Projeto Delfos: Escola de Matemática Para Jovens 30 de Novembro de 2014LIGA DELFOS 2014-2015 JORNADA 1

Números de Catalan

Os números de Catalan, chamados assim em homenagem a Eugène Charles Catalan,

matemático Belga do século XIX, aparecem em inúmeros problemas de contagem. Há

várias definições equivalentes destes números. Adotaremos aquela que diz que os nú-

meros de Catalan, C0, C1, . . . , Cn . . . , contam o número de árvores binárias com raiz

com n + 1 folhas. Aquilo que em combinatória se designa por árvore com raiz pode

ser descrito como uma árvore genealógica de uma família de seres de uma espécie her-

mafrodita. No topo está o vértice raiz, o ser que deu origem à família, e em cada nível

seguinte representam-se os vértices da geração seguinte; a árvore diz-se binária se de

uma geração para a outra cada ser dá origem a nenhum ou exatamente dois seres da

geração seguinte. Os vértices sem descendência chamam-se folhas.

Figura 1: Ávores binárias com 3 + 1 folhas.

Notemos que para definir uma árvore binária com raiz damos importância à ordem como

estão dispostas as gerações. É que, como grafos, as duas primeiras árvores e as duas

últimas são todas equivalentes entre si.

1. Determinem todas as árvores binárias com raiz com 1, 2, 3 e 5 folhas.

2. Partindo da definição, mostrem que para n ≥ 1 se tem Cn =∑

n−1

k=0CkCn−1−k.

Uma sequência de parêntesis P = (()(() · · · )) diz-se admissível se os parêntesis es-

tiverem corretamente formados. Por exemplo, “(()())” é uma sequência de parêntesis

admissível enquanto que “)()()(” ou “()))((” não são. Os números de Catalan também

podem ser definidos como o número de sequências admissíveis de n pares de parêntesis.

v.s.f.f.

Jorge Neves delfos@mat.uc.pt

Projeto Delfos: Escola de Matemática Para Jovens 30 de Novembro de 2014LIGA DELFOS 2014-2015 JORNADA 1

Para ver que assim é basta estabelecer uma bijeção entre o conjunto de árvores biná-

rias com raiz com n + 1 folhas e o conjunto de sequências admissíveis de n pares de

parêntesis. Esta bijeção, que designaremos por ϕn, pode ser definida indutivamente da

forma que passamos a explicar. Para n = 0 os conjuntos em questão são singulares. A

sequência de parêntesis é vazia, P0 = ∅, e a árvore com 1 folha é A0 = •. Estabelece-se

ϕ0A0 = P0. Seja agora n > 0 e A uma árvore com n+1 folhas. Então existem A∗ e A†

árvores com r e s folhas, respetivamente, com r+ s = n+1, tais que A∗ emana do lado

esquerdo da raiz enquanto que A† do lado direito. Estabelecemos ϕnA = (ϕrA∗)ϕsA

†.

3. Usando indução completa, mostrem que ϕn está bem definida e tem inversa.

4. Um caminho em Z2 é uma sucessão finita de pontos de Z2 considerando-se também

os segmentos que unem pontos consecutivos. Um caminho de Dyck é um caminho

em Z2 que parte do ponto (0, 0), termina no ponto (2n, 0) e em que cada ponto é

obtido do anterior adicionando-lhe ou (1, 1) ou (1,−1), de forma a que, global-

mente, o caminho não passe abaixo do eixo dos xx′. (O caminho pode tocar o eixo

dos xx′, eventualmente, noutros pontos para além dos seus extremos.) Mostrem

que Cn conta o número de caminhos de Dyck entre (0, 0) e (2n, 0).

5. Mostrem que Cn é igual ao número de triangulações de um polígono convexo com

n+2 vértices usando n−1 diagonais que não se intersetam no interior do polígono.

6. Mostrem que Cn é igual ao número de maneiras de ligar 2n pontos de uma reta do

plano usando n arcos de semi-circunferência que não se intersetem e que fiquem

todos de um dos lados da reta.

Figura 2: Arcos ligando 4 pontos de uma reta.

7. Mostrem que Cn =(

2n

n

)

−(

2n

n+1

)

= 1

n+1

(

2n

n

)

.

