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Notas de Aula
LEP1702 - Mtodos Ssmicos
Prof. Srgio Adriano Moura Oliveira
Jos Fernando Caparica Junior
26 de fevereiro de 2013
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Sumrio
1. Notao indicial 7
1.1. Regra da Soma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
I. Teoria da Elasticidade Linear 9
2. Deformao 13
2.1. O tensor de deformaes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.1. Deformaes dos vrtices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1.2. Deformaes das arestas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.3. Deformaes angulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.4. Os elementos do tensor de deformao . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2. Mudana fracional de volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3. Rotao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4. Generalizao quanto forma do slido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3. Tenso 27
3.1. Componentes da tenso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.2. Condio de equilbrio de momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.3. Direes Principais de tenso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4. Lei de Hooke 35
4.1. Meio isotrpico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.2. Mdulo de Young e Razo de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.3. Notao compacta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.3.1. Meio isotrpico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.3.2. Meio transversalmente isotrpico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
II. Ondas ssmicas 43
5. Equao de movimento 45
5.1. Meio no homogneo e anisotrpico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.2. Meio homogneo e anisotrpico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.3. Meio homogneo e isotrpico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.4. Meio no homogneo e isotrpico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
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Sumrio
6. Potenciais de Helmholtz 51
7. Equao escalar da onda 53
7.1. Deduo da equao escalar da onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
7.2. Consideraes acerca de velocidades e potenciais de Helmholtz . . . . . . . 54
7.3. Sobre a deduo da equao escalar da onda . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
7.4. Soluo para onda plana transiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
7.5. Soluo para onda plana harmnica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
7.6. Relao entre ondas transientes e harmnicas . . . . . . . . . . . . . . . . 60
7.7. Soluo para onda plana no homognea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
8. Ondas planas elsticas 65
8.1. Potencial escalar: onda compressional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
8.2. Potencial vetorial: onda cisalhante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
8.3. Nota sobre anisotropia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
9. Ondas Esfricas 69
10.Fonte pontual 75
10.1. Funo de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
10.2. Fonte com pulso arbitrrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
10.3. Caso elstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
10.4. Generalizao do termo de fonte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
11.Espalhamento de onda plana em uma interface plana 81
11.1. Caso acstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
11.2. Caso elstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
11.2.1. Onda SH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
11.2.2. Ondas P-SV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
ndice Remissivo 105
4
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Prefcio
Essa disciplina de ps graduao busca fornecer a base terica da fsica por trs da
ssmica. De uma forma geral, o curso est organizado nas seguintes partes:
Teoria da elasticidade linear
Ondas ssmicas
Espalhamento em interface plana
Atenuao e disperso de onda
Princpios de imageamento ssmico
Esse programa pode ser modicado ao longo do curso, mas serve como viso geral do
contedo proposto.
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1. Notao indicial
Ao trabalharmos com tensores, comum o uso da chamada notao indicial, que visa
facilitar o trabalho de escrita e economizar espao. Veremos a seguir algumas denies
e exemplos da notao a ser utilizada.
A representao de um vetor qualquer feita por uma seta acima da letra que repre-
senta o vetor:
~u = vetor u
Um vetor descrito pelas coordenadas no espao em que ele est denido. Tridimen-
sionalmente isso equivale a dizer:
~u = (ux, uy, uz) = uxi+ uy j + uzk
As dimenses podem ser representadas em termos de ndices, de forma que:
u1 = uxu2 = uyu3 = uz
= ui, i = 1, 2, 3Ou seja
~u = ui
Podemos estender a ideia de ndices para matrizes. Consideremos uma matriz 3x3:
A =
a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
= aij , { i = 1, 2, 3j = 1, 2, 3Repare que o nmero de ndices dene o nmero de elementos da matriz, de acordo
com o nmero de dimenses em que se est trabalhando:
ui = 3 elementos
aij = 9 elementos
bijk = 27 elementos
cijkl = 81 elementos
7
-
1. Notao indicial
Assim, temos que o nmero elementos denido pelo nmero de ndices n da seguinteforma:
numero de elementos = 3n
para o caso de trs dimenses. Note que essa uma generalizao que engloba tambm
os vetores unidimensionais, e os escalares, que a situao em que n = 0, e portanto onmero de elementos igual a 1.
1.1. Regra da Soma
A regra da soma uma conveno de representao. Consideremos dois vetores quaisquer
~u e ~v. O produto interno dos dois vetores :
~u.~v = uxvx + uyvy + uzvz = u1v1 + u2v2 + u3v3 = uivi =
3i=1
uivi
Consideremos agora o produto de um vetor com uma matriz:
~y = A~x yi =3i=1
aijxj = aikxk
Regra da soma: termos com ndices repetidos implica em soma
8
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Parte I.
Teoria da Elasticidade Linear
9
-
Consideremos uma barra slida xa, conforme mostra a gura 1.1.
Figura 1.1.: Esquematizao de uma barra slida sofrendo ao de uma fora distensiva
Ao aplicar uma fora barra, ocorrer uma deformao na mesma. A relao entre
deformao e intensidade da fora aplicada est ilustrada na gura 1.2. Inicialmente a
relao linear, o que signica que, ao remover a fora atuante, a deformao deixa de
existir e o corpo retorna sua forma original. A partir de um certo limite, o corpo passa
a sofrer uma deformao permanente, ou seja, aps remover a fora atuante no corpo, ele
no retornar sua forma original. H ainda um outro limite, mais adiante, que indica a
resistncia do corpo, o valor mximo de intensidade de fora que ele capaz de suportar
antes que se rompa.
Figura 1.2.: Relao entre fora e deformao
O estudo desta disciplina se limita primeira poro do grco, em que a relao entre
deformao e fora linear. Podemos nos ater apenas essa parte do grco por estarmos
lidando com fontes de energia relativamente pequenas. Uma aquisio ssmica no ir
11
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deformar as camadas subjacentes, pois a fonte ssmica no fornece energia suciente para
tal. O mesmo no se pode dizer dos sismos, mas essa questo foge ao escopo da disciplina.
12
-
2. Deformao
1
Para compreender o que ocorre em uma deformao, consideremos um corpo bidimensio-
nal, conforme exposto na gura 2.1. Podemos ento denir dois pontos dentro do corpo,
denidos pelos vetores ~x0 e ~x1, separados por uma distncia dx. Podemos supor quequalquer mudana na posio dos dois pontos implicaria necessariamente na deformao
do corpo. No entanto essa armao falsa. O corpo pode sofrer rotao e translao
2
,
o que signica que houve mudana nas coordenadas dos pontos, mas no houve uma al-
terao na distncia dx entre eles. Por outro lado, se observarmos qualquer mudana na Note que dx =| ~x1 ~x0|distncia entre dois pontos internos, ento podemos dizer que obrigatoriamente ocorreuuma deformao, como mostra a gura 2.2.
Figura 2.1.: Esquematizao de corpo bidimensional rgido
Assim podemos denir o conceito de deformao:
Deformao: alterao no s da posio de um ponto, como tambm da distncia relativa
entre dois pontos internos
A gura 2.2 mostra esquematizao da deformao proposta por uma funo vetorial ~u,que mapeia o deslocamento de todos os pontos internos ao corpo. Essa funo tambm
1
Em ingls: Strain
2
Translao e rotao so classicadas por alguns autores como deformaes de corpo rgido, mas isso
uma babaquice sem tamanho e por isso no consideraremos esses eventos como deformaes.
13
-
2. Deformao
chamada de vetor de deslocamento.
Figura 2.2.: Esquematizao de corpo bidimensional rgido aps deformao descrita pela
funo vetorial ~u
Note que ~u na verdade uma matriz, pois ~u = (ux, uy, uz), onde:
ux = (x, y, z)
uy = (x, y, z)
uz = (x, y, z)
Podemos escrever
~x,0 como funo de ~x0:
~x,0 = ~x0 + ~u( ~x0) (2.1)
A equao 2.1 conhecida como Sistema Lagrangiano.
Vamos buscar ento uma forma algbrica de se quanticar uma deformao. A gura
2.3 mostra dois pontos, representados pelos vetores xi e yi, separados por uma distnciadl, que o mdulo do vetor dxi = yi xi. Ao aplicar o vetor deslocamento ~u (funovetorial, ou seja, uma matriz) aos pontos xi e yi, obtm-se os novos pontos x
i e y
i,
separados por uma distncia dl.
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-
Figura 2.3.: Representao esquemtica dos vetores envolvidos em uma deformao, mos-
trando a posio relativa entre dois pontos: xi e yi
Algebricamente, a distncia dl o mdulo do vetor dxi, logo:
dl =dx21 + dx
22 + dx
23 (2.2)
que pela regra da soma, pode ser reescrito da seguinte forma:
dl2 = dxidxi (2.3)
Do ponto de vista vetorial, possvel notar pela gura 2.3 que
yi = xi + dxi ~u(yi) = ~u(xi + dxi) (2.4)e dl = ~dx+ ~u(xi + dxi) ~u(xi) (2.5)lembrando que
~dx = dxiNote, na equao 2.5, que ~u(xi + dxi) = ~u(yi), conforme mostra a equao 2.4.Podemos ento denir um vetor
~du, tal que:
~u(xi + dxi) ~u(xi) = ~du (2.6)Fazendo uma expanso em srie de Taylor, chega-se em:
~du =
(uxx
dx+uxy
dy +uxz
dz,
uyx
dx+uyy
dy +uyz
dz,
uzx
dx+uzy
dy +uzz
dz
)(2.7)
Que pode ser escrita de forma compacta:
~du = (dux, duy, duz) = (du1, du2, du3) (2.8)
15
-
2. Deformao
ou ainda:
dui =uixj
dxj (2.9)
Aplicando 2.6 em 2.5, temos:dl = ~dx+ ~du dl2 = (dxi + dui)2 (2.10)substituindo 2.9 em 2.10:
dl2 =(dxi +
uixj
dxj
)2(2.11)
Aplicando o quadrado:
dl2 = dx2i + 2dxidxjuixj
+uixj
uixk
dxjdxk (2.12)
Pela regra da soma, podemos escrever:
2dxidxjuixj
= dxidxj
(uixj
+ujxi
)(2.13)
Considerando que as deformaes so innitesimais, temos que:
uixj
uixk
0 (2.14)
Aplicando 2.13 e 2.14 em 2.12:
dl2 = dx2i + dxidxj(uixj
+ujxi
)(2.15)
Atravs de 2.3, temos que:
dl2 = dl2 + 2eijdxidxj (2.16)
onde
eij =1
2
(uixj
+ujxi
)(2.17)
O termo eij chamado de tensor de deformao, e conforme vimos na notao indicial, uma matriz com 9 elementos
Podemos agora escrever:
dl =dl2 + 2eijdxidxj (2.18)
Se considerarmos uma distncia inicial unitria, ou seja, dl = 1, podemos fazer aseguinte aproximao:
16
-
2.1. O tensor de deformaes
dl =
1 + 2eijdxidxj 1 + eijdxidxj
dl 1 = eijdxidxj
l = eijdxidxj
De onde se dene :
(dxi) = eijdxidxj (2.19)
O termo um escalar, e indica a variao na distncia entre dois pontos na direodenida pelo vetor dxi.
Matricialmente, escrito da seguinte forma:
(dxi) =[dx1 dx2 dx3
] e11 e12 e13e21 e22 e23e31 e32 e33
dx1dx2dx3
(2.20)
Veremos na prxima aula que, embora o tensor eij tenha 9 elementos, apenas 6 delesso independentes, pois a matriz simtrica.
