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Notas de Aula – parte 2 (Dinâmica Newtoniana)

11 - Leis de Newton

As idéias de Galileu sobre o movimento dos corpos deram início a um novo paradigma na história da Ciência. As explicações de Aristóteles, meramente descritivas e fundamentadas na imaginação, deram lugar a conceitos embasados na experimentação, dando início a uma interpretação da Natureza em bases empíricas.

Seguindo esse recém inaugurado paradigma da Ciência, Newton compilou suas idéias numa obra denominada Princípios Matemáticos da Filosofia Natural (Principia), na qual procurou explicar os movimentos e suas causas. Começa a chamada Dinâmica Newtoniana, ramo da Mecânica que unificou as explicações sobre movimentos e equilíbrio, dando-lhes uma base matemática consistente.

Contudo, desde Descartes, a idéia da conservação dos movimentos já era cogitada como um fato passível de descrição matemática. Já podemos vislumbrar, então, a existência de um Princípio da Conservação do Momento (do latim Momentum = Movimento), que remete à noção intuitiva de quantidade de movimento, uma grandeza que se conserva.

Neste ensaio, a intenção é demonstrar como as leis de Newton podem ser deduzidas a partir do Princípio da Conservação do Momento.

Inicialmente, definimos o Momento Linear ( p ), grandeza que quantifica o movimento de translação de um corpo. A translação é entendida aqui como sendo o deslocamento (grandeza vetorial que quantifica a variação de posição espacial) de uma partícula. Note que é preciso estabelecer um referencial para se definir esse movimento e que a variação da posição da partícula é medida tendo o tempo e o espaço como grandezas referenciais. Assim, o Momento Linear p de uma partícula de massa m é dado por:

p=mdrdt

onde r é a posição vetorial da partícula. A derivada temporal da posição é definida como velocidade, ou

seja, drdt

=v . A expressão do momento fica:

p=mv

O Princípio da Conservação do Momento Linear estabelece que o Momento Linear p conserva sua magnitude, sua direção e seu sentido, salvo se ocorrer uma modificação em uma dessas características induzida por uma ação externa. Sendo assim, podemos escrever:

dpdt

= ddt

[mv ]=0

que expressa a Conservação do Momento Linear de uma partícula isolada.Entretanto, na natureza, as partículas não se encontram isoladas, estando em interação com

inúmeras outras partículas, formando o que denominamos de Sistema de Partículas. Nesse sistema de partículas, não é possível observar sempre a conservação do movimento de cada uma delas, mas o Momento Linear total do sistema segue o mesmo princípio de conservação, o que é expresso por:

∑1

n dp i

dt=

dp1

dt

dp2

dt...

dpn

dt= d

dt[ p1 p2...pn]=

dPdt

=0

onde P= p1 p2... pn é o Momento Linear total de um Sistema Isolado.

O Princípio da Conservação do Momento Linear pressupõe, então, que, na ausência de alterações externamente induzidas, um corpo tende a manter seu movimento inalterado. A partir dessa constatação, podemos inferir a Primeira Lei de Newton ou Lei da Inércia:

Um corpo, livre de interações resultantes, tende a manter o seu estado de movimento (descrito pelo Momento Linear).

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Agora vamos analisar a situação interna do Sistema de Partículas, onde elas interagem constantemente entre si. Sendo assim, podemos dizer que cada partícula isoladamente pode apresentar alteração no seu Momento Linear, ou seja:

dpdt

≠0

A grandeza que causa modificação na magnitude, na direção ou no sentido do Momento Linear é denominada Força. Newton, em sua Segunda Lei, estabelece que a Força é a medida da variação do Momento Linear, ou seja:

F=dpdt

que foi a expressão para a Segunda Lei de Newton estabelecida por ele nos Principia. Em seu enunciado, a Segunda Lei estabelece o conceito de Força como sendo a ação modificadora

do movimento.A variação do movimento de uma partícula só ocorre sob a

ação de uma força resultante não nula.

Se tomarmos a expressão do Momento Linear p=mv e concebermos a massa da partícula como sendo constante, podemos escrever:

F= ddt[mv ]=m

dvdt

A grandeza dvdt

é definida como sendo a Aceleração da partícula, ou seja:

a=dvdt

A Força pode então ser expressa por:F=m a

Essa é a formulação da Segunda Lei de Newton devida a Euler, a qual está fundamentada no conceito de aceleração. Geralmente, a Força é representada na forma m a .

A Força só pode ser definida como a interação entre duas ou mais partículas componentes do Sistema. Essa interação pode ser de quatro naturezas: gravitacional, eletromagnética, nuclear forte e nuclear fraca. No presente ensaio, serão enfocados apenas fenômenos relacionados às duas primeiras.

Partindo do premissa de que só é possível definir a Força como interação entre partículas e utilizando o Princípio da Conservação do Momento Linear, podemos deduzir a Terceira Lei de Newton, ou Lei de Ação e Reação. O Princípio da Conservação do Momento Linear estabelece que:

∑1

n dp i

dt=

dp1

dt

dp2

dt...

dpn

dt=0

Supondo um Sistema composto por apenas duas partículas, temos:dp1

dt

dp2

dt=0 ⇒

dp1

dt=−

dp2

dt⇒ F 12=− F 21

ou seja, a força sobre a partícula 1 devida à partícula 2 é igual à força sobre a partícula 2 exercida pela partícula 1, diferindo apenas no sentido. Ou como foi enunciada por Newton:

A toda ação corresponde uma reação, igual em magnitude em direção, porém em sentido contrário.

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Até agora, analisamos o Princípio da Conservação do Momento Linear, aplicável aos movimentos de translação das partículas. Contudo, é preciso definir também as leis para os movimentos de rotação. Utilizaremos para tanto o Princípio da Conservação do Momento Angular.

Analogamente ao que ocorre com o movimento de translação, o movimento de rotação também está sujeito a um princípio de conservação. Para defini-lo com maior precisão, vamos imaginar uma partícula P em rotação em torno de um ponto de referência O, que se constitui no centro de uma trajetória circunferencial descrita pela partícula. A posição dessa partícula é dada por s= r , o versor indica apenas a direção do vetor posição s em cada ponto da trajetória.

r

P s=r

O

A rotação se caracteriza pela variação da direção do vetor r , que determina a posição da partícula P. Derivando a posição em relação ao tempo, obtemos a velocidade da partícula:

dsdt

=d dt

r

v= r

Embora de módulo constante, a velocidade varia ponto a ponto ao longo da trajetória, o que indica que há uma aceleração alterando a direção e o sentido da velocidade. Se ocorresse uma alteração na velocidade angular , verificaríamos uma variação no módulo da velocidade. Como a direção da velocidade é perpendicular à direção do raio da circunferência em cada ponto da trajetória, alterando a direção do raio, a direção da velocidade é simultaneamente alterada. Isso pode ser expresso por:

ddtv =a= d

dt r ⇒ ar= dr

dt

A derivada temporal do raio tem a mesma magnitude da velocidade, ou seja drdt

=v=r . A

aceleração passa a ser expressa por:

ar=2 r r= v2

rr

Fica assim definida a aceleração radial do movimento circunferencial. Dessa forma, podemos imaginar que a partícula em rotação apresenta uma massa m e que essa aceleração se origina da aplicação de uma força F r , cuja direção coincide com a do vetor r . Essa força, denominada Força Centrípeta, é expressa por:

