Números Reais9.º Ano2011/2012Parte II

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1- Operações em IR

5 - Intervalos de números reais

2 - Tarefa 4

4 - Tarefa 5 3 - Propriedades da relação > e < em IR

7 - Tarefa 66 - Interseção e reunião de intervalos

Números Reais – Parte 1I

Operações em IR

Ao passar do conjunto Q para o conjunto IR as regras de cálculo e as propriedades das operações mantêm-se validas.

Podemos operar em IR, obtendo resultados com valores exatos.

Calcular uma soma

7273 7)23( 75

5é comum às duas parcelas da soma

7

Efetuar um produto 7352 7532 356

Nota: 75 75

5

210 5102

5

102

5

10

510 2

22

Caso notável – Quadrado do binómio

2

52

2ba 22 2 baba

2255222

252102

21027Notas:

222

Caso notável – diferença de quadrados22 ba

Notas:

222

))(( baba

)32)(32( 22

32 32 1

332

Propriedade distributiva em relação à adição

Propriedade distributiva em relação à subtração 2252

425

22252 2)2(225

2225

2252 22252

2)2(225

2225425

Agora podes praticar resolvendo a tarefa 4.

a < b é equivalente a b > a

Observa

47

Propriedades de Relação > e < em IR

Propriedade 1

4 é menor que 7

7 é maior que 4

( 4 < 7 )

4 < 7 é equivalente a 7 > 4

Mediu-se a altura de três irmãos e sabe-se que:

• a Santiago é mais baixo do que a Maria;• a Maria é mais baixa do que o Rodrigo.

O que podes concluir sobre a medida da altura do Santiago e do Rodrigo?

Resolução:

O Santiago é mais baixo do que o Rodrigo.O Rodrigo é mais alto do que o Santiago.

• a < b e b < c então a < c;•a > b e b >c então a > c

Propriedade 3

Pensa em três números, a, b e c que possam representar a altura, em cm, dos três irmãos.

Verifica que, se a < b e b < c então a < c.

Por exemplo: Santiago: 105 cm

Maria: 150 cmRodrigo: 160 cm

a =105 cmb = 150 cmc = 160 cm

105 < 150 e 150< 160 então 105 < 160.

As relações “<“ e “<“ em IR gozam da propriedade Transitiva, isto é, dados três números reais a, b e c:

Considera a desigualdade 3 < 5Verifica o que acontece ao sentido da desigualdade quando:• adicionas a ambos os membros da desigualdade um número positivo

• adicionas a ambos os membros da desigualdade um número negativo

Por exemplo:

3+2 < 5+2

5 < 7

3-2 < 5-2

1 < 3

• a < b então a +c < b+c;•a > b então a +c > b+c, com a, b e c números reais quaisquer.

Propriedade 2

O sentido da desigualdade mantêm-se!

O sentido da desigualdade mantêm-se!

Considera a desigualdade 7 > 3

Verifica o que acontece ao sentido da desigualdade quando:

• Multiplicas a ambos os membros da desigualdade um número positivo

Por exemplo:

14 > 6

Propriedade 4

O sentido da desigualdade mantêm-se!

2327

.0 se , então cbcacbaSe

.0 se , então cbcacbaSe

Considera a desigualdade 7 > 3Verifica o que acontece ao sentido da desigualdade quando:

• multiplicas a ambos os membros da desigualdade um número negativo

Propriedade 4

O sentido da desigualdade

altera-se!

)2(3)2(7

14 6

.0 se , então cbcacbaSe

.0 se , então cbcacbaSe

Exemplo: “Valores aproximados”Indicar um valor aproximado, por defeito e por excesso, de

com duas casas decimais.

52

...236067977,25

24,2523,2

Valor aproximado por defeito

Valor aproximado por excesso

52 223,2 224,2

52 23,4 24,4

Valor aproximado por defeito

Valor aproximado por excesso

Agora podes praticar resolvendo a tarefa 5.

Intervalos de números reais Consideremos a seguinte equação

3x

A equação tem uma única solução: 3

3S Conjunto solução

Representação na reta real

- 5 - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 5Lê-se meno

s infinit

o

Lê-se mais

infinito

Se numa equação substituirmos o símbolo = por obtemos uma inequação.

Às equações e inequações chamamos condições.

Qual o conjunto definido pela condição x > 3 ?