2.1. O tensor de deformaes
Conforme j mencionado, o tensor de deformaes a entidade fsica que caracteriza
matematicamente a deformao de um slido elstico. Passemos ento a estudar esse
tensor, a m de entender melhor a fsica por trs dele e o signicado de cada um de seus
elementos.
Consideremos a deformao de um slido bidimensional, denido pelos vrtices PQRS,conforme mostra a gura 2.4. Aps a deformao, cada um dos vrtices passa a ocupar
uma posio diferente: o ponto P mudou para P , o ponto S mudou para S, o ponto Q,mudou para Q e o ponto R foi para R.
17
-
2. Deformao
Figura 2.4.: Deformao de um slido bidimensional quadrado. O estudo realizado se
limita s redondezas do ponto P
2.1.1. Deformaes dos vrtices
Consideremos que o ponto P est na posio (x, y). Ento aps a deformao temos:
P : (x, y) P : (x, y) + ~u(x, y) (2.21)Lembrando que ~u o vetor deslocamento, e que de fato temos :
~u(x, y) = (ux(x, y), uy(x, y) ) (2.22)
Ou seja,
P : (x, y) + ~u(x, y) = (x+ ux, y + uy) (2.23)
ux a componentex, e uy a compo-nente y do vetor ~uDe forma anloga, o ponto Q sofreu a seguinte modicao de posio:
Q : (x+ dx, y) Q : (x+ dx, y) + ~u(x+ dx, y) (2.24)Queremos saber o valor de ~u(x+dx, y) na vizinhana de x, ento fazemos uma expansoem sries de Taylor, desprezando os termos de segunda ordem:
~u(x+ dx, y) =
(ux +
uxx
dx, uy +uyx
dx
)(2.25)
18
-
2.1. O tensor de deformaes
aplicando em 2.24:
Q : (x+ dx, y) Q : (x+ dx, y) + ~u(x+ dx, y)
Q :(x+ dx+ ux +
uxx
dx, y + uy +uyx
dx
)(2.26)
De forma anloga podemos denir a nova posio de S:
S :(x+
uxy
dy + ux, y + dy + uy +uyy
dy
)(2.27)
O caso de R ser omitido.
2.1.2. Deformaes das arestas
Vejamos ento o que ocorre com o comprimento do lado PQ aps a deformao. Origi-nalmente temos:
PQ = dx (2.28)
Para denir o comprimento de P Q, usamos as equaes 2.23 e 2.27, de forma que:
P Q2 =((
x+ dx+ ux +uxx
dx
) (x+ ux) ,
(y + uy +
uyx
dx
) (y + uy)
)2
=
(dx+
uxx
dx
)2+
(uyx
dx
)2
= dx2 + 2dxuxx
dx+
(uxx
)2dx2 +
(uyx
)2dx2
Desprezando os termos innitesimais de ordem superior, chegamos em:
P Q2 = dx2
1 + 2uxx +(uxx
)2 0
+
(uyx
)2 0
Lembrando que es-
tamos lidando com
deformaes inni-
tesimais
P Q = dx
1 + 2
uxx dx+ dxux
x
Logo:
P Q = dx+ dxuxx(2.29)
De forma anloga, chega-se em
19
-
2. Deformao
P S = dy + dyuyy(2.30)
2.1.3. Deformaes angulares
Outro aspecto que nos interessa analisar so as deformaes angulares. Se observarmos
a gura 2.5, notaremos que o ngulo original de 90 que havia entre as arestas PQ e PS, alterado, tendo sofrido um decrscimo de 1 + 2, segundo a gura. Note que a gura apenas um exemplo, e que pode haver um acrscimo no ngulo, dependendo do tensor
de deslocamento.
Figura 2.5.: Deformaes angulares no slido. Os ngulos originais de 90 podem sofrer
uma reduo ou um acrscimo de acordo com os valores de 1 e 2
Vamos ento calcular os ngulos mencionados. Atravs da gura 2.5, temos que:
1 = arcsin
(uyx dx
dx+ dxuxx
)= arcsin
(uyx
1 + uxx
)
Como
uxx muito pequeno, podemos considerar que o denominador igual a 1:
1 = arcsin
(uyx
)Novamente, como estamos lidando com valores innitesimais, podemos considerar:
20
-
2.1. O tensor de deformaes
1 uyx(2.31)
De forma anloga, temos:
2 = arcsin
(uxy dy
dy + dyuyy
)de onde conclumos que:
2 uxy(2.32)
Estamos lidando com um slido bidimensional. No entanto, se estivssemos lidando
com trs dimenses poderamos ainda calcular, de forma anloga, o ngulo para o eixo
z.
2.1.4. Os elementos do tensor de deformao
Vimos na aula passada que o tensor de deformao pode ser representado por uma matriz,
como mostra 2.33.
eij :
exx exy exzeyx eyy eyzezx ezy ezz
(2.33)
onde cada elemento do tensor dado por 2.34:
eij =1
2
(uij
+uji
)(2.34)
Vamos ento analisar os elementos da diagonal principal do tensor 2.33, comeando
por exx, que substituindo na equao 2.34 ca:
exx =1
2
(uxx
+uxx
) exx = ux
x(2.35)
O que representa esse termo? Se observarmos a equao 2.29, notaremos que a ex-
presso
uxx est relacionada com a variao do comprimento da aresta PQ. Podemosescrever:
P Q PQPQ
=uxx
= exx (2.36)
Observe que o lado esquerdo da equao 2.36 representa o crescimento relativo em
relao aresta PQ, ou seja, em relao dx. Note que no se trata necessariamente deum crescimento relativo. Pode haver um decrscimo em dx, e isso caria evidenciadopelo valor negativo de
uxx . Ento, de forma mais generalista, podemos dizer que o termo
exx representa a variao relativa em relao ao eixo x.
21
-
2. Deformao
De forma anloga, temos que
eyy =1
2
(uyy
+uyy
) eyy = uy
y=P S PS
PS(2.37)
e
ezz =1
2
(uzz
+uzz
) ezz = uz
z(2.38)
Conforme mostra a equao 2.37, o termo eyy do tensor quem dene o crescimento(ou diminuio) relativo no eixo y. E a equao 2.38 nos mostra que ezz o equivalentepara o eixo z.
Com isso, podemos concluir que os elementos da diagonal principal do tensor eij de-nem o crescimento ou diminuio do corpo com relao aos trs eixos. Esses elementos
so chamados de componentes normais de deformao.
Vamos agora analisar os componentes fora da diagonal principal do tensor de defor-
mao. Mais uma vez, basta utilizar a equao 2.34 para chegar em:
eyx = exy =1
2
(uxy
+uyx
)(2.39)
ezx = exz =1
2
(uxz
+uzx
)(2.40)
ezy = eyz =1
2
(uyz
+uzy
)(2.41)
Note o tensor uma matriz simtrica, e que na verdade pode ser representado por
apenas 6 componentes. Observe ento a equao 2.39, e compare os termos com as
equaes 2.31 e 2.32. Perceba que eyx se refere mudana nos ngulos 1 e 2, ou seja, o termo que dene a mudana angular. Os demais termos se referem variao tambm
do ngulo 3, que em relao ao eixo z, que no foi representado na gura 2.5 paramanter a gura mais clara e didtica. Esses elementos fora da diagonal principal so
chamados de componentes de cisalhamento do tensor.
Assim, podemos concluir que um tensor denido por suas componentes normais,
cujos elementos esto dispostos na diagonal principal, e componentes de cisalhamento,
que so os elementos fora da diagonal principal do tensor.
2.2. Mudana fracional de volume
A mudana fracional no volume () denida como sendo a razo entre variao devolume e o volume original ou seja:
=dV
V
22
-
2.3. Rotao
=[dx (1 + exx) .dy (1 + eyy) .dz (1 + ezz)] dx.dy.dz
dx.dy.dz
eliminando o termo dx.dy.dz, e os termos de ordem superior, chegamos em:
exx + eyy + ezz (2.42)Note que a equao 2.42 nada mais que o trao
3
do tensor de deformao.
Por outro lado, note tambm que a mudana fracional de volume nada mais que o
divergente do vetor deslocamento ~u:
=uxx
+uyy
+uzz
= div ~u
2.3. Rotao
Voltemos nossa ateno novamente para a mudana angular, denida pelas componentes
cisalhantes do tensor de deformao. Se considerarmos as diferenas entre os ngulos,
poderemos observar se houve uma variao angular maior em torno de um dos eixos. A
gura 2.6 exemplica dois casos de rotao, sendo que no caso esquerda h uma rotao
por igual, sem ocorrer deformao. J o exemplo direita mostra o caso em que h a
deformao e rotao ocorrendo simultaneamente.
Figura 2.6.: Exemplos e rotao do corpo bidimensional. esquerda, um caso de sim-
ples rotao, sem haver deformao. direita temos um caso em que h a
deformao e rotao
Note que se os ngulos forem idnticos, h uma distoro por igual em relao aos
dois eixos, e portanto no h rotao. Algebricamente, a rotao i em torno de cadaeixo pode ser escrita de acordo com a equao 2.43:
3
Trao de uma matriz a soma de seus elementos da diagonal principal
23
-
2. Deformao
z =uyx uxy
y =uxz uzx
x =uzy uyz
rot ~u = xi+ y j + zk (2.43)
Esses elementos no esto presentes no tensor de deformao, ou seja, no podemos
extrair a informao de rotao a partir do tensor de deformao, da mesma forma que
zemos com a mudana fracional de volume. Isso ocorre porque a rotao no uma
deformao de verdade, e sim uma deformao de corpo rgido, em que as distncias
entre os vrtices no alterada aps a mudana na posio dos mesmos.
2.4. Generalizao quanto forma do slido
Utilizando os conceitos apresentados at o momento, podemos caracterizar a deformao
de um slido de qualquer forma discretizando o corpo em diversos pontos, conforme
mostra a gura 2.7.
Figura 2.7.: Exemplo de discretizao de um corpo slido de uma forma qualquer. Cada
ponto vermelho possui um tensor de deformao prprio, carregando infor-
maes sobre as tenses normais, os cisalhamentos sofridos e o a variao
fracional de volume de cada unidade innitesimal.
Aps a aplicao de foras externas ao corpo, podemos caracterizar sua deformao
atravs dos pontos discretizados, conforme mostrado a gura 2.8:
24
-
2.4. Generalizao quanto forma do slido
Figura 2.8.: Slido discretizado aps a deformao. A deformao total do corpo pode
ser descrita pela deformao de cada ponto discretizado (em azul), cada qual
possuindo um tensor de deformao
25
-
3. Tenso
1
Um corpo se deforma at um certo ponto, a partir do qual a deformao se equilibra com
as foras internas do corpo.
As foras internas do corpo devem anular as externas. A gura 3.1 ilustra a distribuio
de foras num plano innitesimal S. Podemos ento escrever:
FR =
S
F dS (3.1)
Podemos ento dizer que a tenso innitesimal que atua no ponto p :
T (~n) = lim
S0
(FRS
)(N/m2) (3.2)
Figura 3.1.: Tenso innitesimal num ponto p, denida como o limite da razo entre a
fora resultante
FR e a rea innitesimal S
Observe que a tenso no uma grandeza meramente pontual, pois depende do plano
sobre o ponto p, que denido pelo vetor ~n.
A tenso
T no necessariamente aplicada ortogonalmente ao plano, e portanto podeser decomposta em componentes normal e cisalhante, conforme ilustra a gura 3.2.
