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UN RECORRIDO EN EL ESTUDIO DE LAS

MEDICIONES:LA GEOMETRIA

La  geometria  (palabra griega que significa medición de la tierra), empiezacomo una cienćıa de la medición, como tal es usada en Egipto alrededor del

año 2000a.C. Ellos tuvieron la necesidad de medir, por ejemplo para distiguir

la tierra de un hombre de la de sus vecinos. Estas mediciones hacen necesario

dar una colección de formulas geometricas, varias de las cuales fueron meras

aproximaciones.

Posteriormente fue introducida a Grecia por Thales de Mileto (640-546 a.C).

En estos tiempos se guiaban por las observaciones simples que provenian de la

habilidad humana para reconocer las figuras fisicas y para comparar formas ytamaños.

No fue sino hasta Euclides(=300a.C=), con sus escritos en  elementos   (que

consta de 13 tomos), cuando se formaliza la geometria através de lo que él llama

nociones comunes y postulados, y desde luego definiciones, que en la actuali-

dad son llamados axiomas. Euclides seleccion pocos hechos geometricos simples

como base, de los cuales no se da prueba alguna, y demuestar los demas como

consecuencia logica de los primeros. A este tipo de representación se le llama

geometŕıa sint́etica . Pocos de los escritos de los Elementos son descubrimienetos

de Euclides. Sin embargo, su mayor mérito fue su organización en un sistema

deductivo de toda la geometŕıa conocida en esos dias, por lo cual es considerado

el mayor sistematizador de su época. Los postulados de Euclides, que se cree

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fueron escritos entre 330 y 320 a.C., son los siguientes:

I.   Por dos puntos cualesquiera puede dibujarse una ĺınea.

II.   Un segmento puede prolongarse para obtener una ĺınea recta (infinita).

III.  Una circunferencia se puede dibujar, dados su centro y su radio.

IV.  Todos los ángulos rectos son iguales entre sı́

V.  Por un punto exterior a una racta dada, pasa exactamente una recta que no

corta a la primera.

Obtenemos con esto lo que se conoce como  Geomtria Euclidiana.

Hasta antes del siglo  XI X  se pensaba que el postulado V, de las paralelas,

se podia deducir de los anteriores.

El sacerdote Italiano Girolamo Saccheri (1667-1733), buscando deducir el

postulado V de los demas, encuentra una  geometria no-euclidieana  con la sigu-

iente construcción: En los puntos extremos de un segmento   AB   se levantan

segmenetos iguales   AC   y   BD, cada uno perpendicular al segmneto   AB, y se

 juntan los puntos C  y  D  por una lı́nea racta. Obteniendo el llamado cuadrilatero

de Saccheri . Utilizando los primeros cuatro postulados de Euclides se ven los

criterios de congruencia de triágulos y es fácil probar que ∠ACD  = ∠BDC   .= α.

Hay 3 posibilidades para   α, las cuales son exhaustivas y a pares mutuamnete

escluyentes: 1)  α  es igual a un ángulo recto, 2)  α  es un ángulo obtuso, 3)  α  es

una ángulo agudo. Saccheri llama a estas: hipotesis del ángulo recto, hipotesis

del ángulo obtuso. hipotesis del ángulo agudo, respectivamente. Usando el pos-

tulado II, prueba que el postulado V es una consecuenćıa de la hipotesis del

ángulo recto. Y que la hipotesis del ángulo obtuso lleva a una contradicción se

puede ver por los criterios de semejanza. Aunqe intenta llegar a una contradic-

ción con la hipotesis del ángulo agudo, nunca lo logra, y finalmante escribe que

”la hipotesis del ángulo agudo es absolutamente falsa, por que no tiene sentido

dentro de la naturaleza de una ĺınea recta”.

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Detrás de esta búsqueda, las siguientes son las alternativas mejor conocidas

para el postulado V:

(Proclus).  Las paralelas permanecen a una distancia finita una de la otra.

(Legendre).  Existe un triángulo en el cual la suma de los ángulos es dos ángu-

los rectos.

(Laplace,Saccheri).  Existen dos triángulos no congruentes con los ángulos de

uno igual, respectivamente, a los ángulos del otro.

(Gauss).   Si  K  es un entero, existe un tri ángulo cuya área excede a  k .

(Bolyai).   Dados tres puntos no colineales, hay una circunfernecia que pasa

através de ellos.

Por otro lado, los matemáticos se encuentran con problemas cuando propi-

etarios de grandes extenciones de tierra les piden hacer mediciones de sus ter-

renos. Pues al calcular el área con sus formulas, tomando medidas de las fron-

teras, no obtienen los mismmos resultados que al medir directamente sobre todo

el terreno. Hoy en dia sabemos cual fue el problema: el mundo en que vivimos

no es plano, sino una esfera con los polos ligeramente aplastados”.

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Luego de varios años (siglos) de intentos fallidos en probar la independenćıa

del postulado de las paralelas, los matemáticos empiezan a aceptar la posibilidad

de la independencia del postulado  V   respecto a los demás. No fue sino hasta

1829 que el matemático ruso Nicolai Ivanóvich Lovachevski (1793-1856), cambia

el postulado V  y obtiene una geometria distinta de la Euclidiana, la geometrı́a

Hiperbólica  (o de Lovachevski).  Él propone:

V’. Por un punto exterior a una recta, pasan por lo menos dos rectas distintas

que no cortan a la primera.

Con lo cual establece la independenćıa del postulado V, pues V es consistente

con los primeros cuatro, mientras que V  y  V’  no son consistentes.

