with this the time of application of the activities decreases and the students elaborate better texts, because the ability to write their interpretations, have improved considerably, having as reference point the First textual productions of the activities.

Keywords: Education. Mathematics Education. Teaching and learning of Exponentiation.

LISTA DE QUADROS

Quadro 1 Erros cometidos pelos alunos na resolução das questões com potenciação.

18

Quadro 2 Atividades desenvolvidas em sala de aula e resultado do pre teste e pós teste.

26

Quadro 3 A análise comparativo dos livros didáticos do 6º ano 30 Quadro 4 A análise comparativo dos livros didáticos do 7º ano 30 Quadro 5 Critérios observados no livro didático 32 Quadro 6 Gênero dos professors 35 Quadro 7 Faixa etária dos profissionais pesquisados 36 Quadro 8 Formação acadêmica dos docents 37 Quadro 9 Ano de conclusão do curso de graduação 38

Quadro 10 Tipo de Instituição de Ensino em que os professores concluíram a graduação

39

Quadro 11 Tempo de serviço dos educadores 40 Quadro 12 Tipo de instituição que os docentes trabalham 41 Quadro 13 Disciplina sobre potenciação vista durante a graduação 41 Quadro 14 Participação de cursos sobre o ensino da potenciação 42

Quadro 15 Docentes ensinam a operação potenciação do modo que aprendeu

43

Quadro 16 Métodos utilizados para introduzir a operação potenciação 44

Quadro 17 A relação do tempo de serviço com a metodologia de ensinar potenciação.

46

Quadro 18 Os recursos utilizados para fixação do conteúdo de potenciação

47

Quadro 19 O motivo do não uso do experimento didático ao trabalhar a potenciação.

48

Quadro 20 Aulas utilizadas para ministrar o conteúdo de potenciação. 49 Quadro 21 O livro adotado na escola 50 Quadro 22 O uso do livro didático adotado pela escola 50 Quadro 23 Outros materiais usados na sala de aula 51

Quadro 24 Conteúdos da potenciação e Grau de dificuldades na aprendizagem dos alunos

52

Quadro 25 Os alunos que exerce atividades remunerada 54

Quadro 26 O grau de parentesco, o nível de escolaridade e a relação com as atividades remuneradas dos alunos

57

Quadro 27 Tipo de escola que os alunos egressos estudaram 58 Quadro 28 A dificuldade dos alunos de aprender matemática 59 Quadro 29 Distração dos alunos durante as aulas de matemática. 60

Quadro 30 Quantidade de aluno e os dias habituais que eles estudam a matematica fora do cotidiano escolar.

61

Quadro 31 Ajuda nas tarefas extraclasse dos alunos 62

Quadro 32 Métodos utilizados pelo docente para introduzir a potenciação

64

Quadro 33 Métodos utilizados pelo professor para a fixação da potenciação

65

Quadro 34 Os alunos do 7º ano lembram ter visto estes assuntos no nível escolar anterior.

65

Quadro 35 O resultado das atividades sobre potenciação do teste diagnóstico

68

Quadro 36 Resultado do desempenho dos alunos egressos no teste diagnóstico

69

Quadro 37 Ações para aplicar as atividades e objetivos/razões para essas ações

93

Quadro 38 Cronograma da fase experimentação da pesquisa 94

Quadro 39 Conclusões dos alunos na atividade 01(Introdução a potenciação)

96

Quadro 40 Conclusões dos alunos na atividade 02 (Potenciação de base um)

100

Quadro 41 Conclusões dos alunos na atividade 03 (Potenciação de ede base zero)

102

Quadro 42 Conclusões dos alunos na atividade 04 (Potenciação de expoente um)

105

Quadro 43 Conclusões dos alunos na atividade 05 (Potenciação de base 10)

107

Quadro 44 Conclusões dos alunos na atividade 06 (Produto de potência)

111

Quadro 45 Conclusões dos alunos na atividade 07 (Divisão de potência)

113

Quadro 46 Conclusões dos alunos na atividade 08 (Potência de base potência)

115

Quadro 47 Conclusões dos alunos na atividade 09 (Expoente zero) 117

Quadro 48 Conclusões dos alunos na atividade 10 ( Quadrado da soma e soma dos quadrados)

120

Quadro 49 Conclusões dos alunos na atividade 11 (Quadrado da diferença)

122

Quadro 50 Amostra das colunas da atividade 11, utilizada no experimento

123

Quadro 51 Conclusões dos alunos na atividade 12 (Produto da soma pela diferença de dois números)

125

Quadro 52 Teste de Hipóteses 128

Quadro 53 Classificação da Correlação 130

Quadro 54 Parametrização dos dados – gosto pela matemática 130

Quadro 55 Correlação entre a diferença das notas nos testes e o gosto pela matemática

131

Quadro 56 Resultado das correlações entre os fatores socioeconômicos e o desempenho no pré- e pós-teste.

132

Quadro 57 Distribuição, por gênero, conforme faixa etária dos alunos 133

Quadro 58 Responsáveis dos alunos 134

Quadro 59 Exercício da atividade remunerada na família dos alunos 135

Quadro 60 Nível de escolaridade dos responsáveis 136

Quadro 61 Tipo de escola que estudaram e cursos realizados pelos allunos

137

Quadro 62 Gosto dos alunos pela matemática e a dificuldade de aprendê-la

138

Quadro 63 Gosto pela matemática e a distração nas aulas de matemática

139

Quadro 64 Tipo de ajuda que o aluno recebeu nas tarefas escolares 141

Quadro 65 Hábito de estudo da matemática fora da escola e o auxílio nas tarefas escolares

141

Quadro 66 Análise do Pré-teste por questão 142

Quadro 67 Tipos de erros dos alunos no pré-teste no cálculo 144

Quadro 68 Desempenho por aluno no pré-teste 145

Quadro 69 Desempenho por aluno no pós-teste 153

Quadro 70 Tipos de erros na introdução da potenciação do Pós-teste 155

Quadro 71 Tipos de erros na potenciação de base zero do Pós-teste 155

Quadro 72 Tipos de erros na potenciação de base um do Pós-teste 156

Quadro 73 Tipos de erros na potenciação de base dez Pós-teste 156

Quadro 74 Tipos de erros na potenciação de expoente um do Pós-teste

157

Quadro 75 Tipos de erros na potenciação de expoente zero do Pós-teste

157

Quadro 76 Tipos de erros no produto de potência do Pós-teste 158

Quadro 77 Tipos de erros na divisão de potência do Pós-teste 158

Quadro 78 Tipos de erros na potenciação de potência do Pós-teste 159

Quadro 79 Tipos de erros na potenciação de produto do Pós-teste 160

Quadro 80 Tipos de erros no quadrado da soma pela diferença de dois números do Pós-teste

161

Quadro 81 Desempenho individual do Pré-teste e do Pós-teste 162

Quadro 82 Resultados de testes de sondagem de aprendizagem de alunos que estudaram a potenciação.

163

LISTA DE GRÁFICOS

Gráfico 1- Gênero dos professors 35 Gráfico 2- Faixa etária dos profissionais pesquisados 36 Gráfico 3- Formação acadêmica dos professors 37 Gráfico 4- Ano de conclusão do curso de graduação dos professores 38 Gráfico 5- Tipo de Instituição de Ensino em que os professores concluíram a

graduação 39

Gráfico 6- Tempo de serviço dos educadores 40 Gráfico 7- Tipo de instituição que os docentes trabalham 41 Gráfico 8- Disciplina sobre potenciação visto durante o curso de

graduação 42

Gráfico 9- Realização de cursos sobre o ensino de potenciação 43 Gráfico 10- Ensina potenciação do mesmo modo que aprendeu 44 Gráfico 11- Métodos utilizados pelos professores para introduzir a

operação potenciação 45

Gráfico 12- Relação do tempo de serviço com a metodologia de ensinar potenciação.

46

Gráfico 13- Recursos usados para fixação do conteúdo de potenciação 47 Gráfico 14- O motivo do não uso do experimento didático pelos

professores 48

Gráfico 15- Aulas utilizadas para ministrar o conteúdo de potenciação. 49 Gráfico 16- O livro adotado nas escolas 50 Gráfico 17- O uso do livro didático adotado pela escola 51 Gráfico 18- Outro material usado para trabalhar em sala de aula 51 Gráfico 19- Conteúdos da potenciação e Grau de dificuldades na

aprendizagem dos alunos 53

Gráfico 20- Alunos que exerce atividades remuneradas 54 Gráfico 22- Tipo de escola que os alunos egressos estudaram 58 Gráfico 23- Dificuldades dos alunos aprender matemática 59 Gráfico 24- Distração dos alunos durante as aulas de matemática 60 Gráfico 25- Quantidade de aluno e os dias habituais que eles estudam

a matematica fora do cotidiano escolar. 61

Gráfico 26- Quem lhe ajuda nas tarefas extraclasse? 63 Gráfico 27- Métodos utilizados pelo docente para introduzir a

potenciação 64

Gráfico 28- Métodos utilizados pelo professor para a fixação da potenciação

65

Gráfico 29- Você lembra de ter estudado este assunto? 67 Gráfico 30- Resultado dos alunos egressos no teste diagnóstico Gráfico 31- Distribuição por gênero conforme a faixa etária dos alunos 133 Gráfico 32- Responsável do aluno, por gênero 134 Gráfico 33- Membro da família que exerce atividade remunerada 135 Gráfico 34- Nível de escolaridade dos responsáveis 136 Gráfico 35- Tipo de escola que estudaram e cursos realizados pelos

alunos 137

Gráfico 36- Gosto dos alunos pela matemática e a dificuldade de 138

aprendê-la Gráfico 37- Gosto pela matemática e a distração nas aulas de

matemática 139

Gráfico 38- Hábito de estudo da matemática fora da escola e o auxílio nas tarefas escolares

141

Gráfico 39- Desempenho por aluno no pré-teste 145 Gráfico 40- Desempenho dos alunos por questão no Pós-teste 154

LISTA DE IMAGENS

Imagem 1- Modelo do triangulo Sierpinski, na geometria Fractal. 24

Imagem Imagem

2- 3-

Resultado do IDEB do locus da pesquisa Dominó usado na atividade de fixação

89

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO 11

2 ANÁLISES PRÉVIAS 17

2.1 UMA REVISÃO DE ESTUDOS SOBRE O ENSINO APRENDIZAGEM 17

2.1.1 Estudos diagnósticos 18

2.1.2 Estudos experimentais 22

2.1.3 Estudos de livros didáticos 28

2.2 ENSINO APRENDIZAGEM DA OPERAÇÃO POTENCIAÇÃO NA VISÃO

DOS PROFESSORES DESTE MUNICÍPIO 35

2.3 CONSULTA AOS EGRESSOS 55

3 CONCEPÇÃO E ANÁLISE A PRIORI 73

3.1.1 Atividade 1 78












4 EXPERIMENTAÇÃO 88

4.1 PRIMEIRO ENCONTRO COM OS ALUNOS 94

4.2 SEGUNDO ENCONTRO COM OS ALUNOS 99

4.3 TERCEIRO ENCONTRO COM OS ALUNOS 107

4.4 QUARTO ENCONTRO COM OS ALUNOS 112

4.5 QUINTO ENCONTRO COM OS ALUNOS 117

4.6 SEXTO ENCONTRO COM OS ALUNOS 124

5 ANÁLISE A POSTERIORI E VALIDAÇÃO 127

5.1 TESTES DE HIPÓTESES

127

5.2 COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO LINEAR DE PEARSON

129

5.3 ANÁLISE A POSTERIORI DO PRIMEIRO ENCONTRO COM OS

ALUNOS

132

5.4 ANÁLISE A POSTERIORI DO SEGUNDO ENCONTRO COM OS

ALUNOS

147

5.5 ANÁLISE A POSTERIORI DO TERCEIRO ENCONTRO COM OS

ALUNOS

148

5.6 ANÁLISE A POSTERIORI DO QUARTO ENCONTRO COM OS

ALUNOS

149

5.7 ANÁLISE A POSTERIORI DO QUINTO ENCONTRO COM OS ALUNOS 150

5.8 ANÁLISE A POSTERIORI DO SEXTO ENCONTRO COM OS ALUNOS 152

6 CONSIDERAÇÕES FINAIS 165

7 REFERÊNCIAS 167

APÊNDICES 170

11

1 INTRODUÇÃO

Ao iniciar este trabalho, procuramos descrever nossa trajetória com os fatos

que acreditamos ter nos trazido até o momento que estamos vivendo atualmente, a

saber, na investigação sobre os processos de ensino e aprendizagem da

matemática e, em particular, sobre a apropriação de conhecimento em relação ao

objeto matemático denominado de Potência.

O interesse pela Matemática parece ter surgido ainda em nossa infância,

no ensino fundamental menor. Lembramos perfeitamente dos momentos que meu

pai tirava para me ensinar: os valores de cada moeda e cédulas, a operação

adição e subtração com dinheiro, “passar troco”, conforme meu pai dizia. Ele me

ensinava pelo fato de ter que acompanhar meu irmão para poder vender e receber

corretamente o valor correspondente aos produtos que vendíamos para ajudar

complementar a renda familiar. Acredito que aqui despertou o interesse pela

matemática e aos 14 anos iniciamos o trabalho no magistério na área rural, por

falta de professores ou pessoas com mais capacidade para ensinar as crianças,

jovens e adultos daquela localidade.

Destacamos aqui que mesmo habitando e desempenhando o papel de

professora no campo continuei a estudar. Sempre gostei muito de estudar, buscar

novos caminhos para superar as dificuldades encontradas. E foi assim que

descobrir que mediar o conhecimento, ajudar ao próximo é muito bom, me sinto

realizada quando me permitem ou eu tenho condições de ajudar os que

necessitam, seja no conhecimento ou não.

Em 1991 terminei o ensino médio, em jacundá, só em 2006 terminei a

licenciatura em matemática na UEPA de Conceição do Araguaia. Ressalto que já

trabalhava no fundamental maior com a disciplina de matemática. Foi ministrando

aulas de conteúdos matemáticos em turmas 6º ao 9º ano que tive condições de

perceber as dificuldades dos alunos em aprender a matemática. A partir deste

contexto busquei uma pos graduação onde posso propor e desenvolver uma

pesquisa. E no nosso caso optamos pela operação potenciação com alunos do 6º

ano.

Nesta Trajetória de estudante e profissional da educação, percebi que a

matemática, assim como todo conhecimento, vem ao longo do tempo passando por

bastante transformações. O fato é absolutamente natural. Enfatizamos que na

12

forma essencial de criar matemática houve profundas mudanças, isto é, os meios

de observação, coleta de dados e de processar esses dados são outros ou

sofreram alteração para ter condições de captar o que realmente propõe a

pesquisa. Longe de querer afirmar que houve relaxamento no rigor cientifico.

Mostra que são outros tempos e o rigor hoje é de outra natureza, D’Ambrosio

(2012, p.13,14).

Por entender que as mudanças, as transformações precisam enveredar para

a construção do conhecimento, apresentamos nosso objeto de estudo que é “O

Ensino de Potenciação por Atividades”, visando avaliar os efeitos de uma

sequência didática no ensino de potenciação por meio de atividades sobre o

desempenho da resolução de questões relacionadas a esta operação.

Historicamente, a complexidade do ensino de matemática teve repercussão

negativa nos resultados das provas oficiais, nos índices de reprovação e,

consequentemente, na vida escolar dos alunos. Com isso, por volta dos anos 1950,

alguns matemáticos e pesquisadores preocupados com os desafios presentes no

ensino desta disciplina articularam uma nova área educacional denominada

Educação Matemática que segundo Pais (2002, p. 10)

[...] é uma grande área de pesquisa educacional, cujo objeto de estudo é a compreensão, interpretação e descrição de fenômenos referentes ao ensino e à aprendizagem da matemática, nos diversos níveis de escolaridade, quer seja em sua dimensão teórica ou prática.

Assim, a educação matemática trouxe em seu bojo algumas tendências que

Pais (2008, p. 9-11) denominou tendências teóricas que valorizavam determinadas

temáticas educacionais voltadas ao ensino de matemática, dentre elas a Didática

da Matemática concebida como área de pesquisa em educação matemática que,

no Brasil, sofreu influências de autores franceses.

O ensino da matemática por meio de atividade é uma metodologia de

ensino que visa trabalhar conteúdos matemáticos, de forma que os discentes

encontrem as leis gerais, ou generalizações mesmo antes do educador fornecer.

Mediante o desenvolvimento das atividades proposta pelo professor, os alunos vão

tirando suas conclusões por meio da redescoberta, ou seja, descobrir ou

redescobrir “princípios e semelhanças nos resultados de atividades matemáticas

desenvolvidas em sala de aula, levando-o a perceber as estratégias matemáticas

evidenciadas na produção desse conhecimento. ” SÁ (2009, p. 23). Desse modo

13

eles constrói seu próprio conhecimento, sendo capaz de emitir opiniões a respeito

do que apreendeu, ou seja, tornam sujeitos ativos e participantes de seu

aprendizado, Sá (2009, p. 15).

Ao analisar a situação da aprendizagem de conteúdos matemáticos hoje,

nós professores necessitamos ir beber em Bicudo (2010, p.23, 24), que enfatiza a

questão da ação/ reflexão/ ação do profissional. E veja o que Sá (2009) traz para

contribuir com a proposta que estamos apresentando:

[...] a prática metodológica do ensino de Matemática por atividade dá oportunidade ao aluno de construir sua aprendizagem, por meio da aquisição conhecimentos e redescoberta de princípios. Esse tipo de abordagem interativa permite ao aluno realizar um grande número de experimentos, interpretá-los para depois discuti-lo em classe com o professor e colegas. (p. 14-15)

A partir da análise de considerações como essas, propomos trabalhar com o

ensino por atividades como alternativa metodológica na resolução de atividades

e/ou questões que envolva a operação potenciação, com o intuito de compreender

se O ensino da operação potenciação utilizando a metodologia do Ensino por

Atividade, favorece o desenvolvimento de competências cognitivas no

processo ensino-aprendizagem dos alunos do Ensino Fundamental? A fim de

mostrar o trajeto que vamos percorrer na tentativa de responder tal questionamento

e atingir o objetivo da pesquisa apresentaremos a nossa metodologia de pesquisa,

e como forma de situar nosso leitor no tempo, destacaremos a década do seu

surgimento.

A Engenharia Didática emerge no contexto da Didática da Matemática, no

início da década de 80, na França, como metodologia de investigação. Então,

autores como Pais (2008, p. 9), Carneiro (2005, p. 87, 88), Alves e Sá (2011, p.

145,146), a denominou como metodologia de pesquisa, sua mentora foi Michelle

Artigue, que a descreve

A engenharia didática, vista como metodologia de investigação, caracteriza-se antes de mais por um esquema experimental baseado em “realizações didáticas” na sala de aula, isto é, na concepção, na realização, na observação e na análise de sequências de ensino (1996, p. 196)

Baseados na observação dos relatos da autora, podemos dizer que trata de

uma pesquisa do tipo experimental, por oferecer ao pesquisador possibilidade de

14

utilizá-la em sala de aula por meio de experimentos, ou seja permite construir,

realizar, observar e analisar as sessões de ensino. Bem como validar por meio de

registro, pois é possível comparar a analise a priori com a posteriori, isto é,

comparamos o conhecimento antes do experimento com o conhecimento adquirido

após o experimento. A escolha dessa metodologia de investigação foi

conveniente, sobretudo, por ela permitir “[...] ser utilizada em pesquisas que

estudam os processos de ensino e aprendizagem de um dado objeto matemático”.

(ALMOULOUD, 2007, p.171, 179).

Nesse contexto, a Engenharia Didática possibilita a articulação entre

conhecimentos didáticos e matemáticos, tornando a prática docente, também uma

prática de investigação. Assim, esta metodologia permite investigar a ação

educativa, articulando os conhecimentos teóricos com a prática, ou seja, é

essencial o conhecimento teórico-científico, mas também é necessário o saber

prático do professor. Pais (2008) a esse respeito salienta que esta metodologia de

pesquisa permite a

[...] sistematização metodológica para a realização da prática da pesquisa, levando em consideração as relações de dependência entre a teoria e a prática. [...] esse é um dos argumentos que valoriza sua escolha na conduta de investigação do fenômeno didático, pois sem articulação entre a pesquisa e a ação pedagógica, cada uma destas dimensões tem seu significado reduzido. (p 99)

Essa metodologia de pesquisa, segundo Alves e Sá (2011, p. 149-159), é

constituída de quatro fases: análises prévias; concepção e análise a priori;

experimentação e análise a posteriori e validação. Durante a explanação de cada

fase, faremos a articulação com as ações que planejamos desenvolver no decorrer

da pesquisa.

As análises prévias, segundo Alves e Sá (2011, p.149,150), são

constituídas no momento em que o investigador acadêmico busca o referencial

teórico para embasar suas categorias de análise e escolhas para a construção da

sequência didática a ser desenvolvida. Pais (2002, p. 99) ressalta que o

pesquisador dependendo da natureza da pesquisa, descreve as principais

dimensões educacionais que caracteriza o fenômeno a ser estudado. Para

Almouloud (2007, p. 171) essa fase visa levantar as principais dificuldades do

ensino e aprendizagem do objeto em estudo, e de maneira fundamentada projetar

suas questões de hipóteses, fundamentos teóricos metodológicos da pesquisa.

15

Em nossa pesquisa, nesta etapa de investigação, realizamos uma busca

com o intuito de encontrar estudos já desenvolvido acerca do ensino e

aprendizagem da operação potenciação; elaboramos e aplicamos questionário aos

professores, que ministram a disciplina de matemática, para sabermos qual a

opinião deles sobre ensino e aprendizagem deste assunto e questionários e

testes aos alunos egressos, com o objetivo de identificar suas concepções,

dificuldades e obstáculos sobre este conteúdo da matemática, no município de

Nova Ipuxina.

A concepção e análise a priori, diz respeito à elaboração e análise de uma

sequência de ensino, ou seja, nesta fase ocorre a produção do material que será

necessário para o trabalho pedagógico, baseado nas análises prévias e nas

habilidades que o investigador planejou para serem alcançada pelos sujeitos da

pesquisa, durante o desenvolvimento da sequência de ensino.

Embasados na fase anterior, elaboramos uma sequência de atividades com

o objetivo fornecer condições aos sujeitos da pesquisa de interpretarem e

resolverem as atividades propostas, usando uma linguagem clara e propicia para

que estas atividades sejam de fato compreendidas e executadas por eles. Na

seleção das atividades, pretendemos priorizar àquelas que venham dar condições

para os alunos identificarem como resolve a operação potenciação e suas

propriedades, acoplado ou não, a outro conteúdo matemático. Pontuamos que a

predominância das nossas atividades, é elaborada de acordo com o Ensino da

Matemática por Atividade, por ser, nossa metodologia de ensino.

A fase da experimentação é a fase que vamos desenvolver em sala de aula

todas as atividades que compõe a sequência didática que foi analisada e

preparada a priori. Pais (2008), denomina essas aulas como sessões, e nós a

chamaremos de encontros, por apresentar um caráter específico para a pesquisa

e não ser aulas comuns, referindo ao cotidiano de professor e aluno em sala de

aula. Por isso, ele enfatiza,

[...] é preciso estar atento ao maior número possível de informações que podem contribuir no desvelamento do fenômeno investigado. Além disso, é preciso defender o princípio de que as circunstâncias reais da experiência sejam claramente descritas no relatório final da pesquisa. (p. 102)

16

A fim de coletar o maior número de registro em quantidade e diversidade,

Alves e Sá (2011, p.157), sugerem uma equipe ou que o pesquisador tenha

alguém para fazer o papel de observador. Ressaltam as dificuldades e às vezes a

inviabilidade do investigador fazer os dois papéis ao mesmo tempo - o de professor

e observador da experimentação. A articulação desta fase com a pesquisa, dar-se-

á in lócus. Inicialmente aplicaremos um pré-teste com questões envolvendo a

operação de potenciação e suas propriedades, em seguida de acordo o planejado

para cada atividade, trabalharemos com as atividades da sequência didática

sempre atento aos objetivos de cada atividade especifica. E por fim, o pós-teste

com as mesmas questões do pré-teste, com o objetivo de averiguar se houve a

obtenção ou não do aprendizado pelos alunos em nossa sequência de ensino.

Nesta fase nossos instrumentos de coleta de dados serão, além dos testes,

o diário de campo, onde registraremos informações obtidas no decorrer da

investigação e que não estarão presentes nos testes, como as inquietações dos

alunos, suas dificuldades, descobertas, entre outras.

A fase da análise a posteriori e a validação, é composta de dois

momentos. O primeiro refere-se às análises dos resultados obtidos na

experimentação. Conforme Artigue (1996, p. 208), esta fase é apoiada no conjunto

de dados que recolhemos durante a fase da experimentação, que são: as

observações realizadas e registradas no diário de campo no decorrer dos

encontros de ensino e nas produções dos discentes dentro e fora da sala de aula.

Enfim faremos o que Sá e Alves (2011), propõe:

É o momento em que os resultados/informações produzido no relatório da

experimentação serão confrontados com o previsto e descrito na etapa da

análise a priori com a intenção de obter argumentos que justifiquem e

expliquem o desenvolvimento do experimento, e apontem uma posição

favorável ou desfavorável ao ocorrido. (p. 158)

Logo percebemos, que no segundo momento, que é a validação, serão

confirmadas ou refutadas as hipóteses levantadas na fase da concepção e análise

a priori. A validação da pesquisa será fundada nos dados reunidos durante a

experimentação, isto é, nos registros do diário de campo, relatório do observador;

nas produções dos alunos durante a realização das atividades e nos resultados

17

dos testes, o que culminará em uma análise de dados quantitativa e qualitativa.

Portanto, esse texto busca apresentar uma proposta de pesquisa, com os

resultados das análises prévias e uma proposta da sequência didática elaborada

na fase de concepção e análise a priori, com intuito de ser desenvolvida na etapa

de experimentação de nossa investigação.

2 ANÁLISES PRÉVIAS

Esta seção tem a finalidade de apresentar a revisão de estudos sobre o

processo e de aprendizagem da operação potenciação; resultados de uma

pesquisa de campo sobre as experiências nos processos de ensino e de de

aprendizagem da operação potenciação de professores de matemática e alunos do

7º ano. Estes elementos constituem a primeira fase da Engenharia Didática, as

Análises Prévias.

2.1 REVISÃO DE ESTUDOS SOBRE O ENSINO DE POTENCIAÇÃO

Esta subseção tem como objetivo apresentar os resultados de um

levantamento bibliográfico sobre os estudos realizados referente aos processos

de ensino e de aprendizagem da operação potenciação, afim de organizar o

conhecimento cientifico já desenvolvido sobre essa operação; neste sentido

selecionamos dez trabalhos referente ao processo de ensino e de aprendizagem

da operação de potenciação, do ensino fundamental e médio, sendo: quatro

dissertações, dois trabalhos de conclusão de curso e quatro artigos; publicados

entre os anos de 2000 e 2014 em língua espanhola e portuguesa; os quais foram

classificados em três principais categorias de estudo: Diagnósticos,

experimentais e livro didático.

A categoria dos estudos diagnósticos foi composta por estudos que

realizaram diagnósticos sobre o ensino de potenciação. A categoria dos estudos

experimentais foi composta pelos estudos que realizaram experimentos didáticos

sobre o ensino de potenciação. A categoria dos estudos dos livros didáticos

compõe-se dos trabalhos que realizaram análise dos conceitos de potenciação nos

livros didáticos.

18

2.1.1 Estudos diagnósticos

Aqui serão apresentadas as pesquisas bibliográficas em que se sobressaem

os elementos definidores da categoria estudos diagnósticos; assim, em Feltes

(2007, p. 15-19) encontramos os resultados de uma pesquisa que teve como

objetivo analisar e classificar os erros cometidos por alunos dos 8º e 9º anos do

ensino fundamental e 1º ano do ensino médio durante a resolução de questões

relacionadas com os conteúdos de potenciação, radiciação e equação exponencial.

A princípio, Feltes (2007, p. 24) categorizou os erros dos educandos em 47

tipos, posteriormente agrupou-os em 17 classes, usando as letras do alfabeto para

identificà-las. Entretanto nos deteremos apenas nas classes A B, D, E, I, L, e M,

por apresentar erros relacionados a potenciação, como mostra o quadro a seguir:

Quadro 1– Erros cometidos pelos alunos na resolução das questões com potenciação

Classe

de erros

Definição das

Classes

Tipos de erros

Erros na 7ª e 8ª serie

(%)

Erros no 1° ano do Ens. Médio

(%)

A Erro que envolve Operações erradas sobre as bases

02: multiplica (ou divide) as bases das potências e eleva à soma dos expoentes; 05: multiplica (ou divide) as bases das potências e eleva ao produto (ou quociente) dos expoentes; 11: soma as bases das potências e eleva à soma dos expoentes; 23: soma as bases das potências; 24: eleva a base da potência à soma dos expoentes; 27: eleva a primeira base à soma dos expoentes; 28: eleva o primeiro fator de um produto à soma dos expoentes e o segundo, ao segundo expoente; 40: divide as bases das potências e eleva ao produto dos expoentes menos 1; 41: divide as bases das potências e eleva ao produto dos expoentes; 42: divide as bases das potências e conserva os expoentes;

60 (6%)

5 ( 3%)

B Erro que aluno confunde a própria definição

01: multiplica a base da potência pelo expoente; 19: considera que elevar um inteiro “a” a uma

19

de potenciação potência n ou extrair a raiz n-ésima de“a” é fazer n.a; 29: divide a base da potência pelo expoente ou o expoente pela base; 39: troca a ordem de prioridade das operações (primeiro multiplica, depois eleva a um expoente); 48: multiplica os expoentes das potencias

55 (5%)

19(10%)

D Erro que envolve operações

9: troca operações (por exemplo, potenciação pela multiplicação

41 (4%)

-

E Erro que envolve a desconsideração do expoente ou o não entendimento do expoente negativo

13: considera que (-a)2= - a2; 21: desconsidera o expoente ou desconhece a definição de potenciação ou radiciação ou suas propriedades; 22: considera que elevar a –1 é multiplicar por –1;

134 (13%)

55 ( 29%)

I Erros relacionados com os expoentes das potências

8: eleva a base da potência e o primeiro expoente ao segundo, considerando este resultado como base para elevar ao segundo expoente; 12: eleva a base da potência ao segundo expoente; 18: considera que apenas um dos fatores de um produto deve ser elevado ao expoente; 26: considera que somente a segunda base deve ser elevada ao expoente, como se tivesse tirado os parênteses;

25 (2%)

-

L Erros que evidencia dificuldades com potenciação de frações

16: multiplica o denominador da fração pelo expoente da potência e soma com o numerador, numa espécie de falsa generalização da redução de uma fração mista para ordinária;

25: eleva o denominador da fração ao expoente e passa para o numerador;

11 (1%)

-

M Erro específico, pois o aluno parece conhecer apenas a potência com expoente 2

10: considera que qualquer potência tem expoente 2;

16 ( 2%)

-

Fonte: Feltes (2007, p. 43-50).

