Números complexos
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TERCEIRÃO SISTEMA ANGLO DE ENSINO43
Professor:
Terc
eirã
o –
Cad
erno
6 –
Cód
igo
8303
7161
0
Aula 55 (pág. 44) AD TM TC
Aula 56 (pág. 44) AD TM TC
Aula 57 (pág. 46) AD TM TC
Aula 58 (pág. 47) AD TM TC
Aula 59 (pág. 48) AD TM TC
Aula 60 (pág. 50) AD TM TC
Aula 61 (pág. 50) AD TM TC
Aula 62 (pág. 52) AD TM TC
Aula 63 (pág. 54) AD TM TC
SETOR AÍNDICE-CONTROLE DE ESTUDO
SISTEMA ANGLO DE ENSINO TERCEIRÃO44
Há inúmeras situações problemáticas em que a variável ou a incógnita ocorre no expoente de uma potência. Nesses casos, a teoria dos logaritmos for-nece recursos adequados para a busca de soluções.
Em análises de crescimento populacional é comum indicar o número N de elementos de uma população no instante t pela notação N(t). Dado que, numa dada população, N(t) = 50 ⋅ 2t, obtenha t, tal que:
a) N(t) = 50
50 ⋅ 2t = 502t = 1 ∴ t = 0Resposta: 0
b) N(t) = 100
50 ⋅ 2t = 1002t = 2 ∴ t = 1Resposta: 1
c) N(t) = 141 (Dado: 2 ≈ 1,41)
50 ⋅ 2t = 14150 ⋅ 2t = 100 ⋅ 1,41
50 ⋅ 2t = 100 ⋅ 2
2t = 2 ⋅ 2
2t = 21 ⋅ 212
t = 1 + 12
Resposta: 1,5
d) N(t) = 150 (Dado: log 3 ≈ 1,58 ⋅ log 2)
50 ⋅ 2t = 150
2t = 3 ∴ t = log2 3 = log 3log 2
= 1,58
Resposta: 1,58
CADERNO DE ExERCÍCIOS – UNIDADE II
TAREFA MÍNIMAFaça o exercício 23 – série 8.
TAREFA COMPLEMENTARFaça os exercícios 22 e 26 – série 8.
Número complexo é todo aquele da forma a + bi com a ∈ e b ∈ , sendo i a unidade imaginária de-finida de tal forma que i2 = –1.
O número a chama-se parte real do complexo e é indicada por Re(z); o número b chama-se parte ima-ginária do complexo e é indicada por Im(z).
Observações1. O conjunto dos números reais é um subconjunto do
conjunto dos números complexos, isto é, ⊂ C.2. Dado o número complexo z = a + bi, temos:
a) z é um número real se e somente se b = 0.b) z é um número imaginário puro, se e somente
se, a = 0 e b ≠ 0.
55LOGARITMOS: ExERCÍCIOS
56NÚMEROS COMPLExOS (FORMA ALGÉBRICA)
TERCEIRÃO SISTEMA ANGLO DE ENSINO45
1 POTêNCIAS DE i COM ExPOENTE NATURAL
Quanto às potências de i, temos:
i0 = 1i1 = ii2 = – 1i3 = i2 ⋅ i = – ii4 = i2 ⋅ i2 = 1
Sendo i a unidade imaginária, n um número in-teiro maior que 4 e r o resto da divisão de n por 4, temos:
n 4 ⇒ n = 4 ⋅ q + rr q
Daí:
in = i4q + r = i4 ⋅ q ⋅ ir = (i4)q ⋅ ir = 1q ⋅ ir = ir
ou seja: in = ir
2 OPERAçõES COM NÚMEROS COMPLExOS
As operações de adição, subtração e multipli-cação seguem as regras da álgebra, lembrando que i2 = –1.
