TRABALHO EM GRUPO

Estudos Disciplinares I

NMEROS COMPLEXOS

Alunos

Osvaldo Antonio Fernandes RA 1121277

Marco Antonio Fernandes Fagure RA 1126111

Polo

Ribeiro Preto - centro

2014

NMEROS COMPLEXOS

Os nmeros complexos so a continuao de uma cadeia numrica criada ao

longo da historia do homem e a sua necessidade de contar, comeando com os nme-

ros naturais, continuando com os nmeros inteiros e assim por diante at os nmeros

complexos.

Figura 1 - Diagrama de Venn (fonte: Google imagens)

Podemos utilizar os diagramas de Venn para representar os conjuntos numricos na Ma-

temtica.

N: conjunto dos nmeros Naturais

Z: conjunto dos nmeros Inteiros

Q: conjunto dos nmeros Racionais

I: conjunto dos nmeros Irracionais

R: conjunto dos nmeros Reais

C: conjunto dos nmeros Complexos

Nmeros Naturais

Os nmeros naturais surgiram da necessidade que o homem teve, inicialmente,

de contar coisas inteiras. O primeiro sistema de numerao que o homem inventou, de

forma bem intuitiva foi os nmeros naturais, ou seja, os inteiros positivos:

N = {1, 2, 3, 4, 5, ..., }.

Nmeros Inteiros

Os nmeros inteiros surgiram com a necessidade de resolver a subtrao de um

um nmero natural menos um outro nmero maior do que o primeiro. Assim se for-

mou o conjunto dos inteiros:

Z ={ , ... , -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... }

Com nmeros inteiros j se podia executar qualquer subtrao, em que antes no havia

soluo.

Nmeros Racionais

Nmeros racionais surgiram da necessidade de encontrar solues para as divi-

ses um nmero a partir de um outro nmero inteiro no submltiplo do primeiro. Os

nmeros racionais so representados na forma:

Q ={

}

Deve ser entendido que "inventar nmeros" neste processo histrico significou agregar

novos conhecimentos aos j adquiridos.

Nmeros Irracionais

Nmeros irracionais surgiram da necessidade de resolver as operaes de radi-

ciao de razes no exatas. A unio dos nmeros racionais com os irracionais resultou

no sistema de numerao dos nmeros reais, que pode ser representado geometrica-

mente numa linha reta com todos os seus valores numricos totalmente ocupados, e

no deixando nenhum espao vazio.

Nmeros Complexos

Os nmeros complexos surgiram da necessidade de resolver operaes de radi-

ciao, com razes quadradas negativas. Mas no foram as equaes de segundo grau com

discriminante (delta) negativo que motivaram o aparecimento dos nmeros complexos. A

primeira referncia escrita raiz quadrada de um nmero negativo encontrada no trabalho

de Heron de Alexandria stereometria por volta da metade do primeiro sculo. A seguinte

referncia sobre essa questo datada no ano 275 na obra de Diofanto (aprox.200-284)

Arithmetica. Matemticos hindus so os que do as primeiras explicaes para tal problema.

Mahavira, ao redor do ano 850 diz em seu tratado de nmeros negativos que "como na natu-

reza das coisas quantidade negativa no um quadrado, ento voc no pode ter raiz quadra-

da.

Desde o comeo da lgebra introduzida por Ab Abd Allh Muhammad ibn

Ms al Khwrizm al Khwarizmi - as razes quadradas s tinham solues para nmeros

positivos, dentro do sistema numrico, at ento conhecido por Nmeros Reais. No havia

sentido (significado geomtrico) em uma raiz quadrada de um nmero negativo. Por volta de

1150 Bhaskara da a seguinte explicao:

O quadrado de um nmero, positivo ou negativo, positivo, a raiz quadrada de um

nmero positivo tem dois valores, uma positiva e outra negativa, no h nenhuma raiz

quadrada de um nmero negativo j que um nmero negativo(quantidade) no um

quadrado.

Os nmeros complexos se tornaram mais populares no sculo XVI, quando se

buscava encontrar as frmulas que do as razes exatas de polinmios de segundo e terceiro

graus por matemticos italianos, destaque para Girolamo Cardano (1545) e Bombelli em

1572.

