Notas de apoio de Fiabilidade e Controlo de...

Notas de apoio de

Fiabilidade e Controlo de Qualidade

Manuel Cabral Morais

Seccao de Estatıstica e Aplicacoes

Instituto Superior Tecnico

Lisboa, Fevereiro—Junho de 2007

Indice

Lista de tabelas vii

Lista de figuras xi

1 Conceitos basicos em fiabilidade 1

1.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Breve nota historica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Funcao de estrutura e outros conceitos basicos . . . . . 8

1.4 Estruturas coerentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.5 Fiabilidade de sistemas com componentes independentes 19

1.6 Associacao e limites para a fiabilidade . . . . . . . . . . 27

2 Estatısticas ordinais e tempos de vida de estruturas

usuais em fiabilidade 34

2.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.2 Associacao e limites para a funcao de fiabilidade . . . . 40

2.3 Mecanismos de censura . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3 Envelhecimento estocastico e funcao taxa de falha 47

3.1 Funcao taxa de falha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.2 Monotonia da funcao taxa de falha . . . . . . . . . . . 52

3.3 Preservacao da monotonia da taxa de falha . . . . . . . 55

ii

3.4 Outras nocoes de envelhecimento estocastico . . . . . . 63

3.5 Limites para a funcao de fiabilidade e momentos . . . . 69

3.5.1 Limites para a funcao de fiabilidade baseados

num quantil conhecido . . . . . . . . . . . . . . 70

3.5.2 Limites para a funcao de fiabilidade baseados

num momento conhecido . . . . . . . . . . . . . 71

3.5.3 Limites para momentos da duracao de uma

componente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3.5.4 Limites para a funcao de fiabilidade de um

sistema baseados em momentos conhecidos . . . 76

3.5.5 Limites para a duracao esperada de um sistema

baseados em momentos conhecidos . . . . . . . 78

4 Modelos parametricos importantes em fiabilidade 82

4.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.2 Distribuicoes discretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4.2.1 A distribuicao geometrica . . . . . . . . . . . . 84

4.2.2 A distribuicao binomial . . . . . . . . . . . . . . 86

4.2.3 A distribuicao de Poisson . . . . . . . . . . . . 88

4.3 Distribuicoes contınuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

4.3.1 A distribuicao exponencial . . . . . . . . . . . . 91

4.3.2 A distribuicao bathtub . . . . . . . . . . . . . . 95

4.3.3 A distribuicao log-normal . . . . . . . . . . . . 96

4.3.4 A distribuicao de Weibull . . . . . . . . . . . . 97

4.3.5 As distribuicoes normal e normal truncada . . . 103

4.3.6 A distribuicao gama . . . . . . . . . . . . . . . 104

4.3.7 A distribuicao gaussiana inversa . . . . . . . . . 106

4.3.8 As distribuicoes gama inversa e beta . . . . . . 108

iii

5 Inferencias sobre modelos para diferentes tipos de

ensaio 111

5.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

5.2 Identificacao e seleccao de modelos . . . . . . . . . . . 114

5.2.1 Estimacao nao parametrica de caracterısticas da

fiabilidade — dados completos . . . . . . . . . . 114

5.2.2 Graficos TTT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

5.2.3 Papel de probabilidade . . . . . . . . . . . . . . 122

5.2.4 Testes de ajustamento . . . . . . . . . . . . . . 127

5.3 Testes de vida e estimacao de MV . . . . . . . . . . . . 129

5.4 Estimacao no modelo exponencial . . . . . . . . . . . . 135

5.4.1 Validacao do modelo exponencial . . . . . . . . 136

5.4.2 Amostra completa . . . . . . . . . . . . . . . . 139

5.4.3 Testes de vida com censura . . . . . . . . . . . 141

5.4.4 Escolha da fraccao a censurar e minimizacao de

custos de amostragem . . . . . . . . . . . . . . 146

6 Estrategias de manutencao 149

6.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

6.2 Sobre o impacto das nocoes de envelhecimento em

manutencao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

6.3 Teoria do renovamento e manutencao . . . . . . . . . . 153

6.3.1 Limites para a convolucao . . . . . . . . . . . . 154

6.3.2 Limites para a funcao de renovamento . . . . . 159

6.3.3 Limites para algumas funcoes do numero de

renovamentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

6.4 Algumas estrategias de manutencao . . . . . . . . . . . 164

6.5 Comparacao de estrategias de manutencao . . . . . . . 168

iv

6.6 A polıtica de manutencao random age replacement . . 172

6.7 Alguns resultados sobre disponibilidade . . . . . . . . . 175

6.7.1 Disponibilidade de sistemas com componentes

independentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

6.7.2 Disponibilidade de sistemas em serie . . . . . . 178

6.7.3 Disponibilidade de sistema com uma unidade de

operacao, uma sobressalente e uma de reparacao 183

6.7.4 Disponibilidade de sistema com m unidades de

operacao, n sobressalentes e s de reparacao . . . 185

7 Controlo estatıstico de processos 188

7.1 O significado de qualidade . . . . . . . . . . . . . . . . 188

7.2 Os custos e os aspectos legais da qualidade . . . . . . . 192

7.3 Um apanhado da historia do controlo de qualidade . . 196

7.3.1 Um apanhado geral . . . . . . . . . . . . . . . . 196

7.3.2 As guildas da Europa medieval . . . . . . . . . 198

7.3.3 A Revolucao Industrial . . . . . . . . . . . . . . 199

7.3.4 O inıcio do sec. XX . . . . . . . . . . . . . . . . 201

7.3.5 A II Guerra Mundial . . . . . . . . . . . . . . . 202

7.3.6 A qualidade total . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

7.3.7 Para alem da qualidade total . . . . . . . . . . 207

7.3.8 Walter A. Shewhart — Pai do controlo

estatıstico de qualidade . . . . . . . . . . . . . . 209

8 Esquemas de controlo de qualidade do tipo Shewhart

para atributos e variaveis 211

8.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

8.2 Esquemas Shewhart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

8.3 Desempenho de esquemas Shewhart . . . . . . . . . . . 222

v

8.4 Cartas Shewhart para atributos . . . . . . . . . . . . . 224

8.5 Cartas Shewhart para variaveis . . . . . . . . . . . . . 238

9 Esquemas de controlo de qualidade do tipo CUSUM e

EWMA para atributos e variaveis 249

9.1 Esquemas CUSUM e EWMA . . . . . . . . . . . . . . 249

9.2 Esquemas CUSUM para atributos . . . . . . . . . . . . 251

9.3 Desempenho de esquemas CUSUM para atributos . . . 256

9.4 Esquemas EWMA para variaveis . . . . . . . . . . . . 266

9.4.1 Esquema EWMA padrao para µ . . . . . . . . . 266

9.4.2 Esquema EWMA unilateral superior para σ2 . . 271

9.5 Desempenho de esquemas individuais EWMA para

variaveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

9.6 Desempenho de esquemas conjuntos para µ e σ2 . . . . 282

9.6.1 Sinais erroneos — Misleading Signals . . . . . . 283

9.6.2 Probabilidades de Misleading Signal (PMS) . . 285

10 Amostragem de aceitacao 291

10.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291

10.2 Planos de amostragem de aceitacao simples por atributos296

10.3 A norma Military Standard 105 (ANSI/ASQC Z1.4) . . 302

10.4 Planos de amostragem de aceitacao simples por

atributos – com rectificacao da inspeccao . . . . . . . . 307

10.5 Planos de amostragem de aceitacao dupla por atributos

– com e sem rectificacao da inspeccao . . . . . . . . . . 311

10.6 Planos de amostragem de aceitacao para variaveis . . . 318

10.7 Planos de amostragem de aceitacao para variaveis —

distribuicao gaussiana: desvio padrao conhecido . . . . 321

vi

10.8 Planos de amostragem de aceitacao para variaveis —

distribuicao gaussiana: desvio padrao desconhecido . . 324

10.9 A norma Military Standard 414 (ANSI/ASQC Z1.9) . . 327

11 Esquemas com intervalos amostrais variaveis 330

11.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330

11.2 Descricao das polıticas amostrais FSI e VSI . . . . . . 332

11.3 Caracterısticas primarias . . . . . . . . . . . . . . . . . 334

11.4 Calculo das caracterısticas primarias dos esquemas

Shewhart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336

11.5 Obtencao numerica das caracterısticas primarias para

esquemas do tipo markoviano . . . . . . . . . . . . . . 339

11.6 Comparabilidade sob controlo; caracterıstica

primordial; comparacao dos desempenhos de cartas

FSI e VSI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343

11.7 Ilustracao: esquemas X dos tipos FSI e VSI com limites

3σ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346

Referencias 347

vii

Lista de Tabelas

3.1 Preservacao do comportamento monotono da taxa de

falha das estatısticas ordinais (“Nao”≡ “Nem sempre”). 61

3.2 Preservacao da propriedade de envelhecimento face a

operacoes de fiabilidade (“Nao”≡ “Nem sempre”). . . . 67

4.1 Algumas distribuicoes discretas importantes. . . . . . . 86

4.2 Numero de acidentes mensais. . . . . . . . . . . . . . . 88

4.3 Algumas distribuicoes contınuas importantes. . . . . . 92

5.1 Estimativas nao parametricas da f.d.p., f.f. e f.t.f. —

amostra nao agrupada. . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

5.2 Estimativas nao parametricas da f.d.p., f.f. e f.t.f. —

dados da refinaria de gasolina. . . . . . . . . . . . . . 116

5.3 Estimativas nao parametricas da f.d.p., f.f e f.t.f. —

amostra agrupada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117


baterias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118


turbofan jet engines. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

5.6 Calculos auxiliares para obter grafico TTT — refinaria

de gasolina. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

5.7 Horas ate falha de 20 termostatos . . . . . . . . . . . . 138

viii

5.8 Instantes de falha e os tempos entre falhas consecutivas

de camiao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

5.9 Dados referentes a nove locais de teste de termostatos . 139

5.10 Algumas estimativas de MV . . . . . . . . . . . . . . . 140

5.11 Estimadores de MV para λ — dados censurados . . . . 142

5.12 Tempos totais acumulados em teste — dados censurados142

5.13 Estimadores de MV para λ — dados censurados . . . . 143

5.14 Estimadores UMVUE de E(T ) e RT (t) — dados

censurados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

5.15 Estatısticas suficientes para λ — dados censurados . . 144

5.16 Intervalos de confianca para λ — dados censurados . . 144

5.17 V.a. fulcrais para λ — dados censurados . . . . . . . . 145

8.1 No. observado de defeituosos tN com: n = 100; p =

p0 = 0.05, para N = 1, . . . , 50; e p = p0 + θ = 0.056,

para N = 51, . . . , 70. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

8.2 Propriedades de RL (caso geometrico). . . . . . . . . . 223

8.3 Descricao das cartas (padrao) np e c, com limites 3-sigma.226

8.4 Valores de quantis de RL, ARL, SDRL, CVRL, CSRL

e CKRL para carta-np unilateral superior (n = 100,

p0 = 0.02 e UCL = 7). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

8.5 No. de artigos nao conformes em 30 amostras de 100

pecas soldadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

8.6 No. de artigos defeituosos em 10 amostras de 100 pecas. 232

8.7 No. de defeitos em 20 amostras de dimensao variavel de

rolos de papel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

8.8 No. de defeitos de 16 amostras de 4 transmissoes manuais.233

8.9 No. de defeitos a superfıcie de 25 laminas de aco. . . . . 234

ix

8.10 No. de defeitos na inspeccao final de gravadores. . . . . 235

8.11 No. de artigos defeituosos em 20 amostras de dimensao

variavel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

8.12 Descricao das cartas (padrao) X e S2. . . . . . . . . . 239

8.13 Medias de 10 amostras de dimensao n = 4. . . . . . . . 241

8.14 Medias de 24 amostras de dimensao n = 5 de tres

ultimas casas decimais do diametro de suportes metalicos.243

8.15 Valores de ξ(θ) para esquemas S2 com σ20 = 1 e α =

0.002 (i.e., ARL(1) = 500). . . . . . . . . . . . . . . . . 244

8.16 Medias e desvios-padrao corrigidos de 20 amostras de

dimensao 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

9.1 Caracterısticas de esquemas Shewhart e CUSUM/EWMA.250

9.2 No. observado de defeituosos yN e estatıstica CUSUM

para: n = 100, p = p0 = 0.05, para N = 1, . . . , 50,

p = p0 + θ = 0.056, para N = 51, . . . , 70; k = 5.29,

u = 0 e UCLC = 18.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

9.3 Algumas propriedades de RLu(θ). . . . . . . . . . . . . 260

9.4 Esquemas Shewhart vs. CUSUM . . . . . . . . . . . . . 261

9.5 Alguns quantis do RL e valores de ARL, SDRL, CVRL,

CSRL e CKRL para os esquemas unilaterais superiores

CUSUM e np (n = 100, p0 = 0.02, p1 = 0.0427685). . . . 264

9.6 Pesos medios de saquetas de produto quımico. . . . . . 270

9.7 Pesos medios de latas de oleo para motor de carro. . . 271

9.8 Temperaturas de reagente quımico. . . . . . . . . . . . 274

9.9 Medias e variancias corrigidas do diametro de fibra textil.275

9.10 Caracterizacao dos esquemas individuais . . . . . . . . 277

x

9.11 Medias (x), variancias (s2) e max{σ20, s

2} das

temperaturas do reagente. . . . . . . . . . . . . . . . . 284

9.12 Expressoes exactas das PMSs de Tipos III e IV para os

esquemas conjuntos SS e SS+. . . . . . . . . . . . . . 287

9.13 Valores das PMSs dos Tipos III e IV para esquemas

conjuntos SS+ e EE+. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

10.1 Planos de amostragem obtidos por uso da norma

ANSI/ASQC Z1.4-1981 e por recurso a distribuicao

hipergeometrica, para N = 800, α = 0.05 e β = 0.1. . . 305

10.2 Alguns planos de amostragem para variaveis com

σ desconhecido (β = 0.10), recorrendo norma

ANSI/ASQC Z1.9-1980 e a (10.38). . . . . . . . . . . . 328

11.1 Tempo ate sinal para esquemas Shewhart . . . . . . . . 338

11.2 Valor esperado, variancia e coeficiente de variacao do

tempo ate sinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347

xi

Lista de Figuras

8.1 Carta de controlo — No. amostra (abcissa) vs. valor

obs. estatıstica (ordenada); limite superior de controlo

(UCL). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

8.2 Carta de controlo (unilateral superior) — No. amostra

(abcissa) vs. No. de defeitos por amostra (ordenada);

limite superior de controlo. . . . . . . . . . . . . . . . . 218

8.3 ARL de esquema X com limites 3-sigma. . . . . . . . . 240

8.4 ARL de esquema S2 padrao (n = 5). . . . . . . . . . . 245

9.1 Valores observados da estatıstica CUSUM (zN). . . . . 255

9.2 Reducao percentual em ARL por substituicao de

esquema Shewhart por esquema EWMA. . . . . . . . . 281

10.1 Descricao esquematica de um plano de amostragem dupla.311

xii

Capıtulo 1

Conceitos basicos em fiabilidade

1.1 Introducao

Este capıtulo introdutorio debruca-se essencialmente sobre as relacoes

entre um sistema de interesse e as respectivas componentes. Apesar

do caracter aleatorio do funcionamento das componentes do sistema,

assumir-se-a que as relacoes estruturais entre este e aquelas sao

determinısticas.

Antes de prosseguir e crucial adiantar alguns conceitos basicos,

mesmo que de um modo informal, nomeadamente a capacidade que

um sistema tem de desempenhar adequadamente as funcoes a que se

propoe, em certo ambiente e durante um perıodo de tempo.

Definicao informal 1.1 — Fiabilidade

Diz respeito, de um modo geral, ao grau de confianca ou

probabilidade que atribuimos ao funcionamento sem falhas por

parte de um sistema, em certo ambiente e durante um perıodo de

tempo de pelo menos t0 unidades. •

1

Esta definicao envolve quatro importantes termos/nocoes que

convem definir mesmo que informalmente. A saber: probabilidade;1

falhas; ambiente; tempo.

Definicao informal 1.2 — Falhas

Cada sistema possui um conjunto especıfico de eventos indesejaveis

ou falhas. •

Para um relogio pode definir-se como um atraso que exceda

5 segundos durante um perıodo de 24 horas. Para um sistema

mecanico pode tratar-se de um aumento da vibracao produzida acima

de um nıvel regulamentar. Uma das mais perigosas falhas de um

reactor nuclear e a fuga de material radioactivo. Ao lidar-se com

um mıssil uma falha pode consistir em nao atingir o alvo ou explodir

antes de atingir o alvo.

Escusado sera dizer que um sistema diz-se absolutamente fiavel se

nao ocorrerem falhas durante o seu funcionamento.

Definicao informal 1.3 — Ambiente

A fiabilidade de um sistema depende crucialmente do ambiente

em que opera um sistema. O ambiente diz nao so respeito as

condicoes climatericas mas tambem a: empacotamento, transporte,

armazenamento; instalacao; tipo de utilizador; recursos de

manutencao disponıveis; po, quımicos e outros poluentes. •

Definicao informal 1.4 — Tempo

A fiabilidade decresce com o tempo, na medida em que quanto maior

for o tempo de operacao do sistema maior e a probabilidade de falha

do mesmo.1Escusamo-nos de definir este primeiro termo.

2

Atente-se, no entanto, que o tempo de operacao nem sempre e

medido em unidades de tempo. Pode se-lo em distancia percorrida

para um veıculo, ou turnos/ciclos de operacao para um operario, ou

ainda uma combinacao destas e outras medidas de “tempo”. •

Metodologias estatısticas/probabilısticas — Uma falha

e o resultado da accao conjunta de diversos factores

aleatorios/imprevisıveis intrınsecos ao sistema bem como das diversas

influencias do ambiente em que o sistema opera.

Assim, o tratamento adequado da fiabilidade de sistemas so pode

ser feito recorrendo a metodologias estatısticas/probabilısticas.

Teoria da fiabilidade — Corpo de ideias, modelos e metodos

destinados a solucao de problemas de estimacao/optimizacao da

probabilidade de sobrevivencia... ou, mais genericamente, da

distribuicao do

• tempo de vida de componentes, equipamento ou sistemas.

Outros dos problemas considerados em teoria da fiabilidade dizem

respeito ao calculo da probabilidade de funcionamento de um sistema

e da proporcao de tempo em que o sistema se encontra em

funcionamento.

Argumenta-se que a teoria da fiabilidade nao passa de uma simples

aplicacao da teoria das Probabilidades... Contudo os problemas

de fiabilidade possuem uma estrutura propria e tem estimulado o

desenvolvimento de novas areas em teoria das Probabilidades como:

• nocoes de envelhecimento estocastico (e tipos de monotonia);

• obtencao de resultados em teoria de renovamento como

resultado da comparacao de polıticas de substituicao.

3

Estrategias de manutencao — Algumas situacoes de fiabilidade

envolvem substituicoes, reparacoes e inspeccoes de componentes.

Estas operacoes basicas influenciam a fiabilidade de um sistema e

desempenham um papel crucial em estrategias/polıticas de

manutencao.

Testes de vida acelerados — De modo a induzir falhas em

equipamento muito fiavel, sao usados metodos de teste especiais

denominados de testes de vida acelerados.

Ha, fundamentalmente, tres formas distintas de acelerar um teste

de vida, i.e., reduzir o tempo de vida de produto submetido a teste:

• aumentar a taxa de utilizacao do produto (e.g., testar uma

torradeira 200 vezes ao dia);

• recorrer a temperaturas ou humidade elevadas e pouco usuais de

forma a aumentar a taxa de falha;

• aumentar factores de stresse (e.g., voltagem) de modo a que as

componentes se desgastem e falhem mais depressa.

Topico relacionado com fiabilidade — Os problemas estatısticos

de estimacao da funcao sobrevivencia da vida de um sistema/indivıduo

a partir de dados (eventualmente censurados) e uma serie de

outros tipos de inferencias (estimacao de parametros de modelos,

comparacoes de funcoes de sobrevivencia, etc.) sao alvo de estudo

em Analise de Sobrevivencia.

Textos de apoio: Barlow e Proschan (1965/1996, p. xi); Leitch (1995,

pp. 1–5).

4

1.2 Breve nota historica

O surgimento da teoria da fiabilidade esta intimamente ligado a

necessidade de lidar com tecnologia moderna, em particular, com os

sistemas militares complexos durante a II Guerra Mundial.

Uma das primeiras areas de fiabilidade abordadas com alguma

sofisticacao matematica foi a da manutencao de maquinas

(Khintchine (1932) e Palm (1947)). As tecnicas usadas foram

inspiradas em outras ja utilizadas por Erlang e Palm em

problemas de dimensionamento de centrais telefonicas. As

primeiras tentativas para justificar o uso da distribuicao

de Poisson para o numero de chamadas em perıodos de

tempo fixos serviram de base para o uso da distribuicao

exponencial na caracterizacao dos tempos entre falhas de

equipamentos complexos (Epstein (1958)).

A aplicacao da teoria do renovamento em problemas de

substituicao de equipamento comecou por ser discutida por Lotka

(1939) e Campbell (1941).

A fadiga de materiais e um topico associado, a teoria de

valores extremos, foram estudados por Weibull (1939), Gumbel (1935),

Epstein (1948), etc. Gumbel (1958) fornece uma serie de ilustracoes

da adequacao de modelos extremais a representacao de tempos de

vida.

No inıcio da decada de 50, algumas areas da fiabilidade como

os testes de vida e os problemas de fiabilidade em equipamento

electronico, em mısseis e aeronaves mereceram grande atencao por

parte, quer de estatısticos, quer de engenheiros ligados a industria

5

armamentista e aeronautica.2

A popularidade da distribuicao exponencial em fiabilidade deve-

se em grande parte aos trabalhos de Davis (1952) e Epstein e Sobel

(1953). Contudo, a partir de 1955 e gracas aos trabalhos de Kao (1956,

1958) e Zelen-Dannemiller (1961), comecou a considerar-se seriamente

outros modelos para o tempo de vida, com destaque para o modelo

Weibull.

A fiabilidade de sistemas com interruptores electromagneticos

(“relays”) motivou o trabalho de Moore e Shannon (1956), estes

autores foram, por sua vez, estimulados pela tentativa de von

Neumann descrever certas operacoes do cerebro humano e a elevada

fiabilidade de organismos biologicos complexos.

Em 1956, G.Weiss introduz o uso de processos semi-

markovianos na resolucao de problemas de manutencao.

Motivados pelos problemas de vibracao surgidos na construcao

de aeronaves comerciais a jacto, Birnbaum e Saunders (1958)

introduzem um modelo estatıstico na descricao do tempo de vida de

estruturas sob sobrecarga dinamica. Este modelo permite exprimir

a distribuicao do tempo de vida em termos da carga e acabou por

sugerir o uso da distribuicao gama em determinadas situacoes.

A introducao de funcoes de estrutura de sistemas coerentes deve-

se ao trabalho de Birnbaum, Esary e Saunders (1961) e constitui uma

generalizacao de trabalho previo da autoria de Moore e Shannon.

Nos anos 70 deu-se especial enfase a problemas de fiabilidade

associados a seguranca de reactores nucleares e outros problemas

2Em 1950, a Forca Aerea dos E.U.A. formou o Group on Reliability of Electronic Equipmentpara recomendar medidas que aumentassem a fiabilidade do equipamento e diminuissem os custosde manutencao do equipamento.

6

de seguranca industrial.

Nos anos 80, deu-se particular atencao a fiabilidade de redes de

computadores, motivada pela Advanced Research Projects Agency

(ARPA), precursora da Internet e da World Wide Web (www).

Na decada de 90, Mendel tracou novas direccoes na investigacao

em fiabilidade, inspirado pela Fısica e fazendo uso da geometria

diferencial.

A competicao feroz no mercado e responsavel por aquele que e,

hoje, o grande desafio para a industria: o desenvolvimento de

produtos de complexidade crescente em pouco tempo mas com

elevados nıveis de qualidade e fiabilidade.

Textos de apoio: Barlow e Proschan (1965/1996, pp. 1-5); Barlow

(1998, pp. xv-xvi).

7

1.3 Funcao de estrutura e outros conceitos

basicos

Em fiabilidade de sistemas constituıdos por diversas componentes tem

particular relevo alguns conceitos.

Definicao 1.5 — Ordem do sistema

Designacao dada ao numero de componentes de um sistema. E

usualmente representada por n (i = 1, . . . , n). •

Definicao 1.6 — Funcao de estrutura (“structure function”)

Numa perspectiva estatica pode definir-se a seguinte funcao

φ(X) =

1, se o sistema esta a funcionar

0, c.c.(1.1)

onde X = (X1, . . . , Xn) denota o vector de estado e

Xi =

1, se a componente i esta a funcionar

0, c.c.,(1.2)

para i = 1, . . . , n. Esta funcao sera doravante denominada de funcao

de estrutura. •

Definicao 1.7 — Fiabilidade

Define-se a custa do valor esperado da funcao estrutura,

r = P [φ(X) = 1] = E[φ(X)], (1.3)

logo corresponde a probabilidade de funcionamento. •

A funcao estrutura pode ser obtida sem grande dificuldade nos

seguintes exemplos. A fiabilidade de sistemas com componentes

independentes sera discutida posteriormente.

8

Exemplo 1.8 — Estrutura em serie

Uma estrutura em serie funciona sse o mesmo ocorrer com todas as

suas componentes. Assim,

φ(X) = min{X1, . . . , Xn} =n∏i=1

Xi. (1.4)

•

Exemplo 1.9 — Estrutura em paralelo

Uma estrutura em paralelo funciona desde que pelo menos uma das

suas componentes funcione. Logo

φ(X) = max{X1, . . . , Xn} = 1−n∏i=1

(1−Xi). (1.5)

•

Exemplo 1.10 — Estrutura k-de-n

Uma estrutura k − de − n funcionara sse funcionarem pelo menos k

das suas n componentes. Neste caso

φ(X) =

1, se

∑ni=1Xi ≥ k

0, c.c.(1.6)

Um aviao que e capaz de voar sse pelo menos 2 de 3 motores

funcionarem e um exemplo de uma estrutura 2− de− 3.

De notar que uma estrutura em serie (paralelo) corresponde a uma

estrutura n− de− n (1− de− n). •

Exercıcio 1.11 — Considere um sistema com 4 componentes.

Suponha que este sistema funciona sse tal acontecer com as

componentes 1 e 2, e se as componentes 3 ou 4 funcionarem.

Represente esquematicamente este sistema e prove que a sua funcao

estrutura e igual a X1×X2× (X3 +X4−X3×X4). (Ver Ross (2003,

pp. 549–550).) •

9

Exercıcio 1.12 — Considere um sistema de alta fidelidade composto

por:

• Gravador

• CD player

• Amplificador

• Altifalante A

• Altifalante B

Considera-se que o sistema esta a funcionar, caso se ouca musica

(amplificada) mono ou stereo, vinda do gravador ou do CD player.

Represente diagramaticamente este sistema e determine a sua

funcao estrutura (Barlow e Proschan (1975, p. 4)). •

Definicao 1.13 — Decomposicao fulcral (“Pivotal

decomposition”) da funcao de estrutura

A funcao de estrutura de um sistema pode ser decomposta do seguinte

modo:

φ(x) = xi φ(1i,x) + (1− xi)φ(0i,x) (1.7)

onde

• (1i,x) = (x1, . . . , xi−1, 1, xi+1, . . . , xn) e

• (0i,x) = (x1, . . . , xi−1, 0, xi+1, . . . , xn). •

Este resultado e particularmente importante pois permite

reescrever a funcao de estrutura de um sistema de ordem n a custa

das funcoes de estrutura de dois sub-sistemas de ordem n− 1.

10

Exercıcio 1.14 — Uma rede de tratamento de aguas residuais possui

o figurino abaixo onde i denota a estacao de tratamento i (i = 1, . . . 6).

Determine a funcao de estrutura por decomposicao fulcral em torno

da estacao de tratamento 4. •

Na proxima seccao sera apresentado um metodo alternativo de

obtencao da funcao de estrutura.

Textos de apoio: Barlow e Proschan (1975, pp. 1–6); Ross (2003,

pp. 547–550).

11

1.4 Estruturas coerentes

E desejavel que os sistemas nao possuam aquilo que se designa a seguir

por componentes irrelevantes.

Definicao 1.15 — Componente irrelevante

A i−esima componente de um sistema diz-se irrelevante caso a funcao

estrutura seja constante em xi, i.e.,

φ(1i,x) = φ(0i,x), (1.8)

para qualquer (•i,x), onde (1i,x) = (x1, . . . , xi−1, 1, xi+1, . . . , xn) e

(0i,x) = (x1, . . . , xi−1, 0, xi+1, . . . , xn). •

Exercıcio 1.16 — Prove que a componente 2 do sistema descrito na

Figura 1.1.15 de Barlow e Proschan (1975, p. 5)

e irrelevante. •

E natural assumir que a substituicao de uma componente

inoperacional por uma que funcione nunca conduza a deterioracao do

sistema. Ou por outra, e desejavel lidar com sistemas cuja funcao de

estrutura e monotona nao decrescente.

Definicao 1.17 — Estruturas coerentes (ou monotonas)3

Estas estruturas sao caracterizadas por possuırem funcao de

estrutura nao decrescente, i.e.

φ(x) ≤ φ(y), se xi ≤ yi, i = 1, . . . , n, (1.9)

e todas as componentes relevantes. •3Esta ultima designacao e preferida por Barlow e Proschan (1965/1996, p. 204).

12

Nota 1.18 — Estruturas coerentes

De notar que qualquer estrutura coerente possui funcao de estrutura

verificando:

• φ(1) = 1, onde 1 = (1, . . . , 1);

• φ(0) = 0, onde 0 = (0, . . . , 0). •

Exercıcio 1.19 — Represente todas as estruturas coerentes (a menos

de permutacoes das suas componentes) de ordem 1, 2 e 3 e determine

as respectivas funcoes de estrutura (Barlow e Proschan (1975, pp. 6–

7)). •

Teorema 1.20 — Estruturas coerentes

Sejam φmin(x), φmax(x) e φ(x) as funcoes de estrutura de sistemas

de ordem n em serie, em paralelo e de um sistema coerente generico,

respectivamente. Entao

φmin(x) ≤ φ(x) ≤ φmax(x). (1.10)

•

Este resultado permite-nos afirmar que o desempenho de qualquer

estrutura coerente e limitada inferiormente (resp. superiormente) pelo

desempenho de uma estrutura em serie (resp. paralelo).

Nota 1.21 — Estruturas coerentes

Qualquer estrutura coerente pode ser descrita como um sistema em

serie (resp. paralelo) cujas componentes sao por sua vez sub-sistemas

em paralelo (resp. serie). •

Exercıcio 1.22 — Descreva diagramaticamente um sistema 2-de-3 e

reescreva a sua funcao estrutura, tendo em conta a observacao anterior

(Ross (1989, p. 406)). •

13

As estruturas coerentes podem ser tambem descritas a custa de

caminhos e cortes. Para tal, considere-se que o vector x indica os

estados de um conjunto de n componentes, C = {1, . . . , n}.

Definicao 1.23 — Path vector e caminho (path set)

O vector x diz-se um path vector, caso φ(x) = 1. Ao conjunto de

ındices C1(x) = {i : xi = 1} da-se o nome de caminho (path set). •

Definicao 1.24 — Minimal path vector e caminho mınimo

(minimal path set)

O vector x diz-se um minimal path vector, se y < x ⇒ φ(y) = 0

para todo o y.4 Nesta situacao C1(x) e designado de caminho mınimo

(minimal path set). C1(x) corresponde a um conjunto de componentes

que permite o funcionamento do sistema; este conjunto nao inclui

qualquer componente irrelevante. •

Exercıcio 1.25 — Identifique os caminhos mınimos do sistema de 5

componentes, descrito em Ross (2003, p. 551).

•

Definicao 1.26 — Cut vector e corte (cut set)

O vector x diz-se um “cut vector”, caso φ(x) = 0. Ao conjunto de

ındices C0(x) = {i : xi = 0} da-se o nome de corte (cut set). •4y < x⇔ (yi ≤ xi (i = 1, . . . , n) e yi < xi para algum i.

14

Definicao 1.27 — Minimal cut vector e corte mınimo (minimal

cut set)

O vector x diz-se um “minimal cut vector”, se y > x ⇒ φ(y) = 1

para todo o y. Neste caso C0(x) diz-se um corte mınimo (“minimal

cut set”). C0(x) corresponde a um conjunto de componentes, todas

relevantes, sem as quais o sistema e incapaz de funcionar. •

Exercıcio 1.28 — Identifique path vectors, caminhos, caminhos

mınimos, cut vectors, cortes e cortes mınimos, no sistema em ponte

abaixo, descrito em Barlow e Proschan (1975, p. 9).

•

Nota 1.29 — Reescrita de sistemas coerentes

E possıvel escrever a funcao de estrutura de um sistema coerente

a custa de caminhos mınimos ou cortes mınimos. Para o efeito,

considere-se Pj o j-esimo caminho mınimo (j = 1, . . . , p) e a funcao

binaria com argumentos xi, i ∈ Pj

ρj(x) = mini∈Pj

xi =∏i∈Pj

xi (1.11)

que toma valor unitario, se todas as componentes do j-esimo caminho

mınimo estiverem a funcionar, e 0, caso contrario. Ou seja, ρj(x)

corresponde a funcao estrutura do sub-sistema em serie j cujas

componentes fazem parte do caminho mınimo Pj.

15

Analogamente, tome-se Kj o j-esimo corte mınimo (j = 1, . . . , q) e

a associe-se a funcao binaria com argumentos xi, i ∈ Kj

kj(x) = maxi∈Kj

xi = 1−∏i∈Kj

(1− xi) (1.12)

que toma valor 0, se todas as componentes do j-esimo corte mınimo

nao estiverem a funcionar, e 1, caso contrario. I.e., kj(x) corresponde

a funcao estrutura do sub-sistema em paralelo j cujas componentes

fazem parte do corte mınimo Kj. •

Teorema 1.30 — Reescrita de sistemas coerentes

Sejam P1, . . . ,Pp os caminhos mınimos e K1, . . ., Kq os cortes mınimos

da referida estrutura coerente. Entao

φ(x) = maxj=1,...,p

ρj(x) = maxj=1,...,p

mini∈Pj

xi

= 1−p∏j=1

1− ∏i∈Pj

xi

(1.13)

φ(x) = minj=1,...,q

kj(x) = minj=1,...,q

maxi∈Kj

xi

=q∏j=1

1− ∏i∈Kj

(1− xi) . (1.14)

I.e. uma estrutura original coerente pode ser pensada como uma

estrutura em paralelo (serie) constituıda por todos os sub-sistemas

em serie (paralelo) passıveis de se formar com as componentes que

constituem caminhos (cortes) mınimos. •

Exercıcio 1.31 — Obtenha a funcao de estrutura do sistema em

ponte a custa de um arranjo em paralelo (serie) dos caminhos (cortes)

mınimos (Barlow e Proschan (1975, pp. 10–11) e Gertsbakh (1995,

p. 6)). •

16

Exercıcio 1.32 — A Figura 1.2 de Gertsbakh (1995, p. 4) descreve

um sistema de (re)distribuicao de agua a tres cidades C1, C2 e C3 a

partir de uma central de fornecimento de agua W .

Diz-se que o sistema de (re)distribuicao de agua esta operacional se

as tres cidades receberem agua.

Obtenha a funcao de estrutura deste sistema recorrendo ou a uma

decomposicao fulcral, ou a caminhos mınimos, ou a cortes mınimos. •

Motivacao 1.33 — Importancia estrutural relativa das

componentes

Em certos sistemas coerentes, algumas componentes sao mais

importantes que outras na medida em que elas sao determinantes para

o funcionamento do sistema. Por exemplo, se uma das componentes

esta em serie com o resto do sistema entao pode parecer que seja tao

importante quanto qualquer outra.

E, pois, importante que o analista disponha de uma medida da

importancia das componentes individuais. •

Definicao 1.34 — Path vector crıtico e caminho crıtico para i

Um path vector diz-se crıtico para a componente i sse φ(1i,x) = 1 e

φ(0i,x) = 0, i.e.,

φ(1i,x)− φ(0i,x) = 1. (1.15)

O conjunto de ındices Ci(1i,x) e denominado de caminho crıtico para

i. •

17

Definicao 1.35 — Importancia estrutural relativa da

componente i

O numero de “path vectors”crıticos para i e dado por

nφ(i) =∑

{x: φ(x)=1, xi=1}[φ(1i,x)− φ(0i,x)] (1.16)

e a importancia estrutural relativa da componente i definida por

Iφ(i) =nφ(i)

2n−1 (1.17)

e corresponde a proporcao de “path vectors”crıticos para i face aos

vectores de estado x caracterizados por xi = 1. •

Exercıcio 1.36 — Determine a importancia estrutural relativa das

componentes de um sistema em serie de ordem 3. •

Exercıcio 1.37 — Calcule a importancia estrutural relativa das

componentes de uma estrutura 2− de− 3 (Barlow e Proschan (1975,

p. 14)). •

Exercıcio 1.38 — Admita que um sistema tem funcao de estrutura

φ(x) = x1 [1− (1− x2)(1− x3)].

Descreva diagramaticamente este sistema e obtenha a importancia

estrutural de cada uma das suas tres componentes (Barlow e Proschan

(1975, p. 14)). •

Exercıcio 1.39 — Calcule a importancia estrutural de cada uma das

cinco componentes do sistema em ponte (Barlow e Proschan (1975,

p. 16). •


pp. 404-411).

18

1.5 Fiabilidade de sistemas com componentes

independentes

Considere-se, doravante, que Xi representa o estado da componente

i e que pi = P (Xi = 1) = 1 − P (Xi = 0), i = 1, . . . , n denota a

fiabilidade da componente i. E seja p = (p1, . . . , pn) o vector das

fiabilidades das componentes e considere-se nesta seccao que quaisquer

componentes funcionam de modo independente.

A fiabilidade de um sistema corresponde a probabilidade de este

estar a funcionar, i.e., caso a fiabilidade se represente por r, tem-se

r = P [φ(X) = 1].

Definicao 1.40 — Fiabilidade

Ao lidarmos com componentes que funcionam de modo independente,5

a fiabilidade do sistema e passıvel de escrever-se a custa do vector p

das fiabilidades das componentes:

r = r(p) = P [φ(X) = 1]. (1.18)

Mais, pelo facto de φ(X) ser uma v.a. com distribuicao de Bernoulli

tem-se

r = r(p) = E[φ(X)]. (1.19)

•

Exemplo 1.41 — Fiabilidade

As estruturas em serie e em paralelo com componentes independentes

possuem fiabilidades iguais a

r(p) = E[φ(X)] = E

n∏i=1

Xi

=n∏i=1

pi (1.20)

5Ou seja, as v.a.X1, . . . , Xn sao independentes.

19

r(p) = E[φ(X)] = E

1− n∏i=1

(1−Xi)

= 1−n∏i=1

(1− pi), (1.21)

respectivamente.

Por seu lado, caso pi = p, a estrutura k−de−n possuem fiabilidade

dada por

r(p) = E[φ(X)]

= P

n∑i=1

Xi ≥ k

=

n∑i=k

n!

i! (n− i)!pi(1− p)n−i. (1.22)

(Justifique!) •

Exercıcio 1.42 — Compare a fiabilidade das estruturas em serie e

paralelo descritas no Exemplo 1.41. •

Exercıcio 1.43 — Considere uma estrutura com 4 componentes que

funciona quando tal acontece com as componentes 1 e 4 e pelo menos

1 das duas restantes componentes se encontra operacional.

Obtenha a fiabilidade desta estrutura (Ross (2003, p. 556)). •

Nota 1.44 — Calculo da fiabilidade

De modo a calcular r(p) quando existem caminhos mınimos (cortes

mınimos) com componentes em comum e necessario:

• em primeiro lugar, multiplicar todos os termos de φ(X);

• tirar partido do facto de Xiindep∼ Bernoulli(pi) e Xk

i =st Xi,

k ∈ IN de modo a reescrever φ(X);

• por fim, calcular os valores esperados de todas as parcelas de

φ(X).

20

O calculo exacto da fiabilidade pode fazer-se tambem por recurso

a uma soma envolvendo todos os 2n vectores x:

r(p) = E[φ(X)]

=∑xφ(x)P (X = x)

=∑x

φ(x)n∏i=1

pxii (1− pi)1−xi

=∑

{x:φ(x)=1}P (X = x)

=∑

{x:φ(x)=1}

n∏i=1

pxii (1− pi)1−xi . (1.23)

•

Exercıcio 1.45 — Prove que a fiabilidade de uma estrutura do tipo

2−de−3, constituıda por componentes independentes com fiabilidades

distintas p1, p2, p3, e igual a p1p2 + p1p3 + p2p3 − 2p1p2p3 (Ross (2003,

p. 555)).

Note tambem que

r(p) = E[1− (1−X1X2)(1−X1X3)(1−X2X3)]

6= 1− E(1−X1X2)E(1−X1X3)E(1−X2X3)]

= 1− (1− p1p2)(1− p1p3)(1− p2p3) (1.24)

ja que os caminhos mınimos tem componentes em comum e como tal

nao sao v.a. independentes. •

Exercıcio 1.46 — Obtenha agora a fiabilidade de uma estrutura 3−de − 4, constituıda por componentes independentes com fiabilidades

distintas p1, p2, p3, p4 (Ross (2003, p. 556)). •

Exercıcio 1.47 — Determine a fiabilidade do sistema em ponte ja

descrito (Gertsbakh (1995, p. 10)). •

21

A fiabilidade de sistemas coerentes com componentes independentes

possui entre outras caracterısticas as enunciadas a seguir.

Teorema 1.48 — Monotonia da fiabilidade

Seja r(p) a fiabilidade de um sistema com componentes independentes

e funcao de estrutura monotona. Entao r(p) e uma funcao monotona

crescente de p. •

Exercıcio 1.49 — Demonstre o Teorema 1.48.6 •

Teorema 1.50 — Decomposicao fulcral (pivotal decomposition)

da fiabilidade

A semelhanca do que acontece com a funcao de estrutura, a fiabilidade

de um sistema pode ser decomposta do seguinte modo

r(p) = pi r(1i,p) + (1− pi) r(0i,p) (1.25)

onde: (1i,p) = (p1, . . . , pi−1, 1, pi+1, . . . , pn) e (0i,p) = (p1, . . . , pi−1, 0,

pi+1, . . . , pn); r(1i,p) representa a fiabilidade de um sistema cuja

componente i foi substituıda por outra absolutamente fiavel; r(0i,p)

representa a fiabilidade do sistema cuja componente i ja falhou. •

O Teorema 1.50 permite concluir que r(p) e multilinear, ou seja, e

linear em cada pi. Para alem disso, quando p1 = . . . = pn = p, r(p) e

um polinomio em p.

O exercıcio seguinte ilustra a utilidade da decomposicao fulcral da

fiabilidade.

6Para mais detalhes acerca desta demonstracao, consulte-se Ross (2003, p. 557).

22

Exercıcio 1.51 — Considere o sistema de (re)distribuicao de agua

a tres cidades a partir de uma central de fornecimento de agua W ,

descrito do Exercıcio 1.32.

Obtenha a fiabilidade deste sistema recorrendo para tal a

decomposicoes fulcrais (Gertsbakh (1995, pp. 11–12)). •

Teorema 1.52 — Outra propriedade de monotonia da

fiabilidade

Seja r(p) a fiabilidade de uma estrutura coerente. Entao r(p) e

estritamente crescente para qualquer pi e para 0� p� 1.7 •

Definicao 1.53 — Replicacao de componentes/sistemas

Sejam:

• r a fiabilidade de um sistema de ordem n;

• p e p′ dois vectores das fiabilidades das componentes.

Entao:

• Replicacao ao nıvel das componentes — Um sistema diz-

se replicado ao nıvel das componentes, caso qualquer das suas

componentes i (i = 1, . . . , n) seja substituıda por um (sub-

)sistema em paralelo com duas componentes independentes com

probabilidades de funcionamento iguais a pi e p′i.

• Replicacao ao nıvel do sistema — Ao substituir-se um sistema

por outro dois similares colocados em paralelo, cujos vectores

de fiabilidade das componentes sao dados por p e p′, diz-se ter

efectuado uma replicacao ao nıvel do sistema. •

7a� b⇔ ai < bi, i = 1, . . . , n.

23

Exercıcio 1.54 — Sejam:

• r a fiabilidade de um sistema coerente com componentes

independentes;

• p e p′ os vectores das fiabilidades das componentes e das

componentes resultantes da replicacao, respectivamente.

Prove que uma replicacao ao nıvel do sistema esta associada a

fiabilidade

1− [1− r(p)][1− r(p′)]. (1.26)

Demonstre ainda que, ao efectuar uma replicacao ao nıvel das

componentes, passa-se a lidar com um sistema com fiabilidade igual a

r[1− (1− p) • (1− p′)], (1.27)

onde a operacao • representa o produto componente a componente

entre dois vectores e 1 − (1 − pi)(1 − p′i) representa a fiabilidade do

subsistema resultante da replicacao da componente i. (Para mais

detalhes, Ross (2003, p. 557).) •

Exercıcio 1.55 — Calcule a fiabilidade de um sistema em serie com

duas componentes (independentes e com fiabilidade pi = p′i = 0.5) e

compare-a com as fiabilidades do sistema replicado ao nıvel do sistema

e das componentes (Ross (2003, p. 558)). Comente. •

O exercıcio sugere o seguinte resultado, que, por sinal, responde

a uma questao pertinente — O que sera preferıvel, caso se pretenda

maximizar a fiabilidade do sistema,

• a replicacao ao nıvel das componentes ou

• a replicacao ao nıvel do sistema?

24

Teorema 1.56 — Fiabilidade face a replicacao de

componentes/sistemas

Sejam:

• r a fiabilidade de um sistema coerente com componentes

independentes;

• p e p′ os vectores das fiabilidades das componentes e das

componentes resultantes da replicacao, respectivamente.

Entao

r[1− (1− p) • (1− p′)] ≥ 1− [1− r(p)][1− r(p′)], (1.28)

i.e., a replicacao ao nıvel das componentes e preferıvel a replicacao ao

nıvel do sistema. •

Exercıcio 1.57 — Prove o Teorema 1.56 (Ross (2003, p. 558)). •

Exercıcio 1.58 — Determine a fiabilidade de um sistema com tres

componentes, que esta operacional, caso a componente 1 funcione e

o mesmo aconteca com a componente 2 ou a 3. Ilustre graficamente

o resultado do Teorema 1.56 considerando replicacoes ao nıvel das

componentes e do sistema e pi = p′i = p, i = 1, . . . , n (Barlow e

Proschan (1975, p. 23)). •

Ao estudar-se a funcao de estrutura definiu-se a importancia

estrutural da componente i de um sistema. E altura de definir a

importancia da fiabilidade da componente i de um sistema.

25

Definicao 1.59 — Importancia da fiabilidade da componente

i

Analogamente pode falar-se na importancia da fiabilidade da

componente i de um sistema que, ao recorrer-se-a decomposicao fulcral

da fiabilidade, se escreve:

Ir(i) =∂r(p)

∂pi= r(1i,p)− r(0i,p)

= E[φ(1i,X)]− E[φ(0i,X)]. (1.29)

•

Exercıcio 1.60 — Admita que as n componentes de um sistema

foram numeradas por ordem crescente da sua fiabilidade: p1 ≤ . . . ≤pn. Determine a importancia da fiabilidade das componentes de um

sistema em serie e compare-as.

Repita os calculos para um sistema em paralelo e de seguida para um

sistema 2− de− 3 (Barlow e Proschan (1975, pp. 27–28)). •

Nota 1.61 — Importancia da fiabilidade da componente i

A importancia da fiabilidade da componente i pode ser usada para

avaliar o impacto de uma alteracao da fiabilidade (pi) de tal

componente na fiabilidade do sistema.

Com efeito,

∆r(p) 'n∑i=1

Ir(i) ∆pi (1.30)

representa a perturbacao na fiabilidade do sistema devido a

perturbacoes ∆pi nas fiabilidades das componentes. •

Textos de apoio: Barlow e Proschan (1975, pp. 20–28); Gertsbakh

(1995, pp. 9–16); Ross (1993, pp. 411-5); Ross (2003, pp. 554-8).

26

1.6 Associacao e limites para a fiabilidade

A obtencao de expressoes e valores exactos para a fiabilidade nem

sempre e tarefa facil. Por esta razao serao adiantados alguns limites

inferiores e superiores para esta quantidade, limites esses grosseiros

mas faceis de obter e muitas vezes utilizados pelos fabricantes, na

informacao dada ao cliente.

Antes de os enunciar e refinar, sera necessaria uma definicao.

Definicao 1.62 — Variaveis associadas (positivamente)

As v.a.T1, . . . , Tn (nao necessariamente binarias) dizem-se associadas

(positivamente) sse

cov(Γ(T),∆(T)) ≥ 0 (1.31)

para qualquer par de funcoes binarias Γ e ∆. •

As v.a. independentes sao, por sinal, associadas (positivamente).

Teorema 1.63 — Limites para a fiabilidade

Caso X1, . . . , Xn sejam v.a. binarias associadas (positivamente), tem-

se:

P ( mini=1,...,n

Xi = 1) ≥n∏i=1

P (Xi = 1) (1.32)

P ( maxi=1,...,n

Xi = 1) ≤ 1−n∏i=1

[1− P (Xi = 1)]. (1.33)

•

Nota 1.64 — Limites para a fiabilidade

Pode concluir-se que, ao assumir-se que as componentes de um

sistema em serie sao independentes quando de facto sao associadas

(positivamente), subestimar-se-a a fiabilidade do sistema, ou seja,

27

estar-se-a a atribuir um valor a fiabilidade inferior ou igual ao seu

verdadeiro valor.

O resultado inverte-se para um sistema em paralelo. •

Teorema 1.65 — Limites para a fiabilidade

Seja r(p) a fiabilidade de sistema constituıdo por componentes

associadas (positivamente). Entao:

n∏i=1

pi ≤ r(p) = P [φ(X) = 1] ≤ 1−n∏i=1

(1− pi). (1.34)

Estes limites para a fiabilidade podem ser melhorados caso se

lide com sistema coerente, constituıdo por componentes associadas

(positivamente), e com caminhos mınimos P1, . . . ,Pp e cortes mınimos

K1, . . . ,Kq:q∏j=1

P [kj(X) = 1] ≤ r(p)

≤ 1−p∏j=1{1− P [ρj(X) = 1]}. (1.35)

onde, recorde-se,

ρj(x) = mini∈Pj

xi =∏i∈Pj

xi (1.36)

kj(x) = maxi∈Kj

xi = 1−∏i∈Kj

(1− xi). (1.37)

•

Nota 1.66 — Limites para a fiabilidade em termos de

caminhos/cortes mınimos

(1.34) pode traduzir-se do seguinte modo: a fiabilidade de um

sistema com componentes associadas (positivamente) e enquadrada

pela fiabilidade de sistemas em serie e em paralelo com componentes

independentes.

28

Por seu lado, (1.35) corresponde ao enquadramento da fiabilidade

de um sistema coerente com componentes associadas (positivamente)

pela fiabilidade de um sistema em serie (paralelo) constituıdo por sub-

sistemas em paralelo (serie) cujas componentes pertencem a cortes

(caminhos) mınimos. •

Exercıcio 1.67 — Obtenha os limites inferiores e superiores,

definidos em (1.34), para a fiabilidade de uma estrutura em ponte

com componentes independentes e com fiabilidade comum pi = p

(p = 0.9, 0.95, 0.99). Compare os limites obtidos com os da fiabilidade

desta estrutura. Comente. •

Os limites para a fiabilidade podem ser explicitados a custa das

fiabilidades das componentes quando estas sao independentes como se

vera de seguida.

Teorema 1.68 — Limites para a fiabilidade em termos de

caminhos/cortes mınimos

Seja r(p) a fiabilidade de um sistema com componentes independentes.

Entao:q∏j=1

1− ∏i∈Kj

(1− pi) ≤ r(p) ≤ 1−

p∏j=1

1−∏i∈Pj

pi

. (1.38)

•

Exercıcio 1.69 — Considere a rede com dois terminais

29

descrita pela Figura 2.3.1 de Barlow e Proschan (1975, p. 35).

Obtenha um limite inferior e outro superior para a fiabilidade

deste sistema assumindo que as suas componentes sao independentes

e possuem todas fiabilidade igual a p. •

Tirando partido do facto de a funcao de estrutura se poder escrever

do seguinte modo

φ(x) = maxj=1,...,p

ρj(x) = maxj=1,...,p

mini∈Pj

xi (1.39)

φ(x) = minj=1,...,q

kj(x) = minj=1,...,q

maxi∈Kj

xi, (1.40)

podem adiantar-se limites adicionais para a fiabilidade de um sistema.

Teorema 1.70 — Limites Min-Max para a fiabilidade

Seja r(p) a fiabilidade de um sistema coerente. Entao a fiabilidade

pode ser enquadrada da seguinte forma

maxj=1,...,p

P (mini∈Pj

Xi = 1) ≤ r(p) ≤ minj=1,...,q

P (maxi∈Kj

Xi = 1). (1.41)

Se para alem disso as componentes estiverem associadas

(positivamente), tem-se

maxj=1,...,p

∏i∈Pj

pi ≤ r(p) ≤ minj=1,...,q

1− ∏i∈Kj

(1− pi) . (1.42)

•

Exercıcio 1.71 — Obtenha os limites enunciados no teorema

anterior para os seguintes sistemas com componentes associadas e com

pi = p:

a) sistema de alta fidelidade descrito no Exercıcio 1.12 e na Figura

1.1.4 de Barlow e Proschan (1975, p. 4);

30

b) sistema em ponte. •

Exercıcio 1.72 — Considere um sistema 2−de−3 com componentes

independentes, possuindo cada uma delas fiabilidade p.

Compare os limites em (1.38) e os limites Min-Max (1.42) e

identifique as gamas de valores de p para os quais e preferıvel usar

os limites Min-Max. •

Em Ross (2003, pp. 560–568) pode encontrar-se a descricao de um

metodo alternativo para a obtencao de limites inferiores e superiores

para a fiabilidade: o metodo da inclusao e exclusao.

Este metodo baseia-se numa formula bem conhecida da reuniao dos

eventos E1, . . . , En,

P (∪ni=1Ei) =n∑i=1

P (Ei)−∑i<j

∑P (Ei ∩ Ej)

+∑ ∑

i<j<k

∑P (Ei ∩ Ej ∩ Ek)

− . . .+ (−1)n+1P (E1 ∩ E1 ∩ . . . ∩ En), (1.43)

e, em particular, nas seguintes desigualdades:

P (∪ni=1Ei) ≤n∑i=1

P (Ei) (1.44)

P (∪ni=1Ei) ≥n∑i=1

P (Ei)−∑i<j

∑P (Ei ∩ Ej) (1.45)

P (∪ni=1Ei) ≤n∑i=1

P (Ei)−∑i<j

∑P (Ei ∩ Ej)

+∑ ∑

i<j<k

∑P (Ei ∩ Ej ∩ Ek) (1.46)

≥ . . .

≤ . . .

31

Teorema 1.73 — Limites para a fiabilidade pelo metodo da

inclusao e exclusao

Sejam:

• r(p) a fiabilidade de um sistema coerente;

• Pi (i = 1, . . . , p) os caminhos mınimos;

• Ei o evento que representa o funcionamento de todas as

componentes que pertencem ao caminho mınimo Pi ;

• Ki (i = 1, . . . , q) os cortes mınimos;

• Fi o evento que representa o nao funcionamento de todas as

componentes que pertencem ao corte mınimo Ki.

Entao

r(p) = P

p⋃i=1

Ei

(1.47)

1− r(p) = P

q⋃i=1

Fi

, (1.48)

pelo que pode adiantar-se que a fiabilidade pode ser enquadrada da

seguinte forma:

r(p) ≤p∑i=1

P (Ei) (1.49)

r(p) ≥p∑i=1

P (Ei)−∑i<j

∑P (Ei ∩ Ej) (1.50)

r(p) ≤p∑i=1

P (Ei)−∑i<j

∑P (Ei ∩ Ej)

+∑ ∑

i<j<k

∑P (Ei ∩ Ej ∩ Ek), (1.51)

onde

P (Ei ∩ Ej) =∏

l∈Pi∪Pjpl , (1.52)

32

1− r(p) ≤q∑i=1

P (Fi) (1.53)

1− r(p) ≥q∑i=1

P (Fi)−∑i<j

∑P (Fi ∩ Fj) (1.54)

1− r(p) ≤q∑i=1

P (Fi)−∑i<j

∑P (Fi ∩ Fj)

+∑ ∑

i<j<k

∑P (Fi ∩ Fj ∩ Fk) (1.55)

onde

P (Fi ∩ Fj) =∏

l∈Ki∪Kj(1− pl). (1.56)

•

Exercıcio 1.74 — Baseie-se no teorema anterior de modo a obter

limites inferiores e superiores para a fiabilidade de um sistema em

ponte constituıdo por componentes independentes com fiabilidades

pi = p (Ross (2003, p. 563)).

Compare estes limites com os obtidos para o mesmo sistema no

Exercıcio 1.71.


pp. 559–571).

33

Capıtulo 2

Estatısticas ordinais e tempos de

vida de estruturas usuais em

fiabilidade

2.1 Introducao

Antes de nos debrucarmos sobre as estatısticas ordinais e a sua

pertinencia no contexto da fiabilidade convem referir que, numa

perspectiva dinamica/temporal, devem considerar-se as seguintes

quantidades importantes.

Definicao informal 2.1 — Tempo de vida da componente i

A componente i ve o seu tempo de vida (tempo ate falha) representado

por Ti. Trata-se de uma v.a. nao negativa. •

Definicao informal 2.2 — Tempo de vida do sistema

E representado por T e depende (exclusivamente) das duracoes de vida

das n componentes, i.e., de T1, . . . , Tn. •

Definicao 2.3 — Funcao de fiabilidade (de um sistema)

Expressa a probabilidade do sistema desempenhar as funcoes

requeridas sob certas condicoes num intervalo de tempo fixo,

34

usualmente [0, t]. Esta funcao e usualmente representada por R(t)

(ou RT (t)) e assume-se que R(0) = 1.

Do ponto de vista qualitativo a fiabilidade pode ser definida como a

capacidade de um sistema se manter funcional sem interrupcoes (pelo

menos) ate ao instante t.1 Logo, corresponde a funcao de sobrevivencia

de T , i.e.,

RT (t) = F T (t) = 1− FT (t) = P (T > t). (2.1)

•

Motivacao 2.4 — Importancia das estatısticas ordinais em

fiabilidade

Prende-se essencialmente com dois factos:

• o tempo de vida T de uma estrutura pode exprimir-se como

funcao de estatısticas ordinais envolvendo os tempos de vida das

componentes da estrutura, T1, . . . , Tn;

• em testes de vida/analise de sobrevivencia e usual inferir sobre

parametros de T usando amostras censuradas, donde se faca

uso de verosimilhancas que estao associadas a f.d.p. de certo

numero de estatısticas ordinais. •

Ao assumir-se que os tempos de vida T1, . . . , Tn sao v.a. i.i.d.

com f.d. comum F (t) = P (Ti ≤ t), i = 1, . . . , n, pode obter-se a

funcao de fiabilidade (ou sobrevivencia) RT (t) = P (T > t) de algumas

estruturas usuais em fiabilidade sem grande dificuldade.

1Isto nao significa que as “partes redundantes”do sistema nao possam falhar e ser reparadas.

35

Exemplo 2.5 — Tempo de vida de estrutura em serie

E sabido que uma estrutura em serie funciona sse o mesmo ocorrer

com todas as suas componentes. Assim, o tempo de vida corresponde

a estatıstica ordinal

T = min{T1, . . . , Tn} = T(1) (2.2)

e a funcao de fiabilidade e dada por

RT (t) = P (Ti > t, i = 1, . . . , n)

= [F (t)]n

= [R(t)]n, (2.3)

onde F (t) = 1− F (t) = R(t). •

Exemplo 2.6 — Tempo de vida de estrutura em paralelo

Uma estrutura em paralelo funciona desde que pelo menos uma das

suas componentes funcione, pelo que o tempo de vida da estrutura e

a estatıstica ordinal

T = max{T1, . . . , Tn} = T(n) (2.4)

e a funcao de fiabilidade associada igual a

RT (t) = 1− P (Ti ≤ t, i = 1, . . . , n)

= 1− [F (t)]n

= 1− [1−R(t)]n. (2.5)

•

Exemplo 2.7 — Tempo de vida de estrutura k-de-n

O tempo de vida de uma estrutura k− de− n tambem esta associado

a uma estatıstica ordinal:

T = T(n−k+1). (2.6)

36

Ao considerar-se k = n (resp. k = 1) lida-se com o tempo de vida de

uma estrutura em serie (resp. paralelo).