1. Complete:a) i0 = 1
b) i1 = i
c) i2 = –1
d) i3 = i2 ⋅ i = – i
e) i4 = i2 ⋅ i2 = 1
f) i19 = i3 = – i
19 43 4
2. Calcule:a) (1 + i)2 = 12 + 2 ⋅ i + i2 = 2i
b) (1 + i)10 = [(1 + i)2]5
= (2i)5
= 25 ⋅ i5
= 32i
3. Dados os números z1 = 2 + 3i e z2 = 1 – i, obtenha:a) z1 + z2 = 2 + 3i + 1 – i
= 3 + 2i
b) z1 – z2 = 2 + 3i – (1 – i) = 2 + 3i – 1 + i = 1 + 4i
c) z1 ⋅ z2 = (2 + 3i)(1 – i) = 2 – 2i + 3i – 3i2
= 2 – 2i + 3i + 3 = 5 + i
4. Sendo z1 = 1 – i e z2 = 2 + xi, x ∈ , obtenha x para que z1 ⋅ z2 seja real.
z1 ⋅ z2 = (1 – i)(2 + xi)= 2 + xi – 2i – xi2
= 2 + xi – 2i + x= (2 + x) + (x – 2)i
z1 ⋅ z2 real → x – 2 = 0∴ x = 2
5. Resolva em C a equação x2 + 9 = 0
x2 = –9 ∴ x2 = 9i2 ∴x = 3iS = {3i, –3i}
CADERNO DE ExERCÍCIOS – UNIDADE III
TAREFA MÍNIMAFaça os exercícios 1 e 2 (até d) – série 11.
TAREFA COMPLEMENTARFaça os exercícios 4 e 5 – série 11.
SISTEMA ANGLO DE ENSINO TERCEIRÃO46
1 NÚMEROS COMPLExOS CONjUGADOS
Chama-se conjugado do número complexo z = x + yi, {x, y} ⊂ , o número indicado por z–, tal que
z– = x – yi
2 DIvISãO DE NÚMEROS COMPLExOS
Dados os números complexos z1 = a + bi e z2 = c + di, z2 ≠ 0, o número z quociente de z1 por z2 é indicado por
z = z1z2
(I)
Obtém-se a forma algébrica de z do seguinte modo:
a) Toma-se o conjugado de z2, isto é, z–2 = c – di.b) Multiplicam-se o numerador e o denominador de (I)
por z–2.
3 IGUALDADE ENTRE NÚMEROS COMPLExOS
a + bi = c + di ⇔ a = c e b = d{a, b, c, d} ⊂
1. Calcule:
a) 2 + 3i1 + i
=
= (2 + 3i)(1 – i)(1 + i)(1 – i)
= 2 – 2i + 3i – 3i212 – i2
=
= 5 + i2
= 52
+ i2
b) i2 – i
=
= i(2 + i)(2 – i)(2 + i)
= 2i + i222 – i2
=
= –1 + 2i5
= – 15
+ 25
i
2. Determine os reais x e y tais que:2x + (y – 1)i = 8 + 3i
123
2x = 8 ∴ x = 4
y – 1 = 3 ∴ y = 4
Resposta: x = 4 e y = 4
3. Obtenha z tal que 2z + z– = 3i.
Seja z = x + yi, {x, y} ⊂ e i2 = –1Então:2 ⋅ (x + yi) + x – yi = 3i2x + 2yi + x – yi = 3i
3x + yi = 0 + 3i ⇒
123
3x = 0 ∴ x = 0
y = 3
Logo, z = 3i
CADERNO DE ExERCÍCIOS – UNIDADE III
TAREFA MÍNIMAFaça os exercícios 6 e 7 – série 11.
TAREFA COMPLEMENTARFaça os exercícios 3 e 8 – série 11.
57NÚMEROS COMPLExOS (DIvISãO – IGUALDADE)
TERCEIRÃO SISTEMA ANGLO DE ENSINO47
1 PLANO DE ARGAND-GAUSS
Vamos associar a cada número complexo z = x + yi, {a, b} ⊂ , o par ordenado (x, y). Assim, no plano de Argand-Gauss ou plano complexo, no qual o eixo das abscissas é o eixo real e o das ordenadas é o eixo imaginário, o número z = x + yi será identificado pelo ponto P(x, y), chamado afixo de z.