A autora enfatiza que os erros mais frequentes dos alunos do 8° e 9º ano do

ensino fundamental e do 1º ano do ensino médio em relação a potenciação estão

localizados na classe. E, onde eles desconsideram o expoente, ou não entendem

como resolver as questões que apresentam o expoente negativo. Afirma ainda que

os educandos apesar de compreender um pouco sobre definições das operações

20

potenciação e radiciação, entretanto não tinham o domínio das propriedades,

principalmente as com duas ou mais operações.

Feltes (2007, p. 61-72) também ouviu a opinião dos professores em relação

aos erros cometidos pelos discentes. Na questão que envolvia o produto de

potência, os docentes responderam que houve falta de concentração e atenção; e

um outro professor disse que é grave tal situação, e que o aluno desconhece o

conteúdo. E em outras questões que envolvia potência de produto, os professores

reafirmaram a fala anterior e acrescentaram que os alunos erraram por que não

compreenderam o enunciado da questão. E quando foi apresentado erros nesse

tipo de questão: (3²)³ e 2³. 2² ressaltaram que faltou atenção e atividades de

fixação, além da falta de base para estes alunos nas séries anteriores, e

despreparo dos alunos. Houve docente com a afirmação de que o aluno não havia

entendido o conceito de potenciação.

A autora finaliza dizendo que é necessário assim que sejam encontrados

os erros, os mediadores do conhecimento devem analisá-los e a partir desse

pressuposto, construir novos caminhos para superar a situação.

Paias (2009, p. 12) desenvolveu um estudo com a finalidade de analisar

mediante instrumento diagnóstico as respostas de questões/atividades referente à

operação potenciação, com alunos da 8ª/9ºano do ensino Fundamental e 1ª série /

1º ano do Ensino Médio de uma escola pública da rede estadual de São Paulo.

Na análise, Paias (2009, p.134) relata que uma quantidade significativa em

relação aos sujeitos pesquisados confundira a base com o expoente, usaram

indevidamente a definição de potenciação, pois utilizaram a operação multiplicação

ao invés da operação potenciação. Enfatiza-se ainda que Sierra (2000, p.77-79) e

Feltes (2007, p.43,53), também constataram em suas pesquisas, os mesmos erros

que esta autora apontou em sua dissertação.

E referente à operação potenciação que apresenta o expoente negativo, a

autora constatou que não houve nenhuma resposta correta, relata que os

educandos desconheciam a técnica que trata do expoente negativo. Alguns

deixaram em branco, outros não consideraram a definição ou tem dificuldades na

assimilação das regras de sinais relacionado à potenciação. A pesquisadora diz

ainda que:

21

Quando não existe o sinal negativo envolvido, verificamos que acontece um acerto maior por parte do aluno. Para [...] (a) 6² temos 54 acertos, (b) (-6) ², 36 acertos e para -6², 19 acertos. O outro aspecto que registramos nesse momento foi o cálculo de potência com uso de parênteses. Percebemos que ao longo das respostas confunde-se bastante com esses sinais. (PAIAS 2009, p. 133)

Paias (2009, p.74, 106 e 107) salientou ainda, que nas questões que

apresentava o zero tanto na base como no expoente, alguns alunos usaram

convenção inexistente, outros efetuaram o produto, e outros independentemente

de onde estava o zero, seja na base ou no expoente, consideraram como

representação do nada. Lopes (2012 p.19, 20) ao analisar esta mesma

dissertação, interpretou da seguinte maneira: “ alunos afirmam que qualquer

número elevado a zero é ele mesmo, outros que qualquer número elevado a zero é

zero, pois considera o zero como “nada”. E quanto ao expoente um (1), ocorreu

erros semelhantes ao do expoente zero, entretanto os alunos não conseguem

justificar suas respostas, então recorrem várias vezes, a multiplicação entre

expoente e base e vice-versa.

Notamos que tanto a pesquisa de Feltes (2007, p.43,53), como a de Paias

(2009, p.134) e Sierra (2000, p.77-79), apresentam os resultados enfatizando o uso

indevido da definição da operação de potenciação, considerando que a maioria dos

alunos multiplicam a base pelo expoente e vice-versa. Este trabalho vem reforçar a

ideia e complementar os estudos já existente, como: Sá (2009), que revelam o

desinteresse e a falta de aprendizagem por parte dos educandos no ensino

tradicional da matemática.

Rodrigues, Vitelli e Vogado (2013, p.01-12), realizaram seu estudo com uma

turma de 30 alunos de uma turma de 7º ano de uma escola pública da periferia de

Belém, visavam investigar os erros cometidos pelos alunos na resolução de

questões de potenciação. Elas relatam a importância da avaliação não apenas

para apontar acertos e erros, mas que ao diagnosticar o erro corrobora com o

docente naquilo que deve refletir e investigar para solucionar as dificuldades

encontrada em cada estudante.

Em relação aos resultados obtidos sobre esta pesquisa, houve alguns

pontos em comum com Feltes (2000, p.40-72 ) e Paias (2009, p.74, 106, 107), que

também apontaram erros do tipo: erros relacionados à definição de potenciação,

em propriedades desta operação, em operações com números inteiros e

22

fracionários, e erros em propriedades considerada pelas autoras “convenções

matemáticas” (potências de expoente 0 ou 1).

Assim como no estudo de Paias (2009), as pesquisadoras comprovaram que

os alunos apresentam um maior índice de erros em questões que trazem a base

e/ou expoentes negativos, bem como potência de expoente zero. Entretanto este

estudo traz um quadro e questões mostrando o erro dos educandos que até então

não havia encontrado nas pesquisas com esse tema. Elas relatam “um fato

interessante que o conteúdo que apresenta ser maior obstáculo não é sequer a

parte de potenciação (nosso objeto de estudo), mas operações com frações, em

especial a divisão”.

As autoras encerram enfatizando que ao trabalhar com análise de erros o

educador/mediador, necessita mostrar aos seus alunos que errar não é algo tão

ruim, pois permite tirar as dúvidas, melhorar o conhecimento. O que não pode, é

errar e não buscar ajuda para entender o assunto. Se o professor reforça que o

erro é algo ruim, não ajuda em nada na construção do conhecimento, pois os

alunos passarão a ter aversão aos conteúdos ministrado, principalmente os da

matemática que já foi rotulado como algo difícil, ruim, às vezes, pela família, os

colegas e alguns professores. Daí surge a pergunta, porque gostar de algo que a

maioria detesta ou considera difícil?

2.1.2 Estudos experimentais

Apresentamos a seguir os pontos dos trabalhos de Melo (2008), Santos e

Silva (2010), Lopes (2012) e Santos e Rodrigues (2014) que caracteriza o que

denominamos de estudos experimentais.

Melo (2008, p.39-41), desenvolveu sua pesquisa em uma turma de 20

alunos do 2º ano do Ensino Médio que se encontra numa escola que atende um

público de baixo nível socioeconômico, e que tem sua renda advinda do trabalho

rural. Com o objetivo de analisar durante o desenvolvimento das atividades os

procedimentos metodológicos, o cálculo exato e aproximado de potência. Além de

observar as regularidades, estimar, e verificar resultados de operações numéricas,

foi elaborado e aplicado quatro atividades com auxílio da calculadora.

Melo (2008) estruturou sua pesquisa em quatro atividades, a saber: a) 1ª

atividade, foi elaborada com a finalidade de verificar se o educando retomaria aos

23

conceitos de potência de expoente 2 e raiz quadrada, b) a 2ª atividade, visava que

o discente utilizasse os conceitos de raiz cúbica e de potência de expoente 3,

auxiliada pela calculadora, e conseguisse elaborar as relações pertinentes entre

essas duas operações; c) a 3ª atividade, tinha como objetivo trabalhar potência e

raízes com índice maior que 3. No entanto, o aluno é que escolhia o índice que

gostaria de trabalhar e d) a 4ª atividade visava verificar se o discente por meio da

observação conseguia fazer as relações de igualdade e desigualdades entre a

adição de raiz e raiz da soma, subtração das raízes e raízes da diferença,

multiplicação de raízes e produto de raízes, e divisão de raízes e raiz do quociente.

Em relação a 1ª atividade o autor constatou que os erros cometidos estão

relacionados com a carência existente referente a linguagem matemática, bem

como as dificuldades de transcrever as discussões e as conclusões para o papel.

Estes são os “[...] obstáculos que se interpõe entre o sujeito e sua escrita, as

razões do pânico da folha em branco [...] ” (BIANCHETTI e MACHADO,2012, p.

60). Porém o autor esclarece que trabalhou na estimulação deles para que

pudessem refletir e analisar suas questões.

Em relação a 2ª atividade Melo (2008, p. 46-49) relata que os alunos tiveram

dificuldades em perceber que o número negativo possui uma raiz cúbica. Relata

ainda que este erro pode estar relacionado com a 1ª atividade. Pois acredita que

os alunos traçaram um paralelo entre as duas atividades e por isso não tentaram

elaborar, nem sequer testaram na calculadora a existência dessa raiz.

E quanto a 3ª atividade Melo (2008) verifica que houve uma certa melhora

do conhecimento, pois o rendimento dos alunos durante as atividades avançou e

diminuiu a quantidade de erros cometidos. Com isso ela conclui que o discente

necessita de mais tempo para se adaptar as aulas investigativas.

Segundo Melo (2008, p. 52-56), na 4ª e última atividade, os alunos tiveram

pouca dificuldade no seu desenvolvimento, visto que 70% dos alunos

conseguiram concluir as semelhanças e diferenças entre as operações com

radical, isto é, semelhanças entre multiplicação e divisão e as diferenças entre

adição e subtração ambas com raiz quadrada.

O autor relatou a fragilidade dos conceitos das operações potenciação e

radiciação. Aponta a falta de consistência na aprendizagem dos referidos conceitos

no ensino fundamental, visto que os educandos não conseguiram expressar tais

24

conhecimentos pela oralidade ou por escrito no início das atividades desenvolvidas

em sala de aula. Essa fragilidade ficou bastante explicita, quando houve

necessidade de perceber a operação inversa entre a potenciação e a radiciação, o

que facilitaria os cálculos possibilitando-lhes encontrar a resposta. No entanto ao

final da experimentação, baseada nos resultados obtidos verificou-se o avanço no

conhecimento sobre as operações inversas entre potenciação e raiz. Além da

familiaridade com uma ferramenta tecnológica, a calculadora.

Outra contribuição sobre este assunto podemos encontrar em Santos e Silva

(2010), que elaboraram um estudo a partir de um experimento sobre a Geometria

Fractal, com o objetivo de ensinar o conceito de potenciação em uma turma do

ProJovem Urbano. Os autores conceituam, apresentam os objetivos, fornecem

alguns detalhes sobre a geometria fractal, e explicam baseado nos PCNs e nas

tendências da educação matemática, que todo conteúdo matemático é iniciado

com uma situação problema. Uma vez que este permite o aluno expandir seus

conhecimentos referente a conceitos e procedimentos matemáticos. Além de

ampliar sua visão relacionada a conteúdos matemáticos investigado e de mundo

em geral.

Os autores relatam que existem duas categorias de fractais: os geométricos

padronizados e os aleatórios. No entanto se detiveram apenas na primeira

categoria. E usou dentro dessa categoria o exemplo do triângulo de Sierpinski, e

uma das formas de obter esse triângulo é começar com um triângulo equilátero em

um plano. Então forneceram as regras para ir obtendo outros triângulos

semelhantes para dar a ideia de fractal que “só obtido, quando o processo de

algoritmização é repetido infinitas vezes, mas à medida que o número aumenta, a

imagem tende a se tornar cada vez mais parecida com fractal” (SANTOS e SILVA,

2010, p. 4). Entretanto, utilizou-se no experimento o triângulo equilátero para

adquirir novos triângulos, mas utilizando várias vezes a divisão do triângulo maior

em triângulos equiláteros menores e após a divisão retirar o triângulo do meio e

assim sucessivamente. Com intuito dos alunos associarem a ideia de potência com

a quantidade de triângulos que ia obtendo cada vez que fazia a divisão. A

justificativa da pequena mudança na maneira de encontrar novos triângulos, se deu

por causa do livro didático trabalhado, que apresentava a geometria fractal, como

mostra a figura a seguir:

25

Imagem 1: modelo do triângulo Sierpinski, na Geometria Fractal.

Fonte: (SANTOS e SILVA, 2010, p. 8).

Nos seus relatos Santos e Silva (2010), apresentam essa técnica para

trabalhar potenciação, ao notar a dificuldade dos alunos em aprender esse

conteúdo. Eles ressaltam vários erros dos alunos que Feltes (2007) e Paias (2009),

também constataram em suas pesquisas. Na tentativa de solucionar o problema,

os autores em seu experimento, levaram os alunos a olhar, analisar um desenho

semelhante ao apresentado anteriormente no texto. Daí solicitaram que eles

construíssem um triângulo equilátero, e depois dividissem gerando outros

triângulos menores e ir explicando o que ia ocorrendo toda vez que dividia os

triângulos obtidos e sempre retirando o triangulo do meio. Eles conseguiram

explicar que na primeira fase tinham apenas 1 triangulo, na fase 2 ao retirar o

triângulo do centro ficaram 3 triângulos, na fase 3 com o mesmo procedimento

adquiriram 9 triângulos e na fase 4 obtiveram 27 triângulos e que todos eram

equiláteros conforme a explicação dos orientadores de sala de aula.

Segundo Santos e Silva (2010), ao responder uma tabela com atividades de

potenciação do livro, eles perceberam que o 30 = 1, e que 3¹ = 3, e 3² = 9, e assim

sucessivamente iam encontrando a resposta e sempre comparando a geometria

fractal dos triângulos equiláteros, que é o triangulo de Sierpinski. Segundo estes

autores depois desse entendimento apresenta-se a definições e conceitos deste

assunto. Enfatizam ainda baseados nas palavras de D’Ambrosio (1996), que o

educador precisa utilizar o erro ou a dificuldade do educando de apreender

determinado assunto da matemática para aprimorar suas técnicas de ensino e

jamais usar como instrumento reprovador, pois tal ação inibe o aluno e não permite

ocorrer a construção do conhecimento teórico e prático. O papel do educador não é

selecionar, reprovar, filtrar ou aprovar aluno para alguma coisa.

26

Lopes (2012), realizou uma pesquisa experimental em uma turma de 27

alunos do 4º ano do Ensino Fundamental, de uma escola pública de Belém. Com o

objetivo de investigar a potencialidade do ensino da potenciação e suas

propriedades operatórias por meio de atividades de redescoberta com auxílio da

calculadora. A pesquisadora utilizou como metodologia de ensino, “O Ensino de

Matemática por Atividades”, baseada nos escritos de Sá (2009). O quadro 2 que

mostra boa parte das atividades desenvolvidas em sala de aula, com suas

respectivas conclusões e o resultado do pre teste e dos pós-teste. Enfatiza-se

ainda que essas atividades sejam frutos do trabalho de Sá (2009, p.32-39).

Quadro 2 - Atividades desenvolvidas em sala de aula e resultado do pre teste e pós teste Títulos e exemplos

Objetivos

Resultado do pré teste em % em acertos

Resultado dos pós teste em % Em acertos

Conclusão da autora

Potenciação de base e expoente qualquer

Ex: 3²; 5³;

Introduzir o conceito potenciação

0%

73,7%

Demonstraram ter entendido os

conceitos, mas tiveram dificuldade

de expor por escrito suas ideias.

Potenciação de base 1

Ex:1²;1³;

15;

Descobrir uma relação entre as potenciações e a base 1

0%

81,6%

Os seis grupos responderam com

facilidade com a ajuda da

calculadora, apenas a conclusão

não conseguir expressar suas

ideias de forma escrita.

Potenciação de base zero

Ex:

0²;05;06;

Descobrir uma relação entre as potenciações e a base zero

0%

85,5%

Todos os grupos escreveram o

resultado e na conclusão

escreveram todos a mesma

resposta, provavelmente os alunos

compartilharam a conclusão.

Potenciação de expoente 1:

Ex: 0¹;1¹;

6¹; 1000¹

Descobrir uma relação entre as potenciações e o expoente 1

0%

90,8%

Todos os grupos escreveram o

resultado de forma diferente e na

conclusão escreveram todos a

mesma resposta, provavelmente os

alunos compartilharam a

conclusão.

Potenciação de base 10:

Ex:10²;10³;

Descobrir uma maneira pratica de calcular potenciações de base 10

0%

97,4%

Devido esgotamento do tempo. A

conclusão foi mediada pela

pesquisadora, logo todos fizeram a

27

105

mesma coisa.

Produto de potências:

2².2³; 63. 65;

Descobrir uma maneira pratica de calcular o produto de potências de mesma base

0%

47,4%

Os seis grupos produziram textos

de conclusão diversificados e bem

melhor que antes.

Potência de potência:

(24)²; (3³)²;

(8¹ )5

Descobrir uma maneira de calcular potência de potencia

0%

63,2%


de conclusão diversificados e bem

melhor que antes. Tentaram

explicar o método da resolução.

Mas não atentaram para o objetivo

Divisão de potencias:

;

Descobrir uma maneira pratica de calcular a divisão de potencias

0%

68,4%


de conclusão diversificados e

alguns grupos se destacaram por

escrever a regra exatamente como

é.

Potenciação de expoente zero:

10; 60;

100; 5000

Descobrir uma relação entre potenciação e o expoente zero

0%

84,2%

Nessa questão a pesquisadora

teve que detalhar, explicando que

resolve fazendo o processo da

divisão de mesma base. E

analisando o resultado final eles

entenderam o processo.

O quadrado da soma:

Descobrir uma relação do quadrado da soma e a soma dos quadrados

0%

84,2%

Mediante as conclusões dos

grupos pode se afirmar que eles

entenderam o produto notável

trabalhado de maneira bem

simples. Perceberam que há

diferença entre o quadrado da

soma e soma do quadrado.

O quadrado da diferença

Descobrir uma relação entre o quadrado da diferença e a diferença do quadrado

0%

94,7%

Mediante as conclusões dos

grupos pode se afirmar que eles

entenderam o produto notável.

Não formularam tão bem a

conclusão, mas perceberam que há

diferença entre o quadrado da

diferença e diferença do quadrado.

Fonte: Lopes (2012)

28

Santos e Rodrigues (2014, p. 70-74), fizeram uma análise de estudo,

produto de uma aula experimental realizada no IFSP Campos Birigui, como

requisito curricular da disciplina Prática de Ensino da Matemática da Graduação de

Licenciatura, no qual a experiência foi realizada com uma turma de 1º ano do

ensino Medio. Os autores construíram juntamente com a turma a letra de uma

paródia que teve seu teor, palavras representando, as regras, a definição da

operação de potenciação e de suas propriedades. Após a composição cantaram e

tocaram com os instrumentos musicais que os alunos trouxeram para esta aula.

Conforme, Santos e Rodrigues (2014), a experiência rendeu um resultado

positivo, pois ao desenvolver as outras atividades e aplicar o teste de sondagem

sobre a operação de potenciação, obtiveram respostas satisfatória aos objetivos

propostos antes do desempenho do experimento, ou seja, houve um avanço na

aprendizagem medido a partir da sondagem. Eles relatam a animação, a euforia

dos educandos em produzir e cantar a música acompanhada com instrumentos

musicais. Isto levou a acreditar que quando desempenhamos alguma ação com

prazer, apreendemos com mais facilidade.

2.1.3 Análise Didática dos livros

Na categoria dos estudos dos livros didáticos estão os estudos que

apresentam sequências didáticas voltadas para o processo de ensino e de

aprendizagem dos alunos, com destaque para os estudados de Sierra (2000),

Richartz (2005), Paias (2009)

Na pesquisa de Sierra (2000), realizada no México, visava analisar,

epistemologicamente e didaticamente, o ensino de potenciação para os alunos de

vários níveis escolares. O autor relata que os fenômenos considerados por esta

investigação estão relacionados aos argumentos dos alunos e, é consequência das

concepções presentes, tanto nos professores como nos livros didáticos. Ele aborda

que, o conteúdo da operação de potenciação, assim como no Brasil é vista pela

primeira vez pelos alunos, no 6º ano de Ensino Fundamental. Entretanto quase

sempre este conteúdo é introduzido de maneira tradicional, isto é, em um processo

de algoritmização. Isto justifica os argumentos dos educandos, ao questionarem

que não conseguem aprender este conteúdo. O Autor como forma de ratificar seu

relato apresenta exemplos de livros didáticos do tipo: potenciação é multiplicação

29

de fatores iguais, isto é, an significa multiplicar n vezes o número a, sendo

reforçado apenas a ideia de aritmetização.

Segundo Sierra (2000), nas séries subsequentes, o conceito de potenciação

é ampliado para o contexto algébrico. A exemplo temos: a0 = 1, para a ≠ 0. A

referida definição é utilizada por meio de várias atividades resolvidas em sala de

aula. Para o autor, há dificuldade tanto para quem ensina como para quem

aprende, uma vez que o processo de ensino e de aprendizagem não ocorre, pois

os alunos não apreende o assunto, o que desencadeou os vários tipos de erros

que Sierra (2000) classifica da seguinte maneira:

O uso continuo de operações elementares: resultados encontrados por meio

da multiplicação entre a base e o expoente e vice e versa. Com o objetivo de

obter o valor da expressão

o tipo: 2x, os alunos fazem 24 = 8, considerando que 2.4 = 8.

O zero (0) como representação do nada. A exemplo tem-se: 20 = 2, pois

consideram o expoente zero como nada, logo, temos apenas a base 2. Ou,

Resposta baseada na definição obscura que tiveram, tipo: 20 = 0,

considerando que a multiplicação é 2.0 = 0.

Deslizamento de memória: elaboram respostas equivocadamente,

baseando-se em convenções matemáticas relativa a expoentes negativos,

isto é, em regras e leis que são convencionadas por eles ou por docentes. A

exemplo temos: 2-3 = 0,002.

Em síntese o autor chama a atenção para as convenções matemáticas pré-

estabelecidas, que os alunos têm a obrigação de aceitar e usar sem questionar, ou

seja, são regras e não há o que discutir. Situações como essa, conduzem ao erro.

Pois não houve aprendizado ao desprezar a compreensão. Ocorreu apenas a

memorização da definição de potenciação em consequência da repetição.

Richartz (2005, p.9-24), ressalta que sua pesquisa é voltada para o

conteúdo de potenciação que se encontra nos livros didáticos da 5ª serie/ 6º ano e

6ª série / 7º ano do Ensino Fundamental. Bem como trazer elementos da história

da Potenciação, com o intuito de proporcionar aos leitores abordagens sobre a

30

evolução do conceito e da notação que é usada na atualidade. Como a

preocupação com o processo de ensino e de aprendizagem é algo que traz

inquietação ela propôs também trabalhar a experimentação com a potenciação em

sala de aula. Entretanto neste momento nos deteremos apenas na análise do livro

didático. Com o objetivo de verificar como a potenciação se apresenta nos livros de

matemática do 6º e 7º ano usado pela escola onde a autora também analisou o

planejamento anual. Ela deteve sua análise em duas coleções. “A conquista da

matemática: a + nova” e a do autor Luiz Roberto Dantes, por ser ele um

pesquisador da educação matemática. Veremos a analise com termos comparativo

feita pela a autora no quadro a seguir

Quadro 3: A análise comparativo dos livros didáticos do 6º ano

Autor e obra Autor e obra

A conquista da matemática: a + nova

Benedito Castrucci, José Rui Giovanni e José Rui Giovanni jr.

Tudo é matemática

Luiz Roberto Dante

Trabalha somente com potenciação de números

naturais e decimais

Trabalha somente com potência de números

naturais em sua abordagem

Define potência como representação do produto

de fatores iguais

Apresenta a potência como uma nova operação

Trabalha os termos da potenciação Trabalha os termos da potenciação

Trabalham a potenciação usando figuras

geométricas, dar uma importância especial para

as potencias de expoente: 0,1, 2 e 3, e potência

de base 10, resgatando seu uso em notação

cientifica.

Trabalham a potenciação usando figuras

geométricas, dar uma importância especial para

as potencias de expoente: 2 e 3, e potência de

base 10, resgatando seu uso em notação

cientifica.

Fonte: Richartz (2005, p. 25-35;48-57)

Quadro 3 - A análise comparativo dos livros didáticos do 6º ano

31

No quadro 3 observa-se que não há muita diferença entre os livros do 6º ano

apresentado. Em relação as atividades apresentadas, ambos trazem bastante

cálculo.

Quadro 4: A análise comparativo dos livros didáticos do 7º ano

OBRA E AUTOR OBRA E AUTOR

A conquista da matemática: a + nova

Benedito Castrucci, José Rui Giovanni e José Rui Giovanni jr.

Tudo é matemática

Luiz Roberto Dante

Apresenta definição de potência e retorna ao conteúdo da série anterior.

Não define potenciação, não relembra o conteúdo da série anterior,

Apresenta a potência de números inteiros e racionais.

Apresenta a potência de números inteiros e racionais.

Trabalha potência de expoente inteiro negativo. Trabalha potência de expoente inteiro positivo

Define as propriedades da potenciação, o uso de sinais para as potencias de base inteira negativa. Além de definir potência de expoente inteiro negativo.

Não apresenta nenhuma definição. Traz uma situação-problema, para o aluno relacionar com que já viu na série anterior e tirar suas próprias conclusões. E em seu texto não apresenta nada relacionado as propriedades da potenciação.

Fonte: Richartz (2005, p. 36-47; 58-60) Ao observar o quadro acima, notamos por meio das abordagens da

autora que o livro A conquista da matemática a + nova, apresenta mais detalhes e

busca relembrar parte do conteúdo dos anos anteriores aos alunos, uma espécie

de resgate da memória; bem como explorar um pouco mais outros conteúdos da

matemática juntamente com o de potenciação, mas o ponto negativo apontado é o

fato de que já parte da definição. Enquanto que o livro Tudo é Matemática do

autor Luiz Roberto Dantes, um pesquisador da área de Educação Matemática,

parte de uma situação problema, isto é considerado bom para o ensino da

matemática, conduz o aluno a reflexão. Entretanto como o livro didático ainda é a

principal ferramenta didática dos professores, vejo a necessidade de apresentar no

teor do conteúdo, uma diversidade maior de informações e atividades variadas.

Visto que nem todos os professores de matemática (do grupo pesquisado)

da minha pesquisa possui formação em matemática, e um outro fator, é que

32

mesmo sendo da área, nem todos trabalham a situação problema com segurança,

ou seja, não tem domínio do conteúdo e da situação. A análise comparativa

apresentada nos parágrafos anteriores sucita-me algumas indagações como: Por

que os livros didáticos de matemática são tão heterogêneos, ora carregando mais

na teoria, e ora mais na diversificação de exemplos e atividades? Por que um livro

didático elaborado por um pesquisador da área de Educação Matemática não

enfatiza, de forma explicita, uma conexão entre o objeto matemático de ensino no

momento e o que possivelmente já se viu sobre ele em etapas anteriores?

Podemos conjecturar que na maioria das vezes, se o livro não resgata

conhecimento da série anterior, o professor também não? Essas e outras

inquietações me levam a inferir que o autor propõe dessa forma, por partir do ponto

de vista da redução de conteúdo em consequência do tempo, e por acreditar que

são professores da área que irão trabalhar.

Paias (2010), apresenta um trabalho que é um recorte da dissertação do

curso de mestrado Acadêmico PUC / SP, intitulada “Diagnostico dos Erros sobre a

operação Potenciação aplicado aos alunos do Ensino Fundamental e Médio. A

autora investigou alguns livros didático do ensino fundamental e médio. Sua

análise teve o objetivo de averiguar como a operação potenciação vem sendo

abordado neste material, uma vez que este é o principal recurso didático utilizado

em sala de aula. Foi observado que todos os livros analisados apresentam a

definição da operação potenciação de um modo não significativo para a

aprendizagem e com poucas variedades de exemplos e exercícios. Quanto as

propriedades da potenciação alguns livros apresentam-nas de modo constante e

uniforme, e os tipos de questões encontradas tem pouca variedade. Como mostra

o quadro a seguir que será analisado a partir da seguinte legenda utilizada pela

autora.

♦ocorrência baixa – significa que o critério relacionado em relação à

operação potenciação foi apresentado de modo não significativo no livro

didático, com pouca variedade de exemplos e exercícios

♦♦ocorrência média – significa que o critério relacionado em relação à

operação potenciação foi apresentado de modo constante e uniforme no

livro didático, com média variedade de exemplos e exercícios

33

♦♦♦ocorrência alta – significa que o critério relacionado em relação à

operação potenciação foi apresentado de modo muito significativo no

trabalho, com grande variedade de exemplos e exercícios.

Quadro 5: Critérios observados nos livros didáticos

Livros Didáticos

Matemática na Medida Certa Projeto Araribá Matemática

Critérios Observados

5a. série

6a. série

7a. série

8a. série

5a. série

6a. série

7a. série

8a. série

1a. série

Definição de potenciação ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦

Propriedades da potenciação ♦♦ ♦♦ ♦♦ ♦♦ ♦♦♦ ♦♦♦ ♦♦♦ ♦♦♦ ♦

Problematização ♦ ♦ ♦ ♦ ♦♦♦ ♦♦♦ ♦♦♦ ♦♦♦

Tratamento e conversões ♦ ♦ ♦ ♦ ♦♦ ♦♦ ♦♦ ♦♦ ♦

Quadros, figuras e quadros ♦♦ ♦♦ ♦♦ ♦♦ ♦♦♦ ♦♦♦ ♦♦♦ ♦♦♦

Convenções ou regras especiais ♦♦ ♦♦ ♦♦ ♦♦ ♦♦♦ ♦♦♦ ♦♦♦ ♦♦♦ ♦

Tipos de Questões ♦ ♦ ♦ ♦ ♦♦♦ ♦♦♦ ♦♦♦ ♦♦♦ ♦

Tarefas ♦♦ ♦♦ ♦♦ ♦♦ ♦♦♦ ♦♦♦ ♦♦♦ ♦♦♦ ♦

Técnicas ♦♦ ♦♦ ♦♦ ♦♦ ♦♦♦ ♦♦♦ ♦♦♦ ♦♦♦ ♦ Discursos

tecnológico – teóricos

♦♦ ♦♦ ♦♦ ♦♦ ♦♦♦ ♦♦♦ ♦♦♦ ♦♦♦ ♦

Fonte: (PAIAS, 2009, p. 95) e (PAIAS, 2010 p.8 e 9)

Esta análise deu-se em função da relevância do livro didático, como

ferramenta importante para o professor ao planejar e desenvolver em suas aulas

na sala. Foi avaliado a abordagem metodológica de duas coleções consideradas

como adequada para que haja aprendizagem por parte do aluno.

A autora constatou que a obra Projeto Araribá inicia os capítulos levantando

questionamentos ou problematizando de maneira que os alunos estabeleçam

sempre um elo entre o conhecimento prévio e o assunto a ser abordado. Salienta

que esta coleção é muita rica em atividades para o professor e sugere a utilização

em sala de aula, por acreditar em um bom retorno ao processo de aprendizagem.

34

Paias (2010), aponta que apesar da coleção matemática na medida certa

trazer seções Desafios e surpresas e Ação como sugestões de distintas

atividades, como jogos e experimentos, foi encontrado no conteúdo de

potenciação pouco registro sobre esse foco. Salienta ainda no final do livro há

resposta das atividades e sugestões bibliográficas para os alunos.

