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Elementos de MatematicaNumeros complexos - Atividades didaticas de 2007
Versao compilada no dia 24 de Agosto de 2007.
Departamento de Matematica - UEL
Prof. Ulysses Sodre: ulysses(a)uel(pt)brMatematica Essencial: http://www.mat.uel.br/matessencial/
Resumo: Notas de aulas construdas com materiais usados em nossas aulasna UEL. Elas devem ser usadas como roteiro e nao espero que elas venhama substituir qualquer livro sobre o assunto. Sugiro que o leitor pesquise naInternet para obter materiais gratuitos para os seus estudos.
Mensagem: Para a liberdade Cristo nos libertou; permanecei, pois, firmes enao vos dobreis novamente a um jogo de escravidao... Porque vos, irmaos,fostes chamados a liberdade. Mas nao useis da liberdade para dar ocasiao acarne, antes pelo amor servi-vos uns aos outros. Pois toda a lei se cumprenuma so palavra, a saber: Amaras ao teu proximo como a ti mesmo. Sevos, porem, vos mordeis e devorais uns aos outros, vede nao vos consumaisuns aos outros. Digo, porem: Andai pelo Esprito, e nao haveis de cumprira cobica da carne. Porque a carne luta contra o Esprito, e o Esprito contraa carne; e estes se opoem um ao outro, para que nao facais o que quereis.Mas, se sois guiados pelo Esprito, nao estais debaixo da lei. Ora, as obrasda carne sao manifestas, as quais sao: a prostituicao, a impureza, a lascvia,a idolatria, a feiticaria, as inimizades, as contendas, os ciumes, as iras, asfaccoes, as dissensoes, os partidos, as invejas, as bebedices, as orgias, ecoisas semelhantes a estas, contra as quais vos previno, como ja antes vospreveni, que os que tais coisas praticam nao herdarao o reino de Deus. Maso fruto do Esprito e: o amor, o gozo, a paz, a longanimidade, a benignidade,a bondade, a fidelidade, a mansidao, o domnio proprio; contra estas coisasnao ha lei. E os que sao de Cristo Jesus crucificaram a carne com as suaspaixoes e concupiscencias. Se vivemos pelo Esprito, andemos tambem peloEsprito. Nao nos tornemos vangloriosos, provocando-nos uns aos outros,invejando-nos uns aos outros. A Bblia Sagrada, Carta aos Galatas, Cap. 5
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CONTEUDO ii
Conteudo
1 Introducao aos numeros complexos 1
2 Definicao de numero complexo 1
3 Elementos complexos especiais 2
4 Operacoes basicas com numeros complexos 3
5 Potencias e curiosidade sobre a unidade imaginaria 3
6 O inverso de um numero complexo 4
7 Diferenca e divisao de numeros complexos 5
8 Representacao geometrica de um numero complexo 6
9 Modulo e argumento de um numero complexo 6
10 Forma polar e o produto de complexos na forma polar 7
11 Potencia de um numero complexo na forma polar 7
12 Raiz quarta de um complexo na forma polar 8
13 Raiz n-esima de um numero complexo 9
14 Numero complexo como uma matriz anti-simetrica 12
Numeros complexos - Ulysses Sodre - Matematica - UEL - 2007

Secao 1 Introducao aos numeros complexos 1
1 Introducao aos numeros complexos
Na resolucao de uma equacao algebrica, um fator fundamental e o conjuntouniverso que representa o contexto onde poderemos encontrar as solucoes.Por exemplo, se estamos trabalhando no conjunto dos numeros racionais, aequacao 2x + 7 = 0, tera uma unica solucao dada por x = 72 . assim, oconjunto solucao sera:
S = {72}
mas, se estamos procurando por um numero inteiro como resposta, o conjuntosolucao sera o conjunto vazio, isto e:
S = = {}
Analogamente, ao tentar obter o conjunto solucao para a equacao x2 + 1 = 0sobre o conjunto dos numeros reais, obteremos como resposta o conjuntovazio, isto e:
S = = {}o que significa que nao existe um numero real que elevado ao quadrado sejaigual a 1, mas se seguirmos o desenvolvimento da equacao pelos metodoscomuns, obteremos:
x = i =1
Unidade imaginaria: A expressao acima parece nao ter significado pratico efoi por esta razao que este numero foi denominado imaginario, mas o simplesfato de substituir
1 pela letra i (unidade imaginaria) e realizar operacoes
como se estes numeros fossem polinomios, faz com que uma serie de situacoestanto na Matematica como na vida, tenham sentido pratico de grande utilidadee isto nos leva ao estudo dos numeros complexos.
2 Definicao de numero complexo
Um numero complexo e um numero que pode ser escrito na forma z = a + bionde a e b sao numeros reais e i e a unidade imaginaria. O numero real a ea parte real do numero complexo z e o numero real b e a parte imaginaria donumero complexo z, denotadas por: a = Re(z) e b = Im(z).