Re (eixo real)
Im (eixo imaginário)
0
P (afixo de z)
x
y
2 MóDULO DE UM NÚMERO COMPLExO
Chama-se módulo de um número complexo z = x + yi, {x, y} ⊂ , o número real não negativo, indi-
cado por |z|, tal que |z| = x2 + y2 , ou seja, a distân-
cia do afixo P de z até a origem zero.O módulo também será indicado pela letra grega ρ.
Re
Im
0
P
x
y
3 PROPRIEDADES DO MóDULO
Sendo z, z1 e z2 números complexos, tem-se:
a) z ⋅ z– = |z|2
b) |z1 ⋅ z2| = |z1| ⋅ |z2|
c) | z1z2 | = |
z1||z2|
(z2 ≠ 0)
d) |zn| = |z|n (n ∈ )
e) |z1 + z2| < |z1| + |z2|
1. Calcule:a) |3 + 4i| =
= 32 + 42 = 25 = 5
b) |2 – i| =
= 22 + (–1)2 = 5
c) |i| =
= |0 + i| = 02 + 12 = 1
2. Sendo z = 4 + yi, y ∈ , obtenha y tal que |z| = 5.
|z| = 5
42 + y2 = 5
16 + y2 = 25
y2 = 9
123
y = 3ouy = –3
Resposta: y = –3 ou y = 3
3. Sendo x e y variáveis reais, esboce no plano com-plexo o lugar geométrico dos afixos dos números z = x + yi tais que |z – 2| = |z|.
|x + yi – 2| = |x + yi||(x – 2) + yi| = |x + yi|
(x – 2)2 + y2 = x2 + y2
x2 – 4x + 4 + y2 = x2 + y2
–4x + 4 = 0 ∴ x = 1
58NÚMEROS COMPLExOS (MóDULO)
SISTEMA ANGLO DE ENSINO TERCEIRÃO48
Re
Im
0 1
4. Seja z um número complexo.a) Mostre que z ⋅ z– = |z|2.
Seja z = x + yi, {x, y} ⊂ e i2 = –1Temos:z ⋅ z– = (x + yi)(x – yi) = x2 – (yi)2
= x2 – y2i2
= x2 + y2
= |z|2
b) Obtenha |z|, sabendo que z– = 16z
.
z– = 16z
∴ z– ⋅ z = 16
|z|2 = 16Ou seja: |z| = 4
CADERNO DE ExERCÍCIOS – UNIDADE III
TAREFA MÍNIMAFaça os exercícios 9 e 10 – série 11.
TAREFA COMPLEMENTARFaça os exercícios de 14 a 16 – série 11.
1 ARGUMENTO
Seja P o afixo do número z = x + yi, z ≠ 0.Ao ângulo ϕ, 0 < ϕ 2π, que o sentido positivo do
eixo real forma com a semirreta de origem zero e que contém P, denomina-se argumento de z.
Re
Im
0
P
x
y
2 FORMA TRIGONOMÉTRICA OU FORMA POLAR
Dado o número complexo z = x + yi, z ≠ 0, de mó-dulo ρ e argumento ϕ, temos:
ρ = x2 + y2
cos ϕ = xρ
⇒ x = ρ ⋅ cos ϕ
sen ϕ = yρ
⇒ y = ρ ⋅ sen ϕ
Daí:
z = x + yi
z = ρ ⋅ cos ϕ + ρ ⋅ sen ϕ ⋅ i
Ou seja: z = ρ(cos ϕ + i ⋅ sen ϕ) ,
denominada forma trigonométrica ou polar do número complexo z.