No decorrer da revisão de estudos, identificamos diversas atividades,

objetivos e técnica de ensino sobre a operação potenciação, isto ratifica que a

operação de potenciação se encontram presentes nas discussões de pesquisas

em educação matemática, e que esse conteúdo vem sendo trabalhado nas

pesquisas de modo a proporcionar novas metodologias para serem utilizada em

sala de aula, e que essas novas formas de ensinar estão apoiadas nas mais

diferentes metodologias de pesquisas assim como suporte teórico e subsídios

metodológicos.

Outro fator observado pela autora a respeito desse conteúdo é que apesar

das novas formas propostas de se trabalhar a potenciação em sala de aula

percebe-se que um bom número de professores e alunos continuam com a

memória do ensino tradicional enraizado em sua prática escolar. De acordo a

autora poucos livros didáticos foram considerados bons para serem usados,

levando em conta o processo de ensino e de aprendizagem ao considerar a forma

como o conteúdo de potenciação foi abordado.

A revisão de estudos que fizemos veio somar com nossa pesquisa, uma vez

que nos apropriamos de conhecimento sobre algumas dificuldades dos docentes

em trabalhar e dos discentes em apreender este conteúdo. Podemos ressaltar

também a insegurança dos professores em buscar novas metodologias para o

trabalho em sala de aula, bem como conhecer novas metodologias de pesquisas e

vertentes teóricas que norteiam o ensino de matemática.

Partindo de observações como essas, é que propormos desenvolver uma

pesquisa apoiado na engenharia didática, que segundo (ARTIQUE 1996, p. 196) é

“vista como metodologia de investigação, caracteriza-se antes de mais por um

esquema experimental, [...]. ”, ou seja, nas ações realizadas em sala de aula, tipo:

na realização, na observação e na análise de sequência de ensino. De acordo com

as abordagens discutidas, ao final desse trabalho queremos vir colaborar com os

35

estudos em didática da matemática, mas especificamente em apresentar uma

proposta de trabalho metodológica apoiada na teoria das situações didáticas.

2.2 ENSINO E APRENDIZAGEM DA OPERAÇÃO POTENCIAÇÃO NA VISÃO

DOS PROFESSORES DO MUNICÍPIO DE NOVA IPIXUNA

Nesta subseção vamos apresentar os resultados de uma consulta realizada

com 11 professores, que correspondem a 100% dos docentes de matemática do

Ensino Fundamental (anos finais) em Nova Ipixuna-Pará. A consulta se deu por

meio da aplicação de um questionário (apêndice A), que ocorreu entre os meses

de fevereiro a abril de 2015. Visava averiguar a maneira como o conteúdo da

operação potenciação é executado em sala de aula, e a avaliação dos professores

referente as dificuldades de aprendizagem dos alunos para este assunto.

O questionário aplicado aos docentes, continha 17 questões abertas e

fechadas, sendo 7 referentes aos dados pessoais e profissionais. Esse instrumento

de pesquisa permitiu coletar dados sobre sexo, faixa etária, formação acadêmica,

tempo de serviço destes profissionais, tipo de instituição que trabalha, serie/ano

que trabalha ou que estava trabalhando quando estava se realizando a pesquisa.

Os demais itens do questionário se referia diretamente ao objeto em estudo.

Verificamos se houve formação continuada sobre o ensino de potenciação, bem

como o tempo e a metodologia utilizada para ensinar este conteúdo, e as opiniões

dos professores sobre o grau de dificuldades na aprendizagem dos alunos ao

ensinar este conteúdo.

Os resultados obtidos no questionário foram agrupados de forma sistemática

e apresentado em quadros e/ou gráficos como veremos a seguir, com intuito de

proporcionar ao leitor um melhor entendimento, com isso ter condições de analisa-

los com mais facilidade.

Os quadros 6 a 14 e os gráfico 1 a 9 apresenta o Informações pessoais e

profissionais dos professores de matemática do município de Nova Ipixuna.

36

Quadro 6: Gênero dos professores

Sexo Valor absoluto

Valor percentual

Masculino 6 55%

Feminino 5 45%

Total 11 100% Fonte: pesquisa de campo (2015)

Gráfico 1 - Gênero dos professores

Fonte: Pesquisa de campo (2015)

As informações reunidas mostram que 55% dos docentes são do sexo

masculino, isto implica dizer que 45% desses profissionais são do sexo feminino,

apesar de não ser uma quantidade maior ou igual a do sexo oposto. É uma

quantidade estatísticamente significativa, considerando a área de conhecimento e

a história da mesma. Nessa questão há uma diferença em relação à pesquisa de

Salgado (2011), Paula (2011), Graça (2011) e Silva1 (2012), realizadas na capital

do Estado do Pará. Esse resultado de certa forma desmitifica a questão, construída

ao longo da história, em que parte da sociedade, mesmo vivendo a evolução e a

modernidade do século XXI, ainda acredita que as exatas pertencem ao sexo

masculino, por manter um preconceito, para com as do sexo feminino.

A seguir apresentaremos a faixa etária dos professores.

37

Quadro 7: A faixa etária dos profissionais pesquisados

Faixa etária Valor absolute Valor percentual

21 - 25 Anos 1 9%

26 - 30 Anos 2 18%

31 - 35 Anos 1 9%

36 - 40 Anos 3 27%

41 - 45 Anos 2 18%

46 - 50 Anos 2 18%

Total 11 100% Fonte: Pesquisa de campo (2015)

Gráfico 2 – Faixa etária dos profissionais Pesquisados


Em síntese podemos dizer que a quantidade de professores por faixa etária

está equilibrada em 20%, apenas os de 21- 25 e 31- 35 aparecem com 10% do

total. Além de constatar que o quadro de docentes do município que está atuando

em sala de aula com a disciplina de matemática, é bastante jovem. O que é

bastante semelhante ao comparar com os resultados de outros pesquisadores

como: Salgado (2011), Paula (2011), Graça (2011) e Silva1 (2012), todas

realizadas com professores que atuam em escolas localizadas em Belém do Pará.

Indicaremos a seguir a formação acadêmica dos professores de

matemática.

38

Quadro 8 – Formação acadêmica dos docentes Formação academica dos professores de matematica

valor absoluto

valor percentual

Graduação em matematica 4 36%

Graduação em ciencias biologicas 1 9%

Graduação em Pedagogia 2 18%

pós-gradução em educação matemática 4 36%


Gráfico 3 – Formação acadêmica dos docentes


Ao analisar a quadro 8 e o gráfico 3 notamos que 64% dos professores

possuem graduação, e destes, 27% não possuem graduação em matemática. E

que os demais 36% são graduados com pós-graduação do Lato sensu em

Educação Matemática. Observamos que há uma grande diferença em relação ao

percentual de professores com pos- graduações, seja lato sensu ou stricto sensu

da capital do Pará, para com o interior deste Estado. Pois enquanto a pesquisa de

Salgado (2011), 4% pós-graduação do stricto sensu; Graça (2011),7% pós-

39

graduação do stricto sensu e Paula (2011), 2% de pós-graduação do stricto sensu

e Silva (2014), 6% pós-graduação do stricto sensu, nós não temos nenhum com

esse grau de estudo em sala de aula. Na educação deste município temos apenas

um professor de matemática que está cursando o doutorado e uma professora de

matemática que está cursando o mestrado ambos na área de educação

matemática, mas como atuam em coordenação educacional, não aplicamos

questionário a eles.

Apresentaremos a seguir o ano de conclusão do curso de graduação dos

docentes pesquisados.

Quadro 9 – Ano de Conclusão da graduação

Ano de conclusão da graduação Valor absolute Valor percentual

2006 5 45%

2007 1 9%

2010 1 9%

2014 1 9%

2015 2 18%

Não respondeu 1 9% Fonte: Pesquisa de campo (2015)

Gráfico 4 – Ano de Conclusão da graduação


Ao observar o gráfico 4 e a quadro 9 percebemos que os docentes

obtiveram formação específica recentemente e continuam a buscar mais

40

conhecimento como mostra o gráfico anterior, onde 40% deles possuem

especialização na área de educação.

A seguir apresentaremos as instituições que fizeram a formação dos

professores que entrevistamos.

Quadro 10 - Tipo de instituição de ensino em que os professores concluíram a graduação.

Instituição de ensino superior Valor absoluto

Valor percentual

Universidade Estadual do Pará – UEPA 6 55%

Universidade Federal do Pará – UFPA 1 9%

Universidades privadas do Pará 3 27%

Universidade Federal Sul e Sudeste do Pará – UNIFESSPA 1 9% Fonte: Pesquisa de campo (2015)

Grafico 5 – Instituições de Ensino Superior que os docentes se qualificaram


Ao analisar os dados coletados, percebemos que a universidade do Estado

do Pará – UEPA lidera com 55%, a formação de professores da disciplina de

matemática de Nova Ipixuna. Vale destacar que a maioria dos professores

pesquisados tem sua formação oriunda do Consórcio Secretaria Executiva de

Educação - SEDUC e universidades e a do PARFOR - Plano Nacional de

41

Formação de Professores. E apenas 20% deles, tiveram sua formação em

Universidade privada.

A seguir trazemos as informações sobre o tempo de serviço dos professores

entrevistados.

Quadro 11 - Tempo de serviço dos educadores

Tempo de serviço Valor absolute Valor percentual

1 -5 Anos 2 s18%

6 -10 Anos 3 27%

11 - 15 Anos 1 9%

16 - 20 Anos 4 36%

21 - 25 Anos 1 9% Fonte: Pesquisa de campo (2015)

Gráfico 6 - Tempo de serviço dos professores


Ao analisarmos a quadro 11 e o gráfico 6 percebemos que 40% dos

docentes possuem o tempo de serviço entre 16 – 20 anos e 30% de 6 – 10 anos de

serviço, o que difere da pesquisa realizada por Graça (2011), Paula (2011) e Silva2

(2014) em escola pública da capital. Referente ao nosso resultado, concluímos que

os docentes já possuem uma boa experiência profissional, assim sendo, partimos

do ponto de vista que os professores entrevistados terão condições de avaliar e

42

apontar as dificuldades dos alunos em relação a aprendizagem da operação

potenciação.

Quando perguntamos sobre o tipo de escola em que os docentes atuam,

ministrando aulas. Obtivemos como resultado 100% atuam em escola pública

municipal. Vale destacar, que a cidade onde ocorreu esta pesquisa não possui

escolas particulares de ensino fundamental. A seguir apresentaremos o tipo de

escola que os docentes atuam.

Quadro 12- Tipo de instituição que os docentes trabalham


Grafico 7 – Tipo de instituição que os docentes trabalham


Quanto ao questionamento, se realizaram alguma disciplina sobre o ensino

de potenciação durante a formação acadêmica. Há Indicação no quadro 13 e o

gráfico 8 a seguir.

Quadro 13- Disciplina sobre potenciação visto durante o curso de graduação


Gráfico 8 - Disciplina sobre potenciação visto durante o curso de graduação

Escolas onde atuam os professores Pública municipal

Valor percentual 100%

Disciplina realizada sobre o ensino de potenciação Valor percentual

Sim 9%

Não 91%

43


A análise mostra que 90% dos professores consultados afirmaram não ter

realizado nenhuma disciplina sobre o ensino de potenciação, e apenas 10% relata

ter visto durante a realização do curso de graduação algo relacionado ao ensino de

potenciação. No entanto não descreveram qual disciplina das quais eles

realizaram, trabalhavam o ensino da operação potenciação.

Os quadros de 14 a 24 e os gráficos 9 a 19 apresentam os resultados

obtidos em relação a potenciação.

Quadro 14 – Participação de cursos sobre o ensino da potenciação

Curso realizado sobre o ensino de potenciação Valor absoluto Valor percentual

Fez Pro letramento de matemática e PACTO 2 18%

Não fez

8 73%


Gráfico 9 – Participação de cursos sobre o ensino da potenciação

44


Ao observar a quadro 14 e o gráfico 9 notamos que 70% dos nossos

entrevistados não participaram de nenhum evento/curso sobre o ensino de

potenciação, apenas 20% já participaram de curso sobre este assunto.

Enfatizamos que a Secretaria de Educação do município ofereceu o pró-letramento

de português e de matemática. As razões da não participação dos docentes são

diversas, uma delas é que existem professores que exercia a função de docência

na Rede Municipal e na Estadual e às vezes uma das instituições não liberava o

funcionário para participar do curso, uma vez que este era realizado em dias

letivos.

A seguir traremos as informações obtidas a partir da perguna: Você ensina

potenciação do modo como aprendeu na educação básica?

Quadro 15 -Docentes que ensinam a operação potenciação do modo que aprendeu

Ensina a potenciação do modo que aprendeu na educação básica Valor absolute Valor percentual

Sim 7 64%

Não 3 27%


Gráfico10 - Docentes que ensinam a operação potenciação do modo que aprendeu

45


Na análise do quadro 15 e o do gráfico 10 identificamos que 20% dos

professores afirmaram não ensinar a operação potenciação da mesma maneira

que aprendeu, porém 64% afirmaram que ensinam do mesmo modo que aprendeu.

Na sequência apresentaremos os métodos utilizados pelos professores para

a introdução de conteúdos de potenciação.

Quadro 16- Métodos utilizados para introduzir a operação potenciação

Métodos utilizados pelos professores para a introdução de conteúdos de potenciação

Valor percentual

Pela definição seguida de exemplos e exercícios 27%

Com uma situação problema para depois introduzir o assunto 73% Fonte: Pesquisa de campo (2015)

Gráfico 11Métodos utilizados para introduzir a operação potenciação

46


O quadro 16 e o gráfico 11 mostram que 73% dos professores que

responderam a este questionamento trabalham o ensino de potenciação iniciando

com uma situação problema, porém na questão anterior 64% dos professores

afirmaram ensinar este conteúdo do mesmo modo que aprendeu. A pergunta é,

quando estudaram este assunto na educação básica, os professores já utilizavam

situação problema para ensinar esta operação?

Outro ponto relevante para sucitar dúvidas oriundas essas duas ultimas

perguntas é o fato de que, ao analisar a resposta dos alunos no mesmo tipo de

pergunta, diverge, pois 66% dos alunos pesquisados afirmaram que quando

estudaram este assunto o professor iniciou pela definição seguida de exemplos e

exercícios.

Dando continuidade indicamos a seguir a relação entre os métodos que os

professores utilizam para ensinar a potenciação a seus alunos e o tempo de

serviço deles como professor de matemática.

Quadro 17 – Relação do tempo de serviço com a metodologia de ensinar a potenciação.

Métodos utilizados pelos docentes para introdução do conteúdo de

potenciação

Tempo de serviço como docente de matemática

1 - 5 anos

6 -10 anos

11 -15 anos

16 - 20 anos

21 - 25 anos

Definição 0% 18% 0% 9% 0%

Situação-problema 18% 9% 9% 27% 9% Fonte: pesquisa de campo (2015)

47

Gráfico 12 -Relação do tempo de serviço com a metodologia de ensinar a potenciação.

Fonte: pesquisa de campo (2015)

Percebemos que os docentes consultados trabalharam a potenciação

iniciando pela definição tem em média de 6 a 20 anos de profissão. Percebemos

que as metodologias de trabalho dos professores são semelhantes, neste caso

podemos conjecturar que há influencia na metodologia dos educadores de menos

tempo de carreira pelo mais “experientes”.

A seguir indicaremos os recursos utilizados pelos professores consultados

para fixação do conteúdo da operação potenciação.

Quadro 18 – Recursos utilizados para fixação o conteúdo de potenciação

Recursos utilizados para fixação do conteúdo da operação de potenciação Valor absoluto Valor percentual

Apresentar uma lista de exercício para serem resolvidos 4 36%

Apresentar uma lista de exercício e jogos envolvendo o assunto 1 9%

Solicitar que os alunos resolvam os exercícios dos livros didáticos 4 36%

Não propõe questões de fixação 0 0%

Solicitar que os alunos procurem questões sobre o assunto para resolver 0 0%

Apresentar uma lista de exercícios e resolver os exercícios do livro didático 1 9%


48

Gráfico 13 -Recursos utilizados para fixação o conteúdo de potenciação


Ao analisar as informações do gráfico 13 e do quadro 18, notamos que as

atividades de fixação utilizadas após o ensino da operação de potenciação que se

destaca como mais usada, são: a lista de exercício selecionada pelo professor e a

lista de exercícios do livro didático com 37% e 36%, e os jogos apenas 9%. Logo

percebemos que o tempo dedicado para as atividades lúdicas é pouco. A seguir

apresentaremos o que irá mostrar a razão dos docentes trabalharem a operação

potenciação sem utilizar o experimento didático.

Quadro 19 – O motivo do não uso dos experimentos didáticos pelos professores

O motivo do não uso dos experimentos didáticos Valor percentual

Desconhece experimento didático para trabalhar o conteúdo de potenciação 60%

Prefere ministrar o conteúdo de potenciação de maneira expositiva 40% Fonte: Pesquisa de campo (2015)

Gráfico 14 – O motivo do não uso dos experimentos didáticos pelos professores

49


Dentro da nossa pesquisa constatamos que 60% dos professores

pesquisados não usam o experimento didático pois o desconhece, e 40%

afirmaram que não trabalham o experimento didático, por preferir ministrar este

conteúdo de maneira expositiva. Nota-se que apesar de 73% dos docentes serem

formados em matemática e 40% possuírem especialização em educação

matemática, existe uma grande quantidade de docentes que optaram por uma

metodologia que não facilita o processo ensino e de aprendizagem. Em conversas

com alguns professores que participaram da pesquisa, sobre outras formas de

trabalhar conteúdos matemáticos. Alegaram que para trabalhar outras

metodologias como: experimentos didáticos ou jogos, demandam mais tempo do

que disponibilizam para os conteúdos previstos na disciplina de matemática de

cada serie/ano. Na sequência indicamos a quantidade de aula utilizada para

ministrar o conteúdo de potenciação no 6º ano do Fundamental.

Quadro 20 – Aulas utilizadas para ministrar o conteúdo de potenciação

Quantidades de aulas usadas para ministrar o conteúdo de potenciação Valor absoluto Valor percentual

3 aulas 1 9%

4 aulas 1 9%

5 aulas 1 9%

6 aulas 3 27%

10 aulas 1 9%

12- 15 aulas 3 27%

20 aulas 1 9% Fonte: Pesquisa de campo (2015)

50

Gráfico 15 – Aulas utilizadas para ministrar o conteúdo de potenciação


Ao verificarmos a quadro 20 e o gráfico15 notamos que predominam 28%

dos professores usando 6 aulas e 27% utilizando de 12 – 15 aulas para trabalhar o

conteúdo da operação potenciação do 6º ano.

A seguir apresentaremos os livros adotados pelas escolas municipais no

município de nova Ipixuna.

Quadro 21 – O Livro adotado nas escolas

Qual livro didático a escola adotou? Valor absolute

Valor percentual

Praticando matemática 8 73%

Usa vários livros. Justifica que a escola não tem livros para os alunos 2 18%

Vários livros e o do Gerson Iezzi 1 9% Fonte: Pesquisa de campo (2015)

51

Gráfico 16 – O Livro adotado nas escolas


Mediante a análise do último quadro e do gráfico constatamos que o livro

“Praticando a matemática” da Editora Brasil, sendo seus respectivos autores:

Álvaro Andrine e mª José Vasconcelos, está presente em 73% das escolas. E

apesar de haver relato na pesquisa de que há aluno sem o livro didático, 100%

dos docentes afirmaram utilizar o livro didático adotado pela escola, como mostra a

quadro e o gráfico a seguir.

Quadro 22 – a uso do livro didático adotado pela escola


Quadro 16 – a uso do livro didático adotado pela escola

Usa o livro adotado pela escola? Valor percentual

Sim 100%

Não 0%

52


Quadro 23 – Outro material usado para trabalhar em sala de aula

Usa outros livros durante as aulas? Valor absoluto

Valor relative

Os atuais 1 9%

Não respondeu 7 64%

Gerson Iezzi, Alvoro Andrini, Oscar Gueli 1 9%

Gerson Iezzi, Osvaldo 1 9%

Consulta a internet 1 9% Fonte: Pesquisa de campo (2015)

Gráfico 17 – Outro material usado para trabalhar em sala de aula


53

Neste questionamento do formulário aplicado aos professores, constatamos

que 64% não responderam. Essa situação nos leva as seguintes conclusões: Os

docentes não quiseram contribuir neste questionamento ou não usam outro livro

para auxiliar o seu trabalho em sala de aula.

A partir das opiniões dos docentes de matemática deste município,

identificamos o grau de dificuldade de aprendizagem dos alunos, em alguns tópicos

referente a operação de potenciação. Para simplificar e facilitar a construção do

quadro 24 e o entendimento dos leitores optamos pelas seguintes abreviaturas: S =

Sim, N = Não, F = Fácil, MF = Muito Fácil, R = Regular, D = difícil, MD = Muito

Difícil, NR = Não Respondeu, como mostra a quadro e o gráfico a seguir.

Quadro 24 – Conteúdos da potenciação e grau de dificuldades na aprendizagem dos alunos

Itens

Conteúdo

Você costuma ministrar

? Grau de dificuldade para os

alunos aprenderem

S N

MF F R D MD NR

A Definição de potenciação

100%

0%

0%

18% 55%

18% 0% 9%

B Transformação de multiplicação de fatores iguais em potenciação

100%

0%

0%

45% 36% 9% 9% 9%

C Transformação da potenciação em multiplicação de fatores iguais

100%

0%

0%

45% 27% 9% 9% 9%

D

Identificação dos termos da potenciação

100%

0%

0%

45% 45% 0% 0% 9%

E Cálculo da potenciação

100%

0%

0%

18% 36%

27% 9% 9%

F Potenciação de base zero

100%

0%

0%

45% 36% 9% 0% 9%

G Potenciação de base 1

100%

0%

9%

36% 36% 9% 0% 9%

H Potenciação de base 10

100%

0%

0%

45% 36% 9% 0% 9%

I Potenciação de expoente 1

100%

0%

9%

55% 36% 0% 0% 9%

J Potenciação de expoente zero

100%

0%

0%

36% 45% 9% 0% 9%

L Produto de potencias de mesma base

100%

0%

9%

36% 27%

27% 0% 9%

M Divisão de potencias de mesma 100 0 0 18 36% 36 0% 9%

54

base % % % % %

N Potência de potencia

100%

0%

0% 9% 45%

36% 0% 9%

O Potência de produto

100%

0%

0% 0% 36%

45% 9% 9%

P Potência de expoente negativo

100%

0%

9% 9% 18%

18%

45% 9%

Q Potência de expoente fracionário

100%

0%

0% 9% 18% 9%

55% 9%

R Potenciação de expoente par e base negativa

100%

0%

0% 9% 64% 9% 9% 9%

S Potenciação de expoente impar e base negativa

100%

0%

0% 9% 64% 9% 9% 9%

T Expressão numérica com potencia

100%

0%

0% 0% 27%

36%

27% 9%

Fonte: Pesquisa de Campo (2015) S = sim, N = Não, F = Fácil, MF = Muito Fácil, R = Regular, D = difícil, MD = Muito Difícil, NR = Não Respondeu.

Gráfico 19 - Conteúdos da potenciação e Grau de dificuldades na aprendizagem dos alunos

Fonte: Pesquisa de Campo (2015)

Ao observar o grau de dificuldade dos alunos em aprender alguns tópicos da

potenciação, segundo a opinião dos professores, que estão organizados em forma

de itens no quadro 24 e o gráfico 19, constatamos que: em relação ao item A 55%

55

dos professores responderam que é regular o grau de dificuldade de

aprendizagem; o item B predominou com 45% na classificação fácil.

2.3 CONSULTA AOS EGRESSOS

A finalidade desta subseção é mostrar os resultados da pesquisa de campo

realizada com as quatro turmas do 7º ano, o que corresponde a 100% dos alunos

egressos do 6º ano, existente em uma escola municipal de Nova Ipixuna. Com o

propósito de averiguar como o conteúdo de potenciação foi ensinado aos alunos.

Além de avaliar se os alunos apreenderam ou apresentam dificuldades de

aprendizagem nas resoluções de questões relacionadas a operação potenciação.

O questionário já elaborado por esta pesquisadora conforme mencionado na

secção que descreve a metodologia utilizada nesta pesquisa.

O referido questionário foi aplicado em fevereiro de 2015, período que a

escola tinha das 4 turmas de 7º ano, das quais em 3 turmas foi possível utilizar os

questionários aplicados, pois uma das turmas não tinha visto o conteúdo no ano

anterior. As 3 turmas totalizaram 78 alunos os critérios que adotamos para escolher

os sujeitos são: ter visto o assunto de potenciação em séries anteriores e ser

aluno da escola que iremos fazer nosso experimento posteriormente na etapa da

experimentação da metodologia de pesquisa adotada.

O questionário apresentava 20 questões, sendo 15 relacionada a perfil

pessoal e estudantil dos egressos do 6º ano e 5 questões referente ao conteúdo de

potenciação, sendo elas: 16, 17, 18, 19 e 20. Dessas 5, questões relacionada a

potenciação são três fechadas (16, 17 e 18) e as demais (19 e 20) subjetivas,

sendo que a de número 18 contém 16 sub questões objetivas; a 19 possui 20 sub

questões abertas e a 20 possui 2 sub questões subjetivas.

A quadro e o gráfico a seguir refere-se à idade e o gênero dos alunos

relacionando com a execução da atividade remunerada.

56

Quadro 25 - Alunos que exerce atividades remunerada

Gênero Alunos que exerce atividades remunerada

Idade/ anos

masc (M)

fem (F) SIM

%

AS VEZES

% NÃO

%

V.A % V.A % M F M F

M F M F M F M F

11 3 4% 2 2% 0 0 0% 0% 2 1 3% 1% 1 1 1% 1%

12 12 15% 22 27% 1 1 1% 1% 6 7 7% 9% 5 14 6% 17%

13 9 11% 6 7% 1 1 1% 1% 5 3 6% 4% 3 2 4% 3%

14 6 7% 5 6% 0 0 0% 0% 1 0 1% 0% 5 5 6% 6%

15 2 2% 5 6% 1 0 1% 0% 0 3 0% 4% 1 2 1% 3%

16 4 5% 1 1% 1 0 1% 0% 3 1 4% 1% 0 0 0% 0%

17 1 1% 0 0% 0 0 0% 0% 0 0 0% 0% 1 0 1% 0%

18 1 1% 0 0% 1 0 1% 0% 0 0 0% 0% 0 0 0% 0%

20 0 0% 1 1% 0 1 0% 1% 0 0 0% 0% 0 0 0% 0%

22 1 1% 1 1% 1 0 1% 0% 0 1 0% 1% 0 0 0% 0%

Total 39 48% 43 52% 6 3 6% 3% 17 16 22% 20% 16 24 19% 30% Fonte: Pesquisa de campo (2015)

Gráfico 20 - Alunos que exerce atividades remunerada


Demonstração gráfica, da quantidade de alunos por faixa etária no 7º ano do

Ensino Fundamental.

57

Gráfico 21- Percentual de aluno por faixa etária


Ao analisar a quadro 25 e o gráfico 20 e 21 é possível constatar que a idade

de 12 anos apresenta um maior número dos alunos, (42%), e na sequência temos

os de 13 anos (18%) e os de 14 anos (13%). Predominando a faixa etária de 11 –

14 anos, assim como Salgado (2011). Isto nos leva a observar que os alunos do 7º

ano nesta escola a maioria dos alunos estão na idade certa, conforme o pacto pela

idade certa criado pelos programas de aceleração do governo Federal. O resultado

obtido neste item, é semelhante a pesquisa realizada pelo autor Graça (2011), em

uma escola da rede pública do município de Belém.

Quanto ao gênero, 48% dos alunos egressos são do sexo masculino e 52%

são do sexo feminino, logo há um equilíbrio de gênero dos alunos que estudam o

7º ano nessa instituição, o que diverge do resultado obtido na pesquisa de Graça

(2011, p. 48), em uma escola da rede pública da capital deste Estado que apontou

o índice 65% dos alunos masculinos. Os alunos que exercem atividade

58

remunerada, são 9%. Apesar de ser uma quantidade pequena, é preocupante, pois

5% destes, são menores de até 14 anos e conforme o Estatuto da Criança e do

Adolescente – ECA, no artigo 60 é proibido qualquer trabalho a menores de 14

anos de idade, salvo na condição de menor aprendiz. E em relação a quantidade

de aluno que pratica as vezes atividade remunerada é bastante expressivo, visto

que são 42%, e destes apenas 1% possui maior idade. Todavia, 30% dos 42% são

menores que 14 anos. Outro fator que cabe averiguar as razões e as condições de

trabalho, o período de tempo diário que esses alunos trabalham e se prejudica ou

não a aprendizagem escolar? Enfatizamos que estas questões é de extrema

relevância, mas nosso foco é outro, por isso não vamos adentrar no assunto.

Quadro 26 - O grau de parentesco, o nível de escolaridade e a relação com a atividade remunerada dos responsáveis dos alunos.

Responsavel que trabalha

Masculine Femenino

Total nivel de escolaridade pai avô Mãe Avó Tia

Sim não sim não Sim não sim não sim não sim V. P Não V . P

Ens. Sup. 1 0 0 0 5 0 0 0 0 0 6 7% 0 0%

Ens. Médio 0 0 0 0 10 1 0 0 0 0 10 12% 1 1%

1º ano do Ens. Médio 0 0 0 0 2 2 0 0 0 0 2 2% 2 2%

Ens. Fund. 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1% 0 0%

9º ano 1 0 0 0 5 0 1 0 0 0 7 9% 0 0%

8º ano 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 3 4% 0 0%

7º ano 0 0 0 0 3 1 0 0 0 1 3 4% 2 2%

6º ano 0 0 0 0 3 6 0 0 0 0 3 4% 6 7%

5º ano 3 0 1 0 5 2 0 1 0 0 9 11% 3 4%

4º ano 2 0 0 0 0 5 0 1 0 0 2 2% 6 7%

3º ano 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1% 1 1%

2º ano 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0% 1 1%

Não estudou 1 0 0 0 0 2 0 1 0 0 1 1% 3 4%

Não respondeu 2 0 0 0 3 2 1 1 0 0 6 7% 3 4%

Total 11 1 1 0 38 22 3 4 1 1 54 66% 28 34%

valor percentual 13% 1% 1% 0% 46% 27% 4% 5% 1% 1% 100% Fonte: Pesquisa de campo (2015)

Ao observar o quadro 26 podemos constatar que 73% do total dos

responsáveis pelos alunos egressos consultados nesta pesquisa são mães, sendo

que 46% exerce atividade remunerada e 27% não exerce enquanto que os pais

59

ocupam o patamar de14%, sendo, 13% exercendo atividade remunerada e apenas

1% não tem uma atividade remunerada. Um fato curioso identificado, foi que todos

os responsáveis com nível superior possuem trabalho remunerado, na sequência

aparece 13% com nível médio, sendo 12% com e 1% sem trabalho remunerado.