F r=mv2

rr

Como a direção da força centrípeta é radial, ela não vai provocar alteração no módulo da velocidade. Isso só ocorre quando a aceleração é tangencial. Tomando novamente a expressão da derivada da velocidade, vamos deduzir uma expressão para a aceleração tangencial:

ddtv =a= d

dt r ⇒ a t=

d dt

r

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Analogamente ao que foi feito anteriormente, definiremos também a grandeza modificadora do módulo da velocidade. Porém, essa modificação depende não só da força aplicada, mas também do módulo do vetor r , pois, pela expressão da aceleração tangencial, quanto maior sua magnitude, menor seria a força necessária para modificar a velocidade angular. Assim, como F t=m a t , é preciso multiplicar ambos os membros da equação da aceleração tangencial por mr , pois a inércia, que na translação é representada apenas pela massa, na rotação depende também do raio. Contudo, a aceleração tangencial e o vetor r são perpendiculares entre si, configuração esta que maximiza o valor do produto das duas grandezas. Sendo ambas vetoriais, utilizamos o produto vetorial entre ambas:

mr×a t=m ddt

r2

Como m a=F , a expressão torna-se:

r×F=m d dt

r2

A grandeza r×F é denominada torque e é representada por . A grandeza m r 2 recebe o nome de momento de inércia I e é a grandeza que determina a inércia para o movimento de rotação.

= I d dt

Que é a expressão correspondente a F=m a . Da mesma forma, a expressão I , correspondente de m v do movimento linear, fornece o valor de uma grandeza denominada Momento Angular, que na forma

vetorial segue a orientação de , ou seja:L=I

A expressão do torque torna-se então:

=ddt I ⇒ =

dLdt

que expressa a derivada temporal do Momento Angular, expressão correlata de F=dpdt

.

Da mesma forma que fizemos para a translação, definiremos também o Princípio de Conservação do Momento Angular. Se tivermos um sistema de n corpos rígidos, entendidos como subsistemas de partículas que interagem entre si, o momento angular total do sistema se conserva, ou seja, a somatória das variações temporais dos momentos angulares dos corpos rígidos integrantes do sistema é nula, ou seja:

∑1

n dLi

dt=

dL1

dt

dL2

dt...

dLn

dt=0

Num sistema com dois corpos rígidos, temos:dL1

dt

dL2

dt=0 => 1221=0 => 12=−21

Que seria o equivalente para a Terceira Lei de Newton para as rotações.

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Problemas sobre Leis de Newton(resolução em grupos de 3 ou 4 componentes, com discussão prévia

Questão 1 – Lançado sobre uma superfície horizontal muito lisa, um bloco desloca-se sobre ela em linha reta com velocidade constante. Uma pessoa que observa o movimento afirma que, atuando sobre o bloco, existe uma força para frente, que mantém seu movimento.

a) Você concorda com essa afirmação? Por quê?

b) A pessoa está raciocinando de acordo com as idéias de Aristóteles ou de Galileu?

Questão 2 – Um ônibus está se movendo em linha reta, com certa velocidade. Sendo freado bruscamente, vários passageiros são 'arremessados' para frente.

a) Há alguma força que atua nos passageiros, lançando-os para frente?

b) Costuma-se atribuir esse fato à propriedade da inércia, que todos os corpos possuem. Explique com outras palavras esta interpretação do fato ocorrido com os passageiros.

Questão 3 – Considere um bloco que se move com velocidade v constante, sobre uma superfície horizontal lisa. Em um certo instante, uma força F constante é aplicada ao bloco. Diga o tipo de movimento que o bloco passa a descrever, supondo que:

a) F tenha a mesma direção e o mesmo sentido de v.

b) F tenha a mesma direção e sentido contrário a v.

Questão 4 – Uma força F = 10 kgf imprime a um bloco uma aceleração a = 5 m/s2. Para calcular a massa deste bloco, um estudante desenvolve o seguinte raciocínio:

“De F = m × a, vem: m = F / a = 10 / 5 => m = 2 kg”

a) Há um erro no raciocínio desenvolvido pelo estudante. Qual é este erro?

b) Qual o valor correto da massa do bloco?

Questão 5 – Um pequeno automóvel colide com um grande caminhão. A força exercida pelo automóvel no caminhão é maior, menor, ou igual à força exercida pelo caminhão no automóvel?

Questão 6 – Uma pessoa encontra-se no meio de um lago gelado, de atrito desprezível.

a) Ela pode caminhar até a margem do lago?

b) Essa pessoa arremessa horizontalmente um objeto (seu sapato, por exemplo). Explique por que isto lhe permite atingir a margem do lago. Comente sua resposta.

Questão 7 – Uma pessoa comprime um bloco, de peso P = 4 kgf, contra uma parede, por meio de uma força F = 12 kgf (como mostra a figura), e o bloco permanece em repouso.

a) Qual o valor da reação normal N da parede sobre o bloco?

b) Qual é a força que impede o bloco de cair? Determine a intensidade, a direção e o sentido desta força.

c) Supondo que o coeficiente de atrito estático entre a parede e o bloco seja µe = 0,5, qual será o maior valor possível do peso do bloco para que ele não escorregue da parede?

Questão 8

a) Considere um bloco, cuja massa é 2 kg, que possua uma aceleração de 4,5 m/s2. Calcule o valor da resultante das forças que atuam no bloco.

b) Sabendo-se que este bloco está sendo puxado por uma força de 20 N sobre uma superfície horizontal, calcule o valor da força de atrito cinético que atua no bloco.

Questão 9 – Um bloco de massa m = 100 g é lançado como uma velocidade horizontal v0 = 6 m/s sobre uma superfície horizontal. Considere o coeficiente de atrito cinético entre o bloco e a superfície µc = 0,2 e g = 10 m/s2.

a) Mostre em um diagrama todas as forças que atuam no bloco enquanto ele se desloca.

b) Qual dessas forças representa a resultante do sistema?

c) Calcule a intensidade da aceleração que o bloco adquire nesse movimento.

d) Quanto tempo o bloco gasta para parar?

Questão 10 – Na Terra, um fio de cobre é capaz de suportar, em uma de suas extremidades, massas suspensas de até 60 kg sem se romper. Considere, na Terra, gT = 10 m/s2 e, na Lua, gL = 1,5 m/s2.

a) Qual o peso máximo que esse fio pode suportar, sem se romper, na Lua?

b) Qual é a maior massa que pode ser suspensa no mesmo fio, na Lua, sem que ele se rompa?