Más adelante Bernard Riemenn (1826-1866) estudia la geometria Elı́ptica en

el año de 1854, la cual es obtenida cambiando el postulado  V  por:

V”. Cualquier par de rectas distintas se cortan.

Además es necesario modificar el postulado  II  por el siguiente:

II”. Las lineas son finitas.

Antes de dar modelos de las geometrias vistas en forma sintética, avance-

mos más con el estudio de los postulados: los postulados de Euclides no son

completos, se necesitan más suposiciones. Veamos una situación

Una proposición de ”Elementos” es la siguiente:  sobre un segmento dado, se 

puede construir un tri´ angulo equilatero.

En la prueba que da Euclides, se pide dos circunferencias, que el construye,

se intersecten, pero solamente con sus postulados no es posible deducir ésto.

Para que exista tal punto es necesrio un postulado de continuidad, como se da

posteriormente. Bien podria ocurrir lo siguiente:

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David Hibert (1862-1943) resuelve este percance y completa los postulados

en su libro ”Grundlagen der Geometric”.  Él se basa en 5 términos primitivos y

15 postulados. Estos son los siguientes:

Términos no definidos:

Punto, recta, estar sobre, estar entre, congruente.

Postulados:

Grupo I   : Postulados de conección.(2 postulados)

Grupo II   : Postulados de orden.(4 postulados)

Grupo III   : Postulados de congruencia.(6 postulados)

Grupo IV  Postulados de continuidad.(2 postulados)

Grupo V   Postulados de las paralelas.(1 postulado)

Hasta aqúı, para dar una geometŕıa, se necesita de un conjunto de pos-

tulados y nociones comunes. Sin embargo, otra manera de dar una geometrı́a

se encuentra durante el siglo  X V II , cuando Pierre de Fermat (1601-1665) y

René Descartes (1596-1650) usan representaciones algebraicas de las figuras, lo

que se llama  geometŕıa anaĺıtica , bien conocida por todo aquel que haya cursado

la educación secundaria.

El uso de técnicas algebraicas eventualmente trae la aplicación de teorı́a

de grupos al estudio de la geometŕıa. Esta aproximación lleva a Felix Klein

(1849-1925) a dar, en su proyecto de Erlangen en 1872, la siguiente definici ón

de geometrı́a:

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Una geometŕıa es el estudio de aquellas propiedades de un conjunto que 

permanecen invariantes cuando sus elementos son sujetos a la aplicaci´ on de 

transformaciones 

Usando esta definición, Klein fue capaz de clasificar las geometŕıas conoci-

das hasta entonces. Por ejemplo el grupo de transformaciones de la geometŕıa

euclidiana es el de las  isometrı́as , las de la geometrı́a hiperbólica son las  trans-

 formaciones de M¨ obiuus   z  →   az+bbz+a

 que dejan invariante el ćırculo unitario (ver

modelo aba jo) o bien éstas aplicadas a z̄.

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MODELOS DE LA GEOMETRIA

Aunque hay diversos modelos, sólo citaré algunos.Caso Euclidiano. El modelo de la geometŕıa euclidiana es bien conocido, este

se representa por el plano cartesiano.

Propiedades:

1.  La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180◦.

2.  Ley de los cosenos:  c2 = a2 + b2 − 2abcosγ .

3.  Ley doble de cosenos:  c  =  bcosα + acosβ .

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Caso Hiperbólico. El modelo de la geometrı́a hiperbólica debido a Poincaré (1854-

1912), se da considerando los puntos como los de un ćırculo unitario, las rectas

(en la actualidad se llaman geodésicas a las ĺıneas de una geometŕıa) son los

diametros y arcos circulares que intersecctan perpendicularmente a la ćırcun-

ferencia que limita el cı́rculo dado.

Propiedades:

1.  La suma de los ángulos interiores de un triángulo es menor que 180◦.

2.  Ley de los cosenos:  c2 ≥ a2 + b2 − 2abcosγ .

3.  Ley doble de cosenos:  c ≤ bcosα + acosβ .

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Caso Elı́ptico. Este modelo es debido a ]Riemann: sus puntos son los de la

esfera unitaria, las rectas son las circunferencias maximas en dicha superficie.

Propiedades:

1.  La suma de los ángulos interiores de un triángulo es mayor que 180◦.

2.  Ley de los cosenos:  c2 ≤ a2 + b2 − 2abcosγ .

3.  Ley doble de cosenos:  c ≥ bcosα + acosβ .

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Referencias

[1 ] Leonard M. Blumenthal. A   modern view of geometry.  Golden Gate Book.

(1961).

[2 ] H.S.M. Coxeter.  Non-Euclidian Geometry.  Mathematical Expositions Uni-

verity of Toronto Press. Fourth edition. (1642).

[3 ] J. Diudonné.   Panorama de las matem´ aticas puras.  La elección de  Bourbak-

ista. Editorial Reverté. (1987).

[4 ] Howart Eves. Estudio de las Geometrtı́as . 2 tomos. Editorial UTEHA. (1985).

[5 ] Milnor.   Hyperbolic Geometry: The first 150 years.  Bull. Amer. Math. Soc.

Vol. 6. No. 1. (1982)

[6 ] ElmerG. Rees.  Notes on Geometry.  Springer-Verlag. New York.(1989).

[7 ] A. Verjovski. Introducción a la Geometrı́a y Variedades Hiperbólicas. Sexta

Escuela Latinoamericana de Matemáticas. CINVESTAV-IPN. (1982)

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