Universidade Federal de São João del-Rei

Bárbara Cristina Dâmaso de Jesus

NÚMEROS IRRACIONAIS: UMA ANÁLISE DE LIVROS DIDÁTICOS DOS ENSINOS FUNDAMENTAL II E MÉDIO

São João del-Rei - MG

2017

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Bárbara Cristina Dâmaso de Jesus

NÚMEROS IRRACIONAIS: UMA ANÁLISE DE LIVROS DIDÁTICOS DOS ENSINOS FUNDAMENTAL II E MÉDIO

Trabalho de Conclusão de Curso apresentado à Coordenadoria do Curso de Matemática, da Universidade Federal de São João del-Rei, como requisito parcial à obtenção do título de Licenciada em Matemática. Orientadora: Profª. Drª. Viviane Cristina Almada de Oliveira São João del-Rei, 15 dezembro de 2017.

Banca Examinadora ______________________________________________ Orientadora: Profª. Drª. Viviane Cristina Almada de Oliveira _______________________________________________ Profª. Drª. Fabíola de Oliveira Miranda

_______________________________________________ Profª. Drª. Romélia Mara Alves Souto

2

AGRADECIMENTOS

A Deus pela vida e por estar comigo nos momentos de maior dificuldade, me

ensinando a ter fé, força e coragem para vencer os obstáculos presentes na vida.

A toda a minha família e amigos, em especial a minha mãe, meu irmão e minha tia

que estiveram presentes nesta caminhada me dando conselhos e me apoiando em todas

as minhas decisões.

A todos os professores que fizeram parte da minha formação acadêmica, tanto do

Ensino Básico como da Graduação. Vocês me fizeram ter certeza que com a Educação

podemos transformar o mundo.

A minha orientadora Viviane que sempre me ajudou da melhor forma com suas

palavras. Eterna admiração pela pessoa e profissional que é.

Enfim, obrigada a todos que participaram desta jornada e contribuíram de alguma

forma para a conclusão deste trabalho.

Gratidão!

3

“Tão correto e tão bonito

O infinito é realmente Um dos deuses mais lindos.”

Renato Russo

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RESUMO

Este trabalho de conclusão de curso tem como objetivo descrever e discutir como os

Números Irracionais são abordados em alguns livros didáticos da Matemática da

Educação Básica. Para subsidiar o estudo proposto, inicialmente foi realizada uma

revisão bibliográfica acerca de como historicamente se deu a produção dos Números

Irracionais e sobre o ensino-aprendizagem dos mesmos. Os livros escolhidos para

análise foram duas coleções aprovadas pelo Programa Nacional do Livro Didático

(PNLD) e que poderão ser utilizadas por escolas de todo o Brasil a partir do ano de 2018.

A partir do estudo desenvolvido, realizamos uma análise crítica e reflexiva sobre a

abordagem dos Números Irracionais nestas coleções. Constatamos que, apesar dos

livros didáticos apresentarem grande parte do que é sugerido pelos Parâmetros

Curriculares Nacionais (PCN) de Matemática, algumas considerações relevantes sobre

esses números, tais como as ideias de aproximação e de infinito, não são realizadas ou

enfatizadas nos livros didáticos. Neste sentido, ressaltamos a importância da criticidade

do professor ao utilizar determinado livro didático, avaliando-o nas suas proposições e,

quando achar conveniente, alterar ou complementar o tratamento que ele apresenta para

certos conteúdos.

PALAVRAS-CHAVE: Números Irracionais. Livro didático. Educação Matemática.

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LISTA DE FIGURAS

FIGURA 1 – Ordem cronológica da problematização sobre a ideia de irracionalidade .. 14

FIGURA 2 – Atividade: Dízimas periódicas e calculadora .............................................. 22

FIGURA 3 – Aproximação .............................................................................................. 24

FIGURA 4 – Utilização do termo “número não racional” ................................................. 24

FIGURA 5 – Utilização do termo “número irracional” ...................................................... 25

FIGURA 6 – Reta real ..................................................................................................... 26

FIGURA 7 – Racionalização de denominadores ............................................................ 27

FIGURA 8 – Representação geométrica ........................................................................ 28

FIGURA 9 – Abordagem via negação dos racionais e representação decimal .............. 30

FIGURA 10 – Representação de números na reta real .................................................. 31

FIGURA 11 – Cálculo do comprimento da circunferência ............................................... 32

FIGURA 12 – Medidas aproximadas .............................................................................. 33

FIGURA 13 – Uso da calculadora ................................................................................... 33

FIGURA 14 – Construção de segmentos irracionais ...................................................... 34

FIGURA 15 – Matrizes .................................................................................................... 35

FIGURA 16 – Conjuntos numéricos ............................................................................... 36

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SUMÁRIO

Resumo ........................................................................................................................... 4

1 - Introdução .................................................................................................................. 7

2 – Sobre Números Irracionais: as ideias de irracionalidade e de incomensurabilidade . 9

3 – Ensino-aprendizagem dos Números Irracionais ...................................................... 15

3.1 – Apresentação das coleções ........................................................................ 18

3.2 – Análise da abordagem do conteúdo de Números Irracionais nos livros

didáticos selecionados ........................................................................................ 20

3.2.1 – No Ensino Fundamental ................................................................20

3.2.2 – No Ensino Médio .......................................................................... 29

4 – Considerações Finais ............................................................................................... 36

5 – Referências ............................................................................................................. 39

6 – Anexos ..................................................................................................................... 44

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1. INTRODUÇÃO “Números Irracionais são aqueles que possuem reticências no final”. Essa frase

foi ouvida pela autora deste trabalho enquanto realizava uma intervenção no âmbito do

PIBID1, referente ao conteúdo de Conjuntos Numéricos, com uma turma de alunos do 1º

ano do Ensino Médio. Essa afirmação do aluno para caracterizar o conjunto dos Números

Irracionais indica o modo como ele compreende esses números, o que nos sugere como

produtivo o questionamento sobre a abordagem dos Números Irracionais na Educação

Básica.

Publicações na área de Educação Matemática que tratam dos Números Irracionais

apresentam algumas dificuldades que alunos da Educação Básica geralmente têm na

compreensão de ideias a eles referentes. Mendes, por exemplo, nos indica que muitas

vezes alunos

[...] não conseguem distinguir a diferença entre um número racional e um irracional; números com infinitas casas decimais periódicas são confundidos com irracionais; não há uma ideia formada sobre o infinito; não há uma justificativa para adquirir conhecimentos sobre os números irracionais. (MENDES, 2012, p. 29)

Santos (2007), em seu trabalho sobre o ensino de números reais na Educação

Básica, apresenta algumas das dificuldades e complicações para a construção do

conceito de número irracional, com base em sua revisão bibliográfica. Destacou a

identificação entre as representações decimais 3,1416... e e também entre 2,7182... e

e (número de Euler); a classificação de 3,1416... como sendo um número irracional; a

confusão entre número e sua aproximação atribuindo a ambos o mesmo significado; a

definição de Números Irracionais como sendo somente aqueles representados com

raízes; e, o desconhecimento da existência de infinitos Números Irracionais.

Os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) de Matemática para os anos finais

do Ensino Fundamental consideram de suma importância que o ensino seja significativo

para o aluno, apontando que

[...] a aprendizagem em Matemática está ligada à compreensão, isto é, à atribuição e apreensão de significado; apreender o significado de um objeto ou acontecimento pressupõe identificar suas relações com outros objetos e acontecimentos. [...] O significado da Matemática para o aluno resulta das conexões que ele estabelece

1 Programa Institucional de Bolsas de Iniciação à Docência.

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entre ela e as demais áreas, entre ela e os Temas Transversais, entre ela e o cotidiano e das conexões que ele estabelece entre os diferentes temas matemáticos. (BRASIL, 1998, p. 57)

Pensando nessas ideias, surgem algumas perguntas: Como podemos relacionar os

Números Irracionais a outros objetos e acontecimentos? De que modo os Números

Irracionais podem ser conectados a outras áreas, aos Temas Transversais, ao cotidiano

e a outros temas matemáticos? Isso é possível?

No intuito de tentar responder a esses questionamentos, entendemos que é

necessário investigar como o ensino dos Números Irracionais está sendo desenvolvido

na Educação Básica. Martins e Santos destacam nos resultados de sua pesquisa a

importância do livro didático, indicando que este é um instrumento “imprescindível à sala

de aula, um material de consulta, um recurso didático que se constitui como parte do

processo de ensino e aprendizagem.” (2011, p.26). Nessa perspectiva, o livro didático

mostra-se como um material influente no trabalho do professor, o qual, em muitas vezes,

é o único recurso de apoio para professores na elaboração de suas práticas pedagógicas

e por encaminhar o desenvolvimento de conteúdos, sendo “capaz de provocar e nortear

possíveis mudanças e aperfeiçoamento na prática pedagógica” (2001, p.21).