59NÚMEROS COMPLExOS (FORMA TRIGONOMÉTRICA)
TERCEIRÃO SISTEMA ANGLO DE ENSINO49
Exemplo:
Consideremos o número z = 1 + 3 i.Temos:
3
0 1
ρ = 12 + (3)2 = 2
cos ϕ = 12
cos ϕ = 32
14243
ϕ = π3
Portanto a forma trigonométrica de z = 1 + 3 i é:
z = 2(cos π3
+ i sen π3 )
Escreva na forma trigonométrica cada número abaixo:
a) z = 3 + i
0
1
3
ρ = (3)2 + 12 = 2
sen ϕ = 12
cos ϕ = 32
14243
ϕ = 30°
Então:z = 2 ⋅ (cos 30° + i sen 30°)
b) z = –1 + i
0
1
1
ρ = (–1)2 + 12 = 2
ϕ = 135°Então:
z = 2 (cos 135° + i sen 135°)
c) z = i
0
1
ρ = 1 e ϕ = 90°z = 1 ⋅ (cos 90° + i sen 90°)
d) z = –3
03
ρ = 3 e ϕ = 180°z = 3 ⋅ (cos 180° + i sen 180°)
SISTEMA ANGLO DE ENSINO TERCEIRÃO50
CADERNO DE ExERCÍCIOS – UNIDADE IIITAREFA MÍNIMAFaça o exercício 11 (a até e) – série 11.
TAREFA COMPLEMENTARFaça o exercício 11 (f até j) – série 11.Faça o exercício a seguir.
Dê a forma trigonométrica do número z = 4i1 + i
.
Resposta: z = 2 2 (cos 45° + i sen 45°)
PRODUTO DE DOIS NÚMEROS NA FORMA TRIGONOMÉTRICA
Dados os números complexos não nulos:
z1 = ρ1 (cos ϕ1 + i sen ϕ1) ez2 = ρ2 (cos ϕ2 + i sen ϕ2),
temos que:
z1 ⋅ z2 = ρ1 ⋅ ρ2 ⋅ [cos (ϕ1 + ϕ2) + i ⋅ sen (ϕ1 + ϕ2)]
Demonstração:
z1z2 = ρ1 (cos ϕ1 + i sen ϕ1) ρ2 (cos ϕ2 + i sen ϕ2)
z1z2 = ρ1ρ2 [cos ϕ1 cos ϕ2 + i sen ϕ1 ⋅ cos ϕ2 +
+ i sen ϕ2 ⋅ cos ϕ1 – sen ϕ1 ⋅ sen ϕ2]
z1z2 = ρ1ρ2 [(cos ϕ1 cos ϕ2 – sen ϕ1 ⋅ sen ϕ2) +
+ i (sen ϕ1 ⋅ cos ϕ2 + sen ϕ2 ⋅ cos ϕ1)]
z1z2 = ρ1ρ2 [cos (ϕ1 + ϕ2) + i sen (ϕ1 + ϕ2)] c.q.d.