Cardano menciona pela primeira vez em seu livro Ars Magna (1545) a necessi-

dade de definir e usar nmeros que respondam forma com a < 0. O mtodo de Cardano,

de se trabalhar com os nmeros complexos, antes mesmo de serem compreendidos como n-

meros, determinou o uso das razes de nmeros negativos antes dos negativos serem aceitos

como nmeros. O desenvolvimento moderno dos nmeros complexos comeou com a desco-

berta de sua interpretao geomtrica que foi indistintamente exposta por John Wallis (1685).

Descartes (1596-1650) chamou a esses nmeros de impossveis ou imaginrios, e em 1637

apresentou solues reais das equaes de 2 grau com na forma (a + bi), com a e b

reais). Apontou tambm que toda equao deveria ter tantas razes como indicado no seu

grau, embora nmeros no reais poderiam ser uma delas.

Mais tarde, os complexos foram apresentados de uma maneira completamente

satisfatria por Caspar Wessel (1799). O trabalho de Wessel no recebeu nenhuma ateno, e

a interpretao geomtrica dos nmeros complexos foi redescoberta por Jean Robert Argand

(1806) e novamente por Carl Friedrich Gauss (1831).

Foi Johann Carl Friedrich Gauss, matemtico e astrnomo alemo que usou os

nmeros complexos de forma cientfica e confivel. Em 1799, Gauss demonstrou que as solu-

es de equaes algbricas de qualquer grau, pertencem a um conjunto de nmeros na forma

a + bi que chamou de complexo, e este conjunto era formado por um nmero comum (nmero

real) a e b e um mltiplo da raiz quadrada de (i2 , chamado unidade imaginria ( i ).

Leibniz, no sculo XVII, disse ainda que era uma espcie de anfbio entre o ser e o nada.

Em 1833, William Rowan Hamilton (1805-1865 Inglaterra) faz a primeira defini-

o algbrica rigorosa dos complexos como pares de nmeros reais. O 1847 Agoustin-Louis

Cauchy (Frana, 1789-1857), que d uma definio abstrata de nmeros complexos como

classes de congruncia de polinmios reais, com base nas classes de congruncias de nmeros

inteiros indicados por Gauss.

APLICAES

Os complexos trouxeram solues para:

lgebra.

A soluo de equaes algbricas motivou a introduo dos nmeros

complexos. Estes complexos so, por sua vez um corpo fechado, onde

muitos problemas da lgebra linear e outras reas de lgebra abstrata

encontraram solues.

Geometria.

Os nmeros complexos introduziram generalidade e propriedade de si-

metria em diversos ramos da geometria euclidiana, e no-euclidiana.

Teoria dos Nmeros.

Certas equaes Diofantinas puderam ser resolvidas com a utilizao

dos complexos.

DEFINIO DE NMERO COMPLEXO

Um nmero complexo um par ordenado de nmeros reais e sua expresso

analtica :

C ={(a; b) tal que a R e b R }

Representao grfica:

Figura 2 - plano de Argand-Gauss (fonte: Google imagens)

Dado um complexo z = (a, b), disse que a a parte real (eixo x ou real) e b e a

parte imaginaria (Im(z) (eixo y). Os complexos na forma (a, 0) so chamados complexos reais

puros e esto localizados no eixo x (real). Os complexos na foram (0, b) so chamados com-

plexo imaginrios e esto localizados no eixo y (imaginrio).

Oposto e Conjugado

Dado o complexo z = a + bi o conjugado ser = a bi

Figura 3 - Conjugado de um nmero complexo (fonte: Google imagens)

Dado o complexo z = a + bi o seu oposto ser z = -a bi

Figura 4 Oposto de um nmero complexo (fonte: Google imagens)

Os nmeros complexos permitem resolver problemas muito diferentes dentro de reas

to variadas como hidrulica, aerodinmica, eletricidade, eletromagnetismo. Quando a teoria de nme-

ros complexos foi desenvolvida, a eletricidade era matria at ento de interesse apenas de laboratrio.

Mas, antes do final do sculo XIX as descobertas sobre a eletricidade e o eletromagnetismo transfor-

maram o mundo e, neste processo, os nmeros complexos se tornaram uma ferramenta que simplificou

o clculo das correntes alternadas.

Bibliografia:

Cerri, Cristina; Monteiro, Martha S. - CAEM - Centro de Aperfeioamento de Ensino de Ma-

temtica. Instituto de Matemtica e Estatstica da USP. Setembro de 2001. Disponvel em:

http://www.igm.mat.br/cursos/fvc/complexos.pdf

Acesso em 27/03/2014.