Essas considerações nos impelem a considerar que um estudo investigativo da

abordagem dos Números Irracionais em livros didáticos pode nos ajudar a refletir sobre

o modo como este tema vem sendo ou pode ser tratado no ensino de Matemática. Lüdke

e André ainda ressaltam que:

[...] a análise de documentos, como o livro didático de ensino básico, permite uma coleta de dados que revelam aspectos de um tema. Esta se constitui como fonte natural estável para retirar evidências e confirmar hipóteses de pesquisa, além de fornecer indícios de situações que poderiam ser exploradas através de outros métodos ou perspectivas. (LÜDKE; ANDRÉ, 1986 apud POMMER, 2011, p.3)

Na sequência, apresentaremos algumas considerações acerca dos Números

Irracionais, no que tange ao desenvolvimento histórico desses números, bem como ao

seu ensino-aprendizagem em contexto escolar. Feito isso, apresentaremos duas

coleções de livros didáticos, buscando discutir como nelas os Números Irracionais são

tratados.

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2. SOBRE NÚMEROS IRRACIONAIS: AS IDEIAS DE

IRRACIONALIDADE E INCOMENSURABILIDADE

A Matemática desenvolvida pelos egípcios e babilônicos se caracterizava por sua

aplicabilidade prática, isto é, se vinculava às suas necessidades práticas do dia-a-dia e

não à organização estrutural de uma ciência. Nesta época, algumas aplicações práticas

levaram estes povos a calcularem aproximações para . Segundo Santos (2003, p.1),

babilônios e egípcios já sabiam que o perímetro do círculo poderia ser obtido

multiplicando o seu diâmetro por essa constante. No entanto, embora percebida a

existência de uma relação entre o diâmetro e o comprimento da circunferência, o

significado de irracionalidade deste número só viria a ser estabelecido posteriormente.

Já na Antiguidade, os gregos encaravam a Matemática como uma ciência

propriamente dita, sem se preocuparem com suas aplicações, levando em conta

problemas relacionados com processos infinitos, movimento e continuidade. A ideia de

irracionalidade dos Números Irracionais nos remete aos Pitagóricos, durante o Período

Helenístico (146 a.C. – 323 a.C.). Boyer descreve que para os Pitagóricos “a essência de

tudo, na geometria como nas questões práticas e teóricas da vida do homem, pode ser

explicada em termos de arithmos, ou das propriedades intrínsecas dos inteiros e suas

razões” (BOYER, 1996, p. 50, grifo nosso). Tudo poderia ser comensurado, expressado

através de uma unidade de medida. Ou seja, dados dois segmentos comensuráveis “é

possível expressar a medida de um deles utilizando o outro como unidade de medida.”

(MIGUEL, 2009, p.219).

No entanto, não se sabe exatamente de qual circunstância teria surgido o

problema da incomensurabilidade. Boyer (1996) supõe que tal fato pode ter ocorrido pela

aplicação do Teorema de Pitágoras a um triângulo retângulo isósceles. Santos descreve

esse problema:

Considere o quadrado ABCD. Seja BC a diagonal e AB um dos lados do quadrado. Suponhamos, inicialmente, como os gregos, que exista uma subunidade u suficientemente pequena de tal modo que BC = m∙u e AB = n∙u,

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sendo 𝑚

𝑛 irredutível. Logo BC =

𝑚

𝑛 ∙ AB . Como o triângulo ABC é retângulo e

isósceles, temos que:2 (BC)2 = (AB) ² + (AC) ² = 2. (AB) ²

Substituindo agora o valor de BC na equação acima, obtemos:

(𝑚 ∙ 𝐴𝐵

𝑛)

2

= 2 ∙ (𝐴𝐵)2 ⇒𝑚2

𝑛2 ∙ (𝐴𝐵)2 = 2 ∙ (𝐴𝐵)2 ⇒

𝑚2

𝑛2= 2 ⇒ 𝑚2 = 2 ∙ 𝑛²

Isto é, m² é par. Se m² é par, então m é par. Logo m = 2k, k um número inteiro.

Mas como 𝑚

𝑛 é irredutível, temos que n é ímpar.

No entanto, ao substituir m = 2k, podemos observar

(2k)² = 2n² ⇒ 4k² = 2n² ⇒ n² = 2k² ⇒ n² é par ⇒ n é par Assim, n deve ser simultaneamente par e ímpar. (SANTOS, 2007, p.14).

A conclusão acima é tida como uma “monstruosidade aritmética” (CARAÇA apud

SANTOS, 2007, p.15). Tal absurdo é obtido ao considerarmos que o lado 𝐴𝐵 = 𝑚 ∙ 𝑢 e

a diagonal 𝐵𝐶 = 𝑚 ∙ 𝑢 são comensuráveis, em outras palavras, estamos considerando

que AB e BC têm uma unidade de medida comum. Logo, AB e BC são incomensuráveis.

O estranhamento no caso do número irracional 2 aconteceu na tentativa de se

calcular a medida da diagonal do quadrado de lado com medida igual a 1, que recaía

sobre o problema do triângulo retângulo isósceles. Sabia-se que a diagonal existia, pois

era possível construí-la com régua e compasso; no entanto, não sabiam como definir e

operar com esses novos números, havia lacunas na reta racional. O historiador

matemático Howard Eves também relatou este fato:

A descoberta da irracionalidade de √2 provocou alguma consternação nos meios pitagóricos. Pois não só ela parecia perturbar a suposição básica da escola, de que tudo dependia dos números inteiros, como também porque a definição pitagórica de proporção, assumindo como comensuráveis duas grandezas quaisquer similares, fazia com que todas as proporções da teoria pitagórica das proporções se limitassem a grandezas comensuráveis, invalidando sua teoria geral das figuras semelhantes. Tão grande foi o “escândalo lógico” que por algum tempo se fizeram esforços para manter a questão em sigilo. Conta a lenda que o pitagórico Hipasso (ou talvez outro) foi lançado ao mar pela ação ímpia de revelar o segredo a estranhos ou (de acordo com outra versão) que ele foi banido da comunidade pitagórica, sendo-lhe ainda erigido um túmulo, como se estivesse morto. (EVES, 1997, p. 106)

Há também grande possibilidade de a ideia de incomensurabilidade ter sido

construída no processo de:

2 (𝐵𝐶)2 ∙ (𝐴𝐵)2 + (𝐴𝐶)2 = 2 ∙ (𝐴𝐵)² esta é a equação que aparece no texto original.

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[...] simples observação de que quando se traçam as cinco diagonais de um pentágono, elas formam um pentágono regular menor e as diagonais do segundo pentágono por sua vez formam um terceiro pentágono regular, que é ainda menor. Esse processo pode ser continuado indefinidamente, resultando em pentágonos tão pequenos quanto se queira e levando à conclusão de que a razão da diagonal para o lado num pentágono regular não é racional. (BOYER, 1996, p.50)

Com esta situação, surge a necessidade de desenvolver uma teoria sobre razões

envolvendo grandezas comensuráveis e incomensuráveis, uma vez que “o segmento já

não podia mais ser considerado indivisível, mas infinitamente divisível.” (BONGIOVANNI,

2005, p. 94). Gonçalves e Possani apud Tannery (2010) descreveram no começo do

século XX esse acontecimento matemático como “um verdadeiro escândalo lógico, uma

pavorosa pedra no caminho.” (p.16).

Por outro lado, há autores que discordam deste drama na história dos

irracionais; alegam que este fato está acompanhado do questionamento e

desenvolvimento de várias outras ideias da Matemática.

[...] a descoberta é tida como tendo provocado uma crise nos fundamentos da matemática daquele tempo; mas comentadores como o próprio Aristóteles não a mencionam, e a ideia pode ser uma interpolação aistórica de alguns gregos posteriores, ou mesmo um mal-entendido. [...] Assim, longe de experimentar uma crise de fundamentos, os gregos antigos podem ter gozado uma época de grandes jornadas matemáticas” (GONÇALVES e POSSANI, 2009, p.7)

Roque também apresenta outra visão referente à história dos irracionais. Para ela,

a matemática abstrata e a teoria dos números, desenvolvida pelos pitagóricos,

relacionada com a geometria, estavam em dois planos distintos. Isto é,

[...] “tudo é número” não significava “todas as grandezas são comensuráveis”. A tese de que “tudo é número” não se traduz na crença de que todas as grandezas podem ser comparadas por meio de números, uma vez que o problema geométrico da comparação de grandezas parecia não fazer parte do pensamento pitagórico. (ROQUE, 2012, p. 125)

De todo modo, é possível observar que não é possível se estabelecer uma

explicação única acerca das origens da ideia de irracionalidade. Entretanto, compreender

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tais possibilidades pode auxiliar-nos na proposição de abordagens para o tratamento dos

Números Irracionais em qualquer nível de ensino.