Para a divisão temos:
z1z2
= ρ1ρ2
[cos (ϕ1 – ϕ2) + i sen (ϕ1 – ϕ2)]
Exemplo:
Dados: z1 = 10 ⋅ (cos π3
+ i sen π3 ) e
z2 = 2 ⋅ (cos π6
+ i sen π6 )
temos:
z1z2 = 10 ⋅ 2 ⋅ cos ( π3 + π6 ) + i sen ( π3 +
π6 )
z1z2 = 20 ⋅ cos π2
+ i sen π2
z1z2 = 20 ⋅ [0 + i]
z1z2 = 20 i
z1z2
= 102
⋅ cos ( π3 – π6 ) + i sen ( π3 –
π6 )
z1z2
= 5 ⋅ cos π6
+ i sen π6
z1z2
= 5 ⋅ 32
+ i ⋅ 12
, ou seja: z1z2
= 53
2 +
52
i
Dados um número inteiro n e um número complexo não nulo,
z = ρ (cos ϕ + i sen ϕ),
temos que:
zn = ρn ⋅ [cos (nϕ) + i sen (nϕ)]
Exemplo:
Dado: z = 2 ⋅ (cos π6
+ i sen π6 ) ,
temos:
60 e 61NÚMEROS COMPLExOS (OPERAçõES NA FORMA TRIGONOMÉTRICA)
TERCEIRÃO SISTEMA ANGLO DE ENSINO51
z3 = 23 cos (3 ⋅ π6 ) + i sen (3 ⋅
π6 )
z3 = 8 ⋅ cos π2
+ i sen π2
z3 = 8 ⋅ [0 + i]
z3 = 8i
1. Dados os números na forma trigonométrica:z1 = 8 (cos 90° + i sen 90°)ez2 = 4 (cos 30° + i sen 30°)escreva na forma algébrica:a) z1 ⋅ z2
z1 ⋅ z2 = 8 ⋅ 4 [cos 120° + i sen 120°]
= 32 – 12
+ i 32
= –16 + 163 i
b) z1z2
z1z2
= 84
[cos 60° + i sen 60°]
= 2 12
+ i 32
= 1 + 3 i
2. Escreva na forma algébrica o número (3 + i)10.
Seja z = 3 + i
0
1
3
ρ = (3)2 + 12 = 2
cos ϕ = 32
sen ϕ = 12
14243
ϕ = 30°
z = 2 (cos 30° + i sen 30°)z10 = 210 ⋅ [cos 300° + i sen 300°]
z10 = 1.024 ⋅ 12
+ i ⋅ (– 32 )
z10 = 512 – 5123 i
3. Diz-se que um número complexo z é uma das raí-zes quadradas de um complexo w se, e somente se, z2 = w. Mostre que 2 + i e –2 – i são raízes quadradas de 3 + 4i.
Devemos mostrar que (2 + i)2 e (–2 – i)2 são iguais a 3 + 4i.
Assim,(2 + i)2 = 4 + 4i + i2 = 4 + 4i – 1 = 3 + 4ie(–2 – i)2 = 4 + 4i + i2 = 4 + 4i – 1 = 3 + 4i
4. Calcule as raízes quadradas de 4i.
1o modoPassando para a forma trigonométrica temos:
4i = 4 (cos π2
+ i sen π2 )
Seja uma raiz: z = x (cos α + i sen α).
z2 = 4 (cos π2
+ i sen π2 )
x2 (cos 2α + i sen 2α) = 4 (cos π2
+ i sen π2 )
x2 = 4 ∴ x = 2 (pois x 0)e
2α = π2
+ h 2π, h ∈
∴ α = π4
+ h π, h ∈
Como 0 < a 2π, α = π4
ou α = 5π4
Assim,
z = 2 (cos π4
+ i sen π4 ) =
= 2 (22
+ i 22 ) = 2 + i 2
z = 2 (cos 5π4
+ i sen 5π4 ) =
= 2 (– 22
– i 22 ) = –2 – i 2
SISTEMA ANGLO DE ENSINO TERCEIRÃO52
2o modoSeja z = x + yi, {x, y} ⊂ e i2 = –1(x + yi)2 = 4ix2 – y2 + 2xyi = 4i
14243
x2 – y2 = 0
2xy = 4 ∴ y = 2x
x2 – 4x2
= 0 ∴ x4 = 4 ∴ x = 2
Se x = 2 , então y = 22
⋅ 22
= 2
Se x = – 2 , então y = – 22
⋅ 22
= – 2
Assim,
z = 2 + i 2 ou z = – 2 – i 2
CADERNO DE ExERCÍCIOS – UNIDADE IIITAREFA MÍNIMAc Aula 60
Faça o exercício 12 – série 11.
c Aula 61Faça os exercícios 15 e 17 – série 11.
TAREFA COMPLEMENTARc Aula 60
Faça o exercício 16 – série 11.
c Aula 61Faça os exercícios 19 e 20 – série 11.