Um corpo dentro de um uido no apresenta tenses cisalhantes devido ao fato de o
uido no exercer resistncia para tenses cisalhantes
1
Em ingls: Stress
27
-
3. Tenso
Figura 3.2.: A tenso
T pode ser decomposta em duas componentes: normal e cisalhante
Portanto, para caracterizar a tenso em um corpo necessrio saber qual a tenso
em cada ponto e em cada plano que passa por esse ponto. Vejamos ento quais as
componentes da tenso.
3.1. Componentes da tenso
A gura 3.3 ilustra trs das nove componentes do tensor de tenses, especicamente as
componentes relativas ao plano ortogonal ao eixo z.Podemos escrever:
normais{zz =
T (k)k, yy =
T (j)j, xx =
T (i)i
cisalhantes
{zy =
T (k)j, yz =
T (j)k, xy =
T (i)j
zx =T (k)i, yx =
T (j)i, xz =
T (i)k
Podemos ento analisar para um plano qualquer, conforme ilustra a gura 3.4.
Nessa situao temos:
S = S ~n
Sx =S i
Sy =S j
Sz =S k
T (n ) = (tx, ty, tz)n = (nx, ny, nz)
(3.3)
Havendo equilbrio, a resultante das foras zero:
S T (n ) + Sx T (i ) + Sy T (j ) + Sz T (k ) = 0 (3.4)
28
-
3.1. Componentes da tenso
Figura 3.3.: Ilustrao das 9 componentes da tenso
~T , utilizando planos normais aoseixos x, y e z
Figura 3.4.: Tenso aplicada um plano qualquer
29
-
3. Tenso
que igual a:
iT (n ) S xxSx yxSy zxSz = 0jT (n ) S xySx yySy zySz = 0
kT (n ) S xzSx yzSy zzSz = 0(3.5)
Substituindo por 3.3, chegamos a:
TxS xxS nx yxS ny zxS nz = 0TyS xyS nx yyS ny zyS nz = 0TzS xzS nx yzS ny zzS nz = 0(3.6)
Que pode ser representado matricialmente:
Tx(n )Ty(n )Tz(n )
= xx yx zxxy yy yzxz yz zz
nxnynz
(3.7)
Ou pela notao indicial:
Ti = ijnj (3.8)
onde ij o tensor de tenses.
A tenso caracterizada pelas nove componentes tensoriais. No caso de um uido, a
matriz tensorial uma matriz diagonal com
xx = yy = zz = P
onde P a presso (N/m2), e o sinal negativo uma conveno, indicando que se tratada fora saindo do corpo em direo ao exterior.
3.2. Condio de equilbrio de momentos
Consideremos um elemento innitesimal tridimensional, conforme ilustra a gura 3.5.
Aplicando-se uma tenso qualquer , haver tambm uma tenso de mesmo mduloe direo, e sentido contrrio, conforme descrito pela terceira Lei de Newton (ao e
reao).
30
-
3.2. Condio de equilbrio de momentos
Figura 3.5.: Tenses atuando em um elemento innitesimal tridimensional. Pela Lei da
ao e reao, ao aplicar uma tenso , haver uma tenso de mesmo mduloe direo, com sentido contrrio, conforme ilustram as tenses xy e yx.Note que o cubo representado um elemento innitesimal, e que para todos
os ns estamos considerando x 0, y 0 e z 0, ou seja, estamoslidando com um ponto.
Considerando que o elemento innitesimal est em condies de equilbrio, podemos
escrever seus momentos:
1
2(y yx + y yx) xz =
1
2(xxy + xxy) yz
Ou seja,
xyz yx = xyz xy
yx = xyPodemos estender o raciocnio para as demais tenses, concluindo ento que
ij = ji (3.9)
Em outras palavras, o tensor de tenses simtrico, assim como o tensor de deforma-
es. Para o caso tridimensional, ento, temos que o tensor de tenses possui 6 elementos
independentes.
31
-
3. Tenso
3.3. Direes Principais de tenso
Conforme j visto, estamos sempre lidando com elementos de rea innitesimais, e mos-
tramos que o tensor de tenses depende da superfcie innitesimal que escolhermos, que
por sua vez pode ser denida atravs do seu vetor normal. At aqui, consideramos que
a tenso possui uma direo qualquer em relao ao vetor normal. Vejamos ento a
situao especial em que a direo da tenso aplicada coincide com a direo do vetor
normal, e quais suas implicaes algbricas.
Figura 3.6.: At agora consideramos que a tenso
T (n ) possui uma direo qualquerem relao normal do plano innitesimal
n , conforme mostra a gura daesquerda. No entanto, h de se considerar o caso especco em que a tenso
paralela ao vetor normal, situao ilustrada na gura da direita.
Vamos representar o vetor normal das direes principais como
np. Na situao dadireita, na gura 3.6, temos que a tenso possui mesma direo e sentido do vetor normal,
e nessas condies podemos chamar a tenso de tenso normal. Essa condio pode ser
representada por
T (n ) np, o que implica em dizer que:
T (n ) = nponde R. Podemos ento escrever:
nxnynz
n
=
xx yx zxxy yy zyxz yz zz
nxnynz
ou simplesmente
n = n
de onde pode-se escrever
( I)n = 0
32
-
3.3. Direes Principais de tenso
que tem soluo no trivial se, e somente se
det ( I) = 0 (3.10)O que nos permite concluir que so os autovalores de , e que np so os autovetoresde .Atravs de um teorema de lgebra linear
2
, tem-se que uma matriz simtrica possui
apenas autovalores positivos e seus autovetores podem ser escolhidos ortogonais. Consi-
derando que o tensor de tenses simtrico, podemos ento armar que:
Sempre possvel encontrar um conjunto de direes principais, denidas pelos autove-
tores do tensor de tenses, em que as tenses so puramente compressionais, ou seja, no
h componentes de cisalhamento.
Pelo mesmo princpio, pode-se encontrar um conjunto de direes principais para o
tensor de deformaes em que as deformaes so puramente compressionais. Para um
meio isotrpico, as direes principais dos tensores de deformaes e de tenses sero
coincidentes.
2
Para maiores informaes, consulte a seo 6.4 de GILBERT, S.; Introduction to Linear Algebra, 2nd
edition (1998)
33
-
4. Lei de Hooke
razovel imaginar que haja uma relao entre tenso e deformao, anal de contas,
intuitivo pensar que um objeto que sofra uma tenso - seja compresso ou extenso - ir
sofrer alguma forma de deformao, mesmo que pequena. Mais uma vez vamos utilizar
a ideia de um elemento innitesimal: um cubo de dimenses
1 x, y e z. A gura4.1 ilustra a representao de todos elementos do tensor de tenses: os trs normais e os
seis cisalhantes, dos quais apenas trs so independentes.
Figura 4.1.: Representao das tenses aplicadas a um cubo, mostrando as 9 componentes
do tensor de tenses.
Como vimos, as deformaes deste cubo so completamente descritas pelo tensor de
deformaes eij , que possui 6 componentes independentes:
normais {exx, eyy, ezzcisalhantes {exy, exz, eyz1
A ideia de utilizar um elemento de dimenses x, y e z para facilitar a visualizao da situao.Na realidade, estamos lidando com uma grandeza pontual, ou seja, todas as trs dimenses do cubo
tendem a zero.
35
-
4. Lei de Hooke
Vimos tambm que as tenses aplicadas neste cubo so completamente descritas pelo
tensor de tenses ij , que tambm possui 6 componentes independentes:
normais {xx, yy, zzcisalhantes {xy, xz, yzA relao entre os tensores de deformao e de tenso, ij eij , no regime linear dada pela Lei de Hooke. Essa lei relaciona as duas grandezas linearmente, ou seja, cada
elemento do tensor de tenses pode ser calculado a partir de cada elemento do tensor
de deformaes associado uma constante. Se considerarmos todos elementos dos dois
tensores, o equivalente a escrever:
xx = cxxxxexx + cxxxyexy + cxxxzexz + cxxyxeyx + cxxyyeyy + cxxyzeyz+cxxzxezx + cxxzyezy + cxxzzezzxy = cxyxxexx + cxyxyexy + cxyxzexz + cxyyxeyx + cxyyyeyy + cxyyzeyz+cxyzxezx + cxyzyezy + cxyzzezzxz = cxzxxexx + cxzxyexy + cxzxzexz + cxzyxeyx + cxzyyeyy + cxzyzeyz+cxzzxezx + cxzzyezy + cxzzzezzyx = cyxxxexx + cyxxyexy + cyxxzexz + cyxyxeyx + cyxyyeyy + cyxyzeyz+cyxzxezx + cyxzyezy + cyxzzezzyy = cyyxxexx + cyyxyexy + cyyxzexz + cyyyxeyx + cyyyyeyy + cyyyzeyz+cyyzxezx + cyyzyezy + cyyzzezzyz = cyzxxexx + cyzxyexy + cyzxzexz + cyzyxeyx + cyzyyeyy + cyzyzeyz+cyzzxezx + cyzzyezy + cyzzzezzzx = czxxxexx + czxxyexy + czxxzexz + czxyxeyx + czxyyeyy + czxyzeyz+czxzxezx + czxzyezy + czxzzezzzy = czyxxexx + czyxyexy + czyxzexz + czyyxeyx + czyyyeyy + czyyzeyz+czyzxezx + czyzyezy + czyzzezzzz = czzxxexx + czzxyexy + czzxzexz + czzyxeyx + czzyyeyy + czzyzeyz+czzzxezx + czzzyezy + czzzzezz
Podemos fazer uso da notao indicial e simplicar a representao dessas equaes,
que tensorialmente representada por:
ij = cijklekl (4.1)
O termo cijkl chamado de tensor de constantes elsticas2
, e possui 81 elementos.
Porm h diversas simetrias nesse tensor:
cijkl = cjikl (4.2)
cijkl = cijlk (4.3)
2
Em ingls: Stiness tensor
36
-
4.1. Meio isotrpico
cijkl = cklij (4.4)
E com isso o nmero de constantes elsticas independentes cai para 21. Em outras
palavras, possvel descrever o comportamento elstico de qualquer material utilizando
21 elementos do tensor de constantes elsticas. Para materiais mais simples, so neces-
srios menos elementos, enquanto para materiais mais complexos so necessrios mais
elementos. Por exemplo, um material elstico isotrpico requer apenas 2 constantes in-
dependentes, enquanto um cristal triclnico (plagioclsio, por exemplo) requer todos os
21 elementos independentes do tensor cijkl.
4.1. Meio isotrpico
Um meio isotrpico aquele em que as tenses normais geram apenas deformaes nor-
mais, e as tenses cisalhantes geram apenas deformaes cisalhantes.
O tensor de constantes elsticas para um meio isotrpico possui apenas duas compo-
nentes independentes, e podemos calcular o tensor inteiro atravs da equao:
cijkl = klij + (ikjl + jkil) (4.5)
onde ij o delta de Kronecker, dado por:
ij =
{1 se i = j0 se i 6= jEnto a Lei de Hooke para um slido isotrpico ca:
ij = ij + 2eij (4.6)
onde
= e11 + e22 + e33 (4.7)
ou seja:
xx = (exx + eyy + ezz) + 2exxyy = (exx + eyy + ezz) + 2eyyzz = (exx + eyy + ezz) + 2ezzxy = 2exyxz = 2exzyz = 2eyz
(4.8)
Os termos e so constantes elsticas independentes, e so chamados de constantesde Lam. O termo especicamente refere-se a rigidez do meio.Para um meio lquido, temos = 0, e a equao 4.6 ca:
xx = yy = zz = P = (4.9)
37
-
4. Lei de Hooke
onde P a presso hidrosttica. Note que representa a mudana volumtrica domeio.