A funcao de fiabilidade de T obtem-se recorrendo a seguinte v.a.

auxiliar:

Zt = numero de T ′is > t ∼ binomial(n, F (t)). (2.7)

Com efeito, a funcao de fiabilidade de uma estrutura k− de− n pode

escrever-se a custa da f.d. da v.a. auxiliar com distribuicao binomial:

RT (t) = P (Zt ≥ k)

= 1− P (Zt ≤ k − 1)

= 1− Fbinomial(n,F (t))(k − 1)

= P (n− Zt ≤ n− k)

= Fbinomial(n,F (t))(n− k). (2.8)

•

Nota 2.8 — Importa notar que a funcao de fiabilidade de um sistema

de ordem n, coerente e com componentes independentes pode escrever-

se a custa da fiabilidade do sistema (r) e das funcoes de fiabilidade

das componentes (R1(t), . . . , Rn(t)):

RT (t) = r(p(t)) = r((R1(t), . . . , Rn(t))). (2.9)

•

Exercıcio 2.9 — Determine a funcao de fiabilidade de uma estrutura

2 − de − 3 com componentes independentes e funcao de fiabilidade

comum F (t), recorrendo a (2.8) e a (2.9). •

Exercıcio 2.10 — Obtenha as funcoes de fiabilidade de estruturas

em serie e em paralelo, assumindo que os tempos de vida possuem

distribuicoes distintas embora independentes. •

37

Exercıcio 2.11 — Considere um sistema em serie constituıdo por n

componentes independentes. Determine a funcao de fiabilidade do

sistema considerando que o tempo de vida da componente i possui

distribuicao:

a) exponencial(λi), i.e., FTi(t) = 1− exp(−λi t), t ≥ 0;

b) Uniforme(0, θ), i.e., fTi(t) = θ−1, 0 ≤ t ≤ θ;

c) Weibull(λ, β), i.e., FTi(t) = 1− exp[−(t/λ)β], t ≥ 0. •

Deduza agora a funcao de fiabilidade dos sistemas em paralelo com

componentes com as distribuicoes acima. •

Nota 2.12 — Obtencao do valor esperado e variancia a custa

da funcao de fiabilidade

Tratando-se a vida T de uma v.a. nao negativa, pode adiantar-se que:

E(T ) =∫ ∞0RT (t)dt (2.10)

E(T 2) = 2∫ ∞

0t RT (t)dt (2.11)

V (T ) = 2∫ ∞

0t RT (t)dt−

(∫ ∞0RT (t)dt

)2. (2.12)

•

Exercıcio 2.13 — Defina a vida do sistema descrito pela Figura 1.5

de Gertsbakh (1995, pp. 15–16) e determine a sua funcao de fiabilidade.

38

Calcule o valor esperado e variancia do tempo de vida do sistema na

situacao em que os tempos de vida das componentes sao independentes

e possuem distribuicao exponencial(1). •

Exercıcio 2.14 — Obtenha o valor esperado do tempo de vida de um

sistema em serie com tres componentes independentes e distribuıdas

uniformemente no intervalo (0, 10). •

Exercıcio 2.15 — Obtenha a funcao de fiabilidade do sistema

descrito na Figura 1.7 de Gertsbakh (1995, p. 29), considerando que

os tempos de vida das 5 componentes sao independentes e possuem

distribuicao exponencial(λi).

Calcule o valor esperado do tempo de vida deste sistema. •

Exercıcio 2.16 — Um sistema tem a configuracao descrita pela

Figura 1.11 de Gertsbakh (1995, p. 32), i.e., dois modulos em paralelo,

com n e m componentes independentes dispostas em serie.

Deduza a funcao de fiabilidade RT (t), caso

as componentes do primeiro (segundo) dos

modulos possuam com distribuicao exponencial(λ)

(exponencial(µ)). Obtenha tambem E(T ) e V (T ). •

Textos de apoio: Gomes e Barao (1999, pp. 140–3); Ross (2003,

pp. 571–586).

39

2.2 Associacao e limites para a funcao de

fiabilidade

Ao contrario do que seria de esperar, nao abundam expressoes para

limites inferiores e superiores para a funcao de fiabilidade.

Antes de os enunciar e necessario relembrar que as v.a. contınuas

T1, . . . , Tn dizem-se associadas (positivamente) sse cov(Γ(T),∆(T)) ≥0 para qualquer par de funcoes binarias Γ e ∆.

Teorema 2.17 — Limites para a funcao de fiabilidade

Para v.a.T1, . . . , Tn associadas (positivamente) nao necessariamente

binarias, tem-se

P (T1 > t1, . . . , Tn > tn) ≥n∏i=1

P (Ti > ti) (2.13)

P (T1 ≤ t1, . . . , Tn ≤ tn) ≥n∏i=1

P (Ti ≤ ti). (2.14)

Consequentemente tem-se, para sistemas em serie e paralelo:

RT(1)(t) = P ( min

i=1,...,nTi > t) ≥

n∏i=1

P (Ti > t) (2.15)

RT(n)(t) = P ( max

i=1,...,nTi > t) ≤ 1−

n∏i=1

[1− P (Ti > t)] (2.16)

•

Nota 2.18 — Limites para a funcao de fiabilidade

Ao assumir-se que as componentes de um sistema em serie sao

independentes quando de facto sao associadas (positivamente),

subestimar-se-a a funcao de fiabilidade do sistema, i.e., estar-se-a

a atribuir um valor a funcao de fiabilidade inferior ou igual ao seu

verdadeiro valor.

O resultado inverte-se para um sistema em paralelo. •

40


Seja RT (t) a funcao de fiabilidade de um sistema constituıdo

por componentes com tempos de vida T1, . . . , Tn associados

(positivamente) e com funcoes de fiabilidade R1(t), . . . , Rn(t). Entao

a funcao de fiabilidade verifica

n∏i=1

Ri(t) ≤ RT (t) ≤ 1−n∏i=1

[1−Ri(t)]. (2.17)

•

Nota 2.20 — Limites para a funcao de fiabilidade

O resultado (2.17) traduz-se do seguinte modo: a funcao de fiabilidade

de um sistema nas condicoes do Teorema 2.19 e superior (inferior) a

de um sistema em serie (paralelo) com componentes independentes. •

Exercıcio 2.21 — Obtenha limites para a funcao de fiabilidade de

um sistema 2−de−3 com componentes associadas e exponencialmente

distribuıdas com tempo esperado de vida igual a λ−1.

Elabore um grafico com estes limites e com a funcao de fiabilidade

de um sistema 2− de− 3 com componentes i.i.d. a Exp(λ). •

Teorema 2.22 — Outros limites para a funcao de fiabilidade

Sejam:

• RT (t) a funcao de fiabilidade de um sistema coerente constituıdo

por componentes com tempos de vida T1, . . . , Tn associados

(positivamente) e com funcoes de fiabilidade R1(t), . . . , Rn(t);

• Pj (j = 1, . . . , p) e Kj (j = 1, . . . , q) os caminhos mınimos e os

cortes mınimos deste sistema.

41

Entao a funcao de fiabilidade pode ser enquadrada do seguinte modo:

maxj=1,...,p

∏i∈Pj

Ri(t)

≤ RT (t) ≤ minj=1,...,q

1−∏i∈Kj

[1−Ri(t)]

. (2.18)

•

Exercıcio 2.23 — Retome o Exercıcio 2.21 e obtenha novos limites

para a funcao de fiabilidade do sistema.

Elabore um grafico que permita confrontar estes limites com os

obtidos naquele exercıcio. •

Texto de apoio: Barlow e Proschan (1975, pp. 29–39, 150).

42

2.3 Mecanismos de censura

Nesta seccao pretende ilustrar-se brevemente de que modo as

estatısticas ordinais (para alem do maximo e do mınimo) sao uteis

em fiabilidade, nomeadamente na estimacao de parametros.

Este tema sera aprofundado no Capıtulo 5 aquando da discussao

de inferencias sobre modelos para diferentes tipos de ensaio ou teste.

Em fiabilidade e frequente recolher dados/tempos de avaria de

equipamento e sera com este tipo de dados que se introduzira a nocao

de censura/dados censurados.

Ao colocar-se em teste n componentes/equipamentos, com o

objectivo de inferir sobre o tempo de vida dessas componentes —

naquilo que se designa usualmente por teste de vida —, pode recolher-

se todos os instantes de avaria das componentes, t1, . . . , tn.

Pode tambem optar-se pelo registo do instante da primeira avaria,

t(1), da segunda avaria, t(2), e assim por diante, sem se ter em

consideracao quais das componentes avariaram. Esta-se neste caso

a registar as observacoes de estatısticas ordinais, T(1), T(2), . . . , T(n),

e nao as concretizacoes das v.a.s T1, T2, . . . , Tn.

Uma das vantagens do registo destas observacoes ordenadas prende-

se com o facto de o teste de vida poder terminar antes que todas as

componentes avariem sem que se perca muita informacao, poupando-

se no entanto muito tempo de teste.

A este tipo de recolha de informacao denomina-se de amostragem

censurada.

Por exemplo, 90% das lampadas colocadas em teste pode fundir-

se ao fim de um ano e algumas das restantes poderao vir a fundir-se

somente daı a tres anos...

43

As inferencias sobre o tempo de vida dessas componentes podem

basear-se directamente em estatısticas ordinais (T(1), T(2), . . . , T(n)). E

uma vez que estas sao funcao da amostra aleatoria (T1, T2, . . . , Tn)

pode obter-se a f.d.p. conjunta de (T(1), T(2), . . . , T(n)) do seguinte

modo.

Teorema 2.24 — Densidade conjunta das estatısticas ordinais

Seja (T1, T2, . . . , Tn) uma amostra aleatoria de dimensao n proveniente

da populacao com f.d.p. f(t) e f.d. F (t). Entao a f.d.p. conjunta das

estatısticas ordinais (T(1), T(2), . . . , T(n)) — ou mais convenientemente

T1:n, T2:n, . . . , Tn:n — e dada por

fT1:n,T2:n,...,Tn:n(t1:n, t2:n, . . . , tn:n) = n!

n∏i=1

f(ti:n), (2.19)

para −∞ < t1:n < t2:n < . . . < tn:n <∞. •

Lidaremos com dados completos, caso se recolha os instantes de

avaria de todos os sistemas/componentes, e com dados incompletos

ou censurados, caso contrario. A seguir descrevem-se dois tipos de

censura de dados.

Definicao informal 2.25 — Censura do Tipo I

Ao decidir-se concluir o teste de vida ao fim de tempo fixo t0 dir-se-a

que foi efectuada censura do Tipo I a direita. •

Definicao informal 2.26 — Censura do Tipo II

Caso se decida terminar o teste de vida apos o registo das primeiras

r observacoes ordenadas, t1:n, . . . , tr:n, dir-se-a que foi efectuada

censura do tipo II a direita. •

44

Nota 2.27 — Censuras dos Tipos I e II

Ao adoptar-se censura do Tipo I o numero de tempos de vida

registados e uma v.a. (Qual e a sua distribuicao e a probabilidade

de nao serem registados quaisquer tempos de vida?)

Ao efectuar censura de Tipo II o numero de observacoes a registar

e a partida fixo e igual a r mas a duracao do teste e aleatoria. (Qual

a duracao do teste?)

A censura do tipo II a direita e de longe o tipo de censura mais

popular em testes de vida em fiabilidade.

O tempo esperado poupado, ao efectuar-se censura do tipo II a

direita, e igual a E(Tn:n − Tr:n).Factores como o custo das componentes em teste, a precisao

desejada para as inferencias e o valor (monetario) que o tempo

poupado representa desempenham um papel crucial na escolha de r e

n. •

Ao recorrer-se a dados completos a densidade conjunta e igual

f(T1,...,Tn)(t1, . . . , tn) =n∏i=1

f(ti) (2.20)

Os dois teoremas seguintes adiantam para ja as densidades conjuntas

(verosimilhancas) caso se efectue censuras do Tipo I e II.

Teorema 2.28 — Densidade conjunta na presenca de censura

do Tipo I

Suponha-se que foi efectuada censura de Tipo I a direita no instante

t0. E seja R o numero aleatorio de observacoes registadas ate t0 e r o

numero de estatısticas efectivamente observadas ate t0.

Entao a f.d.p. conjunta (verosimilhanca),

f(T1:n,...,Tr:n)(t1:n, . . . , tr:n) ≡ f(t1:n, . . . , tr:n), e neste caso dada por

45

f(t1:n, . . . , tr:n) = h(t1:n, . . . , tr:n | R = r)× P (R = r)

= r!r∏i=1

f(ti:n)

F (t0)

× n

r

[F (t0)]r[1− F (t0)]

n−r, (2.21)

para −∞ < t1:n < . . . < tr:n < t0 <∞ e r = 1, . . . , n. (Justifique!) •

Teorema 2.29 — Densidade conjunta na presenca de censura

do Tipo II

Suponha-se agora que foi efectuada censura de Tipo II a direita. Entao

a f.d.p. conjunta (verosimilhanca) e, para −∞ < t1:n < . . . < tr:n <∞e r = 1, . . . , n, igual a

f(t1:n, . . . , tr:n) =n!

(n− r)!

r∏i=1

f(ti:n)

× [1− F (tr:n)]n−r. (2.22)

(Justifique!) •

Exercıcio 2.30 — Admita que foram submetidas a teste n

componentes com tempos de vida i.i.d. a exponencial(λ) e que se

efectuou censura do Tipo II. Obtenha a estimativa (estimador) de

maxima verosimilhanca de λ e compare-a com a que obteria com caso

dispusesse de dados completos (Gomes e Barao (1999, pp. 150–151). •

A caracterizacao e as propriedades do estimador de λ obtido no

Exercıcio 2.30 serao estudadas posteriormente.

Textos de apoio: Bain (1991, pp. 49–53); Gomes e Barao (1999,

pp. 149–152).

46

Capıtulo 3

Envelhecimento estocastico e

funcao taxa de falha

3.1 Funcao taxa de falha

Nesta seccao discutir-se-a a caracterizacao estocastica do

envelhecimento de qualquer material/estrutura/dispositivo,

caracterizacao essa de importancia crucial no domınio da fiabilidade.

Os materiais/estruturas/dispositivos podem “falhar”de diversos

modos. Basta pensar em:

• falhas (estaticas) aquando de fractura devida a esforco;

• corrosao quımica de materiais;

• falhas de equipamento electronico devido a alteracoes de

temperatura, humidade ou manufactura deficiente.

De forma a distinguir as diversas funcoes (densidade) de

probabi-lidade (quando tal distincao nao e passıvel de ser feita com

base nas observacoes dos tempos ate falha) apelar-se-a a nocao de

funcao taxa de falha (hazard rate function ou failure rate function),

que e uma forma matematica de descrever o envelhecimento —

47

e corresponde ao que em analise de sobrevivencia se designa por

forca de mortalidade (instantanea).

Na definicao de funcao taxa de falha de uma v.a. considerar-se-a que

esta e nao negativa e distinguir-se-a o caso contınuo do caso discreto.

Definicao 3.1 — Funcao taxa de falha (caso contınuo)

Seja T uma v.a. contınua nao negativa, com f.d.p. e f.d. iguais a

fT (t) e FT (t), respectivamente. Entao a funcao taxa de falha de T

e dada por

λT (t) =fT (t)

RT (t). (3.1)

•

Nota 3.2 — Funcao taxa de falha (caso contınuo)

Admita-se que T representa a duracao de vida de uma estrutura.

Entao a funcao taxa de falha possui um significado probabilıstico

especıfico:

λT (t) = limdt→0

P (t < T ≤ t+ dt|T > t)

dt. (3.2)

Assim, λT (t)dt esta associada a probabilidade condicional de um item

com idade t (t > 0) vir a falhar no intervalo (t, t+ dt]. •

Proposicao 3.3 — Funcoes taxa de falha e fiabilidade

A funcao de fiabilidade (ou sobrevivencia) da v.a. T contınua nao

negativa pode definir-se a custa da funcao taxa de falha:

RT (t) = exp{−∫ t

0λT (u)du}. (3.3)

onde o integral representa aquilo que, em analise de sobrevivencia, se

designa de funcao hazard cumulativa. •

48

Exercıcio 3.4 — Apos estudos preliminares, um engenheiro afirmou

que a duracao da componente electronica por ele construıda possui

duracao que podia ser muito bem representada por uma v.a. T cuja

funcao taxa de falha e constante e igual a µ, t ≥ 0.

Identifique a distribuicao de T . •

Exercıcio 3.5 — Determine a funcao de fiabilidade de um sistema

cuja funcao taxa de falha e:

a) λT (t) = αt, t ≥ 0, α > 0;

b) λT (t) = α0 + α1t, t ≥ 0, α0 ≥ 0, α1 > 0. •

Exercıcio 3.6 — Calcule a funcao de fiabilidade de um instrumento

cuja duracao possui funcao taxa de falha igual a

λT (t) =

0, 0 ≤ t ≤ a

β, a < t ≤ b

βe(t−b)/c, t > b (c ≥ 0)

(3.4)

•

Exercıcio 3.7 — A funcao taxa de falha duma componente mecanica

e constante e igual 0.005.

Suponha que a componente vai ser precisa para um servico de

250 horas. Calcule a probabilidade da componente falhar durante

o servico. •

Exercıcio 3.8 — Um consumidor pretende adquirir componentes

electronicas com a seguinte especificacao: a fiabilidade de cada

componente deve ser de pelo menos 95% num perıodo de

funcionamento de 500 dias.

Supondo que a taxa de falha da componente e constante, calcule a

vida esperada mınima da componente. •

49

Exercıcio 3.9 — Diz-se que a forca de mortalidade dum fumador e,

para qualquer idade, o dobro da de um nao fumador.

Qual o significado desta afirmacao? Querera dizer que a

probabilidade do fumador sobreviver t anos corresponde a metade da

mesma probabilidade calculada para um nao fumador? •

Definicao 3.10 — Funcao taxa de falha (caso discreto)

Seja T uma v.a. discreta nao negativa. Entao T possui funcao

taxa de falha definida por

λT (t) =P (T = t)

P (T ≥ t). (3.5)

•

Nota 3.11 — Funcao taxa de falha (caso discreto)

Observe-se que, ao contrario da definicao de taxa de falha no caso

contınuo, no denominador nao figura P (T > t). Caso tal ocorresse,

qualquer v.a. T discreta nao negativa, com contradomınio finito

{t1, . . . , tn} (onde t1 < . . . < tn) nao possuıria funcao taxa de falha

definida no ponto tn.

Considere-se que a v.a. inteira nao negativa T representa o numero

de ciclos de vida de uma estrutura. Entao a funcao taxa de falha, por

se identificar com P (T = t|T ≥ t), coincide com a probabilidade da

vida dessa mesma estrutura terminar ao fim de exactamente t ciclos,

condicional ao facto de a estrutura ter sobrevivido a pelo menos t

ciclos. •

Exercıcio 3.12 — Obtenha e elabore o grafico da funcao taxa de

falha da v.a. geometrica(p). •

50

Exercıcio 3.13 — Seja T uma v.a. discreta que toma valores inteiros

nao negativos.

a) Determine a funcao P (T ≥ t) por intermedio da funcao taxa de

falha de T .

b) Exemplifique o resultado para o caso em que T ∼ geometrica(p).

c) Verifique que, caso T tome os valores nao negativos {t1, t2, . . .}(onde t1 < t2 < . . .), se tem

P (T ≥ t) =∏

{j:tj<t}[1− λT (tj)]. (3.6)

•

Texto de apoio: Barlow e Proschan (1965/1996, pp. 9–18).

51

3.2 Monotonia da funcao taxa de falha

A tempo de vida pode estar associado a funcoes taxa de falha com os

comportamentos mais diversos:

• constantes — a estrutura nao envelhece nem rejuvenesce com o

tempo;

• crescentes — a estrutura envelhece com o tempo;

• decrescentes — a estrutura rejuvenesce com o tempo;1

• nao monotono — por exemplo, em forma de banheira

(bathtub), i.e., inicialmente decrescente (“infancia”), seguida de

fase constante (“adolescencia e idade adulta”), e por fim crescente

(“velhice”). Ver Figura 3.1.1 de Barlow e Proschan (1975, pp. 55–

56).

Definicao 3.14 — Distribuicoes IHR e DHR

Considere-se a v.a. nao negativa T . Entao:

• T diz-se IHR (“Increasing Hazard Rate”)2 — escrevendo-se neste

caso T ∈ IHR — sse λT (t) for uma funcao monotona crescente

(em sentido lato);

• T diz-se DHR (“Decreasing Hazard Rate”)3 — escrevendo-se

neste caso T ∈ DHR — sse λT (t) for uma funcao monotona

decrescente (em sentido lato). •

Exercıcio 3.15 — Mostre que a funcao taxa de falha de uma duracao

de vida com distribuicao uniforme no intervalo [a, b] e crescente. •1Certos materiais, como o aco, aumentam de resistencia a medida que vao sendo trabalhados.2Ou IFR (“Increasing Failure Rate”).3Ou DFR (“Decreasing Failure Rate”).

52

Exercıcio 3.16 — a) Obtenha e elabore alguns graficos da funcao

taxa de falha das seguintes distribuicoes:

1. Poisson

2. Weibull.

b) Classifique estas distribuicoes quanto ao comportamento da

funcao taxa de falha. •

Exercıcio 3.17 — A duracao de vida de uma componente segue uma

distribuicao normal com desvio padrao de 10 horas.

a) Se a componente tiver uma fiabilidade de 0.99 para um perıodo

de operacao de 100 horas, qual a duracao de vida esperada?

b) Elabore o grafico da funcao taxa de falha e classifique-a quanto

ao seu comportamento monotono. •

Exercıcio 3.18 — Elabore o grafico da funcao taxa de falha das

v.a.s gama(α, δ), para α = 0.5, 1, 2.5 e δ = 1, onde α e δ

representam o parametro de forma e o inverso do parametro de escala,

respectivamente.

Demonstre que, efectuando a mudanca de variavel y = u − t, a

funcao taxa de falha de uma duracao com distribuicao gama(α, δ) se

escreve:

λgama(α,δ)(t) =1∫+∞

t (u/t)α−1 exp[−δ(u− t)]du

=1∫+∞

0 (1 + y/t)α−1 exp(−δy)dy. (3.7)

Utilize este resultado para identificar condicoes suficientes que

garantam comportamentos monotonos decrescentes e crescentes da

funcao taxa de falha (Ross (2003, p. 573)). •

53

Proposicao 3.19 — Distribuicoes DHR e comportamento

monotono da f.d.p.

A monotonia da funcao de taxa de falha tem implicacoes na monotonia

da f.d.p. de um tempo de vida:

• T ∈ DHR⇒ fT (t) e monotona decrescente. •

Exercıcio 3.20 — Prove a proposicao anterior. •

Textos de apoio: Barlow e Proschan (1975, pp. 52–56); Barlow e

Proschan (1965/1996, pp. 22–6).

54

3.3 Preservacao da monotonia da taxa de falha

Conhecido o comportamento monotono da taxa de falha das

componentes de uma estrutura, pode, nalguns casos, conhecer-se

tambem o da taxa de falha das

• suas estatısticas ordinais, da

• soma de tais tempos de vida, da

• mistura dos mesmos,

ou mesmo de um sistema coerente.

Serao dados alguns exemplos de preservacao do

comportamento monotono da funcao taxa de falha face

as operacoes de fiabilidade acima descritas. Contudo antes de o fazer

reescrever-se-a a taxa de falha de estruturas em serie e em paralelo a

custa da funcao taxa de falha comum as suas componentes.

Exercıcio 3.21 — Considere duas estruturas em serie e em paralelo,

constituıdas por componentes com duracoes Ti (i = 1, . . . , n) i.i.d.,

f.d. e taxa de falha comuns F (t) e λ(t).

a) Prove que as funcoes taxa de falha de estruturas em serie e em

paralelo sao iguais a

λT(1)(t) = n λ(t) (3.8)

λT(n)(t) =

n λ(t)∑n−1j=0 [F (t)]−j

(3.9)

respectivamente.

b) Compare λT(1)(t), λT(n)

(t) e λ(t).

55

c) Faca comentarios acerca da preservacao do comportamento

monotono de λ(t) pela funcao taxa de falha destes dois tipos

de estrutura. •

Exercıcio 3.22 — Obtenha agora a funcao taxa de falha de uma

estrutura em serie, assumindo somente independencia dos tempos de

vida das n componentes, f.d.’s Fi(t) e funcoes taxa de falha λi(t), i =

1, . . . , n.

Verifique que nas mesmas circunstancias o tempo de vida de uma

estrutura em paralelo, T , possui funcao taxa de falha igual a

λT (t) =FT (t)

F T (t)

n∑i=1

λi(t) [1/Fi(t)− 1]. (3.10)

•

Os exercıcios anteriores sugere algumas das preservacoes do

comportamento monotono da funcao taxa de falha das estatısticas

ordinais enunciadas na proposicao seguinte. Com efeito, a proposicao

seguinte acrescenta que o comportamento monotono da funcao taxa de

falha da duracao de uma estrutura constituıda por n componentes com

duracoes independentes (identicamente distribuıdas, ou nao) depende

nao so do da funcao taxa de falha de tais componentes, como da

disposicao das mesmas na estrutura.

56

Proposicao 3.23 — Preservacao da monotonia da taxa de

falha: mınimo e maximo

Considere-se estrutura com n componentes com duracoes

independentes. Caso a estrutura seja em serie, verifica-se:

Ti ∼indep IHR, i = 1, . . . , n⇒ T(1) ∈ IHR (3.11)

Ti ∼indep DHR, i = 1, . . . , n⇒ T(1) ∈ DHR. (3.12)

Ao tratar-se de estrutura em paralelo tem-se:

Ti ∼indep IHR, i = 1, . . . , n 6⇒ T(n) ∈ IHR (3.13)

Ti ∼iid IHR, i = 1, . . . , n⇒ T(n) ∈ IHR. (3.14)

•

Saliente-se que, em estruturas em serie constituıdas por

componentes cujas duracoes possuem funcao taxa de falha monotona,

para garantir a preservacao do comportamento monotono da taxa

de falha da duracao da estrutura e suficiente que tais componentes

possuam duracoes independentes. Em estruturas em paralelo

tal preservacao exige condicoes mais estritas: nao so duracoes

independentes, mas tambem identicamente distribuıdas e IHR.

Exercıcio 3.24 — Demonstre que o tempo de vida de um sistema

em paralelo constituıdo por duas componentes com duracoes

Tiindep∼ exponencial(i), i = 1, 2, ilustra o resultado (3.13) (Ross (2003,

p. 575)). •

E altura de averiguar em que circunstancias uma estatıstica de

ordem i preserva o comportamento monotono da taxa de falha das

57

componentes. Mais, os resultados que se seguem sao particularmente

relevantes uma vez que o tempo de vida de uma estrutura do tipo

k − de− n e representado por uma estatıstica ordinal.


falha: estatısticas ordinais

Sejam T1, . . . , Tn tempos de vida i.i.d. (contınuos e nao negativos).

Entao as estatısticas ordinais T(i) verificam:

Ti ∼iid IHR, i = 1, . . . , n⇒ T(i) ∈ IHR (3.15)

Ti ∼iid DHR, i = 1, . . . , n 6⇒ T(i) ∈ DHR. (3.16)

•

Assim, as estatısticas ordinais T(i) e os tempos de vida das

componentes, Ti, i = 1, . . . , n, possuem funcao taxa de falha com igual

comportamento monotono no caso em que Ti ∈ IHR, i = 1, . . . , n, o

que nem sempre ocorre quando Ti ∈ DHR, i = 1, . . . , n.


falha: spacings de primeira ordem

No que concerne a taxa de falha dos “spacings”de primeira ordem

(ou tempos entre falhas consecutivas) de tempos i.i.d. (contınuos e

nao negativos) — (T(i)−T(i−1)), i = 1, . . . , n, em que T(0) = 0 —, pode

afirmar-se que:

Ti ∼i.i.d. DHR, i = 1, . . . , n ⇒

(T(i) − T(i−1)) ∈ DHR, i = 2, . . . , n (3.17)

Ti ∼i.i.d. IHR, i = 1, . . . , n 6⇒

(T(i) − T(i−1)) ∈ IHR, i = 2, . . . , n. (3.18)

•

58

Pode entao afirmar-se que, no teste simultaneo de componentes que

possuam duracoes i.i.d. a uma v.a. DHR (resp. IHR), o tempo entre

falhas consecutivas sera igualmente (resp. podera nao ser) uma v.a.

DHR (resp. IHR).

A proposicao seguinte permite tirar algumas conclusoes sobre

o tempo total do ensaio quando se efectua o teste sequencial de

componentes.


falha: soma de v.a.s

Considere-se dois tempos de vidas Ti, i = 1, 2 (nao negativos e

contınuos) com funcoes taxa de falha λi(t), i = 1, 2. Entao a

soma/convolucao T = T1 + T2 satisfaz o seguinte resultado:

Ti ∈ IHR, i = 1, 2⇒

(T1 + T2) ∈ IHRλT (t) ≤ mini=1,2 λi(t).

(3.19)

No entanto, caso T1 e T2 sejam DHR, a respectiva soma nem

sempre e caracterizada por uma funcao taxa de falha com o mesmo

comportamento monotono, i.e.:

Ti ∈ DHR, i = 1, 2 6⇒ (T1 + T2) ∈ DHR. (3.20)

•

O resultado anterior e tambem valido para o caso discreto.

Exercıcio 3.28 — Apos um estudo detalhado do tempo ate falha

de uma componente electronica de um dispositivo de seguranca,

concluiu-se que a respectiva distribuicao pertencia ao modelo

{gama(α, δ)}. Admita-se que, por questoes de seguranca, essa

componente so pode ser substituıda uma unica vez, por uma outra

com duracao i.i.d.

59

Assumindo que a substituicao da primeira componente e imediata,

identifique todas as situacoes em que:

• as duas componentes e a estrutura possuem duracoes DHR;

• o par de componentes possui tempo de vida DHR nao ocorrendo

o mesmo com a duracao da estrutura. •

A preservacao da monotonia da funcao taxa de falha de

misturas de distribuicoes e de particular relevancia ao lidar-se com

componentes de diversas proveniencias.


falha: misturas de distribuicoes

Considere-se Ti, i = 1, . . . , n, v.a.’s independentes (contınuas nao

negativas) com f.d.’s Fi(t). E seja T a mistura destas distribuicoes,

i.e., FT (t) resulta da combinacao linear convexa das f.d.s

Fi(t), i = 1, . . . , n:

FT (t) =n∑i=1

ai Fi(t) (3.21)

onde ai ≥ 0 e∑ni=1 ai = 1. Entao

Ti ∼indep. DHR, i = 1, . . . , n⇒ T ∈ DHR (3.22)

Contudo a mistura de distribuicoes IHR nao e necessariamente IHR:

Ti ∼indep. IHR, i = 1, . . . , n 6⇒ T ∈ IHR (3.23)

•

A proposicao anterior e a particularizacao de outra que diz respeito

a preservacao da monotonia da funcao taxa de falha da mistura

(contavel ou nao) de distribuicoes especıficas.

60


falha: misturas (contaveis ou nao) de distribuicoes

Recorde-se que, caso T |Y = y (y > 0) e Y possuam f.d.’s Fy(t) e G(y),

respectivamente, a v.a. T diz-se a mistura das distribuicoes Fy e

possui f.d. FT (t) =∫+∞0 Fy(t)dG(y). Entao

T |Y = y ∈ DHR, y > 0 ⇒ T ∈ DHR (3.24)

T |Y = y ∈ IHR, y > 0 6⇒ T ∈ IHR (3.25)

•

Na demonstracao do primeiro dos resultados e fundamental a

aplicacao da desigualdade de Schwarz. Para mais detalhes desta

demonstracao veja-se Barlow e Proschan (1965/1996, p.37).

A tabela seguinte condensa as propriedades de preservacao do

comportamento monotono da funcao taxa de falha por parte das

estatısticas ordinais.

Tabela 3.1: Preservacao do comportamento monotono da taxa de falha das

estatısticas ordinais (“Nao”≡ “Nem sempre”).

T(1) T(n) T(i)

Distribuicao i.i.d. indep. i.i.d. indep. i.i.d. indep.

IHR Sim Sim Sim Nao Sim Nao

DHR Sim Sim Nao Nao Nao Nao

61

Exercıcio 3.31 — Uma fabrica possui duas linhas de producao, I e II,

responsaveis por 20% e 80% dos artigos produzidos respectivamente.

Estudos extensivos levaram a concluir que a distribuicao da duracao

de cada artigo depende da sua proveniencia embora o mesmo nao

aconteca com o parametro de escala. Os artigos quando provenientes

das linhas de producao I e II possuem duracoes gama(1.1, 1) e

Weibull(1, 2), respectivamente, logo com taxa de falha crescente.

Obtenha a funcao taxa de falha da duracao de um artigo escolhido

casualmente da producao da referida fabrica.

Os valores desta funcao, para valores da abcissa iguais a

t = 0.5, 4(0.5) sao iguais a λT (t) = 0.984451, 1.76893, 2.22839, 1.92529,

1.26555, 1.01493, 0.980125, 0.979563. Assim se conclui que λT (t) nao e

funcao monotona e o artigo em questao nao possui duracao nem IHR,

nem DHR. •


Proschan (1965/1996, pp. 35–9); Ross (2003, pp. 571–576).

62

3.4 Outras nocoes de envelhecimento estocastico

Na realidade, exigir que a funcao taxa de falha seja crescente pode ser

tremendamente restritivo. Nao surpreende pois que se considere em

certas situacoes que esse comportamento crescente se verifique somente

em media e se encontre na literatura outras formas de caracterizacao

dos tempos de vida em termos de envelhecimento estocastico.

Estas nocoes escrevem-se de um modo geral a custa da funcao de

fiabilidade e revelar-se-ao uteis no estabelecimento de limites para a

funcao de fiabilidade, limites esses de que se falara na proxima seccao,

bem como no contexto de estrategias de manutencao.

Definicao 3.32 — Outras nocoes de envelhecimento

estocastico (caso contınuo)

Sejam T uma v.a. contınua nao negativa com funcao de fiabilidade

RT (t) e Tt =st (T − t|T ≥ t) a vida residual no instante t (t ≥ 0), cuja

funcao de fiabilidade e dada por RTt(u) = RT (t+ u)/RT (t). Entao:

• T diz-se ILR (Increasing Likelihood Ratio) 4 sse fT (t)/fT (t + ε)

for crescente em (0,+∞) para qualquer ε > 0, i.e.,

ln[fT (t)] for concava em (0,+∞); (3.26)

• T diz-se IHR (Increasing Hazard Rate) sse λT (t) for crescente

em (0,+∞), i.e., sse, para qualquer u fixo,

RTt(u) =RT (t+ u)

RT (t)decrescer com t em (0,+∞); (3.27)

• T diz-se IHRA (Increasing Hazard Rate in Average) sse R1/tT (t)

decrescer em (0,+∞), ou seja,ΛT (t)

t=

1

t

∫ t0λT (u)du ↑t, t ≥ 0; (3.28)

4Ou “razao de verosimilhanca crescente”ou ainda designada por Barlow e Proschan (1975, p. 76)de “Polya frequency of order 2”(PF2),

63

• T diz-se NBU (New Better than Used) sse T ≥st Tt para t, u ≥ 0,

i.e.,

RT (u) ≥ RTt(u) =RT (t+ u)

RT (t), t, u ≥ 0; (3.29)

• T diz-se NBUE (New Better than Used in Expectation) sse

E(T ) ≥ E(Tt) para t ≥ 0, ou seja,∫ +∞

0RT (u)du ≥ 1

RT (t)

∫ +∞

tRT (u)du. (3.30)

•

Nota 3.33 — Outras nocoes de envelhecimento estocastico

(caso contınuo)

Pode, por exemplo, afirmar-se que, caso a duracao de uma componente

seja uma v.a. NBU/NBUE, valera sempre a pena substituir a

componente que esta a ser usada por uma nova componente. Por seu

lado, se a duracao da componente for NWU/NWUE, nunca valera

a pena efectuar semelhante substituicao. •

Exercıcio 3.34 — Prove que a funcao taxa de falha da Figura 2.9 de

Gertsbakh (1995, pp. 70)

esta associada a uma duracao IHRA apesar de a respectiva funcao

taxa de falha,

λ(t) =

t, 0 < t ≤ 2

−t+ 4, 2 < t ≤ 2.5

t− 1, t > 2.5,

(3.31)

nao ser crescente. •

64

Segue-se o analogo discreto destas nocoes de envelhecimento

estocas-tico, reescrito de modo ligeiramente diferente mas equivalente.

Definicao 3.35 — Outras nocoes de envelhecimento

estocastico (caso discreto)

Seja T uma v.a. discreta nao negativa com funcao de probabilidade

P (i) = P (T = i) e funcao de fiabilidade definida agora por

RT (i) = P (T ≥ i). Considere-se ainda que Ti =st (T − i|T ≥ i)

representa a vida residual associada ao ciclo i e possui funcao de

fiabilidade RTi(i) = RT (i+j)RT (i) . Entao:

• T diz-se ILR (Increasing Likelihood Ratio) sse P (i)/P (i+ 1) for

crescente em IN0, i.e.,

P (i)× P (i+ 2) ≤ P 2(i+ 1), i ∈ IN0; (3.32)

• T diz-se IHR (Increasing Hazard Rate) sse λT (i) for crescente em

IN0, ou seja,

RT (i)×RT (i+ 2) ≤ R2T (i+ 1), i ∈ IN0; (3.33)

• T diz-se IHRA (Increasing Hazard Rate in Average) sse

R1/iT (i) ↓i, i ∈ IN0; (3.34)

• T diz-se NBU (New Better than Used) sse T ≥st Ti, i ∈ IN0, ou

seja,

RT (j) ≥ RTi(j) =RT (i+ j)

RT (i), i, j ∈ IN0; (3.35)

• T diz-se NBUE (New Better than Used in Expectation) sse

E(T ) ≥ E(Ti), i ∈ IN0

E(T ) =+∞∑j=0

RT (j) ≥+∞∑j=0

RT (i+ j)

RT (i)= E(Ti), i ∈ IN0. (3.36)

65

•

As nocoes de v.a.’s DLR (Decreasing Likelihood Ratio), DHRA

(Decreasing Hazard Rate in Average), NWU (New Worse than Used)

e NWUE (New Worse than Used in Expectation) definem-se de modo

analogo considerando comportamentos monotonos e desigualdades nos

sentidos opostos quer para v.a. contınuas quer para v.a. discretas.

Proposicao 3.36 — Implicacoes das nocoes de envelhecimento

estocastico

T ∈ ILR ⇒ T ∈ IHR ⇒ T ∈ IHRA ⇒ T ∈ NBU ⇒ T ∈NBUE. Analogamente, T ∈ DLR ⇒ T ∈ DHR ⇒ T ∈ DHRA ⇒T ∈ NWU ⇒ T ∈ NWUE. •

Esta proposicao permite averiguar, de uma forma mais comoda,

se uma v.a. e ou nao IHR/IHRA/NBU/NBUE (DHR/DHRA/NWU/

NWUE).

Exercıcio 3.37 — a) Classifique as seguintes distribuicoes quanto ao

comportamento monotono da funcao taxa de falha:

1. binomial

2. normal truncada (nao negativa e com µ = 0)

3. lognormal.

b) Discuta a pertinencia desta ultima distribuicao na caracterizacao

de tempos de vida, calculando para o efeito limt→+∞ λT (t). •

Nota 3.38 — Implicacoes das nocoes de envelhecimento

estocastico

Refira-se a tıtulo de curiosidade que uma estrutura coerente com

componentes cujas duracoes de vida sao v.a. IHRA possui duracao

tambem ela IHRA o mesmo nem sempre acontece caso sejam IHR.5 •

66

Tabela 3.2: Preservacao da propriedade de envelhecimento face a operacoes de

fiabilidade (“Nao”≡ “Nem sempre”).

Distribuicao Formacao de sistemas coerentes Convolucoes Misturas arbitrarias

IHR Nao Sim Nao

IHRA Sim ? Nao

NBU Sim Sim Nao

NBUE Nao Sim Nao

DHR Nao Nao Sim

DHRA Nao Nao Sim

NWU Nao Nao Nao

NWUE Nao Nao ?

Para mais detalhes acerca deste e de outros resultados relacionados

com estas nocoes de envelhecimento e a preservacao face a operacoes

de fiabilidade, consulte-se a Tabela 3.2 ou ainda Barlow e Proschan

(1975, pp. 104 e 187).

Exercıcio 3.39 — Admita que um sistema coerente e constituıdo por

n componentes (nao necessariamente independentes) com duracoes

IHR e funcao de fiabilidade comum Ri(t) = R(t).

(a) Uma vez que a funcao de fiabilidade da duracao T deste sistema e

dada por RT (t) = P (T > t) = r(p(t)) = r(R(t), . . . , R(t)), prove

que a funcao taxa de falha de T e igual a

λT (t) =d

dt[1− r(p(t))]× 1

r(p(t)). (3.37)

(b) Uma vez que a funcao de fiabilidade R(t) e comum a todas as

componentes pode simplificar-se a notacao, passando a escrever-

se λT (t) = (d/dt)[1−r(p(t))]r(p(t)) , onde p(t) = R(t).

5Recorde-se o resultado (3.13) da Proposicao 3.23, resultado este ilustrado pelo Exercıcio 3.24.

67

Assim sendo, mostre que o sistema possui distribuicao IHR, caso

p(t)× d r(p(t))

d p(t)× 1

r(p(t))(3.38)

seja uma funcao decrescente de p(t).

(Ver Ross (2003, pp. 573–574).) •

Texto de apoio: Barlow e Proschan (1975, pp.98–104 e pp.182–187).

68

3.5 Limites para a funcao de fiabilidade e

momentos

Nesta seccao sao apresentados limites para a funcao de fiabilidade e

outros parametros da duracao de sistemas/componentes.

Estes limites assumem particular relevancia pois obtem-se

assumindo que se conhece somente um momento ou um percentil da

referida duracao e que esta verifica uma propriedade de envelhecimento

estocastico. Por exemplo, assumir que a componente possui duracao

esperada conhecida µ e funcao taxa de falha crescente porque sujeita

a desgaste.

Os limites que apresentaremos dividem-se nas seguintes categorias:

• limites para a funcao de fiabilidade baseados num quantil

conhecido;

• limites para a funcao de fiabilidade baseados num momento

conhecido;

• limites para momentos da duracao de uma componente;

• limites para a funcao de fiabilidade de um sistema baseados em

momentos conhecidos;

• limites para o valor esperado da duracao de um sistema baseados

em momentos conhecidos.

69

3.5.1 Limites para a funcao de fiabilidade baseados num

quantil conhecido

O resultado que se segue basea-se no facto de uma v.a. IHRA (DHRA)

possuir funcao de fiabilidade que se cruza uma unica vez com a funcao

de fiabilidade de uma exponencial num ponto que corresponde ao

quantil de probabilidade p de ambas as v.a.s. A forma como tal

cruzamento ocorre e descrita no teorema seguinte.


baseados num quantil conhecido

Sejam T ∈ IHRA, ξp o quantil de ordem p de T (i.e. RT (ξp) = 1− p)e λ = −(1/ξp)ln(1− p). Entao

RT (t)

≥ e−λt = (1− p)t/ξp, 0 < t ≤ ξp

≤ e−λt = (1− p)t/ξp, t ≥ ξp.(3.39)

As desigualdades invertem-se para o caso DHRA. •

Exercıcio 3.41 — Elabore graficos por forma a ilustrar o Teorema

3.40. •

Exercıcio 3.42 — Solicitou-se a um engenheiro que produzisse um

sistema com fiabilidade de 0.95 para um perıodo de funcionamento de

1000 horas. O referido sistema deveria ser coerente e constituıdo por

pequenas pecas com duracoes independentes e IHR.

Obtenha um limite inferior para a fiabilidade de tal sistema ao fim de

um perıodo de funcionamento de 900 horas (Barlow e Proschan (1975,

p. 110). •

70

3.5.2 Limites para a funcao de fiabilidade baseados num

momento conhecido

E tambem possıvel obter limites superiores para a funcao de fiabilidade

de v.a. IHRA, uma vez conhecido o seu valor esperado.


baseados num momento conhecido

Seja T ∈ IHRA com valor esperado µ. Entao, para t fixo positivo

RT (t) ≤

1, t ≤ µ

e−wt, t > µ,(3.40)

onde w = w(t) e constante positiva e funcao de t satisfazendo

1− wµ = e−wt (3.41)

e e−wt, t > 0, a funcao de fiabilidade de v.a. exponencial com parametro

de escala w−1. •

Exemplo 3.44 — Limites para a funcao de fiabilidade

baseados num momento conhecido

Obtenha uma tabela com limites superiores para a funcao de

fiabilidade da duracao de uma componente com valor esperado

unitario e funcao taxa de falha crescente, considerando para o efeito

t = 0.0, 2.0(0.5).

• t = 1.0;

While[(t = t + 0.5) ≤ 2,

h = FindRoot[1 - w - Exp[-w t] == 0, {w, 1}];raiz = {w} /. Dispatch[h];

Print[{t, raiz[[1]], Exp[-raiz[[1]] t]}]]

{1.5, 0.582812, 0.417188}{2., 0.796812, 0.203188} •

71

Pode obter-se limites inferiores ainda mais sofisticados que os

limites superiores do Teorema 3.43 para a funcao de fiabilidade de

v.a. IHRA. Para mais detalhes consulte-se o Teorema 6.11 de Barlow

e Proschan (1975, p. 116).

Pode adiantar-se um limite inferior para a funcao de fiabilidade ao

lidar-se com uma v.a. contınua IHR com momento de ordem r (r > 0)

µr conhecido.


baseados num momento conhecido de ordem r

Sejam T ∈ IHR,

µr =∫ +∞

0trdFT (t) = r

∫ +∞

0tr−1RT (t)dt, (3.42)

o momento ordem r > 0 de T , e λr = µrΓ(r+1) . Entao

RT (t) ≥

exp

(−t/λ1/r

r

), t < µ1/r

r

0, t ≥ µ1/rr .

(3.43)

•

Nota 3.46 — Limites para a funcao de fiabilidade baseados

num momento conhecido de ordem r

Na situacao em que T ∈ IHRA (DHRA), demonstra-se que o limite

inferior exp(−t/λ1/r

r

)decresce (cresce) com r, para qualquer real t fixo

e nao negativo.

Para alem disso o domınio em que tal limite inferior e valido,

[0, µ1/rr ], aumenta tambem com r para T ∈ IHRA. •

Ao considerar-se r = 1 obtem-se limite inferior para a funcao de

fiabilidade da v.a. T ∈ IHR bastando para tal conhecer o seu valor

esperado.

72

Corolario 3.47 — Limites para a funcao de fiabilidade

baseados no momento conhecido de primeira ordem

Seja T ∈ IHR com valor esperado µ1 = E(T ). Logo

RT (t) ≥

exp (−t/µ1) , t < µ1

0, t ≥ µ1.(3.44)

•

Exercıcio 3.48 — Obtenha agora uma tabela com limites

inferiores para a funcao de fiabilidade da duracao de uma componente

com valor esperado unitario e funcao taxa de falha crescente, para

t = 0.0, 3.0(0.1).

Elabore um grafico com limites inferiores e superiores para a funcao

de fiabilidade da duracao dessa mesma componente para perıodos de

funcionamento t ∈ [0, 3]. •


baseados num momento conhecido de ordem r (caso IHR)

Seja T ∈ IHR com momento de ordem r (r > 0), µr =∫+∞0 trdFT (t).

Entao, para t fixo positivo,

RT (t) ≤

1, t ≤ µ1/r

r

e−wt, t ≥ µ1/rr ,

(3.45)

onde w = w(t) e solucao de

µr = r∫ t

0xr−1e−wxdx. (3.46)

•

Debrucemo-nos agora sobre o caso em que se lida com componentes

com capacidade de rejuvenescimento/fortalecimento/melhoramento

(“training effect”) a medida que o tempo de operacao aumenta.

73

O teorema e o corolario que se seguem sao analogos ao Teorema

3.45 e Corolario 3.47. Dizem, no entanto, respeito a uma duracao

DHR.


baseados num momento conhecido de ordem r (caso DHR)

Sejam T ∈ DHR, µr o momento ordem r de T e λr = µrΓ(r+1) . Entao

RT (t) ≤

exp

(−t/λ1/r

r

), t < rλ1/r

r

rre−rµrΓ(r+1)tr , t ≥ rλ1/r

r .(3.47)

•

Corolario 3.51 — Limites para a funcao de fiabilidade

baseados no valor esperado (caso DHR)

Seja T ∈ DHR com valor esperado conhecido µ1. Logo

RT (t) ≤

e−t/µ1, t ≤ µ1µ1e−1

t , t ≥ µ1.(3.48)

•

3.5.3 Limites para momentos da duracao de uma

componente

O Teorema 3.40 e o que se segue sao particularmente importantes

porque em testes de vida nem sempre se dispoe da media das duracoes

das componentes em teste (pois nem todas as componentes falham

durante o teste) mas e frequente dispor de quantis de probabilidade

(empıricos). A custa destes quantis pode obter-se limites para o valor

esperado de v.a. IHR.

O proximo teorema pode encontrar-se em Barlow e Proschan (1965/

1996, p. 30).

74

Teorema 3.52 — Limites para o valor esperado da duracao de

uma componente

Assuma que T ∈ IHR e que o seu quantil de

probabilidade p e representado por ξp. Se p ≤ 1− e−1 entao

− p ξpln(1− p)

≤ µ ≤ − ξpln(1− p)

. (3.49)

Caso p ≥ 1− e−1, tem-se

− p ξpln(1− p)

≤ µ ≤ ξp. (3.50)

•

O teorema seguinte permite obter limites inferiores e superiores

para o momento de ordem r (r > 0) de v.a. IHRA (DHRA).

Teorema 3.53 — Limites para momentos de ordem r da

duracao de uma componente

Seja T ∈ IHRA. Entao os limites para o momento ordem r de T , µr,

sao dados por

µr

≥ Γ(r + 1)µr1 0 < r ≤ 1

≤ Γ(r + 1)µr1, r ≥ 1.(3.51)

As desigualdades invertem-se ao lidar-se com T ∈ DHRA. •

Corolario 3.54 — Limite para o coeficiente de variacao

duracao de uma componente

Ao considerar-se r = 2, o Teorema 3.53 permite comparar para o

coeficiente de variacao de uma v.a. T ∈ IHRA com o coeficiente de

variacao unitario de qualquer v.a. com distribuicao exponencial:

T ∈ IHRA⇒ σ

µ≤ 1. (3.52)

A desigualdade inverte-se para T ∈ DHRA. •

Exercıcio 3.55 — Demonstre o Corolario 3.54. •

75

3.5.4 Limites para a funcao de fiabilidade de um sistema

baseados em momentos conhecidos

Na fase inicial de planeamento da producao de sistemas e

frequentemente necessario predizer a fiabilidade dos mesmos com

o mınimo de informacao — como o tipo de estrutura, os valores

esperados das duracoes das componentes que o constituem. Ora, os

limites fornecidos pelo Corolario 3.47 tem aplicacoes obvias.

Teorema 3.56 — Limites para a funcao de fiabilidade de um

sistema em serie baseados em momentos conhecidos

Caso um sistema seja constituıdo por n componentes dispostas em

serie e com duracoes Ti independentes e IHR, com valores esperados

µi = E(Ti) e funcoes de fiabilidade Ri(t), i = 1, . . . , n, pode concluir-se

que a funcao de fiabilidade do sistema verifica

RT(1)(t) ≥

exp

[−t∑n

i=1(µi)−1], t < mini=1,...,n µi

0, t ≥ mini=1,...,n µi.(3.53)

•

Exercıcio 3.57 — Forneca limites para a funcao de fiabilidade

RT(n)(t) de um sistema constituıdo por n componentes independentes

IHR dispostas em paralelo e com duracoes esperadas µi (Barlow e

Proschan (1965/1996, p. 28)). •

Sao validos resultados similares para sistemas coerentes

constituıdos por componentes com duracoes independentes e IHR.

Teorema 3.58 — Limites para a funcao de fiabilidade de um

sistema coerente baseados em momentos conhecidos

Considere-se sistema coerente com n componentes com duracoes Ti

independentes e IHR, com valores esperados µi e funcoes de fiabilidade

76

Ri(t), i = 1, . . . , n. Entao, a funcao de fiabilidade do sistema verifica,

para t ≤ mini=1,...,n µi,

RT (t) = r(R1(t), . . . , Rn(t)) ≥ r(e−t/µ1, . . . , e−t/µn), (3.54)

onde, recorde-se, r(p) representa a fiabilidade do sistema calculada

para o vector p das fiabilidades das componentes. •

Nota 3.59 — Limites para a funcao de fiabilidade de um


Este resultado permite concluir que, no intervalo [0,mini=1,...,n µi], a

fiabilidade do sistema no instante t e superior ou igual a de um outro

sistema exactamente com a mesma estrutura mas com componentes

com duracoes exponenciais e duracoes esperadas µi. •

Exercıcio 3.60 — Considere um circuito electronico, com tres

componentes, que funciona caso a primeira das componentes e uma das

duas restantes funcionem. Admita que estas componentes possuem

duracoes independentes, IHR e com valores esperados (em horas)

µ1 = 1000, µ2 = 1200, µ3 = 1600.

Obtenha um limite inferior para a funcao de fiabilidade do circuito

para um perıodo de operacao de 800, 900, 950 e 975 horas. (Barlow e

Proschan (1975, p. 119)). •

Exercıcio 3.61 — Um sistema em paralelo e composto por duas

componentes independentes e IHRA com fiabilidade de 0.95 para um

perıodo de 500 horas.

a) Determine limites inferiores para a fiabilidade para um perıodo

de 400 horas usando os dois metodos seguintes:

77

1. Calcular um limite inferior para cada uma das duas

componentes e de seguida um limite inferior para a fiabilidade

do sistema.

2. Calcular a funcao de fiabilidade do sistema para um perıodo

de 500 horas e de seguida obter um limite inferior recorrendo

ao Teorema 3.40.

b) Qual destes dois metodos lhe parece conduzir a melhores

resultados considerando para o efeito t ∈ [0, 500)? (Barlow e

Proschan (1975, p. 119).)

c) Repita a) e b) admitindo que o sistema e em serie e elaborando

um grafico com os dois tipos de limites inferiores para a fiabilidade

para perıodos de t horas (t ∈ [0, 500)). •

3.5.5 Limites para a duracao esperada de um sistema

baseados em momentos conhecidos

O proximo limite inferior (superior) diz respeito a duracao esperada

de um sistema em serie constituıdo por n componentes associadas e

NBUE (NWUE).

Teorema 3.62 — Limites para a duracao esperada de um

sistema baseados em momentos conhecidos

Seja Ti (µi) a duracao (esperada) da i−esima componente de um

sistema em serie com n componentes com duracoes associadas e

NBUE. Entao a duracao esperada deste sistema em serie µs verifica

µs ≥ n∑i=1

µ−1i

−1

. (3.55)

A desigualdade inverte-se para T ∈ NWUE. •

78

De notar que o limite inferior em (3.55) mais nao e que o valor

esperado da duracao de um sistema em serie com componentes

independentes, exponencialmente distribuıdas e com duracao esperada

µi.

Exercıcio 3.63 — Demonstre o Teorema 3.62 (Gertsbakh (1995, pp.

62–63). •

Teorema 3.64 — Limites para a duracao esperada de sistema

em serie/paralelo baseados em momentos conhecidos

Considere-se um sistema em serie/ paralelo com n componentes com

duracoes associadas e IHRA. Entao a duracao esperada do sistema

em serie/ paralelo, µs /µp, pode comparar-se com a duracao esperada

de um sistema tambem em serie/ paralelo com n componentes com

duracoes/ duracoes exponenciais, independentes e com valor esperado

µi (i = 1, . . . , n) e satisfaz

µs ≥ n∑i=1

µ−1i

−1

(3.56)

µp ≤∫ +∞

0

1− n∏i=1

(1− e−t/µi) dt. (3.57)

A desigualdade inverte-se, caso as componentes sejam DHRA. •

Importa referir que a integranda em (3.57) corresponde a

funcao de fiabilidade de um sistema em paralelo com componentes

independentes, exponencialmente distribuıdas e com duracao esperada

µi. Assim sendo, o limite superior em (3.57) mais nao e que o valor

esperado do sistema acabado de descrever.

O proximo resultado e apresentado a tıtulo de exercıcio em

Gertsbakh (1995, p. 71).

79

Teorema 3.65 — Limite para a duracao esperada de um


Considere-se agora um sistema coerente com n componentes com

duracoes independentes e NBUE e caminhos mınimos P1, . . . ,Pp.Entao a duracao esperada µ deste sistema satisfaz

µ ≥ maxj=1,...,p

∑i∈Pj

µ−1i

−1

. (3.58)

•

Exercıcio 3.66 — Demonstre o Teorema 3.65 recorrendo ao Teorema

3.62. •

Exercıcio 3.67 — Considere um conjunto de dois geradores

electricos em paralelo que fornecem electricidade a uma bomba de

extraccao de petroleo. Admita que estas tres componentes possuem

duracoes ate falha mecanica independentes, NBUE e com valores

esperados (em horas) µ1 = 1000, µ2 = 1200, µ3 = 1600.

Obtenha um limite inferior para duracao esperada deste sistema

circuito. •

Exercıcio 3.68 — Repita o exercıcio anterior considerando agora que

esta a lidar com um sistema do tipo 2− de− 3. •

Barlow e Proschan (1975, p. 124) enunciam um resultado similar ao

Teorema 3.65.

80

Teorema 3.69 — Limites para a duracao esperada de um


Considere-se um sistema coerente com n componentes com duracoes

independentes e IHRA, duracoes esperadas µi, caminhos mınimos

P1, . . . ,Pp e cortes mınimos K1, . . . ,Kq. Entao a duracao esperada

µ deste sistema satisfaz

maxj=1,...,p

∑i∈Pj

µ−1i

−1

≤ µ ≤

minj=1,...,q

∫ +∞

0

1− ∏i∈Kj

(1− e−t/µi) dt. (3.59)

•

Exercıcio 3.70 — Demonstre e comente os resultados do Teorema

3.69. •

E curioso notar que Barlow e Proschan (1965/96, pp. 41-45)

tambem adiantam limites para a funcao de fiabilidade e momentos,

baseados no valor limite e no comportamento monotono da funcao de

taxa de falha.


Proschan (1965/96, pp. 26–35 e 39–45); Gertsbakh (1995, p. 61–68);

Ross (2003, pp. 580–586).

81

Capıtulo 4

Modelos parametricos importantes

em fiabilidade

4.1 Introducao

Uma distribuicao de falha 1 mais nao e que o resultado de uma

tentativa de descrever matematicamente a duracao de vida de um

material, estrutura ou dispositivo.

A forma como ocorrem as falhas num item afecta a forma analıtica

da distribuicao de falha. Os materiais e as estruturas podem

falhar de diversas formas, podendo dar-se o caso de terem ocorrido

simultaneamente dois ou mais tipos de falhas.

Foram vistos previamente alguns exemplos de tipos de falha, como

as falhas estaticas aquando de fracturas por aplicacao de carga, a

corrosao quımica devida a hydrogen embrittlement, a fadiga devido

a sobrecargas cıclicas ou a gripagem de componentes mecanicas.

Certos aparelhos electronicos ou digitais falham devido a alteracao

de parametros crıticos para o seu desempenho devido a mudancas

de temperatura, de humidade ou de um modo geral das condicoes

1Traducao livre de failure distribution.

82

atmosfericas.

Falhas iniciais no equipamento devem-se de um modo geral a

planeamento/ fabrico/ uso improprio/ inadequado.

Infelizmente a escolha/ seleccao de uma distribuicao de falha

baseada nestas consideracoes fısicas ainda e uma arte.

No entanto, em alguns casos a relacao entre o mecanismo de

falha e a funcao taxa de falha pode ser de utilidade na referida

seleccao ja que a observacoes sao de um modo escassas nas caudas nao

possibilitando a destrinca efectiva entre as distribuicoes candidatas a

modelacao.

Neste capıtulo irao ser revistas algumas das mais comuns

distribuicoes de falha, como e o caso da distribuicao exponencial,

famosa pela sua propriedade de falta de memoria entre algumas outras

propriedades que enunciaremos mais tarde.


83

4.2 Distribuicoes discretas

As distribuicoes discretas sao muito menos utilizadas em fiabilidade

que as contınuas pelo que merecerao um pouco menos de atencao do

que seria de esperar.

4.2.1 A distribuicao geometrica

E sabido que a distribuicao geometrica e o analogo discreto da

distribuicao exponencial e podera representar:

• o numero de insucessos que precedem o primeiro sucesso numa

sucessao de provas de Bernoulli independentes e identicamente

distribuıdas, tomando neste caso valores 0, 1, . . .; ou entao

• o numero total de provas de Bernoulli independentes e

identicamente distribuıdas realizadas ate a ocorrencia do primeiro

sucesso, assumindo neste caso os valores 1, 2, . . ..

Nota 4.1 — Distribuicao geometrica

A distribuicao geometrica e por vezes designada por distribuicao

discreta do tempo de espera pelo primeiro sucesso.2 •

Exemplo 4.2 — Distribuicao geometrica

Todas as manhas verifica-se se um dispositivo de seguranca falhou. Ha

a probabilidade p de ocorrer falha num dia escolhido ao acaso. Nao ha

razoes que levem a crer que esse probabilidade se altere com o tempo

nem que o facto de nao ter ocorrido falha no dispositivo no dia m

venha a influenciar a probabilidade de isso ocorrer no dia (m+ 1).

2Sucesso significa aqui avaria, falha, etc.

84

O numero total de inspeccoes ate registar-se a falha, T , possui

distribuicao geometrica(p) e funcao de probabilidade (f.p.) dada por

P (T = m) = (1− p)m−1 p, m ∈ IN. (4.1)

onde p representa a probabilidade de ocorrencia de falha. •

Nota 4.3 — Falta de memoria

Nao so esta distribuicao possui funcao taxa de falha constante como

goza da seguinte propriedade:

P (T ≥ m1 +m2|T ≥ m1) = P (T ≥ m2), (4.2)

i.e., efectuadas pelo menos m1 inspeccoes sem que tenha sido

registada a primeira falha, a probabilidade de ainda vir a efectuar-

se adicionalmente pelo menos mais m2 inspeccoes e exactamente igual

a probabilidade de se efectuar – a partir do momento inicial – pelo

menos m2 inspeccoes ate ao registo da primeira falha.