Percebe-se que a partir do 6º ano, em ordem decrescente, o número de

responsável que não possui um emprego, ou seja, que tem uma renda advinda do

serviço que executa aumenta consideravelmente. Logo é possível inferir que o

conhecimento, o estudar contribui para que as pessoas adquiram um trabalho

remunerado, com isso as famílias, e em especial os alunos podem desenvolver

melhor suas atividades escolares diárias, em relação a aqueles que não tem o

provedor do sustento para suprir as necessidades cotidiana dos membros da

família.

Vale ressaltar que nosso resultado em relação ao gênero dos responsáveis

predominante na pesquisa difere dos resultados encontrados por Graça (2011) e

de Salgado (2011), pois as pesquisas destes autores mostram que os

responsáveis do sexo masculino predominam e a nossa predominou o responsável

do sexo feminino como mostrou o quadro 26.

O quadro 27 e o gráfico 22 mostram os tipos de escolas que os alunos

estudaram até o 7º ano.

Quadro 27 – Tipo de escola que os alunos egressos estudaram

Tipo de Escola Valor Absoluto Valor percentual

Particular 1 1%

Estadual 4 5%

Municipal 77 94%

Total 82 100% Fonte: Pesqisa de campo (2015)

Gráfico 22 - Tipo de escola que os alunos egressos estudaram

60

Fonte: Pesqisa de campo (2015)

Ao analisar a quadro 27 e o gráfico 22, verificamos que mais de 90% dos

alunos egressos estudaram e estudam em escola pública municipal. Acreditamos

que tal fato ocorre pelo fato da cidade possuir uma tenrra idade, possui uma

economia, predominantemente agrícola de subsistencia e o setor público pelo

pagamento do funcionalismo, praticamente não há investimentos em indústrias e

outros setores que a economia pudesse atrair novos investimentos e com isso

haver uma maior circulação de recurso financeiro, com isso circularia um maior

capital no mercado interno da cidade, surgiria novos empregos e mais escolas de

outros tipos. Uma forma de ratificar esse relato é o resultado das pesquisas de

Salgado(2011 ), Graca (2011 ) e que tiveram suas pesquisas dessenvolvida em

Belem, que é bem mais dessenvolvida economicamente, com isso os resultados

desse item, diverge da nossa .

A quadro a seguir mostra a dificuldade dos alunos de aprender conteudos

matemáticos.

Quadro 28 – Dificuldade dos alunos de aprender matemática

Você tem dificuldade para aprender matemática? Valor absolute Valor percentual

Nenhum pouco 14 17%

Um pouco 62 76%

Muito 6 7%

Não respondeu 0 0%


61

Gráfico 23 – Dificuldade dos alunos de aprender matemática


Sobre a dificuldade de aprender a matematica ensinada na escola, 76% dos

discentes pesquisado responderam ter um pouco de dificuldade e apenas 7%

afirmaram ter muita dificuldade em aprender os conteúdos matemáticos ensinado

na escola. Mas algo me intriga, 17% responderam não ter dificuldade de aprender

matemática, no entanto apenas um aluno consegue acertar todas as questões que

envolveram propriedades da potenciação e uma das expressões numéricas com

potenciação. A pergunta que não quer calar é. O que aconteceu com a

aprendizagem da operação potenciação ensinado no ultimo semestre do 6º ano?

Se esses alunos aprenderam. Porque em menos de seis meses, ao serem

testado, eles não acertaram as questoes sobre potenciação no teste de

sondagem?

E o quadro a seguir mostra o nivel de concentração dos alunos durante as

aulas de matemática, conforme a auto avaliação de cada um.

Quadro 29 – Distração dos alunos durante as aulas de matemática

Você se distrai nas aulas de matemática? Valor absoluto Valor percentual

Não, eu sempre presto atenção 40 49%

Sim, eu não consigo presta atenção 5 6%

Ás vezes, quando a aula está chata 37 45%

Não respondeu 0 0%

Total 82 100%

62


Gráfico 24 – Distração dos alunos durante as aulas de matemática


Segundo a opiniao de quase a metade dos alunos egressos,isto é, 49%,

eles sempre prestam atenção as aulas de matematica, e 45% deles, so não

prestam atenção se a aula estiver chata. A partir dessa afirmação surge o

questionamento. Quando a aula está chata? È quando não entenderam? Ou a

forma de ensinar propociona a aula um carater chato? O que será que acontece

para leva-los a classificar o ensino de matemática como chato toda vez que eles

se distraem na sala de aula durante o ensinar de conteúdos matemáticos?

Quadro 30 - Quantidade de aluno e os dias habituais que eles estudam a matematica fora do cotidiano escolar

Você costuma estudar matemática fora da escola? Valor absoluto Valor percentual

Só no período de prova 16 20%

Só na véspera de prova 13 16%

Só nos fins de semana 8 10%

Todo dia 1 1%

Alguns dias da semana 44 54%

Não respondeu 0 0%


63

Gráfico 25 - Quantidade de aluno e os dias habituais que eles estudam a matematica fora do cotidiano escolar


O quadro 30 e o gráfico 25 destaca que 54% dos alunos estudam a

matemática fora da sala de aula alguns dias da semana. Entretanto os que

estudam só na véspera da prova ou no periodo da prova somam 36%. É uma

quantidade expressiva que só estudam fora da sala de aula porque haverá algo em

um determinado dia que lhe exigirá o conhecimento para adquirir um com conceito

de aprovação. Como não querem ser reprovados ou são cobrados pela familia e/ou

pela escola e as vezes a sociedade em geral a continuidade dos estudos sem

reprovação, optam por dedicar um tempo próximo das avaliações ao estudo, quase

sempre memorizativo, por isso esquecem com facilidade. Não quero aqui dizer que

a culpa do alto indice de reprovação e/ou a falta de aprendizagem dos conteúdos

matemáticos seja culpa dos alunos, visto que a apreensão de conhecimentos

escolares é fruto das ações de vários sujeitos, direto ou indiretamente envolvido

no processo de ensino e de aprendizagem.

O quadro 31 e o gráfico 26 Apresenta os resultados adquiridos no

questionário, quando perguntamos quem o ajuda nas tarefas escolares realizada

fora da sala de aula.

64

Quadro 31 – Ajuda nas tarefas extraclasse dos alunos

Quem lhe ajuda nas tarefas extraclasse de matemática? Valor absoluto Valor percentual

Professor particular 0 0%

Pai 8 10%

Mãe 21 26%

Irmão 5 6%

Amigo 9 11%

Ninguém 32 39%

Pai e mãe 1 1%

Tia 2 2%

Prima 1 1%

Padrasto 1 1%

Avó 1 1%

Avô 1 1%

Não respondeu 0 0%


Gráfico 26 - Quem lhe ajuda nas tarefas extraclasse de matemática?

65


Ao analisar o quadro 31 e o gráfico 26 constatamos que 26% são as mães

que o ajudam, semelhante ao resultado encontrado por Paula (2011). Ja Graça

(2011), apresenta como predominante, os responsáveis masculinos nessa mesma

questão. Em relação ao auxílio nas tarefas de casa, 39% dos alunos não tem

ninguém pra ajudá-los, entretanto os responsaveis que não estudaram (5%)

juntamente com os que não responderam (11%) e os que estudaram até o 5º ano

(27%) totalizaram 43%, enquanto que a somatória entre alunos que não tem

auxílio nas tarefas extra-classes (39%) e os alunos que tem ajuda de um amigo

(11%) é de 50%, então fica a indagação. Onde está a familia destas criança? E o

papel da familia na educação escolar da criança, quem o faz?, Situação como

essa conduz as crianças a falta de interesse e compromisso de estudar fora da

sala de aula. Esse desânimo pode afetar tambem o apreender em sala de aula. ”.

Referente a nossa preocupação veja o que o Salgado (2015) diz:

[...] pode ser um agravante para as dificuldades sentidas no aprendizado

da matemática, pois sabemos que apenas as horas de aula ministrada em

sala não são suficientes para a apreensão dos conhecimentos. È

necessario, tambem dedicação por parte dos alunos. (p. 81)

A aprendizagem ocorre de maneira eficaz quando todos envolvidos neste

processo estão empenhado nessa construção. O que se percebe, é que quando

uma das partes que deveria estar envolvida, não cumpre o seu papel, o objetivo

final tambem não é alcançado.

Na sequência adentramos com perguntas referente a operação

potenciação. Os dois quadros e os dois gráficos a seguir são resultados de quando

perguntamos como o professor iniciou a aula sobre potenciação e o que o docente

usou para a fixação do conteúdo desta operação?

Quadro 32 – Métodos utilizados pelo docente para introduzir a potenciação

As aulas referentes do conteúdo potenciação iniciaram: Valor absolute

Valor percentual

I - Iniciaram pela definição. 54 66%

II - Iniciaram com uma situação problema. 9 11%

III -Iniciaram com um experimento para chegar ao 10 12%

66

chegar ao conceito.

IV - Iniciaram com um modelo para situação e em seguida analisando o modelo. 4 5%

V - Iniciaram com a história do assunto. 4 5%

Itens I e III 1 1% Fonte: Pesquisa de campo (2015)

Grafico 27 - Métodos utilizados pelo docente para introduzir a potenciação


A respeito da introdução do ensino de potencição, as experiencias vividas

por 66% dos alunos, mostram que o professor iniciou o assunto pela definição

seguida de exemplo e exercicios. Concluimos que os docentes desta área de

ensino ainda recorrem a metodológicas tradicional para ensinar a matemática,

deixando de lado algumas abordagens metodologicas usuais da Educação

Matematica. Com isso deixa de facilitar a aprendizagem dos educandos.

Quadro – 33 - Métodos utilizados pelo professor para a fixação da potenciação

Recursos utilizados para fixação do conteúdo de potenciação

Valor absoluto

Valor percentual

Apresentar uma lista de exercícios para serem resolvidos 4 36%

Apresentar uma lista de exercício e jogos envolvendo o 1 9%

67

assunto

Solicitar que os alunos resolvam os exercícios do livro didático 4 36%

Não propõe questões de fixação 0 0%

Solicitar que os alunos procurem questões sobre o assunto para resolver 0 0%

Apresentar uma lista de exercícios e resolver os exercícios do livro didático 1 9%


Grafico 28 - Métodos usados para a fixação da potenciação


A quadro a seguir mostra a quantidade de alunos que lembram ou não de já

ter estudado a operação potenciação.

Quadro 34 - Os alunos do 7º ano lembram ter visto estes assuntos no 6º ano

Assunto Sim % Não % NR %

Definição de potenciação 66 80% 14 17% 2 2%

Transformação de fatores iguais em potenciação. Exemplo: 4.4.4 = 72 88% 10 12% 0 0%

Transformação da potenciação em fatores iguais. Exemplo: 6² = 71 87% 11 13% 0 0%

Identificação dos termos da potenciação. Exemplo: 5 = 625 ....base.....expoente.....potência. 39 48% 43 52% 0 0%

Calculo da potenciação. Exemplo: 3 = 66 80% 16 20% 0 0%

68

Potenciação de base zero. Exemplo: 0³ = 46 56% 36 44% 0 0%

Potenciação de base um. Exemplo: 1= 51 62% 31 38% 0 0%

Potenciação de base 10. Exemplo: 10 = 54 66% 28 34% 0 0%

Potenciação de expoente 1. Exemplo: 8¹ = 51 62% 30 37% 1 1%

Potenciação de expoente zero. Exemplo: 9 = 44 54% 38 46% 0 0%

Produto de potencias de mesma base. Exemplo: 2.2 = 55 67% 27 33% 0 0%

Divisão de potencias de mesma base. Exemplo: 2: 2= 50 61% 31 38% 1 1%

Potência de potência. Exemplo: (5³) ² = 41 50% 41 50% 0 0%

Potência de produto. Exemplo: (3. 4) ³ = 45 55% 35 43% 2 2%

Zero elevado a zero. Exemplo: 0 = 54 66% 28 34% 0 0%

Expressão numérica com potência. Exemplo: 7³ + {5 - [4² + (3.2) ² + 9 - 5]} = 60 73% 22 27% 0 0% Fonte: Pesquisa de Campo (2015)

Gráfico 29 - Lembra ter estudado estes assuntos em potenciação

69

Fonte: Pesquisa de Campo (2015)

Ao analisar o quadro 34 e o gráfico 29, é notável quase em todas as

questões a maioria dos alunos afirmaram que lembram que estudaram o assunto,

apenas os itens: Identificação dos termos da potenciação com 52% e a potência de

potência com 50%, eles afirmaram não lembrar de ter estudado. Observe que

assim como a escrita dos números, as operações fundamentais e em especial a

70

multiplicação veio evoluindo até chegar na forma que fazemos hoje e a partir desta

operação surge a potenciação. No entanto se nossos alunos hoje acham difícil

entender e resolver os problemas usando as operações imagina em tempos mais

antigos, ou seja, mais próximo do seu surgimento. Houve época e civilização que

os usuários de cálculos escreviam os resultados parciais e depois apagavam para

ir colocando os próximos. Escreviam e apagavam quantas vezes fossem

necessários até chegar no resultado final do cálculo. Pois não havia papel e nem

caneta ou lápis para escrever. Os cálculos eram feitos na areia.

Quadro 35 - Resultado das atividades sobre potenciação do teste diagnóstico dos alunos egressos

Assunto MF % F % R % D %

MD %

NR %

Definição de potenciação 6 7% 11

13%

42

51%

14

17% 6 7% 2

2%

Transformação de fatores iguais em potenciação. Exemplo: 4.4.4 = 11

13%

34

41%

24

29%

10

12% 2 2% 1

1%

Transformação da potenciação em fatores iguais. Exemplo: 6² = 11

13%

24

29%

34

41% 9

11% 4 5% 0

0%

Identificação dos termos da potenciação. Exemplo: 5 = 625 ….base.....expoente.....potência. 0 0% 9

11%

30

37%

32

39% 9

11% 2

2%

Calculo da potenciação. Exemplo: 3 1 1%

31

38%

33

40%

12

15% 4 5% 1

1%

Potenciação de base zero. Exemplo: 0³ 8

10%

13

16%

26

32%

27

33% 7 9% 1

1%

Potenciação de base um. Exemplo: 1 9

11%

16

20%

32

39%

17

21% 6 7% 2

2%

Potenciação de base 10. Exemplo: 10 6 7%

20

24%

27

33%

23

28% 5 6% 1

1%

Potenciação de expoente 1. Exemplo: 8¹ 9

11%

21

26%

23

28%

22

27% 4 5% 3

4%

Potenciação de expoente zero. Exemplo: 9 6 7%

13

16%

26

32%

28

34% 8

10% 1

1%

Produto de potencias de mesma base. Exemplo: 2.2= 0 0%

13

16%

30

37%

24

29% 15

18% 0

0%

Divisão de potencias de mesma base. Exemplo: 2: 2= 2 2% 8

10%

25

30%

27

33% 19

23% 1

1%

71

Potência de potência. Exemplo: (5³) ² = 2 2% 9

11%

26

32%

30

37% 15

18% 0

0%

Potência de produto. Exemplo: (3. 4) ³ 3 4% 4 5%

33

40%

25

30% 15

18% 2

2%

Zero elevado a zero. Exemplo: 0 14

17%

21

26%

20

24%

14

17% 13

16% 0

0%

Expressão numérica com potência. Exemplo: 7³ + {5 - [4² + (3.2) ² + 9 - 5]} 6 7% 8

10%

20

24%

29

35% 19

23% 0

0%


O quadro e o gráfico a seguir, mostra o resultado dos alunos em cada

questão subjetiva do teste de avaliação diagnóstica.

Quadro 36 -Resultado do desempenho dos alunos egressos no teste de sondagem

Itens Questões Acertou

Acertou, mas não usou a propriedade Errou

Não respondeu

1 24 = 52% 0% 38% 10%

2 4² = 59% 0% 32% 10%

3 108 = 38% 0% 48% 15%

4 10² = 46% 0% 44% 10%

5 19 = 37% 0% 49% 15%

6 16 = 34% 0% 49% 17%

7 9¹ = 72% 0% 11% 17%

8 7¹ = 71% 0% 11% 18%

9 60 = 37% 0% 43% 21%

10 20 = 2% 0% 77% 21%

11 06 = 55% 1% 24% 20%

12 08 = 51% 0% 29% 20%

13 5². 5³ = 33% 5% 35% 27%

14 24. 2² = 15% 11% 38% 37%

15 6³: 6² = 13% 1% 45% 40%

16 36: 3³ = 5% 1% 34% 60%

17 (2³)4 = 0% 4% 35% 61%

18 (3²) ³ = 2% 2% 33% 62%

19 (2.4) ³= 2% 4% 38% 56%

20 (3.5) ² = 4% 2% 39% 55%

21

7³ + {54 - [ 4²+ (3.2) ² + 9 - 5 ]} = 1% 0% 39% 60%

22 9² + [2³ + (2.4) ² -3²] = 1% 0% 35% 63%


72

O gráfico 30 apresenta a numeração de 1 a 22 que corresponde as questões

referente ao quadro 36.

Gráfico 30 – Resultado do desempenho dos alunos egressos no teste diagnóstico


Os alunos erram mais quando as questões apresentam as propriedades da

potenciação, e assim como Lopes ( 2012), ressaltamos o alto indice de alunos que

não responderam as questões subjetivas do teste de sondagem aplicado aos

alunos egressos.

As análises de erros será feito só nos intrumentos de coleta dos alunos que

tentaram responder as questões sugeridas no teste de sondagem da operação de

potenciação.

73

3 CONCEPÇÃO E ANÁLISE A PRIORI

Nessa seção traremos os resultados da segunda fase da nossa investigação

de acordo a engenharia didática: Concepção e análise a priori. Para atender nosso

objetivo optamos pela metodologia de ensino da matemática por atividades,

considerando que “essa abordagem de ensino pressupõe a experiencia direta do

aprendiz com situações reais vivenciadas, nas quais a abordagem instrucional é

centrada no aluno e em seus interesses espontâneos.” (SÀ, 2009, p.18), e por

fazer a interação professor x aluno e aluno x aluno no decorrer da construção do

conhecimento, Sá e Jucá (2014).

Essa abordagem metodológica permite realizar um grande número de

experimentos, interpreta- los e posteriormente discuti-los em classe com professor

e colegas. Ressalta ainda que a omissão da não utilização da proposta não é

aceita mesmo que a escola não ofereça condições necessárias para a realização,

considerando que o professor como mediador do conhecimento precisa , melhorar

a qualidade de ensino, readaptando as condições da escola a realidade e ao nível

dos alunos, Mendes e Sá (2006).

Com o objetivo de oportunizar a construção do conhecimento veremos

algumas caracteriscas que as atividades devem conter segundo (SA, 2009, P. 18):

As atividades devem apresentar–se de maneira auto-orientadas para que Alunos consigam conduzir durante a construção de sua aprendizagem; Toda atividade deve procurar conduzir o aluno à construção das noções matemáticas através de três fases: a experiência, a comunicação oral das ideias aprendidas e a representação simbólica das noções construídas;

Esses elementos proporcionarão ao aluno, o desenvolvimento das

habilidades de observar, coletar dados, analisar e concluir. Ressaltamos que esta

metodologia pode contribuir para a redução das dificuldades de aprendizagem,

pois oferece condições aos educandos de observar o processo da formação dos

conceitos ensinados, proporcionando a construção do conhecimento sem substituir

o trabalho docente, visto que o professor é o mediador no direcionamento das

atividades desenvolvidas em sala de aula.

Em nossa pesquisa, a sequência didática é constituída por 12 atividades,

que possui seus respectivos objetivos a serem alcançados. No entanto, é preciso

avaliar os conhecimentos dos educandos, consequentemente faremos um teste de

74

avaliação diagnóstica, contendo 26 questões abertas, denominado pré-teste que

será aplicado no início da fase de experimentação e de pós teste ao final desta

mesma fase

A seguir apresentaremos a análise a priori do teste de avaliação diagnóstica.

Análise a priori das questões no pré-teste: A expectativa é de que os

alunos não conseguirão resolver essa questão, pois ainda não estudaram assunto.

Análise a priori do pós-teste: Consideramos que os alunos irão encontrar

a resposta correta, uma vez que utilizarão os conhecimentos adquiridos nas

atividades de redescoberta, referente a potenciação.

Análise a priori das questões no pré-teste: Consideramos que os alunos

não conseguirão resolver essa questão, pois ainda não estudaram assunto.

Análise a priori do pós-teste: Esperamos que os alunos irão encontrar a

resposta correta, visto que em uma potenciação, toda vez base é zero, a potência

será zero, tais conhecimentos serão adquiridos nas atividades desenvolvida em

sala de aula.

de Análise a priori das questões no pré-teste: Consideramos que os alunos


Análise a priori do pós-teste: Esperamos que no pos-teste os alunos

encontrarão a resposta certa, considerando que durante o experimento terão

oportunidade de calcular com auxilio de uma calculadora quantas vezes for

necessária essa potenciação, de maneira que irão perceber que apotenciação de

base 1, terá como resultado a própria base.

Potenciação a) 3³ = b) 6² =

Potenciação de base zero a) 04 = b) 015 =

4) 05 = 9) 020 =

5) 06 =

Potenciação de base 1 a) 14 = b) 17 =

75


não conseguirão resolver essa questão, pois ainda não estudaram este assunto. Análise a priori do pós-teste: acreditamos que os alunos encontrarão

resposta correta, pois durante as atividades testarão com e sem calculadora várias

questões semelhantes e perceberão que a potenciação de base 10, terá a

quantidade de zeros que o expoente indicar, ou seja o valor numérico da resposta

correta terá a mesma quantidade de zeros do o expoente da base que gerou a

resposta.


não conseguirão resolver essa questão, pois ainda não estudaram o assunto.


resposta correta, uma vez que utilizarão os conhecimentos que adquiriram

manuseando a calculadora durante a busca pela resposta das potenciações de

expoente 1. Eles notarão que a potenciação de expoente 1, terá sempre como

resposta a própria base.

Análise a priori das questões no pré-teste: partimos do ponto de vista que

os alunos não irão resolver essa questão, visto que ainda não estudaram a

potenciação.

Análise a priori do pós-teste: A expectativa com base nas atividades já

elaborada, é que os alunos encontrarão a resposta correta, pois notarão que

Potenciação de base 10 a) 102 = b) 105 =

3) 04 = 8) 015 =

4) 05 = 9) 020 =

5) 06 =

Potenciação de expoente 1 a) 31 = b) 10001 =

Potenciação de expoente zero a) 60 = b) 120 =

76

potenciação de expoente zero será igual a 1. Pois a referida potenciação vem de

uma divisão de potenciação de mesma base e mesmo expoente, logo a divisão de

um determinado valor por ele mesmo será igual a 1.


não conseguirão resolver essa questão, pois ainda não estudaram o assunto


resposta correta, uma vez que durante a fase da experimentação realizarão

atividades com produto de potência. Com isso irão perceber que produto de

potencia de mesma base, conserva a base e soma os expoentes, transformando-

as em uma única potenciação.

.




resposta correta, pois no período da exucução das atividades previamente

elaborada na fase análise a priori, os alunos notarão que para resolver a divisão de

potenciação, basta copiar a base e subtrair os expoentes transformando-as em

uma única potência

Produto de potência a) 2². 2³ = b) 43. 45

=

Produto de potência b) 2². 2³ = b) 43. 45

=

Divisão de potência a) 36: 34 = b) 54 : 52 =

Potência de potencia a) (4³)5 = b) (3²)³

77


não conseguirão resolver essa questão, pois ainda não estudaram este conteúdo.

Análise a priori do pós-teste: Esperamos que os alunos encontrarão a

resposta correta, visto que ao deparar com esta questão, já estudaram outras

propriedades da potenciação. E a potência de potência basta repetir a base e

multiplicar os expoentes, transformando-a em uma única potência.

Análise a priori das questões no pré-teste: Partimos do ponto de vista

que os alunos ainda não estudaram a potenciação, por isso não conseguirão ou

terão dificuldades de responder corretamente essa questão.

Análise a priori do pós-teste: A expectativa é que os alunos encontrarão a

resposta correta, uma vez que ao deparar com o quadradrado da soma e a soma

dos quadrados já entenderam a potenciação e algumas propriedades em outras

atividades já estudada. Nesta questão vão apenas substituir os valores de a e b, e

posteriormente resolvê-la. A medida que calcularem, perceberão que a soma dos

quadrados terá resultados diferentes do quadrado da soma.



Análise a priori do pós-teste: visamos que os alunos encontrarão a

resposta certa, visto que irão apenas substituir a e b com seus respectivos valores,

posterior a essa etapa irá calcular a potenciação, e apartir dai perceberão que o

resultado do quadrado da diferença é diferente do resultado da diferença dos

quadrados.

Quadrado da soma e a soma dos quadrados a) a²+ b² b) (a + b )²

Quadrado da diferença e a diferença dos quadrados

a) a² - b² = b) (a – b)²

Produto da soma pela diferença de dois números a) (a + b).(a - b) = b) a² - b² =

78


não conseguirão resolver essa questão, pois ainda não estudaram o produto da

soma pela diferença de dois números.

Análise a priori do pós-teste: presumimos que os alunos encontrarão a

resposta correta, uma vez que estas questões são semelhantes as duas anteriores,

porém o resultado do produto pela diferença de dois números é igual ao resultado

do quadrado das diferenças.

Essas questões do pre-teste e do pos-teste, foram elaboradas visando,

diagnosticar o conhecimento tanto antes como depois do desenvolmento das

atividades da sequencia didática utilizadas na fase da experimentação.

3.1 ATIVIDADES PARA O ENSINO DA OPERAÇÃO POTENCIAÇÃO

Aqui apresentamos as atividades que serão propostas para o ensino da

operação potenciação, levando em cosideração os princípios do ensino por

atividade, que é o ensino por descoberta e participação efetiva dos alunos no

descobrimento de conceitos e generalizações que serão apresentados na fase

experimentação. Nossa sequência didática é constituida por 12 atividades que

foram trabalhadas em 6 encontros com 3 a aulas cada encontro, tendo a duração

de 45 minutos ou 30 minutos cada uma, de acordo o planejamento da escola.

Veremos a seguir o centeúdo de cada uma delas.

A nossa sequência didática é composta com atividades que abordam vários

assuntos relacionados a operação potenciação a saber: Conceito de potenciação;

potenciação de base 1; potenciação de base zero; potenciações de expoente 1;

potência de base 10; Divisão de potências; produto de potências; divisão de

potências; potência de potência; expoente zero; quadrado da soma e a soma dos

quadrados; quadrado da diferença e a diferença dos quadrados; produto da soma

pela diferença de dois números.

A seguir apresentaremos a proposta de atividades que contituirão a sequência didática da nossa pesquisa.

79

3.1.1 ATIVIDADE 01

Título: Potenciação

Objetivo: Introduzir o conceito de potenciação

Material: Papel, lápis ou caneta e máquina de calcular.

Procedimento: Com o auxílio da calculadora, calcule as operações abaixo e

registre os resultados obtidos:

1) 32 = 9) 24 =

2) 42 = 10) 72 =

3) 23 = 11) 62=

4) 52 = 12) 82 =

5) 13 = 13) 103=

6) 33 = 14) 05 =

7) 04 = 15) 15 =

8) 102=

Com base nos resultados obtidos, descubra como a máquina operou para

obter os resultados em cada item.

A operação que a máquina calculou é denominada de potenciação!

Na potenciação 23 = 8, o número 2 é denominado de base, o número 3 é

denominado de expoente e o número 8 é denominado de potência.

Fonte: Adaptação Sá (2009, p. 32)

Analise a priori da atividade 1: Para a resolução desta atividade, os alunos

deverão ter conhecimentos da estrutura multiplicativa. No entanto, esperamos que

os alunos descubram procedimentos mais rápidos antes do final da atividade , ou

seja, percebam que para resolver esta atividade, bastará repetir a base a

quantidade de vezes que está indicado no expoente e posteriormente multiplicá-

las.

80

3.1.2 ATIVIDADE 02

Título: Potenciação de base 1

Objetivo: Descobrir uma relação entre as potenciações de base 1.

Material: Papel, lápis ou caneta e máquina de calcular.

Procedimento: Calcule as potenciações a seguir, usando calculadora 1) 12 = 6) 110 =

2) 13 = 7) 112 =

3) 14 = 8) 115 =

4) 15 = 9) 130 =

5) 16 = 10) 140 =

Observação:

Conclusão:

Fonte: Sá (2009,p.32)


deverão ter conhecimentos prévios da operação multiplicação, pois para encontrar

o resultado correto recorrerá a esta operação. No entanto esperamos que os

alunos descubram procedimentos mais rápido antes do final da atividade, ou seja,

perceber que para resolver esta atividade, bastará repetir a base a quantidade de

vezes que está indicado no expoente e posteriormente multiplica-las. Daí perceber

o resultado será sempre 1, pois multiplicar 1 por ele mesmo sempre encontrará o 1

como resultado.

81

3.1.3 ATIVIDADE 03 Título: Potenciação de base zero

Objetivo: Descobrir uma relação entre as potenciações de base zero.

Material: Papel, lápis ou caneta, roteiro da atividade e máquina de calcular.

Procedimento: Calcule as potenciações a seguir:

1) 02 = 6) 07 =

2) 03 = 7) 010 =

3) 04 = 8) 015 =

4) 05 = 9) 020 =

5) 06 = 10) 030 =

Observação:

Conclusão:

Fonte: Sá (2009,p.34)


deverão ter conhecimentos prévios da operação multiplicação, pois o cálculo em

cada questão levará a esta situação. No entanto esperamos que os alunos

descobrirão procedimentos mais rápido antes do final da atividade, ou seja,

perceber que para resolver esta atividade, bastará repetir a base a quantidade de

vezes que está indicado no expoente e posteriormente multiplica-las. Daí perceber

que o resultado será sempre zero, não importa o valor que está indicado no

expoente.

82

3.1.4 ATIVIDADE 04

Título: Potenciações de expoente 1

Objetivo: Descobrir uma relação entre as potenciações de expoente 1.


Procedimento: Calcule as potenciações a seguir, usando auxilio da

calculadora.

1) 01 = 6) 61 =

2) 11 = 7) 71 =

3) 21 = 8) 81 =

4) 31 = 9) 101 =

5) 41 = 10) 10001 =

Observação:

Conclusão:

Fonte: Adaptação de Sá (2009, p.32)


deverão ter conhecimentos prévios da operação multiplicação, pois o cálculo em

cada questão levará a esta situação. No entanto esperamos que os alunos antes

do final da atividade descobrirão procedimentos mais rápido, ou seja,

conjecturamos que eles irão notar que para adquirir o resultado desta atividade,

bastará repetir a base a quantidade de vezes que está indicado no expoente e

posteriormente multiplica-las. Como o expoente é o número 1, a base será repetida

apenas uma vez, ou seja, o resultado será sempre a base.

83

3.1.5 ATIVIDADE 05

Título: Potência de base 10

Objetivo: Descobrir uma maneira prática de calcular potenciações de base

10.