Especicamente para um meio lquido, temos que:
= k = incompressibilidade (4.10)
Para o caso geral, podemos denir a incompressibilidade de forma intuitiva a partir
das tenses normais, conforme mostrado na a gura 4.2.
Figura 4.2.: Tenses normais aplicadas em um cubo innitesimal, representadas com ori-
entao para dentro do cubo, indicando a ideia de compresso do corpo.
Matematicamente essa situao descrita pela somatria das tenses normais da equa-
o 4.8:
xx + yy + zz = 2(exx + eyy + ezz) + 3(exx + eyy + ezz)
Substituindo por 4.7:
1
3
3i=1
ii =1
3(2+ 3)
ou ainda:
1
3
3i=1
ii = k
de onde dene-se o parmetro de incompressibilidade k:
k = +2
3 (4.11)
Pode-se ento escrever a compressibilidade em funo da incompressibilidade k:
38
-
4.2. Mdulo de Young e Razo de Poisson
=1
k(4.12)
Note que a equao 4.10, denida apenas para uidos, um caso especco da equao
4.11 para = 0.
4.2. Mdulo de Young e Razo de Poisson
Alm das constantes de Lam, e , comum o uso de outras constantes elsticas, quesejam mais intuitivas. A exemplo disso temos, alm da incompressibilidade(k), o Mdulode Young E e a Razo de Poisson . Considere a gura 4.3.
Figura 4.3.: A ao de uma tenso apenas na direo do eixo x resultar do esticamentodo corpo ao longo do eixo x, e uma reduo da seco transversal em relaoa esse mesmo eixo. Ou seja, o corpo se estica, aumentando o comprimento
e reduzindo sua espessura.
Nessas condies, temos que exx positivo e os termos eyy e ezz so negativos. Tambmsabemos que eyy = ezz. Podemos denir o Mdulo de Young (E) e a razo de Poisson() em termos das relaes:
E =xxexx(4.13)
= eyyexx
= ezzexx(4.14)
Podemos reescrever essas constantes elsticas em termos das constantes de Lam, assim
como zemos com a incompressibilidade, substituindo na lei de Hooke. Com isso obtemos
as relaes:
E = (3+ 2)
+ (4.15)
39
-
4. Lei de Hooke
=
2 (+ )(4.16)
4.3. Notao compacta
Como mencionado, o tensor de constantes elsticas de qualquer material pode ser re-
presentado utilizando 21 termos. Podemos ento fazer uma simplicao na notao do
tensor, e com isso representar o tensor cijkl dentro de uma matriz 66, conforme mostraa tabela 4.1.
cijkl cmni, jk, l
}{mn
1, 1 12, 2 23, 3 32, 3 43, 1 51, 2 6
Tabela 4.1.: Tabela de converso da notao compacta para o tensor de constantes
elsticas
Por exemplo,
c1233 c63c1111 c11c3132 c54
4.3.1. Meio isotrpico
Para o meio isotrpico o tensor de constantes elsticas, na sua forma compacta, tem a
seguinte forma:
cmn =
c11 c12 c12 0 0 0c12 c11 c12 0 0 0c12 c12 c11 0 0 00 0 0 c44 0 00 0 0 0 c44 00 0 0 0 0 c44
(4.17)
Por ser simtrica, muitas vezes representada como uma matriz triangular:
40
-
4.3. Notao compacta
cmn =
c11 c12 c12 0 0 0c11 c12 0 0 0
c11 0 0 0c44 0 0
c44 0c44
(4.18)
os parmetros c11, c12 e c44 podem ser reescritos em funo dos parmetros de Lam:
c11 = + 2c12 = c44 = (4.19)
4.3.2. Meio transversalmente isotrpico
Um meio transversalmente isotrpico um meio acamadado em que no h variao
lateral (transversal), mas que possui uma variao em profundidade. Dependendo do
comprimento de onda e da espessura de cada camada, a variao com a profundidade
pode ser considerada uma no homogeneidade ou uma anisotropia. Nessas condies, h
5 termos independentes, e o tensor de constantes elsticas tem a seguinte forma:
cmn =
c11 c12 c13 0 0 0c11 c13 0 0 0
c33 0 0 0c44 0 0
c44 0c55
(4.20)
onde
c55 =c11 c12
2(4.21)
Esse caso o mximo de anisotropia que vamos trabalhar.
41
-
Parte II.
Ondas ssmicas
43
-
5. Equao de movimento
Consideremos um corpo qualquer, conforme ilustrado na gura 5.1. Todos os pontos do
corpo esto submetidos a uma fora
~f , chamada de fora de corpo1. Atuando sobre asuperfcie do corpo esto tambm as tenses externas, representadas na gura por
~T ( ~n).
Figura 5.1.: Representao de um corpo qualquer, submetido a uma fora corporal
~f euma tenso
~T (~n), com um deslocamento ~u
Podemos escrever que o somatrio de todas as foras atuando sobre o corpo
S
~T ( ~n)dS +
V
~fdV =
~F (5.1)
No estado de equilbrio, o corpo no tem fora resultante atuando sobre ele, ou seja, o
somatrio zero: ~F = ~0 (5.2)
Lembrando que
1
Em ingls: body force. o caso da fora gravitacional, por exemplo.
45
-
5. Equao de movimento
~T ( ~n) = (Tx, Ty, Tz) (5.3)
ou ainda, na notao indicial:
Tij = ijnj (5.4)
Substituindo a equao 5.4 no primeiro termo de 5.1, temos:
S
~T ( ~n)dS =
S
ijnjdS =
S
~Gi~ndS
onde
~Gi = (xi, yi, zi). Ento pelo teorema da divergncia de Gauss podemos escre-ver:
S
~Gi~ndS =
V
~GidV =
V
div ~GidV
onde
~Gi = xix
+yiy
+ziz
=jixj
Assim podemos escrever que
S
~T ( ~n)dS =
V
jixj
dV (5.5)
Substituindo a equao 5.5 na equao 5.1, e considerando que o corpo est em equi-
lbrio, ou seja, substituindo tambm a equao 5.2 na equao 5.1, temos:
V
jixj
dV +
V
fidV = 0
e como o volume o mesmo, podemos ento escrever:
jixj
+ fi = 0 (5.6)
O conjunto de equaes diferenciais representadas por 5.6 descreve a condio de equil-
brio de um corpo elstico, em funo da distribuio de tenses aplicadas a ele. comum
encontrar na literatura uma notao ligeiramente diferente para o primeiro termo:
ijxj
ji,j
Lembrando que estamos utilizando a notao indicial, e a expresso 5.6 na verdade
refere-se a um conjunto de equaes:
46
-
5.1. Meio no homogneo e anisotrpico
ji,j = fi
xxx +
xyy +
xzz = fx
yxx +
yyy +
yzz = fy
zxx +
zyy +
zzz = fz(5.7)
Esse o sistema que deve ser resolvido para se encontrar o tensor de tenses de um
ponto corpo. Esse um problema conhecido como problema de valor de contorno, em
que, sabendo as tenses externas na superfcie do corpo, podemos calcular as tenses
qualquer ponto no interior do corpo.
No estudo de ondas ssmicas a situao de equilbrio no relevante, pois h uma fora
resultante proveniente de uma fonte ssmica. Vamos ento analisar a situao em que
no h equilbrio, ou seja,
~F 6= ~0. Pela conservao do momento linear, temos:
V
jixj
dV +
V
fidV =
t
V
uit
dV (5.8)
onde o vetor ui o vetor deslocamento do corpo. Considerando que os volumes soiguais
2
, podemos escrever:
jixj
+ fi = 2uit2(5.9)
A equao 5.9 a equao do movimento, e matematicamente tudo partir dela.
5.1. Meio no homogneo e anisotrpico
Vamos agora escrever a equao do movimento apenas em funo do deslocamento.
Usando a lei de Hooke, podemos escrever:
ij = cijklekl =1
2cijkl
(ukxl
+ulxk
)como ij depende apenas de i e j, temos que k e l so meros ndices, e por isso podemosescrever
ukxl
=ulxk
ou seja
ij = cijklukxl
Substituindo na equao 5.9, chegamos em:
2
Na verdade no se poderia aplicar a derivada externa do termo
t
V
uitdV , pois o volume varia
com o tempo, j que h uma deformao associada a tenso aplicada. Mas se considerarmos que a
variao de volume muito pequena, ento podemos escrever a equao 5.9 a partir da equao 5.8.
47
-
5. Equao de movimento
xj
(cijkl
ukxl
)+ fi =
2uit2(5.10)
que pode ser escrita na notao compacta:
(cijkluk,l),j + fi = ui
A equao 5.10 a equao de movimento geral, em funo do vetor deslocamento,
para um meio anisotrpico e no homogneo.
5.2. Meio homogneo e anisotrpico
Para um meio homogneo e anisotrpico, o tensor de constantes elsticas cijkl no de-pende da posio, ento podemos escrever:
cijkl2ukxlxj
+ fi = 2uit2(5.11)
5.3. Meio homogneo e isotrpico
Para um meio homogneo e isotrpico, podemos fazer algumas simplicaes baseadas
no tensor de constantes elsticas. Vamos ento analisar o primeiro termo da equao
5.11, usando a denio de cijkl para meio isotrpico, dada pela equao 4.5:
cijkl2ukxlxj
=2ukxlxj
[klij ] +2ukxlxj
[ikjl] +2ukxlxj
[jkil] (5.12)
lembrando que
ab =
{0, se a 6= b1, se a = b(5.13)
vamos desmembrar cada termo de 5.12, para entender como podemos simplicar a
equao a partir de 5.13.
O primeiro termo s existir quando k = l e i = j, pois nos demais casos, o termo multiplicado por zero. Nessas condies podemos escrever
2ukxlxj
[klij ] = 2ukxkxi(5.14)
O segundo termo s existir quando i = k e j = l, e com isso podemos escrever:
2ukxlxj
[ikjl] = 2uixjxj
= 2uix2j(5.15)
E o terceiro termo s existir quando j = k e i = l, de onde sai:
48
-
5.4. Meio no homogneo e isotrpico
2ukxlxj
[jkil] = 2ukxkxi(5.16)
Substituindo 5.14, 5.15 e 5.16 em 5.12, e em seguida em 5.11, obtemos:
(+ )2ukxkxi
+ 2uix2j
+ fi = 2uit2(5.17)
ou na forma vetorial
(+ ) ~u+ 2~u+ ~f = 2~u
t2(5.18)
onde ~u o gradiente do divergente e 2~u o laplaciano do vetor deslocamento,ou seja:
2~u =(2uxx2
+2uxy2
+2uxz2
)i+
(2uyx2
+2uyy2
+2uyz2
)j
+
(2uzx2
+2uzy2
+2uzz2
)k (5.19)
e
~u = 2uk
xkxi(5.20)
A equao 5.17 a equao de movimento para um meio isotrpico e homogneo. A
equao 5.18 exatamente a mesma equao, escrita na forma vetorial.