Chamamos polinômio de grau n na variável x a toda expressão da forma
anxn + an – 1xn – 1 + an – 2xn – 2 + … + a2x2 + a1x1 + a0,
em que os expoentes n, n – 1, n – 2, … sejam todos números naturais e os coeficientes an, an – 1, an – 2, …, a2, a1 e a0 sejam números complexos, com an ≠ 0 e x sendo uma variável complexa.
Se, na expressão acima, os coeficientes forem to-dos nulos, teremos o polinômio nulo e, nesse caso, não se define o grau.
São exemplos de polinômios:
P(x) = 2x3 + x2 – 7x + 0,8 (o grau de P(x) é 3)P(x) = (3 + 4i)x2 – πx (o grau de P(x) é 2)P(x) = 7x (o grau de P(x) é 1)P(x) = –3 (o grau de P(x) é 0)P(x) = 0x2 + 0x + 0, isto é, P(x) = 0 e não existe o grau de P(x).
Expressões como x–1 + x–2 + x–3 e 33 + 5x
12 não
são polinômios.
Dados os polinômios:
A(x) = anxn + an – 1xn – 1 + an – 2xn – 2 + … + a2x2 +
a1x1 + a0
e
B(x) = bnxn + bn – 1xn – 1 + bn – 2xn – 2 + … + b2x2 +
b1x1 + b0,
dizemos que A(x) e B(x) são polinômios idênticos e escrevemos A(x) B(x) se, e somente se, eles tiverem os mesmos coeficientes, isto é, an = bn, an – 1 = bn – 1 etc.
Assim, por exemplo, sendo a, b e c constantes, teremos:
ax2 + bx + c 3x + 5 se, e somente se, a = 0, b = 3 e c = 5.
Se, num polinômio P(x), substituirmos a variável x por um número r dado e efetuarmos as operações indicadas, obteremos um número P(r) que é chama-do de valor numérico de P(x) para x = r.
Dizemos que r é uma raiz (ou que r é um zero) de P(x) se, e somente se, P(r) = 0.
62POLINôMIOS: INTRODUçãO
TERCEIRÃO SISTEMA ANGLO DE ENSINO53
Assim, por exemplo, com P(x) = x2 – x – 2, temos P(1) = –2, P(0) = –2 e P(–1) = 0. Portanto, –1 é um zero de P(x).
Dado o polinômio P(x) = ax3 + bx2 + cx + d, temos P(0) = d e P(1) = a + b + c + d.
Note que, em todo polinômio P(x), P(0) é o termo in-dependente de x, e P(1) é a soma de seus coeficientes.
1. Considere em C o polinômio P(x) = x3 (3x2 + 5)2 – 8.
a) Qual é grau de P(x)?
3x2 + 5 é um polinômio de grau 2(3x2 + 5)2 é um polinômio de grau 4x3 (3x2 + 5)2 é um polinômio de grau 7x3 (3x2 + 5)2 – 8 é um polinômio de grau 7
Resposta: 7
b) Obtenha o termo independente de x.
P(0) = 03 (3 ⋅ 02 + 5)2 – 8 = –8
Resposta: –8
c) Obtenha a soma dos coeficientes de P(x).
P(1) = 13 (3 ⋅ 12 + 5)2 – 8 = 56
Resposta: 56
d) Calcule P(i).
P(i) = i3 (3 ⋅ i2 + 5)2 – 8P(i) = – i(–3 + 5)2 – 8P(i) = –8 –4i
Resposta: –8 – 4i
2. Sabe-se que existem constantes a e b, tais quea(x – 1) + b(x + 1) 5x – 1.Obtenha essas constantes.
1o modoEfetuamos as multiplicações indicadas no primeiro membro e agrupamos os termos semelhantes.
ax – a + bx + b 5x – 1(a + b)x – a + b 5x – 1
Resolvendo o sistema a + b = 5 e –a + b = –1, obtemos a = 3 e b = 2.