F P

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12) Aplicações das Leis de Newton – 2ª. LeiProf. Ms. Clodogil Fabiano Ribeiro dos Santos

professorgil@uol.com.br

Segunda lei de Newton e teorema do impulso e as colisões.

A segunda lei de Newton, escrita em sua forma F=dqdt

permite estabelecer a expressão

F dt= dq , que define o que chamamos de impulso de uma força. Para visualizarmos melhor esse conceito recorremos a um exemplo de aplicação, que trata da colisão de dois blocos que deslizam sobre uma superfície horizontal lisa (sem atrito). Vamos analisar o que acontece antes e depois da colisão:

Antes da colisão Depois da colisão

Analisando o que ocorre com o bloco 2, percebemos que antes da colisão sua quantidade de movimento era nula (q=0). Após a colisão, ele passa a ter uma quantidade de movimento cujo valor é q=mv=2kg.1m/s=2kg.m/s.

Vamos supor que ao colidir contra o dinamômetro, a força medida por ele seja de 200 newtons (200N). Utilizando o teorema do impulso, temos:

F dt= dq => ∫t

F dt=∫ q

dq => q=F t => t=qF

=> t=[2kg m

s

200N]=0,01[

kg ms

kg ms2

]=0,01 s

Portanto, o tempo de interação entre os dois blocos é de 0,01s.

Agora, procure imaginar se esse tempo for maior. Para a mesma variação da quantidade de movimento, o que acontece com a força?

Problema da espessura da lataria dos automóveis – com base no teorema do impulso, mais especificamente envolvendo a duração da aplicação de uma força, justifique a utilização de chapas de menor espessura na frente e na traseira dos automóveis.

2kg 2kg

v=1m/s

Bloco 1 Bloco 2

2kg 2kg

v=1m/s

Dinamômetro

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13) Aplicações das Leis de Newton – 3ª. LeiProf. Ms. Clodogil Fabiano Ribeiro dos Santos

professorgil@uol.com.br

Terceira lei de Newton e força de reação normal.A terceira lei de Newton ou lei da Ação-Reação prevê a existência de pares de forças entre

dois corpos que interagem. Temos as seguintes situações:

Terra

Normal

A força de atração é gravitacional. O peso é a força com que ele é atraído pela Terra. A reação é a força com que a Terra é atraída pelo corpo.

A força normal não é uma reação ao peso. Ela é uma reação da superfície à compressão exercida pelo bloco. Na condição acima ela tem o mesmo valor do peso.

Sendo uma reação da superfície, a normal é perpendicular a ela. Assim, seu módulo é igual ao da componente do peso perpendicular à superfície do plano, ou seja:

∣N∣=∣ P y∣

Seguindo o mesmo raciocínio do exemplo anterior, vemos que à medida que a inclinação do plano aumenta, os valores da compressão e da reação normal diminuem.

Terceira lei de Newton e força de atritoOutra força que está relacionada com a terceira lei de Newton é a força de atrito. Ela surge

entre duas superfícies como resultado de interações entre as faces dessas superfícies. O grau de aspereza do contato entre as superfícies é medido pelo coeficiente de atrito.

Além desse coeficiente, a força de atrito também depende diretamente da compressão exercida por uma superfície sobre a outra. Essa compressão é equivalente em módulo à força de reação normal entre as superfícies. Para uma superfície horizontal, ela tem o mesmo valor do peso do objeto. À medida que a inclinação da superfície aumenta, o valor dessa compressão, que é uma componente do peso, tende a diminuir, até atingir o caso limite que seria a superfície vertical (veja item anterior).

Problema do cavalo – um cavalo, após ler os Princípios Matemáticos da Filosofia Natural, em sua versão original em latim, passou a refletir sobre a inutilidade de sua atividade: “se para toda ação há uma reação de igual valor, porém de sentido contrário, ao puxar a carroça com uma força, eu serei puxado por uma força contrária, anulando a força que apliquei; sendo assim, puxar uma carroça é uma atividade inútil!...”. Prove, utilizando a terceira lei de Newton, que o cavalo está equivocado.

P

CompressãoCompressão

-P

Normal Normal

P

Py

Px

Py

Px

P

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14 – Aplicações das Leis de Newton

Utilizando as leis de Newton como base teórica, explique os fenômenos abaixo ilustrados:

O dispositivo das fotos é chamado de ludião. Consiste numa garrafa plástica cheia de água, onde flutua um tubo de caneta, com a parte de baixo aberta e a de cima fechada. Nesse tubo, fica presa uma bolha de ar. Quando a garrafa é pressionada, a bolha é comprimida e a caneta afunda. A explicação para o fenômeno pode ser dada pelo enunciado de Arquimedes. Contudo, é possível utilizar as leis de Newton para a explicação do fenômeno, justificando teoricamente o enunciado de Arquimedes, que é meramente descritivo.

A seguir, as fotos ilustram um pêndulo executando um movimento, que pode ser aproximado de um movimento harmônico simples para pequenos ângulos de oscilação. Agora a nossa tarefa é deduzir a equação do período do pêndulo tendo como base a Segunda Lei de Newton.

Por último, as fotos abaixo mostram um plano inclinado inicialmente apoiado sobre a mesa. Por ele desliza um disco de latão, de 50g, o qual desce o plano, parecendo não exercer nenhuma força sobre ele. Contudo, quando apoiamos o plano sobre tubos de caneta cilíndricos, observamos que o plano desliza para o lado contrário do movimento do disco. Demonstre que a Terceira Lei de Newton é válida para explicar o fenômeno.

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15) Movimento bidimensionalProf. Ms. Clodogil Fabiano Ribeiro dos Santos

professorgil@uol.com.br

Após termos estudado os movimentos e suas causas em apenas uma dimensão, passamos ao tratamento dos movimentos em duas dimensões. Tal estudo permite que seus conceitos sejam estendidos para o caso de três dimensões.

Um conceito fundamental nesse tipo de movimento é o conceito de vetor.

VetorDefinimos, para nosso melhor entendimento, que vetor é um ente geométrico imaginário que

possui módulo (grandeza que expressa sua magnitude), direção (que expressa sua linha de ação) e sentido (que diz para onde aponta a grandeza).Um vetor é geometricamente representado por uma reta orientada, ou seja, uma seta. A representação algébrica do vetor é feita empregando-se o negrito (ex.: r, s, u, v, x, y, z) ou então com a letra com uma seta sobrescrita (ex.: r ,s ,u ,v etc.)

Um vetor pode ser operado com outros e tais operações podem ser de:a) soma ou subtração;b) multiplicação ou divisão.

Dentro da multiplicação de vetores, podemos vislumbrar as seguintes possibilidades:a) multiplicação de um vetor por um escalar;b) produto escalar entre dois vetores;c) produto vetorial entre dois vetores.