5.4. Meio no homogneo e isotrpico
Seguindo a mesma ideia da seo anterior, podemos simplicar a equao 5.10, porm
nesse caso no poderemos considerar o tensor de constantes elsticas cijkl como constante.Substituindo 4.5 no primeiro termo da equao 5.10, temos:
xj
(cijkl
ukxl
)=ukxl
(klij) +ukxl
(ikjl) +ukxl
(jkil)
49
-
5. Equao de movimento
xj
(cijkl
ukxl
)=
[(2ukxlxj
+
xj ukxl
)(klij)
]
k=l e i=j
+
[(2ukxlxj
+
xj ukxl
)(ikjl)
]
i=k e j=l
+
[(2ukxlxj
+
xj ukxl
)(jkil)
]
j=k e i=l
de onde podemos ento escrever a equao de movimento para um meio no homogneo
e isotrpico:
2uit2
= fi +
(2ukxkxi
+
xi ukxk
)+
(
2uixjxj
+
xj uixj
)+
(2ujxixj
+
xj ujxi
)(5.21)
50
-
6. Potenciais de Helmholtz
Vamos ver agora o que podemos extrair de informao fsica da equao 5.18. Para
simplicar, vamos desprezar as foras de corpo, obtendo assim:
(+ ) ~u+ 2~u = 2~u
t2(6.1)
Vamos ento lembrar de algumas identidades do clculo vetorial:
2~u = ~u ~u (6.2)
= 0 (6.3)
~u = 0 (6.4)Onde ~u um vetor, um escalar, 2~u o laplaciano de ~u, ~u o gradiente dodivergente de ~u, ~u o rotacional do rotacional de ~u, o rotacional dogradiente de e ~u o divergente do rotacional de ~u.Pode-se decompor qualquer campo vetorial (i.e. funo vetorial) em dois componentes:
um potencial escalar e um potencial vetor. Em outras palavras
~u = + ~ (6.5)onde o potencial escalar e ~ o potencial vetor. Podemos ainda impor que
~ = 0 (6.6)Esses so os chamados Potenciais de Helmholtz.
Vamos voltar as atenes novamente para a equao de movimento. Podemos substituir
6.2 em 6.1, para obter
(+ 2) ~u ~u = 2~u
t2(6.7)
Podemos ento aplicar os potenciais de Helmholtz ,6.5, obtendo ento
(+ 2) (+ ~
)
(+ ~
)=
2t2
+ 2 ~t2
de onde se chega em
51
-
6. Potenciais de Helmholtz
(+ 2) ~ = 2t2
+ 2 ~t2
ou ainda
[(+ 2)
2t2
] =
[ ~ +
~
t2
] gradiente de algo = rotacional de um campo vetorial
(6.8)
A equao 6.8 s existe quando ambos os termos so nulos, ento:
(+ 2)2 2
t2= 0
que pode ser escrita como:
2 = 122
t2(6.9)
onde
=
+ 2
(6.10)
a velocidade de propagao da onda P.
Do outro lado de 6.8, temos
~ + 2~
t2= 0
Atravs de 6.2 e 6.6, chegamos em
2~ = 122~
t2(6.11)
com
=
(6.12)
onde a velocidade de propagao da onda S.
52
-
7. Equao escalar da onda
7.1. Deduo da equao escalar da onda
Consideremos agora a propagao de ondas no meio uido, em que = 0. Nessa condio,a equao 6.1 se reduz a:
~u = 2~u
t2(7.1)
Lembrando que:
= k (incompressibilidade) (7.2)
~u = (variao volumtrica) (7.3)
p = k (lei de Hooke) (7.4)De 7.3 e 7.4 temos:
p = k ~u (7.5)E de 7.2 e 7.4 aplicadas em 7.1 temos:
p = 2~u
t2(7.6)
Essas duas equaes governam a relao entre presso e velocidade de partcula em
um meio uido. Podemos montar um sistema com 7.5 e 7.6:{p+ k ~u = 0p+ 2~u
t2= 0
derivando a primeira equao em funo do tempo, temos:{ pt + k ~v = 0p+ ~vt = 0derivando mais uma vez a primeira equao e aplicando o divergente na segunda
1
,
chegamos a:
1
Note que nesta passagem se assume que a densidade do meio constante
53
-
7. Equao escalar da onda
{1k2pt2
+ ~vt = 01 p+ ~vt = 0Subtraindo a primeira equao da segunda resulta em:
1
p 1
k
2p
t2= 0
de onde resulta
2p 1c22p
t2= 0 (7.7)
onde
c =
k
A equao 7.7 chamada de equao escalar da onda
2
, e quem descreve como uma
perturbao na presso se propaga pelo meio uido. Em teoria, essa equao seria til
para a ssmica apenas no caso de aquisies marinhas, pois deduzida para um meio
uido. No entanto essa equao est por trs de todos algoritmos de migrao, por
apresentar um menor custo computacional, se comparada com a equao elstica da
onda.
7.2. Consideraes acerca de velocidades e potenciais de
Helmholtz
Observe que a velocidade de propagao da onda no uido, c =
k , depende da incom-
pressibilidade k e da densidade . A velocidade de propagao de uma onda S num meio,
=
, depende da rigidez e da densidade . J a velocidade de propagao da onda
P:
=
+ 2
=
k + 43
depende tanto da incompressibilidade k, como da rigidez , e da densidade .
Note tambm que podemos aplicar os potenciais de Helmholtz na equao 7.5:
p = k ~u p = k (+ ~
)de onde conclui-se que
2
a equao chamada de escalar pois relaciona a propagao da onda com a presso, que uma
grandeza escalar
54
-
7.3. Sobre a deduo da equao escalar da onda
p = k2 (7.8)Ou seja, a presso p est associada apenas com o potencial escalar de Helmholtz.
7.3. Sobre a deduo da equao escalar da onda
Na seo 7.1 a equao escalar da onda foi deduzida a partir da equao 6.1, que a
equao de movimento para um meio homogneo e isotrpico. Mas esse fato no signica
a equao escalar da onda vlida apenas para meios homogneos e isotrpicos. Podemos
partir da equao geral de movimento 5.9 sem fonte :
jixj
= 2uit2
Para o caso acstico, ou seja, propagao em meio uido, temos:
ij = pijSubstituindo na equao anterior resulta em:
pxi
= 2uit2
ou seja:
p+ ~vt
= 0
que a equao 7.6. A outra equao utilizada na deduo a Lei de Hooke, que
utilizamos para o formar o sistema:{ pt + k ~v = 0p+ ~vt = 0Da se segue que a deduo idntica a aquela apresentada na seo 7.1.
7.4. Soluo para onda plana transiente
A equao de onda
2p 1c22p
t2= 0 (7.9)
tem como uma soluo possvel:
p(x, y, z, t) = Af
(t ~x n
c
)= Af
(t x nx + y ny + z nz
c
)(7.10)
onde
55
-
7. Equao escalar da onda
~x = (x, y, z)
|n| = 1
f uma funo com segunda derivada
Vamos vericar se de fato 7.10 soluo de 7.9. De 7.9 temos:
2p
x2+2p
y2+2p
z2 1c22p
t2= 0 (7.11)
Podemos representar a equao 7.10 na notao tensorial:
p(xi, t) = Af(t nkxk
c
)(7.12)
Derivando 7.12 temos:
p
xi= Ani
cf(t nkxk
c
)(7.13)
Derivando mais uma vez:
2p
x2i=Anic2
f(t nkxk
c
)(7.14)
Substituindo 7.14 em 7.11:
2p
xixi 1c22p
t2=An2i f
c2 1c2Af = 0
Af
[ninic2 1c2
]= 0
lembrando que
ni ni = n21 + n22 + n23 = |n| = 1ento temos que
ninic2 1c2
=1
c2 1c2
= 0
e portanto 7.10 soluo de 7.9.
Mas qual o signicado fsico da equao
p(x, y, z, t) = Af
(t ~x n
c
)(7.15)
que soluo da equao escalar de onda 7.9?
56
-
7.4. Soluo para onda plana transiente
Figura 7.1.: Representao de frentes de ondas planas, caracterizadas por planos paralelos
entre si, ortogonais ao vetor ~n, que indica a direo de propagao
Observe que o termo
~xnc a representao matemtica da razo entre deslocamento
e velocidade na direo do versor ~n, e portanto, estamos lidando com uma grandezatemporal. Ao considerarmos que esse termo constante, temos caracterizada uma frente
de onda, uma vez que esta denida pelos pontos cujo tempo de trnsito igual. Ou
seja, uma mesma frente de onda implica em
~x nc
= constante
Porm temos que c tambm constante num meio homogneo, e por isso podemosdizer:
~x n = constante
A representao desta equao vetorial em funo de seus termos
x nx + y ny + z nz = constante
essa equao a equao de um plano, ou seja, o termo
~xnc caracteriza as frentes de
ondas planas, conforme ilustra a gura 7.1. Podemos ento dizer que a equao 7.10
a soluo para a equao de onda plana. Podemos ir alm e dizer que a soluo
para a equao de onda plana transiente, pois a soluo considera que a fonte ssmica
transiente, ou seja, tem incio e m.
Em termos ssmicos, a funo f da equao 7.15 o pulso ssmico (tambm chamadode wavelet ou ondeleta), que depende da fonte. J o termo A um escalar que caracterizaa amplitude do pulso ssmico f .
57
-
7. Equao escalar da onda
7.5. Soluo para onda plana harmnica
Vamos considerar agora a equao
p(xj , t) = Aei(tkjxj)(7.16)
onde a frequncia angular, dada por = 2pif , e kj o vetor de onda, ou seja,
kj = ~k = (kx, ky, kz).3
Vamos ver que o vetor de onda
~k no um vetor arbitrrio, pois ele precisa obedeceruma certa relao para que a equao 7.16 seja soluo da equao de onda
2p 1c22p
t2=
2p
xjxj 1c22p
t2= 0 (7.17)
Fazendo a primeira e a segunda derivadas de 7.16, temos:
p
xj= ikjAe
i(tkjxj)(7.18)
2p
xjxj= kjkjAei(tkjxj) (7.19)
Substituindo a segunda derivada 7.19 na equao de onda 7.17, e calculando a primeira
derivada em relao ao tempo, obtemos:
kjkjAei(tkjxj) + 2
c2Aei(tkjxj) = 0
De onde conclui-se que
kjkj =2
c2 ~k ~k =
2
c2(7.20)
ou ainda: ~k = c(7.21)
A equao 7.21 chamada de relao de disperso e a condio necessria para que
a equao 7.16 seja soluo de 7.17. Em outras palavras, quando 7.21 vlida, podemos
dizer que 7.16 soluo de 7.17, e dizemos que se trata de uma onda plana harmnica.
A equao 7.16 diz que a presso em todos os pontos do espao causa um movimento
harmnico, com uma mesma frequncia e uma mesma amplitude em todos os pontos.
Assim, a diferena entre os pontos se d somente pela fase, e justamente a fase que
dene a frente de onda. Ou seja, uma frente de onda denida por pontos que possuem
a mesma fase (fase constante).
Podemos reescrever a equao 7.16 da seguinte forma
3
Cuidado para no confundir i e k com ndices. Nessa equao i denota que se trata da componentecomplexa e kj o vetor de onda.
58
-
7.5. Soluo para onda plana harmnica
p(xj , t) = Aexp
(i(t kjxj
)
)(7.22)
de onde podemos concluir que uma fase constante implica em
t kjxj
= constante
Ento para um determinado tempo
kjxj
= constante
kjxj = constante
lembrando que kjxj = ~k ~x = kxx+ kyy+ kzz = constante a equao de um plano,e por isso que chamamos a onda de onda plana, e nesse caso especicamente, harmnica.