A inequação x > 3 traduz a seguinte pergunta:

Quais são os números reais maiores do que 3?

A forma de responder à pergunta é usar intervalos:

ou,,

é menor que …

é maior que …é menor ou igual a …é maior ou igual a …

- 5 - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 5Menos infinito é

um símbolo, não é um número

real.

Ou - 5 - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 5

A bola aberta significa que três não pertence ao

conjunto

X > 3 [,3] S A bola aberta corresponde à

posição do parênteses ].

(Intervalo aberto)

S é o conjunto solução

da condição.

- 5 - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 5

[,3]

Diferentes formas de representar o conjunto

3: xx Representação em

compreensão

Representação geométrica

Representação em intervalo

São três representações diferentes do mesmo conjunto de números reais.

- 5 - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 5

Qual o conjunto definido pela condição ?3x

A bola fechada

corresponde à posição do

parênteses [.(Intervalo fechado)

[,3[ S A bola fechada significa que três

pertence ao conjunto

0

Nota:

O conjunto de todos os números reais, IR, pode representar-se pelo intervalo ou pela reta:[,]

Não esquecer: e não são números reais.

R [,]

Interseção e reunião de intervalos 1. Determine a interseção de dois intervalos A e B, sendo:

Interseção de intervalos

- 5 - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 5

]2,2]

Na mesma reta real e a cores diferentes vamos representar os intervalos A e B.

]3,1]A B

A B ]2,1]

A interseção é o conjunto dos pontos da reta que pertencem aos dois intervalos, ou seja, aqueles que têm as duas cores.

Lê-se “interseção”

2. Determine a interseção de dois intervalos A e B, sendo:

Interseção de intervalos

- 5 - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 5

]2,0]

Na mesma reta real e a cores diferentes vamos representar os intervalos A e B.

]4,3]A B

A B Ou A B

3. Determine a interseção de dois intervalos A e B, sendo:

- 5 - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 5

]3,1]

Na mesma reta real e a cores diferentes vamos representar os intervalos A e B.

]1,0]A B

A B ]1,0]

Interseção de intervalos

4. Determine a interseção de dois intervalos A e B, sendo:

Na mesma reta real e a cores diferentes vamos representar os intervalos A e B.

A B[4,] [,1[

- 5 - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 5

A B [4,1[

Interseção de intervalos

Interseção de conjuntos e conjunção de condiçõesConsidere a condição 2x e 4x

- 5 - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 5

Temos:Condição Conjunto

2x

Representação na reta

[,2[

4x

- 5 - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 5

- 5 - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 5

[4,]

42 xx [4,2[[4,][,2[

À conjunção de condições corresponde a interseção de conjuntos.

Nota: 4242 xxx

Lê-se “e”

1. Determine a Reunião de dois intervalos A e B, sendo:

Reunião de intervalos

- 5 - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 5

]2,2]

Na mesma reta real e a cores diferentes vamos representar os intervalos A e B.

]3,1]A B

A B ]3,2]

A reunião de dois intervalos é o conjunto numérico constituído pelos elementos comuns e não comuns dos intervalos dados.

Lê-se “Reunião”

2. Determine a reunião de dois intervalos A e B, sendo:

- 5 - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 5

]2,0]

Na mesma reta real e a cores diferentes vamos representar os intervalos A e B.

]4,3]A B

A B ]4,3]]2,0]

3. Determine a reunião de dois intervalos A e B, sendo:

- 5 - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 5

]3,1]

Na mesma reta real e a cores diferentes vamos representar os intervalos A e B.

]1,0]A B

A B ]3,1]

4. Determine a reunião de dois intervalos A e B, sendo:

Na mesma reta real e a cores diferentes vamos representar os intervalos A e B.

A B[4,] [,1[

- 5 - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 5

A B R [,]

5. Determine a reunião de dois intervalos A e B, sendo:

- 5 - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 5

Na mesma reta real e a cores diferentes vamos representar os intervalos A e B.

A B[4,] [,1[

A B }1{\[,1][1,]

Reunião de conjuntos e disjunção de condiçõesConsidere a condição 2x e 4x

- 5 - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 5

Temos:Condição Conjunto

2x

Representação na reta

[,2[

4x

- 5 - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 5

- 5 - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 5

[4,]

À disjunção de condições corresponde a reunião de conjuntos.

Lê-se “ou”

42 xx [,][4,][,2[

Fim…