A proposta de solução para o problema da incomensurabilidade veio com Eudoxo

(408 a 355 a.C.). A solução se desenvolvia a partir do raciocínio geométrico e aritmético,

com base no livro V (definição 6)3 dos Elementos, de Euclides. Segundo Bongivanni

(2005), Eudoxo desenvolveu uma teoria que envolvia os conceitos de grandezas

comensuráveis e incomensuráveis, porém não os relacionou com a reta numérica.

Considerou os segmentos AD, DB, AE e EC tais que 𝐴𝐷

𝐷𝐵=

𝐴𝐸

𝐸𝐶 . Nessa configuração

poderiam acontecer dois casos: os segmentos serem comensuráveis ou

incomensuráveis.

Se AD e DB forem comensuráveis, isto é, se 𝐴𝐷

𝐷𝐵 for racional então existem

inteiros positivos m e n tais que 𝐴𝐷

𝐷𝐵=

𝑚

𝑛 𝑒

𝐴𝐸

𝐸𝐶=

𝑚

𝑛. Assim é válida a igualdade:

𝑠𝑒 𝑚 ∙ 𝐷𝐵 = 𝑛 ∙ 𝐴𝐷 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑚 ∙ 𝐸𝐶 = 𝑛 ∙ 𝐴𝐸

Se AD e DB forem incomensuráveis, isto é, não existe razão irredutível de dois

inteiros que expresse tal unidade de medida. Contudo, tendo como condição a existência

de dois inteiros positivos m e n e uma dessas desigualdades, 𝑚

𝑛<

𝐴𝐷

𝐷𝐵 então

𝑚

𝑛<

𝐴𝐸

𝐸𝐶 ou

se 𝑚

𝑛

𝐴𝐷

𝐷𝐵 então

𝑚

𝑛

𝐴𝐸

𝐸𝐶 , são válidas as relações:

𝑠𝑒 𝑚 ∙ 𝐷𝐵 𝑛 ∙ 𝐴𝐷 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑚 ∙ 𝐸𝐶 𝑛 ∙ 𝐴𝐸

𝑠𝑒 𝑚 ∙ 𝐷𝐵 𝑛 ∙ 𝐴𝐷 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑚 ∙ 𝐸𝐶 𝑛 ∙ 𝐴𝐸

Os gregos não tomaram o ente definido por essas classes, ou seja, o número real

α que é a medida de um segmento em relação a outro segmento. Nesse sentido, Santos

diz que Platão (428 – 348 a.C.) havia percebido

[...] este abismo entre a geometria e a aritmética, e sugerido, por conseguinte, que a solução do problema da medida das “quantidades incomensuráveis” seria

3 Diz-se que quatro grandezas estão na mesma razão, a primeira para a segunda e a terceira para quarta

se, quando equimúltiplos quaisquer são tomados da primeira e da terceira e equimúltiplos quaisquer da segunda e da quarta, os primeiros equimúltiplos são ambos maiores que, ou ambos iguais a, ou ambos menores que, os últimos equimúltiplos considerados em ordem correspondentes. (BONGIOVANNI, 2005, p. 96)

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alcançada através de uma construção axiomática do conceito de número, independente de qualquer base geométrica. (SANTOS, 2007, p.17)

Em 1872, a exposição moderna de Números Irracionais dada pelo alemão J.W.R.

Dedekind (1831 – 1916) coincide com as formulações de Eudoxo. Segundo Bongiovanni

(2005), Dedekind se questionou sobre o que existiria na grandeza geométrica que a

distinguia dos números racionais e foi buscar inspiração nas teorias das proporções de

Eudoxo.

No decorrer de seus estudos, Dedekind observou que:

1) Existe mais pontos na linha reta do que números racionais; 2) Então, o conjunto dos números racionais não é adequado para aplicarmos aritmeticamente a continuidade da reta; 3) Logo, é absolutamente necessário criar novos números para que o domínio numérico seja tão completo quanto a reta, isto é, para que possua a mesma continuidade da reta. (MIGUEL, 2009, p. 233)

Com bases nestas observações, o alemão Dedekind publicou em seu livro

Stetigkeit und di Irrationalzahlen (Continuidade e Números Irracionais) a solução para o

problema dos Números Irracionais, através de operações que chamou de cortes. Mol

(2013) descreve que para Dedekind o conceito de limite deveria ser desenvolvido através

da aritmética apenas, sem usar a geometria como guia. Se perguntava o que havia na

grandeza geométrica contínua que a distinguia dos números racionais. Chegou à

conclusão de que a essência da continuidade de um segmento de reta não se deve a

uma propriedade de ligação mútua, mas a uma propriedade exatamente oposta: a

natureza da divisão do segmento em duas partes por um ponto dado. Se os pontos de

uma reta se dividem em duas classes tais que todos os pontos da primeira estão à

esquerda de todos os pontos da segunda, então existe um, e um só, ponto que realiza

essa divisão em duas classes, isto é, que separa a reta em duas partes.

Luchetta e Miles relatam que

Dedekind viu que o domínio dos números racionais pode ser estendido de modo a formar um continuum de números reais se supusermos que os pontos sobre a reta podem ser postos em correspondência biunívoca com os números reais (axioma de Cantor-Dedekind). Isso significa que para toda divisão dos números racionais em duas classes A e B tais que todo número da primeira classe, A, é menor que todo número da segunda classe, B, existe um e um só número real que produz essa classificação. Se A tem um máximo, ou se B tem mínimo, o corte

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define um número racional; mas se A não tem máximo e B não tem mínimo, então o corte define um número irracional. (LUCHETTA E MILES, 2000)

Estes mesmos autores, ainda acrescentam que Dedekind observou que os

teoremas fundamentais sobre limites podem ser demonstrados sem recorrer à geometria.

De fato, foi a geometria que iniciou o caminho para uma definição de continuidade, mas,

no fim, esta foi excluída da definição aritmética formal do conceito. Deste modo, a noção

de corte de Dedekind, no sistema de números racionais, ou uma construção equivalente

dos números reais, tinha agora substituído a grandeza geométrica como espinha dorsal

da análise.

Figura 1 – Ordem cronológica da problematização sobre a ideia de irracionalidade

O que se pode observar é que desde a primeira problematização sobre a ideia de

irracionalidade na Grécia antiga até definição atual de Dedekind, decorreu um longo

espaço de tempo. O fato da gênese que cerca a ideia de irracionalidade ter se prolongado

durante tanto tempo pode ser indício da dificuldade de compreensão dos Números

Irracionais no contexto escolar, o que nos aponta como importante nossa reflexão acerca

do ensino desses números.

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3. O ENSINO-APRENDIZAGEM DE NÚMEROS IRRACIONAIS

O longo período histórico que transcorreu na constituição da ideia de

irracionalidade é indício de dificuldades que homens e mulheres tiveram na sua

compreensão. Atualmente, no contexto escolar, essa dificuldade parece se repetir no

entendimento dos números irracionais. Pommer (2011, p.2) afirma que, no campo de

ensino da Matemática, os irracionais ainda permanecem como um problema e seu ensino

demanda mais pesquisas e esclarecimentos.

Esse mesmo autor nos diz que “o conhecimento matemático dos Números

Irracionais, adquirido através do movimento histórico e sistematizado pela comunidade

de matemáticos, sofreu uma transposição didática para ser ensinado em sala de aula” (p.

21). Uma das dificuldades destacada por Pommer para a compreensão dos Números

Irracionais é o modo como se realiza a transposição didática desse tema. Geralmente, o

conjunto dos números reais é tratado como a união de dois conjuntos disjuntos: os

números racionais e os Números Irracionais; em seguida, o conjunto dos Números

Irracionais é apresentado como sendo formado pelos números reais não racionais.

Estabelece-se assim, um quadro de circularidade. E, neste sentido, Pommer compreende

ser necessário se repensar o ensino dos Números Irracionais em nível escolar.

O que se pode observar é que a construção do conhecimento acerca dos

Números Irracionais está diretamente relacionada com a compreensão do conceito de

números racionais. Mosca ressalta que os Números Irracionais

[...] possuem estreita ligação com o conjunto dos números racionais, principalmente no que tange à sua definição, no sentido de que se o aluno não compreender bem o significado dos assuntos envolvendo o conjunto dos números racionais, torna-se mais difícil se apoderar da compreensão dos significados do conjunto dos números irracionais. (MOSCA, 2013, p.15)

Algumas abordagens sobre conteúdos matemáticos podem contribuir para que se

produzam compreensões equivocadas dos Números Irracionais. Um exemplo dessa

situação está no estudo da fórmula apresentada para o cálculo do comprimento C da

circunferência (C = 2 ∙ ∙ 𝑟, onde r é o raio da circunferência). A partir da sua manipulação,

o aluno pode chegar ao seguinte resultado:

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=𝐶

2 ∙ 𝑟

Com base neste resultado e dependendo do modo como as definições foram

assimiladas pelo aluno, este pode concluir que escreveu um número irracional, no caso

, como a razão de dois números inteiros.