Note que o vetor
~k d a direo de propagao da onda, porm ele no unitrio, comoera o vetor ~n que vimos anteriormente. No entanto fcil perceber, atravs da equao7.21, que
~n =~k~k = c~k (7.23)podemos substituir 7.23 em 7.22 para obter a soluo em funo do versor normal:
p(xj , t) = Aexp(i(t nj
c
xj
))
= Aexp(i(t njxj
c))(7.24)
ou ainda podemos denir
~q =~n
c
que chamado de vetor de vagarosidade
4
. Assim podemos reescrever 7.24 da seguinte
forma:
p(xj , t) = Aexp(i(t nj
c
xj
))
= Aexp (i(t qjxj)) (7.25)
onde qj = nj/c.
A soluo da equao de onda para ondas planas harmnicas muito til, e geralmente
a equao adotada para resolver problemas como o de espalhamento e de reexo em
interfaces. Seu uso justicado pela simplicidade da equao, e por haver uma relao
entre ondas planas harmnicas e transientes, como veremos a seguir.
4
o vetor de vagarosidade (slowness, em ingls) geralmente representado pela letra p, porm aqui foirepresentado com a letra q para evitar confuso com o termo da presso
59
-
7. Equao escalar da onda
7.6. Relao entre ondas transientes e harmnicas
Lembrando que a transformada de Fourier usada para mudar o domnio de uma funo,
de tempo para frequncia. Ou seja
f(t) F ()
e que essa transformada se d atravs de
F () =
+
f(t)eitdt (7.26)
E a operao inversa, para mudar do domnio da frequncia para o domnio do tempo,
utiliza-se a transformada inversa de Fourier, dada por
f(t) =1
2pi
+
F ()eitd (7.27)
Atravs do teorema do deslocamento
5
temos:
f(t t0) F ()eit0
em que t0 representa o deslocamento no tempo, ou seja, o deslocamento de fase6
. Assim
podemos escrever:
f(t njxj
c
) transiente
=1
2pi
+
F ()ei
njxjc eitd =
1
2pi
+
F ()e
i(tnjxj
c
) harmnica
d
Assim, temos que a soluo para a equao de onda plana transiente pode ser encarada
como a somatria (i.e. integral) de senos e cossenos. Ou ainda, podemos dizer que uma
onda plana transiente pode ser representada como uma srie de ondas planas harmnicas.
Essa relao pode ser observada na gura 7.2, em que diversas ondas planas harmnicas
com diferentes frequncias so somadas, formando uma onda plana transiente. Repare
que truncar os limites da integral equivale a realizar um ltro de passa banda, em que
apenas as frequncias dentro do intervalo selecionado sero utilizadas para compor o
pulso.
5
Em ingls: shift theorem. Para mais informaes, consultar anlise do sinal ssmico, do Rosa.
6
Em ingls: time shift
60
-
7.6. Relao entre ondas transientes e harmnicas
Figura 7.2.: Ilustrao da somatria de ondas harmnicas gerando uma onda plana
transiente
Figura 7.3.: Somatria de ondas planas harmnicas resultando em uma onda plana tran-
siente, considerando agora que h disperso, ou seja, a velocidade depende
da frequncia, e isso ca ilustrado com o deslocamento entre si das ondas
harmnicas, que resulta na alterao da forma do pulso (onda transiente)
61
-
7. Equao escalar da onda
Se considerarmos a disperso, ou seja, considerarmos que a velocidade funo da
frequncia, ocorre a deformao do pulso ssmico resultante, conforme mostra a gura
7.3. Perceba que o que est de fato ocorrendo um deslocamento de fase, e que se
compararmos com a situao que desconsidera a disperso (gura 7.2), nela no h
deslocamento de fase, e assim temos um pulso de fase zero.
7.7. Soluo para onda plana no homognea
Suponha que o vetor de onda
~k seja complexo, ou seja
k =
kR + i
kI (7.28)
Substituindo em 7.16,
p = A e ~kI~x ei(t ~kR~x) (7.29)Note que temos agora uma amplitude composta, que vai depender da posio no espao,
ou seja:
A (~x) = A e ~kI~x (7.30)Substituindo 7.30 em 7.29:
p = A (~x) ei(t ~kR~x) (7.31)que a soluo para onda plana no homognea. A onda plana no homognea recebe
este nome pois sua amplitude no homognea, ou seja, ela varia no espao. Perceba que
a variao na amplitude se d de forma exponencial (equao 7.30), ou seja, dependendo
do vetor ~x h um aumento ou reduo exponencial da amplitude, que varia no intervalode zero a innito. Porm uma onda com amplitude innita sicamente impossvel
(equivalente a energia innita), e por conta disso geralmente necessrio estabelecer uma
condio de contorno limitando essa amplitude. A uma onda desse tipo, com decaimento
exponencial de amplitude, d-se o nome de onda evanescente. A gura 7.4 ilustra essa
variao exponencial de amplitude, que o caso das ondas superciais, por exemplo.
Se considerarmos todos os pontos do espao que possuam a mesma amplitude, temos
A (~x) = constante
ou seja
e ~kI~x = constante ~kI~x = constante Eq. de um plano
Por outro lado, como vimos caso da onda plana harmnica, os pontos do espao com
uma mesma fase esto dispostos segundo a relao
62
-
7.7. Soluo para onda plana no homognea
Figura 7.4.: Ilustrao de uma onda evanescente, em que a amplitude decresce exponen-
cialmente de acordo com a profundidade.
~kR~x = constante Eq. de um plano
Perceba que a fase constante est relacionada componente real do vetor de onda,
enquanto a amplitude constante est relacionada parte imaginria.
Para que 7.31 seja soluo da equao de onda, necessrio que a relao de disperso
seja vlida. Assim, substituindo 7.28 na equao
~k ~k = 2
c2
resulta em
~kR ~kR ~kI ~kI = 0
= aR20
F
(t R0
c
)= S0f (t)
de onde conclui-se que
2
Para gerar uma onda cisalhante, seria necessrio que houvesse rotao da esfera
73
-
9. Ondas Esfricas
a = S0R20e
F = f (t)
A soluo para o problema ca ento:
(r, t) =R20S0r
f(t r
c
)Para haver sentido fsico, precisamos calcular o vetor deslocamento ~u, ou seja, a deri-vada de :
~u (r, t) = (r, t)
r=
R20S0r2 f (t rc) prximo
+R20S0r
f (t r
c
) distante
rNessa equao podemos ver dois termos distintos. O primeiro termo refere-se ao campo
prximo e envolve diretamente a funo f , e o segundo termo refere-se ao campo distante,envolvendo a derivada da funo f . Para regies prximas da origem (i.e. fonte pulsante), o primeiro termo que governa o valor de ~u. No entanto, conforme aumenta-se a distnciaem relao origem, o primeiro termo diminui rapidamente, e e o termo de campo
distante passa a dominar o modulo de ~u.Observe que a resoluo apresentada no restringe o tipo de variao do raio da esfera.
Essa variao pode ser crescente, decrescente ou mesmo oscilante. De fato, para uma
onda esfria harmnica, o potencial escalar de Helmholtz dado por
(r, t) =a
rexp
[i
(t r
c
)]
74
-
10. Fonte pontual
10.1. Funo de Green
Consideremos a equao de onda com fonte
2p 1c22p
t2= f (~x, t) (10.1)
em que o termo da fonte descrita por
f (~x, t) = (~x ~x0) (t t0)Denio de de Dirac
(x) =
{ , x = 00, x 6= 0
(x) dx = 1
Ento pode-se reescrever a equao de onda utilizando a funo de Green:
2G (~x, t | ~x0, t0) 1c22
t2G (~x, t | ~x0, t0) = (~x ~x0) (t t0) (10.2)
G (~x, t | ~x0, t0) a funo de Green no ponto ~x, t devido fonte impulsiva em ~x0, t0.Considerando simetria esfrica (i.e. meio isotrpico e homogneo) e fonte na origem:
2G (r | t, t0) 1c22
t2G (r | t, t0) = (r) (t t0) (10.3)Sabemos que G (r | t, t0) tem soluo na forma:
G (r | t, t0) =af(t t0 rc
)r
Integrando 10.3:
V2G (r | t, t0) dV
V
1
c22
t2G (r | t, t0) dV = (t t0)
pois
R (r) dr = 1
75
-
10. Fonte pontual
Pelo teorema da divergncia podemos reescrever o primeiro termo:
V2GdV =
V GdV =
SGdS =
S
G
rds =
G
r
r=R
4piR2
G
r= a
r2f(t t0 r
c
) acrf (t t0 r
c
)Multiplicando por 4piR2:
G
r= a4piR
2
R2f(t t0 r
c
) a4piR
cf (t t0 r
c
)Assim, temos
R2GdV
R
1
c22
t2GdV = a4pif
(t t0 r
c
) a4piR
cf (t t0 r
c
)= (t t0)
Calculando o limite para R 0, temos:
limR0[
R2GdV
R
1
c22
t2GdV
]= a4pif
(t t0 r
c
)= (t t0)
De onde conclui-se que:
f =
e
a =1
4pi
E portanto a funo de Green ca:
G (r | t, t0) =(t t0 rc
)4pir(10.4)
Esse modelo para uma fonte pontual. Desde que a rea de estudo seja sucientemente
grande para que a fonte possa ser considerada um ponto, podemos usar a equao 10.4.
10.2. Fonte com pulso arbitrrio
Vamos considerar agora que o pulso no seja mais um pulso perfeito, descrito pelo deDirac, e sim uma funo arbitrria f (t):
2p 1c22p
t2= (~x ~x0) f (t) (10.5)Pelo teorema da amostragem , podemos escrever
76
-
10.3. Caso elstico
f () (t ) d = f (t) (10.6)
Substituindo 10.6 em 10.5:
2p 1c22p
t2=
(~x ~x0) (t ) f () d
De onde conclui-se que a soluo de 10.5
p (~x, t) =
(t rc
)4pir
f () d =f(t rc
)4pir
A funo f (t) chamada de assinatura da fonte, e em geral desconhecida.
10.3. Caso elstico
Vamos considerar ento o caso elstico. Usando a equao 5.18
2~u
t2 (+ ) ~u 2~u = (~x ~x0) (t t0) (10.7)Onde o termo referente ao gradiente (~x ~x0) chama-se de centro de dilatao. Emtermos de potencial escalar, temos:
~uP = onde
2 122
t2= (~x ~x0) (t t0)que tem soluo:
=(t t0 r
)apir
Assim, podemos concluir que:
~uP = =[(t t0 r
)r
(t t0 r
)r2
]r4pi
onde r = r d a direo de polarizao da onda.Por outro lado, podemos considerar uma fonte puramente rotacional, na forma:
2~u
t2 (+ ) ~u 2~u =
[l (~x ~x0)
] (t t0) (10.8)
onde [l (~x ~x0)
] chamado de centro de rotao, indicando a toro exercida ao
longo de um eixo denido por l. De forma anloga ao caso anterior, podemos escrever:
77
-
10. Fonte pontual
~uS = ~
Sabendo que
2~ 122~
t2= l (~x ~x0) (t t0)
tem soluo
~ =l(t t0 r
)4pir
onde
r = |~x ~x0|
Assim conclumos que:
~uS =1
4pi
(t t0 r
)r
(t t0 r
)r2
r l
10.4. Generalizao do termo de fonte
Vamos considerar agora um termo mais geral para a fonte, que o caso da equao 10.9.
2 1c22
t2= g (~x, t) (10.9)
O termo de fonte g (~x, t) depende de todas coordenadas espaciais e do tempo, e umadistribuio contnua. Podemos entender essa distribuio contnua como um slido,
dentro do qual cada ponto se comporta como uma fonte pontual, como tenta ilustrar a
gura 10.1. O termo ~x representa um desses pontos da fonte, que est atuando em umdeterminado ponto ~x, a uma distncia r.