Soma ou subtração de vetoresDois vetores podem ser somados das seguintes formas:

u v∣uv∣=∣u∣∣v∣

u v∣uv∣=∣u∣−∣v∣

u∣uv∣=u2v2

v

Multiplicação de vetor por escalar:O valor do módulo do vetor fica multiplicado pelo valor do escalar.

Produto escalar e produto vetorial:Apresentaremos esses conceitos quando realizarmos o estudo de grandezas que empregam esse

tipo de operação vetorial.

Problema: uma partícula percorre 80 centímetros ao longo do eixo x de um acelerador de partículas. Ao final da trajetória é desviada para o eixo y, percorrendo mais 60 centímetros. Qual foi o deslocamento da partícula?

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16) Expressões Matemáticas do Movimento Circular UniformeProf. Ms. Clodogil Fabiano Ribeiro dos Santos

professorgil@uol.com.brUma possível descrição do movimento circular uniforme pode ser feita a partir de conceitos fundamentais da geometria. Sendo assim, partimos do conceito do número π (pi) a fim de definir as expressões do arco s em função do ângulo de fase φ(fi) e do raio r, da velocidade tangencial v em função da velocidade angular ω (ômega) e do raio r, bem como da aceleração tangencial α (alfa) e aceleração centrípeta ac em função da velocidade angular e do raio.

= C2r => C=2 r ; fazendo C=s e 2= , temos: s=r

Derivando a expressão do arco em relação ao tempo, temos: dsdt=

d dt

r

Mas dsdt=v (velocidade tangencial) e

d dt

= (velocidade angular); assim:

dsdt=

d dt

r => v=r

Por outro lado, quando =2 , t=T (período de rotação). Então, =2T

.

Se o movimento é periódico, podemos determinar sua freqüência (f)sabendo que f = 1T .

Assim, podemos escrever a expressão da velocidade angular da forma: =2 f .

Derivando a expressão v=r , temos dvdt

=d dt

r ou a= r .

Essa é a expressão da aceleração tangencial, a qual indica a ação de um torque, grandeza que definiremos adiante.

Problema: estabeleça uma relação entre o movimento circular uniforme e o movimento harmônico simples, deduzindo as equações que o descrevem. Considere que o movimento harmônico simples é uma projeção do movimento circular uniforme no eixo x.

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17) Aceleração no Movimento Circular UniformeProf. Ms. Clodogil Fabiano Ribeiro dos Santos

professorgil@uol.com.brO M. C. U. é definido como sendo um movimento curvilíneo de uma partícula que mantém uma distância fixa r de um centro O, sendo sua velocidade tangencial v constante, o que, à primeira vista pode dar a entender que não existe aceleração em tal movimento.A velocidade v não varia em módulo, mas varia em direção e sentido, o que é determinado pela existência de uma aceleração denominada ACELERAÇÃO CENTRÍPETA.

∣ v x , p∣=∣ v x , q∣=vcos ; ∣ v y , p∣=v sen ; ∣ v y ,q∣=−v sen

Para percorrer o arco pq , a partícula P leva um intervalo de tempo t , a uma velocidade tangencial v. Assim:

v= arco pq t

=2 r t => t=2r

v

A aceleração do movimento é dada pela expressão a=v t

. Podemos decompor a aceleração em suas componentes x

e y. Utilizando as componentes da velocidade tangencial, temos:

a x= vx

t=

v cos – v cos2 r

v

=0;

a y=v y

t=−v sen – v sen

2 rv

= v2

rsen

Para pequenos valores de (em radianos), o valor do seno tende ao valor do ângulo, o que faz com que a expressão sen

tenda a 1. Assim, a aceleração radial do movimento circunferencial é dada por:

a y=v2

rou fazendo v=r , temos a y=2 r

A expressão acima fornece a aceleração centrípeta na direção do vetor r (que é o raio da circunferência).

Problema da semana: A terceira lei de Kepler diz que os quadrados dos períodos das órbitas dos planetas são proporcionais aos cubos dos raios médios das referidas órbitas. Utilizando a gravitação universal e a expressão da força centrípeta, prove que essa lei é válida.

x

y

Vy, p

Vx, p

Vx, q

Vy, q

p qP

vp

vq

θ θ

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18) Quantidade de Movimento ou Momento Angular e Torque de uma Força

Prof. Ms. Clodogil Fabiano Ribeiro dos Santosprofessorgil@uol.com.br

Os fenômenos de rotação podem ser interpretados a partir do PRINCÍPIO DA CONSERVAÇÃO DO MOMENTO ANGULAR. Assim, podemos estabelecer uma comparação entre conceitos relacionados à translação e os que dizem respeito à rotação.

Características Momento linear Momento angularGrandeza inercial Massa (m): medida da inércia

do corpo às modificações na translação

Momento de inércia (I): além da massa, depende da geometria do corpo em

rotação.

Grandeza quantificadora do movimento

Momento linear:

p=mv

Momento angular:

L=I

Grandeza que altera o movimento:

As três leis de Newton foram inicialmente definidas para os movimentos de translação.Contudo, pode-se fazer também uma extensão de validade dessas leis para os movimentos de rotação. Assim, para alterar os movimentos de translação nos valemos do conceito de força e, analogamente, para alterar a rotação, utilizamos o conceito de torque.

Força:

F=dqdt

F=m a

Torque:

=dLdt

dLdt =I

d dt

= I

Utilizando uma geometria de anel girando em torno do centro, I=m r 2

. =m r2

Como a= r e introduzindo o produto vetorial entre o raio e a aceleração tangencial, temos:

=m r r×ar

=mr×a

=r×F

Problema: utilizando os conceitos de momento de inércia, momento angular, velocidade angular e torque, explique os seguintes fatos ou fenômenos:

a) uma bailarina começa a girar com os braços estendidos e, quando os coloca junto ao corpo, sua velocidade de giro aumenta;

b) um helicóptero precisa do rotor de cauda para poder voar, porém esse dispositivo não tem nada a ver com a propulsão, nem com a sustentação do aparelho;

c) um pião mantêm seu equilíbrio apenas quando está girando, sendo praticamente impossível equilibra-lo parado;

d) para uma moto fazer uma curva é preciso inclinar o corpo para o lado que se quer virar; se você tentar fazer isso virando o guidão, a moto vai para o lado contrário.

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19) Sistema de partículasProf. Ms. Clodogil Fabiano Ribeiro dos Santos

professorgil@uol.com.brDos fenômenos de rotação que estudamos até agora, interpretados a partir do PRINCÍPIO DA CONSERVAÇÃO, nos detemos apenas nos corpos de geometria regular. Contudo, na natureza, podemos observar que muitos corpos em rotação não são regulares, havendo até casos de massas separadas no espaço, mantidas próximas apenas pela interação gravitacional.