Procedimento: Calcule as potenciações a seguir:

1) 102 = 6) 107 = 2) 103 = 7) 108 =

3) 104 = 8) 109 =

4) 105 = 9) 1010 =

5) 106 = 10) 1015 =

Descubra uma maneira mais rápida de calcular as potenciações Conclusão:

Fonte: Sá (2009,p.33)

Analise a priori da atividade 5: Nesta atividade, os alunos deverão ter

conhecimentos prévios da operação multiplicação, pois o cálculo em cada questão

levará a esta situação. No entanto esperamos que os alunos antes do final da

atividade perceberão que bastará repetir a base a quantidade de vezes que está

indicado no expoente e posteriormente multiplica-las. Como a base é o número 10,

logo o resultado encontrado terá a quantidade de zeros igual ao valor do expoente.

84

3.1.6 ATIVIDADE 06

Título: Produto de Potências

Objetivo: Descobrir uma maneira prática de calcular o produto de potências

de mesma base.

Material: Papel, lápis ou caneta, roteiro da atividade e máquina de calcular

(optativa).

Procedimento: Escreva o produto de potências como uma única potência:

1) 23. 24 = 6) 73. 72 =

2) 35. 35 = 7) 83. 83 =

3) 53. 54 = 8) 32. 37 =

4) 44. 45 = 9) 97. 93 =

5) 67. 66= 10) 104. 105 =

Descubra uma maneira mais rápida de obter os resultados! Conclusão: Fonte: Sá (2009,p.35)


deverão ter conhecimentos prévios da operação da adição, pois o cálculo em

cada questão levará a esta situação. No entanto esperamos que os alunos antes

do final da atividade descubram procedimentos mais rápido, ou seja, acreditamos

que eles irão notar que para adquirir o resultado desta atividade, bastará repetir a

base e somar os expoentes.

85

3.1.7 ATIVIDADE 07

Título: Divisão de Potências

Objetivo: Descobrir uma maneira prática de calcular a divisão de

potências.

Material: Papel, lápis ou caneta, roteiro da atividade.

Procedimento: Escreva as divisões na forma de uma única potência:

Observação:

Conclusão:

Fonte: Sá (2009,p.36)

Analise a priori da atividade 7: Analise a priori da atividade 9: Para a resolução

desta atividade, os alunos deverão ter conhecimentos prévios de estrutura

multiplicativa, pois a resolução desta propriedade utiliza a multiplicação. E da

estrutura aditiva, pois usará a subtração para transformar a divisão de potência

em uma única potência, considerando que cálculo em cada questão levará a esta

situação. No entanto esperamos que os alunos antes do final da atividade

descobrirão procedimentos mais rápido, ou seja, acreditamos que eles irão notar

86

que para adquirir o resultado desta atividade, bastará repetir a base e subtrair os

expoentes.

3.1.8 ATIVIDADE 08

Fonte: Sá (2009,p.37)

Análise a priori da atividade 8: Nesta atividade, os alunos deverão ter

conhecimentos prévios da operação multiplicação, pois o cálculo em cada questão

levará a esta situação. No entanto esperamos que os alunos antes do final da

atividade perceberão que bastará repetir a base e multiplicar os expoentes.

Título: Potência de potência

Objetivo: Descobrir uma maneira de calcular potências de potências.

Material: Papel, lápis ou caneta, roteiro da atividade e máquina de

calcular(optativa).

Procedimento: Escreva as potências na forma de uma única potência:

1) (22)2 = 6) (610)4 =

2) (33)3 = 7) (312)2 =

3) (54)4 = 8) (815)4 =

4) (35)2 = 9) (320)2 =

5) (76)5 = 10) (230)6 =

Descubra uma maneira mais rápida de obter os resultados!

Conclusão:

87

3.1.9 ATIVIDADE 09

Título: Expoente zero

Objetivo: Descobrir uma relação entre as potenciações de expoente zero.

Material: Papel, lápis ou caneta, roteiro da atividade

Procedimento: Preencha o quadro a seguir:

Divisão Resultado na forma de potência

Resultado numérico

24/24 20 1

Observação: Conclusão:

Fonte: Sá (2009,p.38)

Analise a priori da atividade 9: Analise a priori da atividade 9: Para a resolução

desta atividade, os alunos deverão ter conhecimentos prévios de estrutura

multiplicativa, pois a resolução desta propriedade utiliza a multiplicação. E da

estrutura aditiva, pois usará a subtração para transformar a divisão de potência

em uma única potência, considerando que cálculo em cada questão levará a esta

situação. No entanto para entender que a base elevada a zero é igual a 1. Faz- se

necessário usar a multiplicação e a divisão. Esperamos que os alunos antes do

final da atividade descobrirão procedimentos mais rápido, para encontrar o

resultado das questões proposta nesta atividade.

88

3.1.10 ATIVIDADE 10

Título: Quadrado da soma e a soma dos quadrados

Objetivo: descobrir uma relação entre o quadrado da soma e a soma dos

quadrados de dois números naturais.

Material: lápis ou caneta, roteiro da atividade, e uma máquina de calcular


Valores a2 + b² ( a + b )²

a=2 b=3

a=3 b=4

a=4 b=5

a=5 b=1

a=4 b=2

a=3 b=1

a=2 b=1

a=6 b=2

a=7 b=1

a=5 b=3


Fonte: Sá (2009,p.90)


deverão ter conhecimentos prévios da operação multiplicação e adição, pois o

cálculo em cada questão levará a esta situação. No entanto esperamos que os

alunos antes do final da atividade descobrirão procedimentos mais rápido para

resolver essa atividade e perceba que os resultados da segunda coluna não são os

mesmos resultados da terceira coluna.

89

3.1.11 ATIVIDADE 11

Título: Quadrado da diferença e a diferença dos quadrados

Objetivo: descobrir uma relação entre o quadrado da diferença e a diferença

dos quadrados de dois números naturais.



Valores a2 - b² ( a - b )² a=3 b=2 a=4 b=3 a=5 b=4 a=5 b=1 a=4 b=2 a=3 b=1 a=2 b=1 a=6 b=2 a=7 b=1 a=5 b=3


Fonte: Sá (2009,p.91)


deverão ter conhecimentos prévios da operação multiplicação e a subtração, visto

que o cálculo em cada questão levará a esta situação. Porém esperamos que os

alunos antes do final da atividade descobrirão procedimentos mais rápido para

resolver essa atividade e perceba que os resultados da segunda coluna não são os

mesmos resultados da terceira coluna.

90

3.1.12 ATIVIDADE 12

Título: Produto da soma pela diferença de dois números

Objetivo: descobrir uma maneira prática determinar o produto da soma pela

diferença de dois números.



Valores a² b² a – b a + b (a + b).(a – b) a² + b² a² - b² a=3 b=2 a=4 b=3 a=5 b=4 a=5 b=1 a=4 b=2 a=3 b=1 a=2 b=1 a=6 b=2 a=7 b=1 a=5 b=3

Observação: Conclusão: Fonte: Adaptação a Sá (2009,p.92)


deverão ter conhecimentos prévios das operações adição, subtração e

multiplicação, pois o cálculo em cada questão levará a esta situação. No entanto

esperamos que os alunos antes do final da atividade descobrirão procedimentos

mais rápido para resolver essa atividade e perceba que os resultados da segunda

coluna são os mesmos resultados da terceira coluna.

Essas atividades serão desenvolvidas durante a experimentação, na sala

de aula, que é a fase a seguir.

91

4 EXPERIMENTAÇÃO

Esta seção tem a finalidade de relatar os resultados obtidos na fase da

experimentação de nossa investigação. Nossa proposta de investigação foi

desenvolvida em uma escola pública municipal de Ensino Fundamental do

município de Nova Ipixuna, nos meses de abril e maio de 2016. A escola escolhida

para a realização da experimentação possui 13 turmas, sendo 5 destas do 6º ano,

que é a série na qual realizamos esta etapa de nossa pesquisa a fim de avaliar

e/ou promover o conhecimento sobre a operação potenciação. Esta escola em

2015, teve o índice de desenvolvimento da Educação básica (IDEB) de 3,4

conforme a imagem a seguir:

Imagem 2: Resultado do IDEB do locus da pesquisa

Fonte: www.http://ideb.inep.gov.br/resultado/ acesso em 2 de dezembro de 2016

O primeiro contato da pesquisadora com a escola foi em março de 2015,

procuramos a diretora e a coordenadora pedagógica e apresentamos o projeto da

nossa pesquisa. Esta pediu que falasse com o professor do 6º ano e verificasse o

melhor momento para desenvolver o nosso experimento. Então conversamos com

o professor e este nos informou que seria no segundo semestre do ano, em junho

voltei a falar com professor, este me informou que houve mudanças no

planejamento anual e que estava terminando de trabalhar a operação potenciação.

Logo só foi possível realizar o experimento em 2016.

Em 2016 procuramos a escola novamente acertamos os dias a serem

utilizados com o experimento, o professor desmonstrou preocupação com o tempo

que seria destinado para aplicar todas as atividades e então solicitou aceleração do

experimento. Então os jogos que utilizamos para contribuir com a aprendizagem da

potenciação, foi confeccionado e trabalhado tambem em horários vagos dos alunos

tipo: intervalo, aula vaga de professores que deixaram de comparecer por

situações cuja abordagem não cabe nesta pesquisa.

http://www.http/ideb.inep.gov.br/resultado/

92

No dia previsto que tínhamos firmado no acordo. Fomos para a sala de aula

aguardamos a apresentação do professor e esclarecemos o nosso objetivo. Na

conversa que tivemos com os alunos perguntamos se aceitavam o desafio de

estudarem conosco a operação potenciação. Para felicidades de todos eles

toparam esse desafio.

Conforme o registro escolar a turma do 6º ano era composta de 35 alunos,

sendo que 4 alunos estavam repetindo a mesma serie. Entretanto para efeito de

Análise, usamos os dados de 27 alunos como amostra, pois estes estavam

presentes na aplicação do pré-teste e no pós-teste e como forma manter os nomes

dos alunos em anonimato classificamos- os em: A1, A2, A3, A4, ..., A27. Assim

como.

A fase experimental desenvolvida em sala de aula foi dividida em 6

encontros compostos por duas ou três aulas de 30 ou 40 minutos cada. As aulas

de trinta minutos foram em decorrência dos conselhos de classe no final de cada

turno. Conforme a quantidade de tempo que tínhamos, aplicávamos duas a três

atividades da nossa sequência didática.

Para organizarmos a dinâmica do trabalho seguimos os passos que estão

no quadro 37.

Quadro 37 - Ações para aplicar as atividades e objetivos/ razões para essas ações

Ações para aplicar as atividades Objetivos / razoes para essas ações

Divisão da turma em duplas Facilitar a troca de conhecimento e a

quantidade das calculadoras não eram

suficientes para todos.

Distribuição das calculadoras Oferecer um aparato tecnológico

acessível, mas que viesse contribuir

com a aprendizagem.

Orientação do manuseio da calculadora Proporcionar ao aluno conhecimento

necessário para que o aparto

tecnológico oferecido fosse utilizado.

Entrega do roteiro da atividade Agilizar o andamento do experimento

Apresentação do objetivo da atividade Socializar com os alunos o que

pretemos alcançar, para que possam

construir uma noção matemática

93

adequada para o assunto daquela

atividade.

Orientação do desenvolvimento

operacional da atividade com o auxilio

da calculadora

Facilitar o entendimento do aluno para

entender o que acalculadora faz e

apartir dai responder as atividades e

emitir suas opiniões nas conclusões e

observações que as atividades solicita.

Socialização das informações

produzidas pelos educandos

Pedir alguns alunos que socialize seus

cálculos e respostas no quadro e expor

sua opinião sobre atividade

Institucionalização do assunto

matematicamente

Fornecer informações matemáticas

sobre o resultado ao aluno para que ele

tenha condições de comparar ambos, e

partir desta comparação se construa a

regra geral – a institucionalização.

Fonte: adaptação de Lopes (2015)

No quadro 38 apresentaremos aos leitores um cronograma que fornecerá

uma visão geral de como trabalhamos as atividades de ensino na fase

experimentação, foram utilizados 6 encontros para realizarmos a experimentos em

sala de aula, que consistiu na aplicação dos testes e da sequência didática,

composta por: atividades de aprendizagens referente a potenciação, atividades de

fixação deste mesmo conteúdo, pré-teste e pós- teste. O detalhamento de como

ocorreu o desenvolvimento da experimentação e os dados do perfil dos alunos

participantes serão apresentados nos tópicos subsequentes.

Quadro 38: Cronograma da fase experimentação da pesquisa

Encontro Data Atividades Previstas Tempo

1º

29/04/2016 Aplicação do questionário sócio –

econômico e o Pré-teste

62 minutos

29/04/2016 Atividade 1 – Definição de Potenciação 49 minutos

03/05/2016 Atividade 2 – Potenciação de base 1 40 minutos

2º 03/05/2016 Atividade 3 – Potência de base 0 36 minutos

03/05/2016 Atividade 4 – Potenciação de expoente1 31 minutos

94

06/05/2016 Atividade 5 – Potência de base 10 28 minutos

3º 06/05/2016 Atividade de fixação: potenciação base 1,

zero e dez; potenciação de expoente1.

20 minutos

06/05/2016 Atividade 6 – Produto de Potências 50 minutos

10/05/2016 Atividade 7 – Divisão de Potências 41 minutos

4º 10/05/2016 Atividade 8 – Potência de potência 46 minutos

13/05/2016 Atividade 9 – Expoente zero 40 minutos

13/05/2016 Atividade de fixação: produto de

potencia, divisão de potencia e potencia

de potencia e expoente zero

30 minutos

5º 13/05/2016 Atividade 10 – Quadrado da soma e a

soma dos quadrados

38 minutos

13/05/2016 Atividade 11 – Quadrado da diferença e a

diferença dos quadrados

30 minutos

17/05/2016 Atividade 12 – Produto da soma pela

diferença de dois números

40 minutos

6º 17/05/2016 Aplicaçao do Pós-teste 60 minutos


Os encontros mencionados acima serão detalhados nas subseções a seguir

onde vamos relatar como dessenvolvemos nosso experimento em cada um dos

encontros que tivemos com os alunos em sala de aula.

4.1 PRIMEIRO ENCONTRO COM OS ALUNOS

No primeiro e ncontro, em 29 de abril de 2016, às 7h o professor da turma,

nos apresentou para os alunos como professora que trabalharia a operação

potenciação com eles, devido estar realizando uma pesquisa cientifica sobre o

ensino daquele conteúdo, então solicitou a eles que dialogasse um pouco comigo

para ficarem cientes de como funcionaria o experimento que iríamos desenvolver

em sala de aula com eles, além de tirarem todas as dúvidas sobre a eventual

mudanças de professor temporariamente. Então falamos um pouco sobre sobre a

nossa profissão, formação acadêmica atual e do curso de mestrado que estamos

participando. Em decorrência do mestrado estamos propondo trabalhar com eles a

potenciação utilizando uma metodologia diferente das que eles estavam

acostumados a participar em sala de aula. Depois de explicar como seria a

95

metodologia, falamos da importância da participação dos educandos na pesquisa

tanto para eles como para a pesquisadora, perguntei se eles aceitariam a

participar? E se coloborariam para bom funcionamento das aulas. Para o bem de

todos, concordarm com a proposta.

Então passamos a aplicação do questionário contendo perguntas

relacionada ao perfil deles enquanto alunos do 6º ano. Explicamos que seria

interessante que eles respondesse todas as questões e quanto ao teste contendo

questões relacionadas a potenciação, só era pra responder apenas aquelas

questões que soubessem, no entanto se não soubesse responder não precisaria

se preocupar, pois estávamos avaliando o conhecimento deles naquele momento,

mas não contaria na nota deles para aprovação no final do ano letivo, caso não

soubessem responder, era apenas um teste de sondagem, e que só depois que

ensinássemos a potenciação é que iríamos novamente aplicar um teste pra saber o

que eles teriam aprendido e que o professor titular da turma também iria cobrar na

prova dele.

O preenchimento do questionário sócio-ecônomico pelos alunos teve a

duração de 35 minutos e para responder as questões sobre a operação

potenciação contidas no pré-teste os alunos demoraram 27 minutos, neste

encontro, estavam presentes 28 alunos, e as informaçãoes coletadas nestes

instrumentos de pesquisa, estão expostas mais adiante na sessão da análise a

posteriori e validação.

Na aplicação das atividades 01 a 12 seguiremos os passos definidos no

quadro 37, neste momento nos detemos no ocorrido durante a aplicação das

atividades e nas conclusões e/ou observações dos alunos em cada atividade. No

dia 29/04/2016, também aplicamos a atividade 01 que introduziu a operação

potenciação,

Na atividade 01 solicitamos aos 28 alunos participantes que respondesse a

seguinte pergunta. ” Com base nos resultados obtidos, descubra como a máquina

operou para obter os resultados em cada item? ”

96

Quadro: 39 – Conclusões dos alunos na atividade 01. (Introduçaõ a potenciação)

Conclusões / Observações Alunos Validade da

conclusão/

observação

Multiplicação da base pelo expoente e

vice-versa.

A8

Inválida

A máquina fez uma multiplicação A1, A5, A6, A11,

A15, A21

Inválida

A máquina fez uma multiplicação e os

alunos deram exemplos.

A14, A19, A23,

A26

Inválida

Quando elevamos um numero ao outro

número na maquina. Ela faz varias

multiplicações e encontra o resultado.

A13,

Válida

O expoente diz quantas vezes tem de

multiplicar a base e/ou deu exemplo de

como a calculadora fez para encontrar o

resultado.

A2, A7, A9, A16,

A20, A22, A24,

A27

Válida

Não houve produção escrita A3, A4, A10, A12,

A17, A18, A25,

A28.

-


Consideramos resposta do aluno (A8) invalida, pois, o aluno considerou

apenas a multiplicação da base pelo expoente e vice-versa. Veja a seguir:

Fonte: atividade 01 do aluno A8

97

Os alunos (A5, A6, A11, A15, A21), não conseguiram elaborar uma conclusaõ, a

idéia ficou incompleta, por isso é inválida para esta operação. Vejamos algumas

conclusões dos alunos a seguir:



Os alunos (A14, A19, A23), também erraram, pois consideraram apenas

uma multiplicação, sem explicar como seria feito os càlculos.



A aluna A13 elaborou sua opinião dentro do que solicitamos, apesar de não

ter inserido em seu texto nenhum termo da potenciação. Consideramos válida, pois

partimos do ponto de ser ainda a primeira atividade desenvolvida em sala de aula.

98


Os alunos (A2, A7, A9, A16, A20, A22, A24, A27), que acrescentaram a

multiplicação da base pela base de acordo a quantidade indicada no expoente de

cada potenciação e apresentaram exemplos da potenciação dentro da conclusão.

Consideramos válida. No entanto apesar da pesquisadora já haver explicado sobre

os termos da operação potenciação, apenas dois alunos utilizaram alguns dos

termos da potenciação em suas respostas. Como mostra as figuras a seguir que

apresenta tanto este último caso como outros que consideramos validos.



99


Consideramos este encontro proveitoso apesar de apenas 10 alunos terem

produzidos textos válidos. Apesar de estarmos esperando que eles concluíssem

que a potenciação é uma multiplicação de fatores iguais. No final da atividade

convidamos alguns alunos para ir ao quadro socializar suas conclusões e juntos

construímos uma definição para a potenciação.

Potenciação é multiplicação de fatores iguais, representada da seguinte forma:

an = b, onde a é denominado de base, o n é denominado de expoente e o b é

denominado de potência.

Porém como não solicitamos para eles escreverem na sua conclusão essa

definição, quase todos optaram por manter apenas o texto deles, mas baseado no

resultado do pós-teste no quadro 61 podemos afirmar que entenderam os

procedimentos a ser seguido para obter o resultado que a máquina obteve. Em

relação a dificuldade dos alunos em produzir uma conclusão por escrito nas

atividades, Lopes (2015, p. 200), também apresenta em sua pesquisa relatos de

alunos que não conseguiram expressar o seu entendimento por escrito. No entanto

no decorrer deste texto notarão que os alunos foram melhorando suas produções

textuais.

4.2 SEGUNDO ENCONTRO COM OS ALUNOS

No segundo encontro realizado no dia 03/05/2016 aplicamos as atividades:

02, 03 e 04, estavam presentes 29 alunos.

Na atividade 02 os alunos tinham que descobrir uma relação entre as

potenciações de base 1. A atividade apresentava várias questões com a

potenciação de base um e expoentes com valores numéricos diferenciados, para

100

que eles pudessem tirar suas conclusões à medida que calculavam cada item da

atividade com auxilio da calculadora. Nesta atividade apenas 5 alunos não

conseguiram produzir uma conclusão válida. Como mostra o quadro a seguir:

Quadro 40 – Conclusões dos alunos na atividade 02 (potênciação de base 1)

Conclusões / Observações Alunos Validade da conclusão/

observação

Toda vez que a base é um

(1). O expoente pode ser

qualquer número, que o

resultado será sempre um

(1).

A2, A3, A4, A6, A7, A8,

A10, A12, A13, A14, A15,

A16, A17, A19, A20, A21,

A23, A24, A25, A26, A27,

A28, A29, A30,

,

Válida

Não conseguiram entender o

suficiente para emitir sua

opinião por escrito

A1, A5, A9, A11, A22 Inválida


Dos 5 alunos, cuja resposta foram consideradas inválidas, todos

encontraram o resultado da potenciação de base 1, mas não conseguiram emitir

uma idéia sobre esta potenciação. Apresentamos algumas produções a seguir.


101


Os alunos A13, A23, A24, conseguiram fazer a conclusão usando os termos

da operação potenciação corretamente. Vejam a seguir:




No segundo encontro apenas 17% dos alunos não coseguiram produzir uma

conclusão que atendesse o obetivo esperado na atividade 02. Após o

encerramento da atividades convidamos alunos para expor suas conclusões, então

uma aluna foi e escreveu no quadro a sua conclusaõ e um outro aluno não veio ao

quadro mas leu a sua conclusaõ. Discutimos juntos o que seria melhor para

atender o objetivo da atividade. e consideramos como conhecimento

institucionalizado o seguinte:

102

Em uma potenciação, onde a base é um, o expoente pode assumir qualquer valor inteiro

que a potência será a própria base. ex: 1n = 1

Ao finalizarmos a conclusão formalizada entregamos a atividade 03. Nela

visamos que os alunos descobrissem uma relação entre as potenciações de base

zero. Esta atividade é semelhante à da atividade 02, e obtivemos as seguintes

conclusões:

Quadro 41 – Conclusões dos alunos na atividade 03 (Potênciação de base 0)


observação

Quando a base é zero o

resultado da potenciação é

zero.

A1, A2, A4, A6, A7, A10,

A12, A13, A14, A15, A18,

A19, A20, A21, A22, A23,

A24, A28, A29, A30.

Válida

O expoente multiplica a

base.

A8, A9, A25, A16

Inválida

Não conseguiram emitir

uma conclusão por escrito.

A5, A11, A17

_

Sempre que a base for zero,

o expoente pode ser

qualquer valor númerico,

que sempre o resultado será

zero.

A3, A27

Válida


Consideramos inválidas as conclusões / observções dos alunos A8, A9, A25,

A16, pois expuseram em suas produções textuais que o expoente multiplica a base

ou vice-versa. Vejam a seguir algumas produções textuais.


103


As respostas a seguir são amostra de algumas conclusões que eles

conseguiram produzir a partir do entendimento de cada um.




104


O aluno A27 foi a amostra escolhida para representar os alunos que

conseguiram observar que em potenciação de base zero. O expoente pode ser

qualquer valor numérico que o resultado será igual ao valor da base.


Assim que os alunos anunciaram o término da atividade solicitamos dois

alunos para irem ao quadro compartilharem sua conclusão. Entaõ foram e

escreram no quadro, a partir dai comentamos as conclusões e formalizamos uma

no quadro, assim:

Na potenciação de base zero com o expoente de diferente de zero, a potência será igual a

zero, ex: 0n = 0, ou seja, a e b = 0

Ao encerrarmos a atividade 03, ainda no mesmo encontro passamos a

aplicação da atividade 04. Nesta atividade tivemos um bom êxito também, pois

apenas 24% não conseguiram emitir suas ideias ou produziram uma conclusão

insastifatória para com o objetivo esperado nesta atividade. O objetivo visava

queos alunos descobrissem uma relação entre potenciações de expoente 1.

Registramos as seguintes conclusões.

105

Quadro 42 - Conclusões dos alunos na atividade 04 (Potênciação de expoente 1)


observação

Se o expoente for 1, o

resultado da potenciação

sera o mesmo numero

(valor numérico) da base

A1, A2, A6, A8, A9, A10,

A11 A12, A14, A16, A17,

A18, A19, A20, A21 A22,

A23, A24, A25, A26, A27,

A28

Válida

Multiplica base pelo

expente e vice e versa.

A13

Inválida

Não conseguiram

formular uma conclusão

por escrito

A3, A15, A29, A30,

-


Ao analisar o quadro acima verifique que tivemos 14% dos alunos que não

expressaram seu entendimento por escrito em forma de texto sobre a potenciação

de expoente 1, correspondente a atividade que acabara de responder as questões

de cálculos. E veja a seguir exemplo de conclusões de alunos que não atingiu o

objetivo planejado para esta atividade.

A conclusão do aluno A13, foi considerada inválida, pois este entendeu de

maneira errônea a operação potenciação, assim como alguns alunos da atividade

04.

As produções textuais a seguir é uma pequema amostra de conclusões

produzidas pelos alunos na atividade 04. Estes em nossa análise atingiram o

objetivo planejado para esta atividade, por isso validamos suas conclusões

106






107

Com o intuito de formalizar a conclusão desta atividade convidamos alunos

para irem ao quadro socializar suas conclusões. Explanamos um pouco sobre esta

potenciação e produzimos a conclusão final da atividade, que ficou assim:

Na potenciação de expoente 1, a base pode assumir qualquer valor numérico que a

potência será a própria base. ex. a¹ = a, ou seja, a = b

Ao finalizarmos a análise da ultima atividade dessenvovida neste encontro,

damos seguência nas do terceiro encontro a seguir.

4.3 TERCEIRO ENCONTRO

No terceiro encontro dia 06/05/2016, aplicamos a atividade 05, fizemos

atividade de fixação da potenciação base: um, zero e dez; expoente 1, e aplicamos

a atividade 06.

Na atividade 05 trabalhamos “Potenciação de base 10”, esteve presentes 29

alunos e concluíram a atividades em 28 minutos. Tínhamos como finalidade os

alunos descobrirem uma maneira prática de calcular potenciações de base 10.

O resultado desta atividade organizamos no quadro a seguir:

Quadro 43 -Conclusões dos alunos na atividade 05 (Potenciação de base 10)


observação

Quando a potenciação é de

base 10, o expoente indica a

quantidade de zeros que o valor

do resultado (potência) terá.

A1, A5, A6, A7, A8, A10,

A11, A12, A13, A14,

A15, A17, A18, A19,

A20, A21, A22, A23 A24,

A25, A26, A27, A29, A30

Válida

Não conseguiu expressar por

escrito uma idéia da maneira

pratica de calcular as

potenciações da atividade

proposta.

A2, A3, A4, A9, A16,

Inválida


108

Os alunos A6, A22, A26, é uma pequena amostra dos alunos que tiveram

suas conclusões validada, pois atingiram o objetivo planejado para a atividade 05.

Vejam suas produções a seguir:


Os alunos A2, A3, A4, A9, A16, tiveram suas conclusões inválida, por não

conseguirem expressar por escrito a maneira mais rápida de calcular as

potenciações de base 10, como podemos ver a seguir:



109

Nesta atividade, 17% dos alunos não conseguiram produzir uma conclusão

informando a maneira mais rápida de calcular as potenciações de base 10.

Ao final desta atividade, dois alunos foram ao quadro socializar suas

produções textuais, relacionada a potenciação de base 10, que acabara de

responder. Após comentarmos e fazermos os ajustes nas conclusões

apresentadas, que ficou assim:

Na potenciação de base 10, o expoente indicará a quantidade de zeros que potência terá, ex: para n=2 ,10n = 100

Após a formulação da conclusão da atividade 05, fizemos revisão dos

conteúdos já trabalhados, através da atividade de fixação, estiveram presentes, 27

alunos e usamos 20 minutos para revermos atividades relacionadas a potenciação

base: 1, zero e dez; expoente 1, de forma que relembrassem algumas práticas que

facilitavam o entendimento e a realização dos cálculos e ainda utilizamos jogos

(dominó refente as potenciações já trabalhadas), construído pelos alunos sob

nossa orientação.

Os jogos também foram utilizados em outros momentos, tipo intervalo, aula

vaga de professores que estavam em formação pedagógica.



110

Usamos intervalos de aula tanto dos dias que estavam aplicando as

atividades como de outros dias que não tínhamos aula do experimento, brincamos

com alguns alunos que nos procuraram para irem aprendendo a jogar o dominó da

potenciação. Esses momentos trouxeram bons resultados, considerando que

tivemos oportunidade de ensinarmos o necessário para que esses alunos em outro

momento pudessem nos ajudar, ensinando a outros que ainda não sabiam.

Formamos grupos com 4 alunos ou duplas, de forma que os que já sabiam

iam auxiliando os que não sabiam, tanto na regra do jogo como nos valores

correspondente a cada potenciação. Os grupos que tinham mais dificuldade damos

mais atenção.

Vejam a seguir a figura de um dos dominós de potenciação que constuimos

juntamente com a turma.

Figura 3: Dominó com a operação potenciação

Fonte: autora (2016)

Após a atividade de fixação adentramos com as propriedades da

potenciação, iniciamos com a atividade 06, tendo como objetivo conduzir os alunos

a descobrir uma maneira prática de calcular o produto de potências de mesma

base. Nesta atividade 27 alunos participaram e utilizaram o tempo de

aproximadamente de 50 minutos para concluir esta atividade. Observe os

resultados desta atividade organizada no quadro a seguir:

111

Quadro 44 - Conclusões dos alunos na atividade 06 (Produto de Potências)


observação

De acordo a potenciação,

quando for multiplicação de

mesma base, repete a base

e soma os expoentes.

A1, A6, A7, A9, A10, A12,

A13, A14, A19, A20, A23,

A24, A25, A26, A27, A30

Válida

Não conseguiu expressar

por escrito uma idéia da

maneira pratica de calcular

as potenciações da

atividade proposta.

A3, A4, A15, A21, A29, A31

Inválida

Nenhuma produção escrita A2, A5, A16, A17, A18,


Ao iniciar as propriedades da potenciação os alunos apresentaram bastante

dificuldades na aprendizagem. Os alunos A2, A5, A16, A17, A18, não produziram

nenhum texto de conclusão e os alunos A3, A4, A15, A21, A29, A31, não consiguiram

emitir opinião sobre a maneira prática de transformar a potenciação que é uma

multiplicação de mesma base em uma única potência. A seguir mostraremos

algumas conclusões destes alunos:



112

A quantidade de alunos que não conseguiram produzir conclusões válidas,

corresponde a 41% dos alunos participantes desta atividade. Mas, 59% dos alunos

fizeram uma conclusao plausive de aceitação e validação. Af que a quantidade

expressiva de aluno que não fizeram a conclusão pode ser também atribuiba ao

cansaço, pois estavam no final do horário e já era a 6º aula do dia, e terceira aula

de matemática. Veja a seguir uma amostra da conclusão dos alunos que

consideramos válida.

Ao detectarmos que os alunos haviam terminado de responder a atividade,

convidamos que alguém da sala fosse ao quadro e socializassem sua conclusão.