78
-
10.4. Generalizao do termo de fonte
Figura 10.1.: Uma fonte contnua no espao pode ser representada por um slido, e cada
ponto deste slido pode ser entendido como uma fonte independente. Nesse
exemplo, ~x representa um desses pontos.
Cada ponto dentro do slido ter uma contribuio para o campo, dada por
=g(x, y, z, t rc
)4pir
onde
r =
(x x)2 + (y y)2 + (z z)2
O campo total gerado a somatria de todas contribuies pontuais, e como se trata
de uma funo contnua, temos
total =
V
g(x, y, z, t rc
)4pir
dxdydz (10.10)
79
-
11. Espalhamento de onda plana em
uma interface plana
Passaremos a estudar agora o que ocorre quando uma onda plana incide sobre uma
interface que divide dois meios com propriedades fsicas diferentes. Comearemos com o
caso acstico, que mais simples, e depois passaremos ao estudo do caso elstico.
11.1. Caso acstico
Considerando o caso acstico, o meio descrito apenas pela velocidade c e pela densidade . Vamos supor dois meios sobrepostos, criando uma interface na posio z = 0, umcom velocidade de propagao de onda c1 e densidade 1, e o outro, subjacente, comvelocidade de propagao de onda c2 e densidade 2, conforme ilustra a gura 11.1. Oscampos de presso P1 e P2 devem obedecer a equao da onda, e como so dois camposseparados, necessrio denir as condies de contorno ao longo da interface.
Figura 11.1.: Representao da incidncia de uma onda plana em uma interface que di-
vide dois meios com velocidades e densidades distintos na posio z = 0.Consideramos o efeito da onda acstica sobre um volume innitesimal, dado
pela rea S e pelo comprimento l, disposto simetricamente entre os doismeios.
81
-
11. Espalhamento de onda plana em uma interface plana
Vamos ento estudar essas condies de contorno.
1 Condio: O campo de presso tem de ser contnuo atravs da interface
Ou seja, para z = 0,
P1 = P2 (11.1)
Para entender a imposio dessa condio, vamos analisar sicamente o seu signicado.
Uma onda plana incidente na interface entre os dois meios causar uma determinada
presso, P = forcaarea . Se considerarmos um slido innitesimal de rea S e altura l,conforme mostra a gura 11.1, temos que as foras atuando sobre esse slido so dadas
por
F1 = P14S
F2 = P24SSubtraindo uma equao da outra obtemos
4F = 4S (P2 P1) (11.2)Sabemos que fora a razo entre massa e acelerao, que nesse caso apenas no eixo
z, ento:
4F = 4S (P2 P1) = m.az (11.3)ou ainda
az =4S (P2 P1)
m(11.4)
lembrando que a massa pode ser escrita em funo da densidade
m = l.4Sao considerarmos o limite de l 0, temos que
liml0
az =
o que uma impossibilidade fsica. Observando a equao 11.4, vemos que a nica
possibilidade de a acelerao no ser innita quando P1 = P2.
2 Condio: necessrio haver continuidade na movimentao vertical.
Seja
~V = (V x, V y, V z) a velocidade de vibrao de partcula, deve ser admitida acontinuidade no movimento vertical, V z1 = V
z2 , pois se isso no ocorrer, a interface se
abrir, e deixa de ser uma interface.
Como j vimos (equao 7.6),
82
-
11.1. Caso acstico
~V
t=
1
P
Ento a segunda condio de contorno pode ser escrita em funo de presso:
1
1
P1z
=1
2
P2z(11.5)
A maneira clssica de se analisar o problema de espalhamento considerar que a
resposta de um ponto o resultado da somatria do campo incidente mais a somatria
do campo espalhado. A gura 11.2 mostra a disposio desses campos.
Figura 11.2.: Ilustrao do espalhamento de um campo de presso Pi incidente em doiscampos de presso: o reetido Pr e o transmitido Pt
Para resolver esse problema vamos considerar a soluo para equao de onda plana
harmnica para cada uma das onda envolvidas:
Pi = A exp[i(it ~ki ~x
)]Pr = B exp
[i(rt ~kr ~x
)]Pt = C exp
[i(tt ~kt ~x
)]Precisamos ento determinar os valores de A, B, C, i, r, t, ki, kr e kt, considerandoas condies de contorno. Para o campo P1, temos
P1 = Pi + Pr~ki = ic1~kr = rc2 satisfaz a equao da onda P1Para o campo P2 as condies so:
P2 = Pt~kt = tc2}satisfaz a equao da onda P2
83
-
11. Espalhamento de onda plana em uma interface plana
No entanto, a frequncia de todas as ondas igual, ou seja
i = r = t
e com isso nossas equaes so simplicadas
Pi = A exp[i(t ~ki ~x
)](11.6)
Pr = B exp[i(t ~kr ~x
)](11.7)
Pt = C exp[i(t ~kt ~x
)](11.8)
Pelas condies de contorno, temos:
P1 = P2 Pi + Pr = Ptque, substituindo pelas equaes 11.6-11.8, resulta em:
A exp [i (t kxi x kyi y kzi z)] +B exp [i (t kxr x kyr y kzr z)] == C exp [i (t kxt x kyt y kzt z)]
Essa condio vlida para a interface, ou seja, z = 0:
A exp [i (kxi x+ kyi y)] +B exp [i (t kxr x+ kyr y)] = C exp [i (t kxt x+ kyt y)]
Como essa equao tem que ser satisfeita para todo x e todo y, de onde conclui-se1
que
A+B = C (11.9)
e que as componentes tangenciais tem de ser iguais:
kxi = kxr = k
xt (11.10)
e
kyi = kyr = k
yt (11.11)
e isso nos mostra que as trs ondas se encontram no mesmo plano, conforme ilustra a
gura 11.3.
1
Para vericar, considere x = 0 e y = 0
84
-
11.1. Caso acstico
Figura 11.3.: Representao dos vetores de frente de onda pertencentes a um mesmo
plano.
Antes de avaliar a segunda condio de contorno na interface (11.5), interessante
analisar a questo dos ngulos envolvidos no espalhamento. Como j vimos, as trs
ondas so coplanares, e por isso o problema se reduz caso bidimensional. podemos ento
representar o espalhamento em funo dos ngulos, conforme ilustra a gura 11.4.
Figura 11.4.: Espalhamento da onda incidente representado em funo dos ngulos de
incidncia i, de reexo r e de transmisso t
Os vetores de direo de cada onda podem ser escritos em funo dos ngulos:
ni = (sini,cosi)nr = (sinr, cosr)nt = (sint,cost)(11.12)
Sabemos que
85
-
11. Espalhamento de onda plana em uma interface plana
~k =
cn (11.13)
ento:
~ki =
(
c1sini,
c1cosi
)(11.14)
~kr =
(
c1sinr,
c1cosr
)(11.15)
~kt =
(
c2sint,
c2cost
)(11.16)
A partir de 11.10, podemos escrever
c1sini =
c1sinr =
c2sint
de onde resulta que
sini = sinr
e portanto
i = r
Ou seja, os ngulos de incidncia e reexo so iguais. Perceba tambm que chegamos
Lei de Snell, usando apenas a equao da onda:
sinic1
=sintc2(11.17)
Vamos analisar agora a segunda condio 11.5. Vamos calcular as derivadas da equa-
o:
1
1
P1z
=1
2
P2z
11
z
(A exp
[i(t ~ki ~x
)]+B exp
[i(t ~kr ~x
)])=
=1
2
z
(C exp
[i(t ~kt ~x
)])
11
(ikizA exp
[i(t ~ki ~x
)]+ ikrzB exp
[i(t ~kr ~x
)])=
=1
2
(iktzC exp
[i(t ~kt ~x
)])
86
-
11.1. Caso acstico
Como estamos no limite de z 0, e sabemos que as componentes tangenciais soiguais (equaes 11.10 e 11.11), os exponenciais so todos iguais. Desta forma, podemos
escrever
kizA+ krzB
1=ktzC
2
ou ainda
Ac11
cosi +B
c11cosi = C
c22cost
Denindo a impedncia como:
z = c (11.18)podemos substituir na equao anterior, e montar um sistema com a equao 11.9:{
B C = ABcosiz1
+ Ccostz2 =Acosiz1
(11.19)
Ao invs de trabalharmos com valores absolutos, vamos trabalhar com razes das
amplitudes:
Rr =B
A
Rt =C
A
Rr e Rt so chamados respectivamente de coeciente de reexo e coeciente de trans-misso. Voltando ao sistema 11.19, dividindo tudo por A:{
Rr Rt = 1Rr
cosiz1
+Rtcostz2
= cosiz1(11.20)
Resolvendo o sistema obtemos:
Rr =z2cosi z1costz2cosi + z1cost(11.21)
Rt =2z2cosi
z2cosi + z1cost(11.22)
Note que no caso especco em que o ngulo de incidncia zero (i.e. zero oset),
temos:
Rr (i = 0) =z2 z1z2 + z1(11.23)
Rt (i = 0) =2z2
z2 + z1(11.24)
87
-
11. Espalhamento de onda plana em uma interface plana
Vamos agora reescrever 11.21 e 11.22 apenas em funo do ngulo de incidncia:
Rr =mcosi
n2 sin2i
mcosi +n2 sin2i(11.25)
Rt =2n cosi
mcosi +n2 sin2i(11.26)
com
m =21e
n =c1c2
O termo n chamado de ndice de refrao.Vamos ento avaliar como as equaes 11.25 e 11.26 se comportam para diferentes
valores de m e n, a comear pela situao mais simples, em que n > 1, ou seja, c2 < c1.O comportamento de Rr em funo de i, para n > 1, ilustrado na gura 11.5.Quando i = 0, vimos que Rr assume o valor da razo entre a diferena e a somadas impedncias, e seu valor ser negativo ou positivo dependendo da relao entre as
impedncias: se z2 < z1 o valor de Rr sempre negativo, e se z2 > z1 o valor de Rrcomea positivo, mas aps um ngulo trans ele passa a ser negativo. Esse fenmenode inverso de sinal de Rr chamado de AVO crossover2
, e o ngulo trans chamadode ngulo de transparncia, e precisamente o ngulo em que Rr = 0. Ao se empilharum dado em que ocorre o AVO crossover, a amplitude do reetor ser mais fraca que as
demais, justamente por conta da inverso na polaridade do evento. esse fenmeno de
enfraquecimento da resposta de um reetor d-se o nome de dim out , e quando ocorre
devido ao AVO crossover, chamado de falso dim out .
O ngulo de transparncia pode ser determinado analiticamente para z2 > z1:
Rr = 0 mcostrans n2 sin2trans = 0
n2 sin2trans = m2cos2trans
n2 sin2trans = m2(1 sin2trans
) sin2trans +m2sin2trans = m2 n2
sintrans =m2 n2m2 1
trans = sin1m2 n2m2 1 (11.27)2
AVO: Amplitude Versus Oset
88
-
11.1. Caso acstico
Figura 11.5.: Coeciente de reexo em funo do ngulo de incidncia i. Note quepara i = 0 temos a situao de zero oset (equao 11.23), e que o sinalde Rr vai depender da relao entre a impedncia dos dois meios. Quandoa impedncia da camada debaixo maior que a impedncia da camada de
cima, ocorre o chamado AVO crossover, em que h a inverso de sinal de
Rr com o aumento de i. O ngulo de transparncia trans o ngulo emque Rr se anula.
O coeciente de transmisso, para n > 1, ainda mais simples (gura 11.6). Parai = 0, ele assume a forma da equao equao 11.24, e sempre positivo, decrescendomonotonicamente at se tornar nulo em 90.