Entretanto, como num corpo regular, a rotação de um corpo de geometria mais complexa pode ser descrita como sendo a rotação de um ponto denominado CENTRO DE MASSA, também conhecido por CENTRO DE GRAVIDADE (embora esse nome vincule à idéia de campo gravitacional)

A localização desse ponto no espaço é dada por uma média ponderada entre as posições das diversas partículas componentes do corpo. Isso tem relação com o princípio da conservação do momento angular, ou seja, num corpo de dimensões não desprezíveis (corpo extenso) a somatória dos torques dos pesos de cada partícula é igual ao torque do centro de massa, ou seja:

123...n=C => r 1 P1 sen1r2 P2 sen2r3 P3 sen3...r n Pn senn=rC PC senC

Se considerarmos que todos os pesos atuam perpendicularmente em relação às posições das partículas e que P=mg , temos:

r 1m1 gr2 m2 gr3 m3 g...rn mn g=rC mC g => r 1m1r2 m2r3 m3...rn mn=rC mC

donde: r C=r 1m1r2 m2r3 m3...r n mn

mC.

Mas: mC=m1m2m3...mn ; então:

r C=r 1m1r2 m2r3 m3...r n mn

m1m2m3...mn, ou, de modo sintético: r C=

∑i=1

n

r i mi

∑i=1

n

mi

.

Onde as posições r são os módulos dos vetores r , sendo estes definidos por suas coordenadas r xir y

jr zk . A expressão vetorial é:

r C=∑i=1

n

r i mi

∑i=1

n

mi

Como exercício, identifique a expressão para as componentes x , y e z do vetor r C .

Problema do sistema Terra-Lua – utilizando a teoria do centro de massa de um sistema de partículas, mostre que a Lua não gira em torno da Terra. Estenda a constatação para o sistema solar como um todo e, se possível, para o todo o Universo.

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20) Equilíbrio nas RotaçõesProf. Ms. Clodogil Fabiano Ribeiro dos Santos

professorgil@uol.com.brTambém é de interesse da Física estudar situações de equilíbrio relacionadas aos fenômenos de rotação. A primeira lei de Newton aplicada às translações estabelece que se a somatória das forças que atuam sobre o corpo for nula, o corpo estará em repouso ou em movimento retilíneo uniforme, ou seja, haverá equilíbrio na translação.

Para um corpo extenso, esta condição de equilíbrio também é válida. Porém, é preciso definir ainda uma outra condição: o equilíbrio na rotação.De maneira geral, o corpo extenso pode estar submetido a uma rotação. Num corpo extenso em equilíbrio não pode haver rotação. Sendo assim, devemos estabelecer uma segunda condição, de maneira semelhante ao que foi feito quando estudamos Sistemas de Partículas. Supondo um corpo extenso como o da figura abaixo:

Sendo assim, podemos definir a condição geral de equilíbrio de um corpo extenso:

Equilíbrio na translação (corpo em repouso ou em movimento retilíneo e uniforme):

∑i=1

nF i=0 => F 1 F 2 F 3... F n=0

Equilíbrio na rotação (ausência de rotação em qualquer eixo):

∑i=1

n

i=0 => 1 2 3... n=0 => ∑i=1

n

ri× F i=0 =>

=> r1× F1 r2× F 2 r3× F 3... rn× Fn=0

Problema da balança de régua – monte uma balança de régua e disponha pesos diversos ao longo da régua, de um lado e de outro do ponto de apoio. Elabore um estudo para as diversas disposições possíveis.Material necessário: uma régua de 30cm, bem leve; fios de amarração; pesos (podem ser chumbadas de pescaria com massas conhecidas).Montagem: amarre um pedaço de fio bem no centro da régua; é por ele que a régua ficará suspensa; coloque os pesos suspensos na régua e ajuste suas posições até atingir o equilíbrio.

Figura: corpo extenso – para que o corpo extenso esteja em equilíbrio é necessário que sejam satisfeitas duas condições: (1) a resultante das forças que atuam sobre o corpo deve ser nula e (2) o torque resultante sobre o corpo deve ser nulo.

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21) Trabalho e EnergiaProf. Ms. Clodogil Fabiano Ribeiro dos Santos

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A interpretação dos fenômenos relacionados ao movimento, até agora realizada através do princípio da conservação do momento, também pode ser feita utilizando-se o PRINCÍPIO DA CONSERVAÇÃO DA ENERGIA. Segundo esse princípio, a energia total de um sistema permanece a mesma, alternando apenas seu tipo entre potencial e cinética (tidos como os únicos tipos existentes).

Sendo assim, se uma partícula de massa m é levada de uma posição A para uma posição B, elevada de uma altura ∆z1, dizemos que isso se deve à realização de um trabalho, o qual atribuirá à partícula uma certa quantidade de uma grandeza denominada energia potencial, proporcional à altura que a massa é elevada.

A partir dessa altura se a massa for colocada para rolar em um plano, essa energia potencial vai se convertendo em outro tipo de energia, proporcional à velocidade adquirida pela massa, denominada energia cinética (ou energia de movimento).

Embora mude de tipo ao longo da trajetória de descida, seu valor permanece o mesmo que lhe foi conferido pelo trabalho realizado entre A e C, desde que o sistema seja considerado conservativo.

Como dissemos, para agregar energia a um corpo de massa m é preciso realizar sobre ele um trabalho, que é concebido como sendo o produto escalar da força pelo deslocamento que ela provoca. Para o trabalho, interessa apenas a componente da força paralela ao vetor deslocamento, tendo em vista que é essa que efetivamente realizará o trabalho.

Problema sobre trabalho – na figura acima, considere apenas o trabalho da força peso.

a) Em qual situação o trabalho seria maior: elevando a massa pelo elevador ou empurrando-a pelo caminho da rampa?

b) Haveria alguma diferença entre os trabalhos de subida e descida? Discorra sobre suas idéias, levando em conta o princípio da conservação da energia num sistema de forças conservativas.

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22) Energia Mecânica O que é Energia ?

Sem dúvida nenhuma energia é o termo técnico, originário da Física, mais empregado em nossa vida cotidiana.

Energia é um conceito muito abrangente e, por isso mesmo, muito abstrato e difícil de ser definido com poucas palavras de um modo preciso. Usando apenas a experiência do nosso cotidiano, poderíamos conceituar energia como "algo que é capaz de originar mudanças no mundo". A queda de uma folha. A correnteza de um rio. A rachadura em uma parede. O vôo de um inseto. A remoção de uma colina. A construção de uma represa. Em todos esses casos, e em uma infinidade de outros que você pode imaginar, a interveniência da energia é um requisito comum.

Muitos livros definem energia como "capacidade de realizar trabalho". Mas esta é uma definição limitada a uma área restrita: a Mecânica. Um conceito mais completo de energia deve incluir outras áreas (calor, luz, eletricidade, por exemplo). À medida que procuramos abranger áreas da Física no conceito de energia, avolumam-se as dificuldades para se encontrar uma definição concisa e geral.

Mais fácil é descrever aspectos que se relacionam à energia e que, individualmente e como um todo, nos ajudam a ter uma compreensão cada vez melhor do seu significado.