Após o compartilhamento de suas produções textuais fizemos os comentários

necessários e colamos no quadro a seguinte conclusão institucionalizada.

Se for propriedade do produto de potência de mesma base, repete a base e soma os

expoentes, transformando-as em uma única potência. ex. an. am = an+m

4.4 QUARTO ENCONTRO

O quarto encontro foi realizado no dia 10/05/2016, aplicamos neste dia a

atividade 07 e 08.

A atividade 07, tem por finalidade conduzir os alunos a descobrirem uma

maneira prática de calcular a divisão de potências. Participaram da atividade 28

alunos durante 41 minutos na sua resolução. No quadro a seguir apresentamos os

resultados desta atividade


113

Quadro 45 - Conclusões dos alunos na atividade 07 (Divisão de potências)


observação

Na potenciação quando for

divisão de base igual, repete

a base e subrtrai os

expoentes.

A1, A2, A3, A4, A6, A7, A10,

A12, A13, A14, A16, A17,

A18, A19, A20, A22, A23,

A24, A26, A27, A28, A30,

A31

Válida

Não conseguiu elaborar por

escrito uma idéia da

maneira prática de calcular


atividade proposta.

A9, A15, A21, A25, A29

Inválida


Os alunos A9, A15, A21, A25, A29, não elaboraram uma conclusão que

pudéssemos validar. Veja amostra de uma a seguir:

Nesta

operação 82% dos alunos conseguiram produzir uma conclusão que consideramos

válida, apresentaram uma maneira prática de calcular a divisão de potências.

Vejam algumas produções a seguir:



114

Com o

intuito de

melhorar

o

entendimento dos alunos em relação a atividade trabalhada, após o término dos

alunos solicitamos que eles compartilhassem seu entendimento sobre a divisãode

potências e ao explicarmos como seria formalizamos seguinte conclusão.

Se for a propriedade da divisão de potência, repete a base e subtrai os expoentes,

transformando em uma única potência. Ex. an: am = an+m

Ao formalizarmos a conclusão da atividade 07, entregamos os roteiros da

atividade 08, nela visamos conduzir o aluno a descobrir uma maneira prática de

calcular potências de potências. E com esse intuito aplicamos a atividade para 23

alunos que estavam presentes, pois neste dia seria aula ate o intervalo, pois havia





115

que utilizaram 46 minutos para calcular e emitir uma conclusão sobre uma maneira

rápida de resolver esta atividade.

Veja a organização no quadro a seguir das conclusões/ observações dos

alunos.

Quadro 46 - Conclusões dos alunos na atividade 08 (Potência de potência)


observação

Quando for potência de

potência conserva a base e

multiplica os expoentes.

A1, A6, A7, A10, A12, A13,

A14, A15, A16, A17, A18,

A19, A20, A23, A26, A28,

Válida


escrito uma idéia de

maneira prática de calcular


atividade proposta.

A3, A4, A9, A22, A24, A27

Inválida

Nenhuma produção escrita A2, -


O aluno A2, não apresentou nenhuma conclusão escrita, e os alunos A3, A4,

A9, A22, A24, A27, teve suas produções textuais inválida, por não conseguir

elaborar por escrito uma conclusão que contemplasse o objetivo da atividade 08.

Vejam uma amostra a seguir:

Entretanto 70% dos alunos fizeram conclusões válidas para a Potência de

potência. Vejam algumas amostras seguir:


116

Como sempre que terminávamos a atividade convidávamos alguém para

compartilhar a sua conclusão. Nesta foi diferente eles se manifestaram e já foram

para o quadro e escreveram suas opiniões sobre a atividades que acabara de

fazer. Então conversamos sobre a conclusão deles e formalizamos seguinte

conclusão.

Se for a propriedade Potência de Potência, repete a base e multiplica os expoentes,

transformando em uma única potência. Ex. (an)m = an.m

Encerramos este encontro e conversamos sobre o próximo encontro, que

seria no dia 13/05/2016, os quais estudaríamos a potenciação de expoente zero.





117

4.5 QUINTO ENCONTRO

No dia 13/05/2016 (sexta feira) tivemos o quinto encontro, trabalhamos em

sala de aula a atividade 09, a atividade de fixação de potenciação e as atividades

10 e 11.

Na atividade 09 tivemos a finalidade de conduzir os alunos a descobrirem

uma relação entre as potenciações de expoente zero. Participaram da atividade 24

alunos e concluíram as, em 40 minutos.

Neste dia, faltaram muitas crianças, e as que vieram a escola, estavam

desmotivados com vontade de ir para casa. Acreditamos em algumas razoes: o

dia era uma sexta feira e havia reunião após o intervalo.

Nesta atividade apenas 1 aluno deixou de produzir a conclusão e 42% dos

alunos não conseguiram expor por escrito suas opiniões conclusivas, por isso

tiveram suas produções textuais inválidas. Vejam a amostra a seguir:

Quadro 47 - Conclusões dos alunos na atividade 09 (Expoente zero) Fonte: pesquisa de campo (2016)



observação

Na potenciação, se o expoente

for zero, o resultado da

potenciação, será um (1).

A3, A6, A7, A8, A9, A13,

A14, A16, A19, A20,

A22, A23, A24, A30,

Válida


escrito uma idéia da maneira

pratica de calcular as

potenciações da atividade

proposta.

A2, A11, A4, A15, A17,

A18, A21, A27, A29,

Inválida

Nenhuma produção escrita A28 -

118

Apesar de ser uma divisão de potência, que já havíamos trabalhado na

atividade anterior, e ter conseguido atingir o objetivo planejado, os alunos

apresentaram muitas dúvidas devido o resultado elado a zero ser igual a um.

Então mostramos matematicamente a razão de ser igual a um. Acharam

complicado para explicar todo processo. Dialogamos esclarecendo que não havia

necessidade de explicar todo processo. Entretanto houve aluno que explicou todo

caminho e no final expos a relação entre as potenciações de expoente zero. Vejam

a seguir


Esta aluna é uma referencia em sala de aula, tanto para os professores

quanto para os alunos. Mesmo levando outros alunos ao quadro para socializar

sua conclusão com os outros alunos. Vejam outras conclusões.



119


Se a potenciação for de expoente zero, a potência será igual a 1. Pois, ela é advinda da

divisão de potência de mesma base e mesmo expoente, do tipo an : am = an-m, onde n = m.

Nesta atividade participaram bastante, no momento da formalização,

comentaram se o n=m, é por isso que o resultado do expoente é zero, mas o

resultado é 1, explica novamente a razão de um número elevado a zero, ser igual a

um. Como já haviamos trabalhado a divisão de potência e eles sempre calculavam

os resultados da potenciação com o auxilio da calculadora, mesmo quando não

solicitávamos. Optamos pelo cálculo numérico de cada item da divisão da potência,

foi muito rápido para eles entenderem, pois encontraram o resultado com o auxilio

da calculadora e gritaram o resultado é um. Então mostramos no quadro e

provamos que é igual a um. Em seguida iniciamos a atividade de fixação,

revisando as atividades no quadro branco de forma que relembrassem algumas

práticas que agilizavam a realização dos cálculos pois, facilitavam o entendimento.

Além da utilização de jogos (dominó contendo produto de potência; divisão de

potência; potência de potência e expoente zero), construído pelos alunos sob

nossa orientação.

Durante a execução das atividades pela pesquisadora e por alunos que se

dispusseram a ir no quadro surgiram muitas dúvidas entre os alunos. Mas a

medida que iam surgindo íamos esclarecendo, as vezes era os próprios alunos que

respondiam tirando a dúvida do colega, quando havia necessidade

complementávamos a resposta. Mas havia aluno que parecia dominar as maneiras

práticas de encontrar as soluções para cada potenciação, inclusive as

propriedades fundamentais da potenciação.

Na atividade 10 tivemos a finalidade de descobrir uma relação entre o

quadrado da soma e a soma dos quadrados de dois números naturais. Houve

participação de 23 alunos e estes concluíram a atividade em 38 minutos.

120

O quadro a seguir apresenta o conjunto de conclusões produzidos pelos

alunos.

Quadro 48 - Conclusões dos alunos na atividade 10 (quadrado da soma e soma dos quadrados) Conclusões / Observações Alunos Validade da conclusão/

observação

O resultado da segunda

coluna não é igual o

resultado da 3ª coluna

A6, A7, A8, A9, A10, A13,

A14, A16 A18, A19, A20

A22, A23, A24, A25, A27,

A30, A31,

Válida


escrito de forma clara a

relação entre as

potenciações da 2ª e 3ª

coluna.

A1, A3, A15, A17, A21,

Parcialmente válida


Os alunos A1, A3, A15, A17, A21, elaboraram conclusões que validamos

parcialmente por não estarem clara a relação entre as colunas. Vejam a mostra a

seguir:


Isto significa que 22% dos alunos não atingiu totalmente o objetivo esperado

após a aplicação da atividade. No entanto 78% dos alunos conseguiram produzir

conclusões válidas como podemos observar a seguir:

121




Ao socializarmos as conclusões percebemos que nenhum valor de a ou b

na atividade eram igual zero, por isso todos os resultados foram diferentes e

então mostramos a eles se um desses valores fossem zero o resultado seria igual

e não diferente, e então apresentamos a formalização do assunto.

O resultado do quadrado da soma é diferente do resultado soma dos quadrados,

exceto a ou b for igual a zero, ex. a2 + b2 ≠ ( a + b)2

Na atividade 11 visamos que os alunos descobrissem uma relação entre o

quadrado da diferença e a diferença dos quadrados de dois números naturais.

Participaram 20 alunos e concluíram a atividade em 30 minutos. Os alunos

tiveram muita dificuldade para entender como era para resolver as questões desta

atividade além de reclamarem do tamanho da atividade.

Ao acelerarmos para concluir as atividades, em virtude do professor da

turma ter demonstrado preocupação com as avaliações bimestrais que estavam se

122

aproximando, pois conforme o planejamento para as turmas do 6º ano, ainda

haviam outros conteúdos a serem trabalhados em sala de aula, antes das referidas

avaliações. Erramos ao saturar as crianças com atividades, isto conduziu alguns

alunos a tomarem a atidude de irem embora antes de concluirmos as atividades

deste encontro e outros alunos, a não produzirem as conclusões.

A seguir apresentaremos o quadro com o resumo das conclusões desta

atividade.

Quadro 49 - Conclusões dos alunos na atividade 11 (quadrado da diferença e diferença dos quadrados) Conclusões / Observações Alunos Validade da conclusão/

observação

O resultado da segunda

coluna não é igual o

resultado da 3ª coluna

A1, A3, A6, A7, A9, A13,

A14, A16 A18 A19, A21,

A22, A23, A24, A25, A27,

Válida


escrito de forma clara a

maneira mais pratica de

calcular as potenciações da

atividade proposta.

A15, A17,

Inválida

Nenhuma produção escrita A20, A8, -


Acredita-se que em virtude do que já relatamos, que os alunos A20, A8,

apesar de permacerem na sala de aula, não produziram suas conclusões,

acreditamos ser por causa do esgotamento físico e mental. E os alunos A15, A17,

produziram conclusões invalidas para esta atividade. Vejam a seguir:

Os demais 75% dos alunos produziram conclusões consideradas válidas,

visto que perceberam que os resultados das duas colunas que estavam

representando o quadrado da diferença e a diferença dos quadrados eram

diferentes. Ressaltamos que atribuímos os mesmos valores numéricos (a) e a (b),

nas duas colunas; como pode ser visto pela reprodução do quadro que compõe o

item 3.1.11 desta pesquisa.

123

Quadro 50 – Amostra das colunas da atividade 11, utilizada no experimento

Valores a2 - b² ( a - b )² a=3 b=2 a=4 b=3 a=5 b=4 a=5 b=1 a=4 b=2 a=3 b=1 a=2 b=1 a=6 b=2 a=7 b=1 a=5 b=3


Considerando a questão destacada acima, os alunos apresentaram suas

produções, cuja amostra veremos a seguir:



A socialização das conclusões foi realizada no quadro por alunos.

Discutimos a necessidade de entender o assunto e a regra do quadrado da

diferença e a diferença do quadrado, pois se atribuíssem o valor a b=0, o resultado

seria igual ao da outra coluna. Então formalizamos o assunto da seguinte maneira:

O resultado do quadrado da diferença é diferente do resultado diferença dos

quadrados, exceto quando b =0, ex. a2 - b2 ≠ (a - b)2

124

Após a aula, informamos aos alunos que o nosso pós-teste seria

aplicado no dia 17/05/2016.

No dia 16/05/2016, fomos para escola com a finalidade de tirarem as

dúvidas dos alunos, pois no próximo encontro aplicaríamos o pós - teste. Alguns

educandos vieram, atendemos segundo a necessidade de cada um, e para finalizar

brincamos com os jogos de dominó, e os ganhadores recebiam prêmios de

recompensa.

4.6 SEXTO ENCONTRO

No dia 17/05/2017, realizamos a atividade 12 e aplicamos o pós - teste. Vale

lembrar que solicitamos para que o professor titular da turma aplicasse a atividade

e o pós teste, pois não estávamos bem de saúde.

Na atividade 12 temos por finalidade descobrir uma maneira prática

determinar o produto da soma pela diferença de dois números. Tivemos a

participação de 28 alunos que utilizaram do tempo em media 40 minutos para

concluir a referida atividade.

Quadro 51 - Conclusões dos alunos na atividade 12 (Produto da soma e diferença dois números) Conclusões / Observações Alunos Validade da conclusão/

observação

Os resultados das colunas são

diferentes. Usar resultado de outras

colunas para obter o resultado da

coluna do produto da soma pela

diferença.

A7, A10, A13, A19,

A20, A22, A24, A25,

A27, A30,

Válida

Não emitiram opinião sobre esta

atividade, pois cometeram erros

diversicados de cálculos.

A3, A5, A8, A9, A11,

A15, A17, A18, A26,

A31,

Inválida

Não conseguiu elaborar por escrito

uma idéia da maneira prática de

calcular, as potenciações da atividade

A1, A6, A16, A21, A23,

125

proposta. Inválida

Nenhuma produção escrita A28, A2, A4 -


Os alunos A28, A2, A4, não apresentaram nenhuma conclusão, e os alunos

A1, A6, A16, A21, A23, apesar de responderem corretamente as questões

relacionadas ao produto da soma pela diferença de dois números nas colunas da

atividade 12. Embora tenham respondido corretamente todas as questões não

conseguiram produzir uma conclusão que atendesse o objetivo da referida

atividade, por isso é inválida. Vejam amostra a seguir:


Os alunos A3, A5, A8, A9, A11, A15, A17, A18, A26, A31, cometeram vários

tipos de erro, dentre eles estão: multiplicação da base pelo expoente e vice-versa,

somavam e subtraíram de forma errada, assim, ficarvam impossibilitados de

descobrirem uma maneira prática determinar o produto da soma pela diferença de

dois números. Vejam uma amostra de conclusão dos alunos a seguir:



126

Os demais alunos preencheram corretamente todas as colunas da atividade

12 e produziram conclusões válidas.vejam amostras de conclusões seguir:



Ao sociarlizarmos as conclusões, percebemos que entenderam que o

resutado da 1ª coluna era diferente da 2ª coluna, mas que o resultado da 1ª coluna

era igual ao da 3ª coluna, porém os alunos fizeram a análise da 1ª coluna com 2ª e

da 2ª coluna com a 3ª, e as conclusões foram baseadas na maneira de como

resolveram as questões. No entanto mesmo explicando todas essas relações eles

tiveram muita dificuldade para entender este processo. Entretanto consideramos

válidas algumas conclusões baseada no objetivo da referida atividade. a seguir

apresentamos a formalização deste assunto.

O resultado do produto da soma pela diferença de dois números é diferente do

resultado da soma dos quadrados e igual a diferença dos quadrados, exceto

quando a e b =0, ex. ( a + b). (a – b)≠ a2 + b2 ; ( a+b). (a - b) = a2 - b2

Em 17/05/2016 foi aplicado o pós-teste, a 28 alunos que estavam

presentes e utilizaram em média 60 minutos de tempo para responderem o referido

instrumento avaliativo do experimento da pesquisa. Segundo o professor titular da

turma, os alunos ficaram apreensivos (aflitos) pois não podiam usarem a

calculadora. Entretanto durante as atividades de fixação já tínhamos treinado os

alunos a responder as potenciações sem o auxilio da calculadora e em momentos

127

anteriores durante outros encontros, já havíamos dialogado sobre como seria o

teste final.

A aplicação do pós-teste, caracteriza o término da fase da

Experimentação. Isto permite adentrar na última fase da Engenharia Didática, a

Análise a posteriori e validação, descrita na seção seguinte.

5. ANALISE A POSTERIORI E VALIDAÇÃO

Nesta sessão apresentamos a análise das informações coletadas nos

instrumentos de pesquisa utilizados na experimentação e interelacionando o

resultado desta fase com as Análises Prévias que dará sustentação a Análise

Posteriori e visará analisar os resultados obtidos no desenvolvimnto da sequência

didática elaborada na fase concepção e análise a priori e aplicada na fase

experimentação, buscando avaliar os pontos positivos e negativos presentes no

desenvolvimento do experimento.

Para analisar os dados serão considerados os percentuais de acertos e

erros dos alunos nos testes e no desenvolvimento das atividades, além de

lançarmos mão de técnicas estatísticas de análise dos dados como o teste de

hipóteses e a correlação.

5.1 TESTES DE HIPÓTESES

No Teste de hipóteses faz-se necessário obter a diferença entre as notas do

pós-teste e a notas do pré-teste dos mesmos alunos, com o intuito de fazer uso do

teste estatístico para descartar a hipótese nula, que nesse caso, é a não melhora

do desempenho na operação potenciação, após a aplicação da sequencia didática.

Com isso temos que mostrar que tcalculado é menor que – ttabelado. Para adquirir o

tcalculado, consideraremos as notas dos alunos em valores absolutos no pré-teste e

no pós-teste. As notas destes testes variavam de 0 a 26, visto que tinnhamos 26

questoes em 11 assuntos referente da potenciação. As notas foram atribuídas de

acordo os acertos e os erros de cada aluno, como o quadro a seguir:

128

Quadro 52 - Teste de Hipóteses

Alunos Pré-teste (x1) Pós-teste(x2) diferença (D) D²

A1 0 20 20 400

A2 0 3 3 9

A3 0 6 6 36

A4 0 11 11 121

A5 1 10 9 81

A6 2 26 24 576

A7 0 23 23 529

A8 0 26 26 676

A9 0 13 13 169

A10 0 19 19 361

A11 2 5 3 9

A12 0 9 9 81

A13 0 25 25 625

A14 0 26 26 676

A15 4 20 16 256

A16 8 16 8 64

A17 0 13 13 169

A18 0 9 9 81

A19 0 23 23 529

A20 0 24 24 576

A21 0 20 20 400

A22 0 24 24 576

A23 0 23 23 529

A24 3 24 21 441

A25 0 20 20 400

A26 0 26 26 676

A27 0 26 26 676

Utilizamos os dados do quadro 52 para efetuar os cálculos para o teste de

hipóteses a fim de descartar a hipótese de que a habilidade matemática não

melhorou após a sequência didática. Para isso, adotaremos como hipótese nula a

seguinte afirmativa “a habilidade matemática não melhora após a sequência

didática”, enquanto que a hipótese da pesquisa será a afirmativa “a habilidade

matemática melhora após a sequência didática”, onde:

Hipótese nula µ2 ≤ µ1

Hipótese da pesquisa µ2 µ1 , no qual µ1 representa a média do Pré-teste e

129

µ2 representa a média do Pós-teste. Efetuando os cálculos para encontrar o erro da

diferença entre as médias ( e determinar o valor de

, teremos:

Média do Pré: µ1 =

Média do Pós: µ2 =

O desvio-padrão das diferenças (SD) que é dado por:

Logo o erro da diferença entre as médias ( será:

E por fim, calculamos o valor do t dado por:

Segundo Levin e Fox (2004, p.248), a hipótese nula será rejeitada quando

. Para obtermos o valor de temos que saber o grau

de liberdade (Gl), que no caso será Gl = n – 1 (Gl = 27 – 1 = 26), onde n é o número

da amostra e o nível de significância, que conforme os autores é de 0,05 para

pesquisas de ciências sociais e humanas. A partir dessas informações,

consultamos a tabela de Levin e Fox (2004), (cf. anexo ) e obtemos

. Comparando esse valor com o , temos que

, o que representa a rejeição da

hipótese nula. Logo, a hipótese de pesquisa será aceita, ou seja, a habilidade

matemática melhorou após a sequência didática.

5.2 COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO LINEAR DE PEARSON

O coeficiente de correlação linear de Pearson é utilizado para estabelecer

comparação entre duas variáveis e, assim, verificar o que acontece com uma,

quando há variação da outra. Inicialmente iremos parametrizar os dados e, em

130

seguida, calcular o coeficiente linear de Pearson (r), pertencente ao intervalo [-1, 1]

a fim de verificar a intensidade da associação linear existente entre duas variáveis.

De acordo com o resultado obtido no coeficiente, a correlação recebe uma das

classificações contidas no quadro a seguir:

Quadro 53: Classificação da Correlação

Pelo quadro anterior é possível identificar que os valores negativos,

significam uma correlação negativa e valores positivos, significam uma correlação

positiva. Além disso, quanto mais próximo de 1, maior a intensidade da correlação.

(LEVIN e FOX, 2012, p, 304)

Em nossa pesquisa utilizamos a Correlação Linear de Pearson para

aferir informações sobre a influência dos fatores socioeconômicos nos resultados

dos testes. Detalharemos os procedimentos utilizados para correlacionar uma das

perguntas do questionário e as demais organizaremos os resultados em um

quadro.

Para tanto, inicialmente vamos parametrizar os dados, atribuindo valores numéricos a cada uma das respostas dadas pelos alunos, conforme indicação do quadro a seguir:

Quadro 54: Parametrização dos dados – gosto pela matemática

Não 1

Às vezes 2

Sim 3 Fonte: Pesquisa de campo (2016)

COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO CORRELAÇÃO

= 1 Perfeita Positiva

0,8 ≤ < 1 Forte Positiva

0,5 ≤ < 0,8 Moderada Positiva

0,1 ≤ < 0,5 Fraca Positiva

0 < < 0,10 Ínfima Positiva

0 Nenhuma correlação

Ínfima Negativa

Fraca Negativa

Moderada Negativa

Forte Negativa

= - 1 Perfeita Negativa

Fonte: Silva2 (2015)

131

Quadro 55: Correlação entre a diferença das notas nos testes e o gosto pela matemática

Alunos pré teste pós teste Diferença Gosto pela matemática

A1 0 20 20 1

A2 0 3 3 3

A3 0 6 6 1

A4 0 11 11 1

A5 1 10 9 3

A6 2 26 24 3

A7 0 23 23 3

A8 0 26 26 2

A9 0 13 13 3

A10 0 19 19 3

A11 2 5 3 3

A12 0 9 9 2

A13 0 25 25 2

A14 0 26 26 3

A15 4 20 16 2

A16 8 18 10 3

A17 0 13 13 3

A18 0 9 9 2

A19 0 23 23 3

A20 0 24 24 2

A21 0 20 20 1

A22 0 24 24 3

A23 0 23 23 2

A24 3 24 21 3

A25 0 20 20 2

A26 0 26 26 2

A27 0 26 26 3 Fonte: Pesquisa de campo (2016)

O valor do coeficiente linear de Pearson (r) para a correlação entre o

gosto pela matemática e a diferença das notas nos testes, obtivemos 𝒓 = 0,0353.

Com um resultado positivo e muito próximo a zero, classificamos como uma

correlação ínfima positiva, visto que está no intervalo 0 <𝑟< 0,10. Neste caso,

constatamos que o gosto pela matemática não teve interferência nos resultados

dos testes.

O valor dos demais coeficientes lineares de Pearson (r) estarão

representadas no quadro a seguir:

132

Quadro 56: Resultado das correlações entre os fatores socioeconômicos e o

desempenho no pré- e pós-teste.

VARIÁVEL

VALOR DO

COEFICIENTE LINEAR

DE PEARSON (R)

INTENSIDADE DIREÇÃO

Trabalha

remunerado 0,2389 Fraca positiva

Positivamente

correlacionadas

Dificuldade em

Matemática

- 0,0986

Ínfima negativa

Negativamente

correlacionadas

Distração nas

aulas de

Matemática

0,2503

Fraca positiva

Positivamente

correlacionadas

Estuda

matemática fora

da escola

0,2618

Fraca positiva

Positivamente

correlacionadas

Ajuda nas tarefas

escolares 0,0233 Ínfima positiva

Positivamente

correlacionadas Fonte: Pesquisa de campo (2016)

Pelo quadro anterior é possível observar que os resultados dos

coeficientes lineares estavam muito próximos a zero, sejam eles positivos ou

negativos. Consequentemente, nenhum deles teve correlação forte ou perfeita.

Com isso, observamos que as variáveis analisadas não foram determinantes nos

resultados dos pré-teste e pós-teste. Mediante estes resultados podemos

analisar dos dados obtidos nos testes, sem esquecer de fazer alusão às análises

prévias e examinar de que forma os dados produzidos podem validar nossa

sequência de atividades sobre o ensino da operação potenciação, principalmente

no que diz respeito as hipóteses levantadas e assim, verificar se os alunos fizeram

as descobertas necessárias na aprendizagem da potenciação.

5.3 ANÁLISE A POSTERIORI DO PRIMEIRO ENCONTRO COM OS ALUNOS

Os dados apresentados a seguir foram produzidos a partir da aplicação

de questionário no primeiro encontro com os alunos

133

|A seguir apresentaremos a idade e gênero dos alunos em quadro e em

gráfico.

Quadro 57 – Distribuição por gênero, conforme a faixa etária dos alunos

Idade Gênero

Total Feminino Masculino

10 anos 15% 26% 41%

11 anos 19% 15% 33%

12 anos 7% 15% 22%

13 anos 0% 4% 4%

Total 41% 59% 100% Fonte: pesquisa de campo (2016)

Gráfico 31 – Distribuição por gênero, conforme a faixa etária dos alunos


A média de idade dos alunos é 10,9 (10,88889) anos. A distribuição de

gênero é mais acentuada para o sexo masculino (59%) e a idade predominante no

geral é de 10 anos (41%). Em geral, há mais meninos com 10 anos (26%). A faixa

etária que predominou nos alunos participantes da experimentação do ensino por

atividades foram de 10 e 11 anos, semelhantes a faixa etária que predominou nos

alunos egressos, que foi de 11 e 12 anos, como mostra o gráfico 21. Consideramos

mesma faixa etária, visto que os alunos egressos estavam no 7º ano e os alunos

do experimento estão no 6º ano do mesmo nível de ensino.

O quadro 58 e o gráfico 32 mostram os responsáveis dos alunos

134

Quadro 58 - Responsáveis dos alunos

Grau de parentesco

Responsável Masculino

Responsável Feminino

Total

Mãe 0% 56% 56% Tia 0% 4% 4% Avó 0% 11% 11% Pai 22% 0% 22% Avô 7% 0% 7%

Total 30% 70% 100% Fonte: Pesquisa de campo (2016)

Gráfico 32 – Responsável do aluno por gênero


De acordo com o quadro 58 e o gráfico 32, o sexo feminino predominam

como maioria responsáveis pelos alunos (70%), e 56% alunos indicaram não ter

responsável masculino e apontaram a mãe como responsável. Alunos que não

possuem a genitora como responsável apontaram a avó (11%) e tia (4%), as quais

partilham a responsabilidade com o pais do aluno. Os responsáveis masculinos na

categoria de pais aparecereceram em segundo lugar (22%) como responsáveis

dos educandos. Já aqueles que não possuem o pai como responsável masculino,

afirmaram ser o avô (7%), seu responsável. Outros familiares como tia, avós

correspondem 22% dos casos de responsáveis que não sejam pais das crianças.

135

Enfatizamos que tanto esses alunos 56%, como os alunos egressos 73%

predominaram as mães como responsáveis.

O quadro 59 e o gráfico 33 apresentam de atividade remunerada dos

responsáveis e dos alunos

Quadro 59 - Exercício de atividade remunerada na família dos alunos

Membro da Família

Exerce atividade remunerada

Não exerce atividade remunerada

As vezes

Mãe 44% 11% 0%

Pai 22% 0% 0%

Avô 7% 0% 0%

Avó 0% 7% 0%

Tia 4% 0% 0%

Aluno 7% 74% 19%

Total 86% 93% 19% Fonte: Pesquisa de campo (2016)

Gráfico 33 – Membro da família que exerce atividade remunerada


A quantidade de alunos que afirmaram praticar alguma atividade remunerada são,

(7%), e (19%) relataram que as vezes trabalhavam remuneradamente. Isto é

preocupante, caso a informação seja verdadeira, pois segundo o estatuto da

criança e do adoslescente não podem trabalhar, considerando a sua tenra idade.

136

Quanto aos responsáveis, a maior parte exerce atividade remunerada, tanto do

gênerofeminino (44%) quanto do masculino (22%). Segundo informações dos

alunos, os responsáveis na categoria de avós, não exercerem atividade

remunerada, mas são aposentados, isto, indica que possui uma renda para se

manterem.

O quadro 60 e o gráfico 34 apresenta o nível de escolaridade dos

responsáveis dos alunos.

Quadro 60 -Nìvel de escolaridade dos responsávéis


Gráfico 34 – Nível de escolaridade dos responsávéis


Nível de escolaridade

Responsável Masculino

Responsável Feminino Total

Superior 7% 15% 22%

Ensino Médio 0% 11% 11% Ens. Fundamental 4% 11% 15% Fund. Incompleto 11% 4% 15%

Não Estudou 0% 22% 22%

Não Informou 7% 7% 15%

Total 30% 70% 100%

137

O percentual predominante (22%), é do sexo feminino e que não estudaram,

dentre eles estão os avós. Os responsáveis do sexo feminino com Ensino superior

(15%) são maiores do que o percentual dos responsáveis do sexo masculino com a

mesma escolaridade (7%). No entanto, os dados não se comportam da mesma

maneira quando comparamos os responsáveis de ambos os gêneros que possuem

fundametal completo: (4%) dos responsáveis do sexo masculino e (11%) do sexo

feminino. E no fundamental incompleto ocorre o inverso, o responsável masculino

com (4%) e o responsável feminino (11%). Destacarmos ainda que, apenas os

responsáveis do sexo feminino cursaram Ensino Médio.

O quadro 61 e o gráfico 35 apresenta o tipo de escola que os alunos

estudaram e se os alunos participavam de algum curso.

Quadro 61 -Tipos de escola que estudaram e cursos realizados pelos alunos

Tipo de escola que estudou

Você faz algum curso?