Secao 3 Elementos complexos especiais 2
Exemplos de numeros complexos sao apresentados na tabela.
Numero complexo Parte real Parte imaginaria
2+3i 2 3
2-3i 2 -3
2 2 0
3i 0 3
-3i 0 -3
0 0 0
Notacoes: O conjunto dos numeros complexos e denotado pela letra C e oconjunto dos numeros reais pela letra R. Como todo numero real x pode serescrito como o numero complexo z = x+0i, assumiremos que o conjunto dosnumeros reais esta contido no conjunto dos numeros complexos.
3 Elementos complexos especiais
1. Igualdade de numeros complexos: Definimos a igualdade entre osnumeros complexos z = a + bi e w = c + di, escrevendo
z = w se, e somente se, a = c e b = d
Exemplo: Os numeros complexos z = 2 + yi e w = c + 3i sao iguais,pois c = 2 e y = 3.
2. Oposto de um numero complexo: O oposto do numero complexoz = a + bi e o numero complexo denotado por z = (a + bi), isto e:
z = oposto(a + bi) = (a) + (b)i
Exemplo: O oposto de z = 2 + 3i e o numero complexo z = 2 3i.
3. Conjugado de um numero complexo: O numero complexo conjugadode z = a + bi e o numero complexo denotado por z = a bi, isto e:
z = conjugado(a + bi) = a + (b)i = a bi
Exemplo: O conjugado de z = 2 3i e o numero complexo z = 2 + 3i.

Secao 4 Operacoes basicas com numeros complexos 3
4 Operacoes basicas com numeros complexos
Dados os numeros complexos z = a+bi e w = c+di, definimos duas operacoesfundamentais, adicao e produto, agindo sobre eles, da seguinte forma:
z + w = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)iz w = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (ad + bc)i
Observacao: Estas operacoes lembram as operacoes com expressoes polino-miais, pois a adicao e realizada da forma:
(a + bx) + (c + dx) = (a + c) + (b + d)x
e o produto e realizado na forma:
a + bxc + dx X
ac + bcxadx + bdx2
ac + (ad + bc)x + bdx2
bastando substituir x2 por 1.
Exemplos:
1. Se z = 2 + 3i e w = 4 6i, entao z + w = (2 + 3i) + (4 6i) = 6 3i.
2. Se z = 2 + 3i e w = 4 6i, entao z.w = (2 + 3i).(4 6i) = 4 + 0i.
5 Potencias e curiosidade sobre a unidade imaginaria
Potencias de i: Ao tomar i =1, temos uma sequencia de valores muito
simples para as potencias de i:
Potencia i i2 i3 i4 i5 i6 i7 i8 i9
Valor i 1 i 1 i 1 i 1 i
Pela tabela acima observamos que as potencia de i cujos expoentes saomultiplos de 4, fornecem o resultado 1, logo toda potencia de i pode ter

Secao 6 O inverso de um numero complexo 4
o expoente decomposto em um multiplo de 4 mais um resto que podera ser0, 1, 2 ou 3. Dessa forma podemos calcular rapidamente qualquer potenciade i, apenas conhecendo o resto da divisao do expoente por 4.
Exerccio: Calcular os valores dos numeros complexos: i402, i4033 e i1998. Comoexemplo: i402 = i400.i2 = 1.(1) = 1.
Curiosidade geometrica sobre i: Ao pensar um numero complexo z = a+bicomo um vetor z = (a, b) no plano cartesiano, a multiplicacao de um numerocomplexo z = a + bi pela unidade imaginaria i, resulta em um outro numerocomplexo w = b + ai, que forma um angulo reto (90 graus) com o numerocomplexo z = a + bi dado.
Exerccio: Tomar um numero complexo z = a + bi, multiplicar por i paraobter z1 = i.z, depois multiplicar o resultado z1 por i para obter z2 = i.z1.Continue multiplicando os resultados obtidos por i ate ficar cansado ou entaouse a inteligencia para descobrir algum fato geometrico significativo nestecontexto. Apos constatar que voce e inteligente, faca um desenho no planocartesiano contendo os resultados das multiplicacoes.
6 O inverso de um numero complexo
Dado o numero complexo z = a+bi 6= 0 (a 6= 0 ou b 6= 0) definimos o inversode z como o numero z1 = u + iv, tal que
z.z1 = 1
O produto de z pelo seu inverso z1 deve ser igual a 1, isto e:
(a + bi).(u + iv) = (au bv) + (av + bu)i = 1 = 1 + 0.i

Secao 7 Diferenca e divisao de numeros complexos 5
o que nos leva a um sistema com duas equacoes e duas incognitas:
au bv = 1bu + av = 0
Este sistema pode ser resolvido pela regra de Cramer e possui uma unicasolucao (pois a 6= 0 ou b 6= 0), fornecendo:
u =a
a2 + b2, v =
b
a2 + b2
assim, o inverso do numero complexo z = a + bi e:
z1 =a
a2 + b2 b
a2 + b2i
Calculando o inverso de um numero complexo: Para obter o inverso deum numero complexo, por exemplo, o inverso de z = 5 + 12i, deve-se:
1. Escrever o inverso desejado na forma de uma fracao.
z1 =1
5 + 12i
2. Multiplicar o numerador e o denominador da fracao pelo conjugado de z.
z1 =1
5 + 12i
5 12i5 12i
3. Realizar as operacoes indicadas, lembrando que i2 = 1, simplificar osnumeros complexos pela reducao dos termos semelhantes, para obter
z1 =1
5 + 12i=
1
5 + 12i
5 12i5 12i
=5 12i
169=
5
169 12

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