Jorge Neves delfos@mat.uc.pt

Projeto Delfos: Escola de Matemática Para Jovens 10 de Janeiro de 2015

LIGA DELFOS 2014-2015 JORNADA 2

Postulado de Bertrand

O postulado de Bertrand establece que entre qualquer número natural e o seu dobro

existe um número primo; mais precisamente: para todo o n ≥ 1 existe um primo p

com n < p ≤ 2n. Esta afirmação foi conjeturada pelo matemático francês Joseph

Bertrand em 1845 e demonstrada, uns anos mais tarde, pelo matemático russo Pafnuti

Lvovitch Tchebychev. Em 1932, com 19 anos, Paul Erdos encontra uma demonstração

completamente elementar. Erdos começa por mostrar que a conjetura é verdadeira para

todo o n ≤ 4000, exibindo uma sucessão crescente de 14 números primos começando

em 2 e terminando em 4001 tais que nenhum é maior do que o dobro do anterior.

1. Que números são estes?

De seguida, a ideia de Erdos é provar que se existe n ≥ 4001 que não satisfaz o postulado

então o coeficiente binomial(

2nn

)

seria (impossivelmente) demasiado pequeno. Erdos

considera a função f : [2,+∞[→ N dada por f(x) =∏

p≤x p, onde p varia no conjunto

dos números primos.

2. Mostrem que(

2nn

)

≥ 4n

2n .

3. Mostrem quef(2m+1)f(m+1) ≤

(

2m+1m

)

≤ 4m, para qualquer inteiro m.

4. Mostrem que f(n) ≤ 4n−1, para todo o inteiro n ≥ 2.

5. Seja p um primo. Mostrem que se pα |(

2nn

)

, com α ≥ 0, então pα ≤ 2n.

6. Mostrem que(

2nn

)

≤ f(2n)f(n) · f(2n/3)

f(√2n)

· (2n)√2n.

7. Demonstrem o postulado de Bertrand.

Jorge Neves delfos@mat.uc.pt

Projeto Delfos: Escola de Matemática Para Jovens 7 de Fevereiro de 2015LIGA DELFOS 2014-2015 JORNADA 3

Fórmula de inversão de Möbius

Seja C um conjunto não vazio. Formalmente, uma relação binária em C é um subcon-

junto R ⊂ C × C . É costume abreviar-se a proposição (x, y) ∈ R por xRy. Um

conjunto parcialmente ordenado é um par (C ,R), onde C é um conjunto e R é uma

relação binária em C que satisfaz as seguintes propriedades:

(i) xR x, ∀x ∈ C (reflexividade);

(ii) xR y ∧ yR z =⇒ xRz (transitividade);

(iii) xR y ∧ yR x =⇒ x = y (anti-simetria).

A relação binária de um conjunto parcialmente ordenado designa-se por ordem parcial.

É usual usar o símbolo 4 para denotar uma ordem parcial e neste caso x ≺ y é uma

abreviatura da proposição x 4 y ∧ x 6= y. Quando x 4 y for falso escreve-se x 64 y.

1. Seja X um conjunto e C1 = 2X , o conjunto dos subconjuntos de X , com a ordem

parcial A 41 B ⇐⇒ A ⊆ B, para todos os A,B ∈ C1. Seja C2 = N \ 0 com a

ordem m 42 n ⇐⇒ m | n, para todos os m,n ∈ N \ 0. Mostrem que (C1,41) e

(C2,42) são conjuntos parcialmente ordenados.

Dados x, y ∈ C , define-se o intervalo [x, y] = z ∈ C : x 4 z 4 y ⊆ C . Notem

que há conjuntos parcialmente ordenados (C ,4) para os quais existem x, y ∈ C tais

que [x, y] = [y, x] = ∅. Também aqui se estende a notação para intervalo aberto, por

exemplo, [x, y[= z ∈ C : x 4 z ≺ y, etc. Um conjunto parcialmente ordenado diz-

se localmente finito se todos os seus intervalos são finitos. Por exemplo, o conjunto

(C2,42) é localmente finito e, se X for um conjunto finito, (C1,41) também é.

Jorge Neves delfos@mat.uc.pt

Projeto Delfos: Escola de Matemática Para Jovens 7 de Fevereiro de 2015LIGA DELFOS 2014-2015 JORNADA 3

A função de Möbius de um conjunto parcialmente ordenado, (C ,4), localmente finito

é a função µ : C × C → Z definida recursivamente por

µ(x, x) = 1 e µ(x, y) = −∑

z∈[x,y[

µ(x, z).

Recordem a convenção que uma soma vazia de números reais é igual a zero.

2. Mostrem que se x 6= y então∑

z∈[x,y] µ(z, y) = 0.

Seja (C ,4) um conjunto parcialmente ordenado localmente finito e f : C → R uma

função tal que, para cada y ∈ C o somatório∑

z4y f(z) tenha um número finito de

termos não-nulos. Seja F : C → R definida por F (y) =∑

z4y f(z), ∀y ∈ C .

3. [Fórmula de Inversão de Möbius] Mostrem que f(x) =∑

y4x µ(y, x)F (y).