Outro problema recorrente no tratamento dos Números Irracionais é apontado por

Bortolossi e Mózer. Esses autores consideram que um “erro frequente detectado entre

os alunos é o de eles considerarem, por exemplo, que é igual a 3,14 e que 3 é igual a

1,73” (BORTOLOSSI e MÓZER, 2016, p. 3). Geralmente, considerações como essas,

muitas vezes sugeridas pelo livro didático ou pelo professor, afastam a ideia da definição

de número irracional do aluno. Este não compreende que 1,73 é uma aproximação com

duas casas decimais de 3 e que, operando com essa aproximação, por exemplo, o

resultado que será obtido ao final da operação também será uma aproximação.

Considerando uma análise histórico-social do que ocorreu no Brasil, no período de

1970 e 1980, com a desvalorização do ensino público e a falta de investimento na

qualificação do professor, o livro didático começou a ser visto com maior importância, no

apoio para o desenvolvimento da prática do professor brasileiro. Assim, no decorrer dos

anos, Martins e Santos (2001, p.21) afirmam que “o livro didático vem se constituindo em

uma ferramenta de caráter pedagógico capaz de provocar e nortear possíveis mudanças

e aperfeiçoamento na prática pedagógica”.

De fato, o livro didático exerce grande influência na educação escolar. Silva e

Turíbio, em trabalho referente à importância do livro didático de Matemática na prática

pedagógica do professor, afirmam que o livro didático é um instrumento que possui a

capacidade de organizar conteúdos e definir conceitos, auxilia para a elaboração de

estratégias de ensino e também direciona uma sequência didática a ser planejada pelo

professor. Ainda destacam que o docente “tem toda a liberdade de, dentro do assunto

dar outros enfoques, bem como acrescentar, modificar, complementar e também inserir

novos problemas de acordo com as necessidades surgidas e com o desenrolar do

conteúdo.” (2014, p.5)

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Soma-se a isso o fato dos livros didáticos também serem material utilizado pelos

alunos para estudo.

[...] mesmo com todos os avanços da tecnologia e toda a diversidade de fontes de informações disponíveis, ainda é o principal material didático utilizado em sala de aula, pois é uma ferramenta a que todos os alunos juntamente têm acesso e, portanto, a mais usual. (TURÍBIO E SILVA, 2014, p. 5)

É valido ressaltar que os livros didáticos que chegam até as escolas públicas

atualmente são selecionados pelo Programa Nacional do Livro Didático (PNLD). Os livros

que estão sendo utilizados em 2017 e serão utilizados em 2018, foram selecionados pelo

programa com base nas seguintes especificidades:

Fornecer informação científica e geral: diante da impossibilidade de se conhecer tudo e de manter-se atualizado em todas as frentes de estudo, uma função importante do livro didático está em assegurar a qualidade, a correção e a atualização das informações científicas e gerais que apresenta. Quanto mais aprofundadas e voltadas aos objetivos do ensino, mais essas informações contribuem com a tarefa docente de ensinar conhecimentos válidos e pertinentes.

Oferecer formação pedagógica diretamente relacionada ao componente curricular em questão: tendo em vista que as transformações de natureza epistemológica e teórica realizadas numa determinada área do conhecimento implicam, também, mudanças metodológicas em relação aos procedimentos e às estratégias de ensino, um livro didático que incorpore adequadamente tais avanços poderá contribuir de forma mais expressiva para a formação continuada dos professores.

Auxiliar no desenvolvimento das aulas sem retrair a autonomia docente: um bom livro didático não se furta de oferecer ao (à) professor (a) um planejamento detalhado e coerente para as aulas, assumindo o seu papel de atuar como um manual. Todavia, não pode desempenhar tal função prescindindo do professor e secundarizando a sua atuação. Professores (as) devem desempenhar um papel ativo, crítico e criativo em relação às propostas subjacentes ao livro didático, sempre pensando nos usos diferenciados que ele pode ensejar, como alterações de sequências, incorporação de atividades complementares, exploração de aspectos diversos da realidade local, dentre outros.

Subsidiar a avaliação dos conhecimentos, habilidades e atitudes a serem construídos no processo de ensino-aprendizagem: práticas de avaliação sempre se mostram desafiadoras aos docentes, razão pela qual espera-se que o livro didático contribua com a apresentação de critérios, estratégias e instrumentos de avaliação condizentes com as situações de ensino que propõe.

Contribuir para a operação de práticas interdisciplinares na escola: assim como a avaliação, a perspectiva interdisciplinar tem se revelado um desafio constante. Importante apoio do livro didático ao trabalho docente pode se dar pela indicação de sugestões para o planejamento, desenvolvimento e avaliação de projetos interdisciplinares.

Disponibilizar um bom Manual do Professor: muitas das funções anteriormente apresentadas se efetivam no Manual do Professor, que constitui um recurso essencial para o bom uso do livro didático, na medida em que explicita

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os fundamentos da proposta didático-pedagógica e orienta o docente em relação ao seu manejo, contribuindo substancialmente para a formação pedagógica. (BRASIL, 2017, p.12)

A partir das especificidades do programa e da importância do livro didático na

prática pedagógica do professor, entendemos que uma análise sobre os materiais

indicados pode favorecer o estudo sobre o ensino dos Números Irracionais. Tendo em

vista essa relação do livro didático com a prática docente do professor de Matemática,

este trabalho tem como finalidade a análise de alguns desses materiais buscando

compreender como seus autores introduzem, conceituam e abordam Números

Irracionais. Entendemos que tal análise possa contribuir para a avaliação de professores

quanto à escolha do material que usarão como referência para o planejamento de suas

práticas pedagógicas, bem como apontar questões pertinentes ao ensino dos Números

Irracionais e dos reais. A seguir, apresentamos as coleções escolhidas para análise.

3.1 APRESENTAÇÃO DAS COLEÇÕES

Com base na importância do livro didático como material de apoio para o professor

e no interesse em saber como o ensino de Números Irracionais está sendo realizado,

foram selecionadas as coleções Matemática Bianchini e #Contato Matemática,

destinadas para o Ensino Fundamental II e Médio, respectivamente.

A obra Matemática Bianchini, de Edwaldo Bianchini, “caracteriza-se por discutir os

conceitos com base em um ou em poucos exemplos, seguidos de alguma sistematização

e de atividades de aplicação” (MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO, 2017). Os volumes da

coleção são organizados em capítulos; cada um deles aborda algum campo da

matemática escolar. Segundo o guia da obra, ao final do Manual do professor, encontra-

se “Suplemento com orientações para o professor”, seção destinada ao professor com

algumas sugestões e detalhamento de alguns itens do livro. Cada exemplar apresenta

as seguintes seções:

19

Abertura: seção onde é introduzido o tema do capítulo por meio de recursos

como textos com situações do dia a dia, imagens do cotidiano, História da

Matemática, etc;

Exercícios propostos e complementares: esta seção apresenta uma

variedade de exercícios (de aplicação, de exploração, de sistematização,

de aprofundamento), organizadas segundo o grau de dificuldade, além de

exercícios que propõe o uso da calculadora;

Para saber mais: seção destinada a textos sobre a Geometria e a História

da Matemática;

Trabalhando a informação: apresenta atividades interdisciplinares;

Atividades especiais: seção que apresenta atividades desafiadoras e de

temas variados.

Lista de siglas;

Sugestão de leitura para os alunos;

Bibliografia da coleção.

A distribuição dos conteúdos entre os quatro anos encontra-se nos anexos deste

trabalho (anexo 1).

Segundo o site do PNLD 2018, a obra #Contato Matemática, de Joamir Souza e

Jacqueline Garcia,

[...] utiliza uma linguagem clara e objetiva para abordar os conteúdos da disciplina, com o apoio de atividades que colocam em prática os conteúdos estudados e aprofundam o conhecimento, de uma forma dinâmica e descomplicada, proporcionando uma experiência completa e agradável à prática de ensinar e aprender”. (FTD EDUCAÇÃO, 2017)

A obra tem como principais características a relação dos conteúdos matemáticos

com outras áreas de conhecimento; atividades para fixação e aprofundamento dos

conteúdos; aplicação do conteúdo através de softwares gratuitos e, por fim, sugere livros

e sites para a ampliação de conhecimentos. Apresenta também o manual para o

professor com o intuito de auxiliar o trabalho do mesmo. Neste, destaca pontos que são

considerados importantes através de comentários e sugere recursos didáticos e leituras

complementares para um melhor uso da obra.