Total

Sim

Não informática Lin. Estrangeira

outros cursos

Municipal 19% 0% 0% 67% 85%

Estadual 0% 0% 0% 0% 0%

Particular 11% 0% 0% 4% 15%

Total 30% 0% 0% 70% 100% Fonte: Pesquisa de campo (2016)

Gráfico 35 – Tipo de escola que estudaram e Cursos realizados pelos alunos -


138

Ao traçarmos um paralelo com o resultado obtido com o tipo de instituição

de ensino que os alunos egressos estudaram, percebemos que são semelhantes, a

dos alunos que participaram do experimento da nossa pesquisa. Uma vez que a

escola municipal também foi predominante em 94% e os alunos do 6º ano,

predominou a escola municipal com (85%), e tivemos também a escola particular

(15%). Quanto ao curso, apenas o de informática com (30%). Cabe destacar que o

resultado do tipo de escola predominante que os alunos estudaram foi semelhante

aos dados obtidos com as informações fornecidas pelos alunos egressos no inicio

desta pesquisa.

O quadro 62 e o gráfico 36 apresenta o gosto pela matemática e a

dificuldade para aprender essa disciplina durante as aulas.

Quadro 62 – Gosto dos alunos pela matemática e a dificuldade para aprendê-la.

Gosta de Matemática

Dificuldade para aprender matemática Total

Não tinha Pouca Muita

nenhum pouco 4% 7% 4% 15%

pouco 0% 33% 0% 33%

Muito 22% 30% 0% 52%

Total 26% 70% 4% 100% Fonte: Pesquisa de campo (2016

Gráfico 36 – Gosto dos alunos pela matemática e a dificuldade para aprendê-la.


139

Os maiores percentuais dizem respeito ao 1) pouco gosto pela

matemática e a pouca dificuldade para aprendê-la, em (33%) e 2) muito gosto pela

matemática e a pouca dificuldade para aprendê-la, em (30%).

O quadro 63 e o Gráfico 37 apresenta a relação entre o gosto pela

matemática e a distração nas aulas de matemática.

Quadro 63 – Gosto pela matemática e a distração nas aulas de matemática

A distração nas aulas de matemática

Gosto pela matemática

Total Nenhum pouco Pouco Muito

Sim, eu não consigo prestar atenção 0% 0% 7% 7% Às vezes, quando a aula está chata 11% 19% 19% 48% Não, eu sempre presto atenção 4% 15% 26% 45%

Total 15% 34% 52% 100% Fonte: Pesquisa de campo (2016)

Gráfico 37 – Gosto pela matemática e a distração nas aulas de matemática


Em relação ao gosto pela matemática e a distração em sala de aula, tivemos

o maior índice (26%) em, “gosta muito de matemática, mas sempre presta

atenção”, ou seja, esta atento as explicações, orientações fornecidas pelo

140

professor. Tambem houve (19%) dos alunos que gostam pouco e outros (19%) que

gostam muito da matemática e se distrai as vezes quando a aula está chata.

Segundo o autor BECKER (2012, P.427 e 428), em pesquisas com alunos

obteve as seguintes informações: a) que a aula as vezes é chata outras vezes

não é chata, depende muito do bom humor do professor, mas no geral é ruim pois

precisa fazer muito exercicios, e que não consegue entender as explicações do

professor, e que faz as atividades sem saber o que está fazendo, é algo

mecanizado. b) que gostava de matemática antes da atual professora, pois ela

explica o conteúdo, passa meia duzia de exercicios e já apresenta um novo

assunto e assim vai tornando a aula chata. c) um outro aluno enfatiza que a aula

é uma porcaria. d) a aula é chata, pois,

a nossa aula de Matemática é sempre a mesma coisa, a profesora chega dá a matéria, bota no quadro de giz, explica, a gente copia no caderno e começa a fazer um monte de exercicio; sempre foi assim, toda minha vida mas, assim mesmo, eu gosto de matemática. BECKER (2012, P.427 e 428)

São relatos como esses referido pelo autor e semelhantes aos que ouvimos

pelos corredores da escola. Além de constatarmos nesta pesquisa que os alunos

se distraem as vezes na aula de matémática quando a aula está chata, tanto nas

informações de 45% dos alunos egressos como com os 48% dos alunos que

participaram do experimento. Entretanto ao organizarmos as informações

fornecidas pelos alunos, dois grupos pequenos nos chama a atenção, pois o grupo

(4%) que não gosta nenhum pouco da matemática,mas sempre presta atenção as

aulas e o outro (7%) que gosta muito da matemática e não consegue prestar

atenção nas aulas. Esses dois casos me intrigaram, suscitando, em um outro

momento, o aprofundamento destes fatores.

O quadro 64 apresenta o tipo de ajuda que os alunos recebem nas tarefas

extra escolares.

141

Quadro 64 – tipo de ajuda que aluno recebem nas tarefas escolares

Tipo de ajuda que o aluno recebe nas tarefas escolares Total

Sem auxilio Ninguem 11% 11%

Auxilio especializado prof. Particular 11% 11%

Mãe 41% Pai 15% Auxílio não

especializado

Irmã 4% Irmão 11% 78%

Prima 4% Tia 4% Total 100% 100%


Ajuda que alunos recebem fora da escola, predomina a não

especializada (78%) composta pelos membros da família de cada um deles. E

dentro dessa categoria a mãe predomina com (50%) das contribuições nas tarefas

extraescolares. Observamos também que há (11%) dos alunos que não recebem

ajuda de ninguém.

O quadro 65 e o Gráfico 38 apresenta a relação entre o gosto pela

matemática e a distração nas aulas de matemática.

Quadro 65 - Hábito de estudo da matemática fora da escola e o auxílio nas tarefas escolares

Hábito de estudo da Matemática fora da escola

Auxílio recebido para realizar tarefas escolares

Total

Sem auxílio

Auxílio não especializado

Auxílio especializado

Só na vèspera da prova 0% 11% 0% 11%

Só no período da prova 4% 19% 4% 26%

Só nos fins de semana 0% 4% 4% 7%

Alguns dias da semana 7% 41% 4% 52%

Todo dia 0% 4% 0% 4%

Total 11% 78% 11% 100% Fonte: Pesquisa de campo (2016)

Gráfico 38 - Hábito de estudo da matemática fora da escola e o auxílio nas tarefas escolares

142


O auxílio não especializado como mostra o quadro 58, é composto por

familiares do aluno: mãe (41%), pai (15%), irmão/irmã (15%), primo (4%) ou tia

(4%). O auxílio especializado se refere a um professor particular. A maior parte dos

alunos indica estudar alguns dias da semana (52%) dentre esses estão com auxílio

dos familiares (41%), (7%) sozinhos e (4%) com ajuda do professor particular.

Quadro 66 - Análise do pré-teste por questão

Assunto Questão Questões certas

Questões erradas

Questões em branco

Em percentage

Introdução a potenciação

3³ = 0% 19% 78%

6² = 7% 15% 78%

Potência de base 0 04 = 7% 11% 81%

015 = 7% 11% 81%

Potenciação de base 1 14 = 7% 11% 81%

17 = 4% 11% 85%

Potência de base 10 10² = 4% 11% 85%

105 = 4% 11% 85%

Potenciação de expoente1

3¹ = 4% 11% 85%

1000¹ = 7% 7% 85%

Expoente zero 60 = 0% 4% 96%

120 = 0% 4% 96%

Produto de Potências 2². 2³ = 0% 4% 96%

4³. 45 = 0% 0% 100%

143


A análise a priori das questões do pré-teste considerava que os alunos

deixariam muitas questões sem resposta. De fato, os percentuais apontados no

quadro 66, comprovam essa afirmação.

Notamos que os alunos não possuem o conhecimento necessário para

calcular a potenciação, visto que foram alguns alunos que responderam poucas

questões, e 4 alunos estão repetindo o 6º ano. Quanto aos erros, apresentaremos

a seguir alguns exemplos.

Quadro 67- Tipos de erros dos alunos no pré-teste no cálculo da potenciação

Multiplica base da potência pelo expoente e vice-versa.

Fonte: Pré-teste do aluno A15

Soma a base a quantidade indicada pelo expoente.


Responde com valores aleatórios




Adiciona a base ao

expoente


Responde com valores

aleatórios


Divisão de Potências 36 : 34 = 0% 0% 100%

54 : 5² = 0% 0% 100%

Potência de potência (4³)5 = 0% 0% 100%

(3²)³ = 0% 0% 100%

Potência de produto

(2.4)³ = 0% 0% 100%

(3.5)² = 0% 0% 100%

Produto da soma pela diferença de dois números

(a+b).(a-b)= a²-b²= p/

a=3 e b=2 0% 0% 100%

a=4 e b=3 0% 0% 100%

a=5 e b=4 0% 0% 100%

a=5 e b=1 0% 0% 100%

a=4 e b=2 0% 0% 100%

a=3 e b=1 0% 0% 100%

144



Considera que toda potenciação é evado ao quadrado


Soma base da potência com o expoente

: Pré-teste do aluno A5

O aluno A15 mulpilca a base da potência pelo expoente em todas as questões que

respondeu; O aluno A5 soma a base com expoente na questão que apresenta

base de expoente um, e atribui valores aleatórios as demais questões que

respondeu; O aluno A16 desconsidera o expoente um da base e parte do ponto de

vista que toda potenciação é elevado ao quadrado; e o aluno A8 soma a base com

a base a quantidade indicada pelo expoente ou adiciona a base ao expoente nas

questões que respondeu, isso denota que não sabem a definição de potenciação

assim como prevemos na análise a priori do pré-teste.

O quadro 68 e o gráfico 39 a seguir apresenta o desempenho individual

dos alunos no pré-teste.

Quadro 68 – Desempenho por aluno no pré-teste

Aluno Questões

certas Questões erradas

Questões em branco

A1 0% 0% 100%

A2 0% 0% 100%

A3 0% 0% 100%

A4 0% 0% 100%

A5 4% 35% 62%

A6 8% 0% 92%

A7 0% 0% 100%

A8 0% 15% 85%

A9 0% 0% 100%

A10 0% 0% 100%

A11 0% 0% 100%

A12 0% 0% 100%

A13 0% 0% 100%

A14 0% 0% 100%

A15 15% 38% 46%

A16 31% 8% 62%

145

A17 0% 0% 100%

A18 0% 0% 100%

A19 0% 0% 100%

A20 0% 0% 100%

A21 0% 0% 100%

A22 0% 0% 100%

A23 0% 0% 100%

A24 0% 0% 100%

A25 0% 0% 100%

A26 0% 0% 100%

A27 0% 0% 100% Fonte: Pesquisa de campo (2016)

Gráfico 39 – Desempenho por aluno no pré-teste


Observamos que nenhum dos alunos alcançou 40% de acertos no

pré-teste, sendo que o maior percentual atingido foi de 31% do Aluno A16. Na

realidade apenas os alunos A5, A6, A8, A15, A16, tentaram resolver algumas

questões do pré-teste.

A atividade 01 “Definição de potenciação” também foi realizada no

primeiro encontro, dia 29/04/2016 teve a duração de 49 minutos esteve presentes

28 alunos.

146

Na análise a priori, os alunos deverão ter o domínio da estrutura

multiplicativa. No entanto esperamos que os alunos descubrissem procedimentos

mais rápidos antes do final da atividade e que os alunos fossem capazes de definir

a potenciação. Apesar de ter planejado o objetivo sabíamos que em apenas um

encontro eles não produziriam um texto escrito na conclusão da primeira atividade.

Os alunos, não foram capazes de definir a operação potenciação.

Apesar de que, os roteiros das atividades e o resultado do pós-teste dos alunos

indicam que não houve dificuldades evidentes em efetuar os cálculos solicitados,

entretanto a maior dificuldade encontrada, foi na escrita das conclusões, em que os

alunos não estavam aptos para elaborar textos que pudessem ser aceitos como

válidos, apesar de que várias produções textuais tinham algum sentido

matemático.

Na definição da potenciação, 33% informaram conclusões válidas, isto

é, definiram corretamente a operação potenciação, com exceção de um aluno que

definiu a potenciação como uma multiplicação entre expoentes e a base. E dos

alunos que consideram a potenciação como uma simples multiplicação sem

explicarem quais os fatores envolvidos no cálculo. Houve ainda, os alunos, A3, A4,

A10, A12, A17, A18, A25, A28, que não escreveram textos no roteiro da atividade.

A nossa análise baseada nos resultados adquiridos no diagnótico do perfil

sócio econômico com os alunos egressos e dos professores de matemática dessa

pesquisa, sobre os cálculos estarem corretos e a não produção de conclusão.

Deve-se ao fato de estarem acostumados aos métodos clássicos de ensino

(aprendizagem mecânica). Mas, qual a relação entre aprendizagem mecânica e a

habilidade de produzirem textos sobre a definição da potenciação.

5.4 ANÁLISE A POSTERIORI DO SEGUNDO ENCONTRO COM OS ALUNOS

No segundo encontro com os alunos, em 03/05/2015, teve o objetivo de

aplicar a Atividade 02, 03 e 04. Estavam presentes 29 alunos.

Na análise a priori da atividade 02, esperávamos que os alunos fossem

capazes de entender com o auxilio da calculadora que toda potenciação de base 1,

terá o resultado (potência) igual a 1 (própria base). Um dos pré-requisitos para

término da atividade era construção de uma conclusão. Apesar deste assunto da

147

potenciação ser de fácil entendimento, ainda houve alunos com dificuldades na

produção de textos.

Nesta atividade 81% dos alunos produziram conclusões válidas, apenas

19% foram consideradas inválidas, uma vez não conseguiram expressar por escrito

seu entendimento sobre a potenciação de base 1, de forma que pudéssemos

entender o grau de aprendizagem de cada um deles.

A nossa análise foi que os alunos apesar de responderem

corretamente os cálculos das questões do roteiro da atividade, não conseguiram

entender a causa do resultado de todas as questões serem igual a 1. Por exemplo,

o aluno A1 afirma que houve uma adição entre base e expoente; o aluno A22, usa

os termos da potenciação de maneira errônea, acreditamos que foi por falta de

familiarização com as palavras que representa os termos desta operação, por isso

não identifica a função de cada termo dentro da operação potenciação.

A terceira atividade (Potênciações de base zero), também foi aplicada

dia 03/05/2016, teve a duração de 36 minutos e participaram 29 alunos.

Visarvamos que os alunos descobrissem uma relação entre as potenciações de

base zero.

Consideramos na análise a priori que os alunos ao calcularem as questões

do roteiro da atividade, perceberiam que a potenciação de base 0, terá como

resultado a própria base (zero). A constatação deste fato foi comprovada pelas

produções textuais dos 22 alunos (84%), nos roteiros de atividade.

Percebemos que os alunos A1 e A22 que haviam deixado a conclusão

em branco na Atividade 02 conseguiram escrever textos válidos na atividade 03.

Salientamos que os alunos melhoraram na elaboração das conclusões.

A atividade 04 (Potenciação de expoente 1), foi aplicada também no dia

03/05/2016, para 29 alunos e teve a duração de 31 minutos. Esperavamos que os

alunos descobrissem uma relação entre as potenciações de expoente 1, ou seja,

percebessem que o calculo das questões da potenciação de expoente 1, tinham

como resultado (potência) o número da base.

Todos alunos responderam corretamente os cálculos e 83% fizeram a

conclusão plausívei de aceitação, e apenas 14% não emitiram por escrito uma

148

opinião a respeito do assunto aqui tratado. E o aluno A13 tentou, mas não

conseguiu fazer uma conclusão.

5.5 ANÁLISE A POSTERIORI DO TERCEIRO ENCONTRO COM OS ALUNOS Nesta subsessão analizamos duas atividades e a atividade de fixação, elas

ocorreram no dia 06/05/2017. Sendo a atividade 05 (potenciação de base 10), a

primeira a ser aplicada neste dia, objetivava que os alunos descobrissem uma

maneira prática de calcular potenciações de base 10, participaram 29 alunos e teve

a duração de 28 minutos.

Esperávamos que os alunos com o auxilio da calculadora notassem

mais rápido que em potenciação de base 10, a medida que aumenta o valor

numérico do expoente, também aumenta a quatidade de zeros no resultado

(potência), ou seja, em potenciação de base 10, repete a base, e considera que a

potência terá a quantidade de zero indicada pelo expoente. Nesta atividade todos

os alunos responderam os cálculos das questoes corretamente, com excessão do

aluno A4, que apesar de explicarmos que estava errado a forma que queria

escrever as respostas das duas últimas questões, ainda assim, permaneceu

argumentando que era cansativo escrever todos aqueles zeros. Ele e outros alunos

sugeriram ao invés de escrever todos zeros que os expoentes indicavam,

escreveriam apenas 1 multiplicando o valor do expoente. Pois assim segundo eles

saberiam quantos zeros teria na frente do número 1. Falhamos, enquanto

orientador desta atividade, pois, apesar de entender a forma carreta de responder

à questão o referido aluno permaneceu com a resposta errada.

Na análise a posteriori constatamos que 83% dos alunos conseguiram

entender a maneira prática de responder a potenciação de base 10 e elaborar uma

conclusão que consideramos válida, apenas 17% dos alunos tiveram suas

conclusões inválidas por não produzir um texto plausível de aceitação para a

potenciação de base 10.

Na atividade de fixação trabalhamos juntamente com os alunos

questões diretamente no quadro e brincamos com o dominó da operação

potenciação, com o objetivo de melhorar a aprendizagem dos alunos em relação

aos assuntos de potenciação que já havíamos compartilhado com eles. A análise a

149

priori deste momento, é de suma importância uma vez que tanto os alunos têm a

oportunidade aprender o que não conseguiu durante a aula, como o professor tem

oportunidade de perceber e auxiliar os alunos que tem dificuldades de

entendimento nesta operação. Consideramos que tivemos um bom êxito nesta

atividade de fixação, pois os resultados nos pós-teste foram bons.

A atividade 06 (Produto de potências), foi aplicada no terceiro encontro

com os alunos e teve como objetivo, oferecer a oportunidade dos alunos

descobrirem uma maneira prática de calcular o produto de potências, tivemos 22

alunos participando durante 50 minutos.

Esperamos que os alunos percebam que basta repetir a base e somar

os expoentes transformando em uma única potência. Apesar dos alunos

demorarem entender a inseção da propriedade potenciação, ainda tivemos 73%

dos alunos com produções textuais válidas para esta atividade, apenas 27% dos

alunos tiveram suas conclusões inválidas, pois suas conclusões estavam

inadequadas para essa propriedade.

Os alunos que tiveram suas conclusões validada, apesar de usar termos

adequados, percebemos ainda uma fragilidade na linguagem dos alunos. mesmo

assim, houve a compreensão do que foi estudado pois de alguma forma os alunos

discutiram sobre o produto de potência, fazendo a distinção entre o que seria a

base e o expoente dentro desta propriedade.

5.6 ANÁLISE A POSTERIORI DO QUARTO ENCONTRO COM OS ALUNOS

Em 10/05/2017, desenvolvemos com os alunos a Atividade 07 (Divisão

de Potências) e a Atividade 08 (Potência de Potências). A atividade 07 objetivou

descobrir uma maneira prática de calcular a divisão de potências; e a atividade 08

objetivou descobrir uma maneira de calcular potência de potências. Neste

encontro, participaram 28 alunos, da atividade 07 em 41 minutos, e 23 alunos da

atividade 08 em 46 minutos.

Em uma análise a priori, esperamos nas Atividades 07 e 08 que os

alunos pudessem identificar, respectivamente, que basta repetir a base e subtrair

os expoentes na divisão de potências; conservar a base e multiplicar os expoentes

na potência de potências. Verificamos que alunos (82%) confirmaram as nossas

150

expectativas na Atividade 07, bem como (68%) alunos na Atividade 08 foram

capazes de escrever textos válidos. Ainda foi possível observar a redução do

tempo de aplicação da primeira atividade, pois esta era semelhante a atividade 06

do encontro anterior, ao ter em vista que o aluno já estaria familiarizado com o

modelo da atividade.

5.7 ANÁLISE A POSTERIORI DO QUINTO ENCONTRO COM OS ALUNOS

Em 13/05/2017, desenvolvemos com os alunos a Atividade 09

(Expoente zero); Atividade de fixação (Produto de potências, Divisão de potência,

Potência de potência e Expoente zero); a Atividade 10 (Quadrado da soma e soma

dos quadrados), e a Atividade 11(Quadrado da diferença e a diferença dos

quadrados) 30 min

A atividade 09 objetivou descobrir uma relação entre as potenciações

de expoente zero, participaram 24 alunos durante 40 minutos.

Considerávamos que os alunos fossem perceber, que bastava repetir a

base subtrair os expoentes e encontraria o resultado na forma de potência e para

encontrar o resultado numérico calculavam na calculadora a primeira potência, com

isto, obteria um resultado numérico, como a segunda tanto a base como o

expoente tinham o mesmo valor numérico da primeira, então o resultado seria o

mesmo, logo bastava dividir o primeiro resultado pelo segundo, que encontraria o

número 1 como resposta. Em suma toda base diferente de zero de expoente zero é

igual a 1.

Nesta atividade os alunos apresentaram bastante dificuldade de

entendimento, uma vez que todos calcularam corretamente, mas apenas 58% dos

alunos produziram conclusões válidas, 38% elaboraram conclusões inválidas para

esta atividade e o aluno A28 não elaborou a conclusão. Situação que já tínhamos

superado. Ressaltamos que o referido aluno não veio no terceiro encontro, quando

iniciamos a propriedade da potenciação, acreditamos que tenha influenciado na

sua aprendizagem. Considerando que, os alunos participantes de todos os

encontros tiveram dificuldades, uma vez que vários alunos não responderam

151

corretamente as questões relacionadas as propriedades da potenciação no pós-

teste.

Na atividade de fixação pretendíamos revisar o Produto de potências,

Divisão de potência, Potência de potência e Expoente zero, participaram 24 alunos

durante 30 minutos.

Percebemos algumas dificuldades entre os alunos quanto aos referidos

conteúdos já trabalhado. Com o dominó de potenciação e resolução de exercícios

no quadro buscamos sanar o problema. No entanto houve alunos que tiveram que

se ausentar e entre eles estava o A28.

Ainda neste encontro desenvolvemos a Atividade 10 com duração de

38 minutos e 23 alunos participantes, objetivou descobrir uma relação entre o

quadrado da soma e a soma dos quadrados de dois números naturais.

Esperávamos que os alunos notassem que o resultado do quadrado da soma não

é mesmo que a soma dos quadrados. Nesta atividade, validamos 78% das

conclusões dos alunos e invalidamos 22%, por não conseguirem elaborar uma

conclusão que contemplasse as expectativas esperada para esta atividade.

A atividade 11, teve a duraração de 30 minutos com a presença de 20

alunos, visava que os alunos descobrissem uma relação entre o quadrado da

diferença e a diferença dos quadrados. Esperávamos assim como na atividade

anterior que os alunos percebessem através dos resultados encontados nos

cálculos, que o quadrado da diferença é diferente da diferença dos quadrados.

Obtivemos dos alunos 78% de conclusões válidas, e o restante válidas

parcialmente, consideramos o resultado muito bom apesar de estarmos na busca

do 100% de acertos dos alunos em cada atividade, tanto no cálculo como nas

conclusões.

Em análise deste encontro, consideramos os resultados obtidos com as

produções textuais dos alunos, dentro de um patamar aceitável, como boa. Visto

que as porcentagens de conclusões válidas para as atividades 09, 10 e 11 foram:

58%, e 78% nas duas últimas. Apesar de haver na potenciação de expoente zero

uma queda percentual expressiva nas conclusões escritas dos alunos. Esse déficit

foi superado nos cálculos do roteiro da atividade e nas duas atividades posteriores,

conforme apresenta os quadros 47, 48 e 49 desta pesquisa.

152

5.8 ANÁLISE A POSTERIORI DO SEXTO ENCONTRO COM OS ALUNOS

Em 17/05/2017 desenvolvemos a Atividade 12 (Produto da soma pela

diferença de dois números) 36 minutos, aplicamos o pós-teste que foi realizado em

60 minutos estavam presentes 27 alunos.

Na análise a priori da atividade 12, que objetivou a descoberta de uma

maneira prática de determinar o produto da soma pela diferença de dois números,

os alunos utilizaram 36 minutos de tempo para concluir a atividade. Julgavamos

que após a realização das atividades 10 e 11, os alunos responderiam esta sem

muito problema, mas não foi o que ocorreu. Tiveram bastante dificuldades e os

resultados não foi o que esperávamos. Apenas 36% tiveram suas conclusões

válidas, 36% tiveram erro de cálculos e não conseguiram entender para emitir uma

opinião a cerca da atividade, houve ainda 18% dos alunos que fizeram o cálculo

das questões correto, mas tiveram suas conclusões inválida por não atingir o

objetivo que esperávamos.e 11% dos alunos não fizeram a conclusão como

apresenta o quadro 51.

Vale lembrar que neste encontro pedimos ajuda para o professor titular da

turma em está aplicando a última atividade e o pós-teste, visto que estávamos

doentes e precisava concluir o experimento, considerando que se aproximava das

avaliações bimestrais e o professor iria usar o conteúdo da potenciação na

avaliação escrita. Provavelmente esse fato tenha influenciado negativamente no

rendimento dos alunos.

No pós-teste participaram 28 alunos, entretanto iremos utilizar os dados de

apenas 27 alunos, pois só poderíamos usar o critério de comparação do

conhecimento de antes e depois do experimento com os alunos que participaram

do pré-teste e pós-teste. Os dois testes avaliativos possuem as mesmas

questõese. Esse teste avaliativo tem o objetivo averiguar os conhecimentos dos

alunos sobre potenciações após a aplicação das atividades, teve a duração de 60

minutos e obtivemos os seguintes resultado

Quadro 69– Desempenho por questão, no pós-teste

Assunto Questão Acertos em percentage

Erros em percentagem

Brancas em percentagem

introdução a 3³ 85% 22% 0%

153

potenciação 6² = 85% 7% 0%

potenciação de base zero

04 = 96% 4% 0%

015 = 96% 4% 0%


14 = 78% 22% 0%

17 = 81% 19% 0%

Potencição de base 10

10² = 85% 15% 0%

105 = 85% 15% 0%

potenciação de expoente um

3¹ = 100% 0% 0%

1000¹ = 96% 4% 0%

Potenciação de expoente zero

60 = 59% 37% 4%

120 = 63% 33% 4%

Produto de potências

2².2³ = 67% 37% 7%

4³. 45 = 59% 30% 7%

Divisão de potências

36 : 34 = 52% 41% 7%

54 :5² = 56% 37% 7%

Potência de potência

(4³)5 = 52% 33% 15%

(3²)³ = 52% 33% 15%

potencia de Produto

(2.4)³ = 67% 19% 15%

(3.5)² = 67% 19% 15%

(a+b).(a-b) = a² - b² = a=3 e b=2

63% 22% 15%

Produto da soma pela diferença de dois

números

a=4 e b=3 56% 26% 19%

a=5 e b=4 56% 26% 19%

a=5 e b=1 52% 30% 19%

a=4 e b=2 52% 30% 19%

a=3 e b=1 52% 30% 19% Fonte: Pesquisa de campo (2016)

Gráfico 40 - Desempenho dos alunos por questão no pós-teste

154


Os alunos tiraram notas maiores que 5,0 em 100% das questões, do pós-

teste, entretanto as notas foram maiores nas dez primeiras questões, ao ponto de

em algumas das questões, eles não deixarem nenhuma questão em branco.

Percebemos que ao adentrar nas propriedades tanto na aplicacação das atividades

como no pós-teste os alunos apresentaram maiores dificuldades na aprendizagem.

Em consequencia da redução do ritmo da aprendizagem o tempo gasto com as

atividades aumentam, então a partir das propriedades podemos observar o

aumento de duração das atividades. No geral podemos afirmar que houve

aprendizagem, uma vez que no pré-teste, praticamente todos os alunos deixaram

de responder as questões.

No pós-teste houve bastante erros nos cálculos das questões que envolvia

as propriedades da potenciação, temos 44% de erros no Produto de potências e na

Divisão de potência e 37% na potência de potência e na potenciação de base zero

que também envolvemos a Divisão de potência na busca do resultado destas

questões. Considerávamos na análise apriori que os alunos estariam mais

confiantes para resolver as questões, visto que já tinham conhecimento sobre a

potenciação, porém algumas dificuldades poderiam surgir nas propriedades da

potenciação e no produto notável.

155

A seguir apresentaremos alguns tipos erros observados nas resoluções dos

alunos. Os quadros de 70 a 80 indicam o número de resoluções incorretas, os

equívocos cometidos pelos alunos e a forma como os alunos pensaram suas

resoluções. A análise será feita de acordo com os assuntos abordados nas

questões e iniciaremos pelas 1ª e 2ª questões que tratavam do conceito de

potenciação.

Quadro 70 – Tipos de erros na introdução da potenciação do pós-teste

Questões: 1ª e 2ª (3³ = e 6² =)

Tipos de erro:

Números de resolucões incorretas

Exemplos de resolução incorretas dos alunos

Multiplicam base pelo expoente 5 3.3 = 9; 6.2 = 12 Armam corretamente, mas erram no cálculo 3 3.3.3 = 9; 6.6 = 12


Estes erros foram cometidos pelos alunos A2, A3, A11 e A21, os demais

85% dos alunos acertaram o cálculo destas questões, aferimos que apesar de

vários alunos entre estes, terem apresentado conclusões incorretas para a

atividade que tratava o referido assunto. No entanto na validação desta pesquisa,

consideramos que houve aprendizagem, visto que responderam corretamente no

pós-teste.

Quadro 71 – Tipos de erros na potenciação de base zero do pós-teste

Questões: 3ª e 4ª (04 = e 015 =)

Tipos de erro:

Nº de resoluções incorretas

Exemplo de resolucões incorretas

Desconsidera o valor da base e usa apenas o valor numérico do expoente como resposta 2 4 ;15


Nestas questões o aluno A2 foi o único que errou no pós-teste, assim

como na questão anterior houve outros alunos que tiveram suas conclusões

invalidadas, uma vez que não produziram um texto plausível com suas conclusões.

mas acertaram 96% dos cálculos das questões sobre a potenciação de base zero

156

no pós- teste. Este resultado vem confirmar a nossa suposição de que os alunos

teriam aprendido sobre este assunto, embora tenham apresentado dificuldades na

organização das idéias para produzir uma conclusão por escrito nos roteiros das

atividades.

Quadro 72 - Tipos de erros na potenciação de base 1 do pós-teste

Questões: 5ª e 6ª (14 = e 17 =)

Tipos de erros: Nº de resoluções incorretas


Multiplica base pelo expoente 6 4; 7 Armam corretamente, mas erram no cálculo 4

1.1.1.1 = 4; 1.1.1.1.1.1.1 = 7


Nas questões 5ª e 6ª do pós-teste, segundo nossa investigação, foram os

alunos A2, A3, A5, A9, A11, que não conseguiram responder corretamente, ou

seja, não houve aprendizagem o suficiente para fazer os cálculos destas questões.

Contudo consideramos bom o rendimento, pois os demais alunos tiveram 81% de

acertos nas questões referente a potenciação de base um. Para nós pesquisadora

houve aprendizagem significante neste assunto.

Quadro 73 - Tipos de erro na potenciação de base dez do pós-teste

Questões: 7ª e 8ª (10² = e 105 =)

Tipos de erro: Nº de resoluções incorretas


Multiplica base pelo expoente 7 10.2 = 20; 10.5 = 50 Armam corretamente, mas erram no cálculo 1 10.10.10.10.10 = 210


Nas duas questões que envolviam potenciação de base 10, os alunos A2,

A3, A5, A9, A1, A12. Não apresentaram resoluções corretas. Entretanto tivemos

um total de 85% de acertos em cada uma dessas questões, o que nos dá a

confiança de ter alcançado objetivo esperado para este conteúdo e portanto,

validar nosso experimento para este assunto.