Esta propriedade e sugestivamente designada por falta de

memoria. •

Exercıcio 4.4 — Considere agora que o dispositivo de seguranca

descrito no Exemplo 4.2 so deixa de funcionar ao fim de exactamente

r falhas.

Qual a distribuicao do numero total de inspeccoes efectuadas

ate que o dispositivo deixe de funcionar? Escreva a funcao de

probabilidade desta nova v.a. •

Nota 4.5 — Distribuicao binomial negativa

A distribuicao binomial negativa e por vezes designada por distribuicao

discreta do tempo de espera pelo r−esimo sucesso. E trata-se da

generalizacao da distribuicao geometrica. •

85

Na Tabela 4.1 pode encontrar-se algumas caracterısticas desta e de

outras distribuicoes discretas.

Tabela 4.1: Algumas distribuicoes discretas importantes.

T P (T = k) E[T ] V [T ] E[zT ]

Uniforme ({1, 2, . . . , n}) 1/n (n+ 1)/2 (n2 − 1)/12 z(1−zn)n(1−z)

Binomial (n, p) Cnk pk(1− p)n−k np np(1− p) (1− p+ pz)n

Geometrica (p) (1− p)k−1p 1/p (1− p)/p2 pz1−(1−p)z

Binomial Negativa (r, p) Ck−1r−1 p

r(1− p)k−r r/p r(1− p)/p2(

pz1−(1−p)z

)rPoisson (λ) e−λλk/k! λ λ e−λ(1−z)

Texto de apoio: Gertsbakh (1989, pp. 43–44).

4.2.2 A distribuicao binomial

Comece-se por recordar que a funcao de distribuicao da v.a.

binomial(n, p) ja foi utilizada para calcular a fiabilidade de sistemas

k−de−n. Com efeito, caso a fiabilidade das n componentes seja igual

a p e estas sejam independentes, o sistema k−de−n possui fiabilidade

dada por

r(p) = E[φ(X)]

= P

n∑i=1

Xi ≥ k

(4.3)

=n∑i=k

n!

i! (n− i)!pi(1− p)n−i

= 1− Fbinomial(n,p)(k − 1). (4.4)

Recorde-se que a v.a. binomial(n, p) representa o numero de

sucessos num conjunto de n provas de Bernoulli independentes e

identicamente distribuıdas.

86

Exercıcio 4.6 — Uma companhia produz um tipo especıfico de

interruptores, tendo-se constatado que 5% da producao e defeituosa.

a) Calcule o valor esperado e a variancia do numero de interruptores

defeituosos numa amostra de 50 interruptores. (Dhillon (1984,

p. 132)).

b) Determine um valor aproximado para a probabilidade de tal nu-

mero ser inferior a 15.

c) Obtenha o grafico da funcao taxa de falha desta v.a. e classifique

quanto ao comportamento monotono da funcao taxa de falha. •

Exercıcio 4.7 — Considere-se uma aeronave com 4 motores.

Suponha-se que ela so sera capaz de voar se possuir pelo menos 2

dos motores a funcionar.

a) Determine a probabilidade de a aeronave estar em condicoes de

voar (i.e., a fiabilidade), caso a fiabilidade de cada motor seja de

99% (Leitch (1995, p. 47)).

b) Obtenha limites inferiores e superiores para a fiabilidade da

aeronave, assumindo agora que os 4 motores estao associados

(positivamente). •

Texto de apoio: Leitch (1995, pp. 46–48).

87

4.2.3 A distribuicao de Poisson

A distribuicao de Poisson e utilizada na contabilizacao do numero de

falhas que ocorrem independentemente num perıodo fixo de tempo.

Podera tratar-se do numero de visitas mensais a uma oficina por

parte de uma frota de veıculos ou do numero de acidentes semanais

num troco especıfico de auto-estrada. De notar que a partida nao ha

limite superior para o numero de falhas/ acidentes como aconteceria

se considerassemos a distribuicao binomial.

A independencia a que se refere acima significa que uma falha num

futuro proximo nao depende da ocorrencia ou nao de falhas no passado

recente.

A v.a. Poisson(λ) possui f.p. dada por

P (T = k) = e−λλk/k!, k ∈ IN. (4.5)

Na Tabela 4.1 encontram-se esta entre outras caracterısticas da

distribuicao de Poisson(λ) que tem a particularidade de possuir o valor

esperado e a variancia iguais ao parametro que define a distribuicao

λ.

Exercıcio 4.8 — Efectuou-se o registo do numero de acidentes

mensais de uma frota de veıculos na tabela abaixo.

Tabela 4.2: Numero de acidentes mensais.

J F M A M J J A S O N D

1 2 1 0 3 1 0 3 2 2 1 2

a) Obtenha a estimativa de MV do numero esperado de acidentes

mensais (Leitch (1995, p. 49)).

88

b) Determine uma estimativa para a probabilidade de o numero de

acidentes mensais exceder 2 bem como para o quantil de ordem

q = 0.5. De uma interpretacao a este quantil. •

Mais tarde explorar-se-a a relacao entre as distribuicoes de Poisson

e exponencial.

Texto de apoio: Leitch (1995, pp. 48–49).

89

4.3 Distribuicoes contınuas

Neste seccao irao ser revistas algumas das distribuicoes contınuas mais

comuns na descricao tempos ate falha, como e o caso da distribuicao

exponencial que sabemos gozar da propriedade de falta de memoria

entre outras propriedades enunciadas oportunamente.

Sera ainda (re)vistas as distribuicoes:

• bathtub (ou distribuicao em forma de banheira);

• log-normal que surge ao efectuar-se uma mudanca de escala de t

para et mas de uso questionavel em fiabilidade;

• Weibull, generalizacao do modelo exponencial que inclui distribui-

coes com funcao taxa de falha monotona decrescente, constante

e crescente;

• normal e a normal truncada;

• gama, outra generalizacao natural do modelo exponencial que

descreve o tempo de vida no caso em que ha a ocorrencia de

varios choques ate que a componente falha definitivamente;

• gaussiana inversa;

• gama inversa;

• beta.

Convinha notar que Bagdonavicius e Nikulin (2002, pp. 2–17) fazem

um apanhado de algumas destas distribuicoes contınuas e de outras

quantas nomeadamente a distribuicao de Gompertz-Makeham (pp. 6–

7), a mistura de exponenciais (p. 8), a Weibull generalizada (p. 8),

90

a Weibull exponenciada (pp. 11–12), a Loglogıstica (pp. 12–13) e a

distribuicao de Birnbaum–Saunders (p. 14).

4.3.1 A distribuicao exponencial

Trata-se certamente da distribuicao contınua mais utilizada em

fiabilidade assim como o e a distribuicao normal em Estatıstica. Este

facto prende-se essencialmente com a evidencia empırica e alguma

argumentacao matematica...

Considere-se um grande equipamento, por exemplo, um

computador, e suponha-se que ele falha assim que tal aconteca com

pelo menos uma das suas componentes. Caso se substitua uma

componente imediatamente a seguir a ocorrencia da sua falha e as

duracoes das componentes sejam independentes, a sequencia de falhas

do equipamento correspondera grosso modo a sequencia de falhas

individuais das componentes.

Ora, admitindo que o equipamento e constituıdo por um grande

numero de componentes e sao validas certas condicoes (fracas), os

tempos entre falhas consecutivas do equipamento sao i.i.d. com

distribuicao exponencial com parametro comum λ e o numero de falhas

num perıodo de tempo fixo de amplitude t e uma v.a. com distribuicao

de Poisson(λ t).

Estamos na presenca do que se designa na disciplina de Processos

Estocasticos de um Processo de Poisson.

Se a duracao esperada das componentes for limitada uniforme e

superiormente por real (positivo) e tais duracoes forem IHR, o numero

de falhas do referido equipamento e um processo de Poisson.

A f.d.p. e outras caracterısticas desta distribuicao assim como

91

de outras distribuicoes contınuas importantes podem encontrar-se na

Tabela 4.3.

Tabela 4.3: Algumas distribuicoes contınuas importantes.

T fT (t) E[T ] V [T ] E[e−sT ]

Uniforme (a, b) 1b−a (a+ b)/2 (b− a)2/12 e−as−e−bs

s(b−a)

Exponencial (λ) λe−λt 1/λ 1/λ2 λλ+s

Gama (α, λ) λe−λt (λt)α−1

Γ(α) α/λ α/λ2(

λλ+s

)αErlang (n, λ) λe−λt (λt)n−1

(n−1)! n/λ n/λ2(

λλ+s

)nNormal (µ, σ2) 1√

2πσe−

(t−µ)2

2σ2 µ σ2 e−µs+(sσ)2

2

Esta distribuicao possui, recorde-se, funcao taxa de falha constante

λT (t) = λ, t ≥ 0, (4.6)

pelo que e util na descricao do comportamento probabilıstico de

sistemas que nao envelhecem, nem rejuvenescem no tempo. Ha

estruturas cujo tempo de vida goza desta propriedade como o caso de

fusıveis electricos, cuja vida futura se mantem praticamente inalterada

desde que a falha ainda nao tenha ocorrido.

Esta propriedade que caracteriza univocamente a distribuicao

exponencial entre as distribuicoes contınuas tem uma consequencia

importante aquando de testes de vida de componentes com o objectivo

de estimar o valor esperado, quantis e a fiabilidade desta distribuicao:

• os dados recolhidos podem dizer exclusivamente respeito ao

numero total observado de horas de vida e ao numero de avarias

efectivamente registadas — as idades efectivas das componentes

testadas sao irrelevantes.

92

Teorema 4.9 — Momentos da distribuicao exponencial

Seja T ∼ exponencial(λ). Entao

E(T s) =Γ(s+ 1)

λs, s > −1, (4.7)

onde Γ(s) =∫+∞0 λsts−1e−λtdt, Γ(s+ 1) = sΓ(s), s > 0 e Γ(s+ 1) = s!,

para s ∈ IN0. •

Teorema 4.10 — Transformada inversa

Seja U ∼ uniforme(0, 1). Entao T = −ln(U) ∼ exponencial(1). •

Exercıcio 4.11 — Prove os Teoremas 4.9–4.10. Pronuncie-se sobre

a utilidade deste ultimo resultado. •

Importa referir (relembrar) outras propriedades da distribuicao

exponencial particularmente relevantes em fiabilidade, nomeadamente

as propriedades dos spacings de primeira ordem, i.e., tempos entre

falhas sucessivas em testes simultaneos.

Teorema 4.12 — Spacings de primeira ordem

Sejam T(1), T(2), . . . , T(n) as estatısticas ordinais de uma distribuicao

exponencial(λ) e D1, D2, . . . , Dn os correspondentes spacings de

primeira ordem, i.e.,

D1 = T(1), D2 = T(2) − T(1), . . . , Dn = T(n) − T(n−1). (4.8)

Entao

Dk ∼indep exponencial((n− k + 1)λ) (4.9)

Ek = (n− k + 1)Dk ∼i.i.d. exponencial(λ), (4.10)

para k = 1, . . . , n, onde Ek e usualmente designado de spacing

normalizado. •

93

O Teorema 4.12 permite concluir que os tempos entre falhas

sucessivas — em teste simultaneos de componentes com duracoes i.i.d.

e distribuicao exponencial — possuem tambem ela exponencial.

Corolario 4.13 — Representacao de Renyi

No que diz respeito as estatısticas ordinais T(r) (i.e. os tempos ate a

r−esima falha), pode afirmar-se que, para k = 1, . . . , n, correspondem

a combinacoes lineares de v.a. exponenciais independentes:

T(k) =k∑i=1

Ei

(n− i+ 1)

=k∑i=1

Di

(4.11)

E[T(k)] =k∑i=1

1

(n− i+ 1)λ. (4.12)

(4.11) corresponde ao tempo esperado ate a r−esima falha e aquilo

que se designa por representacao de Renyi. •

Exercıcio 4.14 — Elabore um esquema que ilustre o resultado (4.11)

do Corolario 4.13 e permita demonstrar o Teorema 4.12 (Barlow e

Proschan (1975, p. 60)). • •

Nota 4.15 — Tempo total em teste

O tempo total em teste (ou tempo acumulado em teste) e definido por∑ni=1 Ti =

∑ni=1 T(i). •

Exercıcio 4.16 — Identifique a distribuicao do tempo total em teste,∑ni=1 Ti. •

Exercıcio 4.17 — Admita que T(i) ≤ t ≤ T(i+1). Identifique o tempo

total em teste ate ao instante t, τ(t), a custa de um esquema grafico.

Prove ainda que τ(t) =∑ij=1 T(j) + (n− i)t. •

94

Nota 4.18 — Exponencial biparametrica

Ha a possibilidade de generalizar a distribuicao exponencial ao

considerar-se a f.d.p.

fX(x) = λe−λ(x−µ), t ≥ µ. (4.13)

Neste caso lida-se com a distribuicao exponencial biparametrica onde se

designa µ por parametro de localizacao (threshold parameter) que em

termos de fiabilidade corresponde perıodo de garantia da componente,

i.e., no intervalo [0, µ] nao ocorrem quaisquer falhas. •

Textos de apoio: Gomes e Barao (1999, pp. 156–161); Martz e Waller

(1982, pp. 86–89).

4.3.2 A distribuicao bathtub

A distribuicao “bathtub”ou em forma de banheira vai buscar o seu

nome ao aspecto grafico da sua funcao taxa de falha.

A f.d.p., f.d., funcao de fiabilidade e funcao taxa de falha da v.a.

T ∼ bathtub(µ, θ) sao, para t ≥ 0, dadas por

fT (t) = θµ(µt)θ−1 exp{−[e(µt)θ − (µt)θ − 1]} (4.14)

FT (t) = 1− exp{−[e(µt)θ − 1]} (4.15)

RT (t) = exp{−[e(µt)θ − 1]} (4.16)

λT (t) = θµ(µt)θ−1e(µt)θ (4.17)

respectivamente, onde µ (µ > 0) e o inverso do parametro de escala e

θ (θ > 0) representa o parametro de forma.

Exercıcio 4.19 — Elabore o grafico da funcao taxa de falha da

distribuicao bathtub com parametros µ = 1 e θ = 0.5.

Identifique os tipos de falhas tıpicos associados aos seus tres trocos. •

95

Os tres trocos distintos da funcao taxa de falha da distribuicao

bathtub possuem as seguintes caracterısticas (veja-se a Figura 4.1 de

Martz e Waller (1982, p. 81)):

• Troco 1 — A funcao taxa de falha e decrescente neste troco. Esta

regiao e tambem conhecida por perıodo de mortalidade infantil.

Neste perıodo as falhas devem-se a defeitos de design e fabrico.

• Troco 2 — A funcao taxa de falha e praticamente constante neste

troco tambem designado por perıodo de vida util.

• Troco 3 — Neste ultimo troco a funcao taxa de falha e crescente.

Por este motivo alguns autores designam-no de perıodo de

desgaste. As falhas ocorrem com cada vez mais frequencia porque

a componente ja ultrapassou o seu perıodo de vida util.

Texto de apoio: Dhillon (1984, pp. 134–135).

4.3.3 A distribuicao log-normal

As caracterısticas desta v.a. escrevem-se naturalmente a custa das

da v.a. normal ja que se X ∼ normal(µ, σ2) entao T = eX ∼log-normal(µ, σ2). Assim, para t ≥ 0,

fT (t) =1

σ t√

2πexp

−1

2

(ln t− µ

σ

)2 =φ( ln t−µ

σ

)σ t

(4.18)

RT (t) = 1− Φ

(ln t− µ

σ

)(4.19)

λT (t) =1

σ t×

φ( ln t−µ

σ

)1− Φ

( ln t−µσ

) (4.20)

onde φ e Φ representam a f.d.p. e f.d. da v.a. normal padrao,

respectivamente.

96

Exercıcio 4.20 — Obtenha o valor esperado e a variancia da

distribuicao log-normal e elabore o grafico da funcao taxa de falha

de distribuicao log-normal(0, 1), fazendo uso do Mathematica. •

Alguns autores questionam a utilidade da distribuicao log-normal

na modelacao de tempos ate falha. Tal deve-se essencialmente ao facto

de a sua funcao taxa de falha ser inicialmente crescente para depois

decrescer para zero.

Ha, no entanto, evidencia empırica e argumentacao solida

apontando no sentido da utilidade da distribuicao log-normal na

modelacao de tempos de reparacao. Com efeito, parece razoavel que se

apos algum tempo a reparacao ainda nao tiver sido concluıda, menos

verosımil sera a sua conclusao imediata devido a factores psicologicos

e logısticos. Por exemplo, um reparador pode ficar desencorajado

depois de um perıodo de trabalho mal sucedido, ou o tempo excessivo

de reparacao podera dever-se a nao disponibilidade de uma peca

necessaria a reparacao.

Textos de apoio: Barlow e Proschan (1965/1996, p. 11); Martz e

Waller (1982, pp. 94–95).

4.3.4 A distribuicao de Weibull

A distribuicao de Weibull de mınimos — a que alguns autores se

referem como distribuicao de Weibull — deve o seu nome ao apelido

do fısico sueco Waloddi Weibull. Este utilizou-a em Weibull (1939a,

1939b) para representar a tensao de ruptura de materiais e

discutiu, posteriormente, a sua utilidade na modelacao de outras

v.a. em Weibull (1951).

97

E o caso da resistencia do aco Bofors, do tamanho de cinzas

industriais, da resistencia da fibra de algodao indiano. Nessa

mesma referencia e ilustrada a utilizacao da mistura de duas

distribuicoes de Weibull na caracterizacao do comprimento da

especie Cyrtoideae, do tempo ate fatiga do aco do tipo St-37, da

estatura dos adultos do sexo masculino nascidos nas Ilhas

Britanicas, da largura das sementes da especie Phaseolus Vulgaris.

Em Kao (1959) pode encontrar-se uma mistura de duas

distribuicoes de Weibull a caracterizar o comportamento

estocastico do tempo ate falha de tubos de electroes.

Berrettoni (1964) tambem ilustrou o uso da distribuicao

de Weibull e da mistura de duas dessas distribuicoes na

descricao de dados referentes: a resistencia a corrosao de

placas com uma liga de magnesio; a classificacao de produtos

defeituosos devolvidos, de acordo com o numero de semanas apos

remessa; ao tempo ate o derrame de pilhas; a esperanca de

vida de produtos farmaceuticos; a fiabilidade de motores

descontınuos (reliability of step motors); e a fiabilidade de

condensadores de tantalio solido.

Definicao 4.21 — Distribuicao Weibull (biparametrica)

A v.a. T diz-se com distribuicao de Weibull (biparametrica) com

parametro de forma α (α > 0) e de escala δ (δ > 0) se, para t ≥ 0,

fT (t) =α

δ

(t

δ

)α−1exp

[−(t

δ

)α](4.21)

RT (t) = exp

[−(t

δ

)α](4.22)

λT (t) =α

δ

(t

δ

)α−1. (4.23)

98

Nesta caso e costume representar a distribuicao de T de uma forma

mais abreviada: T ∼Weibull(δ, α). •

Exercıcio 4.22 — Considere T ∼Weibull(δ, α).

a) Elabore graficos da f.d.p., da f. de fiabilidade e f. taxa de falha

da distribuicao Weibull(1, α), α = 0.25, 1, 2, 4 (Martz e Waller

(1982, p. 91)), fazendo uso do seguinte package do Mathematica

<< Statistics ` ContinuousDistributions` .

b) Obtenha a expressao geral para o quantil de ordem p e

prove que o valor esperado e a variancia de T sao dadas

por E(T ) = δ Γ(

1α + 1

)e V (T ) = δ2

[Γ(

2α + 1

)− Γ2( 1

α + 1)],

respectivamente.

Sugestao: Calcule o momento de ordem k (k = 1, 2) efectuando

para o efeito a mudanca de variavel y = (t/δ)α e recordando que

Γ(s) =∫+∞0 ys−1e−ydy, s > 0. •

A distribuicao de Weibull, por possuir um parametro de forma, e

caracterizada por uma f.d.p. que pode tomar uma grande diversidade

de aspectos como se ilustrou no Exercıcio 4.22. Quando o parametro

de forma pertence ao intervalo (0, 1], o aspecto da f.d.p. e em J

invertido; nesta situacao a f.d.p. e monotona decrescente e a moda

coincide com a origem. Caso o referido parametro pertenca a (1,+∞)

a f.d.p. e unimodal com moda definida, segundo Johnson e Kotz (1970,

p. 251), por mo(T ) = δ(α−1α

)1/α.

A popularidade da distribuicao de Weibull deve-se a esta

excepcional flexibilidade: engloba a distribuicao exponencial (α =

1) e a distribuicao Rayleigh (quando δ e substituıdo por√

2δ) e

inclui funcoes taxa de falha constantes e monotonas crescentes e

99

decrescentes, dependendo do valor do parametro de forma como se

pode ver no Exercıcio 4.22 e se ilustra na tabela seguinte.

Parametro de forma F. taxa de falha

0 < α < 1 Decrescente T ∈ DHRα = 1 Constante T ∈ CHRα > 1 Decrescente T ∈ IHR

Nao surpreende pois que a distribuicao de Weibull seja

provavelmente a distribuicao mais utilizada no domınio da fiabilidade,

a seguir a distribuicao exponencial, e se encontre na maior parte dos

textos de introducao a estatıstica e a fiabilidade.

Exercıcio 4.23 — Foram registados os seguintes 9 tempos ate falha

(em anos) de um heat exchanger used in the alkylation unit 3 de uma

refinaria de gasolina: 0.41, 0.58, 0.75, 0.83, 1.00, 1.08, 1.17, 1.25 e 1.35

(Martz e Waller (1982, pp. 395–396)).

a) Determine a estimativa de MV de δ assumindo que o parametro

de forma e conhecido e igual a α = 3.5.

b) Apos ter escrito as equacoes de verosimilhanca, determine

numericamente as estimativas de MV de ambos os parametros

δ e α.

Sugestao: Considere como estimativas iniciais do procedimento

de pesquisa as estimativas obtidas por recurso ao metodo dos

momentos.3The act or process of introducing one or more alkyl groups into a compound (as to increase

octane number in a motor fuel). An alkyl has a monovalent organic group and especially oneCnH2n+1 (as methyl) derived from an alkane (as methane).

100

c) Obtenha estimativas da fiabilidade para perıodos de 1 ano e de

1 ano e 3 meses, recorrendo para tal as estimativas obtidas nas

alıneas a) e b). •

A popularidade da distribuicao de Weibull encontra uma

justificacao nao so pratica como tambem num dos mais surpreendentes

resultados da teoria assintotica de valores extremos: o teorema de

Gnedenko na sua versao para o mınimo de um conjunto de v.a. i.i.d.

(Para mais detalhes consulte-se Morais (1995, pp. 109–115).)

Nota 4.24 — Distribuicao Weibull (tri-parametrica)

Ha tambem a possibilidade de generalizar a distribuicao Weibull de

mınimos ao considerar-se a f.d.p.

fT (t) =α

δ

(t− ηδ

)α−1exp

[−(t− ηδ

)α], t ≥ η. (4.24)

Neste caso e frequente dizer-se que T possui distribuicao de Weibull

tri-parametrica com parametros de localizacao, escala e forma iguais a

η, δ e α, respectivamente — e representar a distribuicao de T de uma

forma mais abreviada: T ∼Weibull(η, δ, α).

O parametro de localizacao corresponde mais uma vez ao perıodo

de vida garantida ou perıodo de garantia da componente.

Nao existem razoes matematicas que impecam que este parametro

seja negativo. Contudo, na maior parte das aplicacoes e costume ter-se

η ≥ 0. •

E possıvel estabelecer relacoes entre a distribuicao de Weibull e,

pelo menos, duas outras distribuicoes (Johnson e Kotz (1970, p. 266))

como se podera ver no exercıcio seguinte.

101

Exercıcio 4.25 — Suponha que T ∼Weibull(η, δ, α).

a) Prove que a potencia da v.a. T , Y = [(T − η)/δ]α, e uma v.a.

com distribuicao exponencial(1). 4

b) Conclua que Y = α ln[(T − η)/δ] possui distribuicao de Gumbel

de mınimos com parametro de localizacao nulo e parametro de

escala unitario. 5

c) Prove por fim que Ti ∼i.i.d. T, i = 1, . . . , n, se e so se

T(1) ∼Weibull(η, δn1/α , α). •

Refira-se por fim que, entre os domınios em que tem sido

utilizada a distribuicao de Weibull tri-parametrica, conta-se tambem

a optimizacao combinatoria. Golden (1977) refere que McRoberts

(1966), ao lidar com combinatorially explosive plant-layout problems,

foi o primeiro autor a associar a distribuicao de Weibull a modelacao

probabilıstica de solucoes aproximadas do problema do caixeiro

viajante. 6 Por tratar-se de um problema para o qual ainda se

conjectura a inexistencia de algoritmos com tempo de execucao

polinomial, o problema do caixeiro viajante tem vindo a ser abordado

sob o ponto de vista estatıstico, com vista a obtencao de estimativas

quer pontuais (Golden (1977)), quer intervalares (Golden e Alt (1979))

para o custo do solucao optima que corresponde ao parametro de

localizacao de uma distribuicao de Weibull tri-parametrica. Para mais

detalhes consulte-se Morais (1998).4Este resultado sera de extrema utilidade na caracterizacao distribucional de uma v.a. fulcral

para o parametro de escala quando os restantes parametros (localizacao e forma) sao conhecidos.5Autores como Engelhardt e Bain (1977) tiraram partido desta relacao para estimar os

parametros de escala e forma quando o parametro de localizacao e nulo.6Nesta mesma referencia McRoberts sugeriu que a distribuicao de Weibull tambem fosse

utilizada na modelacao de solucoes aproximadas de outros problemas de optimizacao combinatoria:Cerdeira (1986) e disso um exemplo.

102

Textos de apoio: Morais (1995, pp. 109–115); Martz e Waller (1982,

pp. 89–91).

4.3.5 As distribuicoes normal e normal truncada

A distribuicao normal e sobejamente conhecida pelo que nao nos

alongaremos nesta exposicao. Convem no entanto realcar que, embora

o suporte desta distribuicao seja (−∞,+∞), ao considerar-se valores

positivos para µ suficientemente grandes quando comparados com o

valor de σ (e.g. µ/σ >> 3) a probabilidade de registar-se valores

negativos e irrisoria.

Caso tal nao aconteca, a distribuicao normal deve ser truncada para

valores negativos e reescalada em conformidade obtendo-se assim a

distribuicao normal truncada cuja f.d.p. e dada por

fT (t) =1

aexp

−(t− µ)2

2σ2

, t ≥ 0, (4.25)

onde a =∫+∞0 exp[− (t−µ)2

2σ2 ]dt. Neste caso escreve-se abreviadamente

T ∼ normal truncada(µ, σ2). Caso µ = 0 a distribuicao normal

truncada e designada na literatura anglo-saxonica por half normal.

Exercıcio 4.26 — Suponha que T ∼ normal(µ, σ2).

a) Elabore graficos da f.d.p., funcao de fiabilidade e funcao taxa

de falha, para os pares de valores (µ, σ) = (0.5, 0.075), (1, 0.1),

(2, 0.15).

b) Prove que a funcao taxa de falha λT (t) desta v.a. e crescente e

que possui a assıntota y = (t− µ)/σ.

Obs: Recorde-se que a rectamt+a diz-se uma assıntota da funcao

g(t) se e so se limt→+∞ g(t)/t = m e limt→+∞[g(t)−mt] = a. •

103

Exercıcio 4.27 — Repita a alınea a) do exercıcio anterior conside-

rando agora T ∼ normal truncada(µ, σ2). •

Textos de apoio: Gomes e Barao (1999, p. 163); Martz e Waller

(1982, pp. 90–94).

4.3.6 A distribuicao gama

Estamos mais uma vez na presenca de uma distribuicao com parametro

de forma pelo que apresenta um leque extremamente variado de f.d.p.s

— decrescentes ou monotonas por dois trocos (crescentes e de seguida

decrescentes) —, embora todas positivamente assimetricas e mais

alongadas que a normal.

A f.d.p. desta v.a. e dada por

fT (t) =λα

Γ(α)tα−1 e−λt, t > 0 (4.26)

e passaremos a escrever abreviadamente T ∼ gama(λ, α), onde λ−1 e

α representam os parametros de escala e forma, respectivamente.

A distribuicao gama possui como casos particulares as seguintes

distribuicoes:

• exponencial — α = 1;

• Erlang — α ∈ IN ;

• qui-quadrado com ν graus de liberdade — α = ν/2, λ = 1/2.

A distribuicao gama, designadamente, a distribuicao Erlang pode

descrever o tempo de vida no caso em que ha a ocorrencia de varios

choques ate que a componente falha definitivamente aquando do

n−esimo choque e em que os tempos entre choque sucessivos sao

v.a. i.i.d. exponenciais. E e sabido que a distribuicao Erlang surge

104

tambem como a distribuicao do instante da n−esima ocorrencia de

um processo de Poisson, i.e. como a distribuicao de uma soma de

v.a. i.i.d. exponenciais.

A grande variedade de formas desta distribuicao e a sua

simplicidade matematica explicam o seu uso frequente em fiabilidade

como na descricao de fluxos maximos de corrente, de resistencias

crıticas de betao pre-esforcado, etc.

Exercıcio 4.28 — Ilustre a variedade de f.d.p.s e de comportamentos

monotonos da funcao taxa de falha da v.a. T ∼ gama(λ, α),

considerando (λ, α) = (0.5, 0.5), (0.5, 1), (0.25, 2), (1, 2). •

Exercıcio 4.29 — E possıvel relacionar a funcao de fiabilidade da

v.a. T ∼ Erlang(λ, α), α ∈ IN , com a funcao de distribuicao de uma

v.a. de Poisson:

RT (t) = 1−∞∑i=α

e−λt(λt)i/i!

= FPoisson(λt)(α− 1), t > 0. (4.27)

Prove este resultado.

Sugestao: Usar um resultado conveniente da disciplina de Processos

Estocasticos ou entao recorra a integracao por partes. •

Exercıcio 4.30 — Com o objectivo de estudar o tempo ate falha de

certo equipamento electronico (em dezenas de milhar de horas), uma

gestora recolheu um total de 50 observacoes que conduziram a media

geometrica amostral mg =(∏50

i=1 ti)1/50

= 4.2427.

Admita que a f.d.p. do tempo ate falha e, para λ > 0, dada por

fT (t) =

λ 2.5λtλ+1 , t ≥ 2.5

0, c.c.,

i.e., T ∼ Pareto(2.5, λ).

105

a) Prove que a estimativa de maxima verosimilhanca de λ e igual a

λ = [ln(mg)− ln(2.5)]−1.

b) Obtenha a estimativa de maxima verosimilhanca da fiabilidade

para um perıodo de 35.000 horas.

c) Sabendo que 2λ∑50i=1 ln(Ti/2.5) ∼ χ2

(100) e uma v.a. fulcral para

λ, onde Mg =(∏50

i=1 Ti)1/50

, deduza um intervalo de confianca a

95% para esse parametro bem como para a fiabilidade calculada

na alınea b).

d) Deduza um intervalo de confianca a 95% para λ com amplitude

esperada mınima. •

Textos de apoio: Gomes e Barao (1999, p. 162); Barlow e Proschan

(1975, pp. 72–75).

4.3.7 A distribuicao gaussiana inversa

O nome desta distribuicao deve-se a uma relacao entre a funcao

geradora dos cumulantes (ou segunda funcao caracterıstica) da

gaussiana inversa e a da distribuicao normal.

Nota 4.31 — Distribuicao gaussiana inversa

Seja φT (z) = E(eizT ), onde i =√−1, a funcao caracterıstica de T .

Entao φT (z) = 1+∑+∞s=1 E(T s) (iz)s

s! . Para alem disso, a funcao geradora

dos cumulantes e igual a

K(z) = lnφT (z) =+∞∑s=1

ξs(iz)s

s!, (4.28)

onde os coeficientes ξs sao denominados de cumulantes da distribuicao

de T . Para mais detalhes consulte-se Murteira (1990, pp. 223–226 e

250–252). •

106

A distribuicao gaussiana inversa tem-se revelado util na modelacao

de situacoes em que as falhas iniciais dominam a vida de um

sistema. Estas situacoes poderiam sugerir a utilizacao da distribuicao

lognormal pelo facto de possuir funcao taxa de falha crescente e

posteriormente decrescente: com efeito a taxa de falha destas duas

distribuicoes possuem o mesmo comportamento monotono por trocos.

No entanto, ha varias vantagens em usar a distribuicao gaussiana

inversa. Primeiro, porque e menos difıcil justificar fisicamente a sua

utilizacao ja que surge como a distribuicao de um tempo de primeira

passagem do movimento browniano. Segundo, porque vem enriquecer

a classe de distribuicoes de falha. E por ultimo, os procedimentos

inferenciais estao muito bem desenvolvidos (para os parametros e para

a funcao de fiabilidade) e sao similares aos da distribuicao normal.

A f.d.p., a f. fiabilidade e a f. taxa de falha de T ∼ gaussiana

inversa(µ, λ) sao, para t ≥ 0, µ, λ > 0, iguais a:

fT (t) =

(λ

2πt3

)1/2

exp

−λ(t− µ)2

2µ2t

(4.29)

RT (t) = Φ

(λt

)1/2 (1− t

µ

)− exp (2λ/µ) Φ

− (λ

t

)1/2 (1 +

t

µ

) (4.30)

λT (t) =fT (t)

RT (t), (4.31)

onde µ e λ nao correspondem aos parametros de localizacao e forma

no sentido usual — na verdade λ/µ e que e o parametro de forma.

De notar tambem que

E(T ) = µ (4.32)

V (T ) =µ3

λ(4.33)

107

mo(T ) = −3µ2

2λ+ µ

1 +9µ2

4λ2

1/2

(4.34)

e que a funcao taxa de falha e crescente para t < mo(T ), decrescente

para t > 2λ3 e atinge maximo no ponto t que satisfaz a seguinte

equacao:

λ

2µ2 +3

2t− λ

2t2= 0. (4.35)

Exercıcio 4.32 — Admita que T ∼ gaussiana inversa(µ, λ).

a) Elabore graficos da f.d.p., funcao de fiabilidade e funcao taxa de

falha, para µ = 1 e λ = 0.5, 1, 3, 10 (Martz e Waller (1982, p. 99)).

b) O registo de tempos ate fadiga (em horas) de 10 rolamentos de

certo tipo conduziu as seguintes observacoes ordenadas:

152.7, 172.0, 172.5, 173.3, 193.0, 204.7, 216.5, 239.9, 262.6, 422.6

(Seshadri (1999, p. 35)).

Obtenha as estimativas de MV de µ, de λ, da fiabilidade e da

taxa de falha para um perıodo de 100 horas. •

Textos de apoio: Martz e Waller (1982, pp. 95–99); Seshardi (1999,

pp. 1–4, 206–219).

4.3.8 As distribuicoes gama inversa e beta

Este par de distribuicoes pouco interesse tem para a modelacao

de tempos ate falha. No entanto, as distribuicoes gama inversa e

beta revelam-se de extrema utilidade quando se efectua inferencia

bayesiana sobre o parametro da distribuicao exponencial e a

probabilidade de sucesso da distribuicao binomial (respectivamente):

108

sao aquilo que se denomina de densidades a priori dos parametros. 7

Por este motivo nao nos alongaremos na descricao desta duas

distribuicoes nem nos reportaremos as respectivas funcoes de

fiabilidade e taxa de falha.

A distribuicao gama inversa e derivada do seguinte modo: se Y ∼gama(λ, α) entao T = Y −1 ∼ gama inversa(λ, α). Assim, possui as

seguintes caracterısticas

fT (t) =λα

Γ(α)

(1

t

)α+1exp

(−λt

), t, λ, α > 0 (4.36)

E(T ) =λ

α− 1, α > 1 (4.37)

V (T ) =λ2

(α− 1)2 (α− 2), α > 2 (4.38)

De notar que o momento de ordem s, E(T s), e qualquer outro de

ordem superior a s nao existem caso s seja maior que a parte inteira

de α.

A distribuicao beta possui as seguintes caracterısticas:

fT (t) =1

B(α, β)tα−1 (1− t)β−1, 0 < t < 1, λ, α > 0 (4.39)

E(T ) =α

α + β(4.40)

V (T ) =αβ

(α + β)2 (α + β + 1), (4.41)

onde

B(α, β) =∫ 1

0tα−1 (1− t)β−1dt

=Γ(α + β)

Γ(α)Γ(β). (4.42)

7Em inferencia bayesiana um parametro desconhecido e considerado uma v.a. com umadensidade a priori antes da recolha da informacao e uma densidade a posteriori apos a recolha deobservacoes. As estimativas pontuais mais frequentes de tal parametro sao o valor esperado e amoda a posteriori, i.e., calculados a custa da densidade a posteriori.

109

De referir que neste caso se escreve T ∼ beta(α, β) e que a

distribuicao uniforme e obviamente um caso particular da distribuicao

beta para α = β = 1.

Parametros Aspecto da f.d.p.

α, β > 1 Uma unica moda em t = α−1α+β−2

α < 1, β > 1 Uma unica anti–moda em t = α−1α+β−2 (forma em U)

(α− 1)(β − 1) ≤ 0 Forma em J

α = β Simetrica em torno de 1/2 (e.g. constante ou parabolica)

α > β Assimetrica positiva

α < β Assimetrica negativa

De realcar tambem a enorme variedade de formas admissıveis para

a f.d.p., como se ilustra na Tabela 4.3.8, e a seguinte relacao entre as

f.d.s das distribuicoes beta e binomial quando α e β sao inteiros:

Fbeta(α,β)(t) = 1− Fbinomial(α+β−1,t)(α− 1). (4.43)

Exercıcio 4.33 — Ilustre cada um dos aspectos da f.d.p. da

distribuicao beta referidos na Tabela 4.3.8 e obtenha as equacoes de

verosimilhanca cuja resolucao conduzira as estimativas de MV dos

parametros α e β. •

Texto de apoio: Martz e Waller (1982, pp. 101–105).

110

Capıtulo 5

Inferencias sobre modelos para

diferentes tipos de ensaio

5.1 Introducao

Um dos objectivos da (teoria da) fiabilidade e adiantar estimativas de

caracterısticas como a funcao taxa de falha, a funcao de fiabilidade ou

a duracao esperada de um sistema.

Uma breve revisao dos capıtulos anteriores permite-nos concluir que

o ponto de partida para a obtencao de resultados e a informacao

sobre a duracao de vida. Esta informacao pode vir sob a forma

de consideracoes tao genericas sobre o comportamento monotono da

funcao taxa de falha ou tao especıficas como a forma parametrica da

distribuicao de vida. E obvio que somente a analise estatıstica de

dados experimentais possibilita a validacao destas consideracoes/

assuncoes.

Neste capıtulo podemos encontrar a descricao de algumas das

tecnicas para a analise de dados de fiabilidade.

Abordar-se-a a estimacao nao parametrica da f.d.p., da

f. fiabilidade e da f. taxa de falha.

111

Serao descritos alguns procedimentos graficos que orientarao a

seleccao de modelos.

Serao revistos alguns tipos de censura ja que uma das

caracterısticas mais comuns de dados experimentais que se

reportam ao domınio da fiabilidade e serem de um modo geral

incompletos/ censurados pois e frequente que alguns dos itens em

teste sobrevivam por perıodos superiores a duracao planeada para o

teste.

Far-se-a uso de uma das ferramentas mais importantes em

inferencia parametrica — o metodo da MV (v.a. fulcral) a custa

do qual se obtera estimativas pontuais (intervalares) para a fiabilidade,

metodo este facilmente aplicavel a situacoes em que se lida com dados

completos ou censurados/ incompletos.

Gertsbakh (1989, p. 156) e da opiniao que nao e um exagero

afirmar que pelo menos dois tercos da literatura de fiabilidade esta

orientada para as distribuicoes exponencial e Weibull. A extrema

popularidade destas duas distribuicoes prende-se com dois factos:

elas permitem um tratamento matematico/ estatıstico simples e

elegante e, simultaneamente, fornecem em muitas situacoes praticas

uma descricao adequada do comportamento estocastico das v.a. de

interesse. 1

Poderiam ainda ter sido abordadas outras tecnicas/modelos

igualmente importantes e interessantes como a inferencia bayesiana, os

modelos de Cox (que envolvem variaveis explicativas), ou os modelos

que fazem uso de dados multivariados, etc. Para o leitor mais

interessado recomenda-se a consulta de Martz e Waller (1982) e Dhilon

1No capıtulo 9 de Martz e Waller (1985) pode encontrar-se a estimacao bayesiana da fiabilidadepara os modelos Weibull, normal, log-normal, gaussiana inversa e gama.

112

(1985) no que respeita a inferencia bayesiana e modelos de Cox (resp.).

Texto de apoio: Gertsbakh (1989, pp. 155–157).

113

5.2 Identificacao e seleccao de modelos

As caracterısticas de fiabilidade de um equipamento sao estimadas

a partir dos registos dos tempos ate falha. Este dados sao

usualmente obtidos durante a fase de desenvolvimento do equipamento

(development phase) ou durante a fase de uso em laboratorio (field

use phase). A recolha de dados deve ser efectuada com extremo

cuidado em qualquer das duas fases. Por exemplo, e preciso certificar-

se que os dados sao recolhidos nas condicoes para que foi pensado o

equipamento.

Uma vez recolhidos os dados procede-se a analise dos dados,

obtendo diversos tipos de informacao que vao de estimativas da f.d.p. a

intervalos de confianca para a funcao taxa de falha, tempo esperado ate

falha e funcao de fiabilidade, passando pela bondade do ajustamento

da distribuicao ao conjunto de dados.

Texto de apoio: Dhillon (1985, p. 207).

5.2.1 Estimacao nao parametrica de caracterısticas da

fiabilidade — dados completos

Passe-se a discussao de procedimentos nao parametricos (i.e. proce-

dimentos que nao requerem o conhecimento da forma da distribuicao

do tempo ate falha) passıveis de utilizacao na estimacao da f.d.p.,

f. fiabilidade e f. taxa de falha a custa de um pequeno numero de

observacoes ou de uma amostra de dimensao consideravel que foi

previamente agrupada em classes.

Considere-se em primeiro lugar o caso em que se dispoe de uma

amostra com (dimensao pequena e) observacoes nao agrupadas

114

(ungrouped failure data).

Sejam t(1), . . . , t(n) as observacoes ordenadas de um grupo de

n tempos ate falha. Na Tabela 5.1 encontram-se expressoes

para as estimativas nao parametricas das tres mais importante

caracterısticas de fiabilidade — f.d.p., f.f. e f.t.f.

A estimativa R[t(i)] = n−i+0.625n+0.25 , i = 1, . . . , n, deve-se a Blom (1958),

e muito usada na literatura por conduzir a bons resultados empıricos.

Apesar de as estimativas tabeladas serem muito utilizadas nao sao de

modo algum as unicas estimativas das referidas caracterısticas. Por

exemplo, n−i+1n+1 , n−i+0.7

n+0.4 , n−i+0.5n e n−i

n sao outras estimativas possıveis

para a f. fiabilidade.

Tabela 5.1: Estimativas nao parametricas da f.d.p., f.f. e f.t.f. — amostra nao

agrupada.

Funcao Estimativa

f.d.p. f [t(i)] = 1(n+0.25)×[t(i+1)−t(i)]

, i = 1, . . . , n− 1

f. fiabilidade R[t(i)] = n−i+0.625n+0.25

, i = 1, . . . , n

f. taxa de falha λ[t(i)] = 1(n−i+0.625)×[t(i+1)−t(i)]

, i = 1, . . . , n− 1

Exercıcio 5.1 — Discuta a pertinencia e os inconvenientes da f.

fiabilidade empırica, R[t(i)] = 1 − in , i = 1, . . . , n, como estimativa

da f. fiabilidade. •

Exercıcio 5.2 — Foram recolhidos os seguintes 9 tempos ordenados

ate falha (em anos) de um heat exchanger used in the alkylation unit

de uma refinaria de gasolina: 0.41, 0.58, 0.75, 0.83, 1.00, 1.08, 1.17,

1.25 e 1.35.

a) Determine estimativas da f.d.p., da f.f. e da f.t.f. preenchendo

para o efeito a Tabela 5.2 (Martz e Waller (1982, pp. 106–107)).

115

Tabela 5.2: Estimativas nao parametricas da f.d.p., f.f. e f.t.f. — dados da refinaria

de gasolina.

i t(i) t(i+1) − t(i) f [t(i)] R[t(i)] λ[t(i)]

1 0.41 0.17 19.25×0.17

= 0.64 8.6259.25

= 0.93 18.625×0.17

= 0.68

2 0.58

3 0.75

4 0.83

5 1.00

6 1.08

7 1.17

8 1.25

9 1.35

b) Elabore um grafico de λ(t).

c) Que distribuicao sugeriria para o tempo ate falha face ao

comportamento monotono da estimativa da f.t.f.? •

Nota — Ao lidar com amostras pequenas importa agir com extrema

cautela pois e sabido que uma simples observacao discordante (outling

observation) pode ter uma influencia consideravel nas estimativas

obtidas.

Considere agora que se lida com uma amostra com dimensao n

consideravel e observacoes agrupadas (grouped failure data).

Sejam:

• N(t) o numero de unidades sobreviventes (em funcionamento) no

instante t (number of survivors at time t);

• k o numero de classes em que foram agrupados os dados;

116

• [tj, tj+1) ([tk, tk+1]) a j−esima classe, j = 1, . . . , k − 1 (j = k) e

∆tj = tj+1 − tj a respectiva amplitude.

Neste caso as estimativas nao parametricas da f.d.p. e da f.t.f. sao

definidas por

f(t) =no. de falhas na classe j

dimensao da amostra× amplitude da classe j

=N(tj)−N(tj+1)

n×∆tj(5.1)

λ(t) =no. de falhas na classe j

no. de sobrev. ate ao instante tj × amp. classe j

=N(tj)−N(tj+1)

N(tj)×∆tj, (5.2)

para tj ≤ t < tj + ∆tj, e a da f.f. dada por

R(t) =no. de sobreviventes ate ao instante tj

dimensao da amostra

=N(t)

n, t ≥ 0. (5.3)

A Tabela 5.3 resume estas expressoes para as estimativas da f.d.p.,

f.f. e f.t.f. para dados agrupados.

Tabela 5.3: Estimativas nao parametricas da f.d.p., f.f e f.t.f. — amostra agrupada.

Funcao Estimativa

f.d.p. f(t) = N(tj)−N(tj+1)

n×∆tj, tj ≤ t < tj + ∆tj

f. fiabilidade R(t) = N(t)n, t ≥ 0

f. taxa de falha λ(t) = N(tj)−N(tj+1)

N(tj)×∆tj, tj ≤ t < tj + ∆tj

Exercıcio 5.3 — Sao efectuadas medicoes da resistencia de diversas

componentes, num grande laboratorio governamental, recorrendo para

o efeito a dispositivos de teste cujo funcionamento depende de baterias.

117

A duracao destas baterias tem sido um motivo constante de

preocupacao pelo que se recolheu o seguinte conjunto de 50

observacoes do tempo ate falha (em meses) dessas mesmas baterias:

Intervalo No. de falhasno intervalo

[0, 3) 21

[3, 6) 10

[6, 9) 7

[9, 12) 9

[12, 15) 2

[15, 18] 1

a) Preencha a Tabela 5.4 com estimativas da f.d.p., da f.f. e da f.t.f.

(Martz e Waller (1982, pp. 108–109)).

Tabela 5.4: Estimativas nao parametricas da f.d.p., f.f e f.t.f. — baterias.

j tj tj+1 N(tj) N(tj)−N(tj+1) f(t) R(t) λ(t)

1 0 3 50 50− 29 = 21 2150×3 = 0.14 50

50 = 1.00 2150×3 = 0.14

2 3 6

3 6 9

4 9 12

5 12 15

6 15 18

b) Elabore e comente os graficos de f(t), R(t) e λ(t). •

118

Exercıcio 5.4 — Os turbofan jet engines comecaram a ser usados ha

mais de 20 anos como meio de propulsao de aeronaves comerciais:

constituem o que se considera uma forma economica e segura de

transportar carga e passageiros.

Os numeros de pequenas falhas registadas em intervalos (em horas)

por parte de um conjunto de 432 desses motores estao resumidos na

Tabela 5.5 (Dhillon (1985, pp. 208–209)).

Elabore um programa no package Mathematica por forma a

preencher a Tabela 5.5 com estimativas da f.d.p., da f.f. e da f.t.f.

e a elaborar graficos de f(t), R(t) e λ(t).

Tabela 5.5: Estimativas nao parametricas da f.d.p., f.f e f.t.f. — turbofan jet engines.

tj tj+1 N(tj) N(tj)−N(tj+1) 102 × f(t) R(t) 102 × λ(t)

0 100 432 121 102×121432×100 = 0.281 432

432 = 1.00 102×121432×100 = 0.281

100 200 80

200 300 70

300 400 63

400 500 30

500 600 25

600 700 21

700 800 10

800 900 7

900 1000 5

•

Para a descricao da estimacao nao parametrica de caracterısticas da

fiabilidade referentes a dados incompletos/censurados recomenda-se a

leitura de Gertsbakh (1989, pp. 158–168).

Textos de apoio: Dhillon (1985, pp. 207–210); Martz e Waller (1982,

pp. 105–109).

119

5.2.2 Graficos TTT

Os graficos TTT (total time on test plots) foram propostos nos anos

70 e, nesta subseccao, concentramo-nos-emos no seu uso como forma

de determinar qual o comportamento monotono da funcao taxa

de falha a partir de um conjunto de n observacoes completas.

Seja N(τ) o numero de unidades sobreviventes ate ao instante τ .

Entao

T (t) =∫ t0N(τ)dτ (5.4)

representa o tempo total em teste (total time on test) ate ao

instante t. Caso as unidades tenham falhado nos instantes ordenados

t(1), . . . , t(n) o tempo total em teste observado ate ao instante t(i) e

igual a

T (t(i)) =∫ t(i)0

N(τ)dτ

= n t(1) + (n− 1) (t(2) − t(1)) + . . .

+(n− i+ 1) (t(i) − t(i−1)). (5.5)

(Justifique!) O quociente

0 ≤T (t(i))

T (t(n))≤ 1 (5.6)

e usualmente denominado de tempo total em teste escalado (scaled

total time on test) no instante t(i).

Ao grafico com abcissa i/n e ordenada T (t(i))/T (t(n)), com i =

0, 1, . . . , n e t(0) = 0, da-se o nome de grafico TTT (TTT plot). E

tambem costume unir estes pontos com segmentos de recta para uma

melhor visualizacao.

120

Nota 5.5 — O grafico TTT para observacoes provenientes de um

modelo exponencial deve ser uma recta com 45o. 2 Se a funcao taxa

de falha for crescente entao o grafico TTT devera ser concavo (i.e.

acima de um segmento de recta com 45o); caso λ(t) seja monotona

decrescente o correspondente grafico TTT devera ser convexo (i.e.

abaixo do referido segmento). Logo a curvatura do grafico TTT da

indicacao do comportamento monotono mais ou menos acentuado de

funcao taxa de falha e, assim, sugerir um modelo adequado. •

Exercıcio 5.6 — Simule dados provenientes de uma distribuicao

exponencial com parametro de escala unitario e confirme que o grafico

TTT pouco se distingue de um segmento de recta com 45o. •

Exercıcio 5.7 — Considere-se novamente os 9 tempos ordenados ate

falha (em anos) de um heat exchanger used in the alkylation unit de

uma refinaria de gasolina.

Tabela 5.6: Calculos auxiliares para obter grafico TTT — refinaria de gasolina.

i t(i) t(i) − t(i−1) n− i+ 1 (n− i+ 1)(t(i) − t(i−1)) T (t(i))T (t(i))

T (t(n))

1 0.41 0.41 9 3.69 3.69 0.44

2 0.58 0.17

3 0.75

4 0.83

5 1.00

6 1.08

7 1.17

8 1.25

9 1.35

2Para uma justificacao formal deste resultado consulte-se Barlow (1998, pp. 28–30).

121

Apos ter preenchido a Tabela 5.6, elabore e comente o grafico TTT.

Serao as suas conclusoes consistentes com aquelas a que chegou na

alınea c) do Exercıcio 5.2 (Martz e Waller (1982, p. 111))? •

Nota 5.8 — A construcao de graficos TTT restringe-se ao quadrado

unitario permitindo assim a comparacao de varios conjuntos de dados

com distribuicoes distintas. Estes graficos sao ainda invariantes a

mudancas de escala e de interpretacao simples e directa. •

Exercıcio 5.9 — Elabore os graficos TTT num mesmo quadrado

unitario, para os dados dos Exercıcios 5.10 e 5.12 e pronuncie-se sobre

o comportamento monotono das funcoes taxa de falha das duracoes

para estes dois conjuntos de dados. •

Texto de apoio: Martz e Waller (1982, pp. 109–111).

5.2.3 Papel de probabilidade

A aplicacao do papel de probabilidade visa essencialmente:

• a obtencao de uma confirmacao visual rapida do ajustamento de

um determinado modelo e

• a estimacao grosseira do(s) parametro(s) do modelo.

Para a sua construcao postula-se que a amostra provem de um

membro da famılia de localizacao–escala, 3 i.e., a f.d. e do tipo

Fλ,δ(t) = G

(t− λδ

), (5.7)

onde λ (λ ∈ IR) e δ (δ > 0) representam aqui os parametros de

localizacao e escala, respectivamente.

3Ou que esse membro esta de algum modo relacionado com uma famılia desse tipo.

122

O papel de probabilidade e obtido considerando como ordenadas

as observacoes ordenadas (ou uma sua transformacao, por exemplo,

logarıtmica) e como abcissas quantis de probabilidade (ou uma

sua transformacao) escolhidos de tal forma que o grafico e

aproximadamente linear quando o modelo postulado se adequa

as observacoes.

Para compreender os aspectos teoricos subjacentes ao papel

de probabilidade, e necessario definir algumas quantidades e atender

a alguns factos:

• defina-se

pi = Fλ,δ[t(i)] = G

(t(i) − λδ

); (5.8)

• o quantil de probabilidade pi e igual a

G−1(pi) =1

δ× t(i) −

λ

δ, (5.9)

logo corresponde a uma funcao linear de t(i);

• os quantis G−1(pi) sao desconhecidos uma vez que se desconhece

os parametros da f.d. da populacao; estes quantis tem de ser,

portanto, estimados;

• a v.a. Fλ,δ[T(i)] (funcao de distribuicao da v.a. de interesse T ,

avaliada em T(i)) verifica, para qualquer modelo contınuo,

Fλ,δ[T(i)] ∼ beta(i, n− i+ 1); (5.10)

• uma estimativa possıvel para pi = Fλ,δ[t(i)] e o valor esperado

E{FT [T(i)]} = in+1 , usualmente designado de plotting point,

123

donde se segue que a correspondente estimativa do quantil

G−1(pi) seja

G−1(pi) = G−1(

i

n+ 1

). (5.11)

Esta estimativa deve ser confrontada graficamente com t(i). Ao

grafico cuja

• abcissa e igual a G−1(

in+1

)(ou uma sua transformada) e cuja

• ordenada e igual a t(i) (ou uma sua funcao)

da-se o nome de papel de probabilidade. 4

A ordenada na origem (−λδ ) e o declive (1

δ ) da recta tracada “a

olho”constituem estimativas grosseiras dos parametros do modelo.

Por forma a ilustrar a construcao de papeis de probabilidade serao

considerados alguns exercıcios.

Exercıcio 5.10 — Foram registados os seguintes tempos ate falha

(em meses) de um osciloscopio 5 usado numa das oficinas de um grande

laboratorio: 0.30, 0.55, 0.56, 0.86, 0.93, 1.15, 1.42, 1.75. (Martz e

Waller (1982, pp. 113–114)).

a) Construa um papel de probabilidade para averiguar a adequacao

do modelo exponencial a este conjunto de dados.

b) Obtenha uma estimativa grosseira para o parametro de escala

deste modelo.

c) Repita as alıneas a) e b) considerando agora a seguinte abcissa

ln

(n+ 0.25

n− i+ 0.625

)

e comente os resultados agora obtidos. •

4Este grafico e por vezes designado de Q-Q plot (Q de quantil).5Aparelho que permite a visualizacao dos sinais electricos num ecra fluorescente.

124

Exercıcio 5.11 — Com o objectivo de estudar o tempo ate falha

de certo equipamento electronico (em milhares de horas), uma

matematica e um engenheiro recolheram e ordenaram um total de

50 observacoes, obtendo a seguinte conjunto de observacoes:

2.001 2.007 2.017 2.026 2.036 2.075 2.077 2.082 2.101 2.137

2.156 2.161 2.181 2.196 2.214 2.227 2.320 2.367 2.424 2.443

2.444 2.449 2.478 2.520 2.579 2.581 2.598 2.637 2.691 2.715

2.720 2.825 2.863 2.867 3.016 3.176 3.360 3.413 3.567 3.721

3.727 3.769 3.803 4.329 4.420 4.795 6.009 6.281 6.784 8.305

Dada a natureza dos dados, os elementos de tal equipa de trabalho

suspeitam que as observacoes tenham sido geradas por um modelo

Pareto, com parametros λ e δ e cuja funcao de distribuicao e dada por

Fλ,δ(t) = 1− λδ

tδ, t ≥ λ, (5.12)

para λ, δ > 0.

Descreva detalhadamente como poderia tal equipa confirmar

graficamente tal suspeita e ilustre a utilizacao da tecnica grafica

em questao elaborando para o efeito um programa no package

Mathematica. •

Exercıcio 5.12 — Suspeita-se que os seguintes tempos ate falha

sejam provenientes de uma distribuicao pertencente ao modelo Weibull

com parametros de escala e forma λ e α: 49, 73, 103, 140, 162, 164,

181, 196, 232, 248, 288, 290, 309, 377, 388, 464, 500 horas.

Construa o correspondente papel de probabilidade por forma a

averiguar a razoabilidade de tal suspeita. •

125

Exercıcio 5.13 — Para o estudo do tempo (em minutos) ate a

ocorrencia da mitose 6 de certa estirpe de bacteria recolheu-se a seguin-

te amostra: 1.242, 1.626, 0.123, 2.957, 0.388, 3.841, 1.961, 0.938.

Para escolher um modelo probabilıstico adequado, um biologo

tracou um grafico, onde marcou os pontos(ln(9/(9− i)), t(i)

).

Ao constatar que os pontos tracados apresentavam uma disposicao

aproximadamente linear que passava pela origem, o biologo escolheu

certo modelo uniparametrico.

a) Identifique o modelo escolhido, justificando o procedimento usado

pelo biologo.

b) Com base no grafico, o biologo considerou o valor 0.56 como

estimativa razoavel para o parametro desconhecido. Diga como

procedeu o biologo para obter a estimativa referida. •

Como pudemos ver o papel de probabilidade — embora nos de uma

ideia visual do ajustamento de um modelo a um conjunto de dados —

tem a desvantagem de terem de ser construıdo especificamente para

cada um dos modelos postulados, ao contrario do que acontecia com

os graficos TTT. 7

Acrescente-se que a tecnica do papel de probabilidade nao pode ser

usado para modelos discretos 8 nem para modelos contınuos como os

modelos gama (a menos que o parametro de forma seja conhecido)

e beta (a menos que se trate do modelo uniforme, porque ambos os

parametros sao de forma).

Em Martz e Waller (1982, pp. 112–118) podem encontrar-se papeis

de probabilidade para os modelos exponencial, Weibull, normal e log-6Conjunto de fenomenos citoplasmaticos e nucleares que culminam na divisao da celula em que

ocorreram.7Recorde-se que os graficos TTT nao se prestam a verificacao do ajustamento de modelos.8Basta pensar na genese do plotting point usado no papel de probabilidade.

126

normal. Estes papeis de probabilidade fazem — sem excepcao — uso

de plotting points distintos daquele aqui usado, in+1 , i = 1, . . . , n.

Textos de apoio: Martz e Waller (1982, pp. 112–118); Paulino (1992,

pp. 42–46).

5.2.4 Testes de ajustamento

Nesta subseccao serao recordados a tıtulo de exercıcio os testes de

ajustamento de Kolmogorov-Smirnov e do qui-quadrado. Sao em

qualquer dos casos procedimentos estatısticos que permitem avaliar

se os dados sao ou nao consistentes com uma dada hipotese sobre

o modelo gerador dos dados, modelo este que podera ser uma

distribuicao especıfica (hipotese nula simples) ou uma famılia de

distribuicoes (hipotese nula composta).

Exercıcio 5.14 — Retome o Exercıcio 5.13 e descreva, justificando e

efectuando alguns calculos ilustrativos, o procedimento que o biologo

deveria adoptar para testar a hipotese formulada: T ∼ exponencial

(0.56). •

Exercıcio 5.15 — Retome agora o Exercıcio 5.12 e averigue a

adequacao da distribuicao Pareto(λ, δ) onde λ = t(1) e δ =

[ln(mg/t(1))]−1 representam as estimativas de MV de λ e δ e mg =(∏50

i=1 ti)1/50

= 2.852 a media geometrica da amostra.

Para tal calcule estas mesmas estimativas e confirme que as frequencias

absolutas observadas resultantes do agrupamento dos dados em 5

classes equiprovaveis sob a conjectura acima sao: 12, 6, 13, 7 e 12.

•

Para uma discussao mais alongada acerca destes testes de

ajustamento consulte-se Paulino (1992, pp. 46–56).

127

Texto de apoio: Paulino (1992, pp. 46–56).

128

5.3 Testes de vida e estimacao de MV

Como se viu os metodos de estimacao assumem a existencia de dados

recolhidos naquilo que usualmente se designa de teste de vida ou

ensaios.

Para o efeito e dependendo do objectivo de tal teste, uma amostra

de n itens e posta em teste sob condicoes experimentais/ ambientais

especıficas, procedendo-se ao registo dos tempos ate falha.