20

Segundo o guia da obra, cada livro didático apresenta:

Abertura: seção inicial de cada capítulo que apresentam textos de diversos temas

relacionados com o que será estudado;

Atividades resolvidas: seção que apresenta exemplos de resolução de algumas

atividades;

Atividades: seção destinada as atividades que aplicam os conceitos estudados,

estas apresentam questões relacionadas com outras disciplinas e aplicadas no Enem;

Calculadora: seção que apresenta atividades em que se explora o uso da

calculadora;

Desafio: seção de atividades que possuem caráter desafiador;

Contexto: seção que relaciona o conteúdo estudado com situações do cotidiano,

através de textos e atividades;

Ser consciente: seção destinada a aplicar os conceitos matemáticos estudados a

assuntos como ética, educação financeira, cidadania, saúde, entre outros;

Acessando tecnologias: seção de atividades que utilizam recurso tecnológico

como planilha eletrônica e o Geogebra;

Ampliando seus conhecimentos: seção que apresenta sugestões de livros e sites

para a ampliação do que foi estudado;

Bibliografia consultada pelos autores.

A distribuição dos conteúdos pelos volumes da coleção está disponível nos anexos

(anexo 2).

3.2 ANÁLISE DA ABORDAGEM DO CONTEÚDO DE NÚMEROS IRRACIONAIS

NOS LIVROS DIDÁTICOS SELECIONADOS

3.2.1 ENSINO FUNDAMENTAL

O ensino dos Números Irracionais no ensino fundamental é orientado pelo

Conteúdo Básico Comum (CBC) de Matemática a partir do 8º ano. Esse documento

orienta a organização curricular no estado de Minas Gerais. Apresenta uma proposta

21

curricular, dispondo a descrição dos conteúdos e as habilidades que os alunos devem

aprender em cada disciplina. Sua estrutura é formada pelos eixos temáticos (Números e

Operações, Álgebra, Espaço e Forma e Tratamentos de Dados) que possuem temas

específicos da disciplina. Cada tema é dividido em tópicos que apresentam habilidades,

as quais se espera desenvolver ao fim do estudo.

O conteúdo de Números Irracionais é classificado como conteúdo complementar

pelo documento. As habilidades são descritas no Tema 1: Conjuntos Numéricos, do Eixo

Temático I – Números e Operações, no tópico de Conjunto dos números reais (p.22):

Conjunto

dos

números

reais

Reconhecer a necessidade da ampliação do conjunto dos números

racionais através de situações contextualizadas e da resolução de

problemas.

Identificar números racionais com as dízimas periódicas.

Identificar as dízimas não periódicas com os números irracionais.

Usar geometria para construir alguns segmentos de comprimento

irracional.

Devido à orientação de distribuição do conteúdo, durante a análise dos livros

didáticos não foram encontradas referências aos Números Irracionais no livro do 6º ano.

No livro do 7º ano também não foi encontrada nenhuma referência aos irracionais.

No entanto, no fim do livro, no Manual do Professor, no “Suplemento com orientações

para o professor”, sugere-se a atividade abaixo (Figura 2) para se trabalhar com números

racionais:

22

Figura 2 – Atividade dízimas periódicas e calculadora

Esta atividade permite que os alunos compreendam a definição de período e

trabalhem com a ideia de aproximação. Pommer apud Hariki (2012), em seu estudo,

acredita que as respostas que obteve realizando um estudo sobre medida revelam “a

possibilidade de se trabalhar a ideia de medida à exatidão ou a aproximação, que

23

enriquece o repertório de conhecimento ao situar e demarcar o conjunto dos números

racionais e dos números irracionais.” (2012, p. 116). Nesse contexto, iniciamos aqui um

relato sobre uma discussão que aconteceu na aula de Supervisão de Estágio III na qual

discutíamos o conceito de dízimas periódicas. Tal fato aconteceu com a autora deste

trabalho, um colega da turma e a professora de Supervisão de Estágio III. Durante a

discussão sobre o ensino de dízimas periódicas, nos dispusemos escrever o número 100

61

na forma decimal, através do algoritmo da divisão. No entanto, após sucessivas divisões

(mais de 40 divisões) ainda não havíamos encontrado o período. Essa situação causou

um certo estranhamento, uma vez que tal fato ia contra as definições e conceitos de

números racionais. Solicitamos a ajuda da professora, e após um longo período,

encontramos o período de 100

61 com mais de 60 casas decimais. Com base na literatura e

nesse relato, consideramos que pedir para o aluno encontrar o período das dízimas

periódicas possa ser significativo para a compreensão dos alunos quanto aos conceitos

de infinito e dízima não-periódica de um número irracional.

No 8º ano será o momento em que os alunos terão o primeiro contato com os

Números Irracionais.

Mas tratar este assunto no nível fundamental é, certamente, muito difícil. Os números irracionais não existem no mundo concreto, são abstrações matemáticas, só existem no mundo das ideias, para aceita-los é preciso imaginar processos infinitos e proximidades que tendem a zero. Ou seja, é necessária a noção de limites e continuidade. (GARCIA, FRONZA E SOARES, 2005, p.6)

Bianchini começa a desenvolver esta ideia de abstração no livro didático através

da raiz quadrada aproximada com números inteiros (Figura 3) e, posteriormente, com

números racionais. Neste contexto, assim como Pommer, acredito que “é importante

discutir a questão de aproximação no ensino básico, podendo constituir poderoso meio

de abordar os números irracionais, além de permitir esclarecer as conexões com os

números racionais” (POMMER, 2012, p.39).

24

Figura 3 – Aproximação

Após desenvolver esta noção de proximidade, o livro aborda a noção de infinito e

continuidade através de um “número não racional” (Figura 4). Garcia, Fronza e Soares

acreditam que apresentar os irracionais a partir da negação dos números racionais pode

deixar dúvidas sobre sua existência (2005, p.7).

Figura 4 –Utilização do termo “número não racional”

No entanto, logo em seguida, o autor do livro didático utiliza o termo “número irracional”

(Figura 5):

25

Figura 5 – Utilização do termo “número irracional”

Junto às ideias de Pommer, percebemos que o livro aborda os temas considerados

essenciais para dar significado aos Números Irracionais: aproximação e infinito. No

entanto, este mesmo autor acredita que é preciso ter cautela. Uma vez que, “ao aproximar

um número irracional, há uma implicação. Este tratamento de aproximação mascara um

significado básico dos números irracionais: infinitas casas decimas e não periódicas”

(2012, p.67)

Para definir o conjunto dos números reais, Bianchini utiliza a reta real (Figura 6).

Em seu trabalho, no qual discute o ensino dos Números Irracionais e reais, Bortoletti

destaca que este

[...] conceito está diretamente ligado ao ensino de números reais, entretanto não é feita uma discussão com os alunos sobre o que realmente representa a reta real e o “por que” de seu uso. Talvez, fosse interessante discutir a causa de não se utilizar uma reta formada apenas por números racionais. (BORTOLETTI, 2008, p.32)

26

Neste contexto, percebemos que o livro realiza a proposta interessante sugerida por

Bortoletti. Proporcionando ao aluno reflexões sobre a necessidade se definir o conjunto

dos números reais desta forma.

Figura 6 – Reta real

Ao fim do livro, no Manual do Professor, no “Suplemento com orientações para o

professor”, encontra-se uma sugestão de leitura para o professor sobre os Fibonaccis

Áureos.

No livro do 9º ano, foi possível identificar um caráter operacional no tratamento dos

Números Irracionais, devido a abordagem de radiciação. Ali trabalha-se com os alunos

adição, subtração, multiplicação e divisão com radicais. Sobre esta abordagem, nota-se

determinada preocupação com os cálculos deixando de lado o significado de Números

Irracionais. Pommer considera que “[...] tais expressões representam um processo

infinito, que pode ser aproximado por um processo finito, expressando assim resultados

da operação de aproximação, na concepção de que esta pode ser melhorada o quanto

se deseje ou se necessite.” (2012, p.164). Acho válido enfatizar essa ideia para os alunos.

27

O autor Bianchini define racionalização de denominadores conforme abaixo:

Figura 7 – Racionalização de denominadores

Em uma de suas análises sobre a racionalização de denominadores, Pommer deixa o

seguinte questionamento: “[..] além de aprimorar a técnica, por que atualmente é

importante aprender a racionalizar as raízes enésimas de irracionais?” (2012, p.58).