2o modoPela identidade, podemos afirmar que a igualdade a(x – 1) + b(x + 1) = 5x – 1 é verificada para qualquer valor de x.
x = 1 ⇒ a(1 – 1) + b(1 + 1) = 5 – 12b = 4 ∴ b = 2
x = –1 ⇒ a(–1 – 1) + b(–1 + 1) = –5 – 1–2a = –6 ∴ a = 3
Resposta: a = 3, b = 2
3. Determine as constantes a e b, tais quea
x + 1 + b
x – 1 = 5x – 1
x2 – 1
para todo x, x ≠ –1 e x ≠ 1.
a(x – 1) + b(x + 1)(x + 1)(x – 1)
= 5x – 1x2 – 1
Como os denominadores são idênticos, basta impor que os numeradores também sejam iguais.Assim, devemos ter:a(x – 1) + b(x + 1) 5x – 1Do exercício anterior, temos a resposta.
Resposta: a = 3 e b = 2
CADERNO DE ExERCÍCIOS – UNIDADE III
TAREFA MÍNIMAFaça os exercícios 1, 3, 4 e 6 – série 5.
TAREFA COMPLEMENTARFaça os exercícios de 8 a 12 – série 5.
SISTEMA ANGLO DE ENSINO TERCEIRÃO54
Dados os polinômios P(x) e D(x), nos quais D(x) não é um polinômio nulo, existe um único par de po-linômios Q(x) e R(x), tais que
P(x) D(x) ⋅ Q(x) + R(x) e R(x) 0 ou o grau de R(x) é menor que o grau de D(x).
Dizemos que Q(x) e R(x) são, nessa ordem, o quo-ciente e o resto da divisão de P(x) por D(x). P(x) é o dividendo, e D(x) é o divisor.
Assim, sendo P(x) = x5 + x3 + x + 7 e D(x) = x3, te-mos, na divisão de P(x) por D(x), o quociente Q(x) = x2 + 1 e o resto R(x) = x + 7, pois:
x5 + x3 + x + 7 x3 ⋅ (x2 + 1) + (x + 7).
Note que o grau de R(x) é menor que o grau de D(x).
Dizemos que P(x) é divisível por D(x) se, e so-mente se, o resto da divisão de P(x) por D(x) for nulo, isto é, P(x) D(x) ⋅ Q(x).
1. Obtenha o quociente e o resto da divisão de 5x3 + x + 7 por x2 – x.
5x3 + 0x2 + x + 7 x2 – x–5x3 + 5x2 + 0x + 0 5x + 5 0x3 + 5x2 + x + 7 –5x2 + 5x + 0 6x + 7
Resposta: O quociente é 5x + 5 O resto é 6x + 7
2. Obtenha a constante real m de modo que2x3 + 3x2 + mx + m + 1 seja divisível por x2 + 1.
1o modo 2x3 + 3x2 + mx + m + 1 x2 + 1
2x + 3–2x3 –2x 3x2 + (m – 2)x + m + 1 –3x2 –3 (m – 2)x + m – 2
Devemos ter m – 2 = 0, isto é, m = 2
Resposta: 2
2o modoSendo Q(x) o quociente dessa divisão, temos2x3 + 3x2 + mx + m + 1 (x2 + 1) ⋅ Q(x)Com x = i, temos2i3 + 3i2 + m ⋅ i + m + 1 (i2 + 1) ⋅ Q(i)–2i – 3 + m ⋅ i + m + 1 = 0m – 2 + (m – 2)i = 0 + 0iComo m ∈ , devemos ter m = 2
CADERNO DE ExERCÍCIOS – UNIDADE IIITAREFA MÍNIMAFaça o exercício 15 – série 5.
TAREFA COMPLEMENTARFaça os exercícios 16 e 17 – série 5.
63POLINôMIOS: DIvISãO (MÉTODO DA ChAvE)