Caso um item seja substituıdo quando falha por um outro item

novo, diz-se que o teste de vida esta a ser efectuado com reposicao.

Caso contrario o teste de vida diz-se sem reposicao.

Ja tivemos oportunidade de referir que algumas situacoes

experimentais conduzem a dados incompletos/ censurados,

aquando da ilustracao da utilidade das estatısticas ordinais em

fiabilidade no Capıtulo 2. E sabido que tal censura pode ser feita

ou ao fim de decorrido um tempo fixo t0 — Censura de Tipo I

(a direita) —, ou apos o registo de um numero fixo r de falhas —

Censura de Tipo II.

Em qualquer destes testes de vida pode ocorrer a retirada

(withdrawal) de um item antes de este sequer ter falhado, sendo

somente registado o tempo de sobrevivencia/presenca da unidade no

teste.

Refira-se ainda que, por forma a induzir falhas em equipamento

muito fiavel, sao usados metodos de teste especiais denominados de

testes de vida acelerados (accelerated life tests). Neste tipo de

teste, as unidades sao testados sob condicoes ambientais extremas, de

longe mais severas que aquelas em que as unidades virao a funcionar

na pratica. Sao entao usadas relacoes matematicas (propostas ou

129

existentes) para extrapolar os resultados obtidos nos testes de vida

acelerados para as condicoes ambientais usuais.

Definicao 5.16 — Uma vez feitas estas consideracoes gerais sobre

testes de vida, e de listar os 4 tipos de testes de vida mais usuais

de acordo com Martz e Waller (1982, p. 119) e aqueles que irao ser

considerados doravante:

1. Teste de vida com reposicao e censura do Tipo II

(Type II/item–censored testing with replacement) — O teste e

concluıdo apos a ocorrencia de um numero pre-especificado r de

falhas e uma unidade que falhe e imediatamente substituıda por

uma outra nova no decurso do teste.

2. Teste de vida sem reposicao e com censura do Tipo II

(Type II/item–censored testing without replacement) — O teste e

concluıdo apos a ocorrencia de um numero pre-especificado r de

falhas e as unidades nao sao substituıdas quando falham.

3. Teste de vida com reposicao e censura do Tipo I

(Type I/item–censored testing with replacement) — O teste e

concluıdo apos decorrido tempo pre-especificado t0 e uma unidade

que falhe e imediatamente substituıda por uma outra nova no

decurso do teste.

4. Teste de vida sem reposicao e com censura do Tipo I

(Type I/item–censored testing without replacement) — O teste e

concluıdo apos decorrido tempo pre-especificado t0 e as unidades

nao sao substituıdas quando falham. •

No planeamento do teste e importante ter presente que a qualidade

das estimativas depende do numero de unidades em teste, do numero

130

pre-especificado de falhas r ate a conclusao do teste de vida (ou da

duracao fixa do mesmo t0). Quanto mais unidades forem colocadas

em teste, mais rapidamente se registara r falhas; contudo, e preciso

arranjar uma solucao de compromisso entre as vantagens economicas

de um teste com pequena duracao e as desvantagens economicas de

ter muitas unidades em teste. O problema da optimizacao subjacente

a escolha de r e n sera discutido mais adiante.

Definicao 5.17 — Sejam T(1), . . . , T(n) as estatısticas ordinais e To tempo total em teste acumulado pelas n unidades em teste

incluindo aquelas que falharam durante o teste e aquelas que nao

falharam antes da conclusao do mesmo. Entao tem-se para os 4 tipos

de testes de vida:

1. Teste de vida com reposicao e censura do Tipo II

T = nT(r), onde r e uma constante fixa a partida e T(r) uma v.a.;

2. Teste de vida sem reposicao e com censura do Tipo II

T =∑ri=1 T(i) + (n− r)T(r)

= nT(1)+(n−1)(T(2)−T(1))+. . .+(n−r+1)(T(r)−T(r−1)), r ≤ n,

onde r e uma constante fixa a partida e T(r) uma v.a.;

3. Teste de vida com reposicao e censura do Tipo I

T = n t0, onde t0 e a duracao fixa a partida para o teste de vida

e R representa o numero de falhas ocorridas nesse intervalo de

tempo;

4. Teste de vida sem reposicao e com censura do Tipo I

131

T =∑Ri=1 T(i) + (n − R)t0, R ≤ n, onde t0 e a duracao fixa a

partida para o teste de vida e R representa o numero de falhas

ocorridas nesse intervalo de tempo. •

Nota 5.18 — Nos casos 1. e 3., n representa o numero de locais

disponıveis para efectuacao dos testes de vida e r e R podem exceder

n uma vez que ha reposicao/ substituicao das unidades que falham. •

No Capıtulo 2 constatou-se que o metodo da MV 9 facilmente se

adaptava aos tipos de censura I e II (sem substituicao por falha das

unidades no decurso do teste), permitindo a estimacao de parametros

a custa de dados censurados nas situacoes 2. e 4. da Definicao

5.16. Na altura foram ainda adiantadas expressoes para a funcao de

verosimilhanca nestes dois casos.

A seguir encontram-se as funcoes de verosimilhanca para as

situacoes 2. e 4. da referida definicao, considerando-se para tal

que θ = (θ1, . . . , θk) e o vector de parametros desconhecidos que se

pretende estimar, que ti:n = t(i) e que θ = (θ1, . . . , θk) e a respectiva

estimativa de MV.

Teorema 5.19 — Sejam L(θ) a funcao de verosimilhanca e Fθ(t))

(Rθ(t)) a funcao de distribuicao (fiabilidade) da duracao de vida das

n unidades. Entao a funcao de verosimilhanca toma as seguintes

expressoes dependendo do tipo de ensaio efectuado:

2. Teste de vida sem reposicao e censura do Tipo II

L(θ) =n!

(n− r)!

r∏i=1

fθ(ti:n)

× [Rθ(tr:n)]n−r, (5.13)

para −∞ < t1:n < . . . < tr:n <∞ e r = 1, . . . , n;9O metodo da MV foi introduzido por R. Fisher numa serie de trabalhos, o primeiro dos quais

publicado em 1912.

132

4. Teste de vida sem reposicao e censura do Tipo I

L(θ) = hθ(t1:n, . . . , tr:n | R = r)× Pθ(R = r)

= r!r∏i=1

f(ti:n)

Fθ(t0)

× n

r

[Fθ(t0)]r[Rθ(t0)]

n−r

=n!

(n− r)!

r∏i=1

f(ti:n)

[R(t0)]n−r, (5.14)

para −∞ < t1:n < . . . < tr:n < t0 <∞ e r = 1, . . . , n. •

A razao pela qual nao foram adiantadas expressoes para a funcao

de verosimilhanca em testes de vida com substituicao (situacoes 1. e

3.) prende-se com a dificuldade em obter expressoes genericas para

tais testes. Refira-se no entanto que elas sao relativamente simples

para populacoes exponenciais, como poderemos constatar na seccao

seguinte.

Os estimadores de MV obtidos a custa destas funcoes de verosimi-

lhanca possuem boas propriedades, senao melhores que as dos

estimadores obtidos por outros metodos de estimacao.

Para nos debrucarmos brevemente sobre algumas dessas

propriedades importa considerar que Θj(n) representa o estimador

de MV de θj, j = 1, . . . , k, obtido com base em amostra aleatoria de

dimensao n e definir a seguinte matriz.

Definicao 5.20 — A matriz de informacao de Fisher e definida

por

I(θ, n) = [Iij(θ, n)]i,j=,...,k

=

E−∂2 lnL(θ)

∂θi∂θj

i,j=,...,k

(5.15)

133

onde lnL(θ) depende de n e deve ser encarado como se de uma v.a.

se tratasse, i.e., as observacoes que figuram na sua expressao devem

ser substituıdas pelas respectivas v.a. •

Nota 5.21 — Sob certas condicoes de regularidade os estimadores de

MV verificam entre outras propriedades as duas seguintes:

• Θj(n) e estimador consistente de θj e

• o estimador de MV devidamente reduzido, Θj(n)−θj√[I(θ)]−1

jj

(onde [I(θ)]−1jj

representa a j−esima entrada da diagonal da inversa da matriz

de informacao de Fisher) possui distribuicao assintotica normal

padrao. •

E a custa deste ultimo resultado que se pode adiantar intervalos

de confianca e construir testes de hipoteses (em qualquer dos casos

assinto-ticos) para os parametros desconhecidos.

Para mais generalidades e alguns detalhes acerca deste tipo de

inferencia no domınio da fiabilidade consulte-se Gertsbakh (1989,

pp. 186–193).

Textos de apoio: Gertsbakh (1989, pp. 179–194); Martz e Waller

(1982, pp. 118–120).

134

5.4 Estimacao no modelo exponencial

Como foi referido anteriormente, o modelo exponencial e sem duvida

o mais frequentemente considerado em testes de vida. Nao e raro

constatar que a sua aplicacao pratica se deve sobretudo a simplicidade

do modelo (e das inferencias sobre o mesmo) e nao a sua adequacao

aos dados.

Pretende-se, essencialmente, nesta seccao, adiantar procedimentos

que permitam inferir — com certa precisao e evitando ultrapassar

sempre que possıvel certo custo fixo — algumas caracterısticas de

fiabilidade de um tempo ate falha com distribuicao pertencente ao

modelo exponencial uni-parametrico, i.e., com a seguinte f.d.p.

fT (t) = λe−λt, t ≥ 0 (5.16)

Com efeito procurar-se-a, de um modo geral, obter estimadores

centrados de variancia uniformemente mınima (UMVUE),10 bem como

intervalos de confianca (ou testes de hipoteses) para:

• E(T ) = λ−1, o valor esperado do tempo ate falha (ou,

equivalentemente, para a sua funcao taxa de falha, λT (t) = λ, t ≥0);

• RT (t) = e−λt, t ≥ 0, a funcao de fiabilidade; ou ainda,

• F−1T (p) = − ln(1−p)

λ , o quantil de probabilidade p, tambem

designado de reliable life na literatura anglo-saxonica versando

fiabilidade.

Textos de apoio: Gomes e Barao (1999, pp. 164–175); Martz e Waller

(1982, pp. 120–129); Kapur e Lamberson (1977, pp. 233–290).

10Uniformly minimum variance unbiased estimator.

135

5.4.1 Validacao do modelo exponencial

Antes de nos debrucarmos sobre as inferencias sobre o modelo

exponencial propriamente ditas, descreveremos um teste de hipoteses

que, a par dos testes de ajustamento de Kolmogorov–Smirnov e do

qui-quadrado, permitira averiguar o adequacao de um modelo com

taxa de falha constante, i.e., exponencial: o teste de ajustamento

de Bartlett que se basea numa razao de verosimilhancas.

Embora nao se trate do mais comum dos testes para avaliar a

adequacao do modelo exponencial e, de acordo com alguns autores,

o mais potente na avaliacao da adequacao deste modelo.

Considere-se que T(1), . . . , T(r), . . . , T(n) representam as estatısticas

ordinais e r o numero de falhas que determinam o instante de conclusao

do teste de vida (com qualquer dos dois tipos de censura).

O procedimento geral deste teste compreende os seguintes passos

que nos escusamos a comentar em grande detalhe:

• Hipoteses — H0 : T ∼ exponencial vs. H1 : T ∼ Weibull(δ, α),

α 6= 1.11

• Nıvel de significancia — α0

• Estatıstica de teste — Esta estatıstica sera doravante

representada por Br e depende do tipo de teste de vida com que

estejamos a lidar. Ao lidar-se com dados completos

Br =2r

1 + r+16r

ln

(∑ri=1 T(i)

r

)− 1

r

r∑i=1

ln[T(i)]

a∼H0

χ2(r−1) (5.17)

onde r = n e T(i) representa o instante da i−esima falha.

11A leitura de Kapur e Lamberson (1977, p. 240) leva a crer que seja esta a hipotese alternativa.

136

Ao lidar-se com teste de vida com censura do Tipo II semreposicao tem-se

Br =2r

1 + r+16r

(ln(Tr

)− 1r

r∑i=1

ln{(n− i+ 1)[T(i) − T(i−1)]})

a∼H0 χ2(r−1) (5.18)

onde os T(i) − T(i−1)s representam os tempos entre falhas

consecutivas.

Tratando-se de teste de vida com censura do Tipo I com reposicao

tem-se

Br =2r

1 + r+16r

ln

(∑ri=1 Zir

)− 1

r

r∑i=1

ln(Zi)

a∼H0

χ2(r−1) (5.19)

onde os Zis representam os tempos entre falhas.12

• Regiao de rejeicao de H0 —

W =

(0, F−1

χ2(r−1)

(α0/2)

)∪(F−1χ2

(r−1)(1− α0/2),+∞

)

• Decisao — Seja br o valor observado da estatıstica de teste.

Entao:

– se br ∈ W devemos rejeitarH0 (hipotese de exponencialidade)

para qualquer nıvel de significancia α ≥ α0;

– caso contrario, nao devemos rejeitar H0 para nenhum nıvel

de significancia α ≤ α0.

O teste de Bartlett sera aplicado de seguida a situacoes

representativas do que se pode encontrar na pratica.

12Kapur e Lamberson (1977, pp. 239–247) apresentam somente estas duas estatısticas de testeao longo dos exemplos apresentados com dados censurados.

137

Exercıcio 5.22 — Os dados na Tabela 5.7 dizem respeito ao numero

de horas ate falha de 20 termostatos sujeitos a testes de vida acelerados

por aplicacao de sobrecarga voltaica (Kapur e Lamberson (1977,

p. 240)).

Tabela 5.7: Horas ate falha de 20 termostatos

No. de horas ate falha

100 7120 24110 36860

340 12910 28570 38540

1940 13670 31620 42110

5670 19490 32800 43970

6010 23700 34910 64730

Tempo total em teste 469170

Averigue a adequacao do modelo exponencial a este conjunto de

dados considerando para o efeito um nıvel de significancia de 10%. •

Exercıcio 5.23 — Os instantes de falha e os tempos entre falhas de

travoes consecutivas de um camiao de meia tonelada sujeito a 245

horas de vibracao encontram-se na Tabela 5.8.

Tabela 5.8: Instantes de falha e os tempos entre falhas consecutivas de camiao

Instantes de falha Tempos entre falhas

21.2 74.7 108.6 157.4 21.2 0.1 15.3 5.8

47.9 76.8 112.9 164.7 26.7 2.1 4.3 7.3

59.2 84.3 127.0 196.8 11.3 7.5 14.1 32.1

62.0 91.0 143.9 214.4 2.8 6.7 16.9 17.6

74.6 93.3 151.6 218.9 12.6 2.3 7.7 4.5

Apos ter identificado o tipo de teste de vida, examine este

conjunto de dados e averigue se estes tempos entre falhas podem ser

138

exponencialmente distribuıdos (Kapur e Lamberson (1977, pp. 239–

240)). •

Exercıcio 5.24 — A Tabela 5.9 contem um conjunto de dados

resultante de um teste de vida com caracterısticas distintas a do

Exercıcio 5.22. Foram usados neste teste de vida 9 locais. Em cada um

deles foi colocado um termostato que era imediatamente substituıdo

por outro novo assim que falhasse. Cada um dos locais de teste esteve

em observacao durante 20000 horas.

Tabela 5.9: Dados referentes a nove locais de teste de termostatos

Local Instantes de falha Tempos entre falhas

1 6700 6700

2 4600 4600

3 4100, 18100, 18950 4100, 14000, 850

4 5400 5400

5 3100, 8100 3100, 5000

6 2600 2600

7 Sem registo de falha —

8 4700 4700

9 Sem registo de falha —

Identifique o teste de vida descrito e averigue quao razoavel e o

modelo exponencial para este conjunto de dados (Kapur e Lamberson

(1977, pp. 241–242)). •

Texto de apoio: Kapur e Lamberson (1977, pp. 239–247).

5.4.2 Amostra completa

Comecar-se-a por considerar a situacao mais simples, aquela que

envolve dados completos, passando depois para inferencias sobre o

139

modelo exponencial nas 4 situacoes consideradas em que ha censura.

O estimador de MV de λ e, para o caso em que lidamos com a

amostra completa, igual ao inverso da media da amostra aleatoria

Λ =n∑ni=1 Ti

= T −1. (5.20)

Deste modo, invocando a propriedade de invariancia dos estimadores

de MV, obtemos as estimativas de MV da Tabela 5.10.

Tabela 5.10: Algumas estimativas de MV

Parametro Estimativa MV

E(T ) = λ−1 E(T ) = λ−1

RT (t) = e−λt RT (t) = e−λt

F−1T (p) = − 1

λln(1− p) F−1

T (p) = − 1λ

ln(1− p)

Mais adiantamos que Λ−1 = T e um estimador UMVUE para

E(T ) e que∑ni=1 Ti (e naturalmente Λ) e uma estatıstica suficiente 13

para λ.

Exercıcio 5.25 — Prove que RT (t) = e−Λt nao e um estimador

centrado de RT (t), i.e., E[RT (t)] 6= RT (t)(= e−λt). •

Pelo facto de o estimador de MV nao ser um estimador centrado da

funcao de fiabilidade e costume recorrer a um estimador alternativo

UMVUE 14 definido do seguinte modo:

RT (t) =

(1− Λt/n

)n−1, t < nΛ−1 =

∑ni=1 Ti

0, t ≥ nΛ−1(5.21)

13I.e., contem toda a informacao relevante para a estimacao de λ.14Este estimador e, por sinal, obtido por aplicacao do Teorema de Rao-Blackwell (Bain (1978,

p. 124)). A deducao deste estimador pode encontrar-se em Gomes e Barao (1999, pp. 166–167).

140

Refira-se por fim que a v.a. fulcral a utilizar por forma a obter

um intervalo de confianca para λ (ou a obter uma estatıstica de teste

para λ) e 2nλ/ Λ = 2λ∑ni=1 Ti ∼ χ2

(2n).

Exercıcio 5.26 — Retome o dados do Exercıcio 5.22 se reportam ao

numero de horas ate falha de 20 termostatos sujeitos a testes de vida

acelerados.

a) Obtenha uma estimativa pontual centrada bem como um

intervalo de confianca equilibrado a (1− α)× 100% = 95% para

a fiabilidade para um perıodo de 30000 horas, RT (30000).

Sugestao — Para obter este intervalo de confianca tire partido

de a funcao de fiabilidade ser uma funcao monotona decrescente

de λ e utilize os quantis de probabilidade α/2 e (1− α/2).

b) A quantas horas se estima que metade dos termostatos serao

capazes de resistir/ sobreviver? Adiante uma estimativa pontual

e outra intervalar para tal numero, i.e., para F−1T (0.50). •


pp. 164–175); Martz e Waller (1982, pp. 120–123).

5.4.3 Testes de vida com censura

O tempo total acumulado em teste T (e R, o numero de

falhas ocorridas em (0, t0]) representa(m) um papel preponderante na

estimacao de λ ao lidar-se com o modelo exponencial e situacoes de

censura.

Para ja, as expressoes do estimador de MV de λ para os 4 casos

encontram-se nas Tabelas 5.11 e 5.13, onde, recorde-se, T se define

para os 4 tipos de teste de vida com censura de acordo com a Tabela

141

5.12, onde: r e uma constante fixa a partida e T(r) uma v.a., em testes

de vida com censura do Tipo II; t0 e a duracao fixa a partida e R

representa o numero de falhas ocorridas em (0, t0], para testes de vida

com censura do Tipo I.

Tabela 5.11: Estimadores de MV para λ — dados censurados

Censura Estimador de MV (Λ)

1./2. Tipo II com/sem reposicao r/ T

3./4. Tipo I com/sem reposicao R/ T , R > 0

Tabela 5.12: Tempos totais acumulados em teste — dados censurados

Censura Tempo total acumulado em teste (T )

1. Tipo II com reposicao nT(r)

2. Tipo II sem reposicao∑ri=1 T(i) + (n− r)T(r), r ≤ n

3. Tipo I com reposicao n t0

4. Tipo I sem reposicao∑Ri=1 T(i) + (n−R)t0, R ≤ n

Exercıcio 5.27 — Escreva as funcoes de verosimilhanca para testes

de vida com censura do Tipo I (situacoes 3. e 4.), distinguindo os

casos em que R = 0 e R > 0. •

Importante — Na verdade para testes de vida com censura do

Tipo I, por termos duas expressoes para a funcao de verosimilhanca

nas situacoes 3. e 4., o estimador de MV de λ so e igual a R/ T para

R > 0. Assim, lidaremos com os estimadores de MV da Tabela 5.13.

Invocando mais uma vez a propriedade de invariancia dos

estimadores de MV, os estimadores de MV de E(T ), RT (t) e F−1T (p)

142

Tabela 5.13: Estimadores de MV para λ — dados censurados

Censura Estimador de MV de λ (Λ)

1./2. Tipo II com/sem reposicao r/ T

3. Tipo I com reposicao

0, R = 0

R/ T , R = 1, . . . , n

4. Tipo I sem reposicao

1/ T , R = 0

R/ T , R = 1, . . . , n

obtem-se substituindo λ nas expressoes da Tabela 5.10 por Λ = r/ T .

Quanto a existencia de estimadores UMVUE para E(T ) e RT (t),

a Tabela 5.14 deixa bem claro que modificacoes ligeiras nos testes de

vida podem gerar dificuldades na obtencao de estimadores deste tipo

para esse par de parametros.

Tabela 5.14: Estimadores UMVUE de E(T ) e RT (t) — dados censurados

Censura Estimador UMVUE de

E(T ) RT (t)

1./2. Tipo II com/sem reposicao T / r RT (t) =

(1− T −1t

)r−1, t < T

0, t ≥ T3. Tipo I com reposicao Nao existe RT (t) =

(1− T −1t

)R, t < T , R > 0

4. Tipo I sem reposicao Em aberto Em aberto

Por outro lado, a Tabela 5.15 resume as estatısticas que, isolada

ou conjuntamente, sao suficientes para o modelo/ parametro na

presenca de censura.

Por fim adiante-se expressoes para os intervalos de confianca

equilibrados a (1− α)× 100% para λ, IC(1−α)×100%(λ), para alguns

143

Tabela 5.15: Estatısticas suficientes para λ — dados censurados

Censura Estatıstica suficiente

1./2. Tipo II com/sem reposicao T3. Tipo I com reposicao R

4. Tipo I sem reposicao (T , R)

tipos de teste de vida. Para tal considere-se que o valor observado

do tempo total acumulado em teste e representado por t.

Tabela 5.16: Intervalos de confianca para λ — dados censurados

Censura IC(1−α)×100%(λ)

1./2. Tipo II com/sem reposicao

F−1

χ2(2r)

(α/2)

2 t;F−1

χ2(2r)

(1−α/2)

2 t

3. Tipo I com reposicao

F−1

χ2(2r)

(α/2)

2 t;F−1

χ2(2r+2)

(1−α/2)

2 t

Assinale-se que o intervalo de confianca para λ na situacao 3. e

aproximado e depende de quantis respeitantes a duas distribuicoes do

qui-quadrado com numero de graus de liberdade distintos.

Estes resultados prendem-se com o facto de a v.a. fulcral para λ

depender naturalmente do tipo de teste de vida.

Por exemplo, e suposto lidar com a v.a. fulcral da Tabela 5.17,

onde a expressao do estimador de MV (tempo total em teste), Λ (T ),

depende do teste de vida efectuado com censura do Tipo II.

Ao lidar-se com censura do Tipo I com reposicao vemo-nos

144

Tabela 5.17: V.a. fulcrais para λ — dados censurados

Censura V.a. fulcral para λ

1./2. II com/sem reposicao 2rλΛ

= 2λT ∼ χ2(2r)

confrontados com uma estatıstica suficiente com distribuicao discreta

R ∼ Poisson(nλ t0), (5.22)

cuja f.d. esta relacionada do seguinte modo com a f.d. de uma v.a. do

qui-quadrado:

P (R ≤ r) = FPoisson(nt0λ)(r)

= 1− Fχ2(2(r+1))

(2nt0λ) (5.23)

para qualquer inteiro positivo r, donde

P (R ≥ r) = 1− P (R ≤ r − 1)

= 1− FPoisson(nt0λ)(r − 1)

= Fχ2(2r)

(2nt0λ). (5.24)

A natureza discreta de R nao permite a obtencao de um intervalo com

grau de confianca exactamente igual a (1 − α) × 100%, a menos que

se escolha em primeiro lugar um par de quantis de probabilidade da

distribuicao de R, rL e rU , e se averigue depois qual o grau de confianca

do intervalo, i.e., se calcule a probabilidade P (rL ≤ R ≤ rU).

De referir tambem que se pode tirar partido do facto de E(T ) = λ−1

ser uma funcao monotona decrescente de λ para obter intervalos de

confianca (exactos ou aproximados) a partir daqueles que constam da

Tabela 5.16.

145

Exercıcio 5.28 — Deduza IC(1−α)×100%(λ) para um teste de vida

com censura do Tipo I com reposicao (Bain (1978, pp. 156–7). •

Exercıcio 5.29 — Num estudo foram registadas 50 falhas no ano

de 1972 (8760 horas) num total de 5613 componentes utilizadas em

reactores nucleares (Martz e Waller (1982, p. 123)).

Determine estimativas pontuais e intervalos de confianca

equilibrados a 95% para: λ; a fiabilidade para um perıodo de 1 ano,

i.e., RT (8760); e F−1T (0.80). •


pp. 167–171); Martz e Waller (1982, pp. 120–123).

5.4.4 Escolha da fraccao a censurar e minimizacao de custos

de amostragem

Suponha-se que se esta a efectuar um teste de vida em que e

conveniente da-lo por concluıdo apos a ocorrencia de r falhas, i.e., o

teste esta associado a censura do Tipo II (ja agora) sem reposicao.

Para alem disso, assuma-se que se pretende seleccionar o numero

de unidades a colocar em teste, n, por forma a verificar-se uma

reducao especıfica na duracao esperada do mesmo ou de modo

a que o custo esperado do teste seja minimizado.

E sobre estes dois problemas de optimizacao que nos debrucaremos

ja de seguida.

E sabido que o valor esperado do duracao do teste com este tipo

de censura e igual a E(Tr:n) =∑ri=1

1(n−i+1)λ . Por forma a eliminar

a dependencia de E(Tr:n) do parametro desconhecido λ e costume

considerar o quociente entre a duracao esperada do teste com censura

146

do Tipo II sem reposicao e o que se esperaria se n = r (Bain (1978,

p. 139) e Martz e Waller (1982, p. 121))

E(Tr:n)

E(Tr:r)=

∑ri=1

1n−i+1∑r

i=11

r−i+1. (5.25)

Alternativamente, pode considerar-se a reducao relativa percentual na

duracao esperada do teste, tendo como referencia a duracao esperada

do teste com censura do Tipo II sem reposicao quando n = r:1− E(Tr:n)

E(Tr:r)

× 100% =

1−∑ri=1

1n−i+1∑r

i=11

r−i+1

× 100%. (5.26)

Exercıcio 5.30 — Apure a reducao esperada se dispusse de 20 itens

e decidisse terminar o teste ao fim de 8 falhas (Martz e Waller (1982,

p. 121)). Construa uma tabela com os valores do quociente acima

para r = 10, 20, 30, 50, 100 e n/r = 1.1, 1.2, 1.3, 1.5, 2, 3 (Bain (1978,

p. 139)). •

O custo associado a um teste de vida com censura do Tipo II

sem reposicao — envolvendo n unidades e conclusao a ocorrencia da

r−esima falha — e dado pela equacao

C(n, r) = c1 × Tr:n + c2 × n+ c3. (5.27)

A constante c1 representa o custo por unidade de tempo em teste.

Por seu lado c2 podera representar o custo por cada unidade em teste

Por ultimo c3 representa o custo fixo de cada teste (por exemplo, o

custo incorrido por se usar equipamento de teste) independentemente

do numero de unidades em teste e da duracao do mesmo.

E possıvel determinar n a custa de r por forma a minimizar

E[C(n, r)]. O valor recomendado por Bain (1978, p. 141) e

n =

0.5 r + 0.5 r

(1 +

4c1

c2rλ

)1/2 . (5.28)

147

Ora pelo facto de se desconhecer λ e de V (Tr:n) = 1rλ2 deve considerar-

se que r foi escolhido por forma a que o estimador de λ possuısse

variancia v e deste modo substituir-se λ por (r × v)−1/2, obtendo-se

n =

0.5 r + 0.5 r

1 +4c1√r × vc2r

1/2 . (5.29)

Exercıcio 5.31 — Deduza a Equacao (5.28).

Sugestao: Deve aumentar-se n ate que D(n, r) = E[C(n − 1, r)] −E[C(n, r)] seja negativo, para r fixo. •

A laia de conclusao, refira-se que a estimacao no modelo Weibull e

substancialmente mais difıcil que no modelo exponencial pois aquele

nao goza da propriedade chave que este ultimo possui: a falta de

memoria. Para o efeito, remete-se o leitor para os seguintes textos

de apoio: Bain (1978, pp. 205–301); Gertsbakh (1989, pp. 155–179);

Kapur e Lamberson (1977, pp. 291–341).

Texto de apoio: Bain (1978, pp. 138–142).

148

Capıtulo 6

Estrategias de manutencao

6.1 Introducao

Em muitas situacoes, a falha de uma componente/estrutura durante

a sua fase de operacao acarreta custos elevados ou pode mesmo

ser perigosa, pelo que, se a componente/estrutura possuir taxa de

falha crescente, parece razoavel substituı-la antes que ela envelheca

demasiado. A substituicao e uma das muitas intervencoes que se

enquadra no domınio da manutencao.

Definicao informal 6.1 — Manutencao

Pode ser entendida como o conjunto de intervencoes num sistema

para que este se mantenha ou volte a encontrar-se num estado

especıfico de funcionamento. A manutencao subdivide-se em:

• manutencao preventiva (preventive maintenance) — efectuada

em intervalos e de acordo com procedimentos pre-determinados

por forma a reduzir, por ex., falhas por desgaste e a detectar e

reparar “hidden failures”(i.e., falhas em “partes redundantes”)1

1As “partes redundantes”, quando implementadas, permitem que a reparacao das mesmas sejaefectuada enquanto o sistema esta a operar e sem que seja necessaria a interrupcao da operacaodo mesmo.

149

de modo a aumentar a vida util do sistema;

• manutencao correctiva (corrective maintenance ou repair)

— desencadeada apos a deteccao de falha e com o objectivo

de o sistema voltar a desempenhar as funcoes requeridas e

compreende pelo menos um dos seguintes passos: localizacao,

isolamento, desmontagem, substituicao, montagem, alinhamento

e verificacao. •

As seccoes que se seguem debrucam-se, por exemplo, sobre a

utilidade e o impacto de algumas nocoes de envelhecimento no

contexto da manutencao nomeadamente no estabelecimento de limites

para:

• probabilidades de eventos que dizem respeito ao numero de falhas

de equipamento num intervalo de tempo fixo;

• a funcao de renovamento;

• funcoes convexas crescentes do referido numero de falhas.

Textos de apoio: Birolini (1999, p. 114 e pp. 117–122); Barlow e

Proschan (1965/96, pp. 46–48).

150

6.2 Sobre o impacto das nocoes de

envelhecimento em manutencao

Ha famılias de distribuicoes que, pelas suas caracterısticas de

envelhecimento estocastico, sao particularmente uteis em manutencao.

Sao disso exemplo as distribuicoes NBU (NWU) e NBUE (NWUE) ja

definidas no Capıtulo 3.

Estas quatro famılias surgem por sinal no contexto de modelos de

choques (Barlow e Proschan (1975, p. 91–92)), descritos no exemplo

seguinte (Barlow e Proschan (1975, p. 160)).

Exemplo 6.2 — Dispositivo sujeito a choques

Considere-se que um dispositivo e sujeito a choques ao longo do tempo

de acordo com um processo de Poisson de taxa λ. Importa notar que o

dispositivo podera ou nao vir a sobreviver a ocorrencia de um choque.

Com efeito, considere-se que P k representa a probabilidade de um

dispositivo sobreviver a ocorrencia do k−esimo choque (k ∈ IN0). Esta

probabilidade pode ser entendida como RX(k) = P (X ≥ k),2 a funcao

de fiabilidade da v.a. discreta X, que representa o numero de choques

ocorridos ate que o dispositivo falhe definitivamente.3 E, como seria

de esperar, estas probabilidades sao decrescentes:

1 = RX(0) ≥ RX(1) ≥ . . . (6.1)

Neste caso, a funcao de fiabilidade da duracao T do dispositivo e

2Barlow e Proschan (1975, p. 160) preferem representar a funcao de fiabilidade de X por P k,k = 0, 1, . . ..

3Recorde-se que Barlow e Proschan (1975) definem do mesmo modo a funcao de fiabilidade deuma v.a. discreta. Veja-se tambem a Definicao 3.35. Recorde-se tambem que o denominador dafuncao taxa de falha de uma v.a. discreta e exactamente RY (k) = P (Y ≥ k).

151

dada por:

RT (t) =+∞∑k=0

RX(k) e−λt(λt)k

k!, t ≥ 0. (6.2)

•

Importa notar que a duracao de um dispositivo sujeito a choques

preserva, em certos casos, o caracter de envelhecimento estocastico do

numero de choques ocorridos ate a falha definitiva do dispositivo como

se pode constatar no teorema seguinte.

Teorema 6.3 — Preservacao do caracter de envelhecimento

estocastico por dispositivo sujeito a choques

Sejam T a duracao de um dispositivo sujeito a choques e X o numero

de choques ocorridos ate a falha definitiva do mesmo. Entao

X ∈ NBU (NWU)⇒ T ∈ NBU (NWU). (6.3)

Para alem disso,

X ∈ NBUE (NWUE)⇒ T ∈ NBUE (NWUE). (6.4)

•

Uma vez enunciado este teorema convinha adiantar ao menos uma

interpretacao de um dos seus resultados:

• caso a probabilidade do dispositivo sobreviver a ocorrencia de k

choques adicionais dado que ja sobreviveu a l choques (RX(k +

l)/RX(l)) for menor que a probabilidade de sobreviver a k choques

(RX(k)), i.e., X ∈ NBU entao a vida residual do dispositivo em

qualquer instante t e estocasticamente menor no sentido usual

que a vida do dispositivo (RTt(x) ≤ RT (x),−∞ < x < ∞), pelo

que e razoavel efectuar substituicoes preventivas do dispositivo.

Texto de apoio: Barlow e Proschan (1975, pp. 159–161).

152

6.3 Teoria do renovamento e manutencao

A teoria do renovamento quando conjugada com algumas nocoes

de envelhecimento estocastico revela-se particularmente util em

manutencao como se tera ocasiao de ver ja de seguida.

Comece-se por recordar (informalmente) a nocao de processo de

renovamento e ja agora alguns dos seus resultados basicos.

Um processo de renovamento e, grosso modo, uma sequencia de

v.a. nao negativas {X1, X2, . . .}, i.i.d. a v.a.X com f.d.F . Estas

v.a. representam os tempos entre ocorrencias consecutivas, sejam

elas eventos, falhas, etc. Mais, e costume representar o numero de

renovamentos/eventos/falhas no intervalo [0, t], t ≥ 0, por N(t), e a

coleccao de v.a. {N(t), t ≥ 0} e um processo de contagem.

Ao denotar por Sn =∑ni=1Xi o tempo ate a ocorrencia do n−esimo

renovamento, pode adiantar-se que N(t) ≥ n⇔ Sn ≤ t, pelo que:

P [N(t) ≥ n] = P (Sn ≤ t)

= F (n)(t) (6.5)

P [N(t) = n] = F (n)(t)− F (n+1)(t), (6.6)

onde F (n)(t) representa a convolucao de ordem n da distribuicao sobre

si propria.

A tıtulo de exemplo, caso X ∼ exponencial(λ), {N(t), t ≥ 0} diz-

se um processo de Poisson de taxa λ e N(t) ∼ Poisson(λt). Note-se

tambem que Sn ∼ gama(λ, n), pelo que

P [N(t) ≥ n] = P (Sn ≤ t)

= F (n)(t)

= 1− FPoisson(λt)(n− 1). (6.7)

153

6.3.1 Limites para a convolucao

Dado que a convolucao F (n)(t) so se pode obter por via numerica, salvo

em rarıssimas excepcoes como aquela acabada de ver, e fundamental

adiantar limites para probabilidades de eventos que digam respeito ao

numero de falhas N(t) e para o fazer sera necessario saber de antemao

o comportamento monotono da funcao taxa de falha de X como se

podera ver no teorema seguinte.

Teorema 6.4 — Limite superior para a convolucao de v.a.

IHR

Considere que o tempo entre ocorrencias sucessivas sao v.a. i.i.d. com

funcao taxa de falha crescente (X ∈ IHR) e valor esperado E(X) = µ.

Entao, tirando partido do facto de

X ∈ IHR⇒ RX(t) ≥ e−t/µ, 0 ≤ t < µ, (6.8)

conclui-se que, para n ∈ IN0,

P [N(t) ≥ n] ≤∞∑j=n

e−t/µ(t/µ)j

j!

= RPoisson(t/µ)(n), 0 ≤ t < µ. (6.9)

•

O Teorema 6.4 prova-se sem grande dificuldade a partir do resultado

(6.8) uma vez que este permite-nos concluir que um tempo entre

renovamentos IHR e estocasticamente maior (no sentido usual) que o

tempo entre ocorrencias de um processo de Poisson, donde se conclui

que o numero de renovamentos no intervalo [0, t] e estocasticamente

menor (tambem no sentido usual) que o numero de ocorrencias do

processo de Poisson no referido intervalo.

154

Este teorema permite ainda afirmar que, caso os tempos entre falhas

sucessivas das componentes sejam i.i.d., com valor esperado µ e taxa

de falha crescente, a funcao de fiabilidade da v.a. de Poisson(t/µ)

sobrestima a verdadeira probabilidade de ocorrerem pelo menos n

falhas no intervalo [0, t], desde que t seja inferior a duracao esperada

das componentes.

Importa notar que o limite (6.9) nao e valido para alguns tempos

entre falhas NBU , nem para t ≥ µ. Posto isto, e crucial estabelecer

limites para P [N(t) ≥ n] nestas situacoes.

Teorema 6.5 — Limites para a convolucao de v.a. NBU

(NWU) e IHR (DHR)

Seja X uma v.a. contınua com f.d.F (t) tal que F (0) = 0 e funcao

de fiabilidade R(t) = 1 − F (t). Considere-se ainda a funcao G(t) =

− ln[R(t)].

Se X ∈ NBU (NWU) entao, para n ∈ IN ,

P [N(t) ≥ n] ≤ (≥)∞∑j=n

e−G(t) [G(t)]j

j!

= RPoisson(G(t))(n), t ≥ 0. (6.10)

Pode tambem afirmar-se que, caso X ∈ IHR (DHR), se tem, para

n ∈ IN ,

P [N(t) ≥ n] ≥ (≤)∞∑j=n

e−nG(t/n) [nG(t/n)]j

j!

= RPoisson(nG(t/n))(n), t ≥ 0. (6.11)

•

155

Nota 6.6 — Limite superior para a convolucao de v.a. IHR

Se tirarmos partido novamente do resultado (6.8) da desigualdade

(6.10) e do facto de X ∈ IHR⇒ X ∈ NBU , rapidamente concluimos

que

∞∑j=n

e−G(t) [G(t)]j

j!≤ RPoisson(t/µ)(n), 0 ≤ t < µ. (6.12)

Assim, o limite superior em (6.10) vem melhorar o limite superior

estabelecido em (6.9). •

Exercıcio 6.7 — Utilize o Teorema 6.5 para obter limites para

P [N(t) ≤ n] e P [N(t) ≥ n] onde N(t) e o numero de falhas em [0, t]

associado ao tempos com distribuicao Weibull(λ−1, α), onde λ > 0 e

α > 1.

Escusado sera dizer que estes limites sao bastante convenientes ja

que se desconhece uma formula fechada para a f.d. da soma de v.a. de

Weibull. •

Exemplo 6.8 — Limite superior para a convolucao de v.a.

IHR e obtencao do numero de pecas sobressalentes (Barlow e

Proschan (1975, pp. 164–166)

Os pneus de uma aeronave tem maior tendencia a falhar quando esta

levanta voo ou durante a aterragem que em qualquer outra altura.

Assim sendo, e razoavel que a f.f. do tempo entre falhas consecutivas

de um pneu seja uma funcao em escada com pontos de descontinuidade

que distam de h unidades de tempo, onde h representa o tempo entre

(inıcios de) voos X. Uma possibilidade seria

RX(t) = e−αbt/hc, t ≥ 0, (6.13)

onde α > 0 e bt/hc representa a parte inteira do quociente t/h. Por

sinal a v.a. assim definida e NBU (embora nao seja nem IHR, nem

156

IHRA) o que e, alias, razoavel dado que um pneu novo e seguramente

preferıvel a um pneu usado.

Tendo em conta o caracter de envelhecimento estocastico de X e

o Teorema 6.5, pode concluir-se que a probabilidade de o numero de

falhas do pneu i nao exceder n, no intervalo [0, t], satisfaz

P [Ni(t) ≤ n] ≥n∑j=0

e−bt/hc(bt/hc)j

j!

= FPoisson(bt/hc)(n), t ≥ 0. (6.14)

Admita-se agora que a duracao dos voos e de h = 2 horas, que os 8

pneus da aeronave funcionam de modo independente e que qualquer

deles possui f.f.

RX(t) = e−0.002bt/2c, t ≥ 0, (6.15)

associada a um tempo esperado entre falhas igual a

E(X) =∫ +∞

0RX(t)dt =

2

1− e−0.002 . (6.16)

A questao que se coloca agora e a seguinte:

• quantos pneus sobressalentes deve dispor-se de forma a assegurar

que a probabilidade de nao haver falhas de pneus durante um

perıodo de operacao de t = 200 horas seja maior ou igual a 0.95?

Ora, se se considerar que Ni(200) representa o numero de falhas do

pneu i no intervalo [0, 200], para i = 1, . . . , 8, e que

Mi(200) ∼iid Poisson(0.002× b200/2c = 0.2), i = 1, . . . , 8, (6.17)

(6.14) pode reescrever-se do seguinte modo, para i = 1, . . . , 8:

P [Ni(200) ≥ n] ≤ RPoisson(0.2)(n), n ∈ IN0, (6.18)

ou, equivalentemente, Ni(200) ≤st Mi(200).

157

Invocando agora o facto de a relacao de ordem estocastica ≤st ser

fechada para somas de um numero fixo de parcelas, o numero total de

falhas dos 8 pneus num perıodo de operacao de 200 horas, N(200) =∑8i=1Ni(200), satisfaz

N(200) ≤st8∑i=1

Mi(200) =st Poisson(8× 0.2 = 1.6), (6.19)

ou seja,

P [N(200) ≤ n] ≥ FPoisson(1.6)(n), n ∈ IN0. (6.20)

Por fim, ao consultar-se as tabelas da f.d. da Poisson, pode afirmar-

se que, para n = 4, se tem FPoisson(1.6)(4) = 0.970 ≥ 0.95. Assim, 4

pneus sobressalentes sao suficientes para assegurar que a probabilidade

de nao haver falhas de pneus durante 200 horas de operacao seja maior

ou igual a 0.95. •

Exercıcio 6.9 — Um sistema em serie possui tres componentes (1, 2

e 3), cujas duracoes distribuem-se exponencialmente com taxas λ1 =

0.001, λ2 = 0.002 e λ3 = 0.0015. Para alem disso, numa missao

em que se utiliza este sistema, requere-se que a primeira, a segunda

e a terceira componentes operem durante 3000, 5000 e 1000 horas,

respectivamente.

Determine o numero de componentes sobressalentes dos tipos 1, 2

e 3 de modo a garantir que estas componentes sejam suficientes com

probabilidade nao inferior a 0.95 para a missao em questao (Barlow e

Proschan (1975, p. 176)). •


158

6.3.2 Limites para a funcao de renovamento

E altura de adiantar limites para a funcao de renovamento.

Comece-se por notar que

M(t) = E[N(t)] =∞∑n=1

P [N(t) ≥ n] =∞∑n=1

F (n)(t) (6.21)

e recordar que, de acordo com o Teorema Elementar do Renovamento,

limt→+∞

M(t)

t=

1

µ, (6.22)

onde µ representa o valor esperado do tempo entre renovamentos.

Relembre-se tambem que, caso a v.a.X nao seja periodica4 e possua

valor esperado µ, entao

limt→+∞

[M(t+ h)−M(t)] =h

µ, (6.23)

segundo o Teorema de Blackwell.

Por fim, recorde-se que A(t) = t − SN(t) e Y (t) = SN(t)+1 − t

representam, respectivamente, a idade e a vida residual de um processo

de renovamento, no instante t.

Estamos pois em condicoes de tirar partido de algumas nocoes de

envelhecimento estocastico para estabelecer limites para a funcao de

renovamento.

4A v.a. diz-se periodica se existir uma constante positiva h tal que P (X = nh, n ∈ IN0) = 1.

159

Lema 6.10 — Limite superior para a f.f. da vida residual no

instante t

Considere-se processo de renovamento {X1, X2, . . .}, onde Xi ∼iid Xe X uma v.a. com f.f.RX(t). Entao

X ∈ NBU (NWU)⇒ P [Y (t) > u] ≤ (≥)RX(u), u ≥ 0. (6.24)

Ou por outra, a vida residual, em qualquer instante t, e

estocasticamente menor (resp. maior) no sentido usual que o tempo

entre renovamentos, caso esta v.a. seja NBU (resp. NWU). •

O teorema que se segue permite concluir que a funcao de

renovamento e superaditiva (subaditiva) ao lidar-se com tempos entre

renovamentos NBU (resp. NWU).5

Teorema 6.11 — Superaditividade (subaditividade) da

funcao de renovamento

Considerem-se tempos entre renovamentos Xi ∼iid X. Entao

X ∈ NBU (NWU)⇒M(h) ≤ (≥)M(t+ h)−M(t). (6.25)

•

O proximo teorema estabelece limites para a funcao de

renovamento, limites estes particularmente uteis ja que a semelhanca

da convolucao e de difıcil calculo.

Teorema 6.12 — Limites para a funcao de renovamento

Considerem-se tempos entre renovamentos Xi ∼iid X. Entao

E(X) = µ < +∞ ⇒ M(t) ≥ t

µ− 1, t ≥ 0; (6.26)

X ∈ NBUE (NWUE) ⇒ M(t) ≤ (≥)t

µ, t ≥ 0. (6.27)

•5A funcao f(x) diz-se superaditiva (resp. subaditiva) se f(x+ y) ≥ (≤)f(x) + f(y).

160

Ao conjugar-se os dois resultados do Teorema 6.12 pode enquadrar-

se a funcao de renovamento sob certas condicoes. Com efeito, para

t ≥ 0,

X ∈ NBUE, E(X) = µ < +∞⇒ t

µ− 1 ≤M(t) ≤ t

µ, (6.28)

pelo que, neste caso, podemos adiantar a estimativa (t/µ− 1/2) para

a funcao de renovamento, bem como afirmar que o erro associado a

esta estimativa nao excede 1/2 (uniformemente).

Teorema 6.13 — Outros limites para a funcao de

renovamento

Suponha que os tempos entre renovamentos possuem f.d.FX(x) e f.f.

RX(x). Entao

X ∈ IHR ⇒ t∫ t0 RX(x)dx

− 1 ≤M(t) ≤ tFX(t)∫ t0 RX(x)dx

. (6.29)

•

Exercıcio 6.14 — Estime o numero esperado de renovamentos no

intervalo [0, 1000] num processo de renovamento associado a f.d.p.

fX(x) = 0.012xe−0.01x, x ≥ 0 e determine o erro maximo da estimativa

que obteve (Barlow e Proschan (1975, p. 176)). •


6.3.3 Limites para algumas funcoes do numero de

renovamentos

Em determinadas situacoes lidamos nao com o numero de

renovamentos mas sim com suas funcoes. Caso estas funcoes sejam

convexas crescentes pode adiantar-se um limite superior para processos

de renovamento com tempos entre ocorrencias NBUE.

161

Teorema 6.15 — Limites para funcoes convexas crescentes do

numero de renovamentos

Considere-se um processo de renovamento tal que Xi ∼iid X ∈ NBUEe E(X) = µ = 1/λ. Tome-se tambem uma funcao c(n) convexa

crescente tal que c(0) = 0. 6 Entao

∞∑n=0

c(n)× P [N(t) = n] ≤∞∑n=0

c(n)× e−λt (λt)n

n!, t ≥ 0, (6.30)

ou seja,

E{c[N(t)]} ≤ E{c[NPoisson(t)]}, t ≥ 0, (6.31)

onde NPoisson(t) representa o numero de eventos, no intervalo [0, t],

para um processo de Poisson de taxa λ. •

Este resultado revela-se util nomeadamente para resolver o

problema de minimizacao descrito no exemplo seguinte.

Exemplo 6.16 — Limites para uma funcao convexa crescente

do numero de renovamentos

Suponha que pretende determinar o numero de pecas sobressalentes

N de modo a que o valor esperado do numero de pecas sobressalentes

necessarias nao exceda determina valor considerado crıtico N ∗

(minimizing expected shortage).

Para ja refira-se que esta v.a. e definida por

c[N(t)] =

0, N(t) ≤ N

N(t)−N, N(t) > N.(6.32)

Posto isto, caso a duracao das pecas seja NBUE e possua valor

esperado igual a µ = 1/λ, segue-se pelo Teorema 6.15:

∞∑n=N

(n−N)× P [N(t) = n] ≤∞∑n=N

(n−N)× e−λt (λt)n

n!, (6.33)

6Esta igualdade pode ler-se do seguinte modo: a ausencia de falhas nao acarreta custos.

162

para t ≥ 0. Por ultimo, tendo em conta que

∞∑n=N

(n−N)× e−λt (λt)n

n!= λt× [1− FPoisson(λt)(N − 2)]

− N × [1− FPoisson(λt)(N − 1)], (6.34)

a obtencao da solucao de

N : c[N(t)] ≤ N ∗ (6.35)

passa por determinar o menor dos valores de N tal que

λt×[1−FPoisson(λt)(N−2)]−N×[1−FPoisson(λt)(N−1)] ≤ N ∗,(6.36)

valor este que se obtem sem grande dificuldade apos algumas consultas

das tabelas da f.d. da distribuicao de Poisson. •

Sob certas condicoes e tambem possıvel estabelecer um limite

superior (resp. inferior) para uma outra funcao do numero de

renovamentos que, embora convexa, nao e crescente: a sua variancia.

Teorema 6.17 — Limites para a variancia do numero de

renovamentos

Considere-se um processo de renovamento com tempos entre

ocorrencias Xi ∼iid X. Entao

X ∈ NBU (NWU)⇒ V [N(t)] ≤ (≥)M(t). (6.37)

•


163

6.4 Algumas estrategias de manutencao

Barlow e Proschan (1965/1996) abordam as estrategias de

manutencao de um modo que nos parece mais completo que Birolini

(1999), fazem uso da teoria de renovamento e concentram-se nas

seguintes polıticas de substituicao

• age replacement

• block replacement

• random age replacement.

Um dos primeiros tratamentos sobre polıticas de substituicao deve-

se a Lotka (1939).

Por seu lado, Campbell (1941) comparou as vantagens da

substituicao de um grupo de lampadas de candeeiros de rua aquando

da falha de uma delas com as vantagens da substituicao individual de

lampadas a medida que as falhas vao ocorrendo.7

Definicao informal 6.18 — Age replacement

De acordo com esta polıtica a componente i e substituıda

imediatamente aquando de uma falha (failure replacement ou

substituicao devido a falha) ou substituıda caso atinja a

idade (nao aleatoria) Z (planned replacement ou substituicoes

planeadas/programadas).

Refira-se tambem que de acordo com esta polıtica ao ocorrer

uma substituicao planea-se imediatamente uma substituicao daı a Z

7E claro que o custo por lampada associado a substituicao do grupo de lampadas e inferior aqueleassociado a substituicao individual somente aquando da ocorrencia de uma falha de uma lampada.Contudo o custo das lampadas adicionais requeridas na manutencao preventiva deve equilibrar-secom o custo das falhas adicionais que venham a ocorrer caso a substituicao das restantes lampadas(ainda em funcionamento) seja adiada.

164

unidades de tempo ou antes disso caso a componente nao chegue a

atingir a idade Z. •

Exercıcio 6.19 — A unica componente relevante de um dispositivo

mecanico esta sujeita a polıtica de manutencao do tipo age

replacement, com substituicoes planeadas ao fim de 2 horas.

Admita que se sabe de antemao que as duracoes (em horas) da

componente e suas 5 substitutas e de 1.5h, 1.2h, 2.1h, 4.5h, 1.8h e

2.4h, respectivamente. Quantas substituicoes ocorrerao no intervalo

[0, 8] e em que instantes? •

Exercıcio 6.20 — Admita que a componente (resp. estrutura com n

componentes) possui duracao de vida com funcao de fiabilidade R(t)

(resp. RT (t)).

(a) Prove que a probabilidade da componente nao falhar durante o

servico no intervalo [0, t] e, para a polıtica do tipo age replacement

com substituicoes planeadas ao fim de Z unidades de tempo, dada

pela expressao

SZ(t) = [R(Z)]k[R(t− kZ)], kZ ≤ t < (k + 1)Z. (6.38)

(b) Demonstre que a probabilidade da estrutura nao falhar durante

o servico no intervalo [0, t] e, nas condicoes acima, dada por

SZ,est(t) = [RT (Z)]k[RT (t− kZ)], kZ ≤ t < (k + 1)Z. (6.39)

(c) Obtenha expressoes para SZ,est(t) ao considerar estruturas em

paralelo e em serie. •

165

Proposicao 6.21 — Se T ∈ IHR entao

SZ1(t) ≥ SZ2

(t), t ≥ 0, Z1 ≤ Z2, (6.40)

ou seja, quanto mais frequentes forem as substituicoes, maior e o

tempo ate a ocorrencia de uma falha durante o servico, caso a durac ao

das componentes possua f.t.f. crescente. •

Proposicao 6.22 — Caso T ∈ IHR tem-se

SZ(t) ≥ F (t), t ≥ 0, (6.41)

i.e., a polıtica de age replacement aumenta a probabilidade de

sobrevivencia durante o intervalo [0, t] de uma componente quando

a respectiva duracao (T ) e IHR. •

Exercıcio 6.23 — Prove as duas proposicoes anteriores. •

Exercıcio 6.24 — Demonstre que o tempo esperado ate a primeira

ocorrencia de uma falha de uma componente durante o servico e igual

a

EZ =

∫Zo F (x)dx

F (Z). (6.42)

Obtenha uma expressao similar para EZ,est.8 •

Definicao informal 6.25 — Block replacement

Ao adoptar-se esta polıtica de substituicao ha substituicoes de

componentes nos instantes Z, 2Z, 3Z, . . . (planned replacement)

independentemente do historial de falhas da estrutura. Para alem

disso ocorrem substituicoes das componentes no instante das

respectivas falhas (failure replacement).9 •8Em Barlow e Proschan (1965/1996, p. 62) encontram-se limites para este valor esperado.9De acordo com Barlow e Proschan (1965/1996, p. 67) esta polıtica de subsituicao e

provavelmente mais pratica que as polıticas do tipo age replacement uma vez que nao requereo registo do uso das componentes.

166

A polıtica de substituicao do tipo block replacement e comum na

manutencao de computadores digitais e outros sistemas electronicos

complexos, apesar de requerer a substituicao de mais componentes

ainda em funcionamento que a polıtica do tipo age replacement.

Refira-se, no entanto, que caso a duracao das componente seja IHR o

numero de falhas ao utilizar-se uma polıtica do tipo block replacement

e menor que ao recorrer-se a uma polıtica do tipo age replacement.

Exercıcio 6.26 — Repita o Exercıcio 6.19 considerando agora que a

polıtica de substituicao e do tipo block replacement. •

Textos de apoio: Barlow e Proschan (1965/96, pp. 48–61); Barlow

e Proschan (1975, pp. 159–161).

167

6.5 Comparacao de estrategias de manutencao

Barlow e Proschan (1965/1996) debrucam-se tambem sobre algumas

caracterısticas primarias de algumas estrategias de manutencao

tambem denominadas de polıticas de substituicao (replacement

policies). A saber:

• a distribuicao do numero de falhas;

• a distribuicao do numero total de substituicoes.

E com base nas caracterısticas primarias que e costume comparar

as duas polıticas de substituicao ja descritas, age replacement block

replacement.

Mas antes de enunciar quaisquer resultados convinha relembrar que:

• a v.a. X diz-se estocasticamente menor que Y (no sentido usual)

— escrevendo-se neste caso X ≤st Y — sse

RX(x) ≤ RY (x), −∞ < x < +∞; (6.43)

• a v.a. Xθ cresce estocasticamente com o parametro θ (no sentido

usual) no conjunto Θ — escrevendo-se neste caso Xθ ↑st com θ

— sse

P (Xθ1 ≥ x) ≤ P (Xθ2 ≥ x), −∞ < x < +∞, (6.44)

para quaisquer θ1, θ2 ∈ Θ que verifiquem θ1 ≤ θ2.

Note-se tambem que doravante:

• N(t) representa o numero de renovamentos/falhas no intervalo

[0, t] de um processo de renovamento;

168

• NA(t, Z) (resp. RA(t, Z)) representa o numero de falhas (resp.

substituicoes planeadas ou devidas a falha) no intervalo [0, t] ao

adoptar-se uma polıtica de manutencao do tipo age replacement

com substituicoes planeadas ao fim de Z unidades de tempo;

• NB(t, Z) (resp. RB(t, Z)) representa o numero de falhas (resp.

substituicoes planeadas ou devidas a falha) no intervalo [0, t] ao

adoptar-se uma polıtica de manutencao do tipo block replacement

com substituicoes planeadas de Z em Z unidades de tempo.

E curioso notar que N(t) coincide com o numero de substituicoes,

caso se efectue somente manutencao correctiva, i.e., substituicoes de

uma componente somente aquando da respectiva falha.

O teorema seguinte permitira afirmar que a classe de distribuicoes

NBU e a maior das classes para a qual a adopcao das polıticas de

manutencao dos tipo age e block replacement resulta numa diminuicao

estocastica (em sentido usual) do numero de falhas no intervalo [0, t],

t ≥ 0. Posto isto parece natural estudar estas duas polıticas de

manutencao para a classe das distribuicoes NBU.

Teorema 6.27 — Age e block replacement e a diminuicao

estocastica do numero de falhas

Considere-se que X representa a duracao das componentes. Entao:

• NA(t, Z) ≤st N(t), t, Z ≥ 0⇔ X ∈ NBU ;

• NB(t, Z) ≤st N(t), t, Z ≥ 0⇔ X ∈ NBU . •

E altura de averiguar qual o impacto de uma alteracao do intervalo

Z das polıticas de manutencao dos tipos age e block replacement no

numero de falhas no intervalo [0, t].

169

Teorema 6.28 — Impacto da alteracao do intervalo Z nas

polıticas age e block replacement

Considere-se mais uma vez que X representa a duracao das

componentes. Entao:

• NA(t, Z) ↑st com Z (Z ≥ 0), para t ≥ 0 fixo⇔ X ∈ IHR;

• NA(t, Z) ≤st NB(t, kZ), t, Z ≥ 0, k = 1, 2, . . .⇔ X ∈ NBU ;

• NB(t, Z) ≤st NB(t, kZ), t, Z ≥ 0, k = 1, 2, . . .⇔ X ∈ NBU . •

Por exemplo, pode concluir-se que, ao lidar com duracoes IHR e

com uma polıtica de manutencao do tipo age replacement, o numero de

falhas no intervalo [0, t] aumenta estocasticamente (no sentido usual),

caso se aumente o intervalo Z, i.e., se espace as substituicoes planeadas

nesta polıtica de manutencao.

E igualmente util confrontar o numero de substituicoes planeadas

ou devidas a falha das polıticas de manutencao.

Teorema 6.29 — Confronto entre as polıticas age e block

replacement

Seja X a v.a. que representa a duracao das componentes. Entao, para

todo t, Z > 0:

• X ∈ IHR⇒ NA(t, Z) ≥st NB(t, Z);

• RA(t, Z) ≤st RB(t, Z); •

O primeiro resultado do Teorema 6.29 pode ser interpretado do

seguinte modo: caso as duracoes das componentes seja IHR, a polıtica

de manutencao block replacement conduz a um menor numero de falhas

no intervalo [0, t] que a polıtica de manutencao age replacement.

170

O segundo dos resultados leva a afirmar que a polıtica de

manutencao block replacement conduz a um maior numero de

substituicoes planeadas ou devidas a falha que a polıtica de

manutencao age replacement, independentemente da distribuicao das

duracoes das componentes.

Teorema 6.30 — Diminuicao (resp. aumento) estocastica(o)

do numero de falhas

Caso a duracao das componentes seja IHR (resp. DHR), tem-se

• N(t) ≥st NA(t, Z) ≥st NB(t, Z)

(resp. N(t) ≤st NA(t, Z) ≤st NB(t, Z)). •

Para mais detalhes sobre o confronto destas polıticas de

substituicao, consulte-se Barlow e Proschan (1965/1996, pp. 67-74) ou

Shaked e Shanthikumar (1994, Cap. 15).

Textos de apoio: Barlow e Proschan (1965/1996, pp. 67–74);

Barlow e Proschan (1975, pp. 178–182); Shaked e Shanthikumar (1994,

pp. 461–483).

171

6.6 A polıtica de manutencao random age

replacement

Nem sempre e pratico substituir componentes numa base periodica.

Basta pensar, por exemplo, num mecanismo com um ciclo de operacao

variavel que nao permite ou que torna extraordinariamente difıcil

qualquer tipo de substituicao durante o referido ciclo.