Assim como o autor eu me questiono, por que nós professores ensinamos os alunos a

racionalizar? Qual o objetivo desta operação? Com esta situação, observa-se o que

Bortoletti diz

[...] após a introdução dos números irracionais, é comum que se deixe de lado a representação decimal e se passe a trabalhar apenas com raízes, reduzindo os números irracionais a um amontoado de regras de operar com radicais. Desta maneira, os conjuntos acabam se tornando um amontoado de números. (BORTOLETTI, 2008, p.31)

Neste ano também é abordada a representação geométrica dos Números

Irracionais expressos por radicais. Pommer diz que os livros didáticos, tendo como base

os PCN, “[...] se restringem ao cálculo aproximado e a representação geométrica, não

destacando a problemática do significado relativo ao conceito de aproximação, nem

28

colocam em evidência a questão conceitual da incomensurabilidade” (2012, p.117).

Pode-se verificar a crítica realizada pelo autor na seguinte abordagem:

Figura 8 – Representação geométrica

No 9º ano é trabalhado com os alunos o Teorema de Pitágoras. Assim como as

autoras Garcia, Fronza e Soares vemos que “não se faz relação entre as questões

geométricas que originaram a criação dos irracionais com este conteúdo. Inverte-se a

ordem, colocando-se a Geometria depois dos Irracionais.” (2005, p. 16). Com isso, surge

o questionamento: será que introduzir o conjunto dos Números Irracionais

concomitantemente com o Teorema de Pitágoras não poderia fazer mais sentido para os

alunos?

Por fim, no Manual do Professor, no “Suplemento com orientações para o

professor”, encontra-se uma sugestão de leitura para o professor que conta a história do

número . Observamos, desse modo, a História da Matemática sendo utilizada como

para ampliação de conhecimentos do docente. Segundo os PCN, a História da

Matemática

29

[...] ao revelar a Matemática como uma criação humana, ao mostrar necessidades e preocupações de diferentes culturas, em diferentes momentos históricos, ao estabelecer comparações entre os conceitos e processos matemáticos do passado e do presente, o professor cria condições para que o aluno desenvolva atitudes e valores mais favoráveis diante desse conhecimento. (BRASIL, p.42, 1998)

Assim, encerramos a análise da coleção de livros didáticos do ensino fundamental.

Por meio dela, podemos observar que a abordagem inicial do ensino dos irracionais

enfatiza a ideia de irracionalidade, através da discussão de sobre os temas: infinito e

aproximação. No entanto, a partir da abordagem operacional com os irracionais essas

ideias acabam sendo omitidas e o conceito de irracionalidade é posto de lado.

Com base nas observações feitas, continuemos a análise com a coleção de livros

didáticos do ensino médio.

3.2.2 ENSINO MÉDIO

A partir das orientações presentes no Conteúdo Básico Comum (CBC) do Ensino

Médio, é possível verificar que os conceitos sobre Números Irracionais são trabalhados

com os alunos no 1º ano do Ensino Médio de forma mais específica. No tema 1 (Números)

do Eixo Temático I – Números, Contagem e Análise de dados são apresentadas as

habilidades que são esperadas que os alunos adquiram por meio do estudo deste

conteúdo (p.44):

TÓPICOS HABILIDADES

1. Números racionais e dízimas periódicas

1.1. Associar a uma fração sua

representação decimal e vice-versa.

1.2. Reconhecer uma dízima periódica

como uma representação de um número

racional.

2. Conjunto dos números reais

2.1. Reconhecer uma dízima não

periódica como uma representação de um

número irracional.

30

2.2. Utilizar números racionais para obter

aproximações de números irracionais.

3. Potências de dez e ordem de grandeza

3.1. Resolver problemas que envolvam

operações elementares com potências

de dez.

Por este motivo, a análise de livros realizada a seguir, se desenvolve minunciosamente

no livro do 1º ano do Ensino Médio.

Analisamos a coleção #Contato Matemática, no volume 1, que aborda os

conteúdos referentes ao 1º ano do ensino Médio. Encontra-se no capítulo 1 – Os

conjuntos, uma página com informações sobre o conjunto dos Números Irracionais. No

texto é realizada uma breve apresentação histórica sobre os Números Irracionais e

depois são apresentados exemplos numéricos e geométricos sobre este tipo de número.

Os autores definem o conjunto dos Números Irracionais a partir do exemplo

geométrico que obtém 2 como lado de um quadrado de área 2. Após a definição, é dada

uma aproximação de 29 casas decimais do número 2 dado pela calculadora.

Figura 9 – Abordagem via negação dos racionais e representação decimal

Com esta estruturação e a partir das considerações realizadas, pode-se identificar

e descrever a abordagem da definição dada pelos autores, do mesmo modo que Bortoletti

31

A Abordagem via Negação dos Racionais, define irracional como um número que não é racional, ou seja, não pode ser expresso como uma razão entre dois inteiros. O objetivo maior é definir um conjunto que contém os números conhecidos – racionais – e mais alguma coisa – os irracionais. Esta definição é dada por mera formalidade, sem grande ênfase. A Abordagem via Representação Decimal, define irracional como um número cuja representação decimal é infinita e não periódica. Neste caso, os primeiros exemplos são raízes de números primos e o objetivo é relacionar os irracionais com radicais, para passar às operações com estes números. (BORTOLETTI, 2008, p.28)

Consideramos que a representação dos Números Irracionais na reta numérica

(Figura 10) e o item 58 dispostos pelos autores sejam interessantes. Nota-se que a

abordagem dada pelos autores não é muito explorada no ensino de Matemática;

geralmente, as abordagens de representações de números na reta real se limitam apenas

aos conjuntos dos inteiros e dos racionais.

Figura 10 – Representação de números na reta real

Contudo, acreditamos que seria necessário deixar explícito para o aluno ou então orientar

o professor a informar que esta representação na reta numérica é uma aproximação,

devido à definição de Números Irracionais.

Outra questão que merece ser refletida é o modo como é apresentado o para

os alunos (Figura 11).

32

Figura 11 – Cálculo do comprimento da circunferência

Para enriquecermos a reflexão sobre este número tão falado na Matemática,

temos a pesquisa realizada por Bortoletto sobre as abordagens do ensino do número ,

informando que

[...] a maioria dos professores que introduzem na 5ª série não o definem como “número irracional” e sim como “número resultante de uma razão” e quanto aos

professores que ensinam a partir da 7ª série, a maioria o define como “número irracional. (BORTOLETTO, 2008, p.59)

Note que uma abordagem semelhante é adotada no ensino médio. Esta pode

confundir o aluno, levando-o a pensar que um número irracional pode ser escrito com a

razão de dois números inteiros. Consideramos válido que seja realizado uma explicação

sobre as operações com Números Irracionais, de modo que se possa esclarecer ao aluno

que, se a razão de dois números resulta em um número irracional é porque um dos

números é irracional.

Analisando a seção de atividades, observam-se exercícios com caráter

diversificado para o ensino-aprendizagem de Números Irracionais. A seguir será

realizada uma breve discussão sobre os mesmos.

No item 53 (Figura 12), é solicitado ao aluno determinar a diagonal de alguns

retângulos e classificar o valor obtido em racional ou irracional.

33

Figura 12 – Medidas aproximadas

É válido considerar que a atividade “[...] privilegia operações e propriedades com

radicais, não dando atenção para outros aspectos dos números irracionais” (RIBEIRO,

2004, p.44). Pensamos que seja interessante ressaltar aos alunos que as medidas

irracionais apresentadas na ilustração são aproximações.

Na página seguinte, Figura 13, o item 55 sugere que o aluno utilize a calculadora

para comparar o resultado aproximado da mesma com o valor encontrado calculado à

mão, pelo método de Herão.

Figura 13 – Uso da calculadora

Segundo Schiffl (2006, p.19), “o ensino não deve ser centrado na máquina”, mas sim na

busca de um trabalho para o desenvolvimento do raciocínio matemático. Neste sentido,

34

acredito que a calculadora seja um recurso importante para a compreensão dos Números

Irracionais, principalmente quanto a ideia de aproximação. É preciso discutir com os

alunos que quando operamos com Números Irracionais na calculadora e encontramos

um número decimal, tal número é uma aproximação do resultado. Uma vez que estamos

trabalhando com números que possuem infinitas casas.

No item 56 (Figura 14), pede-se que os alunos obtenham segmentos irracionais

geometricamente. Nota-se que as considerações realizadas anteriormente sobre as

medidas irracionais são pertinentes, uma vez que os autores as apresentam neste

exercício como orientação para a explicação do professor.

Figura 14 – Construção de segmentos irracionais

No volume 2 da coleção, voltada para o 2º ano do ensino médio, não há nenhuma

especificação para o ensino dos Números Irracionais. No entanto, estes aparecem ao

longo do livro.

No capítulo 1 do livro, destinado a Trigonometria, os autores informam que o arco

pode ser medido em graus ou radianos e acrescentam: “Lembre-se que o comprimento

C de uma circunferência de raio r é dado por C = 2r. Portanto, um arco de uma volta

corresponde a 2 rad.” (p.11). Acreditamos que seja válido aparecer no livro didático um

lembrete para os alunos referente à conversão de radianos em graus, destacando que

quando substituímos 2 rad por 2∙180, isso não indica que 3,14159265359... = 180; e

sim que o arco de comprimento igual a 2 rad corresponde a uma volta completa na

circunferência, equivalente a 360°.