Vejamos, a seguir, alguns aspectos básicos para a compreensão do conceito de energia.1) A quantidade que chamamos energia pode ocorrer em diversas formas. Energia pode ser

transformada, ou convertida, de uma forma em outra (conversão de energia).Exemplo: A energia mecânica de uma queda d’água é convertida em energia elétrica a qual, por

exemplo, é utilizada para estabilizar a temperatura de um aquário (conversão em calor) aumentando, com isso, a energia interna do sistema em relação à que teria à temperatura ambiente. As moléculas do meio, por sua vez, recebem do aquário energia que causa um aumento em sua energia cinética de rotação e translação.

2) Cada corpo e, igualmente, cada "sistema" de corpos contém energia, a qual pode ser transferida de um sistema para outro (transferência de energia).

Exemplo: Um sistema massa-mola é mantido em repouso com a mola distendida. Nestas condições, ele armazena energia potencial. Quando o sistema é solto, ele oscila durante um determinado tempo mas acaba parando. A energia mecânica que o sistema possuía inicialmente acaba transferida para o meio que o circunda (ar) na forma de um aumento da energia cinética de translação e rotação das moléculas do ar.

3) Quando energia é transferida de um sistema para outro, ou quando ela é convertida de uma forma em outra, a quantidade de energia não muda (conservação de energia).

Exemplo: A energia cinética de um automóvel que pára é igual à soma das diversas formas de energia nas quais ela se converte durante o acionamento do sistema de freios que detém o carro por atrito nas rodas.

4) Na conversão, a energia pode transformar-se em energia de menor qualidade, não aproveitável para o consumo. Por isso, há necessidade de produção de energia apesar da lei de conservação. Dizemos que a energia se degrada (degradação de energia).

Exemplo:Em nenhum dos três exemplos anteriores, a energia pode "refluir" e assumir sua condição inicial. Nunca se viu automóvel arrancar reutilizando a energia convertida devido ao acionamento dos freios quando parou. Ela se degradou. Daí resulta a necessidade de produção constante (e crescente) de energia.

Energia Mecânica - Considerações GeraisChamamos de Energia Mecânica a todas as formas de energia relacionadas com o movimento de corpos ou com a capacidade de colocá-los em movimento ou deformá-los.Classes de energia mecânica:

1) Energia potencialÉ a que tem um corpo que, em virtude de sua posição ou estado, é capaz de realizar trabalho.Podemos classificar a energia potencial em:

a) Energia Potencial Gravitacional ( U g ):Está relacionada com a posição que um corpo ocupa no campo gravitacional terrestre e sua capacidade de vir a realizar trabalho mecânico. Matematicamente, o trabalho necessário para elevar um corpo de massa m a uma altura h é: W g=P h−h0

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Onde P é o peso do corpo e h−h0 é a altura em relação ao nível de referência ( h0 ).Ou, sabendo que P=m g :

W=m g h – m g h0

onde m é a massa do corpo e g é a aceleração gravitacional no local. A grandeza m g h é denominada Energia Potencial Gravitacional U g . Então:

W g=U g –U g 0

Exemplo: um corpo de massa 4 kg encontra-se a uma altura de 16 m do solo. Admitindo o solo como nível de referência e supondo g = 10 m/s2, calcular sua energia potencial gravitacional.Resolução: U g=m g h=4kg .10 m s−1. 16m=640 joules J

b) Energia Potencial Elástica ( U e )É a energia armazenada em uma mola comprimida ou distendida. O trabalho realizado para armazenar energia

numa mola é W=F eF e0

2x – x0=

k2xx0x− x0=

k x2

2−

k x02

2

onde k é a constante elástica da mola e x é a deformação da mola (quanto a mola foi

comprimida ou distendida). A quantidade k x2

2 é denominada Energia Potencial

Elástica.

Exemplo: uma mola de constante elástica k = 400 N/m é comprimida de 5 cm. Determinar a sua energia potencial elástica.

Resolução: U e=k x2

2= 400 N /m .0,05m2

2=0,5 joules J

2) Energia Cinética ( K )Todo corpo em movimento possui uma energia associada a esse movimento que pode vir a realizar um trabalho (em uma colisão por exemplo). A essa energia damos o nome de energia cinética.O trabalho realizado para colocar um corpo em movimento é:

W=ma x – x0=m v – v0

tx – x0=mv – v0 vv0

2 = mv 2

2−

mv02

2

Onde m é a massa e v é o módulo da velocidade do corpo. A quantidade m v2

2 é denominada Energia Cinética

(K). Exemplo: determine a energia cinética de um móvel de massa 50 kg e velocidade 20 m/s.

Resolução: K=m v2

2=50kg .20m /s 2

2=10000 joules J

A conservação da Energia MecânicaUma força é chamada conservativa quando pode devolver o trabalho realizado para vencê-la. Desse

modo, o peso de um corpo e a força elástica são exemplos desse tipo de força. No entanto, a força de atrito cinético, que não pode devolver o trabalho realizado para vencê-la, é uma força não-conservativa, ou dissipativa (ocorre degradação da energia mecânica).

Isso quer dizer que, em um sistema no qual só atuam forças conservativas (sistema conservativo), a ENERGIA MECÂNICA (E) se conserva, isto é, mantém-se com o mesmo valor em qualquer momento, mas alternando-se nas suas formas cinética e potencial (gravitacional ou elástica).

E inicial=E final => U 0K 0=UK => m g h0m v0

2

2=m g h mv 2

2

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Exemplos resolvidos:1) Uma esfera de massa 5 kg é abandonada de uma altura de 45m num local onde g = 10 m/s2. Calcular a velocidade do corpo ao atingir o solo. Despreze os efeitos do ar.Resolução: Conforme o corpo vai descendo, a energia potencial gravitacional vai se transformando em energia cinética, até que em B toda a energia mecânica está sob a forma de energia cinética. Desprezando a resistência do ar, o sistema é conservativo, logo:

m g h0m v0

2

2=m g h mv 2

2

K 0=m v0

2

2=

5kg .0m / s2

2=0 J

U=m g h=5kg . 10 m / s2 . 0 m=0 J

5kg .10m / s2. 45m=5kg .v 2

2; v=30m / s

2) Um corpo de 2 kg é empurrado contra uma mola de constante elástica 500 N/m, comprimindo-a 20 cm. Ele é libertado e a mola o projeta ao longo de uma superfície lisa e horizontal que termina numa rampa inclinada conforme indica a figura. Dado g = 10 m/s2 e desprezando todas as formas de atrito, calcular a altura máxima atingida pelo corpo na rampa.

Resolução:Com a mola comprimida, temos apenas energia potencial elástica. Quando a mola é solta, a energia potencial elástica é transferida para o corpo na forma de energia cinética e quando o corpo começa a subir a rampa a energia cinética vai se transformando em energia potencial gravitacional até que, no ponto B, toda energia mecânica do sistema está sob esta forma.