A polıtica de manutencao, descrita ja a seguir, revela-se

particularmente util nestes casos e acaba por ter associados pelo menos

tres processos de renovamento.

Definicao informal 6.31 — Random age replacement

Ao assumir-se que as componentes so sao substituıdas quando falham,

a coleccao dos tempos entre substituicoes {X1, X2, . . .}, onde Xi ∼iidX, constitui um processo de renovamento.

A seguir defina-se um outro processo de renovamento {Z1, Z2, . . .},onde Zi ∼iid Z. Este processo define os tempos entre substituicoes

planeadas que nao tem em conta as falhas das componentes.

Por fim defina-se um terceiro processo de renovamento {U1, U2, . . .},onde Ui = min{Xi, Zi} ∼iid U . Ora, {U1, U2, . . .} e a coleccao dos

intervalos entre substituicoes quer planeadas, quer devidas a falha. •

Nota 6.32 — Random age replacement

Esta polıtica de manutencao corresponde a uma polıtica do tipo age

replacement com substituicoes planeadas ao fim de um intervalo

Z aleatorio. •

Sejam RX(x), RZ(x) e RU(x) as f.f. das v.a.X,Z e Y . Entao

e sabido que RU(x) = RX(x) × RZ(x) e o tempo esperado entre

substituices dado por E(U) =∫∞0 RX(x)×RZ(x)dx.

172

Denote-se por NR(t, Z) (resp.RR(t, Z)) o numero de falhas (resp. de

substituicoes quer planeadas quer devidas a falha) no intervalo [0, t] ao

adoptar-se uma polıtica de manutencao do tipo random replacement

com substituicoes originalmente planeadas de Z em Z unidades de

tempo onde Z e uma v.a.

Ao recorrer-se ao Teorema Elementar do Renovamento pode ainda

adiantar-se que o numero esperado de substituicoes por unidade de

tempo e, a longo-prazo, dado por:

limt→+∞

RR(t, Z)

t=

1

E(U). (6.45)

E ao tirar-se partido das propriedades de envelhecimento estocastico

de U podem adiantar-se limites quer para a f.f. de RR(t, Z), quer para

a funcao de renovamento ou funcoes convexas desta v.a.

E possıvel associar esta polıtica de manutencao a um quarto

processo de renovamento de particular interesse para a obtencao de

limites para o numero esperado de falhas no intervalo [0, t]. A saber:

{V1, V2, . . .}, onde

Vi =

1, se Ui = Xi (substituicao i devida a falha)

0, c.c.(6.46)

Ora, Vi ∼iid Bernoulli(E(V )), onde

E(V ) = P (X ≤ Z) =∫ ∞

0FX(x)dFZ(x). (6.47)

173

Teorema 6.33 — Limites para o numero esperado de falhas

para a polıtica random age replacement

E possıvel enquadrar o numero esperado de falhas no intervalo [0, t]

ao recorrer-se a polıtica random age replacement (E[RR(t, Z)]) a custa

de E(V ) e do numero esperado de substituicoes nesse mesmo intervalo

(E[NR(t, Z)]):

E(V )× {E[RR(t, Z)] + 1} − 1

≤ E[NR(t, Z)] ≤E(V )× {E[RR(t, Z)] + 1}.

(6.48)

E, ao tirar partido do Teorema 6.13,10 tem-se

∫∞0 FX(x)dFZ(x)× t∫ t

0RU (x)dx

− 1

≤ E[NR(t, Z)] ≤∫∞0 FX(x)dFZ(x)×

[tFU (t)∫ t

0RU (x)dx

+ 1

].

(6.49)

•

Para uma descricao um pouco mais alargada desta polıtica de

substituicao ver Barlow e Proschan (1965/1996, pp. 72–74).


10E curioso notar que Barlow e Proschan (1965/96, p. 74) enunciam o resultado que se segue semexigir que a v.a. seja IHR.

174

6.7 Alguns resultados sobre disponibilidade

A manutencao de componentes/estruturas/equipamentos/sistemas

possui grande influencia na fiabilidade e disponibilidade (availability)

dos mesmos.

Nesta seccao serao enunciados alguns resultados que dizem respeito

a disponibilidade de componentes sujeitas a reparacao e dos sistemas

por elas constituıdos.

Definicao 6.34 — Disponibilidade no instante t e

disponibilidade a longo prazo

Seja X(t) uma v.a. binaria que toma o valor 1 caso a componente

esteja a operar no instante t. Entao a disponibilidade da componente

no instante t e representada por A(t) e igual a

A(t) = P [X(t) = 1] = E[X(t)]. (6.50)

Ao limite

A = limt→+∞

A(t) (6.51)

da-se o nome de disponibilidade a longo prazo (ou simplesmente

disponibilidade). •

Definicao 6.35 — Disponibilidade media no intervalo [0, T ] e

disponibilidade media a longo prazo

A disponibilidade media no intervalo [0, T ] e dada por

1

T

∫ T0A(t)dt (6.52)

e a disponibilidade media a longo prazo pelo seguinte limite

Aav = limT→+∞

1

T

∫ T0A(t)dt. (6.53)

•

175

Nota 6.36 — Disponibilidades

Importa referir que a disponilidade media no intervalo [0, T ]

corresponde a proporcao esperada de tempo em que o sistema esta

a operar nesse mesmo intervalo. Com efeito,

U(T ) =∫ T

0X(t)dt (6.54)

representa o tempo total em que sistema esta a operar no intervalo

[0, T ], pelo que

1

TE[U(T )] =

1

TE

[∫ T0X(t)dt

]

=1

T

∫ T0E[X(t)]dt

=1

T

∫ T0A(t)dt. (6.55)

Por fim mencione-se que, caso exista limt→+∞A(t) e seja igual a A,

entao Aav = A. Ou por outra, a disponibilidade media a longo prazo

e a disponibilidade a longo prazo coincidem. •

E altura de avancar com uma expressao para a disponibilidade a

longo prazo em termos dos perıodos de funcionamento e de reparacao.

Comece-se por considerar uma sequencia de vectores i.i.d.

{(Ti, Di), i = 1, 2, . . .}, onde Ti e Di representam os tempos de

operacao contınua (sistema ON) e de reparacao (sistema OFF),

respectivamente. De mencionar que, para i = 1, 2, . . ., Ti ∼iid T e

Di ∼iid D, no entanto, as v.a.Ti e Di podem depender uma da outra.

{(Ti, Di), i = 1, 2, . . .} e claramente um processo de renovamento

alternado e se se assumir que a v.a.T+D e nao periodica pode concluir-

se que

A = limt→+∞

A(t) =E(T )

E(T ) + E(D), (6.56)

176

bastando para isso invocar o Teorema-Chave do Renovamento.

A vantagem deste resultado e mais que obvia: a disponibilidade a

longo-prazo depende exclusivamente dos valores esperados dos tempos

de operacao e de reparacao e nunca das respectivas distribuicoes.

6.7.1 Disponibilidade de sistemas com componentes

independentes

Tal como aconteceu no capıtulo inicial comecamos por considerar

um sistema coerente cujas n componentes funcionam de forma

independente. Mais, quando ocorre falha da componente i esta vai

a reparar ao passo que as restantes continuam a operar.

Assim sendo, se a v.a.X(t) (resp.Xi(t)) tomar valor 1, caso o

sistema (resp. a componente i) estiver a operar no instante t, entao

X(t) = φ(X1(t), . . . , Xn(t)), (6.57)

onde φ representa, naturalmente, a funcao de estrutura do sistema.

Para alem disso, a disponibilidade do sistema no instante t e igual a

A(t) = E[X(t)]

= r(E[X1(t)], . . . , E[Xn(t)])

= r(A1(t), . . . , An(t)) (6.58)

onde, note-se, r denota a fiabilidade associada a funcao de estrutura

φ e Ai(t) representa a disponibilidade da componente i no instante t.

Resta calcular a disponibilidade do sistema a longo prazo. Para

tal, considere-se uma sequencia dupla de v.a. independentes {(Tij +

Dij), i, j = 1, 2, . . .}, onde Tij representa o j−esimo perıodo de

operacao contınua da componente i e Dij a duracao da j−esima

reparacao da componente i, respectivamente. Assuma-se tambem que:

177

para qualquer i fixo, se tem, para j = 1, 2, . . ., Tij ∼iid Ti e Dij ∼iid Di;

para i = 1, 2, . . ., µi = E(Ti) < ∞, νi = E(Di) < ∞ e Ti + Di e uma

v.a. nao periodica. Entao, ao ter em conta sucessivamente o facto

de a fiabilidade ser uma funcao multilinear nos seus argumentos e o

Teorema-Chave do Renovamento, a disponibilidade deste sistema de

com n componentes e, a longo prazo, igual a:

A = r(A1, . . . , An)

= r

(µ1

µ1 + ν1, . . . ,

µnµn + νn

), (6.59)

onde Ai representa a disponibilidade da componente i a longo prazo.

Exercıcio 6.37 — Um sistema e constituıdo por um computador

e dois geradores electricos colocados em paralelo. Assuma que as

duracoes das componentes e os perıodos de reparacao se comportam

como se descreveu ha pouco e possuem os valores esperados (em horas)

condensados na tabela seguinte.

Componente i µi = E(Ti) νi = E(Di)

1 1000 1

2 98 2

3 96 4

Determine a disponibilidade das tres componentes a longo-prazo,

bem como a disponibilidade do sistema a longo prazo (Barlow e

Proschan (1975, pp. 193–4)). •

6.7.2 Disponibilidade de sistemas em serie

Desta feita esta a lidar-se com um sistema ligeiramente diferente

daquele considerado na sub-seccao anterior.

178

• Para ja assume-se que o sistema nao e um sistema coerente

arbitrario mas que possui todas as suas componentes dispostas

em serie.

• Para alem disso, enquanto a componente responsavel pela

falha do sistema em serie esta a ser substituıda, as restantes

componentes mantem-se em suspended animation. Finda a

referida reparacao estas mesmas componentes retoma o seu

funcionamento.11

• Assuma-se tambem que duas ou mais componentes nao podem

falhar no mesmo instante.12

A Figura 7.2.4 de Barlow e Proschan (1975, p. 195) ilustra uma

realizacao deste tipo de sistema, em particular chama atencao para

o facto de esta realizacao se descrever a custa de duas v.a.: U(t)

que representa o tempo acumulado em que o sistema esta em

funcionamento (up time); D(t) = t − U(t) que representa o tempo

acumulado em que as componentes do sistema suspendem o seu

funcionamento devido a uma reparacao (down time).

E possıvel adiantar resultados para, por exemplo, a percentagem

de tempo em que o sistema esta em funcionamento a longo prazo e

para a disponibilidade do sistema a longo prazo. E curioso notar que

estes resultados dependem exclusivamente dos valores esperados dos

tempos de vidas das componentes µi (0 < µi < +∞, i = 1, . . . , n), bem

como das duracoes esperadas das substituicoes νi (0 < νi < +∞, i =

1, . . . , n), e nao das distribuicoes destas v.a.

11Neste instante nao estao propriamente “como novas”mas sim tal como estavam quandosuspenderam o seu funcionamento.

12O que, alias, e verdade, caso todas as distribuicoes sejam contınuas.

179

Teorema 6.38 — Percentagem de tempo em que o sistema em

serie esta em funcionamento a longo prazo

Tem-se, com probabilidade um,

limt→+∞

U(t)

t=

1 +n∑i=1

νiµi

−1

. (6.60)

•

Corolario 6.39 — Disponibilidade media do sistema em serie

a longo prazo

Aav = limt→+∞

E[U(t)]

t=

1 +n∑i=1

νiµi

−1

. (6.61)

•

Nota 6.40 — Disponibilidade do sistema em serie a longo

prazo

Considere-se que ξ(t) e igual a i, caso a componente i, responsavel

pela falha do sistema em serie, esteja a ser substituıda, e igual a 0,

caso o sistema em serie esteja a funcionar.

Importa notar que o processo {ξ(t), t ≥ 0} nao tem pontos de

regeneracao e que o limite limt→+∞ P [ξ(t) = 0] nem sempre existe. No

entanto, tal limite existe desde que os tempos de vida das componentes

sejam v.a. nao periodicas ou possuam distribuicao exponencial. Nesta

situacao, a disponibilidade e dada por

A = limt→+∞

P [ξ(t) = 0] = Aav. (6.62)

•

E possıvel estabelecer resultados assintoticos para D(t), assim como

para o tempo acumulado em que o sistema nao esta em funcionamento

devido a falhas da componente i no intervalo [0, t], Di(t).

180

Corolario 6.41 — Resultados assintoticos para o down time

Tem-se, com probabilidade 1:

Di,av = limt→+∞

Di(t)

t= Aav ×

νiµi

; (6.63)

Dav = limt→+∞

D(t)

t= Aav ×

n∑i=1

νiµi. (6.64)

•

A justificacao heurıstica de (6.63) assenta num argumento de

igualdade das taxas de entrada e de saıda de um estado. Com efeito,

Aav (1/µi)dt pode ser entendido como a probabilidade estacionaria de o

sistema deixar de funcionar nas proximas dt unidades de tempo devido

a falha da componente i sabendo que o sistema esta de momento em

funcionamento, e, por seu lado, Di,av (1/νi)dt como a probabilidade

estacionaria de se terminar a substituicao da componente i nas

proximas dt unidades de tempo sabendo que o sistema esta de

momento inoperacional.

De seguida apresentam-se resultados assintoticos para o numero de

falhas da componente i no intervalo [0, t], Ni(t).

Corolario 6.42 — Resultados assintoticos para o numero de

falhas da componente i

Tem-se, para i = 1, . . . , n:

limt→+∞

Ni(t)

t= Aav ×

νiµi

com probabilidade 1; (6.65)

limt→+∞

E[Ni(t)]

t= Aav ×

νiµi. (6.66)

•

E interessante notar que, apos qualquer reparacao, a distribuicao do

tempo ate a proxima falha depende da historia do sistema ate aquele

181

instante mas que, no entanto, a duracao media dos perıodos em que o

sistema em serie esta a funcionar no intervalo [0, t] converge para uma

constante µ que se identifica no teorema seguinte. De modo analogo

a duracao media dos perıodos em que o sistema em serie nao esta

operacional converge para uma outra constante ν.

Teorema 6.43 — Resultados assintoticos para a duracao

media dos perıodos em que o sistema em serie esta a

funcionar ou inoperacional

As duracoes medias dos perıodos em que o sistema em serie esta a

funcionar e esta inoperacional, no intervalo [0, t], convergem quase

certamente para

µ =

n∑i=1

1

µi

−1

(6.67)

ν = µ×n∑i=1

νiµi, (6.68)

respectivamente. •

Exercıcio 6.44 — Um sistema e constituıdo por quatro

componentes: um gerador, um equipamento analogico, um

equipamento digital e uma peca mecanica, colocados em serie.

Assuma que as duracoes das componentes e os perıodos de reparacao

possuem os valores esperados (em horas) condensados na tabela

seguinte (Barlow e Proschan (1975, pp. 200–1)).

(a) Determine a percentagem de tempo em que a componente i esta

inoperacional a longo prazo.

(b) Obtenha o numero medio de falhas por unidade de tempo a longo

prazo para cada uma das componentes.

182

Componente i Tipo µi = E(Ti) νi = E(Di)

1 Gerador 50 .1

2 Equipamento analogico 100 .2

3 Equipamento digital 1000 1.0

4 Peca mecanica 10000 20.0

(c) Calcule os valores a longo prazo das duracoes medias dos perıodos

em que este sistema em serie esta a funcionar e em que esta

inoperacional. •


6.7.3 Disponibilidade de sistema com uma unidade de

operacao, uma sobressalente e uma de reparacao

Na seccao anterior assumiu-se que dispunhamos sempre de pecas

sobressalentes para substituir qualquer peca que falhasse. Desta

feita assume-se que se dispoe de um numero limitado de pecas

sobressalentes, que o sistema falha caso deixe de haver pecas

sobressalentes para substituir as pecas que tenham falhado e que existe

uma unidade de reparacao para onde se envia estas ultimas pecas.

Comece-se por considerar um sistema com uma unidade de

operacao com uma componente, uma componente sobressalente e uma

unidade de reparacao. Refira-se tambem que:

• quando a componente da unidade de operacao falha, ela

e substituıda pela peca sobressalente, substituicao esta com

duracao negligenciavel;

• a componente que acaba de falhar e enviada para a unidade de

183

reparacao e este instante constitui um instante de regeneracao;

• o sistema falha quando a unidade de operacao falha e a

componente sobressalente nao esta disponıvel por ainda nao ter

sido completada a sua reparacao.

Assuma-se que as componentes (resp. reparacoes) possuem duracao X

(resp.Y ), com distribucao F (resp.G) e valor esperado µ (resp. ν). E,

por fim, assuma-se que, no instante t = 0, a componente da unidade

de operacao e a peca sobressalente nunca foram utilizadas previamente

(completamente novas).

O tempo que decorre ate a ocorrencia da primeira falha do sistema,

tempo este contabilizado a partir do instante 0, pode ser representado

por

T1 = X ′1 +X2 + . . .+XN , (6.69)

onde: X ′1, X2, X3, . . . sao v.a. i.i.d. a X; N denota o numero (aleatorio)

de falhas da unidade de operacao ate a ocorrencia da falha do sistema.

Ora, a v.a.N possui funcao de probabilidade

P (N = k + 1) = αk−1(1− α), k = 1, 2, . . . , (6.70)

onde 1 − α representa a probabilidade de o tempo de reparacao da

peca na unidade de reparacao exceder o de operacao da componente,

i.e.,

α = P (Y ≤ X) =∫ +∞

0G(t)dF (t). (6.71)

Assim sendo e tirando partido da equacao de Wald, pode adiantar-se

que o tempo esperado ate a primeira falha do sistema:

E(T1) = µE(N) = µ

(1 +

1

1− α

). (6.72)

184

Do mesmo modo pode calcular-se o valor esperado do tempo ate a

primeira falha do sistema, medindo o tempo a partir de um instante

de regeneracao,13 tempo este representado pela v.a.T :

E(T ) = E(T1 −X ′1) =µ

1− α. (6.73)

E necessario ainda calcular o valor esperado dos perıodos em que o

sistema esta inoperacional. Este valor esperado e dado por

E(D) =∫ +∞

0P (D > t)dt

=∫ +∞

0P (Y > t+X|Y > X)dt

=∫ +∞

0

∫ +∞

0

1−G(t+ x)

1−G(x)dF (x) dt. (6.74)

Por ultimo, a disponibilidade a longo prazo do sistema com uma

unidade de operacao, uma peca sobressalente e uma unidade de

reparacao e igual a

A =E(T )

E(T ) + E(D)=

µ(1− α)−1

µ(1− α)−1 + E(D)(6.75)

e depende nao so dos valores esperados do tempo de operacao contınua

das componentes e da duracao das reparacoes, mas tambem das

distribuicoes propriamente ditas destas v.a.


6.7.4 Disponibilidade de sistema com m unidades de

operacao, n sobressalentes e s de reparacao

O sistema com que se lida nesta sub-seccao possui m unidades

de operacao e respectivas componentes, n pecas sobressalentes13Recorde que o instante de substituicao da componente da unidade de operacao e consequente

envio da componente (que acabou de falhar) para a unidade de reparacao e um instante deregeneracao.

185

e s unidades de reparacao. Mais, os perıodos de operacao

contınua (resp. reparacao) das componentes sao independentes e tem

distribuicao exponencial de parametro λ (resp. γ).

Tal como na seccao anterior, uma componente que falhe e

imediatamente substituıda por uma peca sobressalente caso existam

pecas sobressalentes disponıveis; a par disso, uma componente segue

para as unidades de reparacao assim que falha. Escusado sera dizer

que a reparacao e iniciada imediatamente a menos que as s unidades

de reparacao estejam todas ocupadas.

Um processo de particular interesse diz respeito ao numero de

componentes inoperacionais no instante t, X(t), ou porque estao a

ser reparadas, ou porque aguardam o inıcio da respectiva reparacao.

Ora, {X(t), t ≥ 0} e, naturalmente, um processo de nascimento

e morte14 cujas probabilidades de estado estacionarias (π0, π1, π2, . . .)

sao de calculo trivial e funcoes das taxas de nascimento λi = f(λ, γ),

i = 0, 1, 2, . . ., e de morte µi = g(λ, γ), i = 1, 2, . . .:

πi = π0 ×i−1∏j=0

λjµj+1

, (6.76)

onde

π0 =1

1 +∑+∞k=1

∏k−1j=0

λjµj+1

. (6.77)

Por seu lado a disponibilidade do sistema a longo prazo e dada por:

A = limt→+∞

P [X(t) ≤ m]

=m∑i=0

πi. (6.78)

14Ou por outra, trata-se se uma cadeia de Markov em tempo contınuo, com espaco de estados{0, 1, 2 . . .}, matriz de probabilidades de transicao homogenea e transicoes de um estado i para osdois estados vizinhos i− 1 e i+ 1.

186

Exercıcio 6.45 — Considere um sistema constituıdo por uma

unidade de operacao e respectiva componente, uma peca sobressalente

e uma unidade de reparacao. Assuma que as duracoes das

componentes (resp. os perıodos de reparacao) sao independentes e

possuem distribuicao exponencial de parametro λ (resp. γ) (Barlow

e Proschan (1975, pp. 205–6)).

(a) Obtenha uma expressao para a disponibilidade a longo prazo

deste sistema.

(b) Considere agora que o sistema e constituıdo por n unidades de

operacao e respectivas componentes, m pecas sobressalentes e s

unidades de reparacao.

Identifique as expressoes para as taxas do processo de nascimento

e de morte associado ao numero de componentes inoperacionais

no instante t neste sistema. •


187

Capıtulo 7

Controlo estatıstico de processos

7.1 O significado de qualidade

E tradicional afirmar-se no meio industrial que a qualidade e a

produtividade nao podem andar de maos dadas: ao desejarmos mais

qualidade, sacrificaremos a produtividade e vice-versa.

A semelhanca de muitos lugares comuns, aceites e produto de

pouca reflexao, este e tambem falso. Na realidade ao melhorar-se a

qualidade, por aperfeicoamento do processo de producao e maior

uniformidade do produto, ha, de um modo geral, melhorias na

produtividade ja que se reduzem desperdıcios de mao de obra, de

equipamento e de materia-prima e, consequentemente, diminuem-se

os custos de producao bem como os prejuızos.

Definicao informal 7.1 — Qualidade

Significa frequentemente adequacao do produto/servico ao

consumidor/utilizador (fitness for use), i.e., satisfacao de requisitos

considerados essenciais para o consumidor/utilizador. •

188

A qualidade e, nos dias de hoje, um criterio basico que

influencia a decisao pela aquisicao/utilizacao de qualquer

produto/servico.

Montgomery (1985, p. 1–2) acaba por distinguir dois tipos de

qualidade. Nada melhor que ilustra-los com exemplos.

Todos os bens e servicos sao intencionalmente produzidos com

diversos nıveis de qualidade pensados para tipos distintos de

consumidores. Estas diferencas de qualidade devem-se, por exemplo,

as diferencas de materiais usados na confeccao dos estofos dos assentos

de um carro (cabedal, napa, tecido, etc.). Estes aspectos prendem-se

com a quality of design (qualidade do design).

A qualidade no que diz respeito a adequacao as especificacoes

e tolerancias exigidas pelo produtor tem a ver com quality of

conformance.1

Definicao informal 7.2 — Caracterısticas de qualidade

Qualquer produto possui um grupo de caracterısticas que descrevem

conjuntamente a sua adequacao ao consumidor. Estas sao

designadas de caracterısticas de qualidade, nao passam de v.a. e podem

ser, por exemplo, dos tipos:

• fısico — voltagem, viscosidade, peso e diametro;

• sensorial — gosto, cor e aparencia;

• temporal — fiabilidade, operacionabilidade e manutencao. •

1Termo que aqui traduzimos livremente para “qualidade da adequacao”.

189

Controlo estatıstico de qualidade — Nao ha processos de

producao perfeitos ou sem variabilidade por mais cuidadosos que

sejamos no seu planeamento e a sua manutencao. A presenca dessa

variabilidade torna necessario o uso de metodos estatısticos dos

quais destacamos:

• Planeamento de experiencias (experimental design) — E

amplamente reconhecida a necessidade desta tecnica off-line que

consiste do planeamento cuidadoso do produto e da identificacao

dos nıveis optimos dos factores que claramente influenciam

as caracterısticas de qualidade (por exemplo, a pressao

atmosferica, temperatura de cozedura, tipo de catalisador usado,

etc.).

• Controlo estatıstico de processos (statistical process control,

SPC) — Tecnica on–line cujo objectivo principal e o acompa-

nhamento do processo de producao e pressupoe de um modo

geral o uso de esquemas (ou cartas) de controlo de qualidade.

• Amostragem de aceitacao (acceptance sampling) — tecnica

off–line frequentemente utilizada para avaliar a “qualidade a

saıda”dos produtos, por inspeccao dos lotes destinados aos

consumidores.

Assim, pode afirmar-se que o controlo de qualidade e uma

actividade pertencente aos domınios da engenharia, da gestao e,

sobretudo, da Estatıstica, que permite:

• avaliar o produto e confronta-lo com as especificacoes e

tolerancias requeridas pelo produtor e com os requisitos do

consumidor;

190

• tomar medidas capazes de corrigir situacoes caracterizadas por

diferencas acentuadas entre o que e produzido e o que e

requerido pelo produtor ou pelo consumidor.

Textos de apoio: Gomes e Barao (1999, pp. 1–4); Montgomery

(1985, pp. 1–3).

191

7.2 Os custos e os aspectos legais da qualidade

Por tratar-se, como referimos, de criterio que de um modo geral

determina a aquisicao de bens/servicos, a qualidade influencia

substancialmente o exito e o crescimento de uma empresa e vem

reforcar e melhorar a posicao da mesma no mercado.

Os programas de garantia de qualidade tem associados por vezes

custos (nem sempre negligenciaveis) que devem ser encarados como

uma estrategia que a prazo resultara em maior penetracao de mercado,

em maior produtividade e em menores custos de producao. Senao

vejamos um exemplo (Montgomery (1985, pp. 3–4)).

Exemplo 7.3 — Um fabricante de produz componentes mecanicas a

uma taxa de aproximadamente 100 componentes por dia, a um custo

de 20 USD por componente.

Por diversas razoes, o processo de producao opera de modo

que somente 75% das componentes satisfazem as especificacoes do

produtor e estao em condicoes de ser vendidas. 60% das componentes

que nao satisfazem tais especificacoes podem ser retrabalhadas

(“reworked”) — a um custo adicional de 4 USD — de modo a

poderem ser vendidas, sendo as restantes 40% transformados em

sucata (“scrapped”).

Deste modo, apos ter-se retrabalhado as componentes, somente

90% = 75% × 100 + 60% × (0.25 × 100) da producao e passıvel de

ser vendida a um custo por componente igual a

22.89 USD =20 USD× 100 + 4 USD× (0.6× 0.25× 100)

90.

Assuma-se que estudos revelaram que a elevada percentagem de

componentes nao conformes pode ser diminuıda, caso se implemente

192

um par de cartas de controlo de qualidade que permitem minimizar

desvios no valor esperado e na variancia do diametro das componentes.

Assuma-se agora que a implementacao de tal par de cartas

tem custos adicionais negligenciaveis e resultou num aumento da

percentagem inicial de componentes conformes as especificacoes

do produtor de 75% para 95%, mantendo-se a percentagem

de componentes que, embora nao conformes podem vir a ser

retrabalhadas e posteriormente vendidas, em 60%.

Deste modo aumentou-se a percentagem de componentes passıveis

de venda para 98% = 95%× 100 + 60%× (0.05× 100) e reduziu-se o

respectivo custo por componente para

20.53 USD =20 USD× 100 + 4 USD× (0.6× 0.05× 100)

98.

O acompanhamento do processo de producao resultou pois numa

reducao de 10.3% dos custos de producao por unidade. •

Montgomery (1985, p. 5–6) identifica quatros categorias de

custos de qualidade e as respectivas subcategorias. A saber:

• custos de prevencao (“prevention costs”);

• custos de avaliacao (“appraisal costs”);

• custos devidos a falhas anteriores a venda (traduccao livre

de “internal failure costs”);

• custos devidos a falhas ulteriores a venda (traduccao livre

de “external failure costs”).

Os custos de prevencao estao associados aos esforcos durante o

planeamento e a manufactura no sentido de prevenir a producao de

193

artigos nao conformes, i.e., de produzir bem a primeira (“do it

right the first time”).2

Os custos de avaliacao dizem respeito a medicao e inspeccao

de produtos, componentes e materias-primas de forma a garantir o

cumprimento das especificacoes do produtor.3

Quando os produtos, componentes, materiais e servicos nao

cumprem os requisitos do produtor e este se apercebe de tal facto

antes de os fazer chegar ao consumidor, o produtor incorre em custos

devidos a falhas anteriores a venda.4

Caso o desempenho dos produtos nao seja satisfatorio quando ja

foram fornecidos ao cliente, o produtor tera que suportar os custos

devidos a falhas ulteriores a venda.5

Ao analisar estes custos e fundamental ter em mente que, por

exemplo, o lucro do investimento de uma unidade monetaria em custos

de prevencao e de longe superior ao da mesma unidade monetaria em

custos de avaliacao.

O consumismo e a responsabilidade legal pelo produto que

se coloca no mercado sao razoes mais que suficientes para a qualidade

deva ser encarada como uma estrategia empresarial importante.

O consumismo e em parte devido ao aparente aumento do numero

de falhas durante a utilizacao dos produtos pelos consumidores. Mais,

quando estas falhas se tornam demasiado evidentes, rapidamente nos

2Prevention costs: quality planning and engineering; new products review; product/processdesign; process control; burn-in; training; quality data acquisition and analysis.

3Appraisal costs: inspection and test of incoming material; production and test; material andservices consumed; maintaining accuracy of test equipment.

4Internal failure costs: scrap; rework; retest; failure analysis; downtime; yield losses;downgrading/off-specing.

5External failure costs: complaint adjustment; returned product/material; warranty charges;liability costs; indirect costs.

194

questionamos se os produtos de hoje nao tem qualidade inferior aos

seus predecessores e se a qualidade e uma verdadeira preocupacao dos

fabricantes de hoje.6 Nao surpreende pois que os fabricantes estejam

particularmente preocupados em reduzir tais falhas; com efeito, ao

diminuir o numero de tais falhas reduzem os custos ulteriores a venda

e os ameacas a sua competitividade no mercado.

A responsabilidade legal por um produto lancado no mercado

deve ser encarada de forma seria quer pelos produtores, quer pelos

distribuidores e vendedores. A obrigacao legal de compensar o

cliente caso ocorram danos devidos a produtos defeituosos nao e um

fenomeno recente e a enfase que lhe tem sido dada tem aumentado

substancialmente. Para alem disso, as afirmacoes feitas acerca

de um produto quando este e publicitado e promovido devem ser

consubstanciadas por dados que as validem. Como seria de esperar

estes dois aspectos da responsabilidade legal por um produto exercem

uma pressao enorme sobre produtores, distribuidores e vendedores.

Texto de apoio: Montgomery (1985, pp. 3–11, 17–19).

6A explosao do numero de produtos e os lancamentos prematuros de alguns nos dias de hojetambem contribuem para esta sensacao.

195

7.3 Um apanhado da historia do controlo de

qualidade

7.3.1 Um apanhado geral

O movimento para a promocao da qualidade encontra as suas raızes

na Europa medieval onde os artesaos comecam por organizar-se

em associacoes/sindicatos denominados de guildas (“guilds”) no final

do sec. XIII. A manufactura no mundo dito industrializado tende a

seguir este modelo ate ao inıcio do sec. XIX.

O sistema fabril, que enfatiza a inspeccao dos produtos, teve

inıcio no Reino Unido em meados da decada de 50 do sec. XVIII e

floresce, tendo por resultado a Revolucao Industrial no inıcio do

sec. XIX.

No inıcio do sec. XX, os produtores incluem, por fim, a nocao de

processo de qualidade nas suas praticas de qualidade.

Com a participacao dos EUA na II Guerra Mundial, a qualidade

torna-se crucial no esforco de guerra: por exemplo, as balas/municoes

produzidas num estado/fabrica devem ser adequar-se as espingardas

fabricadas noutro/a. Inicialmente, as forcas armadas inspeccionam

virtualmente todas as unidades produzidas; a seguir, de modo a

simplificar e acelerar este processo sem comprometer a seguranca,

comecam a recorrer a tecnicas de amostragem de aceitacao,

impulsionadas pela publicacao de tabelas com especificacoes e regras

de decisao e pelos cursos de formacao baseados nas tecnicas de

controlo estatıstico de processos de Walter A. Shewhart.

O nascimento da nocao de Qualidade Total (“total quality”)

nos EUA surge como uma resposta directa a revolucao que a

Qualidade sofreu no Japao apos a II Guerra Mundial. Os

196

japoneses mostram-se receptivos as contribuicoes de dois especialistas

americanos em Qualidade, Joseph M. Juran and W. Edwards

Deming, e, ao inves de se concentrarem na inspeccao dos produtos,

apostam na melhoria dos processos de producao por intermedio

das pessoas que neles intervem.

Na decada de 70 do seculo passado, sectores dos EUA, tais como

a industria automovel ou electronica, nao resistem a competicao

feroz dos produtos japoneses de qualidade largamente superior.

A resposta dos EUA, que enfatiza nao so a Estatıstica mas tambem

abordagens que abarcam a organizacao no seu todo, vem a designar-

se de Gestao da Qualidade Total (“total quality management”,

TQM).

Na ultima decada do sec. XX, o termo TQM cai em desuso,

particularmente nos EUA, no entanto, a sua pratica mantem-se.

Poucos anos apos o final do seculo passado, o movimento

da Qualidade parece ter amadurecido para alem da nocao de “total

quality”. Surgem novos sistemas de qualidade dos contributos

fundamentais de Deming, Juran e de especialistas japoneses como

G. Taguchi, e a qualidade e aplicada em areas bem distintas

da industria, tais como a saude, a educacao e a funcao publica,

entre muitas outras.

Fonte: http://www.asq.org/learn-about-quality/history-of-quality/

overview/overview.html

197

7.3.2 As guildas da Europa medieval

Entre o final do sec. XIII e o inıcio do sec. XIX, os artesaos

da Europa medieval organizam-se em associacoes/sindicatos

denominados de guildas. Estas guildas sao responsaveis pelo

estabelecimento de regras rigorosas que garantem a qualidade

dos produtos fornecidos e dos servicos prestados. Para o efeito

existem comissoes de inspeccao que verificam os produtos um a

um e de certo modo forcam ao cumprimento das referidas regras ja

que marcam os artigos sem defeitos com um sımbolo que serve

de garantia de qualidade.

E frequente os artesaos acrescentarem uma segunda marca

ou sımbolo aos artigos por eles produzidos. Inicialmente esta

marca e usada para identificar a origem de artigos com defeitos.

Posteriormente, esta marca passou a simbolizar a boa reputacao

do artesao. Por exemplo, as marcas dos pedreiros simbolizam

a obrigacao de cada membro da guilda de satisfazer a clientela e

melhorar a reputacao do respectivo ofıcio.

As marcas brandidas pelas comissoes de inspeccao e pelos mestres-

artesaos servem de prova de qualidade para os clientes pela Europa

medieval fora.

Esta abordagem a qualidade dos produtos manufacturados e dos

servicos prestados e a dominante ate a Revolucao Industrial no

inıcio do sec. XIX.


overview/guilds.html

198

7.3.3 A Revolucao Industrial

As praticas de qualidade americanas no sec. XIX sao moldadas pelas

mudancas nos metodos de producao dominantes:

• O modelo de manufactura dos artesaos (craftsmanship) —

no inıcio do sec. XIX, a producao nos EUA tende a seguir o

modelo de manufactura dos artesaos vigente em paıses europeus.

Segundo este modelo, os jovens aprendem um ofıcio enquanto

aprendizes de um mestre, por vezes durante diversos anos.

Uma vez que os artesaos vendem os seus artigos localmente,

acabam por por em risco a sua reputacao profissional e tambem

pessoal caso nao consigam ir ao encontro das necessidades dos

clientes. Caso os requisitos de qualidade nao sejam cumpridos, o

artesao corre o risco de perder a clientela que dificilmente pode ser

substituıda. Assim, os mestres mantem uma especie de controlo

de qualidade ao inspeccionarem os artigos antes de os venderem.

• O sistema fabril — Este sistema, fruto da Revolucao Industrial,

acaba por transformar os diversos ofıcios dos artesaos em

diversas tarefas especializadas. Esta transformacao nao so

forca os artesaos a tornarem-se operarios fabris e os donos

de lojas a passarem a ser supervisores da producao, mas

marca tambem o inıcio do declınio do sentido de autonomia

e da confianca nas proprias capacidades (“empowerment”)

por parte dos empregados no local de trabalho.

A qualidade no sistema fabril e assegurada pela perıcia dos

operarios complementada pelas revisoes sistematicas ou pelas

inspeccoes. Os produtos considerados defeituosos sao ou

199

retrabalhados (“reworked”), i.e., voltam a linha de producao)

ou transformados em sucata (“scrapped”).

• O sistema tayloriano — No final do sec. XIX os EUA afastam-

se da tradicao europeia e adoptam uma nova abordagem de gestao

desenvolvida por Frederick W. Taylor. O objectivo de Taylor

e aumentar a produtividade sem aumentar o numero

de artesaos especializados. Ele atinge este objectivo ao

atribuir a tarefa de planeamento da fabrica a engenheiros

especializados e ao usar artesaos e supervisores, que

foram entretanto transferidos com o aumento de fabricas, como

inspectores e gestores que executam os planos dos engenheiros.

A abordagem de Taylor conduz a aumentos notaveis da

produtividade mas levanta alguns problemas: os trabalhadores

sao despojados do seu ja diminuto sentido de autonomia e de

confianca nas suas proprias capacidades, pelo que a nova enfase

na produtividade tem um efeito negativo na qualidade.

De modo a remediar o declınio da qualidade, os gestores das

fabricas criam departamentos de inspeccao que impedem

que os artigos defeituosos cheguem as maos dos clientes. Caso

um artigo defeituoso chegue a um cliente, e comum os gestores

interrogarem o inspector ”Como pode deixar isto chegar ao

cliente?”ao inves de perguntar ao gestor da producao ”Por que

produzimos artigos defeituosos?”


overview/industrial-revolution.html

200

7.3.4 O inıcio do sec. XX

O inıcio do sec. XX e marcado pela inclusao da nocao de

“processo”nas praticas de qualidade.

Um “processo”e definido por um grupo de actividades que,

tendo como ponto de partida materia-prima (“input”), valoriza-a e

transforma-a num produto acabado (“output”), da mesma maneira

que um mestre de cozinha transforma um conjunto de ingredientes

numa bela refeicao.

Walter A. Shewhart, um estatıstico dos “Bell Laboratories”, comeca

por concentrar-se no controlo de processos em meados dos anos 20

do sec. passado, tornando a qualidade relevante nao so para o

produto final mas tambem para os processos responsaveis pela

sua producao.

Shewhart reconhece que os processos industriais produzem

dados. Por exemplo, um processo em que um metal e cortado em

folhas as quais estao associadas medicoes, tais como o comprimento,

a espessura e o peso das folhas de metal. Shewhart entende que estes

dados podem ser analisados usando tecnicas de Estatıstica de

modo a veriguar se o processo esta estavel ou sob controlo, ou se

pelo contrario, esta fora de controlo por estar a ser afectado por

causas assinalaveis. Ao faze-lo, Shewhart fundou os alicerces da

carta de controlo, uma ferramenta essencial para a qualidade nos

dias de hoje.

Os conceitos de Shewhart sao usualmente designados por controlo

estatıstico de qualidade. Diferem de qualquer sistema orientado

para o produto na medida em que tornam a qualidade relevante quer

para o produto final, quer para o processo que o processo que o criou.

201

W. Edwards Deming, um estatıstico do “U.S. Department of

Agriculture and Census Bureau”, torna-se um defensor e promotor

dos metodos de controlo estatıstico de qualidade propostos por

W. Shewhart e mais tarde vem a ser a tornar-se mais tarde o lıder

do movimento para a qualidade quer no Japao, quer nos EUA.


overview/20th-century.html

7.3.5 A II Guerra Mundial

Ao entrarem na II Guerra Mundial em Dezembro de 1941, os EUA

promulgam leis de modo a ajustar a economia civil a producao

de armas. Ate entao, os contratos militares sao geralmente

atribuıdos ao fabricante que produz mais barato. Os produtos

sao inspeccionados antes de serem entregues de modo a garantir

a sua conformidade com os requesitos.

Durante este conflito, a qualidade torna-se uma questao de

seguranca crucial no esforco de guerra. O equipamento militar

inseguro e claramente inaceitavel e as forcas armadas americanas

inpeccionam virtualmente todas as unidades produzidas de

forma a garantir a seguranca durante a operacao das mesmas.

Este procedimento requer imensos recursos humanos dedicados

exclusivamente a inspecao da producao e causa problemas no

recrutamento; mais, manter o pessoal competente revela-se tarefa

difıcil dado o caracter temporario/transitorio do servico militar.

De forma a diminuir os problemas sem comprometer a

seguranca dos produtos, as forcas armadas comecam a recorrer

a amostragem de aceitacao ao inves da inspecao a 100%.

202

Com a ajuda de consultores da industria, em particular dos “Bell

Laboratories”, adaptam-se e publicam-se tabelas de amostragem

sob a forma de uma norma militar (“military standard”)

denominada Mil-Std-105. Estas tabelas sao incorporadas nos

contratos militares de forma a que os fornecedores compreendam

de facto o que espera que produzam.

As forcas armadas ajudam tambem os fornecedores a melhorar

a qualidade ao promoverem cursos de formacao nas tecnicas de

controlo estatıstico de qualidade de Walter A. Shewhart.

Se por um lado estes cursos de formacao conduzem a alguma

melhoria da qualidade em algumas organizacoes, por outro a maioria

das companhias sentem-se pouca motivadas a integrarem plenamente

tais tecnicas. Desde que o governo efectue os pagamentos previstos

pelos contratos, a prioridade maxima das organizacoes e, sem sombra

de duvida, o cumprimento dos prazos de producao. Mais, a maioria

dos programas de controlo estatıstico de qualidade e cessada

mal terminam os contratos com o governo dos EUA.


overview/wwii.html

203

7.3.6 A qualidade total

Apos a II Guerra Mundial os fabricantes japoneses abandonam

a producao de artigos militares para uso interno e apostam na

producao e exportacao de artigos quotidianos.

Inicialmente, o Japao goza da reputacao de produtor de artigos de

qualidade inferior e estes ignorados no mercado internacional. Isto

leva as organizacoes japonesas a explorar novas formas de pensar a

qualidade.

Deming, Juran e o Japao — Os japoneses sao receptivos a

informacao dada pelas companhias estrangeiras e aos contributos de

conferencistas estrangeiros, entre eles dois peritos americanos:

• W. Edwards Deming, frustrado com os gestores americanos por

terem posto um termo aos programas de controlo estatıstico de

processos aquando do fim da II Guerra Mundial e dos contratos

governamentais de fornecimento de armas.

• Joseph M. Juran, que prediz que a qualidade dos bens de consumo

japoneses vai ultrapassar a dos produzidos nos EUA em meados

dos anos 70 do seculo passado gracas a taxa revolucionaria a que

a qualidade da melhora no Japao.

De acordo com Bartmann (1986, p.5), os metodos estatısticos de

controlo de qualidade sao introduzidos em 1947 no Japao, aquando

da fundacao da “Uniao Japonesa para a Ciencia e Engenharia”(JUSE),

Em 1949, esta instituicao convida Deming para proferir uma serie

de conferencias alusivas ao tema. Estas contaram na altura com a

presenca de 400 engenheiros em 1950 e foram rapidamente seguidas

por outras quantas promovidas por Ishikawa (entao presidente da

204

“Federacao das Sociedades Economicas”) e dirigidas a executivos

da industria. Estes esforcos foram, mais tarde, estendidos a

trabalhadores de todos os nıveis e areas da industria. Esta estrategia

japonesa representa a nova aobordagem para a qualidade total.

Ao inves de contarem somente com a inspeccao dos produtos, os

produtores japoneses centram-se na melhoria de todos os processos

organizacionais com a intervencao das pessoas envolvidas nesses

mesmos processos. Com efeito, na decada de 60 do sec. XX surgem

os Cırculos de Controlo de Qualidade da autoria de Ishikawa,

que consistem em grupos de trabalhadores treinados em tecnicas

elementares de controlo de qualidade. Estes cırculos desempenham

um papel crucial no aperfeicoamento dos processos de producao.

Como resultado, o Japao passa a produzir e a exportar artigos de

qualidade elevada a precos baixos, beneficiando os consumidores de

todo o mundo e conseguida a custa do aperfeicoamento contınuo

dos processos de producao, de inumeras inovacoes tecnologicas e

muita Estatıstica.

O impacto dos metodos introduzidos por Deming no Japao e

enorme e tal facto e ha muito reconhecido pelo Japao onde se atribui

um premio de extremo prestıgio com o nome de Deming.

A industria americana, que ocupa um lugar dominante nos anos

50 e inıcio da decada de 60 do seculo anterior, rapidamente se

ve a bracos com a competicao feroz da industria japonesa e da

de outros paıses asiaticos e europeus. Os gestores americanos nao

se apercebem a partida das profundas transformacoes na industria

japonesa e assumem que toda e qualquer competicao vinda do Japao

se reduziria a uma questao de preco e nao de qualidade. Entretanto os

produtores japoneses aumentam as suas quotas no mercado americano,

205

com consequenias economicas evidentes nos EUA: os produtores

americanos perdem quotas de mercado, as organizacoes comecam

a transferir as suas unidades fabris para paragens onde a mao-de-

obra a mais barata, e a economia americana sofre um grande reves,

provando que as profundas transformacoes da economia mundial no

sec. XX mostram claramente que a “seleccao natural”tambem se

aplica a industria (Bartmann (1986, pp.2–3)). Um exemplo extremo

da perda de competividade da industria americana relatado

por Bartmann (1986) e a inexistencia de fabricas de CDs nos EUA (a

data de Marco de 1986).

Este quadro geral nada favoravel a economia americana leva,

felizmente, os EUA a reagirem. Com efeito, o nascimento da qualidade

total nos EUA e a resposta directa a revolucao da qualidade que ocorre

no Japao logo apos a II Guerra Mundial.

A resposta americana — Inicialmente os produtores americanos

assumem que o sucesso japones se deve ao preco dos seus artigos e

adoptam estrategias de reducao dos custos da producao domestica e

restricoes das importacoes nomeadamente do Japao. E claro que isto

em nada melhora a competividade dos produtos americanos no que

diz respeito a qualidade.

Com o decorrer dos anos, a competicao de precos diminui ao passo

que a competicao ao nıvel da qualidade aumenta. No final dos anos

70 do sec. XX, a crise da qualidade nos EUA atinge proporcoes

enormes, atraindo a atencao de legisladores, administradores e dos

meios de comunicacao social. Um programa da cadeia americana NBC

intitulado “If Japan Can... Why Can’t We ?”chama a atencao para

a forma como o Japao conquistou os mercados mundiais de automoveis

e de equipamento electronico. Os EUA caem, por fim, em si.

206

Os administradores de topo das maiores companhias americanas

dao um passo em frente e assumem a lideranca do movimento para

a qualidade. A resposta americana, que enfatiza nao so a Estatıstica

mas tambem estrategias que envolvem a organizacao como um todo,

passa a ser conhecida por Gestao da Qualidade Total (TQM).

Seguem-se diversas iniciativas no ambito da qualidade. Em 1987

publica-se a serie ISO 9000 de normas de gestao da qualidade. O

“Baldrige National Quality Program”e o “Malcolm Baldrige National

Quality Award”sao promovidos pelo congresso americano nesse

mesmo ano. As companhias americanas levam inicialmente algum

tempo a adoptar estas novas normas mas acabam eventualmente por

render-se as mesmas.


overview/total-quality.html

7.3.7 Para alem da qualidade total

No final dos anos 90 do sec. passado a gestao da qualidade total e

considerada por alguns lıderes do mundo de negocios dos EUA pouco

mais de uma moda, apesar de ter mantido a sua importancia na

Europa.

Apesar do termo TQM ter caıdo, de algum modo, em desuso,

em particular nos EUA, a perita em qualidade Nancy Tague afirma:

“Muitas organizacoes usam a TQM com sucesso.”

O movimento para a qualidade amadurece no inıcio do sec. XXI.

A perita Tague afirma ainda que os novos sistemas de qualidade

evoluıram muito para alem do que Deming, Juran e os primeiros

defensores do movimento para a qualidade no Japao. Eis alguns

207

exemplos de tal maturacao:

• Em 2000 a serie ISO 9000 de normas de gestao da qualidade e

revisto de modo a dar mais enfase a satisfacao do cliente.

• O “Malcolm Baldrige National Quality Award”passa a incluir, a

partir de 1995, os resultados da empresa entre os varios criterios

para a atribuicao deste galardao.

• A metodologia “Six-Sigma”, desenvolvida pela Motorola com o

objectivo de minimizar o numero de defeitos e assim melhorar

os processos de producao, evolui consideravelmente e conduz

a resultados significativos. A Motorola recebe o “Baldrige

Award”em 1988 e partilha as suas boas praticas de qualidade

com outras empresas.

• A funcao de qualidade e desenvolvida por Yoji Akao como uma

forma de se concentrar no que o cliente pretende ou necessita no

planeamento de um produto ou servico.

• Sao desenvolvidas versoes especıficas da serie ISO 9000 de

normas de gestao da qualidade para sectores tais como a

industria automovel (QS-9000), a aeroespacial (AS9000) e a de

telecomunicacoes (TL9000 e ISO/TS 16949) e a gestao ambiental

(ISO 14000).

• A qualidade estabelece-se em sectores bem distintos da industria

tais como a administracao, a saude, a educacao e o governo.

• O “Malcolm Baldrige National Quality Award”acrescenta a

educacao e a saude as categorias originais (manufactura,

208

pequenas empresas e servicos). Muitos advogam que se acrescente

a categoria de “organizacoes sem fins lucrativos”.


overview/beyond-total-quality.html

7.3.8 Walter A. Shewhart — Pai do controlo estatıstico de

qualidade

Shewhart simulated theoretical models by marking numbers

on three different sets of metal-rimmed tags. Then he used an

ordinary kitchen bowl — the Shewhart bowl — to hold each

set of chips as different sized samples were drawn from his

three different populations. There was a bowl, and it played

a vital role in the development of ideas and formulation of

methods culminating in the Shewhart control charts.

Ellis R. Ott, Tribute to Walter A. Shewhart, 1967

Tinham decorrido cerca de dois seculos de revolucao industrial,

quando o jovem engenheiro Walter Andrew Shewhart (1891–1967)

altera o curso da historia da Industria ao celebrar aquilo que se pode

considerar um casamento perfeito entre Estatıstica, Engenharia

e Economia.

Shewhart publica numerosos trabalhos, mas e entre os seus

manuscritos que se encontra o fruto mais duradouro e tangıvel desta

curiosa uniao. Com efeito, no historico memorandum de 16

de Maio de 1924 (ASQ), Shewhart propoe aos seus superiores

hierarquicos a carta ou esquema de controlo, uma ferramenta

grafica fundamental na distincao entre causas aleatorias e causas

209

assinalaveis de variacao de um processo de producao que representa

um passo inicial para aquilo que Shewhart designa por “formulacao

de uma base cientıfica para assegurar o controlo economico”.

A vida de Shewhart esta cheia de concretizacoes que nao sao

alheias a sua forte preparacao em ciencias e em engenharia. Licencia-

se na University of Illinois e obtem o grau de Doutor em Fısica

pela University of California at Berkeley em 1917. Lecciona nestas

duas universidades e lidera brevemente o Departamento de Fısica da

Wisconsin Normal School in LaCrosse.

A sua carreira profissional compreende tambem o exercıcio da

Engenharia na companhia Western Electric de 1918 a 1924, e nos

Bell Telephone Laboratories, onde exerce varios cargos enquanto

membro do pessoal tecnico de 1925 ate a sua reforma em 1956,

Lecciona controlo de qualidade e estatıstica aplicada na University

of London, no Stevens Institute of Technology, na Graduate School

of the U.S. Department of Agriculture, e na India. E professor

honorario da Rutgers University e colabora em comites em Harvard e

do Departamento de Matematica de Princeton.

E frequentemente consultor do Departamento de Guerra dos EUA,

das Nacoes Unidas e do Governo indiano. Membro activo do National

Research Council e do International Statistical Institute, nos EUA.

Membro honorario da Royal Statistical Society (Reino Unido) e

da Calcutta Statistical Association (India). E editor principal da

Mathematical Statistics Series publicada pela John Wiley & Sons

durante mais de vinte anos.

Fonte:

http://www.asq.org/about-asq/who-we-are/bio shewhart.html

210

Capıtulo 8

Esquemas de controlo de

qualidade do tipo Shewhart para

atributos e variaveis

8.1 Introducao

Concentrar-nos-emos doravante no controlo estatıstico de

processos, muito em particular em esquemas de controlo de

qualidade, e posteriormente na amostragem de aceitacao.

O acompanhamento de processos de producao pressupoe, de

um modo geral:

• a escolha de uma caracterıstica de qualidade (e.g. numero de

defeitos, diametro, etc.);

• a seleccao de parametro (s) a controlar (e.g. valor esperado,

variancia, probabilidade de seleccao de artigo defeituoso);

• a recolha regular de amostras (e.g. de hora em hora);

• o registo sequencial dos valores observados de uma estatıstica

(e.g. media, variancia amostrais ou percentagens observadas de

211

defeituosos),

• em grafico com limite(s) apropriado(s).

O dispositivo grafico resultante denomina-se

• esquema/carta de controlo.

Esta ferramenta estatıstica foi proposta por Walter A.

Shewhart dos “Bell Telephone Laboratories”, em 1924, com o intuito

de vigiar e reduzir a variabilidade dos processos de producao.

Figura 8.1: Carta de controlo — No. amostra (abcissa) vs. valor obs. estatıstica

(ordenada); limite superior de controlo (UCL).

Segundo Shewhart a variabilidade da caracterıstica de qualidade

pode ter duas origens:

• causas aleatorias (chance causes) — o efeito destas resulta

em variacoes negligenciaveis, incontrolaveis e intrınsecas

a natureza aleatoria da caracterıstica de qualidade (background

noise);

• causas assinalaveis (assignable causes) — traduzem-se em

alteracoes inaceitaveis da caracterıstica de qualidade; e podem

dever-se ao ajustamento incorrecto da maquinaria, a erros dos

operadores, de materia prima inadequada, etc.

212

A ocorrencia de uma causa assinalavel pode, por exemplo,

resultar na alteracao de um ou mais parametros da distribuicao

da caracterıstica de qualidade. Estudar-se-ao somente

• shifts — alteracoes bruscas do valor de um ou mais parametros,

do nıvel desejado para um outro distinto.

Exemplo 8.1 — O valor esperado µ toma valor µ0 num primeiro

turno de 8 horas um processo de fabrico, tendo passado a tomar valor

µ1 (µ1 6= µ0) em todos os turnos seguintes. Assim, se a recolha

de amostras ocorresse de uma em uma hora terıamos µ = µ0, nos

instantes N = 1, . . . , 8, e µ = µ1, para N = 9, 10 . . .. •

Podem ocorrer tambem

• drifts — alteracoes graduais do(s) valor(es) do(s) parametros,

ou ainda alteracoes do(s) parametros — durante curto espaco de

tempo — seguidas de retorno ao nıvel alvo.

Exemplo 8.2 — Um drift linear pode ser descrito do seguinte modo

para o exemplo anterior: µ = µ0, N = 1, . . . , 8, e µ = µ0 + aN , a 6= 0

e N = 9, 10, . . . •

Estados estatısticos de processos de producao — Um processo

de producao diz-se

• sob controlo (in control) na presenca exclusiva de causas

aleatorias.

Se para alem destas estiverem presentes causas assinalaveis o processo

dir-se-a

• fora de controlo (out of control).

213

Objectivo dos esquemas de controlo de qualidade — Tem por

fim auxiliar-nos na deteccao de causas assinalaveis, que, por

traduzirem-se num desvio do(s) parametro(s) do seu valor alvo,

resultam de um modo geral na deterioracao da qualidade dos

produtos. A deteccao devera ser o mais rapida possıvel de forma a

iniciar accoes de correccao que tragam o(s) parametro(s) de novo

ao(s) seu(s) alvo(s).

Gracas a sua simplicidade e utilidade o esquema de controlo tornou-

se uma ferramenta classica e ainda hoje muito popular em controlo

estatıstico de processos/gestao da qualidade.

Aplicacoes dos esquemas de controlo — A utilizacao de esquemas

de controlo nao se confina a industria:

• a administracao (Hawkins e Olwell (1998, p.v) —

preenchimento incorrecto de documentos),

• a epidemiologia (Blacksell et al. (1994) — diagnostico de

doencas veterinarias),

• a deteccao de fraudes (Johnson (1984) — roubo sistematico

pelos caixas de supermercado),

• gestao de pessoal (Olwell (1997) — “avaliacao”de

comportamento no local de trabalho),

e tambem o atletismo, a biologia, as ciencias do ambiente, a

genetica e as financas (Hawkins e Olwell (1998) e Stoumbos et al.

(2000)) sao algumas das areas de aplicacao corrente dos esquemas de

controlo de qualidade.

Texto de apoio: Montgomery (1985, pp. 99–102).

214

8.2 Esquemas Shewhart

Os esquemas de controlo de qualidade mais divulgados sao os

propostos por Walter A. Shewhart (1931) e justamente designados

de esquemas Shewhart: os esquemas X (mean) e R (range)

para a deteccao de eventuais alteracoes no valor esperado µ e

desvio-padrao σ de uma caracterıstica de qualidade de um processo,

respectivamente.

Esquema Shewhart — Um esquema tıpico do tipo Shewhart

para um parametro (e.g. o valor esperado µ) tem as seguintes

caracterısticas:

• em abcissa representa-se o numero da amostra N (ou o

instante da respectiva recolha);

• em ordenada regista-se o valor observado de uma estatıstica

(usualmente suficiente para o parametro sob vigilancia), valor

esse calculado com base numa amostra de dimensao n.

E costume unir os pontos com segmentos de recta para uma melhor

visualizacao da evolucao das observacoes.

A carta de controlo possui ainda tres linhas:

• CL — linha central (central line) representando o valor alvo do

parametro sob viligancia;

• LCL e UCL — limite inferior de controlo (lower control limit) e

limite superior de controlo (upper control limit)

As designacoes destes dois limites tem a sua razao de ser como

poderemos ver de seguida.

215

Emissao de sinal — O operador de um esquema de controlo e

alertado para a possıvel presenca de uma causa assinalavel assim

que se registar observacao para alem dos limites de controlo,

seguindo-se a emissao de sinal, tal como se ilustra no Exemplo 8.3.

Tipos de sinal — A semelhanca de um teste de hipoteses podem

ocorrer:

• falsos alarmes — emissao de sinal na ausencia de desvio no

parametro (erro de tipo I dos testes de hipoteses);

• sinais validos — emissao de sinal na presenca de desvio no

parametro.

Escolha dos limites de controlo — Os limites de controlo devem

ser escolhidos tendo em conta a distribuicao amostral da estatıstica

utilizada e de tal forma que seja muito pouco provavel que esta

estatıstica tome valores para alem dos limites de controlo,

quando o processo de producao esta sob controlo.

Nesta escolha deve ter-se em consideracao que o esquema nao deve

emitir sinais por perıodos o mais longos possıvel quando o processo

esta sob controlo, contribuindo assim para a reducao da frequencia

de falsos alarmes. Por outro lado, a carta de controlo devera possuir

limites escolhidos de forma a emitir sinais o mais depressa possıvel

caso o processo de producao esteja fora de controlo.

216

Exemplo 8.3 — Foram registadas 70 observacoes do numero de

artigos defeituosos em amostras de dimensao n = 100 numa

carta de controlo−np.1

Tabela 8.1: No. observado de defeituosos tN com: n = 100; p = p0 = 0.05, para

N = 1, . . . , 50; e p = p0 + θ = 0.056, para N = 51, . . . , 70.

N tN N tN N tN N tN N tN N tN N tN

1 4 11 5 21 4 31 6 41 4 51 5 61 6

2 10† 12 5 22 6 32 5 42 2 52 5 62 9

3 5 13 5 23 7 33 5 43 8 53 7 63 5

4 11‡ 14 3 24 5 34 7 44 4 54 9* 64 3

5 2 15 4 25 6 35 9†† 45 5 55 4 65 6

6 6 16 4 26 7 36 5 46 8 56 6 66 8

7 2 17 8 27 8 37 8 47 6 57 9 67 4

8 8 18 4 28 3 38 6 48 6 58 7 68 6

9 8 19 7 29 6 39 6 49 1 59 6 69 4

10 4 20 1 30 4 40 5 50 3 60 6 70 6

† 1o. falso alarme; ‡ 2o. falso alarme; †† 3o. falso alarme

* 1o. sinal valido

As primeiras 50 observacoes foram recolhidas enquanto o

processo de producao operava sob controlo ao nıvel alvo/nominal

np0 = 100× 0.05.

As 20 observacoes seguintes foram recolhidas do mesmo

processo apos a ocorrencia de um shift para n(p0 + θ) = 100 ×(0.05 + 0.006).

Os valores observados da estatıstica TN encontram-se na Tabela

8.3. Os limites inferior e superior de controlo deste esquema Shewhart

sao iguais a LCL = 0 e UCL = 8.79, respectivamente. (Assinale no

esquema o alvo e o nıvel apos ocorrencia de shift...)1Ver a descricao desta carta para atributos na Seccao 8.4.