Figura 11.6.: Coeciente de transmisso em funo do ngulo de incidncia i. Para i =0 temos a situao de zero oset (equao 11.24), e diferente do coecientede reexo, o coeciente de transmisso para n > 1 nunca ser negativo.
89
-
11. Espalhamento de onda plana em uma interface plana
Vamos agora analisar o caso em que n < 1, ou seja, o caso em que c2 > c1. Observe nasequaes 11.25 e 11.26 que para n > 1 passa a existir a possibilidade de o termo dentroda raiz quadrada se tornar negativo. Em outras palavras, os coecientes de reexo e
transmisso se tornaro grandezas complexas: Rr, Rt C. Por conta deste fato, comumque os coecientes passem a ser representados por mdulo (|R|) e fase :
R = |R| ei
No entanto, note que para um ngulo de incidncia inferior a n, os coecientes soreais, e a fase = 0. Perceba que n nada mais que o seno do ngulo crtico, ou seja,sin1 (n) = crit. Para vericar, basta utilizar a Lei de Snell:
sinic1
=sintc2 sini = c1
c2sin90 sini = n
Para ngulos de incidncia superiores ao ngulo critico, temos:
Rr =mcosi i
sin2i n2
mcosi + isin2i n2(11.28)
Como agora se trata de uma funo complexa, precisaremos avaliar dois grcos, um
com a parte real e outro com a parte complexa. No entanto, o mais comum representar
Rr em funo de seu mdulo e sua fase, e isso que est mostrado na gura 11.7.O mdulo de Rr para zero oset dado pela equao 11.23, e para os demais valoresde i, at atingir o ngulo crtico crit, o mdulo cresce monotonicamente. Observe naequao 11.28 o que temos um nmero complexo dividindo seu prprio conjugado, logo,
o mdulo de Rr para ngulos i maiores que crit sempre ser3 1. Se observarmos agoraa fase, veremos que ela nula para todo ngulo inferior ao ngulo crtico, e passa a ser
monotonicamente crescente at atingir pi para i = 90.
3
Para demonstrar, utilize coordenadas polares e verique que os mdulos de um nmero complexo e
de seu conjugado so iguais
90
-
11.1. Caso acstico
a)
b)
Figura 11.7.: Mdulo e fase do coeciente de reexo em funo do ngulo de incidncia
i. Perceba que o mdulo (a) cresce monotonicamente at atingir o valorde 1 no ngulo crtico, e aps crit ele se mantm igual a 1. Por outro lado,note que a fase (b) nula at que se atinja o valor de ngulo crtico. Aps
crit a fase cresce monotonicamente.
Matematicamente vimos que a amplitude igual a 1 para todo ngulo maior que crit,mas qual o sentido fsico disso?
Para compreender, considere a gura 11.8, que ilustra a situao em que i crit,chamada de reexo total. Nessas condies a onda transmitida percorre a interface que
separa as duas camadas, formando um ngulo de 90 com a normal. O nome reexo
total sugere que haja apenas reexo, sem nenhuma transmisso, o que signicaria ar-
mar que o campo de onda no meio 2 nulo. No entanto, se observarmos a equao 11.26
veremos que o coeciente de transmisso zero somente quando o ngulo de incidncia
90, ou seja, a direo de propagao a paralela interface. Isso signica que o campo
de onda no meio 2 nunca zero quando h uma onda incidindo na interface: sempre
h transmisso. Essa impossibilidade de o coeciente de transmisso ser nulo vem da
condio de contorno 11.1, que imps a continuidade do campo de presso na interface
(P1 = P2 para z = 0).
91
-
11. Espalhamento de onda plana em uma interface plana
Figura 11.8.: Reexo total, situao em que o coeciente de reexo vale 1, e a onda
transmitida percorre a interface que separa os dois meios.
Vamos ento analisar algebricamente o fenmeno da reexo total, iniciando pela Lei
de Snell:
sinic1
=sintc2
sint =c2c1sini (11.29)
Temos ento que: {se i = crit sint = 1se i > crit sint > 1Porm sint > 1 signica dizer que t complexo (t C). Podemos ento usar aidentidade trigonomtrica sin2t + cos
2t = 1, e substituir por 11.29, obtendo ento:
cost =
1(c2c1
)2sin2i
Como sabemos que a expresso dentro da raiz negativa para i > 0, podemosreescrever:
cost = i(
c2c1
)2sin2i 1 (11.30)
Vimos que o vetor de onda transmitida
~kt dada pela equao 11.16:
~kt =
c2(sint,cost)Substituindo por 11.29 e 11.30, obtemos:
~kt =
c2
c2c1sini,i
(c2c1
)2sin2i 1
92
-
11.1. Caso acstico
Como podemos notar,
~kt um vetor complexo, e conforme visto na seo 7.7, um vetorde onda complexo implica em uma soluo para equao de onda plana no homognea.
Em outras palavras, trata-se de uma onda evanescente.
De volta ao vetor
~kt, podemos separ-lo em componente real e imaginria:
~kt = 1 e 2 > 1. Neste caso,alm de critPP teremos tambm o ngulo crtico:
critPS = sin1(12
)
101
-
11. Espalhamento de onda plana em uma interface plana
Figura 11.12.: Para o caso P-SV existem dois ngulos crticos: um para a onda que incide
como onda P e transmite como onda P (critPP ), e outro para a onda queincide como onda P e sofre converso para SV na transmisso.
O campo total de onda em cada um dos meios dado por:
~u1 = ~ui + ~u(1)P + ~u
(1)S (11.62)
~u2 = ~u(2)P + ~u
(2)S (11.63)
Substituindo 11.54-11.58 nas equaes 11.62 e 11.63, e substituindo nas equaes de
contorno 11.40 e 11.41, chega-se no seguinte sistema linear:
sini cos1 sin2 cos2 0 0cosi sin1 cos2 sin2 0 0
2121p cosi 11
(1 221p2
)22
22p cos2 22
(1 222p2
)0 0
11
(1 221p2
)2121p cos1 22
(1 222p2
)22
22p cos2 0 0
0 0 0 0 1 10 0 0 0 11cosi 22cos2
ArBrAtBtCrCt
=
AisiniAicosi
2Ai121p cos2
Ai11(1 221p2
)00
Perceba que o sistema pode ser separado em dois sistemas lineares independentes,
como j sugerido por 11.40 e 11.41. A componente SH independente, e para uma onda
incidente do tipo P, temos que[1 1
11cosi 22cos2
] [RPSHTPSH
]=
[00
]{RPSH = 0TPSH = 0
Ou seja, no h converso para componente SH. J as componentes P e SV possuem
uma relao descrita pelo sistema
sini cos1 sin2 cos2cosi sin1 cos2 sin2
2121p cosi 11
(1 221p2
)22
22p cos2 22
(1 222p2
)11
(1 221p2
) 2121p cos1 22 (1 222p2) 2222p cos2
RPPRPSVTPPTPSV
=
sinicosi
2121p cos2
11(1 221p2
) (11.64)
102
-
11.2. Caso elstico
Esse o sistema que forma o conjunto de equaes chamado de equaes de Zoeppritz,
em homenagem ao geofsico alemo Karl Bernhard Zoeppritz. Antes da publicao das
equaes de Zoeppritz, em 1919, Cargill Gilston Knott j havia formulado equaes se-
melhantes em termos de potenciais em 1899, e as duas abordagens so vlidas e utilizadas
at os dias de hoje.
Note que para i = 0 os coecientes de reexo RPP e transmisso TPP assumem amesma forma que as equaes 11.23 e 11.24, para o caso de onda acstica:
Rr (i = 0) =z2 z1z2 + z1
Rt (i = 0) =2z2
z2 + z1
E os coecientes de reexo e transmisso da onda convertida so nulos, ou seja,
RPS = TPS = 0. Note a implicao desse fato: para incidncia normal no h conversode onda P em onda SV.
Para o outro extremo, em que i = 90, os coecientes de reexo cam:
RPS = 0
|RPP | = 1
103
-
ndice Remissivo
AVO crossover, 88
campos prximo e distante, 74
coeciente
de reexo (onda Acstica), 87
de reexo (onda SH), 99
de transmisso (onda Acstica), 87
de transmisso (onda SH), 99
componentes de cisalhamento, 22
componentes normais de deformao, 22
compressibilidade, 38
constantes de Lam, 37
crescimento relativo, 21
deslocamento
teorema do, 60
dim out, 88
disperso
relao de, 58
fase, 58
deslocamento de, 60
velocidade de, 64
zero, 62
fonte
assinatura da, 77
fora de corpo, 45
Fourier
transformada de, 60
transformada inversa de, 60
frequncia angular, 58
Helmholtz, Potenciais de, 51, 54, 65
Potencial Escalar, 51, 55
Potencial Vetor, 51
impedncia, 87
impedncia-S, 99
incompressibilidade, 38
Kronecker, delta de, 37
Lei de Hooke, 94
Lei de Snell, 86, 98
Mdulo de Young, 39
movimento, equao do, 47
onda
acausal, 71
causal, 71
cisalhante, 66
compressional, 65
equao escalar da, 54
esfrica, 69
evanescente, 62, 64, 93
frente de, 58
plana harmnica, 5860
plana no homognea, 62, 64, 93
plana transiente, 57, 59, 60
plana vetorial, 65
quasi P, 67
quasi S, 67
supercial, 64
vetor de, 58
onda P, 66, 96
velocidade de propagao de, 52, 54
onda S, 67
componentes horizontal e vertical (SH
e SV), denio, 67
SH, 96
SV, 96
velocidade de propagao de, 52, 54
105
-
ndice Remissivo
ondeleta, 57
polarizao, 65
pulso ssmico, 57
Razo de Poisson, 39
reexo
total, 91
refrao, ndice de, 88
rigidez, 37
shift theorem, 60
Sistema Lagrangiano, 14
tensor de deformaes, 17
tensor de tenses, 30
time shift, 60
transparncia, ngulo de, 88
vagarosidade, 59
valor de contorno, problema de, 47
wavelet, 57
zero oset, 87, 99
106
Notao indicialRegra da Soma
Teoria da Elasticidade LinearDeformaoEm ingls: StrainO tensor de deformaesDeformaes dos vrticesDeformaes das arestasDeformaes angularesOs elementos do tensor de deformao
Mudana fracional de volumeRotaoGeneralizao quanto forma do slido
TensoEm ingls: StressComponentes da tensoCondio de equilbrio de momentosDirees Principais de tenso
Lei de HookeMeio isotrpicoMdulo de Young e Razo de PoissonNotao compactaMeio isotrpicoMeio transversalmente isotrpico
Ondas ssmicasEquao de movimentoMeio no homogneo e anisotrpicoMeio homogneo e anisotrpicoMeio homogneo e isotrpicoMeio no homogneo e isotrpico
Potenciais de HelmholtzEquao escalar da ondaDeduo da equao escalar da ondaConsideraes acerca de velocidades e potenciais de HelmholtzSobre a deduo da equao escalar da ondaSoluo para onda plana transienteSoluo para onda plana harmnicaRelao entre ondas transientes e harmnicasSoluo para onda plana no homognea
Ondas planas elsticasPotencial escalar: onda compressionalPotencial vetorial: onda cisalhanteNota sobre anisotropia
Ondas EsfricasFonte pontualFuno de GreenFonte com pulso arbitrrioCaso elsticoGeneralizao do termo de fonte
Espalhamento de onda plana em uma interface planaCaso acsticoCaso elsticoOnda SHOndas P-SV
ndice Remissivo