Nos próximos três problemas o conjunto parcialmente ordenado localmente finito em

questão é o conjunto (C2,42) definido acima. Mostrem que:

4. se d divide m e n então µ(m,n) = µ(

m/d, n/d)

;

5. se p1, . . . , pk são primos distintos então µ(1, p1 · · · pk) = (−1)k;

6. se p é primo e m ∈ N \ 0 então µ(1, p2m) = 0.

A função µ : N \ 0 → R dada por µ(n) = µ(1, n) é a clássica função de Möbius. Se

f : N \ 0 → R for uma função, então dos resultados dos problema 3 e 4 deduz-se a

fórmula de inversão de Möbius na forma clássica: f(n) =∑

m|nµ(

nm

)∑

l|m f(l). Esta

fórmula pode ser usada para explicitar muitas funções aritméticas, como por exemplo

a função ϕ(n) de Euler, que dá o número de inteiros positivos menores ou iguais a n

coprimos com ele.

7. Seja X um conjunto finito e f : 2X → R uma função. Mostrem que para todo o

A ∈ 2X se tem

f(A) =∑

A⊆B

(−1)|B|−|A|

(

∑

B⊆C

f(C)

)

.

Jorge Neves delfos@mat.uc.pt

Projeto Delfos: Escola de Matemática Para Jovens 27 de Março de 2015

LIGA DELFOS 2014-2015 JORNADA 4

Geometria Olímpica

1. Seja ABCD um quadrilátero cíclico com AD = BD. Seja E a interseção das dia-

gonais AC e BD, seja I o incentro de BCE e seja N a interseção do circuncírculo

de BIE com AE. Mostrem que AN ·NC = CD · BN .

2. Seja ABC tal que CA > BC > AB. Sejam O o circuncentro e H o ortocentro.

Sejam D e E os pontos médios dos arcos

AB e

AC do circuncírculo a que não per-

tencem C e B, respetivamente. Sejam D′ a reflexão de D sobre AB e E ′ a reflexão

de E sobre AC. Provem que OHD′E ′ é cíclico sse A,D′, E ′ forem colineares.

3. ABC é acutângulo e AB > BC. Seja Ω o seu circuncírculo e M o ponto médio

do lado AC. As tangentes a Ω em A e C intersetam-se em P . O segmento BP e o

lado AC intersetam-se em S. Seja AD uma altura de ABP , seja ω o circuncírculo

de CSD e seja K 6= C a outra interseção de ω e Ω. Mostrem que ∠CKM = 90.

4. ABC é acutângulo, não-equilátero. Sejam, P ∈ AB, o pé da altura do vértice

C; H o ortocentro; O o circuncentro; D a interseção da reta CO com AB e E o

ponto médio de CD. Mostrem que a reta EP interseta OH no seu ponto médio.

5. Num triângulo ABC, K ∈ AB e M ∈ AC, são tais que sendo L a interseção

de MB e KC, AKLM and KBCM são cíclicos e os seus circuncírculos têm

diâmetros congruentes. Determinem as amplitudes dos ângulos internos de ABC.

6. Em ABC sejam M ∈ BC, B1 ∈ AC e C1 ∈ BC tais que AM é mediana e BB1

e CC1 são alturas de ABC. A reta que passa em A e é perpendicular a AM interseta

as retas BB1 e CC1 nos pontos E e F , respetivamente. Seja C o circuncírculo

de EFM . Sejam C1 e C2 duas circunferências tangentes ao segmento EF e ao

arco

EF de C que não contém M . Suponham que estas duas circunferências se

intersetam em dois pontos, P e Q. Mostrem que então P , Q e M são colineares.

7. Seja C uma circunferência de diâmetro o segmento BC e seja A não pertencente

a C . Determinem o lugar geométrico do ortocentro do triângulo ABC quando se

faz variar o segmento BC entre os diâmetros de C .

Jorge Neves delfos@mat.uc.pt

Projeto Delfos: Escola de Matemática Para Jovens 25 de Abril de 2013

LIGA DELFOS 2014-2015 JORNADA 5

Teoria de Números Olímpica

1. Mostrem que para todo o n ∈ N, o número 23n

+ 1 é divisível por 3n+1.

2. Determine todos os inteiros positivos n para os quais o número racional

4n+ 1

n(2n− 1)

tem, na notação decimal, um número finito de dígitos.

3. Sejam n > 1 um inteiro e p um número primo tais que n divide p − 1 e p divide

n3 − 1. Mostrem que 4p− 3 é um quadrado perfeito.

4. Mostrem que se m, n, N , k forem inteiros não negativos que satisfazem

(n2 + 1)2k

· (44n3 + 11n2 + 10n+ 2) = Nm

então m = 1.