217

Figura 8.2: Carta de controlo (unilateral superior) — No. amostra (abcissa) vs.

No. de defeitos por amostra (ordenada); limite superior de controlo.

Convem referir que este esquema foi responsavel por 3 falsos

alarmes (sinais emitidos antes da ocorrencia do shift) e por um sinal

valido emitido pela 54a. amostra, i.e., 4 observacoes apos a ocorrencia

da alteracao do parametro np. •

Convem ainda referir que um esquema de controlo pode ser

utilizado como um dispositivo de estimacao de parametros, desde

que o processo esteja sob controlo.

Mais, os esquemas de controlo tem uma longa historia de

utilizacao na industria. Montgomery (1985, p. 107) nomea cinco

razoes para tal facto. Com efeito, os esquemas de controlo:

• constituem tecnica estatıstica que contribui para aumento

da produtividade pois reduzem a quantidade de artigos que

necessitam de ser retrabalhados ou transformados em sucata;

• sao forma eficiente de prevenir a producao de artigos

defeituosos e como tal consistente com a filosofia “do it right

218

the first time”;

• contribuem para a diminuicao de ajustamentos

desnecessarios do processo de producao ja que sao

capazes de distinguir as causas aleatorias das assinalaveis;

• fornecem informacao essencial para o diagnostico do tipo

de causa assinalavel por parte de um operador experiente;

• fornecem informacao sobre a evolucao dos processos de

producao e como tal permitem a (re)estimacao de parametros

cruciais desses mesmos processos.

Dimensao da amostra, frequencia amostral e recolha das

unidades amostrais — Ao escolher a dimensao da amostra deve ter-

se em mente a magnitude do shift que se pretende detectar. Assim,

caso a magnitude dos shifts seja grande, deve recorrer-se a uma

amostra pequena (e vice-versa).

Acrescente-se tambem que na industria tende a recorrer-se a

amostras pequenas recolhidas muito frequentemente, em

particular, quando se lida com elevadas taxas de producao ou com

a possibilidade de ocorrencia de varios tipos de causas assinalaveis.

A forma como sao recolhidas as unidades que constituem cada

amostra (“rational subgroup”) e crucial. Uma abordagem possıvel

passa pela constituicao de uma amostra com unidades produzidas

sensivelmente ao mesmo tempo; esta abordagem e recomendada

quando se tem por objectivo principal a deteccao de shifts. Outra

abordagem consiste em formar uma amostra com unidades do

produto que sejam representativas de todas as unidades

produzidas desde a recolha da ultima amostra; esta abordagem

219

e particularmente recomendada quando o esquema de controlo e usado

para tomar decisoes sobre a aceitacao de todas as unidades produzidas

desde a recolha da ultima amostra.

Regras/emissoes de sinal alternativas — E essencial que as

observacoes da carta de controlo se disponham de modo aleatorio

em torno do alvo.

Quando estas apresentam um comportamento sistematico ou

nao aleatorio deve emitir-se tambem sinal. Por comportamento

sistematico entenda-se series de observacoes (runs) para alem dos

limites de controlo (3-sigma) ou todas acima/abaixo do alvo, dos

warning limits (2 ou 1-sigma), etc.2

Estas regras usualmente denominadas de run rules ou Western

Electric rules sugerem a emissao de sinal caso:

• uma ou mais observacoes estejam para alem dos limites de

controlo 3-sigma;

• sete ou oito observacoes consecutivas se encontrem ou todas acima

ou todas abaixo do alvo;

• duas de tres observacoes consecutivas estejam para alem dos

warning limits 2-sigma (mas ainda entre os limites de controlo

3-sigma);

• se vereiiquem quatro de cinco observacoes consecutivas para alem

os warning limits 1-sigma;

• se registe um padrao pouco usual e nao aleatorio de observacoes.

Para mais detalhes acerca das Western Electric rules veja-se

Montgomery (1985, p. 112–115).

2Este tipo de limites sera posteriormente descrito em mais detalhe.

220

Como seria de esperar as diversas regras de emissao de sinal

conduzem a diferentes probabilidades de emissao de sinal e nao sao

independentes. Mais, o uso de uma mais de uma destas regras aumenta

nao so a probabilidade de emissao de sinais validos como a de falsos

alarmes, pelo que nao se deve exagerar na adopcao de regras de emissao

de sinal sob pena de emitir sinal sempre se recolha uma amostra.

E sobre o desempenho dos esquemas de controlo que nos

debrucaremos na proxima seccao.

Textos de apoio: Montgomery (1985, pp 102–107); Morais (2001,

pp. 16–23, 56–57).

221

8.3 Desempenho de esquemas Shewhart

Comece-se por destacar alguns parametros relevantes na descricao

do desempenho de esquemas de controlo antes mesmo de

passarmos a exemplos de cartas do tipo Shewhart.

Magnitude do shift — Diferenca relativa (ou racio) entre os nıveis

sob controlo, e.g.µ0 (σ0), e fora de controlo, e.g.µ1 (σ1), do parametro

de localizacao (escala) sob vigilancia, e.g. µ (σ).

Exemplo 8.4 — No controlo do valor esperado e costume considerar-

se δ = µ−µ0

σ/√n; e δ = 0 (δ 6= 0) significa que o processo esta sob controlo

(fora de controlo).

Por seu lado, no controlo do desvio-padrao e frequente considerar-

se θ = σ/σ0; e θ = 1 (θ 6= 1) significa que o processo esta sob controlo

(fora de controlo). •

Average Run Length (ARL) — Na literatura de controlo de

qualidade e usual recorrer ao no. esperado de amostras recolhidas

ate a emissao de sinal na avaliacao do desempenho de esquemas de

controlo. (Assume-se que a magnitude do shift se mantem constante

durante a contabilizacao deste numero de amostras.)

Por um lado e desejavel que os falsos alarmes sejam emitidos com

pouca frequencia → ARL grande. Por outro a emissao de sinal

valido devera ocorrer com a maior brevidade → ARL pequeno.

Run Length (RL) — A distribuicao do no. de amostras recolhidas

ate sinal e relevante na avaliacao do desempenho dos esquemas de

controlo. Esta medida de desempenho depende da magnitude do

shift, da distribuicao da estatıstica utilizada, etc.

222

Proposicao 8.5 — O desempenho de um esquema Shewhart usual

— condicional ao facto da magnitude do shift no parametro sob

vigilancia ser igual a δ, RL(δ) — possui distribuicao geometrica

com parametro

ξ(δ) = P (emissao de sinal|δ)

= 1− P (LCL ≤ T ≤ UCL|δ), (8.1)

onde T representa a estatıstica usada pela carta Shewhart. Assim

tem-se

P [RL(δ) = m] = [1− ξ(δ)]m−1ξ(δ), m = 1, 2, . . . (8.2)

ARL(δ) =1

ξ(δ), (8.3)

bem como outras propriedades de RL(δ) na Tabela 8.2. •Tabela 8.2: Propriedades de RL (caso geometrico).

F.p. PRL(δ)(m) = [1− ξ(δ)]m−1 ξ(δ), m ∈ IN

F.s. FRL(δ)(m) =

1, m < 1

[1− ξ(δ)]bmc , m ≥ 1

F. taxa de falha λRL(δ)(m) = ξ(δ), m ∈ IN

Quantil de ordem p F−1RL(δ)(p) = inf{m ∈ IR : FRL(δ)(m) ≥ p}, 0 < p < 1

F.g.p. PGRL(δ)(z) = z{1− z[1− ξ(δ)]}−1ξ(δ), 0 ≤ z < [1− ξ(δ)]−1

Momento fact. ordem s FMRL(δ)(s) = s!× [1− ξ(δ)]s−1[ξ(δ)]−s, s ∈ IN

Valor esperado ARL(δ) = [ξ(δ)]−1

Desvio-padrao SD[RL(δ)] = [1− ξ(δ)]1/2[ξ(δ)]−1

Coef. de variacao CV [RL(δ)] = [1− ξ(δ)]1/2

Coef. de assimetria CS[RL(δ)] = [2− ξ(δ)][1− ξ(δ)]−1/2

Coef. de achatamento CK[RL(δ)] = 5 + [1− ξ(δ)]−1 − ξ(δ)

Texto de apoio: Morais (2001, pp. 16–23).

223

8.4 Cartas Shewhart para atributos

Em muitas situacoes praticas e usual classificar cada artigo

inspeccionado de conforme ou nao conforme com um conjunto de

especificacoes relativas a qualidade de um produto.

Defeito — Cada especificacao nao satisfeita constitui um defeito

do artigo (e.g. irregularidade a superfıcie de painel).

Artigo defeituoso — Um artigo inspeccionado nao conforme e uma

unidade que nao satisfaz pelo menos uma dessas especificacoes, i.e.,

com pelo menos um defeito.

Cartas para atributos — E costume designar as cartas que resumem

informacao relativa ao numero/percentagem de artigos defeituosos

numa amostra, ou ao numero (total) de defeitos numa amostra/artigo,

de cartas para atributos.

Serao descritas duas cartas para caracterısticas de qualidade do

tipo qualitativo:

• carta–np — com este tipo de esquema pretende controlar-se

a probabilidade (p) de um artigo seleccionado do fabrico ser

defeituoso;

• carta–c — esta carta controla o numero esperado de defeitos (λ)

numa amostra de dimensao n.

As cartas−np e −c tem como estatıstica:

• carta-np — o numero de artigos defeituosos na amostra de

dimensao n;

• carta-c — o numero total de defeitos nos n artigos de uma

amostra.

224

Para alem destas cartas pode considerar-se a carta–p para a

percentagem observada de artigos defeituosos numa amostra ou ainda

a carta–u para o numero observado de defeitos por artigo.

De notar que as distribuicoes usualmente associadas a estas duas

estatısticas pertencem aos modelos uniparametricos:

• carta-np — {Binomial(n, p), 0 < p < 1};

• carta-c — {Poisson(λ), λ > 0}.

Importa referir que o modelo de Poisson faz sentido quando se

admite que

• os defeitos ocorrem de modo independente em qualquer artigo

produzido e de um artigo para outro — isto e, a ocorrencia de

um defeito nao torna nem mais, nem menos provavel, a ocorrencia

de um outro defeito, nesse mesmo artigo e nos restantes que

constituem a amostra, e que

• o numero maximo de defeitos e muito maior que o numero

esperado de defeitos em cada artigo produzido.

Na Tabela 8.3 encontram-se mais detalhes acerca de ambas as

cartas, assumindo que

• na N−esima recolha se obteve amostra de dimensao n,

(x1N , . . . xnN), proveniente de populacao X, e

• considerando limites de controlo do tipo 3–sigma.

Convem notar que, na carta-np, ao perder-se o controlo da

producao, a probabilidade de um artigo seleccionado ser defeituoso

tomara valor p, onde p 6= p0. Caso p > p0 (p < p0), a perda de

controlo tem como consequencia o agravamento (melhoramento) da

qualidade dos artigos produzidos.

225

Tabela 8.3: Descricao das cartas (padrao) np e c, com limites 3-sigma.

Carta-np Carta-c

Populacao

sob controlo X ∼ Bernoulli(p0) X ∼ Poisson(λ0/n)

fora de controlo X ∼ Bernoulli(p), p 6= p0 X ∼ Poisson(λ/n), λ 6= λ0

Shift δ = p− p0 δ = λ− λ0

Estatıstica∑ni=1XiN ∼ binomial(n, p)

∑ni=1XiN ∼ Poisson(λ)

numero de artigos defeituosos numero total de defeitos

LCL np0 − 3√np0(1− p0) λ0 − 3

√λ0

CL np0 λ0

UCL np0 + 3√np0(1− p0) λ0 + 3

√λ0

Exercıcio 8.6 — Justifique a adopcao dos limites de controlo na

Tabela 8.3.

Que consequencias tera o facto de estes limites de controlo

nao estarem associados a uma sequencia de testes de hipoteses

uniformemente mais potentes centrados (UMPU). •

Exercıcio 8.7 — Identifique a distribuicao (e respectivo parametro)

do desempenho RL destas duas cartas para atributos. •

Exemplo 8.8 (carta-np unilateral superior) — Na fase final da

producao de gravadores de CDs, um gravador e considerado

defeituoso se possuir mais de duas inconsistencias cromaticas a

superfıcie do seu painel frontal. 3

Para alem disso, o numero esperado de gravadores

defeituosos, em amostras de 100, nao deve exceder 2. I.e.,3Estas imperfeicoes, embora nao afectem o funcionamento do gravador, sao perceptıveis e podem

afectar o preco do gravador de CDs.

226

sob controlo a caracterıstica de qualidade possui distribuicao

Bernoulli(p0) com p0 = 0.02.

A presenca de uma causa assinalavel e responsavel por um

aumento do numero esperado de defeituosos em amostras de

dimensao n — de np0 para n(p0 + δ), onde 0 < np0 < n(p0 + δ) < n.

Os limites de controlo da carta-np unilateral superior sao

C = [LCL,UCL] = [0, bnp0 + γ√np0(1− p0)c] (8.4)

onde γ e uma constante real positiva, escolhida de tal forma que a

taxa de falsos alarmes emitidos pela carta de controlo tome um

valor especıfico — preferencialmente pequeno.

Por exemplo, se γ = 5/√

1.96 entao UCL = 7 e um falso alarme

ocorre com probabilidade

ξ(0) = P (emitir falso alarme)

= P

n∑i=1

XiN > UCL|δ = 0

= 1− Fbin(100,0.02)(7) ' 0.000932. (8.5)

Note que, uma vez que a distribuicao dos dados e Bernoulli(0.02 + δ),

o RL deste esquema de controlo possui distribuicao geometrica com

parametro

ξ(δ) = 1− Fbin(100,0.02+δ)(7), (8.6)

independentemente do valor de γ no intervalo [5/√

1.96, 6/√

1.96).

A Tabela 8.4 descreve o comportamento estocastico de RL(δ),

atraves da inclusao de varias caracterısticas relacionadas com RL, para

o valor nominal e diversos valores fora de controlo de np associados a

δ = 0, 0.001, 0.0025, 0.005, 0.0075, 0.01, 0.02, 0.03.

Esta tabela ilustra tambem quao pouco fiavel e ARL como

medida de desempenho de um esquema, quando o processo esta

227

Tabela 8.4: Valores de quantis de RL, ARL, SDRL, CVRL, CSRL e CKRL para

carta-np unilateral superior (n = 100, p0 = 0.02 e UCL = 7).

Quantis δ = p− p0

RL 0 0.001 0.0025 0.005 0.0075 0.01 0.02 0.03

5% 56 41 27 14 8 5 2 1

25% 309 227 148 78 45 27 6 3

Mediana 744 546 355 187 107 65 15 6

75% 1487 1092 710 374 214 130 29 11

90% 2470 1813 1179 621 355 216 48 17

95% 3214 2359 1534 808 461 281 62 22

ARL 1073.030 787.737 512.346 270.112 154.275 94.128 21.047 7.815

SDRL 1072.530 787.237 511.846 269.611 153.774 93.627 20.541 7.298

CVRL 1.000 0.999 0.999 0.998 0.997 0.995 0.976 0.934

CSRL 2.000 2.000 2.000 2.000 2.000 2.000 2.001 2.005

CKRL 6.000 6.000 6.000 6.000 6.000 6.000 6.002 6.019

sob controlo. Por exemplo, a probabilidade de um sinal ser emitido

pelas primeiras 309 amostras e de pelo menos 0.25, apesar do ARL

sob controlo pouco exceder as 1073 amostras. Para alem disso, na

ausencia de um shift em p, o desvio-padrao de RL (SDRL) e igual a

cerca de 1072 amostras, logo e possıvel registar observacoes para alem

dos limites de controlo mais cedo e mais tarde que o esperado.

Pode ainda acrescentar-se que os coeficientes de assimetria (CSRL)

e achatamento (CKRL) aumentam ligeiramente com o valor de δ

quando se usa o esquema unilateral superior np. •

228

Exercıcio 8.9 — Num processo de producao de frigorıficos recorreu-

se a carta de controlo np com as seguintes caracterısticas:

• n = 100, LCL = 0, UCL = 16.1 e p0 = 0.080.

a) Determine o numero esperado de amostras recolhidas ate falso

alarme. Comente o resultado.

b) Qual a probabilidade de uma amostra arbitraria detectar um shift

para p = 0.2?

c) Obtenha a probabilidade do shift referido em b) ser detectado o

mais tardar pela 4a. amostra recolhida a seguir a ocorrencia do

shift. •

Exercıcio 8.10 — Uma carta de controlo np (padrao) indica que a

um determinado processo de fabrico esta associada a producao de 2%

de itens defeituosos.

a) Qual a probabilidade da carta detectar um shift para 4% no dia

a seguir a ocorrencia do shift, caso se inspeccione diariamente 50

itens?

b) E ao fim do 4o. dia a seguir a ocorrencia do shift? •

Exercıcio 8.11 / Exemplo — Os dados abaixo dizem respeito ao

numero de artigos defeituosos em 30 amostras de 100 pecas soldadas

por uma maquina recentemente adquirida, totalizando 237 artigos

defeituosos (De Vor et al. (1992, p.440)).

a) Utilizando a estimativa de MV da verdadeira fraccao de pecas

defeituosas, p = 0.079, construa e desenhe uma carta de controlo

conveniente, com limites 3-sigma.

As estimativas de LCL, CL e UCL obtem-se substituindo p0 por

p nas respectivas expressoes. Assim:

229

– LCL = np− 3√np(1− p) = −0.19 < 0→ LCL = 0;

– CL = np = 7.9;

– UCL = np+ 3√np(1− p) = 16.00.

Tabela 8.5: No. de artigos nao conformes em 30 amostras de 100 pecas soldadas.

Amostra Nao conformes Amostra Nao conformes Amostra Nao conformes

1 7 11 7 21 8

2 8 12 9 22 10

3 6 13 8 23 4

4 8 14 7 24 10

5 6 15 8 25 7

6 8 16 10 26 7

7 3 17 10 27 9

8 5 18 5 28 8

9 9 19 12 29 10

10 7 20 11 30 10

b) Assumindo doravante que p0 e igual a p, diga se tera ocorrido

algum sinal de perda de controlo?

Qual o numero esperado de amostras recolhidas ate a emissao de

um falso alarme?

c) Determine a probabilidade de uma amostra arbitraria ser

responsavel pela emissao de um sinal quando a fraccao de

defeituosos passa a ser igual a p = 10% e ao utilizar-se a carta de

controlo construıda em a).

Determine o valor de ARL nessa situacao?

d) Qual o valor de ARL caso haja um melhoramento da qualidade

associado a p = 0.05?

Compare este valor com os anteriores e comente a adequacao da

carta para a deteccao de diminuicoes em p.

230

e) Elabore um programa para obter o grafico de log[ARL(δ)] com

δ ∈ (−p0, 1 − p0) ou em outros intervalos que entender mais

convenientes. •

Exercıcio 8.12 — Uma carta de controlo p (padrao) para a fraccao

de defeituosos e utilizada para controlar um processo que se julga

produzir p0 = 1.6% de pecas defeituosas. Admitindo que se recolhe

diariamente uma amostra de 100 pecas:

a) Calcule os limites de controlo desta carta;

b) Obtenha a probabilidade de um shift para p = 2.0% ser detectado

pela carta no primeiro dia a seguir a ocorrencia do shift;

c) Determine a probabilidade desse mesmo shift ser detectado 3 dias

depois da sua ocorrencia.

d) Qual o menor valor da dimensao da amostra a qual corresponde

uma carta de controlo p (padrao) com o respectivo limite inferior

de controlo positivo? •

Exercıcio 8.13 — Procura-se construir uma carta de controlo para a

fraccao de defeituosos que possua alvo igual a 10% e limites de controlo

3-sigma.

Que dimensao deverao possuir as amostras que ira recolher de modo

a que a deteccao de um shift para 16% seja detectada por uma dessas

amostras com probabilidade nao inferior a 0.50? •

Exercıcio 8.14 — Pretende controlar-se um processo de fabrico

atraves da utilizacao de uma carta de controlo para a fraccao de

defeituosos. Para o efeito foram inicialmente recolhidas 10 amostras

de dimensao 100 tendo-se obtido o conjunto de resultados da tabela

seguinte.

231

Tabela 8.6: No. de artigos defeituosos em 10 amostras de 100 pecas.

Amostra 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Defeituosos 3 2 6 2 7 2 1 2 0 5

a) Estabeleca e desenhe uma carta para controlar futuramente a

producao.

b) Qual e a dimensao amostral mınima a adoptar de modo a obter

uma carta de controlo com um limite inferior positivo? •

Exercıcio 8.15 — Numa fabrica de papel pretende usar-se uma carta

de controlo para vigiar o processo de producao de rolos de papel.

A producao foi inspeccionada durante 20 dias consecutivos tendo-

se registado o numero total de imperfeicoes dos rolos produzidos

diariamente.

Tabela 8.7: No. de defeitos em 20 amostras de dimensao variavel de rolos de papel.

Amostra No. rolos Defeitos Amostra No. rolos Defeitos

1 18 12 11 18 8

2 18 14 12 18 14

3 18 20 13 18 9

4 22 18 14 20 10

5 22 15 15 20 14

6 22 12 16 20 13

7 20 11 17 24 16

8 20 15 18 24 18

9 20 12 19 22 20

10 20 10 20 21 17

232

a) Use este conjunto de dados para determinar uma estimativa de

MV do alvo da carta de controlo c para o numero de defeitos por

rolo de papel.

Obtenha tambem os limites de controlo 3-sigma da mesma carta e

desenhe-a utilizando para o efeito as 20 observacoes de que dispoe.

b) Acha que a recolha das 20 amostras foi efectuada com o processo

de producao sob controlo? Justifique a sua resposta.

c) Que alvo e limites de controlo recomendaria para controlar a

producao futura de rolos de papel de forma a que a emissao de um

falso alarme ocorra com probabilidade menor ou igual a 0.002? •

Exercıcio 8.16 — Um fabricante de automoveis pretende controlar

o numero esperado de defeitos das transmissoes manuais. Para isso

recolhe 16 amostras de 4 unidades cada tendo obtido o conjunto de

resultados da Tabela 8.8.

Tabela 8.8: No. de defeitos de 16 amostras de 4 transmissoes manuais.

Amostra Defeitos Amostra Defeitos

1 2 9 2

2 4 10 1

3 3 11 3

4 1 12 4

5 0 13 5

6 2 14 4

7 1 15 2

8 8 16 3

a) Construa e desenhe uma carta c (padrao) para controlar

futuramente o numero esperado de defeitos por amostra.

233

b) Serao os dados provenientes de um processo sob controlo? Em

caso negativo, assuma que as causas assinalaveis responsaveis

por todos os pontos para alem dos limites de controlo foram

detectadas e posteriormente eliminadas, e volte a calcular os

parametros da carta.

c) Qual a estimativa do valor esperado e do desvio-padrao do numero

de amostras recolhidas ate a deteccao de um shift do valor

nominal para 5 defeitos? •

Exercıcio 8.17 — Os dados da Tabela 8.9 dizem respeito ao numero

de defeitos a superfıcie de 25 laminas de aco.

Tabela 8.9: No. de defeitos a superfıcie de 25 laminas de aco.

Amostra Defeitos Amostra Defeitos

1 1 14 0

2 0 15 2

3 4 16 1

4 3 17 3

5 1 18 5

6 2 19 4

7 5 20 6

8 0 21 3

9 2 22 1

10 1 23 0

11 1 24 2

12 0 25 4

13 8

a) Com base nestes dados construa uma carta 3-sigma para controlar

o numero de defeitos em laminas de aco. Considere amostras

diarias de uma lamina de aco.

234

b) Sera que o processo esta sob controlo?

c) Qual a probabilidade de uma amostra arbitraria ser responsavel

pela emissao de um falso alarme? •

Exercıcio 8.18 — O numero de defeitos detectados na inspeccao

final de gravadores foi registado na Tabela 8.10.

Tabela 8.10: No. de defeitos na inspeccao final de gravadores.

Gravador Defeitos Gravador Defeitos

2412 0 2421 1

2413 1 2422 0

2414 1 2423 3

2415 0 2424 2

2416 2 2425 5

2417 1 2426 1

2418 1 2427 2

2419 3 2428 1

2420 2 2429 1

a) Estara o processo de producao sob controlo? Justifique

convenientemente a sua resposta desenhando uma carta u obtida

com as observacoes de que dispoe.

b) Que carta de controlo para numero de defeitos por unidade

recomendaria para vigiar a producao futura de gravadores? •

Exercıcio 8.19 — Numa linha de producao procede-se a inspeccao

dos televisores fabricados com o objectivo de detectar imperfeicoes a

superfıcie dos mesmos.

O gestor da linha de producao pretende que seja construıda uma

carta u que cumpra os seguintes requisitos:

235

• caso o numero esperado de defeitos por unidade seja igual a 8, a

probabilidade do processo ser declarado como sob controlo seja

superior ou igual a 0.99;

• a carta nao devera possuir limite inferior de controlo.

Qual o tipo de carta de controlo mais apropriado e o respectivo

limite superior de controlo? •

Exercıcio 8.20 — O seguinte conjunto de dados diz respeito a um

processo de producao que se pretende controlar a custa da utilizacao

de uma carta para a fraccao de defeituosos.

Tabela 8.11: No. de artigos defeituosos em 20 amostras de dimensao variavel.

Amostra Dimensao Defeituosos Amostra Dimensao Defeituosos

1 200 6 11 100 1

2 250 8 12 100 0

3 250 9 13 100 1

4 250 7 14 200 4

5 200 3 15 200 5

6 200 4 16 200 3

7 150 2 17 200 10

8 150 1 18 200 4

9 150 0 19 250 7

10 150 2 20 250 6

a) Determine uma estimativa para o alvo da carta de controlo para

a fraccao de defeituosos.

b) Adoptando o procedimento descrito no Exercıcio 8.11, obtenha os

limites de controlo da carta e desenhe-a. Atente que as dimensoes

das amostras sao variaveis.

236

c) Qual a estimativa da probabilidade de uma amostra com

dimensao 200, recolhida imediatamente a seguir a ocorrencia de

um shift para p = 0.15, detectar semelhante alteracao? •

Textos de apoio: Morais (2001, pp. 27–29); Montgomery (1985,

pp. 119–157).

237

8.5 Cartas Shewhart para variaveis

Cartas para variaveis — Muitas caracterısticas de qualidade, como

o peso, o diametro, a pressao arterial, o consumo de combustıvel e

premios de seguros, sao expressas a custa de medidas numericas e nao

sao definidas de acordo com a presenca ou ausencia de determinado

atributo.

Os esquemas para tais caracterısticas de qualidade sao denominados

de esquemas de controlo para variaveis e fornecem de um modo

geral mais informacao sobre o processo de producao e sao mais

eficientes que os esquemas para atributos.

Serao apresentados esquemas para o valor esperado e a

variancia de uma caracterıstica de qualidade normalmente

distribuıda, i.e., esquemas do tipo X e S2 cujas estatısticas sumarias

sao naturalmente:

• carta X — media (reduzida) da amostra;

• carta S2 — variancia corrigida da amostra.

Na Tabela 8.12 encontra-se uma descricao mais detalhada de ambas

as cartas nas suas versoes padrao, ou seja, usadas na literatura para a

deteccao de qualquer tipo de alteracao no valor esperado ou variancia

(Montgomery (1995, p. 188, 200)).

A constante γ (resp. α) e escolhida de forma que o valor de ARL

sob controlo, ARL(δ = 0) (resp. ARL(θ = 1)) tome um valor elevado

e considerado razoavel. Assim, γ = Φ−1(1− [2ARL(0)]−1) (resp. α =

1/ARL(1)).

Distribuicao do desempenho — O numero de amostras recolhidas

ate a emissao de um sinal por parte da carta X (resp. S2), RL(δ)

238

Tabela 8.12: Descricao das cartas (padrao) X e S2.

Carta X Carta S2

Populacao

sob controlo X ∼ N(µ0, σ2) X ∼ N(µ, σ2

0)

fora de controlo X ∼ N(µ, σ2), µ 6= µ0 X ∼ N(µ, σ2), σ 6= σ0

σ conhecido µ desconhecido mas fixo

Shift δ =√n(µ− µ0)/σ θ = σ/σ0

Estatıstica XN = 1n

∑ni=1XiN S2

N = 1n−1

∑ni=1[XiN − XN ]2

media da a.a. variancia corrigida da a.a.

LCL µ0 − γσ/√n

σ20

n−1 × F−1χ2n−1

(α/2)

Alvo µ0 σ20

UCL µ0 + γσ/√n

σ20

n−1 × F−1χ2n−1

(1− α/2)

(resp.RL(θ)), e tambem uma v.a. com distribuicao geometrica. O

parametro e, neste caso, igual a

ξ(δ) = 1− [Φ(γ − δ)− Φ(−γ − δ)] (8.7)

(resp.

ξ(θ) = 1−

Fχ2(n−1)

F−1χ2

(n−1)(1− α

2 )

θ2

− Fχ2(n−1)

F−1χ2

(n−1)(α2 )

θ2

). (8.8)

Exercıcio 8.21 — Justifique os resultados (8.7) e (8.8). •

239

Exercıcio 8.22 / Exemplo — O esquema de controlo X mais

utilizado e, sem duvida, o esquema padrao com γ = 3, i.e., com

limites 3-sigma.

A probabilidade de emissao de sinal condicional ao valor da

magnitude do shift em µ, δ =√n(µ− µ0)/σ, e dada por

ξ(δ) = 1− [Φ(3− δ)− Φ(−3− δ)], (8.9)

logo aproximadamente igual a 0.0027, 0.00287, 0.02267, 0.8413, para

δ = 0, 0.1, 1.0, 4.0.

A funcao ARL(δ) encontra-se representada no grafico seguinte e

permite concluir que se trata de funcao simetrica em torno da origem.

Figura 8.3: ARL de esquema X com limites 3-sigma.

Prove que ARL(δ) e FRL(δ)(m),m ∈ IR, sao funcoes decrescentes

de |δ|. •

Importa notar a carta X com limites 3-sigma e extremamente lenta

(resp. rapida) a detectar shift de pequena (resp. media e grande)

magnitude, tal como ilustra o grafico da funcao ARL(δ). Daı que

para a deteccao de shift de pequena e media magnitude se recorra a

cartas de controlo mais sofisticadas que estudaremos mais tarde.

240

Exercıcio 8.23 — Um fabricante produz pecas cujo diametro

externo se admite ser normalmente distribuıdo com valor esperado

sob controlo igual a µ0 = 3mm e desvio-padrao constante e igual a

σ = 0.1mm independentemente do estado do processo de producao.

Um conjunto de 10 amostras sucessivas de 4 pecas conduziram as

seguintes medias amostrais:

Tabela 8.13: Medias de 10 amostras de dimensao n = 4.

Amostra Media Amostra Media

1 3.01 6 3.02

2 2.97 7 3.10

3 3.12 8 3.14

4 2.99 9 3.09

5 3.03 10 3.20

a) Construa e desenhe uma carta com limites 3-sigma que permita

controlar o valor esperado do diametro externo da peca fabricada.

b) Que conclusoes pode tirar acerca do estado do processo de

producao ao utilizar a carta construıda em a)?

c) Obtenha novos limites de controlo de modo que a probabilidade

da carta emitir um falso alarme seja igual a 0.002.

d) Ao adoptar a carta construıda em c), determine a probabilidade

de um shift para µ = 3.3mm ser detectado pela amostra recolhida

imediatamente a seguir ao instante de ocorrencia desse mesmo

shift. •

241

Exercıcio 8.24 — Uma carta X e utilizada para controlar o valor

esperado da resistencia a traccao do aco A400 que se assume possuir

distribuicao normal com desvio-padrao conhecido e igual a σ = 6.0.

A esta carta estao associadas amostras de dimensao n = 4, µ0 = 200,

LCL = 191 e UCL = 209.

Determine a probabilidade da carta descrita emitir um sinal

aquando da ocorrencia um shift para:

a) µ = 188 e µ = 212.

b) Compare e comente os dois resultados anteriores. •

Exercıcio 8.25 — Elabore o grafico de ARL(δ) de uma carta

unilateral superior X e ARL(0) = 500, para o valor esperado de uma

caracterıstica normalmente distribuıda.

Compare-o com o do desempenho esperado do esquema X padrao

com o mesmo ARL sob controlo e adiante qual das cartas lhe parece ser

mais rapida a detectar aumentos em µ. E para detectar diminuicoes

em µ? •

Exercıcio 8.26 — Os dados da Tabela 8.14 dizem respeito a medias

de 24 amostras de dimensao n = 5 recolhidas num processo de

producao de suportes metalicos.

As medidas sao referentes as tres ultimas casas decimais do

diametro de tais suportes (por exemplo, 34.5 corresponde a 0.50345).

Mais, assuma que a caracterıstica de qualidade possui distribuicao

normal com variancia conhecida e igual 49.

a) Construa e desenhe uma carta X com limites 3-sigma recorrendo

ao conjunto de dados obtidos. Sera que as 24 amostras foram

recolhidas sob controlo? Caso ache necessario, recalcule os limites

de controlo.

242

Tabela 8.14: Medias de 24 amostras de dimensao n = 5 de tres ultimas casas

decimais do diametro de suportes metalicos.


1 34.5 13 35.4

2 34.2 14 34.0

3 31.6 15 37.1

4 31.5 16 34.9

5 35.0 17 33.5

6 34.1 18 31.7

7 32.6 19 34.0

8 33.8 20 35.1

9 34.8 21 33.7

10 33.6 22 32.8

11 31.9 23 33.5

12 38.6 24 34.2

b) Determine a probabilidade de uma amostra arbitraria emitir um

falso alarme.

c) Qual a probabilidade da ocorrencia de um shift (no valor esperado

do diametro dos suportes) para 0.5045 ser assinalado somente pela

5a. amostra recolhida a seguir a ocorrencia de semelhante shift?

d) Admitindo que as especificacoes do diametro dos suportes

metalicos sao 0.5030 ± 0.0010, determine uma estimativa da

fraccao de suportes defeituosos produzidos por um processo de

producao sob controlo. •

Exercıcio 8.27 — Com o objectivo de controlar a variancia do peso

de latas de meio quilo de cafe, pretende recolher-se amostras com

dimensao 5 e registar as respectivas variancias corrigidas numa carta

S2.

243

Admita que tal caracterıstica de qualidade possui distribuicao

normal com valor esperado constante, embora desconhecido

independentemente do estado da producao, e variancia, sob controlo,

igual a σ20 = 4.

a) Obtenha os limites de controlo da carta de forma que o numero

esperado de amostras ate falso alarme seja 200.

b) Qual a probabilidade de um shift para σ2 = 6 ser detectado

pela amostra recolhida imediatamente a seguir a ocorrencia de

tal shift? •

Exemplo 8.28 — O esquema S2 com os limites descritos na Tabela

8.12 e recomendado na literatura para controlar a variancia σ2 de

dados normalmente distribuıdos.

Tabela 8.15: Valores de ξ(θ) para esquemas S2 com σ20 = 1 e α = 0.002 (i.e.,

ARL(1) = 500).

n

θ 4 5 7 10 15 100

0.50 0.007828 0.014624 0.042134 0.132929 0.406761 1.000000

0.75 0.002359 0.003089 0.005036 0.009313 0.020672 0.762450

0.80 0.001958 0.002409 0.003528 0.005751 0.011016 0.419837

0.90 0.001533 0.001652 0.001926 0.002391 0.003274 0.037724

0.95 0.001600 0.001628 0.001699 0.001819 0.002035 0.006949

1.00 0.002000 0.002000 0.002000 0.002000 0.002000 0.002000

1.10 0.004522 0.004874 0.005553 0.006569 0.008323 0.054761

1.20 0.010808 0.012654 0.016447 0.022530 0.033848 0.373172

No entanto, esta carta possui probabilidades de emissao de

sinais validos menores que a probabilidade de emitir falso

alarme como ilustra a Tabela 8.15. Por exemplo, a funcao ARL(θ)

nao possui valor maximo sob controlo.

244

Este comportamento traduz-se em propriedades indesejaveis

como a velocidade de deteccao de determinados “shifts”poder ser

inferior a da emissao de um falso alarme, como ilustra o grafico da

Figura 8.4.

Figura 8.4: ARL de esquema S2 padrao (n = 5).

•

Exercıcio 8.29 — Redefina os limites de controlo da carta S2 por

forma a que

ARL(1) = maxθ∈IR+

ARL(θ). (8.10)

a) Considerando σ20 = 1, α = 0.002 e n = 4, 5, 7, 10, 15, 100,

ilustre numericamente a obtencao dos quantis de probabilidade

que definem o par de limites de controlo desta nova carta S2.

b) Determine os correspondentes valores de ξ(θ) por forma a

preencher a Tabela 8.15 e elabore os graficos de ARL(θ)

associados. •

245

Nota 8.30 — As cartas X e S2 sao frequentemente utilizadas em

conjunto ja que sao raras as situacoes em que o valor esperado e a

variancia nao se alteram separada ou simultaneamente.

Como alternativa ao esquema S2 e costume recorrer ao esquema

R para amplitude amostral (“range chart”) apesar do estimador

da variancia associado ser pouco eficiente, especialmente quando a

dimensao da amostra e media ou grande. (Para uma descricao

alongada sobre esta carta sugere-se a consulta de Montgomery (1985,

pp.173–92).) •

Exercıcio 8.31 — Caracterize a carta S para o desvio-padrao com

limites do tipo E(S) ± 3DP (S), provando para o efeito que S nao e

estimador centrado de σ e que

E(S) = σ ×(

2

n− 1

)1/2 Γ(n/2)

Γ[(n− 1)/2](8.11)

DP (S) = σ ×√√√√1− E2(S)

σ2 (8.12)

(Ver Montgomery (1985, p.197).) •

Exercıcio 8.32 — Estude os esquemas X e S descritos em

Montgomery (1985, pp.198–199) que fazem uso de estimativas de

µ e σ. •

Exercıcio 8.33 — Um processo de producao foi recentemente

iniciado. De modo a construir cartas que controlassem o valor

esperado e o desvio-padrao do diametro de pistoes de automoveis que

se assume ter distribuicao normal, foram recolhidas 20 amostras de

dimensao 5 tendo-se obtido o seguinte conjunto de resultados.

Construa e desenhe as cartas de controlo X e S definidas em

Montgomery (1985, pp.198–199), fazendo uso dos dados que constam

246

Tabela 8.16: Medias e desvios-padrao corrigidos de 20 amostras de dimensao 5.

Amostra Media Desvio-padrao Amostra Media Defeitos

1 35.1 4.2 11 38.1 4.2

2 33.2 4.4 12 37.6 3.9

3 31.7 2.5 13 38.8 3.2

4 35.4 3.2 14 34.3 4.0

5 34.5 2.6 15 43.2 3.5

6 36.4 4.5 16 41.3 8.2

7 35.9 3.4 17 35.7 8.1

8 38.4 5.1 18 36.3 4.2

9 35.7 3.8 19 35.4 4.1

10 27.2 6.2 20 34.6 3.7

da Tabela 8.16 e considerando limites de controlo 3-sigma para ambas

as cartas. •

Exercıcio 8.34 — Amostras de dimensao n = 6 sao recolhidas

regularmente de um processo de enchimento de garrafoes de azeite.

Assume-se que esta caracterıstica de qualidade tem distribuicao

normal e e medida e de seguida sao calculadas as medias e desvio-

padrao amostrais. Da analise de 50 subgrupos obtiveram-se

50∑i=1

xi = 1000,50∑i=1

si = 75. (8.13)

a) Estime os limites de controlo 3-sigma das cartas X e S.

b) Considerando os limites calculados em a) definitivos e os valores

estimados para µ e σ como os verdadeiros valores destes dois

parametros, determine a probabilidade de emissao de falso alarme

de cada uma das cartas.

c) Nas condicoes da alınea anterior, qual seria a estimativa da

probabilidade da carta X emitir sinal o mais tardar 5 amostras

247

apos a ocorrencia de um shift no valor esperado para o valor 25

(resp. no desvio-padrao para 2)? •

Textos de apoio: Montgomery (1985, pp. 171-209); Morais (2001,

pp. 19–23).

248

Capıtulo 9

Esquemas de controlo de

qualidade do tipo CUSUM e

EWMA para atributos e variaveis

9.1 Esquemas CUSUM e EWMA

As cartas de controlo mais frequentemente utilizadas sao do tipo

Shewhart. A sua popularidade deve-se, fundamentalmente, a

simplicidade da sua construcao e da caracterizacao do desempenho

destas cartas de controlo. Contudo, por fazerem uso exclusivo da

informacao mais recente, desprezando toda a restante informacao

disponıvel, as cartas Shewhart sao particularmente lentas a detectar

algumas alteracoes de importancia pratica, as alteracoes ligeiras num

processo de producao. Com efeito no capıtulo anterior constatou-se

que as cartas do tipo Shewhart sao, em media, extremamente lentas

a detectar shifts de pequena e media magnitude.

Em contrapartida, as cartas Shewhart sao particularmente

rapidas (mais uma vez em media) a detectar shifts de grande

magnitude. Esta caracterıstica deve-se ao facto de a estatıstica de

249

qualquer carta Shewhart utilizar somente a informacao respeitante

a ultima amostra, ignorando as restantes amostras.

Uma forma de aumentar a capacidade de deteccao de

shifts passa pela acumulacao de informacao relativa as amostras

sucessivas. Os esquemas de controlo dos tipos CUSUM (cumulative

sum) e EWMA (exponentially weighted moving average) sao disso

exemplo e foram originalmente propostos por Page (1954) e Roberts

(1959), respectivamente, para detectar shifts (quer aumentos, quer

diminuicoes) do valor esperado de uma caracterıstica de qualidade

normalmente distribuıda. Nestas referencias constatou-se que os

esquemas CUSUM e EWMA sao mais rapidos, em valor

esperado, que os esquemas Shewhart, no que diz respeito a

deteccao de shifts de pequena e media magnitude do referido

parametro, devendo-se isso ao facto deste tipo de carta de controlo

conjugar a informacao mais recente e toda a historia passada do

processo de producao.

Tabela 9.1: Caracterısticas de esquemas Shewhart e CUSUM/EWMA.

Shewhart CUSUM/ EWMA

Shewhart (1924) Page(1954)/ Roberts (1959)

Estatıstica dependente da Estatıstica dependente de

amostra mais recente todas as amostras recolhidas

Simplicidade Caracter recursivo

TN = g(TN−1, XN , . . .)

Popularidade inquestionavel Popularidade crescente

Estes esquemas podem ser tambem definidos para os parametros de

todas as distribuicoes usuais a que se recorre em controlo de qualidade,

tal como o valor esperado do numero total de artigos defeituosos numa

amostra de dimensao n, a semelhanca do que se ilustra a seguir.

Textos de apoio: Morais (1995, pp. 57–58); Morais (2001, p. 23).

250

9.2 Esquemas CUSUM para atributos

O esquema CUSUM e, sem sombra de duvida, um dispositivo grafico

de controlo muito informativo uma vez que pode fornecer estimativas

da magnitude do shift e valores preditos para o instante de ocorrencia

dessa mesma alteracao (Hawkins e Olwell (1998, pp. 20–22)).

Nesta seccao apresentaremos brevemente um esquema CUSUM

padrao para dados binomiais que se presta a deteccao quer de

aumentos, quer de diminuicoes de p (ou equivalentemente de np).

Em adicao debrucar-nos-emos longamente sobre esquemas

CUSUM unilaterais superiores para p cuja utilizacao se presta

a deteccao exclusiva de aumentos no numero esperado de artigos

defeituosos numa amostra de dimensao fixa.

Definicao 9.1 — O esquema CUSUM padrao para dados

binomiais caracteriza-se pela utilizacao da estatıstica:

ZN =

0, N = 0∑Nj=1(Yj − np0) = ZN−1 + (YN − np0), N ∈ IN,

(9.1)

onde:

• 0 e o valor inicial atribuıdo a estatıstica (ao (re)iniciar-se o

processo de controlo de producao);

• YN ∼ binomial(n, p = p0 + θ) e o numero de artigos defeituosos

na N−esima amostra aleatoria (de dimensao n), i.e., corresponde

ao estimador de MV de np; e

• np0 o valor sob controlo de np. •

Nota 9.2 — A estatıstica ZN acumula os desvios entre o numero de

artigos defeituosos e o respectivo valor esperado sob controlo. Mais,

nao e um estimador de np •

251

Definicao 9.3 — O esquema CUSUM unilateral superior para

dados binomiais faz uso da seguinte estatıstica:

ZN =

u, N = 0

max{0, ZN−1 + (YN − k)}, N ∈ IN,(9.2)

onde:

• u e o valor inicial atribuıdo a estatıstica, tambem pertencente a

[LCL,UCL] = [0, UCL] para este esquema;

• YN e de novo o numero de artigos defeituosos na N−esima

amostra aleatoria (de dimensao n) e possui distribuicao,

condicional a θ, binomial(n, p = p0 + θ); e

• k representa o que se chama de valor de referencia

necessariamente inferior a n ja que YN toma valores em

{0, 1, . . . , n}. •

Nota 9.4 — Lucas e Crosier (1982) recomendam a utilizacao de head

start (HS) values, i.e, um valor inicial nao nulo para a estatıstica do

esquema CUSUM (ou EWMA). Esta recomendacao prende-se com

os seguinte:

• se o processo estiver a operar sob controlo, a estatıstica do

esquema e rapidamente “forcada”a ficar perto da origem ja que os

desvios entre o observado e o esperado nao sao de grande monta,

logo o efeito esperado do head start e mınimo no desempenho

da carta;

• caso contrario, o operador do esquema e alertado para a situacao

de perda de controlo antes do que e habitual, prevenindo assim

start–up problems (i.e., problemas quando se (re)inicia o

processo de producao).

252

Nota 9.5 — Uma vez que a carta CUSUM unilateral superior

se propoe a deteccao exclusiva de aumentos no parametro p de nada

adianta assinalar qualquer valor negativo da estatıstica. 1 Assim,

altera-se imediatamente o valor observado da estatıstica para 0,

sempre que ela tome valor negativo. Daı o uso da funcao max.

Nota 9.6 — Refira-se, por fim, que a obtencao nao so dos limites

de controlo como do valor de referencia e de u sera discutida mais

tarde. Pode, no entanto, adiantar-se que a seleccao destas constantes

dependera do desempenho desejado para o esquema sob e fora de

controlo, assunto que discutiremos na proxima seccao.

Exemplo 9.7 — Na Tabela 9.2 encontram-se os valores observados

dos numeros de artigos defeituosos em amostras de dimensao n = 100.

As primeiras 50 observacoes foram recolhidas quando o processo

operava ao nıvel nominal np0 = 100×0.05. As 20 observacoes seguintes

foram recolhidas do mesmo processo apos um shift para n(p0 + θ) =

100× (0.05 + 0.006).

Os valores observados para a estatıstica CUSUM, ZN , encontram-se

igualmente na Tabela 9.2, para o valor de referencia k = 5.29 e valor

inicial u = 0 (i.e., nao se atribuiu head start (0%HS) a este esquema).

O limite superior de controlo do esquema CUSUM unilateral superior

e igual a UCLC = 18.3.

De notar que o esquema CUSUM unilateral superior para dados

binomiais assinalou a perda de controlo somente a 60a. observacao tal

como confirmam a Tabela 9.2 e a Figura 9.1.

De referir tambem que o esquema nao foi responsavel por nenhum

falso alarme antes da ocorrencia do shift.1Valor este que se deveria ao acumular de desvios negativos entre o que se observa e o valor de

referencia.

253

Tabela 9.2: No. observado de defeituosos yN e estatıstica CUSUM para: n = 100,

p = p0 = 0.05, para N = 1, . . . , 50, p = p0 + θ = 0.056, para N = 51, . . . , 70;

k = 5.29, u = 0 e UCLC = 18.3.

N yN N yN N yN N yN N yN N yN N yN

1 4 11 5 21 4 31 6 41 4 51 5 61 6

2 10 12 5 22 6 32 5 42 2 52 5 62 9

3 5 13 5 23 7 33 5 43 8 53 7 63 5

4 11 14 3 24 5 34 7 44 4 54 9 64 3

5 2 15 4 25 6 35 9 45 5 55 4 65 6

6 6 16 4 26 7 36 5 46 8 56 6 66 8

7 2 17 8 27 8 37 8 47 6 57 9 67 4

8 8 18 4 28 3 38 6 48 6 58 7 68 6

9 8 19 7 29 6 39 6 49 1 59 6 69 4

10 4 20 1 30 4 40 5 50 3 60 6 70 6

N zN N zN N zN N zN N zN N zN N zN

1 0 11 8.1 21 0.20 31 5.30 41 12.40 51 7.50 61 19.60

2 4.71 12 7.81 22 0.91 32 5.01 42 9.11 52 7.21 62 23.31

3 4.42 13 7.52 23 2.62 33 4.72 43 11.82 53 8.92 63 23.02

4 10.13 14 5.23 24 2.33 34 6.43 44 10.53 54 12.63 64 20.73

5 6.84 15 3.94 25 3.04 35 10.14 45 10.24 55 11.34 65 21.44

6 7.55 16 2.65 26 4.75 36 9.85 46 12.95 56 12.05 66 24.15

7 4.26 17 5.36 27 7.46 37 12.56 47 13.66 57 15.76 67 22.86

8 6.97 18 4.07 28 5.17 38 13.27 48 14.37 58 17.47 68 23.57

9 9.68 19 5.78 29 5.88 39 13.98 49 10.08 59 18.18 69 22.28

10 8.39 20 1.49 30 4.59 40 13.69 50 7.79 60 18.89* 70 22.99

* primeiro sinal valido

254

Figura 9.1: Valores observados da estatıstica CUSUM (zN).

•

Exercıcio 9.8 — Obtenha os valores observados da estatıstica

CUSUM padrao para os dados do Exemplo 9.7 e averigue se, com

LCL = 3 e UCL = 17, e esquema CUSUM padrao teria emitido

algum sinal valido.

Desenhe e comente o esquema com os valores observados desta

estatıstica. •

Textos de apoio: Hawkins e Olwell (1998, pp. 105–133); Morais

(2001, pp. 55–58).

255

9.3 Desempenho de esquemas CUSUM para

atributos

O esquema CUSUM possui estatısticas sumarias dependentes e dado

o caracter recursivo das mesmas pode ser vistas como constituindo

uma cadeia de Markov em tempo discreto com espaco de

estados discreto 2 uma vez que estamos a lidar neste caso com dados

discretos. 3

Apesar de os esquemas CUSUM serem mais rapidos a

detectar shifts de pequena e media magnitude que os esquemas

Shewhart, os esquemas CUSUM nao atingiram, ate hoje, a

popularidade das cartas do tipo Shewhart.

Uma das razoes que se pode apontar e o facto dos esquemas

CUSUM (a par dos do tipo EWMA) nao serem de facil implementacao

e a caracterizacao do respectivo desempenho nao ser necessariamente

trivial, ao contrario do que acontece com os esquemas do tipo

Shewhart.

A avaliacao do desempenho do esquema CUSUM tirando partido

das estatısticas constituırem uma cadeia de Markov facto conduz

aquilo que se designa usualmente de abordagem markoviana.

2{ZN , N ∈ IN0} diz-se uma cadeia de Markov homogenea em tempo discreto com espaco deestados discreto S sse

P (ZN+1 = j | ZN = i, ZN−1 = iN−1, . . . , Z1 = i1, Z0 = i0)

= P (ZN+1 = j|ZN = i)

= pij , ∀i0, i1, . . . , iN−1 ∈ S,N ∈ IN0. (9.3)

Ou seja, a probabilidade do estado vir a tomar certo valor no instante futuro (N + 1) —condicionalmente a informacao sobre o estado no instante presente N e os estados nos instantespassados N − 1, . . . , 0 — depende exclusivamente do estado presente. A matriz [pij ]i,j∈S da-se onome de matriz de probabilidades de transicao (entre estados e a um passo). Note-se ainda quepij = P (transicao do estado i→ estado j) e

∑j∈S pij = soma da linha i = 1.

3O espaco de estados seria contınuo para dados contınuos.

256

Esta abordagem, originalmente proposta por Brook e Evans (1972),

permite determinar a distribuicao exacta (ou aproximada) do

numero de amostras recolhidas ate a emissao de sinal, RL, e

consequentemente qualquer outra caracterıstica que diga respeito a

RL como e o caso de ARL.

Exemplo 9.9 / Exercıcio — Considere um esquema CUSUM

unilateral superior para dados binomiais cuja estatıstica e

ZN = ZN(θ) =

u, N = 0

max{0, ZN−1(θ) + [YN(θ)− k]}, N ∈ IN.(9.4)

Caso k e u sejam inteiros positivos, a estatıstica e regida por uma

cadeia de Markov em tempo discreto com espaco de estados IN0,

estado inicial nulo, e matriz de probabilidades de transicao,

dependente da magnitude do shift θ

P(θ) =

Fθ(k) Pθ(k + 1) Pθ(k + 2) · · ·Fθ(k − 1) Pθ(k) Pθ(k + 1) · · ·Fθ(k − 2) Pθ(k − 1) Pθ(k) · · ·Fθ(k − 3) Pθ(k − 2) Pθ(k − 1) · · ·...

...... . . .

, (9.5)

onde Fθ(i) = Fbinomial(n,p0+θ)(i) e Pθ(i) = Pbinomial(n,p0+θ)(i)

representam a funcao de distribuicao e a funcao de probabilidade de

YN = YN(θ) para qualquer inteiro nao negativo i. (Justifique!)

Assuma agora que se emite um sinal assim que a estatıstica

exceda o limite superior de controlo UCL = x, onde x e um

inteiro positivo. Nestas circunstancias, o run length deste esquema

CUSUM unilateral superior pode ser representado pelo seguinte

tempo de primeira passagem:

RLu(θ) = min{N : ZN(θ) > x | Z0(θ) = u}. (9.6)

257

De facto o run length tem exactamente a mesma distribuicao que certo

tempo de primeira passagem da seguinte cadeia de Markov absorvente

em tempo discreto {SN(θ), N ∈ IN0}, onde: S0(θ) = Z0(θ) = u; e, para

N ∈ IN ,

SN(θ) =

ZN(θ), se ZN(θ) ≤ x e SN−1(θ) ≤ x

x+ 1, c.c..(9.7)

Esta cadeia de Markov possui espaco de estado finito {0, 1, . . . , x+ 1}e estado absorvente x + 1. Para alem disso, as suas transicoes sao

regidas pela matriz de probabilidades de transicao P(θ) dada por

Fθ(k) Pθ(k + 1) Pθ(k + 2) · · · Pθ(k + x) 1− Fθ(k + x)Fθ(k − 1) Pθ(k) Pθ(k + 1) · · · Pθ(k + x− 1) 1− Fθ(k + x− 1)Fθ(k − 2) Pθ(k − 1) Pθ(k) · · · Pθ(k + x− 2) 1− Fθ(k + x− 2)

......

.... . .

......

Fθ(k − x) Pθ(k − x+ 1) Pθ(k − x+ 2) · · · Pθ(k) 1− Fθ(k)0 0 0 · · · 0 1

. (9.8)

Com efeito,

RLu(θ) =st min{N : SN(θ) = x+ 1 | S0(θ) = u}. (9.9)

•

Exercıcio 9.10 — Obtenha a matriz de probabilidades de transicao

associada a uma carta CUSUM padrao para dados binomiais com

limites de controlo e valor de referencia inteiros, LCL = 2, UCL = 10

e k = 6, respectivamente e YN ∼ binomial(10, 0.5). •

Tal como se constatou no exemplo anterior lidaremos com uma

cadeia de Markov absorvente em tempo discreto e com espaco de

estados finito {0, 1, . . . , x + 1}, estado absorvente x + 1, estados

258

transeuntes 0, 1, . . . , x e matriz de probabilidades de transicao, passıvel

da seguinte representacao:

P(θ) =

Q(θ) [I−Q(θ)] 1

0> 1

(9.10)

onde:

• Q(θ) = [pij(θ)]xi,j=0, i.e., esta matriz (x + 1)× (x + 1) e obtida a

partir da matriz P(θ) por eliminacao da ultima linha e da ultima

coluna; esta matriz rege as transicoes entre os estados transeuntes

da cadeia;

• 1 (0>) e um vector-coluna (vector-linha) com x+ 1 uns (zeros); e

• I e a matriz identidade com caracterıstica x+ 1.

Exercıcio 9.11 — Considere agora que os dados possuem

distribuicao fora de controlo de Poisson(0.04), i.e., o numero de

defeitos em amostras aleatorias de dimensao 80 possuem distribuicao

de Poisson(3.2).

Prove que a carta CUSUM unilateral superior com valor de

referencia k = 2 e limite superior de controlo UCL = 2 esta associada

a matriz Q:0.3799 0.2226 0.1781

0.1712 0.2087 0.2226

0.0408 0.1304 0.2087

. (9.11)

•

Tal como se viu no Exemplo 9.9, o RL do esquema de

controlo CUSUM esta relacionado com o numero de transicoes

ate absorcao da cadeia de Markov {SN(θ), N ≥ 0} descrita

anteriormente.

259

Proposicao 9.12 — Seja RLu(θ) o RL de um esquema CUSUM cuja

estatıstica toma valor inicial u, u ∈ {0, 1, .., x}. Entao RLu(θ) e uma

v.a. inteira positiva com funcao de probabilidade dada por:

PRLu(θ)(m) = e>u [Q(θ)]m−1 [I−Q(θ)] 1, m ∈ IN, (9.12)

onde eu representa o (u + 1)−esimo vector da base ortonormada de

IRx+1. •

Nota 9.13 — A distribuicao de RLu(θ) e designada na literatura de

discrete phase-type distribution.

Tabela 9.3: Algumas propriedades de RLu(θ).

F.p. PRLu(θ)(m) = e>u [Q(θ)]m−1 [I−Q(θ)] 1, m ∈ IN

F.s. FRLu(θ)(m) =

1, m < 1

e>u [Q(θ)]bmc 1, m ≥ 1

F. taxa de falha λRLu(θ)(m) = 1− e>u [Q(θ)]m 1

e>u [Q(θ)]m−1 1, m ∈ IN

Quantil de ordem p F−1RLu(θ)(p) = inf{m ∈ IN : FRLu(θ)(m) ≥ p}, 0 < p < 1

F.g.p. PGRLu(θ)(z) = z × e>u [I− zQ(θ)]−1 [I−Q(θ)] 1, 0 ≤ z ≤ 1

Momento fact. ordem s FMRLu(θ)(s) = s!× e>u [Q(θ)]s−1 [I−Q(θ)]−s 1, s ∈ IN

Valor esperado E[RLu(θ)] = e>u [I−Q(θ)]−1 1

Para referencia futura listamos na Tabela 9.3 algumas

caracterısticas de RLu(θ). De notar que:

• FRLu(θ)(m) representa a probabilidade de se emitir um sinal

apos a recolha de mais de m amostras;

• λRLu(θ)(m) representa a probabilidade da amostra m emitir

um sinal, dado que as m − 1 amostras anteriores nao

260

foram responsaveis por qualquer sinal, e pode ser entendida

como uma “taxa de alarme”do esquema aquando da recolha da

amostra m. •

Ha algumas semelhancas entre estas caracterısticas de RLu(θ) e as

do run length de uma carta Shewhart; para todos os efeitos Q(θ) pode

ser pensada como o analogo matricial de 1− ξ(θ).Esta analogia era de certo modo de esperar pois as discrete phase-

type distributions correspondem a uma generalizacao matricial da

distribuicao geometrica.

Tabela 9.4: Esquemas Shewhart vs. CUSUM

Shewhart CUSUM

Estatısticas Estatısticas regidas por

i.i.d. Cadeia de Markov

RL(θ) =st Geometrica (ξ(θ)) RLu(θ) =st Phase-type (eu,Q(θ))

u = estado inicial

1− ξ(θ) = Pθ(TN ∈ [LCL,UCL]) Q(θ) matriz sub-estocastica

Deteccao lenta de desvios Deteccao eficiente de desvios

pequenos ou moderados pequenos ou moderados

As distribuicoes phase-type sao computacionalmente muito

apelativas, como se pode constatar apos a consulta da Tabela 9.3.

Primeiro, porque as propriedades de RLu(θ) expressam-se a custa de

somente dois parametros (eu e Q(θ)). Segundo, porque a obtencao

das propriedades de RLu(θ) envolve operacoes triviais tais como:

• a multiplicacao de matrizes (para obter, por exemplo, a f.p. e a

f.s);

• a inversao de matrizes (para calcular momentos factoriais e ARL).

261

Por ultimo, porque algumas destas propriedades podem ser calculadas

de modo recursivo, como ilustram Champ e Rigdon (1991):

PRL(θ)(m) = [P [RLu(θ) = m]]u=0,...,x

= Q(θ)× PRL(θ)(m− 1). (9.13)

No planeamento de um esquema de controlo e necessario estabelecer

um compromisso entre um RL grande sob controlo e um RL

pequeno fora de controlo, por forma a garantir falsos alarmes

pouco frequentes e uma deteccao rapida de uma alteracao especıfica

no parametro que se pretende controlar.

Tendo presente este compromisso, Gan (1993) sugere, por exemplo,

que o valor de referencia de um esquema CUSUM unilateral superior

para dados binomiais seja seleccionado o mais proximo de

n× ln[(1− p0)/(1− p1)]

ln[(1− p0)p1/(1− p1)p0]. (9.14)

Recorde-se que np0 e o valor esperado nominal do numero de

defeituosos por amostra aleatoria de dimensao n, e np1 denota o

correspondente valor fora de controlo que se pretende detectar com a

maior brevidade. Gan (1993) alega que resultados numericos sugerem

que o valor de referencia em (9.14) conduz a esquemas CUSUM

unilaterais superiores optimos para dados binomiais — optimos, em

termos de ARL — na deteccao de um aumento em p com magnitude

p1 − p0.