Como o sistema é conservativo, temos:

m g h0k x0

2

2=m g h k x2

2U ginicial

=0 ; U e final=0

m g h0k x0

2

2=m g h k x2

2

0k x0

2

2=m g h0 => 500N /m . 0,2m 2

2=2kg .10 m /s2 .hB => hB=0,5m

3) Um esquiador de massa 60kg desliza de uma encosta, partindo do repouso, de uma altura de 50m. Sabendo que sua velocidade ao chegar no fim da encosta é de 20m/s, calcule a perda de energia mecânica devido ao

atrito. Adote g = 10m/s2.Resolução:U 0K 0=UKEdissipada

U 0=60 kg .10m / s2. 50m ; U 0=30000 JK 0=0 pois v0=0 e U=0 pois hB=0

K=60kg .20m /s 2

2; K=12000 J

Edissipada=E final – E inicial=12000 J – 30000 J=−18000 J

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23) Relação Trabalho-EnergiaProf. Ms. Clodogil Fabiano Ribeiro dos Santos

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Estabelecendo um paralelo entre os princípios da conservação do momento e da conservação da energia, temos a seguinte tabela:

Teorema do impulso:

Impulso=F dt=dq=q – q0

Teorema Trabalho-Energia:Trabalho=F ds=dK=K – K 0

Num sistema conservativo, observamos também que o Trabalho é equivalente ao negativo da variação da energia potencial:

Trabalho=F ds=[─ dU ]=[─ U –U 0]

A força é definida como sendo a grandeza que provoca a variação temporal do momento linear.

A força é definida como sendo a grandeza que provoca a variação espacial da energia.

Problema sobre equivalência trabalho-energia:Partindo da definição da energia como conceito fundamental e tendo como pressuposto o princípio de conservação da energia, demonstre a equivalência entre trabalho e energia. (a ser resolvido em sala)

Problema sobre relação trabalho-energia e velocidade de escape:Mostre que o trabalho necessário para colocar um objeto em órbita em torno da Terra é o mesmo que seria necessário para elevá-lo ao topo de uma montanha de altura igual ao raio da Terra, considerando que o campo gravitacional permanece constante e de valor igual ao medido na superfície terrestre durante toda a escalada da montanha.

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24) PotênciaProf. Ms. Clodogil Fabiano Ribeiro dos Santos

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Quando vamos adquirir um veículo, um eletrodoméstico ou um aparelho eletro-eletrônico, um dos fatores importantes que é levado em conta na aquisição é a POTÊNCIA do dispositivo. Mas qual é o significado dessa grandeza? Em relação aos aspectos de uso, nível de consumo e de valor de aquisição, qual a importância da POTÊNCIA do dispositivo?

Em muitos casos, a Potência é confundida com a Força. Trata-se de uma impropriedade, pois Força é a ação modificadora do movimento e o conceito de Potência está relacionado com Trabalho e Energia.

(Discuta com seu grupo as implicações em se escolher um aparelho ou dispositivo de maior ou de menor potência)

Por exemplo, entre dois automóveis descritos na tabela, qual seria a melhor escolha? Há um critério absoluto nessa escolha?

Automóvel (preço) Cilindrada do motor (litros)

Potência do motor (em kW)

Velocidade máxima (km/h)

Tempo de aceleração de zero a 100km/h (em

segundos)Popular

(R$ 18.000,00)1,0 48 140 16

De luxo(R$ 40.000,00)

2,0 96 210 10

Elabore sua resolução e discuta suas idéias durante as aulas.A potência é a grandeza que mede a rapidez de realização de um trabalho, ou seja, quantifica o trabalho realizado ou a energia convertida durante um intervalo de tempo determinado. Pesquise mais sobre o conceito de potência e verifique as situações em que ele pode ser utilizado.

Problema: um elevador é projetado para elevar 10 pessoas a uma altura de 30 metros, num tempo de 15 a 20 segundos (considerando o percurso sem paradas nos andares intermediários). Discuta o projeto desse elevador, analisando os seguintes aspectos: massa das pessoas, potência do motor, bem como na interferência desses aspectos no tempo de percurso. Atribua valores e apresente alguns resultados numéricos que evidenciem suas conclusões.

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25) Estática dos fluidosProf. Ms. Clodogil Fabiano Ribeiro dos Santos

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Tópicos: acréscimo de pressão em fluidos incompressíveis (princípio de Pascal)1; acréscimo de pressão em fluidos compressíveis (lei dos gases ideais)2; empuxo (princípio de Arquimedes).3

Fluidos são definidos como sendo corpos materiais que não opõe resistência às tensões tangenciais que lhe são aplicadas externamente. Assim, os fluidos possuem a capacidade de “fluir” ou “escorrer”, adquirindo a forma do recipiente que os contêm (líquidos e gases), ou de não apresentarem volume definido (gases).Para o estudo dos fluidos, necessitamos definir algumas grandezas que nos auxiliarão a compreender os fenômenos em que tais materiais estão presentes.A primeira grandeza que trataremos é densidade absoluta ou massa específica, definida como sendo a quantidade de massa presente em um determinado volume de uma substância, isto é:

=dmdV

onde dm é um elemento de massa do corpo e dV é um elemento de volume.Outra grandeza utilizada no estudo dos fluidos é a pressão, definida como sendo a medida da força aplicada a uma determinada área de uma superfície, ou seja:

p=dFdA

onde dF é um elemento de força aplicada sobre o elemento de superfície de área dA.

Um fluido, como a água ou o ar, exerce pressão sobre a superfície do recipiente que o contém. No caso da pressão atmosférica, ela é resultado do peso do ar exercido sobre a superfície da Terra e todos os objetos que se encontram na atmosfera estão sujeitos a ela. Portanto, ela é a pressão inicial em todos os fenômenos que envolvem medida de pressão, a não ser que o sistema em questão esteja isolado.Se a força infinitesimal dF exercida pelo fluido é o seu peso, então ela pode ser expressa por dF=dm.g=dV.g . Sendo assim, a expressão da pressão assume a seguinte notação:

p hdh− p h=dFdA

=g dV

dA

onde g é a medida do campo gravitacional local ou aceleração da gravidade. Contudo, sabemos que (dV/dA)=dh onde dh é a altura da coluna infinitesimal do fluido em questão. Assim, nossa expressão assume a forma:

dp= g dh => p= g∫0

h

dh= g h

Que nos fornece o valor da pressão de um fluido de densidade ρ sobre uma superfície, num campo gravitacional g, a uma profundidade h.Para um fluido em repouso, a pressão total exercida por ele na superfície de seu recipiente será dada pela somatória da pressão atmosférica (p0) e da pressão do líquido (ρgh). Ou seja:

p= p0 g h

1 (a) HALLIDAY, D, RESNICK, R. WALKER, J. Fundamentos de física. Volume 2. Rio de Janeiro: LTC, 1996, p.81-90 (capítulo 16 – Fluidos). (b) NUSSENZVEIG, H. M. Curso de física básica. Volume 2. São Paulo: Edgard Blücher, 1996, p.1-14 (capítulo 1 – Estática dos Fluidos).