157

Quadro 74 - Tipos de erros na potenciação de expoente 1 do pós-teste

Questões: 9ª e 10ª (3¹ = e 100¹ =)



Considera que toda potenciação é elevada ao quadrado ou multiplica a base pelo expoente e erra o cálculo 1 1000.1= 2000


O quadro 74 demonstra o erro cometido pelo aluno A11, o que corresponde

a 2% das questões respondidas relacionada a potenciação de expoente 1 no pós-

teste. Enfatizamos que buscávamos 100% de acerto, todavia 98% è um resultado

muito sastifatório, por isso consideramos que o objetivo traçado para este assunto

foi alcançado. Logo, validamos positivamente este assunto do experimento

realizado em sala de aula.

Quadro 75 - Tipos de erro na potenciação de expoente zero do pós-teste

Questões: 11ª e 12ª (60 = e 120 =)



Multiplicam base pelo expoente ou fazem o inverso da potenciação, repetem o expoente a quantidade vezes indicada pela base. 8

0.0.0.0.0 .0 = 0 ; 12.0 = 0

Desconsideram o expoente 4 60 = 6; 120 = 12 Fonte: pesquisa de campo (2016)

Apesar dos alunos durante a aplicação da atividade da potenciação de

expoente zero ter demonstrado bastante dificuldade, dúvidas e ter diminuído o

ritmo da produção. Pois utilizamos mais tempo para concluí-la. No pós-teste os

alunos acertaram 65% das questões semelhantes as estas do quadro 75. Ainda

assim foram bem melhores que os alunos egressos como mostra o quadro 82

consideramos um bom resultado e as validamos.

158

Quadro 76- Tipos de erro no produto de potência do pós-teste

Questões: 13ª e 14ª ( 2². 2³= e 4³. 45 = )



Multiplicam os expoentes e desconsideram a base 2 2.3 = 6; 3.5 = 15 Não utiliza a regra da propriedade do produto de potência, soma o expoente da primeira base com segunda base e desconsidera o expoente da segunda base. 1

43+4= 47

Não usam a regra da propriedade Divisão de potenciação e fazem os cálculos errado 9

4.4.4.4.4.4.4.4 = 98 ; 36


Na análise das questões referentes ao produto de potência, os alunos

acertaram uma média de 63% no pós-teste. Entre os erros observamos que

indentificam que há uma somatória, porém ou não identificam os termos desta

operação com seus respectivos nomes, ou desconhece a regra na sua totalidade.

Apesar do resultado não superar nossas expectativas, validamos as referidas

questões pois o objetivo esperado para estas questões foi atingido em mais de

60% e ainda assim foi bem maior que os resultados obtidos com o teste de

sondagem dos alunos egressos em questões semelhantes.

Quadro 77 - Tipos de erro na divisão de potência do pós-teste

Questões: 15ª e 16ª ( 36: 34 = e 54: 5² =)



Não usam a regra da propriedade da Divisão da potenciação, somam o expoente da primeira base com segunda base e desconsideram o expoente da segunda base 2 36+3 = 39

Não usam a regra desta propriedade e fazem cálculos errado 9

3.3.3.3.3.3 = 27

Não usa a regra da propriedade da divisão da potenciação, e multiplica os dois expoentes 2 6.4= 24 Multiplica a base pelo expoente e não aplica a regra desta propriedade 2

5.4 =20 5.2 = 1020

Usam a regra da propriedade do produto de potência na divisão de potências 6 54+² =56


159

Os alunos também erraram bastante a Divisão de potência, atinge um

patamar alto de déficit de aprendizagem, pois 41% dos alunos erraram as 21

questões relacionadas a este assunto como mostra o quadro 77 acima. e 7%

deixaram de responder as questões. Contudo 52% de acertos das questões, ainda

é um percentual bem maior que a do pré-teste e a dos 10% alcançado pelos alunos

egressos no teste de sondagem em 2015 como apresenta o quadro 82. Por isso

validamos como positiva o resultado encontrado, visto que são frutos da

aprendizagem dos alunos durante o experimento em sala de aula. Além do mais

esses acertos confirmam que os alunos que responderam corretamente estas

questões no pós-teste, atingiram o objetivo esperado para a divisão de potencia.

Quadro 78 - Tipos de erro na potencia de potência do pós-teste

Questões: 17ª e 18ª ((4³)5 =; (3²) ³ =)



Multiplica os expoentes e desconsidera a base 2 2.3 = 6; 3.5 = 15 Aplica a regra da propriedade produto da potenciação 4 3²+³ = 35; 4³+5 = 48

Não usam a regra da propriedade da potência de potência e fazem o cálculo errado 4

4.4.4.4.4.4.4.4 = 94 3.3.3.3.3 = 23

Multiplicam a base pelo expoente, e o resultado novamente multiplicam pelo expoente e/ou encontram o resultado errado tanto para potênciação como para a multiplicação 6

3.2=6.3=18; 4.3=12.5= 60

Multiplica a base pelo expoente e aplica a regra da propriedade da divisao de potência com os expoentes 2 12; 9²-³ = 9


Na potência de potência tivemos 18 questões incorretas, bastante

semelhante ao caso anterior, os quais, os alunos também conseguiram responder

52% das questões referente a este conteudo no pós-teste. Validamos positiva,

considerando o resultado do pós-teste que foi bem maior que do pré-teste, e ao

analizarmos o resultado do teste de sondagem dos alunos egressos constatamos

160

4%, isto leva a supor que os alunos também tiveram maiores dificuldades de

aprendizagem nesta propriedade da potenciação.

Quadro 79 - Tipos de erro na potência de produto do pós-teste

Questões: 19ª e 20ª ((2.4)³= ; (3.5)²)



Multiplicam os dois fatores e desconsidera o expoente 2 2.4 = 8; 3.5 = 15 Multiplicam os dois fatores e o resultado multiplicam pelo expoente 4

3.5.2 = 30; 2.4= 8³ = 24

Fazem cálculos errado 4 12; 26 Fonte: pesquisa de campo (2016)

Nas questões referentes a potência de produto, 67% dos alunos

responderam corretamente e os demais alunos deixaram em branco ou erraram as

referidas questões. Apesar do número de acertos não ser os melhores, mas

superou as do teste de sondagem do conhecimento dos alunos egressos e dos

alunos antes de aplicar a sequência didática e como é acima de 50%, isto quer

dizer que mais da metade dos alunos atingiram o objetivo planejado para o

conteúdo de potenciação que as questões representavam. Mediante isto podemos

validar positivamente as questões que representava parte da sequência didática

desta pesquisa.

O quadro a seguir apresenta a análise das questões 21ª a 26ª agrupadas,

por considerar que todas são referentes ao quadrado da soma pela diferença de

dois números e diferença dos quadrados.

Quadro 80 - Tipos e quantidade de erros no quadrado da soma pela diferença do pós-teste

Questões: 21ª - 26ª ( (a+b).(a-b)= ; (a²- b²= )



Multiplica o valor de a pelo valor de b, desconsidera os expoentes do produto notavel e outras operações envolvida na questão. 6

(3²+2²) = 6; (3²-2²) = 0

Atribuem valores aleatórios 18 9 ; 4=1 Na primeira coluna da questão, não faz a multiplicação entre os resultados encontrado em cada parêntese. Na 12 4+3=7, 4-3= 1;4-3=1

161

segunda desconsidera os expoentes. Erra a segunda coluna, desconsidera os expoentes 6 4-3=1


Apesar dos erros estarem em grande número no quadro acima e dar a idéia

equivocada, dos alunos terem errado mais nestas questões que nas anteriores. A

razão para isto, foi o agrupamento das 6 questões em um único quadro. Na

realidade os alunos obtiveram uma média de 55% de acertos. Os alunos A1, A3,

A5, A11, A16, A25 erraram todas as questões e os alunos A7, A17 e A20

responderam corretamente a 1ª coluna e deixaram a 2ª coluna sem responder,

então, avaliamos-as como metade de cada questão para o resultado final do pós-

teste. Toda via, esse percentual de acertos e o fato dos alunos participantes do

experimento não terem respondido nenhuma destas questões no pré-teste, nos

coloca em um patamar de validar o resultado do experimento como positivo, uma

vez que o objetivo destas questões foi atingido em mais de 50%. E a seguir

apresentaremos o desempenho de cada aluno, no teste avaliativo antes e depois

da aplicação da sequência didática (experimentação da metodologia).

Quadro 81 - Desempenho individual do pré-teste e do pós-teste

Alunos

Acertos Erros Branco

pré- teste

pós-teste

pré-teste

pós-teste

pré-teste

pós-teste

A1 0% 77% 0% 0% 100% 23%

A2 0% 12% 0% 35% 100% 54%

A3 0% 23% 0% 77% 100% 0%

A4 0% 42% 0% 38% 100% 19%

A5 4% 38% 35% 62% 62% 0%

A6 8% 100% 0% 0% 92% 0%

A7 0% 100% 0% 0% 100% 0%

A8 0% 100% 15% 0% 85% 0%

A9 0% 50% 0% 15% 100% 35%

A10 0% 73% 0% 27% 100% 0%

A11 8% 23% 31% 81% 62% 0%

A12 0% 38% 0% 19% 100% 46%

A13 0% 96% 0% 4% 100% 0%

A14 0% 100% 0% 0% 100% 0%

A15 15% 85% 38% 19% 46% 0%

A16 31% 62% 8% 38% 62% 0%

162

A17 0% 54% 0% 35% 100% 12%

A18 0% 35% 0% 12% 100% 54%

A19 0% 88% 0% 12% 100% 0%

A20 0% 92% 0% 8% 100% 0%

A21 0% 77% 0% 23% 100% 0%

A22 0% 92% 0% 8% 100% 0%

A23 0% 88% 0% 12% 100% 0%

A24 0% 92% 0% 8% 100% 0%

A25 0% 77% 0% 23% 100% 0%

A26 0% 100% 0% 0% 100% 0%

A27 0% 100% 0% 0% 100% 0% Fonte: pesquisa de campo (2016)

Ao apresentar as análises de erros dos alunos do 6º ano, adquirido em um

teste avaliativo que visava sondar o conhecimento desses alunos, nos reportamos

aos dados adquiridos em um teste de sondagem do conhecimento aplicado a um

outro grupo de alunos, que estudaram a potenciação em um outro momento com

outra metodologia e outro mediador do conhecimento. Por isso consideramos

importante apresentar o quadro a seguir. Além de ratificar o que mencionamos, no

discorrer deste texto, proporcionará a comparação entre os resultados obtidos,

com os dois grupos de alunos pesquisados.

Enfatizamos que a partir da Potenciação de Base Zero até a Potência de

Produto, o valor em percentagem da coluna de acertos dos alunos egressos é a

somatória entre a coluna de acertos usando a regra propriedade para responderas

questões com a de acertos sem o uso das regras das propriedades (ver quadro

36), considerando que também houve acertos nos resultados.

Quadro 82 –Resultados de testes de sondagem de aprendizagem de alunos que estudaram a potenciação.

Conteúdos da potenciação

Acertos erros Brancas

alunos do 6º ano

alunos egressos

alunos do 6º ano

alunos egressos

alunos do 6º ano

alunos egressos

introdução a potenciação

85% 52% 22% 38% 0% 10%

85% 59% 7% 32% 0% 10%

Potencição de base 10

85% 38% 15% 48% 0% 15%

85% 46% 15% 44% 0% 10%


78% 37% 22% 49% 0% 15%

81% 34% 19% 49% 0% 17%

163

potenciação de expoente

um

100% 72% 0% 11% 0% 17%

89% 71% 11% 11% 0% 18%

Potenciação de expoente

zero

59% 37% 37% 43% 4% 21%

63% 2% 33% 77% 4% 21%

potenciação de base zero

96% 55% 4% 24% 0% 20%

96% 51% 4% 29% 0% 20%

Produto de potências

67% 33% 37% 35% 7% 27%

59% 15% 30% 38% 7% 37%

Divisão de potências

48% 13% 44% 45% 7% 40%

48% 5% 44% 34% 7% 60%

Potência de potência

48% 0% 37% 35% 15% 61%

48% 2% 37% 33% 15% 62%

potencia de Produto

67% 2% 19% 38% 15% 56%

67% 4% 19% 39% 15% 55%

Fonte: Pesquisa de campo (2015 e 2016)

Ao comparar o resultado obtido com o teste de sondagem dos alunos

egressos com o resultado adiquirido apartir do pós-teste dos alunos que

participaram do experimento desta pesquisa podemos constatar que houve uma

grande diferença entre os resultados. As quantidades de acertos dos alunos do 6º

ano, foram bem maior do que a dos alunos egressos e consequentemente o

percentual da somatória das questões erradas com as questões não respondidas

são bem menores que a dos alunos egressos.

Não podemos negar que a metodologia que usamos traz bons resultados,

como mostra o quadro 82. Além, de já ter sido compravado como uma metodologia

que favorece os processos de ensino e aprendizagem da matemática, expresso

por outros pesquisadores como: SILVA (2015), no Ensino de problemas

envolvendo as quatro operações por meio de atividades e LOPES (2015), em O

Ensino de Radicais por Atividades. Entretanto considero que o teste de sondagem

de aprendizagem deveria ser feito ou repetido (hoje, egressos do 6º ano, em

relação ao tempo do experimento), respeitando o mesmo tempo que os alunos

egressos na sondagem (7º ano/2015) ficaram após terem estudado a potenciação.

Assim confirmaríamos se a metodologia que utilizamos é melhor ou não que a

usada para ensinar os alunos egressos.

165

6 CONSIDERAÇÕES FINAIS

O estudo aqui descrito foi planejado na perspectiva do Ensino por Atividade

como metodologia de ensino para a Potenciação. Dentro deste contexto

elaboramos e aplicamos uma sequência didática com a pretenção alcançar o

seguinte objetivo: avaliar os efeitos de uma sequência didática no ensino de

potenciação por meio de atividades sobre o desempenho da resolução de

questões relacionadas a esta operação.

Com base nas análises prévias contidas na primeira seção que constou

do levantamento dos estudos; da consulta aos professors e alunos e análise dos

livros didáticos identificamos que são muitas as dificuldades que ainda

acompanham o ensino-aprendizagem deste assunto tanto pelos professores,

quanto pelos alunos, e na Análise a priori elaboramos uma sequência didática,

tendo como metodologia de ensino o Ensino por Atividades que foi aplicada na

fase subsequente.

A experimentação foi realizada em uma escola pública Municipal de

Nova Ipixuna - Pará, com 31 alunos de um 6º ano do Ensino Fundamental.

Percebemos a possibilidade da construção do conhecimento pelos próprios alunos,

ao observar a capacidade deles em elaborar regras válidas para o cálculo com

potenciações. Enfatizamos também que a partir dos dados produzidos na

experimentação, sugerimos fazer ajustes no roteiro das atividades, principalmente

na última, que trata do produto da soma pela diferença de dois números, pois

conduziu alguns alunos à construção equivocada de conceitos, consideramos não

serem suficientemente claros e conduzir a interpretações errôneas sobre a

potenciação.

A análise a posteriori nos conduziu a tirar as seguintes conclusões: a

sequência didática utilizada nesta pesquisa para o ensino de potenciações por

meio de atividades trouxeram, um bom desempenho dos alunos na resolução das

questões trabalhadas na sala de aula; os resultados das variáveis

socioeconômicas não interferiram no desempenho dos alunos; os alunos que

elaboraram regras válidas para o cálculo de potenciações, alcançaram melhores

166

resultados; a medida que fomos desenvolvendo a sequência didática os alunos se

tornaram mais ágeis e com isso diminui o tempo de aplicação das atividades e os

alunos elaboram textos cada vez melhores, pois a capacidade tenra de escrever

suas interpretações, melhoraram bastante, tendo como ponto referencial as

primeiras produções textuais das atividades .

Cabe ressaltarmos que os alunos não estavam totalmente seguros ao

resolver as questões que envolvia as propriedades da potenciação no pós-teste.

Para superar essa deficiência, sugerimos inserir um número maior de atividades de

fixação; dedicar mais tempo as atividades relacionadas a estas propriedades e com

isso, haveria mais tempo para trabalhar com os jogos referentes à potenciação, de

forma que venham sanar o problema da aprendizagem, bem como buscar

maneiras de recuperar a atenção dos alunos, pois quando mal interpretaram o

enunciado da questão, o resultado não foi o esperado.

Contudo o percentual de acertos dos alunos desta pesquisa nos leva a

avaliar que a forma como conduzimos nossa pesquisa, possibilitou de fato, a

construção de conceitos que trouxeram maior autonomia aos alunos para

resolverem atividades envolvendo a operação potenciação, pois embora tenhamos

constatado, por meio do estado da arte, que as dificuldades dos alunos

relacionadas ao assunto são diversas, direcionamos nossa pesquisa para os

passos da resolução e assim damos maior significado ao conhecimento adquirido

pelos alunos, por meio da redescoberta

O desenvolvimento desta pesquisa, veio somar mais conhecimento a nossa

formação. Claro o trabalho foi árduo, contudo, muito gratificante, pois nos sentimos

auto-realizada ao observar o progresso dos alunos tanto na melhora da escrita das

produções textuais das conclusões das atividades, quanto na participação durante

às aulas, o professor mediador, passa a ter uma relação afetiva com os alunos, e

isto lhe favorece proporcionando conhecer os interesses de seus alunos.

Consideramos que algo semelhante ocorreu durante o experimento, pois os alunos

escreveram pequenos textos no pós-teste nos convidando a continuar a ministrar

aula para eles e outros nos convidavam nos corredores da escola quando nos

encontravam ou iam para a sala em que eu trabalha oferencendo sua ajuda e

convidando a voltar a dar aulas para eles.

167

Salientamos ainda há necessidade de prosseguimentos nos estudos sobre

a metodologia aplicada no processo ensino e aprendizagem da potenciação nesta

pesquisa, uma vez que consideramos a necessidade de aplicar novamente o teste

de sondagem com questões semelhantes as usadas nesta pesquisa respeitando o

mesmo tempo que os egressos tinham quando participaram do teste de sondagem

desta pesquisa, com a finalidade de descobrir, se o resultado será o mesmo

adiquirido logo após os alunos terem parcipado do experimento. Além de

aprofundamento nos estudos a fim de superar as dificuldades detectadas nas

propriedades da potenciação. Contudo ratificamos a nossa contribuição no saber

pedagógico para o ensino de potenciações. Com isso contribuimos para a

formação de professores, visto que a partir desta experiência basta fazer algumas

adaptações, conforme a realidade escolar dos alunos.

168

7 REFERÊNCIAS ALMOULOUD, Saddo Ag. Fundamentos da Didática da Matemática. Edição atualizada. Curitiba. Editora UFPR, 2007. 217 p. ARTIGUE, Michelle. Engenharia didáctica. In: BRUN, Jean (Org.). Didáctica das Matemáticas. Lisboa: instituto Piaget, 1996. p. 193-217. BECKER, Fernando. Epistemologia do Professor de Matemática. Petrópolis, Editora: Vozes, 2012. BICUDO, Maria Aparecida Viggiani. Filosofia da Educação Matemática segundo uma perspectiva fenomenológica. In: BICUDO, Maria Aparecida Vigianni. Filosofia da educação matemática: fenomenologia, concepções possibilidades didático – pedagógico. São Paulo: Editora Unesp, 2010. CARNEIRO, Vera Clotilde Gracia. Engenharia Didática: um referencial para ação investigativa e para formação de Professores de matemática. In Zetetike, Campinas – UNICAMP, V. 13, n. 23, 2005, p. 85-118. D’ AMBROSIO Ubiratan. História da matemática e educação. In cadernos CEDES. História e Educação Matemática. Campina: Papirus n 40, 1996.96 p.7-17. D’AMBROSIO, Ubiratan. Educação Matemática: da teoria à prática. Campinas, SP: Papirus, 2012. FELTES, Rejane Zeferino. Análise de erros em potenciação e radiciação: um estudo com alunos de ensino fundamental e médio. 2007. 136 f. Dissertação (Mestrado em Educação em Ciências e Matemática) – Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, 2007. GRAÇA, Vagner Viana da. O Ensino de Problemas do 1º Grau Por Atividades. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática). Belém: UEPA, 2011. INEP, MEC. Disponível em www.http://ideb.inep.gov.br/resultado/: Acesso em 02 de dezembro de 2016. LEVIN, Jack; FOX, James A. Estatística para ciências humanas. 9ª ed. São Paulo: Pearson, 2004. LOPES, Adrielle Cristine Mendello. A Calculadora no ensino da Potenciação: Uma experiência no 4º ano do ensino fundamental. 2012. 125 f. Trabalho de Conclusão de Curso (Licenciatura Plena em Matemática) - Universidade do Estado do Pará, 2012. _____, O Ensino de radicais por Atividades. 2015. 308f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) – Universidade do Estado do Pará, Belém, 2015 MACHADO, Ana Maria Netto. A relação entre autoria e a orientação no processo de elaboração de teses e dissertações. In BIANCHETTI, Lucídio; MACHADO, Ana

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Projovem Urbano.In VII Encontro Paraense de Educação Matemática – EPAEM Belém – PA, 1-12, 2010. SIERRA, Gustavo Martínez. Hacia una explicación sistémica de los fenómenos didáticos: el caso de las convenciones en el tratamiento de los exponentes no naturales. Dissertacão (Mestrado em Ciências) - Instituto Politécnico Nacional México D. F. 2000. 107 f. SILVA1, Silvio Tadeu Teles da. O Ensino das Funções Exponencial e Logarítmica por Atividades. 2014. 218f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) – Universidade do Estado do Pará, Belém, 2014 SILVA2, Benedita das Graça Sardinha. O ensino de Problemas envolvendo as quatro operações por meio de atividades. 2015. 224 f. Dissertação (Mestrado em Educação) - Universidade do Estado do Pará, Belém, 2015.

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171

Apendice A

UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PARÁ CENTRO DE CIÊNCIAS SOCIAIS E EDUCAÇÃO

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO- MESTRADO

Caro(a) Professor (a), Este instrumento tem como objetivo obter informações para um estudo que pretende contribuir na superação dos obstáculos de ensino e aprendizagem de matemática encontrados por professores e alunos durante as atividades em sala de aula. Nesse sentido, sua colaboração respondendo a este questionário é de grande importância para o êxito do estudo em questão. As informações obtidas terão um caráter confidencial e sua identidade será preservada. Desde já agradecemos a sua colaboração com o nosso trabalho!

1- Sexo: Masculino ( ) Feminino ( )

Data:___/___/___

2- Faixa Etária ( ) Menos de 21 anos ( ) 21-25 anos ( ) 26-30 anos ( ) 31- 35

anos ( ) 36-40 anos ( ) 41-45 anos ( ) 46-50 anos ( ) 51-55 anos ( ) 56 –60 anos (

) 61-65 anos ( ) mais de 65 anos

3 - Escolaridade (informe sua graduação e todas as suas pós-graduações)

Ensino Superior.____________________Instituição:_______________________

Ano de Conclusão_______

Especialização. ____________________Instituição:_______________________


Mestrado._________________________Instituição:_______________________


Doutorado.________________________Instituição:_______________________


4 - Tempo de serviço como professor de matemática? ( )Menos de um ano ( )1-5

anos ( ) 6-10 anos ( )11-15 anos( ) 16-20 anos ( ) 21-25 anos ( ) 26-30 anos (

) 31-35 ( )Mais de 35 anos

5 - Tipo de escola que trabalha atualmente:( )Pública Estadual ( )Pública

Municipal( )Publica Federal( )Privada( ) Outra.

Qual?________________________

6- Durante sua formação de professor de matemática você fez alguma disciplina

sobre o ensino das quatro operações da matemática? ( ) Não ( ) Sim, qual?

6- Durante sua formação de professor de matemática você fez alguma disciplina

sobre o ensino de potenciação? ( ) Não ( ) Sim, qual?

7- Como professor de matemática você já participou de evento/curso sobre o

ensino de potenciação?( ) Não ( ) Sim, qual? ________________________

172

9- Você ensina potenciação do modo como aprendeu na educação básica? ( )

Não ( ) Sim

10- Quando você ensina potenciação, a maioria das aulas começa:

( ) pela definição seguida de exemplos e exercícios

( ) com uma situação problema para depois introduzir o assunto

( ) com um experimento para chegar ao conceito

( ) com um modelo para situação e em seguida analisando o modelo

( ) com jogos para depois sistematizar os conceitos

11- Para fixar o conteúdo de potenciação você costuma:

( ) Apresentar uma lista de exercícios para serem resolvidos

( ) Apresentar jogos envolvendo o assunto

( ) Solicitar que os alunos resolvam os exercícios do livro didático

( ) Não propõe questões de fixação

( ) Solicita que os alunos procurem questões sobre o assunto para resolver

12 - Você já realizou o ensino potenciação por meio de experimentos didáticos? (

) Não ( ) Sim, qual?

__________________________________________________________________

______________________________

14 – Se você respondeu não para questão anterior (12),qual seria o motivo?

( ) desconhece experimentos didáticos para trabalhar o conteúdo de

potenciação.

( ) Não tem total domínio dos experimentos didáticos para trabalhar com a

potenciação.

( ) A carga horaria é muito curta para realizar experimento didático.

( ) prefere ministrar o conteúdo de potenciação de maneira expositiva.

( ) outro

motivo?____________________________________________________________

______________________________

15 – Quantas aulas você utiliza aproximadamente para ministrar o conteúdo sobre

potenciação?____aulas.

16 – Qual o livro didático que sua escola adotou para a disciplina de matemática do

ensino fundamental? (Por favor informe o nome do livro, autor, editora e ano)

17 – Você utiliza o livro didático adotado pela a escola para ensinar os conteúdos

de potenciação?

173

( ) sim ( ) não. Se você usa outros livros além do livro adotado, diga qual

seguindo os mesmos critérios?

__________________________________________________________________

______

__________________________________________________________________

______________

13 – Baseando na sua experiência docente no ensino de conteúdos referente a

potenciação. Responda quadro abaixo:

Conteúdo

Você

costuma

ministrar?

Grau de dificuldade para os

alunos aprenderem

SIM Não Mui

to

Fáci

l

Fáci

l

Regul

ar

Difíci

l

Muit

o

Difíci

l

Definição de potenciação

Transformação de multiplicação de

fatores iguais em potenciação

Transformação da potenciação em

multiplicação de fatores iguais

Identificação dos termos da

potenciação

Cálculo da potenciação

Potenciação de base zero



Potenciação de expoente 1

Potenciação de expoente zero

Produto de potencias de mesma base

Divisão de potencias de mesma base

Potência de potencia

Potência de produto

Potência de expoente negative

Potência de expoente fracionário

Potenciação de expoente par e base

negativa

Potenciação de expoente impar e

base negativa

Expressão numérica com potencia

Apêndice B

174

UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PARÁ CENTRO DE CIÊNCIAS SOCIAIS E EDUCAÇÃO

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO – MESTRADO

Prezado (a) aluno (a), Neste momento estamos realizando um estudo que busca a melhoria do processo

de ensino-aprendizagem da Matemática, para tanto necessitamos de sua colaboração respondendo as questões abaixo para o êxito deste trabalho. Desde já agradecemos sua colaboração e garantimos que as informações prestadas serão mantidas em sigilo.

Muito obrigado!

1-Idade: ____ anos. 2- Sexo: ( ) Masculino ( ) Feminino

Data:___/___/___

3- Quem é o seu responsável? ( )Pai ( )Mãe ( )Avô ( )Avó ( )Tia ( )Tio ( )Irmão (

)Irmã ( ) Não tenho ( ) Outro. Quem? ____________

4- Até que série estudou o seu responsável? ____________

5- Seu responsável trabalha? ( ) Sim ( ) Não

6- Você estudou e estuda o Ensino Fundamental em que tipo de escola: ( ) Estadual ( )

Municipal ( ) Particular ( ) Outra. Qual? ___________

7- Você trabalha de forma remunerada? ( ) Sim ( ) Não ( ) Às vezes

8- Você faz algum curso? ( ) Informática ( ) Língua estrangeira ( )

Outro________________________

9- Você gosta de Matemática? ( ) Nenhum pouco ( ) Pouco ( ) Muito

10- Você está repetindo esta série? ( ) Não ( ) Sim

11- Você já repetiu alguma série? ( ) Não ( ) Sim, se respondeu sim marque a ou as

series correspondentes diga em quais disciplinas?

( )1º ano _________________________ ( )4º ano ____________________________

( )2º ano_________________________ ( )5º ano ____________________________

( ) 3º ano ________________________ ( )6º ano_____________________________

12- Você tem dificuldade para aprender matemática? ( ) Não ( ) Um pouco ( )

Muito

13- Você se distrai nas aulas de matemática? ( ) Não, eu sempre presto atenção ( )

Sim, eu não consigo prestar atenção ( )Às vezes, quando a aula está chata

14- Você costuma estudar matemática fora da escola. ( ) Só no período de prova ( ) Só

na véspera da prova ( ) Só nos fins de semana ( )Todo dia ( ) Alguns dias da

semana.

175

15- Quem lhe ajuda nas tarefas extraclasse de matemática? ( ) Professor particular ( )

Pai ( ) Mãe ( ) Irmão ( ) Amigo(a) ( ) Ninguém ( ) Outros. Quem? ________

16. Quando você estuda matemática, a aula se desenvolve:

( ) pela definição seguida de exemplos e exercícios

( ) com uma situação problema para depois introduzir o assunto

( ) com um experimento para chegar ao conceito

( ) com um modelo para situação e em seguida analisando o modelo

( ) com a História do assunto.

( ) com jogo didático

( ) Outro

_______________________________________________________________________

__________

17. Para exercitar os conteúdos de matemática seu professor costuma: ( ) apresentar uma lista de exercícios para serem resolvidos

( ) apresentar jogos envolvendo o assunto

( ) solicitar que os alunos resolvessem questões do livro didático

( ) não propor questões de fixação

( ) solicitar que os alunos procurassem questões sobre o assunto para resolver

( ) Outro._____________________________________________________

18). Efetue as operações a seguir:

1) 24 = 11) 06 =

2) 42 = 12) 08 =

3) 108 = 13) 52 . 53 =

4) 102 = 14) 24. 22 =

5) 19 = 15) 6³: 6² =

6) 16 = 16) 36 : 33 =

7) 9¹ = 17) (2³)4 =

8) 7¹ = 18) (32)3 =

9) 60 = 19) (2.4) ³ =

10) 20 = 20) (3.5) 2 =

20). Resolva as expressões abaixo:

1) 7³+ {56- [4² (3.2) ² 9-5]} = 2) 92 + [23 + (2. 4)2 -32 ] =

176

Universidade do Estado do Pará Centro de Ciências Sociais e Educação

Programa de Pós-Graduação em Educação Travessa Djalma Dutra, s/n – Telégrafo

66113-200 Belém-PA www.uepa.br/mestradoeducaca

Neusa de Oliveira Santos O ensino de potenciação por atividades...

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