35

Já no conteúdo de Matrizes e determinantes, presente no capítulo 2, são

apresentadas as seguintes atividades:

Figura 15 - Matrizes

Raramente vemos exercícios que utilizam Números Irracionais como elementos de

matrizes. Exercícios deste tipo exemplificam para os alunos que uma representação

matricial pode ser realizada sobre qualquer conjunto.

Nos estudos geométricos realizados a partir do capítulo 6, são utilizadas medidas

de segmentos e áreas de tamanho irracional. Pommer acredita que “no ensino atual, a

transposição didática do campo dos números irracionais foi realizada de modo a diluir a

gênese do conhecimento matemático frente ao par exato&aproximado” (2012, p.119)

Neste contexto, suponho que seja interessante destacar para os alunos que a medidas

dadas e encontradas não são exatas, e sim, aproximações. Este fato referente aos

assuntos geométricos também se repete no volume 3, quando se trabalha com definições

de geometria analítica (capítulo 2).

Assim, como ressaltei no conteúdo de Matrizes e determinantes, os Números

Irracionais também foram utilizados em Polinômios (capítulo 6) como coeficientes.

No volume 3, no capítulo 5 destinado aos números complexos, é sugerido que o

professor lembre os alunos que o conjunto dos Números Irracionais é I = IR – Q, porém,

no desenho dos conjuntos oculta-se o conjunto dos Números Irracionais. Considero que

o desenho seja importante para a compreensão do aluno sobre os conceitos de inclusão

dos conjuntos. Por isso se faz necessária a indicação dos irracionais no mesmo.

36

Figura 16 – Conjuntos numéricos

No geral, percebemos que o livro didático apresenta grande parte do que é

sugerido para o ensino de Matemática nos PCN. No entanto, algumas questões que

consideramos significativas para o ensino dos Números Irracionais não foram destacadas

pelo autor.

4. CONSIDERAÇÕES FINAIS Ao longo da história, verifica-se a existência de diversos relatos sobre o

desenvolvimento da ideia de irracionalidade, desde o “choque” dos pitagóricos com

números que não podiam ser mensurados até a noção de cortes de Dedekind. Com base

nestas histórias, é possível perceber a dificuldade da humanidade para compreender a

existência dos Números Irracionais.

De certo modo, paralelo à história desses números, no ensino dos Números

Irracionais também é possível identificar uma dificuldade no entendimento e

compreensão dos alunos. Alguns autores acreditam que esta dificuldade está relacionada

37

com o modo com que se realiza a transposição didática do tema. Esta dificuldade na

transposição já pode ser identificada na definição dos conjuntos numéricos. Por isso, a

necessidade de se repensar o ensino dos Números Irracionais no âmbito escolar.

Com base no estudo bibliográfico é possível apontar que o desenvolvimento das

ideias de aproximação e de infinito são fundamentais para que o aluno compreenda os

conceitos e as operações que abordam a irracionalidade. Caso estas ideias não sejam

discutidas, a compreensão do conceito de irracionalidade pode ficar comprometida.

Observa-se que tais ideias são enfatizadas durante a abordagem inicial do

conteúdo, quando se apresentam os Números Irracionais para os alunos no 8º ano. No

entanto, posteriormente, quando são realizadas operações com os Números Irracionais

verifica-se que as ideias de infinito e aproximação não são tão trabalhadas. Neste

contexto, sugere-se que o professor recorde aos alunos tais conceitos para que a

operacionalização com Números Irracionais não se torne algo mecânico.

Dos pontos e aspectos observados na análise, é válido destacar que a sugestão

da utilização da História da Matemática feita pelos PCN está sendo utilizada pelos livros.

Em diversos momentos, os autores dos livros didáticos utilizaram a História da

Matemática para enriquecer a abordagem do conteúdo para os alunos. Também foi

utilizada como sugestão de leituras para ampliação de informações para o professor.

Acredito que este tipo de abordagem favoreça a construção de significados abstratos tão

presentes no conteúdo matemático.

Também foi possível verificarmos que as tecnologias de informação são

ferramentas de auxílio para o ensino de Matemática. Verificamos que em diversas

atividades, os autores sugeriram a calculadora para se desenvolver a ideia de infinito e

aproximação no ensino de Números Irracionais.

Nota-se que as ideias intuitivas e abstratas que são requeridas durante a

aprendizagem do conteúdo podem ser empecilhos para a compreensão dos alunos. No

entanto, percebe-se que os livros didáticos omitem determinadas ideias, podendo

dificultar ainda mais a compreensão dos Números Irracionais.

Nesta perspectiva, incentivamos e destacamos a importância da criticidade do

professor de Matemática ao utilizar o livro que adotar, de modo que possa complementar

38

e alterar a abordagem do livro didático com o objetivo de favorecer a aprendizagem do

aluno no que se refere aos Números Irracionais.

39

5. REFERÊNCIAS

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história de como e quando surgiram e uma aplicação dos números negativos para

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6. ANEXOS

Anexo 1 – Distribuição dos conteúdos na coleção Matemática Bianchini

6º ANO

CAPÍTULO 1 – Sistemas de numeração: egípcio, babilônico, romano, indo-arábico; números naturais: registros, sucessor, antecessor, comparação – tabelas

CAPÍTULO 2 - Números naturais: adição, subtração – gráficos de colunas – expressões numéricas; multiplicação; divisão; potenciação; radiciação; expressões numéricas com potenciação e radiciação – gráficos de barras

CAPÍTULO 3 - Figuras geométricas planas e não planas; poliedros; ponto, reta e plano – tabelas e gráficos de barras

CAPÍTULO 4 - Múltiplos; divisores; sequências numéricas; critérios de divisibilidade; números primos; máximo divisor comum; mínimo múltiplo comum

CAPÍTULO 5 - Posições relativas de duas retas em um plano; semirreta; segmentos de reta; ângulos: classificação, retas perpendiculares

CAPÍTULO 6 - Números racionais: definição, fração; porcentagem; frações: ideias – gráficos de colunas e tabelas – frações: equivalência, simplificação – gráficos de setores – comparação de frações

CAPÍTULO 7 - Frações: adição e subtração com mesmo denominador; porcentagens; frações: adição e subtração com denominadores diferentes, multiplicação – gráficos de barras – frações: divisão, potenciação, raiz quadrada, expressões numéricas – probabilidade

CAPÍTULO 8 - Números decimais: forma fracionária, comparação, reta numérica, adição, subtração – gráfico de colunas – números decimais: multiplicação e divisão por potências de 10, multiplicação e divisão – médias – números decimais: potenciação, expressões numéricas, representação, dízima periódica; porcentagem

CAPÍTULO 9 - Polígonos: elementos, classificação; triângulos: elementos, classificação, propriedades; quadriláteros; poliedros: classificação, planificação; prismas; pirâmides

CAPÍTULO 10 - Comprimento; perímetro; área – gráficos de setores– medidas agrárias; área de triângulo

CAPÍTULO 11 - Medidas de tempo; volume: metro cúbico, paralelepípedo, cubo; capacidade; massa – estimativas; gráficos de colunas

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7º ANO

CAPÍTULO 1 – Números inteiros: reta numérica, módulo, comparação, adição – tabelas – números inteiros: propriedades, adição, multiplicação, divisão, expressões numéricas, potenciação, raiz quadrada

CAPÍTULO 2 - Números racionais: definição, dízima periódica, reta numérica, módulo, comparação, adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação, raiz quadrada, expressões numéricas – tabelas, gráficos de colunas

CAPÍTULO 3 - Ângulos: medida, classificação, congruentes, operações, bissetriz – gráfico de setores

CAPÍTULO 4 - Equações; expressões algébricas; valor numérico; equações do 1°grau com uma incógnita: resoluções – médias e estimativas

CAPÍTULO 5 - Inequações – gráficos de colunas, tabelas

CAPÍTULO 6 - Equações com duas incógnitas: par ordenado, representação geométrica – possibilidades e probabilidades – sistemas de equações do 1°grau com duas incógnitas – tabelas, gráficos de colunas e linhas

CAPÍTULO 7 - Simetria axial; ângulos: complementares, suplementares, opostos pelo vértice

CAPÍTULO 8 - Razão – tabelas, gráfico de barras – proporção: propriedade fundamental

CAPÍTULO 9 - Grandezas diretamente e inversamente proporcionais; regra de três simples – gráficos de barras e colunas – regra de três composta – porcentagem – gráficos de setores