Exemplo 9.14 — Considere um esquema CUSUM unilateral

superior sem head start (i.e. u = 0) com np0 = 100 × 0.02 = 2,

valor de referencia k = 3 — que corresponde a np1 = 4.27685 de

acordo com a Equacao (9.14) — e UCL = x = 6. Neste caso, o RL

262

sob controlo, RL0(0) possui distribuicao phase-type discreta definida

por (e0,Q(0)), onde, recorrendo a Equacao (9.8),

Q(0) =

0.8590 0.0902 0.0353 0.0114 0.0031 0.0007 0.0002

0.6767 0.1823 0.0902 0.0353 0.0114 0.0031 0.0007

0.4033 0.2734 0.1823 0.0902 0.0353 0.0114 0.0031

0.1326 0.2707 0.2734 0.1823 0.0902 0.0353 0.0114

0 0.1326 0.2707 0.2734 0.1823 0.0902 0.0353

0 0 0.1326 0.2707 0.2734 0.1823 0.0902

0 0 0 0.1326 0.2707 0.2734 0.1823

. (9.15)

O conjunto de parametros da carta conduz a ARLs para os valores

nomimais e fora de controlo de np, np0 e np1, iguais a ARL0(0) =

1015.71 — proximo do ARL sob controlo do esquema−np do Exemplo

9.8, 1073.03 — e ARL0(p1 − p0) = 5.932, como reporta a Tabela 9.5.

Esta tabela descreve o comportamento de RL0(θ), atraves da

inclusao de varias medidas de RL, para θ = 0, 0.001, 0.0025, 0.005,

0.0075, 0.01, 0.02, p1 − p0, 0.03.

Ilustra tambem quao pouco fiavel e ARL como medida de

desempenho do esquema quando o processo esta sob controlo; por

exemplo, a probabilidade de um sinal ser emitido entre as primeiras

295 amostras e de pelo menos 0.25, apesar de o ARL sob controlo

exceder 1015 amostras. Para alem disso, na ausencia de shift em p,

o desvio-padrao SDRL e de cerca de 1000 amostras, logo e possıvel

registar observacoes para alem dos limites de controlo muito mais cedo

ou muito mais tarde do que o esperado; ARL0(0) = 1015.71 amostras.

De acrescentar que RL0(θ) possui assimetria positiva e

achatamento mais acentuado que RL(θ), run length do esquema−npunilateral superior.

Para alem disso, a substituicao do esquema esquema−np unilateral

superior pelo esquema CUSUM unilateral superior resulta numa

263

Tabela 9.5: Alguns quantis do RL e valores de ARL, SDRL, CVRL, CSRL e CKRL

para os esquemas unilaterais superiores CUSUM e np (n = 100, p0 = 0.02, p1 =

0.0427685).

Esquema CUSUM unilateral superior para dados binomiais

RL perc. θ = p− p0

points 0 0.001 0.0025 0.005 0.0075 0.01 0.02 p1 − p0 0.03

5% 55 34 18 9 6 4 2 2 2

25% 295 173 85 32 16 10 4 4 3

Median 705 411 198 72 33 19 6 5 4

75% 1407 819 392 140 63 34 9 7 5

90% 2334 1358 649 230 101 53 13 10 7

95% 3036 1765 843 297 130 68 16 12 8

ARL 1015.71 591.724 284.121 102.081 46.227 25.458 7.194 5.932 4.095

SDRL 1012.18 588.012 280.175 97.895 42.022 21.419 4.320 3.322 1.998

CVRL 0.997 0.994 0.986 0.959 0.909 0.841 0.600 0.560 0.488

CSRL 2.000 2.000 2.000 1.998 1.989 1.961 1.627 1.523 1.303

CKRL 6.000 6.000 5.999 5.992 5.953 5.833 4.296 3.814 2.853

Esquema−np unilateral superior

RL perc. θ = p− p0

points 0 0.001 0.0025 0.005 0.0075 0.01 0.02 p1 − p0 0.03

5% 56 41 27 14 8 5 2 1 1

25% 309 227 148 78 45 27 6 5 3

Median 744 546 355 187 107 65 15 11 6

75% 1487 1092 710 374 214 130 29 21 11

90% 2470 1813 1179 621 355 216 48 35 17

95% 3214 2359 1534 808 461 281 62 45 22

ARL 1073.030 787.737 512.346 270.112 154.275 94.128 21.047 15.369 7.815

SDRL 1072.530 787.237 511.846 269.611 153.774 93.627 20.541 14.861 7.298

CVRL 1.000 0.999 0.999 0.998 0.997 0.995 0.976 0.967 0.934

CSRL 2.000 2.000 2.000 2.000 2.000 2.000 2.001 2.001 2.005

CKRL 6.000 6.000 6.000 6.000 6.000 6.000 6.002 6.005 6.019

reducao quer em ARL quer em SDRL e na maior parte dos quantis,

tal como ilustra a Tabela 9.5. •

264

Nota 9.15 — Caso a estatıstica tome valores fraccionarios ao inves

de inteiros pode tambem aplicar-se a abordagem markoviana apos ser

ter coberto todos os valores possıveis da mesma por um rescalamento

conveniente, tal como sugerem Brook e Evans (1972) e Lucas (1985)

e Gan (1993). •

Exercıcio 9.16 — Elabore um programa no package Mathematica

que permita obter um grafico com as curvas de ARL para as cartas

unilaterais superiores para dados binomiais, descritas no Exemplo

9.14. •

Exercıcio 9.17 — Construa um esquema CUSUM padrao para o

controlo do valor esperado de uma caracterıstica de qualidade com

distribuicao normal, neste caso as medidas referentes as tres ultimas

casas decimais do diametro dos suportes descritos no Exercıcio 9.26.

Assuma que o valor alvo para o valor esperado e igual a a µ0 = 32.5 e

que a variancia e conhecida e igual σ20 = 49.

a) Sera que o processo esta sob controlo?

b) Como poderia obter o desempenho deste esquema de controlo? •

Para mais detalhes acerca de cartas CUSUM para variaveis e favor

consultar Montgomery (1985, pp. 221-239).

Textos de apoio: Hawkins e Olwell (1998, pp. 105–133); Morais

(2001, pp. 23–29).

265

9.4 Esquemas EWMA para variaveis

9.4.1 Esquema EWMA padrao para µ

A semelhanca dos esquemas CUSUM, os esquemas do tipo EWMA

(exponentially weighted moving average) garantem em media uma

deteccao mais rapida de shifts de pequena e media magnitude, por

fazerem uso de uma estatıstica que tira partido nao so da informacao

mais recente como passada do processo de producao.

Definicao 9.18 — O esquema EWMA padrao — para o valor

esperado de uma caracterıstica de qualidade normalmente

distribuıda com variancia constante, conhecida e igual a σ20 — possui

estatıstica dada por

WN =

w,

0 N = 0

(1− λ)×WN−1 + λ× XN , N ∈ IN(9.16)

onde:

• w0 e o valor inicial atribuıdo a estatıstica, usualmente igual ao

alvo da carta, i.e., w0 = µ0;

• λ ∈ (0, 1] e uma constante de amortecimento; e

• XN = 1n

∑ni=1XiN a media da N−esima amostra aleatoria e n a

respectiva dimensao. •

Equivalentemente e considerando agora as medias reduzidas, pode

adoptar-se tambem a seguinte estatıstica para o esquema EWMA:

W ∗N =

w0, N = 0

(1− λ)×W ∗N−1 + λ× XN−µ0

σ0/√n, N ∈ IN.

(9.17)

Contudo deixa de se lidar com um estimador de µ.

266

A seleccao de λ sera discutida mais tarde. Pode, no entanto,

adiantar-se que a sua seleccao dependera do desempenho que se

pretende para o esquemas sob e fora de controlo.

Nota 9.19 — A informacao mais recente acerca do processo esta

condensada em XN e tem associado o peso λ, λ ∈ (0, 1]. A historia

passada do processo e representada na estatıstica por WN−1 e possui

um peso associado igual a (1− λ). A estatıstica em (9.16) nao so tem

um caracter recursivo,

WN = f(WN−1, λ), (9.18)

como pode escrever-se alternativamente do seguinte modo:

WN = (1− λ)Nw0 +N−1∑j=0

λ(1− λ)jXN−j (9.19)

Esta formula permite-nos concluir que o peso atribuıdo a media XN−j

decresce a medida que j aumenta, em particular, a importancia

da informacao decresce geometricamente (exponencialmente) com a

respectiva idade. Daı a designacao do esquema de exponentially

weighted moving average. •

Exercıcio 9.20 — Demonstre o resultado (9.19). Com base neste

resultado e considerando para o efeito que a dimensao das amostras e

igual a n:

a) Obtenha o valor esperado sob controlo da estatıstica e averigue

em que situacoes se trata de estimador centrado de µ.

b) Calcule a variancia sob controlo de WN bem como o seu valor

assintotico, σ2a = limN→+∞ V (WN). •

Exercıcio 9.21 — Compare os pesos atribuıdos a observacoes com

idades 1 a 10 pelas cartas EWMA padrao com λ = 0.05, 0.1, 1. •

267

Definicao 9.22 — Ao recorrer-se so esquema EWMA padrao

descrito na Definicao 9.29 podem usar-se de dois tipos de limites

de controlo:

• limites de controlo exactos, calculados com base em

momentos sob controlo de WN (δ = 0) e considerando w0 = µ0,

LCLN = E(WN)− γ√V (WN)

= µ0 − γ

√√√√√λ [1− (1− λ)2N ]σ20

(2− λ)n(9.20)

UCLN = E(WN) + γ√V (WN)

= µ0 + γ

√√√√√λ [1− (1− λ)2N ]σ20

(2− λ)n(9.21)

onde γ e uma constante real positiva que, cuja seleccao e feita a

par da de λ, tendo sempre em vista o desempenho que se pretende

para carta sob e fora de controlo;

• limites de controlo assintoticos, calculados tambem com base

em momentos sob controlo de WN , w0 = µ0 e considerando

N → +∞,

LCLa = limN→+∞

[E(WN)− γ

√V (WN)

]

= µ0 − γ

√√√√√ λσ20

(2− λ)n(9.22)

UCLa = limN→+∞

[E(WN) + γ

√V (WN)

]

= µ0 + γ

√√√√√ λσ20

(2− λ)n. (9.23)

•

268

Nota 9.23 — Com o objectivo de tornar menos complexa a

determinacao do desempenho do esquema e de evitar calculos

sucessivos dos limites de controlo (e deste modo aligeirar a

manipulacao da carta) e costume substituir os limites de controlo

exactos pelos limites de controlo assintoticos. •

Exercıcio 9.24 — Elabore um grafico com os limites de controlo

exactos e assintoticos admitindo que γ = 3, w0 = µ0 = 0, λ = 0.05,

σ0 = 1, n = 9 e N = 1, . . . , 10.

Repita o grafico considerando desta feita λ = 0.25, 0.5. Compare e

comente os graficos obtidos. •

Atente-se que, ao utilizar o esquema com limites de controlo

assintoticos, se corre maior risco de nao emitir sinal valido as primeiras

amostras e ser-se levado a crer que o processo esta sob controlo quando

efectivamente esta fora de controlo.

Ha pois uma perda de sensibilidade do esquema no inıcio do

processo. Este problema e agravado quando λ toma valores proximos

de 0 pois nestes casos V (WN) converge mais lentamente para o seu

valor limite.

Por forma a minimizar as consequencias da utilizacao dos limites

assintoticos na fase inicial do processo e costume adoptar os limites de

controlo exactos para as primeiras 8 a 10 observacoes e recorrer aos

limites de controlo assintoticos para as seguintes observacoes.

Exercıcio 9.25 — Pretende controlar-se o processo de enchimento de

saquetas de produto quımico que conduziu ao conjunto de resultados

(em gramas) da Tabela 9.6.

a) Obtenha os valores da estatıstica de um esquema EWMA padrao

269

para o controlo do valor esperado do peso de cada saqueta,

considerando µ0 = 10.0, w0 = µ0, λ = 0.2, σ/√n = 2 e γ = 3.

Tabela 9.6: Pesos medios de saquetas de produto quımico.

Amostra Media Amostra Media Amostra Media

1 10.5 11 9.5 21 12.0

2 6.0 12 12.0 22 6.0

3 10.0 13 12.5 23 12.0

4 11.0 14 10.5 24 15.0

5 12.5 15 8.0 25 11.0

6 9.5 16 9.5 26 7.0

7 6.0 17 7.0 27 9.5

8 10.0 18 10.0 28 10.0

9 10.5 19 13.0 29 12.0

10 14.5 20 9.0 30 18.0

b) Apos ter elaborado um grafico com os limites de controlo exactos

(e a seguir com os assintoticos) averigue se havera alguma

observacao fora de controlo. •

Exercıcio 9.26 — Uma maquina e utilizada no enchimento de latas

de oleo para motor de carro. Foram recolhidas amostras de n = 4

latas da producao, de meia em meia hora, tendo-se obtido os pesos

medios (em oncas) da Tabela 9.7.

Uma vez que o processo de enchimento foi ha muito automatizado o

desvio-padrao do mesmo ja se estabilizou e a experiencia aponta para

um valor de σ0 = 0.1.

a) Construa um esquema EWMA sem head start (i.e. tal que w0 =

µ0) e γ = 3, µ0 = 8.00 e λ = 0.05.

b) O que podera dizer acerca do estado do processo de producao

considerando limites de controlo exactos. E considerando limites

270

de controlo assintoticos?

Tabela 9.7: Pesos medios de latas de oleo para motor de carro.


1 8.00 9 8.05

2 8.01 10 8.04

3 8.02 11 8.03

4 8.01 12 8.05

5 8.00 13 8.06

6 8.01 14 8.04

7 8.06 15 8.05

8 8.07 16 8.06

•

9.4.2 Esquema EWMA unilateral superior para σ2

O controlo de aumentos da variancia de uma caracterıstica de

qualidade pode fazer-se tambem a custa de um esquema EWMA

unilateral superior.

Posto isto, a substituicao de XN pelo estimador centrado da

variancia σ2, S2N , parece um passo natural para a obtencao de uma

estatıstica do tipo EWMA para σ2. No entanto, essa substituicao e

descabida ja que as cartas de controlo do tipo EWMA se propoem a

detectar alteracoes no valor esperado e nao em parametros de escala

ou suas funcoes como e o caso de σ2.

Crowder e Hamilton (1992) contornaram este problema do seguinte

modo: em vez de substituırem XN na expressao

WN = (1− λ)WN−1 + λXN (9.24)

pelo estimador centrado de σ2, substituıram-no por ln(S2N), logaritmo

da variancia corrigida da N−esima amostra aleatoria.

271

A escolha desta funcao especıfica de S2N tem a sua razao de ser:

um aumento em σ2 provoca um aumento no valor esperado de ln(S2N),

ln(σ2) + ln(2) − ln(n − 1) + ψ[(n − 1)/2], bem como na variancia de

ln(S2N), ψ′[(n − 1)/2], onde ψ e ψ′ representam as funcoes digama e

trigama.

Nota 9.27 — Recorde-se que a funcao gama e definida por

Γ(z) =∫ +∞

0tz−1e−tdt, z > 0. (9.25)

Por seu lado as funcoes digama e trigama sao definidas do seguinte

modo

ψ(z) =d ln Γ(z)

dz(9.26)

ψ′(z) =d2 ln Γ(z)

dz2 , (9.27)

respectivamente (Abramovitz e Stegun (1964, pp. 255 e 260)),

tratando-se, portanto, de casos particulares da funcao poligama

ψ(n)(z) =dn ln Γ(z)

dzn(9.28)

para n = 0, 1. Para alem disso estas duas funcoes estao definidas no

package Mathematica (Polygamma[. . . ]).

A funcao digama e, para valores inteiros positivos e segundo a

formula 6.3.2 e a formula de recorrencia 6.3.5 da p. 258 de Abramovitz

e Stegun (1964), igual a:

ψ(n+ 1) =

−γ, n = 0

ψ(n) + 1/n, n ∈ IN(9.29)

onde γ representa a constante de Euler

γ = limm→+∞

m∑j=1

1

j− ln(m)

= 0.5772156649 (9.30)

272

(Abramovitz e Stegun (1964, p. 255)).

Refira-se tambem que, tendo em conta o valor de ψ′(1) na tabela

6.1 da p. 267 de Abramovitz e Stegun (1964) e a formula de recorrencia

6.4.6 da p. 260 dessa mesma referencia, a funcao trigama para valores

inteiros positivos pode escrever-se recursivamente do seguinte modo:

ψ′(n+ 1) =

1.6449340668, n = 0

ψ′(n)− 1/n2, n ∈ IN(9.31)

•

Exercıcio 9.28 — Tirando partido do facto de a variancia corrigida

de uma amostra aleatoria proveniente de uma populacao normal

verificar (n−1)S2

σ2 ∼ χ2(n−1) (i.e., S2 tem distribuicao gama com

parametro de forma e de escala iguais a (n − 1)/2 e 2σ2/(n − 1))

e que ln(S2) tem distribuicao log-gama, demonstre que:

E[ln(S2N)] = ln(σ2) + ln(2)− ln(n− 1) + ψ[(n− 1)/2]; (9.32)

V [ln(S2N)] = ψ′[(n− 1)/2]. (9.33)

•

Definicao 9.29 — A carta EWMA unilateral superior — para

a variancia de uma caracterıstica de qualidade normalmente

distribuıda — faz uso da estatıstica

VN =

v0, N = 0

max{ln(σ2

0), (1− λ)× VN−1 + λ× ln(S2N)}, N ∈ IN

(9.34)

onde, convenhamos, so vale a pena mencionar que:

• v0 e o valor inicial atribuıdo a estatıstica, usualmente igual a

v0 = ln(σ20);

• S2N = 1

n−1∑ni=1(XiN − X)2 a variancia corrigida da N−esima

amostra aleatoria.

273

Por seu lado esta carta possui limites de controlo assintoticos iguais a

LCLa = ln(σ20) (9.35)

UCLa = ln(σ20) + γ

√√√√ λ

(2− λ)ψ′[(n− 1)/2] (9.36)

•

Exercıcio 9.30 — A temperatura de um reagente quımico e uma

factor crucial para a obtencao de resultados satisfatorios um processo

quımico. O valor nominal para a media e o desvio-padrao da

temperatura do reagente quımico sao µ0 = 100oC e σ0 = 1oC,

respectivamente.

Tabela 9.8: Temperaturas de reagente quımico.

N x1N x2N x3N x4N x5N s2N vN

1 99.3 99.7 100.0 100.2 99.6 0.123

2 98.2 101.1 100.3 100.3 98.0 1.937

3 97.3 100.2 101.0 99.7 100.2 1.987

4 97.9 100.5 97.9 101.0 98.4 2.233

5 101.1 98.7 99.9 101.5 97.8 2.450

6 101.1 98.4 97.9 100.4 100.1 1.867

7 102.4 99.8 99.7 101.3 100.0 1.383

8 100.7 98.6 99.4 101.2 100.0 1.062

9 98.0 100.4 101.0 100.4 101.8 2.012

10 100.4 101.4 99.7 100.2 101.8 0.760

Foram registados grupos de cinco observacoes da temperatura do

reagente quımico de hora a hora, durante um perıodo de dez horas,

com a particularidade de o desvio-padrao do processo tomar valor

distinto do seu alvo e igual a σ = 1.1oC. As temperaturas encontram-

se na Tabela 9.8, a par dos valores observados da variancia amostral

corrigida.

274

a) Preencha a Tabela 9.8 com os valores observados da estatıstica

EWMA sem head start e considerando λ = 0.05 e v0 = ln(σ20).

b) Obtenha os limites de controlo da carta na situacao em que γ =

1.25 e identifique a amostra responsavel pelo primeiro sinal valido.

c) Determine agora os limites de controlo de uma carta Shewhart

unilateral superior com γShew = 1.25. Serao as amostras

responsaveis por algum sinal valido? •

Exercıcio 9.31 — O diametro e uma caracterıstica importante de

uma fibra textil. Foram recolhidas vinte amostras com dimensao igual

a n = 10 tendo-se obtido o conjunto de medias e variancias corrigidas

amostrais da Tabela 9.9 (Montgomery (1985, pp. 251–252)).

Tabela 9.9: Medias e variancias corrigidas do diametro de fibra textil.

N xN s2N wN vN N xN s2

N wN vN

1 1.04 0.87 11 0.99 0.79

2 1.06 0.85 12 1.06 0.82

3 1.09 0.90 13 1.05 0.75

4 1.05 0.85 14 1.07 0.76

5 1.07 0.73 15 1.11 0.89

6 1.06 0.80 16 1.04 0.91

7 1.05 0.78 17 1.03 0.85

8 1.10 0.83 18 1.05 0.83

9 1.09 0.87 19 1.06 0.79

10 1.05 0.86 20 1.04 0.85

a) Preencha a Tabela 9.9 com os valores observados da estatıstica

EWMA padrao sem head start para µ e da estatıstica EWMA

unilateral superior tambem sem head start para σ2, admitindo

que λµ = λσ = 0.05, w0 = 1.06 e v0 = ln(0.83).

275

b) Obtenha os limites de controlo de ambas as cartas na situacao

em que γµ = 3 e γσ = 1.25.

c) Tera sido alguma amostra responsavel por um sinal? •

Textos de apoio: Montgomery (1985, pp. 239–243); Crowder e

Hamilton (1992).

276

9.5 Desempenho de esquemas individuais

EWMA para variaveis

Sem perda de generalidade considerem-se cartas EWMA unilaterais

superiores individuais para µ e σ2 descritos a seguir e que privilegiam

a deteccao de aumentos em µ e na variancia de

Caracterıstica de qualidade =st Normal(µ, σ2)

Sob controlo Fora de controlo

µ = µ0 µ = µ0 + δ × σ0/√n, δ > 0

σ = σ0 θ × σ0, θ > 1

e que fazem uso das seguintes estatısticas sumarias e dos seguintes

pares de limites de controlo:

Tabela 9.10: Caracterizacao dos esquemas individuais

EsquemaEstatıstica no instante de inspeccao N

Limites de controlo

E+ − µ W+µ,N =

w+µ,0, N = 0

max{

0, (1− λ+µ )×W+

µ,N−1 + λ+µ ×

XN−µ0

σ0/√n

}, N > 0

CE+−µ = [LCLE+−µ, UCLE+−µ] =[0, γ+

µ ×√λ+µ /(2− λ+

µ )]

E+ − σ W+σ,N =

w+σ,0, N = 0

max{ln(σ2

0), (1− λ+σ )×W+

σ,N−1 + λ+σ × ln(S2

N )}, N > 0

CE+−σ = [LCLE+−σ, UCLE+−σ]

=[ln(σ2

0), ln(σ20) + γ+

σ ×√ψ′(n−1

2

)× λ+

σ

2−λ+σ

]

onde os valores iniciais das estatısticas sumarias sao iguais a:

w+µ,0 = α× (UCLE+−µ − LCLE+−µ), α ∈ [0, 1) (9.37)

w+σ,0 = ln(σ2

0) + β × (UCLE+−σ − LCLE+−σ), β ∈ [0, 1). (9.38)

Caso α > 0 (β > 0) afirma-se que foi dado um head start de α× 100%

(β × 100%).

277

Seja RLαE+−µ(δ, θ) (RLβE+−σ(θ)) o numero de amostras recolhidas

ate sinal da carta EWMA unilateral superior para µ (σ2) quando

e dado head starts de α × 100% (β × 100%) e a magnitude do shift e

igual a δ (θ).

A abordagem markoviana fornece aproximacao das

caracterısticas de RLαE+−µ(δ, θ) e de RLβE+−σ(θ). Por exemplo,

para o caso do esquema para µ e necessario:

• dividir o intervalo [LCLE+−µ, UCLE+−µ] em x+µ +1 sub-intervalos

com amplitude ∆µ, Ei = [eµ, i, eµ, i+1), i = 0, . . . , x+µ ;

• associar estes sub-intervalos aos estados transeuntes

{0, 1, . . . , x+µ } de uma cadeia de Markov absorvente com espaco

de estados discreto {0, 1, . . . , x+µ + 1};

• aproximar RLαE+−µ(δ, θ) pelo tempo ate absorcao da cadeia de

Markov.

Procede-se do mesmo modo para obter as caracterısticas de

RLβE+−σ(θ). Assim, o numero esperado de amostras recolhidas

ate sinal e a probabilidade de nao ser emitido sinal entre

as primeiras m amostras sao, para os dois esquemas individuais

aproximados por:

Esquema Aproximacao Markoviana

E+ − µ ARLαE+−µ(δ, θ) ' e>bα(x+µ+1)c × [I−Q(δ, θ)]−1 × 1

FRLαE+−µ

(δ,θ)(m) ' e>bα(x+µ+1)c × [Q(δ, θ)]m × 1, m = 0, 1, 2, . . .

E+ − σ ARLβE+−σ(θ) ' e′[β(x+

σ+1)]× [I−Q(θ)]−1 × 1

FRLβ

E+−σ(θ)

(m) ' e′[β(x+

σ+1)]× [Q(θ)]m × 1

Importa notar que no calculo do desempenho do esquema para µ (σ2)

se admitiu que σ2 (µ) e desconhecido embora constante.

278

Discutiremos oportunamente o controlo simultaneo dos parametros

µ e σ2 e constataremos que o desempenho do esquema para µ

depende nao so de δ como da magnitude do shift em σ. Daı

termos lindo a lidar com RLE+−µ(δ, θ).

No que diz respeito ao esquema EWMA unilateral superior

para µ, as transicoes entre os estados transeuntes sao regidas por

uma matriz sub-estocastica com entradas do tipo

qµ, ij(δ, θ) = P [W+µ,N ∈ Ej|W+

µ,N−1 = (eµ, i + eµ, i+1)/2, δ, θ]

= aµ, i j(δ, θ)− aµ, i j−1(δ, θ) (9.39)

onde aµ, i −1(δ, θ) = 0, i = 0, . . . , x+µ , e

aµ, i j(δ, θ) = Φ

1θ×

γ+µ × [(j + 1)− (1− λ+

µ )(i+ 1/2)]

(x+µ + 1)

√λ+µ (2− λ+

µ )− δ

, (9.40)

para i, j = 0, . . . , x+µ . Analogamente, tem-se, para o esquema EWMA

unilateral superior para σ2,

qσ, ij(θ) = P [W+σ,N ∈ Ej|W+

σ,N−1 = (eσ, i + eσ, i+1)/2, θ]

= aσ, i j(θ)− aσ, i j−1(θ) (9.41)

onde

aσ, i j(θ) = Fχ2(n−1)

(n− 1θ2

× exp

γ+σ ×

√ψ′[(n− 1)/2]× [(j + 1)− (1− λ+

σ )(i+ 1/2)]

(x+σ + 1)

√λ+σ (2− λ+

σ )

, (9.42)

para i, j = 0, . . . , x+σ e com aσ, i −1(θ) = 0, i = 0, . . . , x+

σ .

Nota 9.32 — Importa notar que todas as entradas da matriz Qµ(δ, θ)

e Qσ(θ) sao aproximacoes das probabilidades de transicao da cadeia

de Markov original com espaco de estados contınuo, resultantes da

substituicao, no acontecimento condicional, dos eventos {W+µ, N−1 ∈

Eµ, i} e {W+σ, N−1 ∈ Eσ, i} por {W+

µ, N−1 = (eµ, i + eµ, i+1)/2} e

{W+σ, N−1 = (eσ, i + eσ, i+1)/2}, respectivamente. •

279

Exercıcio 9.33 — Deduza a expressao de qµ, i j(δ, θ) para uma carta

EWMA unilateral superior e para uma carta EWMA padrao para µ.

•

Exercıcio 9.34 — Deduza agora a expressao de qσ, i j(θ) para uma

carta EWMA unilateral superior para σ2. •

Exercıcio 9.35 — Recorrendo a um programa para o package

Mathematica e a 41 estados transeuntes, certifique-se que, de acordo

com a aproximacao markoviana, ARLE+−µ(0, 1) ' 500 para o esquema

EWMA unilateral superior para µ com as seguintes caracterısticas:

• µ0 = 0, σ0 = 1, γ+µ = 2.8116 e λ+

µ = 0.134.

Obtenha o ARL desta carta para

• δ = 0.05, 0.10, 0.20, 0.30, 0.40, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9, 1.0, 1.5, 2.0, 3.0.

•

Exercıcio 9.36 — Escreva um programa para o package

Mathematica por forma a obter o ARL sob controlo da carta

EWMA padrao descrita no Exercıcio 9.26, considerando 41 estados

transeuntes na aproximacao markoviana. •

Exercıcio 9.37 — Considere uma carta EWMA unilateral superior

para a variancia de uma caracterıstica de qualidade com distribuicao

sob controlo Normal(µ0, σ0), com n = 5, 0% head start, µ0 = 0,

σ0 = 1, λ = 0.05, LCL = 0, UCL = 0.157079, θ = σ/σ0 ≥1 e o numero esperado de amostras recolhidas ate sinal igual a

ARLE+−σ(1) = 370.414.

Tome agora uma carta Shewhart unilateral superior para σ2 com

limites de controlo LCL = 0 e UCL = 4.06286.

280

a) Prove que ARLS+−σ(1) = 370.414, i.e., as duas cartas sao

comparaveis sob controlo.

b) Elabore um programa no Mathematica por forma a obter valores

de ARLS+−σ(θ), ARLE+−σ(θ) e a alteracao percentual em ARL,

1− ARLE+−σ(θ)

ARLS+−σ(θ)

× 100%, (9.43)

por substituicao do esquema Shewhart pelo esquema EWMA (ver

Figura 9.2). Considere 21 estados transeuntes na aproximacao

markoviana (i.e. x+σ = 20).

Figura 9.2: Reducao percentual em ARL por substituicao de esquema Shewhart por

esquema EWMA.•


281

9.6 Desempenho de esquemas conjuntos para µ e

σ2

E irrealista considerar, no contexto de caracterısticas de qualidade

normalmente distribuıdas, que somente um dos parametros se altera

pois de um modo geral quer µ, quer σ2 estao sujeitos a shifts que e

crucial detectar.

O controlo conjunto de µ e σ2 e em geral efectuado usando esquemas

conjuntos, dividindo-se estes em duas categorias:

• esquemas que recorrem a uma so carta e uma estatıstica

univariada (Chengalur et al. (1989), Domangue e Patch (1991))

ou bivariada (Takahashi (1989));

• esquemas que resultam do uso simultaneo de duas cartas

de controlo individuais — uma para µ outra para σ2 (Crowder

(1987), Saniga (1989), Gan (1989, 1995), St. John e Bragg (1991),

Morais e Pacheco (2000)).

Exercıcio 9.38 — Caracterize um esquema conjunto para µ e σ2 que

faz uso de uma carta Shewhart padrao para µ e uma carta Shewhart

unilateral superior para σ2.

a) Em que situacoes e emitido sinal por este esquema conjunto?

b) Como se pode escrever o numero de amostras recolhidas ate que

o esquema conjunto emita sinal, RLµ,σ(δ, θ), a custa dos RLs das

cartas individuais?

c) Qual a distribuicao de RLµ,σ(δ, θ)?

d) Obtenha um grafico tridimensional de ARLµ,σ(δ, θ) para um

esquema conjunto a sua escolha. •

282

Exercıcio 9.39 — Retome o Exercıcio 9.31 considerando agora um

esquema conjunto similar ao do Exercıcio 9.38.

a) Defina os limites de controlo das cartas individuais de modo que

a probabilidade de emissao de falso alarme e em qualquer dos

casos igual a 0.002?

b) Obtenha a probabilidade de o esquema conjunto emitir um falso

alarme.

c) Qual a probabilidade de vir a ser emitido um sinal valido entre

as 10 primeiras amostras recolhidas apos um shift simultaneo em

µ e σ com magnitude (δ, θ) = (0.1, 1.1)?

d) Obtenha um grafico tridimensional de ARLµ,σ(δ, θ) para este

esquema conjunto. •

9.6.1 Sinais erroneos — Misleading Signals

Qualquer dos esquemas conjuntos que faca uso simultaneo de duas

cartas emite um sinal aquando da recolha da N -esima amostra desde

que pelo menos uma das duas cartas o faca. Entao ha a

possibilidade de

• um aumento em σ ser seguido de sinal na carta para µ ou

de

• uma alteracao em µ ser seguida de sinal na carta para σ.

Estas ocorrencias foram designadas, a par de outras, de

Misleading Signals por St. John e Bragg (1991) e Morais e Pacheco

(2000) classificaram-nos de Tipos III e IV, respectivamente.

Exercıcio 9.40 — Procure identificar outros tipos de misleading

signals quando se faz uso de esquema EWMA padrao para µ. •

283

Exemplo 9.41 — Os valores alvo para o valor esperado e desvio-

padrao da temperatura de um reagente quımico sao µ0 = 100oC and

σ0 = 1oC, respectivamente.

Suponha que se recolhe gupos de n = 9 temperaturas de reagente

de hora a hora, durante 10 horas consecutivas.

Considere-se um primeiro caso em que somente o desvio-padrao do

processo esta fora de controlo e toma o valor σ = 1.2oC.

No segundo caso assuma-se que somente o valor esperado do

processo esta fora de controlo mais precisamente no nıvel µ =

100.05oC.

Tabela 9.11: Medias (x), variancias (s2) e max{σ20, s

2} das temperaturas do reagente.

(µ, σ) = (100oC, 1.2oC) (µ, σ) = (100.05oC, 1oC)

N x s2 max{σ20, s

2} x s2 max{σ20, s

2}

1 99.887 0.437 1.000 99.980 3.295 3.295***

2 99.429 1.085 1.085 100.478 0.922 1.000

3 100.807 0.610 1.000 99.962 0.963 1.000

4 99.992 1.497 1.497 99.878 0.978 1.000

5 100.025 0.761 1.000 100.130 0.904 1.000

6 100.380 1.113 1.113 99.589 1.402 1.402

7 100.702 1.861 1.861 99.776 0.943 1.000

8 99.897 0.512 1.000 100.093 1.819 1.819

9 101.015* 1.343 1.343 100.408 1.507 1.507

10 100.139 4.779 4.779** 100.116 1.281 1.281

* Misleading signal de Tipo III *** Misleading signal de Tipo IV

** Sinal valido

µ0 = 100oC; σ0 = 1oC; n = 9;

[LCLS−µ, UCLS−µ] = [99.064, 100.936]; [LCLS+−σ, UCLS+−σ] = [1, 2.744].

Os dados respeitantes as medias e variancias corrigidas das

temperaturas de do reagente quımico encontram-se na Tabela 9.11

284

e ilustram a ocorrencia de sinais erroneos nestes dois casos quando

se faz uso de um esquema conjunto com uma carta X padrao para

µ (S − µ) e uma carta S2 unilateral superior para σ2 (S+ − σ),

com limites de controlo (LCLS−µ, UCLS−µ) = (99.064, 100.936) e

(LCLS+−σ, UCLS+−σ) = (1, 2.744).

Com efeito, o esquema conjunto produziu um misleading signal

de Tipo III a 9a observacao no 1o conjunto de dados como se pode

constatar na Tabela 9.11. Analogamente, a 1a observacao de 2o

conjunto de dados esta para alem dos limites de controlo do esquema

para σ2, dando a indicacao de que o desvio-padrao do processo esta

aparentemente fora de controlo, logo produzindo um misleading signal

de Tipo IV.

Convem mencionar que a 10a amostra do 1o conjunto de dados foi

responsavel por um sinal valido, emitido pela carta S+− σ. Contudo,

a carta S − µ nao emitiu nenhum sinal valido entre as primeiras 10

observacoes do 2o conjunto de dados. •

9.6.2 Probabilidades de Misleading Signal (PMS)

Os misleading signals podem levar o utilizador do esquema

conjunto a tentar

• diagnosticar e corrigir causa determinıstica inexistente,

logo a agravar custos de inspeccao.

Esta situacao sugere a utilizacao de pelo menos uma outra medida

de desempenho para alem de RL:

• PMS — Probabilidade de MS.

A independencia entre as estatısticas sumarias das cartas individuais

para µ e σ2 volta a desempenhar um papel importante na obtencao

285

de expressoes simples para as probabilidades de misleading signals dos

Tipos III e IV, denotadas por PMSIII(θ) e PMSIV (δ).

Lema 9.42 — As expressoes das PMSs de Tipos III e IV para

esquemas conjuntos envolvendo esquemas individuais com estatısticas

sumarias independentes sao iguais a

PMSIII(θ) = P [RLσ(θ) > RLµ(0, θ)]

=+∞∑i=2

FRLµ(0,θ)(i− 1)× PRLσ(θ)(i) (9.44)

=+∞∑i=1

PRLµ(0,θ)(i)× FRLσ(θ)(i), θ > 1 (9.45)

PMSIV (δ) = P [RLµ(δ, 1) > RLσ(1)]

=+∞∑i=1

FRLµ(δ,1)(i)× PRLσ(1)(i) (9.46)

=+∞∑i=2

PRLµ(δ,1)(i)× FRLσ(1)(i− 1), δ 6= 0 (9.47)

(ou δ > 0 ao utilizar-se esquemas unilaterais superiores para µ), onde

RLµ(δ, θ) e RLσ(θ) representam os RLs dos esquemas individuais para

µ e σ2. •

Exercıcio 9.43 — Prove que as expressoes exactas das PMSs dos

esquemas conjuntos SS 4 e SS+ 5 sao as que se encontram na Tabela

9.12.

4Este esquema conjunto resulta do uso de uma carta X para µ e uma carta S2 unilateral superiorpara σ2.

5Este esquema faz uso da carta X unilateral superior para µ e carta S2 unilateral superior paraσ2.

286

Tabela 9.12: Expressoes exactas das PMSs de Tipos III e IV para os esquemas

conjuntos SS e SS+.

Esq. conjunto PMSIII(θ), θ > 1 PMSIV (δ), δ 6= 0 (δ > 0)

SS1−[Φ(γµ/θ)−Φ(−γµ/θ)]

[Fχ2n−1

(γ+σ /θ2)]−1−[Φ(γµ/θ)−Φ(−γµ/θ)]

1−Fχ2n−1

(γ+σ )

[Φ(γµ−δ)−Φ(−γµ−δ)]−1−Fχ2n−1

(γ+σ )

SS+ 1−Φ(γ+µ /θ)

[Fχ2n−1

(γ+σ /θ2)]−1−Φ(γ+

µ /θ)

1−Fχ2n−1

(γ+σ )

[Φ(γ+µ −δ)]−1−F

χ2n−1

(γ+σ )

•

Exercıcio 9.44 — Elabore graficos para as PMSs dos Tipos III e IV,

considerando o esquema conjunto descrito no Exemplo 9.41. •

Refira-se que a obtencao das PMSs para esquemas que fazem uso

de cartas do tipo EWMA ou CUSUM passa pela substituicao das

funcoes de sobrevivencia e de probabilidade em (9.45) e (9.46) pelas

suas aproximacoes markovianas.

Refira-se ainda que estes esquemas conjuntos possuem de um modo

geral PMSs inferiores as dos esquemas conjuntos do tipo Shewhart, a

acrescer a uma maior capacidade de deteccao de shifts em µ e σ2, como

se ilustra no exemplo seguinte.

Exemplo 9.45 — Na tabela abaixo encontram-se valores das PMSs

dos Tipos III e IV para esquemas conjuntos SS+ e EE+ para

• dimensao da amostra igual a n = 5;

• valores nominais do parametros, µ0 = 0 e σ0 = 1; e

• δ = 0.05, 0.10, 0.20, 0.30, 0.40, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9, 1.0, 1.5, 2.0, 3.0,

θ = 1.01, 1.03, 1.05, 1.10, 1.20, 1.30, 1.40, 1.50, 1.60, 1.70, 1.80, 1.90,

2.00, 3.00.

287

Estes esquemas conjuntos possuem as seguintes caracterısticas:

• SS+ — faz uso de cartas X e S2 unilaterais superiores tais que

γ+µ = 2.87816, γ+

σ = 16.9238 e ARLS+−µ(0, 1) = ARLS+−σ(1) =

500.000;

• EE+ — resulta da utilizacao simultanea de cartas EWMA

unilaterais superiores para µ e σ2 tais que γ+µ = 2.8116, λ+

µ =

0.134 e ARLE+−µ(0, 1) = 500.047, γ+σ = 1.2198, λ+

σ = 0.043,

ARLE+−σ(1) = 500.027, e 41 estados transeuntes na aplicacao

da abordagem markoviana quer para a carta para µ, quer para a

carta para σ2.

Tabela 9.13: Valores das PMSs dos Tipos III e IV para esquemas conjuntos SS+ e

EE+.

PMSIII(θ) PMSIV (δ)

θ SS+ EE+ δ SS+ EE+

1.01 .484676 .455274 0.05 .460162 .403991

1.03 .456701 .377092 0.10 .421864 .319232

1.05 .430911 .313194 0.20 .349949 .191651

1.10 .375334 .206131 0.30 .286075 .114210

1.20 .295048 .114615 0.40 .231295 .069767

1.30 .242637 .081130 0.50 .185599 .044152

1.40 .206805 .065605 0.60 .148269 .028898

1.50 .180893 .057295 0.70 .118230 .019432

1.60 .161108 .052531 0.80 .094298 .013327

1.70 .145270 .049768 0.90 .075349 .009262

1.80 .132095 .048249 1.00 .060389 .006491

1.90 .120806 .047556 1.50 .021323 .001126

2.00 .110920 .047439 2.00 .008458 .000185

3.00 .051170 .059958 3.00 .001644 .000004

Importa notar que dar head-starts as cartas EWMA unilaterais

superiores para µ (σ) agrava as PMS’s de Tipos III (IV). Os resultados

288

sugerem que a substituicao de um esquema combinado Shewhart

unilateral superior por um do tipo EWMA reduz as PMSs e que

a ocorrencia de misleading signals quer do Tipo III, quer do

Tipo IV, nao parece negligenciavel especialmente para os esquemas

SS+. •

Exercıcio 9.46 — A qualidade do enchimento de garrafas de

refrigerante e controlada recolhendo observacoes respeitantes ao desvio

entre a altura do lıquido em cada garrafa e uma marca-chave no

gargalo da mesma. Admita que o referido desvio possui, sob controlo,

distribuicao normal com valor esperado µ0 = 0cm e desvio-padrao

σ0 = 0.1cm.

Na tabela seguinte foram registadas as medias e as variancias de 10

amostras de 5 garrafas cada:

N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

xN 0.108 -0.074 -0.248 0.539 0.144 0.497 0.206 1.152 0.560 0.235

s2N 0.236 1.364 0.552 1.823 2.504 0.504 0.923 1.354 0.898 3.723

a) Considere-se que o controlo de σ e feito a custa de uma carta

EWMA unilateral superior, caracterizada por λσ = 0.043 e γσ =

1.2198, que possui ARLσ(1) = 500.027 e ARLσ(1.9) = 4.120.

Averigue se alguma das tres primeiras observacoes apontam para

a alteracao de σ.

(b) Admita agora que para o controlo de µ se toma uma carta padrao

do tipo Shewhart cujos limites de controlo sao tais que

– o numero esperado de amostras recolhidas ate a emissao de

falso alarme por parte desta carta e de 370.4.

289

Determine a probabilidade de esta carta emitir um sinal quando

ocorre um aumento de 81% na variancia σ2. Comente.

(c) Ao utilizar-se a carta descrita em (b) e simultaneamente uma

carta unilateral superior do tipo Shewhart para σ, obtem-se o

que se designa por esquema conjunto para µ e σ. Determine

a probabilidade de ocorrencia de sinal erroneo de Tipo III (IV)

quando θ = 1.9 (δ = 0.1), caso a carta para σ possua ARLσ(1) =

200. Comente estes resultados.

Nota: Na impossibilidade de obter valores exactos obtenha

intervalos de valores para estas duas probabilidades.

(Exame de Epoca Especial, 2o. Sem. – 2004/05) •

Exercıcio 9.47 — O fenomeno dos sinais erroneos nao e exclusivo

dos esquemas conjuntos para µ e σ.

a) Qual a probabilidade de ser emitido um sinal erroneo pelo

esquema S2 unilateral superior com numero esperado de amostras

ate falso alarme igual a 100, quando n = 10 e ha uma reducao de

10% no desvio-padrao?

b) Compare-a com a correspondente probabilidade de emissao de

sinal valido por parte de um esquema S2 padrao com ARL sob

controlo tambem igual a 100.

Confronte tambem as probabilidades de emissao de sinal entre as

primeiras 100 amostras destas duas cartas, mais uma vez quando

θ = 0.9. Comente estes resultados.

(Exame de 2a. Epoca, 2o. Sem. – 2004/05) •


290

Capıtulo 10

Amostragem de aceitacao

10.1 Introducao

Nao existem processos de producao perfeitos ou sem variabilidade, por

mais cuidadosos que sejam o seu planeamento e a sua manutencao,

pelo que a inspeccao de materia-prima, de produtos semi-

acabados ou de produtos acabados e fundamental para assegurar

a qualidade da producao.

Quando a inspeccao tem por proposito aceitar ou rejeitar um

lote de um produto de acordo com determinada regra padrao, ela e

habitualmente designada por amostragem de aceitacao.

A amostragem de aceitacao nao fornece, no entanto, nenhuma

forma directa de reduzir a variabilidade do processo de producao, ao

contrario do que acontece com o controlo estatıstico de processos.

Apresenta-se, de seguida, uma aplicacao tıpica da amostragem de

aceitacao.

Exemplo 10.1 (Montgomery (1991, p. 551)) — Uma companhia

recebe um produto de um vendedor. Este produto e uma componente

ou materia-prima usada no processo de fabrico da companhia. E

291

retirada uma amostra de um lote e sao inspeccionadas algumas

caracterısticas de qualidade de cada unidade da amostra. Com base

na informacao obtida desta amostra, e tomada uma decisao no que

diz respeito ao lote.

Os lotes aceites sao utilizados na producao, ao passo que os lotes

rejeitados ou sao devolvidos ao vendedor ou sao sujeitos a outro tipo

de accao. •

A amostragem de aceitacao e pois um compromisso entre a

inspeccao a 100% e a aceitacao dos lotes sem recurso a qualquer

observacao.

Segundo Montgomery (1991, p. 552), a amostragem de aceitacao

e normalmente usada quando, por exemplo:

• testar uma unidade incorre na sua destruicao;

• o custo de uma inspeccao a 100% e demasiado elevado;

• a inspeccao a 100% nao e viavel tecnologicamente ou requereria

tanto tempo que teria um impacto bastante negativo ao nıvel da

producao;

• apesar do processo de producao ter uma notavel historia de

qualidade, a nao inspeccao nao e de todo razoavel e a inspeccao

a 100% e desprovida de sentido.

A amostragem de aceitacao apresenta vantagens obvias,

quando confrontada com o recurso a inspeccao a 100%:

• e geralmente menos dispendiosa por haver um menor numero de

observacoes;

• diminui o contacto com o produto implicando, por isso, uma

reducao em eventuais danos no produto;

292

• envolve menor numero de operadores em actividades de

inspeccao;

• reduz frequentemente o erro de inspeccao, nomeadamente, pela

menor fadiga dos inspectores;

• provoca uma maior motivacao ao vendedor no sentido de uma

melhor qualidade para os seus produtos, mediante a rejeicao de

lotes completos por oposicao a simples rejeicao de unidades com

defeitos.

No entanto, a amostragem de aceitacao tem tambem as suas

desvantagens por comparacao com a inspeccao a 100%. Entre elas

incluem-se, de acordo com Montgomery (1991, p. 556):

• a existencia do risco de aceitar lotes “maus”e, naturalmente,

rejeitar lotes “bons”;

• a geracao de menor informacao acerca do produto ou do processo

de producao;

• a necessidade do planeamento e documentacao dos planos de

amostragem de aceitacao, ao contrario do que acontece com a

inspeccao a 100%.

Os planos de amostragem de aceitacao dividem-se

essencialmente em amostragem por atributos e amostragem

para variaveis. Note-se, no entanto, que ambos os tipos de planos

de amostragem de aceitacao acabam por avaliar a qualidade do lote

atraves da fraccao de unidades defeituosas (ou nao-conformes) e a sua

aplicacao passa, na pratica, pela consulta de normas de falaremos

mais tarde. A saber:

293

• a norma Military Standard 105D (MIL-STD 105D)1 para

atributos ou a sua versao civil ANSI/ASQC Z1.4-1981 (1981) ou

ainda uma versao mais recente desta norma;2 e

• a norma Military Standard 414 (MIL-STD 414) para variaveis ou

a sua versao civil ANSI/ASQC Z1.9-1980 (1980).3

Embora menos popular, a amostragem de aceitacao para variaveis

apresenta uma vantagem importante quando comparada com a

amostragem por atributos (Montgomery (1991, p. 623-624)):

• os planos de amostragem para variaveis apresentam um menor

risco de aceitacao de lotes com qualidade inaceitavel que os

planos de amostragem por atributos, ao considerar-se amostras

de dimensoes iguais.

Debrucar-nos-emos tambem sobre dois tipos de amostragem de

aceitacao:

• os planos de amostragem simples, de longe os mais usados

que estao associados a uma decisao sobre lotes baseada na

informacao respeitante a uma amostra;

• os planos de amostragem dupla que, grosso modo, fazem

depender o processo de decisao da recolha de duas amostras;

estes planos podem ser generalizados, obtendo-se, por exemplo,

planos de amostragem multipla ou ainda planos de amostragem

sequencial.

Acrescente-se ainda que se averiguara as implicacoes da

rectificacao da inspeccao no desempenho de planos de amostragem

de aceitacao simples ou dupla.1De acordo com Montgomery (1985, p. 389), esta norma data de 1963.2E o caso da norma ANSI/ASQC Z1.4-2003 (2003).3Ou ainda a versao mais recente, a norma ANSI/ASQC Z1.9-2003 (2003).

294

Fontes: Casquilho et al. (2005) e Constantino (2004, pp. 6–9).

Texto de apoio: Gomes e Barao (1999, pp. 115-119).

295

10.2 Planos de amostragem de aceitacao simples

por atributos

Comece-se por admitir que se tem um lote de dimensao N , com fraccao

de unidades defeituosas p.

Recorrer a um plano de amostragem de aceitacao simples por

atributos pressupoe normalmente a recolha aleatoria de uma

amostra de dimensao n e apurar o numero de unidades

defeituosas da amostra. De seguida, deve comparar-se esse valor

com o chamado numero de aceitacao, c. Se o numero de unidades

defeituosas da amostra nao for superior ao numero de aceitacao c ,

aceita-se o lote; caso contrario, rejeita-se o lote.

A definicao de um plano de amostragem simples por

atributos passa por determinar a dimensao da amostra n e

o numero de aceitacao c. A escolha destas duas constantes

pressupoe a obtencao previa da curva caracterıstica operatoria

(“operating characteristic curve”ou curva OC). Esta curva nao passa

da probabilidade de aceitacao dum lote em funcao da sua qualidade,

i.e., de p.

Considere-se M = N×p um inteiro que mais nao e que o numero de

unidades defeituosas no lote. Entao a v.a.D que representa o numero

de unidades defeituosas numa amostra de n unidades seleccionadas

ao acaso sem reposicao segue uma distribuicao hipergeometrica, cuja

funcao de probabilidade e dada por:

P (D = d) =

M

d

N −Mn− d

N

n

, (10.1)

296

para d = max {0, n− (N −M)} , ...,min {n, M}.

A probabilidade de aceitacao do lote e, evidentemente, funcao de p

e igual a:

Pa = Pa(p) = P (D ≤ c) =c∑

d=0

M

d

N −Mn− d

N

n

, (10.2)

onde, recorde-se, M = Np. A equacao (10.2) define o que se denomina

de curva OC do tipo A.

Ao supor-se que a dimensao do lote e suficientemente grande, a

distribuicao de D pode ser aproximada pela distribuicao binomial de

parametros n e p = M/N . Esta aproximacao e particularmente boa

quando n/N < 0.1 e conduz a seguinte aproximacao da probabilidade

de aceitacao do lote

Pa(p) 'c∑

d=0

n!

d!(n− d)!pd (1− p)n−d = FBinomial(n,p)(c). (10.3)

(10.3) define a chamada curva OC do tipo B.

Exercıcio 10.2 — Considere n = 89 e c = 2. Esboce a curva OC do

tipo B.

Esboce agora a curva OC ideal, ou seja, a curva que caracteriza

um plano de amostragem de aceitacao que distingue perfeitamente os

lotes “bons”4 de lotes “maus”. •

A escolha das constantes n e c que determinam o plano de

amostragem de aceitacao simples por atributos e norteada por um

compromisso: e necessario que a curva OC passe por dois pontos,

4I.e., lotes com fraccao de unidades defeituosas nao superior a p1.

297

de forma a que a probabilidade de aceitacao seja igual a 1 − α para

lotes com fraccao de unidades defeituosas p1, e que a probabilidade

de aceitacao seja β para lotes com fraccao de unidades defeituosas

p2 (p2 > p1). Assim:

(n, c) :

Pa(p1) = 1− αPa(p2) = β.

(10.4)

E costume designar os valores da fraccao de unidades defeituosas

p1 e p2 de ındices:

• AQL (“Acceptable Quality Level”ou nıvel de qualidade aceitavel)

• LTPD (“Lot Tolerance Percent Defective”ou fraccao toleravel de

defeituosos),

respectivamente.

O ındice AQL(= p1) corresponde a pior qualidade a que o

processo pode operar e que ainda conduz a uma probabilidade

elevada de aceitacao do lote. Por seu lado, o ındice LTPD(= p2)

e o valor da qualidade a partir do qual se considera que o

produto nao e aceitavel. (Veja-se Gomes e Barao (1999, pp. 121-

122).)

Deste modo, n e c sao escolhidos de modo a curva OC passe

pelos pontos (AQL, 1−α) e (LTPD, β), habitualmente designados de

ponto do risco do produtor e o ponto do risco do consumidor,

respectivamente.

Estas designacoes tem a sua razao de ser:

• o produtor deseja evitar rejeitar lotes de boa qualidade,

daı exigir-se que a probabilidade de aceitacao do lote verifique

Pa(p) ≥ 1−α, para p ≤ AQL, onde 1−α toma um valor proximo

de 1 e α denota o risco do produtor;

298

• o consumidor pretende evitar aceitar lotes de ma

qualidade, donde exigir-se que Pa(p) ≤ β, para p ≥ LTPD,

onde β toma valor proximo de 0 e representa o risco do

consumidor.

Ao recordar o caracter discreto da v.a.D, a natureza inteira de

n e c, o reparo do paragrafo anterior e ao assumir-se a validade da

aproximacao a distribuicao binomial, o tamanho da amostra n e o

numero de aceitacao c deverao ser escolhidos por forma a satisfazerem

as duas inequacoes seguintes:

(n, c) :

∑cd=0

n!d!(n−d)! p

d1 (1− p1)

n−d ≥ 1− α∑cd=0

n!d!(n−d)! p

d2 (1− p2)

n−d ≤ β.(10.5)

(10.5) assegura (ao produtor) uma probabilidade de aceitacao maior

que 1 − α para lotes com fraccao de unidades defeituosas AQL = p1

e garante (ao consumidor) uma probabilidade de aceitacao menor que

β para lotes com fraccao de unidades defeituosas LTPD = p2.

A resolucao de (10.5) pode conduzir a diferentes pares de inteiros

(n, c) logo a distintos planos de amostragem de aceitacao simples por

atributos, com as correspondentes curvas OC passando proximo dos

pontos do risco do produtor e do risco do consumidor.

Descreve-se, de seguida, um metodo aproximado de obtencao do par

(n, c) do plano de amostragem. Este metodo e descrito por Wetherill e

Brown (1991) e basea-se no uso da distribuicao de Poisson como uma

aproximacao binomial e tira partido de uma relacao conhecida entre

a f.d. da v.a. de Poisson e a f.d. da v.a. qui-quadrado.

Uma vez estabelecidos os pontos do risco do consumidor (AQL =

p1, 1−α) e do risco do produtor (LTPD = p2, β), o uso da aproximacao

299

da Poisson a binomial, leva-nos a concluir que

(n, c) :

∑cd=0

e−np1(np1)d

d! ≥ 1− α∑cd=0

e−np2(np2)d

d! ≤ β.(10.6)

Tirando agora partido do facto de

FPoisson(λ)(c) =c∑

d=0

e−λλd

d!= 1− Fχ2

2(c+1)(2λ), (10.7)

(10.6) passa a ser equivalente a

(n, c) :

1− Fχ2

2(c+1)(2np1) ≥ 1− α

1− Fχ22(c+1)

(2np2) ≤ β(10.8)

ou ainda a

(n, c) :

2np1 ≤ F−1

χ22(c+1)

(α)

2np2 ≥ F−1χ2

2(c+1)(1− β).

(10.9)

Agora, ao tomar-se

r(c) =F−1χ2

2(c+1)(1− β)

F−1χ2

2(c+1)(α)

, (10.10)

conclui-se que a constante de aceitacao do plano de amostragem

simples por atributos c e o menor inteiro que satisfaca a condicao

r(c) ≤ p2

p1. (10.11)

Por seu lado, a dimensao da amostra n decorre das duas desigualdades

em (10.6) e como tal e enquadrada do seguinte modo:

F−1χ2

2(c+1)(1− β)

2p2≤ n ≤

F−1χ2

2(c+1)(α)

2p1. (10.12)

Qualquer valor de n que satisfaca (10.12) e solucao do problema.

Recomenda-se, no entanto, que se tome, por exemplo, o menor inteiro

que satisfaca (10.12) para o valor da dimensao da amostra.

300

Exercıcio 10.3 — Considere os valores

• p1 = AQL = 0.01,

• p2 = LTPD = 0.10,

• α = 0.05 (risco do produtor) e

• β = 0.10 (risco do consumidor),

e responda as questoes seguintes:

(a) Defina o plano de amostragem simples por atributos.

(b) Obtenha uma tabela com valores aproximados da probabilidade

associada de aceitacao do lote para p = 0.005, 0.01, 0.04, 0.065,

0.1, 0.15.

(c) Esboce o grafico da curva OC do tipo B.

(d) Repita (a)–(c), resolvendo o sistema de inequacoes

(n, c) :

Pa(p1) ≥ 1− αPa(p2) ≤ β,

(10.13)

considerando agora a distribuicao exacta de D (hipergeometrica)

e o tamanho do lote igual aN = 800. Comente.

(e) Repita (d) considerando somente a aproximacao binomial a

hipergeometrica na resolucao do problema.

(f) Compare as tres curvas OC obtidas. •

Fonte: Constantino (2004, pp. 13–21).

301

10.3 A norma Military Standard 105

(ANSI/ASQC Z1.4)

A norma Military Standard 105D5 ou uma sua versao civil, como e

o caso de norma ANSI/ASQC Z1.4-1981 surge como alternativa

a resolucao do sistema (10.13) para a definicao de um plano de

amostragem de aceitacao simples por atributos.

Ao inves dos valores correspondentes a dimensao do lote N e aos

pontos do risco do produtor (AQL, 1−α) e do consumidor (LTPD, β),

a norma ANSI/ASQC Z1.4-1981 requer simplesmente o ındice

AQL e o letra de codigo da dimensao da amostra (sample

size code letter)6 para a obtencao do plano de amostragem

considerado acima.

De realcar que so e possıvel considerar certos valores para o ındice

AQL. O valor mınimo e maximo de AQL correspondem a 0.01%

e 10%, respectivamente. Saliente-se que os valores tabelados

superiores a 10% correspondem ao numero de defeitos por cada

100 unidades e nao a percentagem de defeituosos.

E importante notar que a norma nao da qualquer indicacao acerca

da probabilidade de aceitacao do plano de amostragem ao nıvel do

ındice AQL, nem tao pouco da qualquer informacao acerca de LTPD

e respectiva probabilidade de aceitacao.

A letra de codigo da dimensao da amostra e obtida por recurso

a Tabela I (Sample Size Code Letters) da norma ANSI/ASQC

5A versao original desta norma, MIL-STD 105A, data de 1950, de acordo com Montgomery(1985, p. 389).

6Esta designacao deveras enganadora diz, na verdade, respeito ao tamanho do lote mas e porutilizacao desse codigo que se obtem, posteriormente e por recurso a outra tabela, a dimensao daamostra.

302

Z1.4-1981, determinando a linha onde se situa o intervalo onde

se enquadra a dimensao do lote Nessa mesma linha encontra-se,

consoante o nıvel geral de inspeccao (que aqui sera sempre considerado

o nıvel II geral de inspeccao), a correspondente letra de codigo da

dimensao da amostra.

Por exemplo, o codigo obtido para a dimensao da amostra e a letra

H para lotes com dimensoes compreendidas no intervalo entre 281 e

500).

Inspeccionando a Tabela II-A (Single Sampling Plans for Normal

Inspection) da norma ANSI/ASQC Z1.4-1981, obtem-se a

dimensao da amostra n na linha correspondente ao codigo da dimensao

da amostra. E ao intersectar esta linha com a coluna correspondente

ao valor do ındice AQL, obtem-se a constante de aceitacao c. Esta

assim definido o plano de amostragem de aceitacao simples por

atributos.

A tıtulo de exemplo, ao considerar-se AQL=0.01 obtem-se o plano

de amostragem caracterizado por n = 50 e c = 1.

Exercıcio 10.4 — Averigue quao concordantes sao os planos obtidos

no Exercıcio 10.3 com o plano de amostragem determinado pela norma

ANSI/ASQC Z1.4-1981, no que diz respeito a curva OC. Relembre-

se que naquele exercıcio considerou-se AQL = p1 = 0.01, α = 0.05,

LTPD = p2 = 0.1 e β = 0.1. •

Exemplo 10.5 — A Tabela 10.1 permite uma comparacao entre as

constantes n e c dos planos de amostragem simples obtidos pela norma

ANSI/ASQC Z1.4-1981 e dos planos obtidos resolvendo o sistema

(10.6) fazendo uso da distribuicao exacta de D, considerando para

o efeito o tamanho do lote igual a N = 800 e diversos valores dos

303

pontos do consumidor e do produtor.