2 Idem (a), p.209 (capítulo 21 – Teoria Cinética dos Gases). Idem (b), p.188-189 (capítulo 9 – Propriedades dos Gases).

3 Idem (a) e (b).

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Num fluido confinado, a pressão atmosférica é substituída por uma parcela denominada pressão externa (pext);p= pext g h

A essa parcela pode ser acrescida uma pressão ∆p. Assim, podemos inferir que qualquer acréscimo de pressão exercido sobre um fluido confinado é transmitido a todos os pontos desse fluido, ou seja:

p '= pext pg h= p p

Essa é a expressão matemática do princípio de Pascal, segundo o qual:

“Uma variação de pressão aplicada em um fluido confinado é transmitida integralmente para todas as porções do fluido e para as paredes do recipiente que o contém.”

Para os fluidos incompressíveis (líqüidos), não há variação significativa no volume. Contudo, um acréscimo de pressão aplicado sobre um fluido compressível, como um gás, provoca uma diminuição proporcional em seu volume. Esse fenômeno é descrito pela lei de Boyle, que diz que um gás encerrado num recipiente fechado, ao ter variada sua pressão, varia também seu volume, porém na proporção inversa. A expressão que indica esse comportamento é a equação geral dos gases.

p V =n RT

Onde p é a pressão do gás, V o volume do recipiente, n é o número de moles do gás, R é a constante universal dos gases perfeitos e T é a temperatura termodinâmica, aqui admitida constante.

Devido ao fato dos fluidos permitirem a penetração de corpos em seu meio, é pertinente discutir um fenômeno importante relacionado a essa categoria de substâncias: a flutuação.

Quando um corpo é mergulhado num fluido, ele desloca uma quantidade de fluido cujo volume é igual ao da parte do corpo que foi imersa. Essa quantidade de fluido, por ser um meio material, exerce uma força contra o corpo (3a lei de Newton) cuja magnitude é a mesma do peso do volume de fluido deslocado. Tal força denomina-se empuxo, que é explicado pelo princípio de Arquimedes.

“Um corpo completa ou parcialmente imerso em um fluido receberá a ação de uma força para cima igual ao peso do fluido que o corpo desloca.”

Matematicamente, é expresso por:E=P f

E=m f g

E=V g

Problema: na figura, representamos um ludião, dispositivo constituído por uma garrafa de plástico, cheia com água até o gargalo, onde é mergulhado um pequeno tubo com uma das extremidades fechada, com peso suficiente para ficar flutuando próximo à superfície da água.

Ao ser pressionada a garrafa, observa-se que o tubo dentro dela sofre um afundamento. Ao soltar a garrafa, o tubo volta à sua posição original. Olhando mais atentamente, observa-se que o nível de líqüido dentro do tubo sobe quando a garrafa é pressionada, voltando ao nível original quando o acréscimo de pressão é subtraído.

Utilizando o princípio de Pascal, o princípio de Arquimedes e a lei dos gases ideais, explique por que ocorre o fenômeno descrito.

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26) Dinâmica dos fluidosProf. Ms. Clodogil Fabiano Ribeiro dos Santos

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Se tivermos um fluido em movimento, a sua velocidade de escoamento também interfere na pressão. Nesse caso, considerar um fluido real seria muito complicado. Assim, para tratarmos de fenômenos relacionados ao escoamento de fluidos, concebemos a idéia de fluido ideal o qual deve ter as seguintes características:

e) escoamento uniforme – a velocidade de qualquer ponto do fluido não se altera no tempo;f) escoamento incompressível – a densidade do fluido ao longo do deslocamento é constante;g) escoamento não viscoso – a viscosidade de um fluido é análoga ao coeficiente de atrito entre sólidos;h) escoamento irrotacional – não há deslocamentos rotativos de um ponto do fluido em relação a outros;

Precisamos definir o conceito de linha de corrente como sendo o caminho traçado por um pequeno elemento de fluido. Durante seu movimento, a velocidade pode variar em módulo e direção. Duas linhas de corrente nunca se cruzam.

Também precisamos definir o que seja um tubo de corrente, ou seja, um conjunto de linhas de corrente. Essas linhas podem se afastar ou se aproximar, aumentando ou diminuindo, respectivamente, o diâmetro do tubo. Um tubo de corrente é representado na figura abaixo.

O volume de fluido que passa através desse tubo de corrente é:

V 1=A1 v1 t

onde: A1 é a área de seção transversal na entrada do tubo e v1∆t é o deslocamento ao longo do tubo, efetuado a uma velocidade v1 durante um tempo ∆t. Analogamente,

V 2=A2 v2 t .

Como o fluido é incompressível e não altera sua quantidade, na saída do tubo deve passar o mesmo volume de fluido. Contudo, sua área de seção transversal agora é A2, e o deslocamento é dado por v2∆t. Assim, podemos dizer que:

V 1=A1 v1 t=V 2=A2 v2 t ou A1 v1=A2 v2 ou R=A v=constante

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Ou seja, ao longo da linha de corrente, a taxa volumétrica de escoamento ou vazão (R) é constante. Essa é a expressão da equação da continuidade.

Partindo do princípio da conservação da energia mecânica, podemos deduzir outra equação importante para compreender o deslocamento de fluidos ideais.

Utilizando o teorema trabalho-energia:

W=K−K 0= 12mv2 – 1

2mv0

2

Se o fluido escoa movido por seu próprio peso e considerando um sistema de forças conservativas, o trabalho realizado pode ser expresso por:

W=−mgh – mgh0

Devemos levar em conta também que o quociente entre energia e volume do líquido é dimensionalmente equivalente à pressão.O resultado final de nossa dedução será a Equação de Bernoulli para o deslocamento de

fluidos ideais. Igualando os trabalhos realizados, temos: 12mv2 – 1

2mv0

2=−mgh – mgh0 .

Como m=V , temos:

12V v2 – 1

2V v 0

2=−V gh – V gh0

que após as devidas simplificações fica:

12v2 – 1

2v0

2=−g h– g h0 , ou então:

12v2 – 1

2v0

2=− g h g h0

Juntando no mesmo membro os termos referentes ao mesmo ponto do tubo de escoamento, a equação assume a seguinte forma:

12v2g h= 1

2v0

2g h0

Esta é a equação de Bernoulli, que descreve o escoamento estacionário de um fluido ideal.

Problema da mangueira: utilizando a equação da continuidade, explique por que quando estrangulamos a saída de uma mangueira a água tem maior alcance.

Problema do avião: explique como um avião consegue voar utilizando a Equação de Bernoulli.

Problema do barco a vela: um barco de vela triangular consegue navegar praticamente contra o vento. Como isso é possível? Isso tem a ver com a Equação de Bernoulli.

Problema da semana sobre flutuação do balão e do helicóptero: explique em que difere a flutuação de um balão e a de um helicóptero.