CAPÍTULO 10 - Área – estimativas – figuras equivalentes; áreas: paralelogramo, triângulo, losango, trapézio – pictogramas; gráficos de colunas

8º ANO

CAPÍTULO 1 – Posições relativas entre retas; ângulos: bissetriz, adjacentes, complementares, suplementares, opostos pelo vértice – gráficos de setores – ângulos formados por duas retas e uma transversal

CAPÍTULO 2 - Números reais: naturais, inteiros, racionais, representação, raiz quadrada, irracionais, reta numérica – gráficos de linhas

CAPÍTULO 3 - Incógnita, variável, expressões algébricas, valor numérico; monômios: adição, multiplicação, divisão, potenciação; polinômios: definição, operações – gráficos: colunas e linhas duplas

CAPÍTULO 4 - Polígonos: elementos, diagonais, soma dos ângulos internos e externos, polígonos regulares, congruência; transformações geométricas: reflexão, translação, rotação

CAPÍTULO 5 - Produtos notáveis; fatoração

CAPÍTULO 6 - Triângulos: classificação, condição de existência, mediana, bissetriz, congruência, propriedades

CAPÍTULO 7 - Quadriláteros: paralelogramos, propriedades, retângulos, losangos, quadrados, trapézios

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CAPÍTULO 8 - Frações algébricas: simplificação, equações – gráficos de barras – equações literais; plano cartesiano – gráficos de colunas – sistemas de equações do 1°grau com duas incógnitas

CAPÍTULO 9 - Circunferência: comprimento, posições relativas, segmentos tangentes, triângulo e quadrilátero circunscrito, arco de circunferência, ângulo central, ângulo inscrito

9º ANO

CAPÍTULO 1 – Potências; notação científica; cálculo com raízes; radicais: propriedades, adição algébrica, multiplicação, divisão, potenciação; radiciação; racionalização

CAPÍTULO 2 - Teorema de Tales; figuras semelhantes

CAPÍTULO 3 - Gráficos: colunas, barras, setores, linhas, pictogramas; cartogramas; infográficos; frequência relativa; medidas de tendência central; probabilidade; tabelas e gráficos

CAPÍTULO 4 - Equações do 2°grau: raízes, resoluções, relações de Girard – mapas

CAPÍTULO 5 - Projeções ortogonais; triângulo retângulo: teorema de Pitágoras; relações métricas – gráficos

CAPÍTULO 6 - Razões trigonométricas; tabela

CAPÍTULO 7 - Função polinomial do 1º grau: definição, gráfico – juros – função polinomial do 2°grau: gráfico, vértices da parábola, valor máximo e mínimo, estudo do sinal

CAPÍTULO 8 - Circunferência: definição, comprimento, arco, propriedades entre arcos e cordas, triângulo retângulo inscrito, relações métricas

CAPÍTULO 9 - Polígonos regulares: propriedades, elementos, relações métricas, área

Anexo 2 – Distribuição dos conteúdos na coleção # Contato Matemática

VOLUME 1

CAPÍTULO 1 - Os conjuntos

1. Estudando conjuntos 2. Igualdade de conjuntos 3. Conjuntos unitário, vazio e universo 4. Subconjuntos 5. Operações com conjuntos 6. Problemas envolvendo conjuntos 7. Conjuntos numéricos 8. Intervalos

CAPÍTULO 2 - As funções

1. Noção intuitiva de função 2. Produto cartesiano 3. Conceito de função 4. Gráfico de uma função 5. Funções crescente, decrescente e constante 6. Funções injetiva, sobrejetiva e bijetiva

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CAPÍTULO 3 - Função Afim

1. Estudando função afim 2. Gráfico de uma função afim 3. Função crescente e função decrescente 4. Estudo do sinal de função afim 5. Proporcionalidade e função linear 6. Inequação do 1º grau

CAPÍTULO 4 - Função Quadrática

1. Estudando função quadrática 2. Gráfico de uma função quadrática 3. Valor máximo e valor mínimo de uma função quadrática 4. Estudo do sinal de uma função quadrática 5. Inequação do 2º grau

CAPÍTULO 5 - Função Exponencial

1. Estudando função exponencial 2. Revendo potenciação 3. Notação científica 4. Função exponencial 5. Equação exponencial 6. Inequação exponencial

CAPÍTULO 6 - Logaritmo e função logarítmica

1. Estudando logaritmo 2. Propriedades operatórias dos logaritmos 3. Função logarítmica 4. Equação logarítmica 5. Inequação logarítmica

CAPÍTULO 7 - Função Modular

1. Módulo de um número real 2. Função modular 3. Equação modular 4. Inequação modular

CAPÍTULO 8 - As progressões

1. Sequências 2. Progressão Aritmética 3. Progressão Geométrica

CAPÍTULO 9 - Trigonometria no triângulo retângulo

1. Teorema de Tales 2. Teorema de Pitágoras 3. Trigonometria no triângulo retângulo 4. Trigonometria em um triângulo qualquer

VOLUME 2

CAPÍTULO 1 – Trigonometria

1. Trigonometria na circunferência

48

2. Seno, cosseno e tangente de um arco 3. Funções trigonométricas 4. Fórmulas de transformação 5. Relações trigonométricas 6. Equações trigonométricas

CAPÍTULO 2 - Matrizes e determinantes

1. Estudando matrizes 2. Alguns tipos de matrizes 3. Igualdade de matrizes 4. Matriz transposta 5. Adição e subtração de matrizes 6. Multiplicação de um número real por uma matriz 7. Multiplicação de matrizes 8. Matriz inversa 9. Equações envolvendo matrizes 10. Determinante de uma matriz

CAPÍTULO 3 - Sistemas lineares

1. Estudando sistemas lineares 2. Equação linear 3. Sistema linear 4. Escalonamento de um sistema linear 5. Discussão de um sistema linear

CAPÍTULO 4 - Análise combinatória

1. Estudando análise combinatória 2. Princípio fundamental da contagem 3. Fatorial 4. Arranjo simples 5. Permutação simples 6. Combinação simples 7. Permutação com repetição 8. Binômio de Newton

CAPÍTULO 5 - Probabilidade

1. Estudando probabilidade 2. Calculando probabilidades 3. Probabilidade da união de dois eventos 4. Probabilidade condicional 5. Experimentos binomiais 6. Estatística e probabilidade

CAPÍTULO 6 - Área de figuras planas

1. Estudando áreas de figuras planas 2. Área de polígonos 3. Área de polígonos regulares 4. Razão entre área de figuras planas 5. Área do círculo

CAPÍTULO 7 - Geometria espacial de posição

1. Estudando geometria de posição

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2. Posições relativas entre duas retas 3. Posições relativas entre retas e planos 4. Posições relativas entre dois planos 5. Propriedades de paralelismo e perpendicularismo 6. Projeções ortogonais sobre um plano 7. Distâncias no espaço

CAPÍTULO 8 - Figuras geométricas espaciais

1. Poliedros 2. Poliedros convexos e poliedros não-convexos 3. Relação de Euler 4. Poliedros de Platão 5. Poliedros regulares 6. Prismas 7. Pirâmides 8. Tronco de pirâmide reta 9. Não poliedros 10. Cilindro 11. Cone 12. Tronco de cone reto 13. Esfera

VOLUME 3

CAPÍTULO 1 - Matemática financeira

1. Estudando Matemática financeira 2. Porcentagem 3. Acréscimos e descontos sucessivos 4. Juro 5. Juro e funções 6. Sistema de amortização

CAPÍTULO 2 - O ponto e a reta

1. Estudando geometria analítica 2. Distância entre dois pontos 3. Coordenadas do ponto médio de um segmento 4. Condição de alinhamento de três pontos 5. Área de um triângulo 6. Reta 7. Equação de reta 8. Posição relativa entre duas retas 9. Ângulo entre duas retas concorrentes 10. Distância entre ponto e reta 11. Inequação do 1º grau com duas variáveis

CAPÍTULO 3 - A circunferência e as cônicas

1. Circunferência 2. Cônicas

CAPÍTULO 4 – Estatística

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1. Estudando estatística 2. Variáveis estatísticas 3. População e amostra estatística 4. Gráficos e tabelas 5. Medidas de tendência central 6. Medidas de dispersão 7. Distribuição de frequência

CAPÍTULO 5 - Os números complexos

1. Estudando os números complexos 2. Conjunto dos números complexos 3. Operações com números complexos 4. Módulo de um número complexo 5. Representação trigonométrica de um número complexo 6. Números complexos e geometria

CAPÍTULO 6 - Os polinômios e as equações polinomiais

1. Polinômios 2. Operações com polinômios 3. Equações polinomiais 4. Teorema fundamental da álgebra 5. Relações de Girard 6. Multiplicidade de uma raiz 7. Raízes complexas 8. Pesquisando raízes racionais de uma equação polinomial de coeficientes

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