Esta tabela revela uma serie de diferencas entre os planos de

amostragem obtidos pela norma e pelo sistema (10.6). Estas diferencas

devem-se ao facto de serem considerados pela norma diferentes valores

para o LTPD, sobre os quais nao existe, por sinal, qualquer referencia.

Alias, a norma vai fazendo uso de diferentes ındices de LTPD para

diferentes valores de AQL.

De assinalar, igualmente, a evolucao do tamanho da amostra para

planos de amostragem em que so varia o valor de p2. Assim, mantendo

p1 constante e a medida que p2 vai aumentando, o valor obtido

para a dimensao da amostra n vai diminuindo (para a distribuicao

hipergeometrica). Tal deve-se ao facto de um plano de amostragem

com valores de p1 e p2 relativamente proximos ter que ser mais sensıvel

a pequenas alteracoes ao nıvel da qualidade, exigindo, por isso, que se

recolha uma amostra de dimensao maior.

Repare-se por fim que, para um valor baixo de p1, o plano de

amostragem requer uma dimensao de amostra elevada: por sinal, para

a norma ANSI/ASQC Z1.4-1981, e necessaria uma inspeccao a 100%;

o valor obtido para n considerando a distribuicao hipergeometrica nao

lhe e muito inferior. •

Recomenda-se vivamente a leitura de Montgomery (1985, pp. 389–

413) para mais detalhes acerca da utilizacao das tabelas MIL-STD

105D e similares, nomeadamente no que diz respeito aos nıveis de

inspeccao.

Por curiosidade refira-se que existem tres nıveis gerais de inspeccao

(general inspection levels). A saber:

• Nıvel II (Level II) — e designado tambem de nıvel normal de

inspeccao (normal level);

304

Tabela 10.1: Planos de amostragem obtidos por uso da norma ANSI/ASQC Z1.4-

1981 e por recurso a distribuicao hipergeometrica, para N = 800, α = 0.05 e β = 0.1.

Norma ANSI/ASQC Z1.4-1981 Hipergeometrica

p1 =AQL p2 =LTPD n c n c

0.0001 0.001 800 0 720 0

0.001 0.01 125 0 325 1

0.001 0.05 125 0 74 1

0.01 0.1 80 2 37 1

0.04 0.2 80 7 32 3

0.04 0.3 80 7 16 2

0.1 0.2 80 14 96 14

0.1 0.3 80 14 33 6

• Nıvel I (Level I) — requer cerca de metade da quantidade

de unidades a inspeccionar que o nıvel II, e designado de

nıvel reduzido de inspeccao (reduced level) e o seu uso

e recomendado quando nao se pretende grande poder de

discriminacao entre lotes “bons”e ”maus”;

• Nıvel III (Level III) — requer cerca do dobro da quantidade de

unidades a inspeccionar que o nıvel II, e denominado de nıvel

“rigoroso”de inspeccao (tightened level) e recomenda-se o seu

uso quando se pretende uma grande discriminacao entre lotes

“bons”e ”maus”.

A forma como se transita entre estes tres nıveis e tambem descrita

por Montgomery (1985, pp. 390–391).

Refira-se tambem que existem quatro nıveis especiais de inspeccao

(special inspection levels), S1, S2, S3, S4. De acordo com Montgomery

(1985, p. 390), os nıveis especiais de inspeccao requerem amostras

de dimensao pequena e so devem ser usados quando os custos de

305

inspeccao sao proibitivos e quando pode tolerar-se uma certa falta

de poder discriminatorio por parte do plano de amostragem.

Fonte (parcial): Constantino (2004, pp. 21–24).


306

10.4 Planos de amostragem de aceitacao simples

por atributos – com rectificacao da inspeccao

Por um lado parece perfeitamente natural que, face a aceitacao de

um lote, se

• substitua todas as unidades amostrais que tendo sido

inspeccionadas revelaram-se defeituosas e

• nao se inspeccione as restantes N − n unidades do lote.

Por outro lado a rejeicao de um lote devera desencadear uma accao

correctiva por parte do produtor que compreenda nao so a substituicao

das unidades amostrais inspeccionadas e defeituosas como a inspeccao

das restantes N − n unidades do lote e a substituicao de eventuais

unidades defeituosas. Em resumo, a rejeicao de um lote deve ter

como resultado

• uma inspeccao a 100% do mesmo e

• a substituicao de todas as unidades defeituosas do lote.

A este tipo de procedimento damos o nome de rectificacao

da inspeccao. Esta designacao tem a sua razao de ser ja

que as accoes acabadas de descrever acabam por resultar numa

“melhoria/rectificacao”da qualidade do lote.

Os planos com rectificacao da inspeccao sao anteriores a II Guerra

Mundial e sao normalmente usados na inspeccao de materia-prima

ou produtos semi-acabados (receiving inspection) antes de seguirem

no processo de producao ou antes de os produtos acabados (final

inspection) seguirem para os consumidores.

Apos a rectificacao da inspeccao, a fraccao de unidades defeituosas

nos lotes diminui, muito em particular nos lotes rejeitados. Importa

307

pois calcular a fraccao de unidades defeituosas apos a rectificacao da

inspeccao. Para tal recorre-se ao que se designa de qualidade media

a saıda e se representa abreviadamente por AOQ (average outgoing

quality).7

Para calcular AOQ basta notar que apos a rectificacao da

inspeccao:

• acabamos por ficar com 0 (zero) unidades defeituosas no lote,

caso se tenha rejeitado o lote.

• restam em media p(N − n) unidades defeituosas entre as

restantes N − n unidades nao inspeccionadas do lote, caso o lote

tenha sido aceite.8

Dividindo estes dois numeros pela dimensao do lote N obtem-se a

fraccao desejada:

AOQ = AOQ(p)

=1

N× {0× [1− Pa(p)] + p (N − n)× Pa(p)}

=p (N − n)Pa(p)

N. (10.14)

Este indicador e, obviamente, bem aproximado por pPa(p), caso n/N

seja suficientemente pequeno. De referir tambem que as curvas

AOQ(p) estao sempre abaixo da recta y = x.9

Exercıcio 10.6 — Esboce e compare as curvas AOQ(p), associadas

a um par de planos de amostragem simples a sua escolha de entre os

descritos na Tabela 10.1, ao adoptar-se rectificacao da inspeccao. •7Convem voltar a referir que AOQ, ao contrario do que possa sugerir esta designacao,

corresponde a fraccao de unidades defeituosas apos a rectificacao da inspeccao.8Recorde-se que entre as n unidades amostrais de um lote aceite nao ha quaisquer unidades

defeituosas apos a rectificacao da inspeccao.9Basta ter em conta a expressao (10.14) que define AOQ(p).

308

Ao esbocar curvas AOQ(p) rapidamente se conclui que AOQ e uma

funcao monotona por trocos:

• comeca por ser monotona crescente para valores pequenos

da fraccao original de unidades defeituosas p;

• atinge um valor maximo e e, naturalmente, decrescente para

valores de p associados a lotes originalmente com ma

qualidade.

Ao maximo de AOQ(p), p ∈ (0, 1), da-se o nome de (Average

Outgoing Quality Limit) ou limite AOQ e representamo-lo por AOQL;

trata-se da maior das fraccoes de unidades defeituosas devido a

adopcao de rectificacao da inspeccao.

Por seu lado,[1− AOQ(p)

p

]×100% corresponde a reducao relativa

da fraccao de unidades defeituosas nos lotes gracas a rectificacao

da inspeccao.

A rectificacao da inspeccao imprime nao so um caracter

aleatorio ao numero de unidades defeituosas num lote como ao

numero de unidades que e necessario inspeccionar. Se por

um lado num plano de amostragem simples sao recolhidas n unidades

do lote, por outro ao efectuar rectificacao da inspeccao acabamos

por inspeccionar um total de:

• n unidades, caso o lote seja aceite;

• N unidades, caso o lote seja rejeitado.

O numero esperado de unidades inspeccionadas e designado na

literatura anglo-saxonica por ATI (average total inspection) e e uma

outra medida de desempenho do plano de amostragem simples com

rectificacao da inspeccao, e por sinal igual a

ATI = ATI(p) = nPa(p) +N [1− Pa(p)]. (10.15)

309

Exercıcio 10.7 — Esboce agora as curvas ATI(p) para dois dos

planos de amostragem simples descritos na Tabela 10.1, assumindo

rectificacao da inspeccao.

Confronte-as com o numero de unidades inspeccionadas caso nao

se tivesse adoptado rectificacao da inspeccao. •

E perfeitamente natural que AOQL e ATI sirvam, em conjunto,

de criterio para a seleccao de um plano de amostragem

simples com rectificacao da inspeccao. Com efeito, Montgomery

(1985, pp. 372–373) sugere que se fixe um valor para AOQL e

simultaneamente se minimize ATI, para um valor especıfico de p,

obtendo-se assim o que usualmente se designa por plano AOQL.

Analogamente, pode procurar-se escolher um plano de amostragem

simples com rectificacao da inspeccao com um risco fixo ao nıvel LTPD

que minimize o ATI para um valor especıfico de p, obtendo-se deste

modo um plano LTPD.

Os valores de n e c que respeitam (aproximadamente) um destes

dois criterios de seleccao encontram-se em tabelas que se devem

a Dodge e Romig e cuja utilizacao e descrita aturadamente em

Montgomery (1985, Sec. 10-6).

Textos de apoio: Gomes e Barao (1999, pp. 122-125); Montgomery

(1985, pp. 368–373).

310

10.5 Planos de amostragem de aceitacao dupla

por atributos – com e sem rectificacao da

inspeccao

A extensao natural obvia dos planos de amostragem simples

compreende duas etapas de amostragem, sendo que a segunda amostra

e recolhida somente em determinadas circunstancias. Os planos

resultantes denominam-se planos de amostragem dupla e sao

definidos a custa de quatro parametros:

• n1, a dimensao da primeira amostra;

• c1, o numero de aceitacao da primeira amostra;

• n2, a dimensao da segunda amostra;

• c2, o numero de aceitacao face a recolha das duas

amostras;

Dado que ha a possibilidade de recolher duas amostras lida-se

com duas v.a.D1 e D2 que representam os numeros de unidades

defeituosas na primeira e na segunda amostras. Posto isto pode

recorrer-se ao esquema abaixo para descrever sumariamente um plano

de amostragem dupla:

Figura 10.1: Descricao esquematica de um plano de amostragem dupla.

Amostra 1

n1Eunidades

↗ D1 ≤ c1 → Aceitar lote

→ c1 < D1 ≤ c2 →Amostra 2

n2Eunidades

↘ D1 > c2 → Rejeitar lote

↗ D1 +D2 ≤ c2 → Aceitar lote

↘ D1 +D2 > c2 → Rejeitar lote

311

Montgomery (1985, pp. 374–375) aponta nao so vantagens como

algumas desvantagens aos planos de amostragem dupla quando

confrontados com os planos de amostragem simples.

A tıtulo de exemplo refere que o recurso a planos de amostragem

dupla pode resultar numa diminuicao dos custos de inspeccao,

para alem da vantagem psicologica de dar ao lote (e, e claro, ao

produtor) uma segunda oportunidade.

Por sinal, ao dar-se esta segunda oportunidade ao lote, podemos ter

que inspeccionar uma segunda amostra ate ao fim a menos que

se decida fazer o que se designa por censura (curtailment) e consiste

em dar por finda a inspeccao da segunda amostra assim que o numero

registado de unidades defeituosas nas duas amostras exceda c2. E

pois natural que, sem uma escolha criteriosa dos parametros

n1, c1, n2 e c2 e sem a adopcao de censura, se possa por em risco

as potenciais vantagens economicas dos planos de amostragem

dupla.

Por fim, outra desvantagem obvia dos planos de amostragem

dupla prende-se com a complexidade (administrativa) deste

procedimento e dos erros de inspeccao daı decorrentes.

Como seria de esperar, os planos de amostragem dupla requerem

um cuidado particular no calculo de medidas de desempenho como a

probabilidade de aceitacao do lote, bem como a determinacao de uma

medida adicional de desempenho: a dimensao media da amostra

(average sample number).

Sejam P Ia (p) e P II

a (p) as probabilidades de aceitacao do lote na

primeira e segunda fases do plano de amostragem simples. Ora, de

acordo com o esquema da Figura 10.1, pode afirmar-se que

P Ia (p) = P (D1 ≤ c1) (10.16)

312

P IIa (p) = P (c1 < D1 ≤ c2, D1 +D2 ≤ c2)

=c2∑

k=c1+1P (D1 = k)× P (D2 ≤ c2 − k), (10.17)

pelo que a probabilidade de aceitacao do lote e, para um plano

de amostragem dupla, dada por:

Pa(p) = P Ia (p) + P II

a (p). (10.18)

A esta funcao e usual dar o nome de curva OC primaria (primary

OC curve) do plano de amostragem dupla. As probabilidades de

aceitacao e rejeicao do lote a primeira amostra, P Ia (p) e 1 − P I

a (p), e

costume dar o nome de curvas OC suplementares (supplementary

OC curves).

Saliente-se tambem que P Ia (p) mais nao e que a probabilidade

de aceitacao de um lote associada a um plano de amostragem

simples com n = n1 e c = c2.

De assinalar que sob a validade da aproximacao binomial

obtemos as seguintes curvas OC do tipo B das quais depende a

aproximacao de Pa(p), tambem ela uma curva OC do tipo B:

P Ia (p) ' FBin(n1,p)(c1) (10.19)

P IIa (p) '

c2∑k=c1+1

PBin(n1,p)(k)× FBin(n2,p)(c2 − k). (10.20)

Exercıcio 10.8 — Esboce as tres curvas OC do tipo B que

aproximam P Ia (p), P II

a (p) e Pa(p) para um plano de amostragem dupla

caracterizado por n1 = 50, c1 = 1, n2 = 100 e c2 = 3. Acompanhe

estas curvas por valores destas funcoes para valores de p a sua escolha.

Compare e comente a curva OC primaria de tipo B com a

probabilidade de aceitacao de um lote associada a um plano de

amostragem simples com n = 75 e c = 2. •

313

E altura de nos debrucarmos sobre a dimensao media da

amostra, que se designara abreviadamente por ASN.

Ao ter presente o esquema da Figura 10.1 rapidamente se conclui

que as n1 unidades amostrais vem acrescidas outras n2 unidades

amostrais, caso a primeira amostra nao conduza nem a aceitacao do

lote nem a rejeicao do mesmo. Assim:

ASN = ASN(p)

= n1 × [P (D1 ≤ c1)

+P (D1 > c2)] + (n1 + n2)× P (c1 < D1 ≤ c2)

= n1 + n2 × P (c1 < D1 ≤ c2). (10.21)

Exercıcio 10.9 — Considere um plano de amostragem dupla

caracterizado por n1 = 50, c1 = 2, n2 = 100 e c2 = 6.

(a) Determine valores (aproximados) de ASN(p) e esboce o grafico

dessa mesma curva.

(b) Compare ASN(p) e a dimensao (media) da amostra de um plano

de amostragem simples com n = 79 e c = 4. Comente. •

O exercıcio anterior permite concluir que a dimensao media da

amostra dos planos de amostragem dupla nem sempre e inferior a

dimensao fixa dos planos de amostragem simples com riscos identicos.

Nao surpreende pois que na pratica se efectue censura (curtailment)

na segunda amostra de um plano de amostragem dupla, censura

esta que consistem em interromper a inspeccao da segunda

amostra assim que D1 +D2 > c2. Face a esta modificacao, o ASN

do plano de amostragem dupla vem alterado:

ASN(p) = n1 +c2∑

j=c1+1P (n1, j)× [n2PL(n2, c2 − j)

+(c2 − j + 1)/p× PM(n2 + 1, c2 − j + 2)] , (10.22)

314

onde, caso se considere que D(ν) representa o numero de unidades

defeituosas numa amostra de dimensao ν,

P (n1, j) = P [D(n1) = j] (10.23)

PL(n2, c2 − j) = P [D(n2) ≤ c2 − j] (10.24)

PM(n2 + 1, c2 − j + 2) = P [D(n2 + 1) = c2 − j + 2]. (10.25)

Exercıcio 10.10 — Deduza a expressao de ASN(p) para planos de

amostragem dupla sem censura. •

Exercıcio 10.11 — Considere um plano de amostragem dupla com

censura caracterizado por n1 = 60, c1 = 2, n2 = 120 e c2 = 3.

(a) Determine valores de ASN(p) e esboce o grafico desta curva.

(b) Confronte a curva OC primaria do tipo B deste plano de

amostragem com o de um plano de amostragem simples com

n = 89 e c = 2.

(c) Compare ASN(p) e a dimensao da amostra do plano de

amostragem simples referido em (b). •

A seleccao de n1, c1, n2 e c2 pode fazer-se exigindo que a curva

OC passe o mais proximo possıvel de um par de pontos de risco do

produtor e do consumidor: (AQL = p1, 1 − α) e (LTPD = p2, β).

Mas como seria de esperar estes dois pontos sao insuficientes para

definir univocamente aqueles quatro parametros, pelo que e usual

acrescentar-lhe algumas restricoes, nomeadamente, exigir que n2 seja

um multiplo de n1 e que a razao p2/p1 tome um valor especıfico. Assim,

a seleccao de planos de amostragem dupla passa pela consulta

de tabelas proprias, usualmente designadas de Tabelas de Grubbs.

315

Em Montgomery (1985, pp. 379–381) pode encontrar-se dois exemplos

dessas tabelas10 e ilustracoes da utilizacao das mesmas.

Exercıcio 10.12 — Defina um plano de amostragem dupla com p1 =

0.01, α = 0.05, p2 = 0.06, β = 0.10 e n2 = 2n1 e obtenha a respectiva

curva OC primaria do tipo B e ASN(p). •

Resta-nos falar do impacto da rectificacao da inspeccao neste

tipo de planos de amostragem e ja agora da seleccao de planos de

amostragem dupla.

A rectificacao da inspeccao num plano de amostragem dupla

sem censura conduz a uma qualidade media a saıda AOQ igual

a

AOQ(p) =p[(N − n1)P

Ia (p) + (N − n1 − n2)P

IIa (p)]

N, (10.26)

ja que:

• ao rejeitar-se um lote a primeira ou a segunda amostra ha

inspeccao de todo o lote e substituicao de todas as unidades

defeituosas e

• em media restam p(N −n1) unidades defeituosas, caso o lote seja

aceite a primeira amostra, e p(N −n1−n2) unidades defeituosas,

caso tal aceitacao ocorra a segunda amostra.

Por seu lado, o numero medio de unidades inspeccionadas ATI num

plano de amostragem dupla sem censura e com rectificacao

da inspeccao e dado por:

ATI(p) = n1PIa (p) + (n1 + n2)P

IIa (p) +N [1− Pa(p)], (10.27)

dado que sao inspeccionadas10Na Tabela 10-3 da pagina 380 desta referencia encontram-se os numeros de aceitacao c1 e c2,

para o caso em que n1 = n2 = n, α = 0.05 e β = 0.10 e diversos valores de n e respectivas razoesp2/p1. Por seu lado a Tabela 10-4 da pagina 381 reporta-se ao caso n2 = 2n1, α = 0.05 e β = 0.10.

316

• n1 unidades se a primeira amostra conduzir a aceitacao do lote;

• n1 + n2 unidades se a aceitacao do lote decorrer do resultado da

inspeccao da segunda amostra;

• N unidades se houver rejeicao do lote quer a primeira amostra,

quer a segunda amostra.

Exercıcio 10.13 — Considere o plano de amostragem dupla com

p1 = 0.01, α = 0.05, p2 = 0.06, β = 0.10 e n2 = 2n1 que definiu

no Exercıcio 10.12.

(a) Obtenha a curva AOQ(p), determine AOQL e comente os seus

resultados.

(b) Esboce o grafico de ATI(p) e compare este grafico com o numero

medio de unidades inspeccionadas de um plano de amostragem

simples com rectificacao da inspeccao com os pontos de risco do

produtor e do consumidor similares. •

Textos de apoio: Gomes e Barao (1999, pp. 125-128); Montgomery

(1985, pp. 373–382).

317

10.6 Planos de amostragem de aceitacao para

variaveis

Quando a caracterıstica de qualidade e uma v.a. contınua,

nomeadamente quando se assume que possui distribuicao normal,

o tratamento ao nıvel dos planos de amostragem e totalmente

distinto.

E, de um modo geral, adoptado um intervalo [L,U ] de valores

razoaveis para a caracterıstica de qualidade, onde os limites L e U

sao denominados de limite superior e superior de especificacao.

Sem qualquer risco de perda de generalidade, nao abordaremos

o caso em que sao usados dois limites de especificacao. Considere-

se apenas o caso em que se faz uso de um limite superior de

especificacao U .

Posto isto uma unidade amostral e considerada defeituosa, caso

o correspondente valor observado da caracterıstica de qualidade X

exceda o limite superior de especificacao U . Assim, a fraccao de

pecas defeituosas e dada por

p = P (X > U) = 1− Φ

(U − µσ

), (10.28)

caso se assuma que X ∼ Normal(µ, σ2).

Ao contrario da amostragem de aceitacao por atributos que assenta

no numero de unidades defeituosas numa amostra, o plano de

amostragem para variaveis baseia a decisao de aceitacao ou

rejeicao do lote naquilo se designa por ındice de qualidade

que nao passa de uma estatıstica. Para alem disso, a definicao do

plano de amostragem para variaveis passa pela determinacao de

uma dimensao da amostra e de uma constante de aceitacao

318

que estejam associados a pontos de risco do produtor e do

consumidor pre-especificados.

Convinha tambem notar que o plano de amostragem de

aceitacao para variaveis auxiliar-nos-a a evitar que sejam

expedidos lotes com valor esperado µ da caracterıstica de

qualidade X demasiado elevado ou, equivalentemente, com uma

fraccao de pecas defeituosas11 demasiado elevada.

Por seu lado, a determinacao das curvas OC, embora similar

a da amostragem de aceitacao por atributos, conduz, de um modo

geral, a calculos mais complexos. Estes calculos estao omissos

na generalidade dos livros, que, apos uma explicacao normalmente

exaustiva sobre as curvas OC em planos de amostragem por atributos,

se limitam a referir que tais curvas se obtem de forma analoga para

os planos de amostragem para variaveis.

Bowker e Goode (1952) e uma excepcao. Refere, por exemplo, a

forma como se obtem as curvas OC para os planos para variaveis:

os planos de amostragem para variaveis sao definidos de forma que a

curva OC se aproxime o mais possıvel da correspondente curva OC

obtida para os planos por atributos para um mesmo valor de AQL.

Refira-se tambem que, no inıcio deste capıtulo, foi referida uma

vantagem dos planos de amostragem por variaveis. Esta vantagem

prende-se essencialmente com o facto de ser possıvel obter uma curva

OC similar a de um plano de amostragem por atributos recorrendo

para o efeito a um plano de amostragem para variaveis com menor

numero de observacoes. Este facto e particularmente importante

se notarmos que o custo das medicoes requeridas num plano de

11Definida por exemplo por (10.28).

319

amostragem para variaveis e superior ao correspondente custo

num plano por atributos.

De assinalar tambem que as medicoes usadas num plano de

amostragem para variaveis proporcionam informacao mais

detalhada acerca da qualidade do lote que as medicoes associadas

a planos de amostragem por atributos. Nao surpreende pois que este

tipo de planos seja preterido a favor de planos de amostragem para

variaveis, quando o valor de AQL e muito pequeno como e caso de

situacoes em que este indicador e medido em numero de defeitos por

milhao.

Montgomery (1985, p. 432) aponta tambem algumas desvantagens.

O recurso a um plano de amostragem para variaveis pressupoe

que se conheca a distribuicao da caracterıstica de qualidade.

E frequente assumir que se trata de uma distribuicao normal.

E, como seria de esperar, o uso de um plano de amostragem

de aceitacao, que assuma incorrectamente que os dados tem

distribuicao normal, esta necessariamente associado a riscos do

produtor e do consumidor distintos do que seriam esses riscos sob

a validade da distribuicao normal.12

Fonte (parcial): Constantino (2004, pp. 25–26).


12Vejam-se os resultados em Constantino (2004, Caps.4–5), para as distribucoes gaussiana inversae exponencial.

320


variaveis — distribuicao gaussiana: desvio

padrao conhecido

Ao lidarmos com uma caracterıstica de qualidade com distribuicao

normal com valor esperado desconhecido e desvio padrao conhecido,

teremos certamente que ter presente que deveremos rejeitar lotes

quando a media amostral for consideravelmente grande, caso se esteja

a lidar com um limite de especificacao superior.

Posto isto e considerando um limite superior de especificacao U ,

o plano de amostragem simples para variaveis devera conduzir a

aceitacao do lote se a media amostral x satisfaz x+ kσσ ≤ U , onde kσ

denota a constante de aceitacao.

Ou seja, o lote sera aceite se

Q =U − Xσ

≥ kσ, (10.29)

onde Q e denominado de ındice de qualidade e X depende,

naturalmente, da dimensao da amostra nσ.

E, tal como para os planos de amostragem por atributos, os planos

para variaveis serao definidos a custa de nσ e kσ que satisfacam as

duas condicoes seguintes:

• se a fraccao de unidades defeituosas for igual a p1 = 1− Φ[(U −µ1)/σ],13 deve aceitar-se o lote com probabilidade elevada 1−α;

• se a fraccao de defeituosos for p2 = 1 − Φ[(U − µ2)/σ] > p1,14

deve aceitar-se o lote com probabilidade pequena β.

13Equivalentemente, se o valor esperado de X for igual a µ1.14Equivalentemente, se o valor esperado de X for igual a µ2.

321

O metodo de obtencao das constantes nσ e kσ encontra-se descrito

em Wetherill e Brown (1991, pp. 271–275), embora de forma um pouco

menos clara:

(nσ, kσ) :

P (Q ≥ kσ|µ = µ1) = 1− αP (Q ≥ kσ|µ = µ2) = βP(X ≤ U + kσ σ|µ = µ1

)= 1− α

P(X ≤ U + kσ σ|µ = µ2

)= β

Φ(U+kσ−µ1

σ/√nσ

)= 1− α

Φ(U+kσ−µ2

σ/√nσ

)= β.

(10.30)

Notando agora que a fraccao de unidades defeituosas (p) esta

relacionada com o valor esperado (µ) da caracterıstica de qualidade

X do seguinte modo

µ = U + σΦ−1(p), (10.31)

obtem-se sucessivamente:

(nσ, kσ) :

Φ{√

nσ[kσ − Φ−1(p1)

]}= 1− α

Φ{√

nσ[kσ − Φ−1(p2)

]}= β

kσ = Φ−1(p1) + Φ−1(1−α)√nσ

kσ = Φ−1(p2) + Φ−1(β)√nσ

nσ =[

Φ−1(1−α)−Φ−1(β)Φ−1(p2)−Φ−1(p1)

]2kσ = Φ−1(p2)Φ−1(1−α)−Φ−1(p1)Φ−1(β)

Φ−1(β)−Φ−1(1−α) .(10.32)

Na pratica nσ tera de ser aproximado pelo menor valor inteiro n∗σ

que satisfacaPa(p1) ≥ 1− αPa(p2) ≤ β,

(10.33)

322

onde Pa(p) representa a probabilidade de aceitacao do lote que pode

ser indistintamente escrita a custa do valor esperado µ ou da fraccao

de pecas defeituosas p:

Pa(p) = Φ

U + kσ − µσ/√nσ

= Φ{√

nσ[kσ − Φ−1(p)

]}. (10.34)

Trata-se, pois, da curva OC para um plano de amostragem de

aceitacao para variaveis com limite superior de especificacao.15

Exercıcio 10.14 — Considere os seguintes pontos de risco do

produtor e do consumidor (p1 = 0.01, 1−α = 0.95) e (p2 = 0.07, β =

0.10).

(a) Tirando partido do resultado (10.32) e das condicoes em (10.33),

certifique-se que o valor da dimensao da amostra e da constante

de aceitacao sao, respectivamente, nσ = 12 e kσ = 1.85.

(b) Justifique que os valores da dimensao da amostra e da constante

de aceitacao seriam n = 72 e c = 2, caso se considerasse um

plano de amostragem por atributos para os mesmos pontos de

risco do produtor e do consumidor, se recorresse a distribuicao

exacta hipergeometrica e se considerasse a dimensao do lote igual

a N = 500.

(c) Represente as curvas OC para estes dois tipos de planos

de amostragem de aceitacao para variaveis e por atributos.

Comente. •

Na Seccao 10.9 debrucar-nos-emos sobre a utilizacao de uma norma,

forma alternativa de obtencao de valores para nσ e kσ.

Fonte: Constantino (2004, pp. 26–31).15De notar que (10.33) significa que a curva OC passara acima do ponto de risco do produtor e

abaixo do ponto de risco do consumidor.

323


variaveis — distribuicao gaussiana: desvio

padrao desconhecido

Analise-se agora a situacao em que o desvio padrao e desconhecido.

Neste caso o ındice de qualidade sera nao so funcao de X mas

tambem funcao do estimador centrado de σ2,

S2 =1

n− 1

n∑i=1

(Xi − X

)2(10.35)

e o procedimento de obtencao dos valores da dimensao da amostra

(ns) e da constante de aceitacao (ks) para o plano de amostragem de

aceitacao para variaveis e sem sombra de duvida mais complexo.

Ao considerar-se mais uma vez um limite superior de especificacao

U deve aceitar-se um lote se x+ ks s ≤ U ou, equivalentemente, e em

termos do ındice de qualidade, se:

Q =U − XS

≥ ks. (10.36)

Antes de proceder a obtencao da probabilidade de aceitacao,

ao lidar-se com uma fraccao de unidades defeituosas igual a p = 1 −Φ[(U − µ)/σ], e necessario relembrar/considerar:

• Z =√ns(X − µ)/σ ∼ Normal(0,1);

• Y = (ns−1)S2

σ2 ∼ χ2ns−1;

• δ =√ns(µ−U)σ =

√ns Φ−1(p);

• T = (Z + δ)/√Y/(ns − 1) que representa uma variavel aleatoria

com distribuicao t nao-central com ns − 1 graus de liberdade e

parametro de “nao centralidade”δ.

324

Assim sendo, tem-se a seguinte curva OC para o plano de

amostragem de aceitacao para variaveis com o desvio-padrao

desconhecido:

Pa(p) = P (Q ≥ ks | p)

= P(X ≤ U − ks S | p

)= P

Z + δ√Y/(ns − 1)

≤ −√ns ks

∣∣∣∣∣∣ p

= P[T ≤ −

√nsks | δ =

√ns Φ−1(p)

]. (10.37)

Segundo Wetherill e Brown (1991, p. 278), os planos de

amostragem de aceitacao para variaveis com desvio-padrao conhecido

e desconhecido deverao ter praticamente a mesma curva OC, caso ns

e ks sejam ajustados de tal forma que X + ks S tenha o mesmo valor

esperado e variancia que X+kσ σ. Deste modo, obtem-se as seguintes

expressoes para ns e ks, em funcao de nσ e kσ:ks =

√3ns−33ns−4 kσ

ns =(1 + 3nsk2

σ

6ns−8

)nσ.

(10.38)

Mais uma vez deve aproximar-se ns ao menor inteiro n∗s que garanta

que Pa(p1) ≥ 1− α e Pa(p2) ≤ β.

De salientar que a dimensao da amostra requerida quando o

desvio-padrao ns e desconhecido e, naturalmente, superior aquela

necessaria caso se conhecesse σ; com efeito ns/nσ e igual a(1 + 3nsk2

σ

6ns−8

),

claramente superior a unidade. Por outro lado, a constante de

aceitacao ks e praticamente igual a kσ.

Dado que a utilizacao da distribuicao t nao-central nao e corrente,

recomenda-se o recurso a seguinte aproximacao para a curva

OC, aproximacao esta originalmente proposta por Hamaker (1979)

325

e disponıvel em Wetherill e Brown (1991, p. 278-279):

Pa(p) ' Φ(θµ) = Φ(θp), (10.39)

onde

θµ =U − µ− ksσ

√3ns−43ns−3

σ

√1+ 3nsk2s

6ns−8

ns

(10.40)

θp =Φ−1(1− p)− ks

√3ns−43ns−3√

1+ 3nsk2s6ns−8

ns

. (10.41)

Exercıcio 10.15 — Considerando os pontos de risco do produtor e

do consumidor do Exercıcio 10.14:

(a) Obtenha os valores (exactos e aproximados) das constantes ns e

ks.

(b) Compare (os valores) das curvas OC (exacta e aproximada)

com (os d)a curva OC obtida para o plano de amostragem

para variaveis com desvio-padrao conhecido naquele exercıcio.

Comente os resultados obtidos. •

Fonte: Constantino (2004, pp. 31–38).

326

10.9 A norma Military Standard 414

(ANSI/ASQC Z1.9)

A norma Military Standard 414 ou uma sua versao civil, como e o

caso de norma ANSI/ASQC Z1.9-1980 (Sampling Procedures and

Tables for Inspection by Variables for Percent Nonconforming), surge

como alternativa a (10.32) e (10.38) para a definicao de um plano

de amostragem de aceitacao simples por variaveis com desvio-padrao

conhecido e desconhecido, respectivamente.

A consulta da norma ANSI/ASQC Z1.9-1980 e em tudo

similar a da norma para atributos ANSI/ASQC Z1.4-1981, pelo

que se sugere uma leitura breve de Montgomery (1985, pp. 439–453) e

do exemplo que se segue, bem como a elaboracao do Exercıcio 10.17.

Exemplo 10.16 — Proceda-se a uma comparacao do plano de

amostragem para variaveis com desvio-padrao conhecido, obtido

recorrendo a (10.32), e do plano que se obtem por utilizacao da norma

ANSI/ ASQC Z1.9-1980.

Admita-se que N = 500 e que os pontos de risco do produtor e do

consumidor (p1 = 0.01, 1− α = 0.95) e (p2 = 0.07, β = 0.10).

Ao considerar-se o nıvel II geral de inspeccao, pela observacao da

Tabela A-2 (Sample Size Code Letters), o codigo obtido para a

dimensao da amostra e a letra I, para lotes com dimensao do lote

compreendida no intervalo entre 401 e 500.

A consulta da coluna respeitante ao valor de AQL = p1 = 0.01,

na Tabela D-1 (Master Table for Normal and Tightened Inspection

for Plans Based on Variability Known), permite obter o plano de

amostragem de aceitacao para variaveis com desvio-padrao conhecido:

e, caracterizado por nσ = 9 e kσ = 1.83, valores estes ligeiramente

327

distintos dos referidos no Exercıcio 10.14. Esta diferenca deve-se ao

facto de a norma estar associada a: um valor da probabilidade de

aceitacao ao nıvel do ındice AQL = p1 = 0.01 distinto de 1−α = 0.95;

e muito provavelmente a um risco do consumidor diferente de β = 0.10.

•

Tabela 10.2: Alguns planos de amostragem para variaveis com σ desconhecido (β =

0.10), recorrendo norma ANSI/ASQC Z1.9-1980 e a (10.38).

Norma (10.38)

p1 α p2 ns ks ns ks

0.001 0.05 0.04 25 2.50 20 2.36

0.0025 0.07 0.04 25 2.26 26 2.26

0.004 0.07 0.06 25 2.14 20 2.08

0.015 0.07 0.10 25 1.72 25 1.70

0.04 0.07 0.20 25 1.35 17 1.27

0.10 0.07 0.30 25 0.94 18 0.89

Na Tabela 10.2 confrontam-se os planos de amostragem para

variaveis com σ desconhecido, para diferentes valores dos pontos de

risco do consumidor e do produtor, obtidos pela norma e por utilizacao

de (10.38).

A analise da Tabela 10.2 permite concluir que os planos obtidos

pela norma e pela expressao (10.38) conduzem a valores similares das

constantes de aceitacao e a algumas discrepancias na dimensao da

amostra.

Exercıcio 10.17 — Considerando exactamente os mesmos

parametros que no Exemplo 10.16:

(a) Certifique-se que a utilizacao da norma ANSI/ASQC Z1.9-1980

328

conduz aos valores ns = 25 e ks = 1.85 e compare-os com os

obtidos na alınea (a) do Exercıcio 10.15.

(b) Compare as curvas OC (exacta e aproximada) com a curva OC

obtida para o plano de amostragem para variaveis com desvio-

padrao desconhecido obtido na alınea anterior. •

Assinale-se por fim que, ao contrario da norma, (10.32) e (10.38)

nao fazem uso da dimensao do lote para determinacao do plano de

amostragem.

Para uma discussao aturada sobre a norma MIL STD 414 e as

semelhancas entre esta norma e a MIL STD 105D, remete-se o leitor

para Montgomery (1985, pp. 453–455).


329

Capıtulo 11

Esquemas com intervalos

amostrais variaveis

11.1 Introducao

O esquema de controlo de qualidade constitui, sem duvida, o metodo

grafico mais divulgado empregue na distincao entre causas aleatorias

e causas assinalaveis de variacao de um processo.

E usual recorrer-se a esquemas de controlo com intervalos amostrais

fixos, isto e, a recolha de amostras e feita a intervalos fixos (e.g de

hora em hora). Neste caso diz-se fazer uso da polıtica amostral Fixed

Sampling Intervals (FSI).

No entanto, alguns trabalhos sobre as propriedades estatısticas

dos esquemas de controlo com intervalos amostrais dependentes

das observacoes recolhidas mostraram que esta polıtica amostral

denominada de Variable Sampling Intervals (VSI) pode aumentar

a rapidez de deteccao de alteracoes no processo.

A ideia de fazer variar os intervalos entre recolhas amostrais

sucessivas tem vindo a ser empregue em diferentes domınios. Reynolds

e Arnold (1989) referem alguns exemplos. E o caso da amostragem

330

de aceitacao em que surgem os continuous sampling plans (ver Dodge,

1943) cuja taxa de inspeccao de itens produzidos varia de acordo com o

nıvel de qualidade dos itens ja inspeccionados.1 Todavia, a aplicacao

formal desta ideia a esquemas de controlo e a averiguacao das suas

consequencias no desempenho das cartas data do final dos anos 80.

Embora existam alguns trabalhos anteriores a Reynolds et

al. (1988), cre-se ter sido este o primeiro artigo publicado versando

a aplicacao da polıtica amostral VSI ao esquema X para o o valor

esperado µ de caracterıstica de qualidade com distribuicao normal.

De entre outros trabalhos com a mesma orientacao destaque-se:

• Saccucci et al. (1989) que estudam a aplicacao da polıtica

amostral VSI as cartas EWMA;

• Reynolds et al. (1990) que se debrucam sobre o seu uso de

esquemas CUSUM associadas a polıtica amostral VSI;

• Ramalhoto e Morais (1994) que apresentam um resumo dos

resultados mais importantes referentes a associacao da polıtica

amostral VSI aos esquemas X, EWMA e CUSUM.

A orientacao comum a estas referencias nao e de estranhar dada

a popularidade dos esquemas para o valor esperado da distribuicao

normal.

Fonte: Morais (1995, pp. 1–2).

1O principal objectivo deste tipo de planos amostrais nao e, no entanto, controlar a qualidadedos itens on line mas sim o melhoramento da qualidade dos lotes a serem expedidos, por inspeccaodos mesmos.

331

11.2 Descricao das polıticas amostrais FSI e VSI

Ao utilizar uma carta de controlo para detectar alteracoes num

(ou mais) parametro(s) de uma caracterıstica de qualidade, e

usual considerar os intervalos amostrais — intervalos entre qualquer

par de observacoes consecutivas — fixos e iguais a d (d > 0,

independentemente do resultado da primeira destas duas observacoes.

Esta polıtica amostral e designada por FSI e pressupoe que, apos a

recolha de cada amostra e registo do valor observado de uma estatıstica

sumaria no esquema de controlo, se tome uma unica decisao:

• emitir (ou nao) sinal de perda de controlo.

Contudo, e plausıvel permitir que os intervalos amostrais variem

dependendo das observacoes recolhidas.

Se o valor observado da estatıstica sumaria for extremo,

mas nao o suficiente para se emitir um sinal de perda de controlo, e

perfeitamente natural antecipar a recolha de uma nova amostra de

modo a confirmar se o referido valor e, ou nao, uma indicacao de que

o processo se alterou.

Por outro lado, se o valor observado da estatıstica sumaria

se encontrar proximo do alvo da carta de controlo, nao e descabido

um adiamento do instante de recolha da proxima amostra.

Assim sendo, ao considerar uma carta de controlo generica com

• regiao de continuacao C = [LCL,UCL] e

• estatıstica sumaria WN , referente a N−esima amostra

aleatoria XN = (X1N , . . . , XnN),

e razoavel actuar da seguinte forma sempre que WN pertenca a C:

332

• Accao 1 — antecipar a recolha da proxima amostra, se WN

estiver proximo dos extremos de C;

• Accao 2 — adiar a recolha da proxima amostra, se WN

estiver afastado dos extremos de C.

O intervalo amostral que precede a (N + 1)−esima recolha e,

portanto, uma variavel aleatoria funcao de WN . Doravante tal

intervalo amostral sera designado por DN .

A adopcao da polıtica amostral VSI pressupoe a escolha de

• dois intervalos amostrais distintos d1 e d2 (d1 < d2).

O intervalo amostral mınimo d1 e utilizado quando WN se encontrar

proximo dos limites de controlo. Se pelo contrario WN estiver afastado

desses mesmos extremos, deve usar-se o intervalo maximo d2. Estas

atribuicoes a variavel aleatoria DN sugerem a divisao da regiao

de continuacao C em duas sub-regioes que constituem uma sua

particao:

C1, C2 : C1 ∩ C2 = ∅, C1 ∪ C2 = C. (11.1)

A C1 e C2 estao associados o menor e o maior dos intervalos amostrais,

respectivamente.

Assim, a variavel intervalo amostral pode ser definida como

DN =

d1 (e.g. 10 min.; antecipacao...), se WN ∈ C1

d2 (e.g. 110 min.; adiamento...), se WN ∈ C2.(11.2)


333

11.3 Caracterısticas primarias

Na caracterizacao de qualquer esquema de controlo,

independentemente da polıtica amostral, e da maior importancia a

analise do comportamento de duas variaveis aleatorias que Reynolds

(1989) designou por caracterısticas primarias:

• o numero de amostras recolhidas ate sinal, RL (run length);

• o tempo ate sinal, TS (time to signal).

TS representa o tempo decorrido desde o (re)inıcio do processo ate

ao instante em que e recolhida a amostra responsavel pela emissao de

sinal de perda de controlo. Consequentemente:

• TSFSI = d×RL, se a polıtica amostral adoptada for FSI

• TSV SI =∑RLN=1DN−1, caso a polıtica amostral seja VSI.

Note-se que, ao assumir que se recolhe uma amostra no instante em que

o processo se (re)inicia ou ao fixar/gerar um valor para W0 pertencente

a C, o intervalo amostral que precede a recolha da primeira amostra,

D0, fica de imediato definido. Para alem disso, e recomendavel que

se considere D0 = d1, caso se decida nao atribuir/gerar ou nao se

disponha de um valor inicial para W0. (Justifique!)

Os valores esperados de RL e TS sao representados por ARL e ATS

(average time to signal) Nos esquemas de controlo FSI, pelo facto do

intervalo amostral ser constante e igual a d tem-se

ATSFSI = d× ARL. (11.3)

No entanto, nos esquemas VSI, ATSV SI nao e um multiplo de ARL e

escreve-se

ATSV SI = E

RL∑N=1

DN−1

. (11.4)

334

Tanto ATSFSI como ATSV SI dependem da magnitude (θ)

da alteracao do parametro sob controlo. De forma a tornar

esta dependencia mais explıcita estes valores esperados passam a

escrever-se doravante do seguinte modo: ATSFSI(θ) e ATSV SI(θ),

respectivamente.

Serao tratadas outras caracterısticas do tempo ate sinal para estes

dois tipos de polıticas amostrais na proxima seccao.


335

11.4 Calculo das caracterısticas primarias dos

esquemas Shewhart

Ao considerar um esquema do tipo Shewhart, a estatıstica sumaria

WN e funcao exclusiva da amostra aleatoria mais recente, isto e,

WN = WN(XN). Logo, ao assumir que as amostras aleatorias XN

sao independentes e que o valor do parametro se mantem constante

e igual a µ, as estatısticas sumarias WN sao i.i.d. a uma estatıstica

sumaria W .

Por consequencia, a probabilidade de XN ser responsavel pela

emissao de um sinal e dada por

ξ(θ) = P (W 6∈ C|θ), (11.5)

independentemente do ındice da amostra e da polıtica amostral

adoptada. Logo o RL(θ) ∼ geometrica(ξ(θ)), qualquer que seja a

polıtica amostral adoptada.

Em contraponto, o tempo esperado ate sinal depende da polıtica

amostral adoptada. Para o caso FSI, tal funcao e igual a

ATSFSI(θ) =d

ξ(θ). (11.6)

Na situacao VSI a obtencao do tempo esperado ate sinal

pressupoe a descricao probabilıstica dos intervalos aleatorios DN =

DN(θ). Estes intervalos, pelas mesmas razoes apontadas acima sao,

condicionalmente ao facto de WN ∈ C e da magnitude da alteracao

no parametro ser igual a θ, i.i.d. a variavel aleatoria D = D(θ) com

f.p. dada por

P [D(θ) = y] =

1− ρ2(θ), se y = d1

ρ2(θ), se y = d2(11.7)

336

onde

ρ2(θ) =P [WN(θ) ∈ C2]

P [WN(θ) ∈ C](11.8)

representa a probabilidade de utilizacao do maior dos intervalos

amostrais. Ora, tendo em consideracao esta f.p., a expressao (11.4) e

a equacao de Wald, ATSV SI(θ) passa a escrever-se do seguinte modo:

ATSV SI(θ) = E[D(θ)]× ARL(θ)

=d1 [1− ρ2(θ)] + d2 ρ2(θ)

ξ(θ)

=d1 + (d2 − d1)ρ2(θ)

d× ATSFSI(θ). (11.9)

Exercıcio 11.1 — Na Tabela 11.1 podem encontrar-se estas e outras

caracterısticas do tempo ate sinal de esquemas Shewhart associados

as polıticas FSI e VSI, nomeadamente os seus valores possıveis, a sua

distribuicao, a sua variancia e a sua funcao geradora de probabilidades,

assumindo que o valor do intervalo amostral que antecede a recolha

da primeira amostra tem a mesma distribuicao que os restantes.

337

Tabela 11.1: Tempo ate sinal para esquemas Shewhart

FSI VSI

TS d×RL(θ)∑RL(θ)N=1 DN−1(θ)

Conj. valores possıveis {d, 2d, 3d, . . .} {k1 d1 + k2 d2 : k1, k2 ∈ IN0}\0

Distribuicao d×Geometrica(ξ(θ)) Geometrica Composta

Valor esperado ATSFSI(θ) = dξ(θ)

d1+(d2−d1)ρ2(θ)d ×ATSFSI(θ)

Variancia V [TSFSI(θ)] = d2[1−ξ(θ)]ξ2(θ)

{[d1+(d2−d1)ρ2(θ)]2

d2

+ (d2−d1)2d2

p(θ)ρ2(θ)[1−ρ2(θ)]1−p(θ)

}×V [TSFSI(θ)]

Coef. variacao CV [TSFSI(θ)] =√

1− p(θ)√

1 + (d2−d1)2[d1+(d2−d1)ρ2(θ)]2

p(θ)ρ2(θ)[1−ρ2(θ)]1−p(θ)

×CV [TSFSI(θ)]

F.geradora prob. E(zTS(θ)) = zd ξ(θ)1−zd[1−ξ(θ)]

E[zD(θ)] ξ(θ)1−E[zD(θ)][1−ξ(θ)]

D(θ) ∼ d1 + (d2 − d1)× Bernoulli(ρ2(θ)); E[zD(θ)] = zd1 +(zd2 − zd1

)ρ2(θ).

Prove todos estes resultados. •

Importa notar que ATSV SI e V (TSV SI) foram convenientemente

escritos a custa de ATSFSI e V (TSFSI).

Fontes: Morais (1995, pp. 12–13), Morais e Pacheco (2007).

338

11.5 Obtencao numerica das caracterısticas

primarias para esquemas do tipo markoviano

A estatıstica sumaria de um esquema do tipo markoviano

(CUSUM ou EWMA) nao depende somente de XN . O caracter

recursivo de WN = WN(WN−1, XN) impoe uma estrutura de

dependencia as estatısticas sumarias. Por este motivo a avaliacao

das caracterısticas primarias dos esquemas de controlo associadas

deixa de ser trivial, passando a ter de se fazer numericamente.

Ao adoptar-se a abordagem markoviana — descrita, por exemplo,

em Lucas e Saccucci (1990) e Reynolds et al. (1990) — a estatıstica

sumaria WN cujo espaco de estados e contınuo ve o seu contradomınio

discretizado, obtendo-se deste modo um cadeia de Markov cujas

propriedades podem ser avaliadas exactamente e que aproximam as

propriedades do processo estocastico original — uma cadeia de Markov

com espaco de estados contınuos.

Distinga-se a situacao em que os intervalos amostrais sao fixos

do caso em que se adopta a polıtica amostral VSI. Segundo Lucas

e Saccucci (1990) e Reynolds et al. (1990), a discretizacao do

contradomınio da estatıstica sumaria deve ser feita, em qualquer dos

casos, nos seguintes moldes:

• a regiao de continuacao C do esquema e dividida em k estados

transeuntes correspondendo estes estados a intervalos disjuntos

com amplitudes, de preferencia, iguais;

• o complementar de C corresponde ao estado absorvente da cadeia

de Markov.

Ao adoptar intervalos amostrais variaveis a divisao do

339

contradomınio em estados transeuntes deve ser feita de modo

mais cuidado ja que a regiao C foi particionada. Assim:

• considera-se a mesma k estados transeuntes dos quais k1 e k2

estao associados a d1 e d2, respectivamente;

• o estado absorvente mantem-se.

Os valores de k1 e k2 devem ser escolhidos de forma que a sua soma seja

igual a k e que todos os estados transeuntes correspondam a intervalos

disjuntos com amplitudes o menos distintas possıvel.

Refira-se que nada impede de adoptar esta ultima discretizacao

quando a polıtica amostral e a FSI. No entanto, a utilizacao da

discretizacao considerada na situacao FSI nao e recomendavel para

o caso VSI pois ao faze-lo pode tornar-se ambıgua a definicao do

intervalo amostral na fronteira de C2.

Considere-se que:

• Q(θ) representa a matriz de probabilidades de transicao entre os

k estados transeuntes da cadeia de Markov discretizada em que

ocorre uma transicao sempre que e recolhida uma amostra;

• M(θ) = [mij(θ)]i,j=1,...,k = [I − Q(θ)]−1 denota a matriz

fundamental desta cadeia de Markov com um estado

absorvente, onde e sabido que mij(θ) representa o numero

esperado de vezes que a cadeia de Markov se encontra no estado

transeunte Ej antes de atingir o estado absorvente, partindo do

estado transeunte Ei (Reynolds, 1989).

Sejam:

• Ei o estado transeunte a que pertence o valor inicial da estatıstica

sumaria, WN ;

340

• bj o intervalo amostral usado quando WN pertence ao

estado transeunte Ej;

• D0 o primeiro intervalo amostral utilizado (D0 = bi).

Por fim, condicione-se ao facto do estado inicial ser Ei e considere-se:

• ARLi(θ) o numero esperado de amostras recolhidas ate sinal;

• ATSi(θ) o tempo esperado ate sinal.

Entao, ao discretizar da mesma forma o contradomınio da estatıstica

sumaria nos casos FSI e VSI, tem-se

ARLi(θ) =k∑j=1

mij(θ) = e>i [I−Q(θ)]−1 1, i = 1, . . . , k, (11.10)

qualquer que seja a polıtica amostral adoptada, tal como no caso em

que as estatısticas sumarias sao independentes.

O tempo esperado ate sinal escreve-se de forma distinta para

as duas polıticas amostrais:

ATSiFSI(θ) = d× ARLi(θ), i = 1, . . . , k; (11.11)

ATSiV SI(θ) =k∑j=1

mij(θ)× bj, i = 1, . . . , k. (11.12)

ARLi(θ) e ATSi(θ) aproximam na verdade o numero esperado

de amostras recolhidas ate sinal e o tempo esperado ate sinal

da cadeia original.

Os valores esperados ARLi(θ) e ATSiV SI(θ) podem ser obtidos de

forma alternativa (Reynolds et al., 1990). Com efeito, considere-

se que ARLim(θ),m = 1, 2, o numero esperado de vezes que o

341

intervalo amostral dm e utilizado depois do instante da obtencao da

concretizacao de W1 e ate que seja emitido um sinal. Entao:

ARLim(θ) =

∑kj=1mij(θ)× Idm(bj)− 1, D0 = dm∑kj=1mij(θ)× Idm(bj), D0 6= dm,

(11.13)

para m = 1, 2; e

ARLi(θ) = 1 +2∑i=1

ARLim(θ) (11.14)

Considere-se agora, para m = 1, 2,

ρm(θ) =

ARLim(θ)+1ARLi(θ) , D0 = dm

ARLim(θ)ARLi(θ) , D0 6= dm,

(11.15)

onde ρm(θ) pode ser interpretado como a proporcao de tempo em que

o intervalo dm e utilizado ate a emissao de sinal de perda de controlo.

Logo

ATSiV SI(θ) = D0 +2∑i=1

dm × ARLim(θ)

=d1 + (d2 − d1)ρ2(θ)

d× ATSiFSI(θ), (11.16)

a semelhanca do que aconteceu no caso em que as estatısticas sumarias

sao independentes.


342

11.6 Comparabilidade sob controlo;

caracterıstica primordial; comparacao dos

desempenhos de cartas FSI e VSI

O tempo esperado ate sinal nao so quantifica o desempenho de

qualquer carta de controlo, como serve de termo de comparacao dos

desempenhos de esquemas de controlo.

O criterio de comparabilidade entre esquemas de controlo,

introduzido por Reynolds et al. (1988), refere que:

• dois (ou mais) esquemas de controlo dizem-se comparaveis

sob controlo (matched control charts) sse possuırem tempos

esperados ate sinal iguais quando o processo de producao esta

sob controlo, i.e., sse os respectivos tempos esperados ate falso

alarme forem iguais.

A comparabilidade sob controlo escreve-se do seguinte modo, no

contexto da comparacao dos desempenhos de dois esquemas para um

parametro, um com intervalos amostrais fixos e outro associado a

polıtica amostral VSI:

ATSV SI(θ0) = ATSFSI(θ0), (11.17)

onde θ0 corresponde ao valor de θ sob controlo (e.g. θ0 = 0 no controlo

de parametro de localizacao).

E recorrendo a esta igualdade que se obtem a particao de C do

esquema VSI. Com efeito, ao recordar a relacao existente entre os

tempos esperados ate sinal das versoes FSI e VSI comparaveis sob

controlo de uma mesma carta, a igualdade (11.17) pode escrever-se a

343

custa da probabilidade de utilizacao do intervalo amostral maximo:

d1 + (d2 − d1)ρ2(θ0)

d= 1⇔ ρ2(θ0) =

d− d1

d2 − d1. (11.18)

A escolha dos limites de controlo de um esquema bem como da

particao da sua regiao de continuacao C deve ainda reger-se de acordo

com o seguinte princıpio:

• e preciso ter a garantia que o tempo esperado de deteccao de uma

alteracao de magnitude θ, seja sempre inferior ao tempo esperado

ate a emissao de um falso alarme, i.e., ATS(θ) < ATS(θ0),∀θ 6=θ0,

independentemente da polıtica amostral e do tipo de esquema e

controlo adoptados. Esta propriedade do tempo esperado ate sinal

e designada de caracterıstica primordial.

Atente-se que a literatura de controlo de qualidade e fertil em

exemplos de esquemas de controlo que nao possuem tempo esperado

ate sinal gozando da caracterıstica primordial. Acrescente-se, a tıtulo

de curiosidade, que a caracterıstica primordial contribui, nalgumas

situacoes, para a definicao unıvoca da regiao de continuacao e da

respectiva particao.

Uma vez obtida a particao da regiao de continuacao do esquema

VSI e caracterizada este mesmo esquema, resta averiguar se se obteve

um esquema mais rapida, em valor esperado, que a versao FSI que lhe

e comparavel sob controlo, na deteccao de todas as alteracoes a que

estes esquemas se propoem detectar. Ou seja, se

ATSV SI(θ) < ATSFSI(θ), ∀θ 6= θ0. (11.19)

So nesta situacao o recurso a polıtica amostral VSI e vantajoso.

A verificacao analıtica desta propriedade e, por vezes, difıcil.

344

Compreende-se, por isso, que a literatura que discute a polıtica

amostral VSI se limite de um modo geral a verificacao numerica desta

condicao.

Refira-se por fim que, qualquer confronto de tempos esperados ate

sinal de esquemas FSI e VSI comparaveis sob controlo pode ser escrito

a custa da funcao ρ2(θ). De facto (11.19) e equivalente a

ρ2(θ) < ρ2(θ0),∀θ 6= θ0 (11.20)

A condicao (11.20) e perfeitamente razoavel ja que sob controlo as

recolhas amostrais devem ser o mais espacadas possıvel: deste modo

nao so se retarda as emissoes de falsos alarmes, como se acelera a

deteccao de uma alteracao do parametro.


345

11.7 Ilustracao: esquemas X dos tipos FSI e VSI

com limites 3σ

Com este esquemas pretende-se detectar “shifts”no valor esperado de

caracterıstica de qualidade com distribuicao normal de µ0 para µ0 +

θ × σ0/√n, θ 6= 0.

Considere-se esquemas FSI e VSI com os seguintes intervalos

amostrais, limites de controlo e outras caracterısticas:

• d = 1.0, d1 = 0.1, d2 = 1.9;

• LCL = µ0 − γσ/√n, UCL = µ0 + γσ/

√n, onde γ = 3.0;

ξ(θ) = P (X ∈ [LCL,UCL]) = Φ(γ − θ)− Φ(−γ − θ)

• LBL = µ0 − ασ/√n, UBL = µ0 + ασ/

√n, com

α = Φ−1{d−d1

d2−d1× [Φ(γ)− .5] + .5

}= 0.672367;

• ρ2(θ) = P (usar intervalo amostral maximo d2)

= P (X ∈ (LBL,UBL))

= Φ(α−θ)−Φ(−α−θ)Φ(γ−θ)−Φ(−γ−θ)

Com este conjunto de parametros obtem-se os valores para o valor

esperado, variancia e coeficiente de variacao do tempo ate sinal da

Tabela 11.2.

Pode concluir-se da Tabela 11.2 que as alteracoes no parametro

µ sao, em valor esperado, mais facilmente detectadas pelo esquema

VSI que pelo esquema FSI. De notar, no entanto, que a utilizacao

desta polıtica amostral e tanto mais vantajosa, quanto mais grave for

a alteracao em µ.

Para alem disso a adopcao de intervalos amostrais variaveis nem

sempre resulta (resulta sempre) numa reducao da variancia (coeficiente

346

Tabela 11.2: Valor esperado, variancia e coeficiente de variacao do tempo ate sinal

θ ATSFSI(θ) ATSV SI(θ)(

1− ATSV SI(θ)ATSFSI(θ)

)× 100%

0.00 370.4 370.4 0.000%0.50 155.2 141.5 8.855%1.00 43.9 30.6 30.253%3.00 2.0 0.3 86.456%

θ V [TSFSI(θ)] V [TSV SI(θ)](

1− V [TSV SI(θ)]V [TSFSI(θ)]

)× 100%

0.00 369.9 370.3 -0.110%0.05 365.4 365.5 -0.018%1.00 43.4 30.8 29.062%3.00 1.4 0.4 71.559%

θ CV [TSFSI(θ)] CV [TSV SI(θ)](

1− CV [TSV SI(θ)]CV [TSFSI(θ)]

)× 100%

0.00 0.999 1.000 -0.110%0.50 0.997 1.000 -0.313%1.00 0.989 1.005 -1.707%3.00 0.707 1.485 -109.982%

e variacao) do tempo ate sinal. (Justifique analiticamente estes dois

resultados!)

Em Ramalhoto e Morais (1995) e Ramalhoto e Morais (1997)

podem encontrar-se exemplos de esquemas VSI dos tipos Shewhart

e EWMA (respectivamente) para o parametro de escala de uma

caracterıstica de qualidade com distribuicao Weibull tri-parametrica.

Por seu lado, em Morais e Natario (1998) procede-se a averiguacao

das vantagens dos esquemas VSI no controlo do numero esperado de

defeitos em amostras de dimensao fixa. Por sinal o caracter discreto

da caracterıstica de qualidade exige cuidados especiais na adopcao da

polıtica amostral VSI.

Textos de apoio: Morais (2006); Morais e Pacheco (2007).

347

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359

Alguns reparos e um agradecimento

O autor destas notas de apoio salienta que a seccao 8.3 resultou de uma

traducao livre de diversos textos disponıveis em http://www.asq.org/

learn-about-quality/history-of-quality/ e recomenda vivamente a

leituras destes originais. A esta traducao livre foram acrescentados

alguns reparos inspirados pela leitura de Bartmann (1986, pp.2–3),

Derman e Ross (1997, pp.3–4) e Gomes e Barao (1999, pp.1–4).

O autor salienta tambem que o Capıtulo 11 resultou de uma

adaptacao parcial autorizada de Constantino (2004, Cap. 1–3) e muito

agradece a Marco Constantino a permissao para o fazer.

360

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