5. Determinem todos os pares de números primos (p, q) que satisfazem:

p2 | (q3 + 1) and q2 | (p6 − 1).

6. Sejam l,m, n inteiros positivos e p um número primo. Mostrem que se

p2l−1m(mn+ 1)2 +m2

for um quadrado perfeito então m também o é.

7. Determinem todos os triplos de inteiros (m, p, q), com m > 0 e p e q números

primos, que satisfazem

2mp2 + 1 = q5.

Jorge Neves delfos@mat.uc.pt

Projeto Delfos: Escola de Matemática Para Jovens 8 de maio de 2015LIGA DELFOS 2014-2015 JORNADA 6

Álgebra Olímpica

1. Sejam a, b, c ∈ R+ satisfazendo a+ b+ c+ ab+ ac+ bc = 3. Mostrem que

2 ≤ a+ b+ c+ abc ≤ 3.

2. Determinem todas as funções f : R → R que satisfazem

f(x2) + 4y2f(y) = (f(x− y) + y2)(f(x+ y) + f(y))

para todos os reais x, y ∈ R.

3. Sejam x, y, z ∈ R+. Sabendo que x2+ y2+ z2 = x2y2+ y2z2+ z2x2, mostrem que

2((x− y)(y − z)(z − x))2 ≤ (x2 − y2)2 + (y2 − z2)2 + (z2 − x2)2.

4. Seja P (x) = (x2 − 7x + 6)2n + 13, com n um inteiro ≥ 1. Mostrem que não

é possível escrever P (x) como um produto de n + 1 polinómios de grau ≥ 1 e

coeficientes inteiros.

5. Determinem todas as funções f : R+ → R+ que satisfazem

f

(

y

f(x+ 1)

)

+ f

(

x+ 1

xf(y)

)

= f(y), ∀ x, y ∈ R+.

6. Determinem todas as funções f : Q+ → R+ que satisfazem:

f(xy) = f(x+ y)(f(x) + f(y)) , ∀x, y ∈ Q+

Jorge Neves delfos@mat.uc.pt

Projeto Delfos: Escola de Matemática Para Jovens 6 de Junho de 2015

LIGA DELFOS 2014-2015 JORNADA FINAL

Combinatória Olímpica

1. Seja R uma reta do plano e P1, P2, . . . , Pn ∈ R, n pontos. Para cada par de

pontos Pi, Pj ∈ R, desenha-se um arco de semicircunferência com Pi e Pj nos seus

extremos de forma a que todos os arcos de semicircunferência fiquem do mesmo

lado de R. Determinem, em função de n e sem contar com os pontos Pi, o número

máximo de pontos de interseção das semicircunferências.

2. Sejam A e B dois subconjuntos disjuntos de 1, 2, . . . , 100 de igual cardinalidade

que, adicionalmente, satisfazem a propriedade: x ∈ A =⇒ 2x + 2 ∈ B. Qual é

valor máximo que |A|+ |B| (a soma das cardinalidades de A e B) pode tomar?

3. Considerem S ⊂ 0, . . . , 1000 um conjunto de 101 inteiros entre 0 e 1000. Mos-

trem que entre os valores absolutos das diferenças de dois elementos distintos de S

existem necessariamente pelo menos 10 que são ≤ 100.

4. Seja n ≥ 0 um inteiro par e seja A o conjunto de todas as sequências de com-

primento n de zeros e uns, excluindo a sequência nula: (0, . . . , 0). Mostrem

que existe uma partição de A em subconjuntos de exatamente 3 elementos de

A, (a1, a2, . . . , an), (b1, b2, . . . , bn), (c1, c2, . . . , cn), tais que, para cada i = 1,

2, . . . , n, ou nenhum dos números ai, bi, ci é igual a 1 ou exatamente 2 são-no.

5. Seja n um inteiro positivo. Mostrem que existe um número infinito de inteiros

positivos que podem ser escritos pelo menos de duas maneiras diferentes como

soma potências de expoente n de n+ 1 inteiros positivos distintos.

6. Mostrem que existe uma partição dos inteiros positivos em 2 partes (disjuntas) tais

que nenhuma parte contém: (i) uma sucessão geométrica (infinita); (ii) um terno

da forma pn, pn+1 e pn+2, com p primo e n inteiro positivo.

7. Será que existe um conjunto de 24 pontos em R3 tais que (i) não haja 3 pontos

colineares no conjunto; (ii) seja possível encontrar 2013 planos cada um dos quais

passando pelo menos por 3 pontos e tais que cada terno de pontos esteja contido

num desses planos?

Jorge Neves delfos@mat.uc.pt