NUMEROS_BINOMIAIS

MATEMÁTICA

1

Sejam n e p dois números naturais quaisquer e tais

que n p. Chama-se número binomial, e indica-se

por

p

n, o número assim definido:

p

n =

)!pn( !p

!n

; n, p N e n p

O número n é o numerador e p é a classe ou

denominador do número binomial.

O símbolo

p

n lê-se “n classe p” ou “n sobre p.”

Exemplos:

1) 120!7 !3

!10

)!310( !3

!10

3

10

2) 5!4 !1

!5

)!15( !1

!5

1

5

Observações:

(1) n1

n

(2) 10

n

(3) 1n

n

NÚMEROS BINOMIAIS COMPLEMENTARES

Dois números binomiais são chamados comple-mentares, quando a soma dos denominadores é igual

ao numerador.

b

n

a

n a + b = n ou a = b

Exemplos:

1)

4

7

3

7 3 + 4 = 7

2)

6

8

2

8 2 + 6 = 8

SOMA

A soma dos números binomiais de uma mesma

linha é uma potência de base 2 e cujo expoente é a

ordem da linha (dada pelo numerador).

n2n

n...

2

n

1

n

0

n

Exemplos:

1) 823

3

2

3

1

3

0

3 3

2) 1624

4

3

4

2

4

1

4

0

4 4

TRIÂNGULO DE PASCAL

O triângulo de Pascal é uma tabela construída

com os números binomiais, de tal modo que nas linhas

fiquem os números binomiais de mesmo numerador e

nas colunas, os de mesmo denominador.

0

0

1

1

0

1

2

2

1

2

0

2

3

3

2

3

1

3

0

3

3

n

2

n

1

n

0

n

Podemos substituir cada número binomial pelo seu valor

1 1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

N Ú M E R O S B I N O M I A I S

MATEMÁTICA

2

PROPRIEDADES

1. Numa linha do triângulo de Pascal, os elementos

eqüidistantes dos extremos são iguais.

2. Cada elemento da linha n do triângulo de Pascal é

a soma de dois elementos da linha n 1; aquele

que está na mesma coluna e aquela que está na

coluna anterior.

3. A soma dos elementos da linha que corresponde

ao numerador n é igual a 2n.

4. A soma dos n primeiros termos da coluna p é

igual ao termo n da coluna p + 1.

5. O primeiro e o último termos de cada linha do

triângulo valem 1, já que, para qualquer linha, o

primeiro termo é o

0

n e o último

n

n.

RELAÇÃO DE STIFEL

A relação de Stifel permite expressar a soma de dois números binomiais consecutivos em função de um

único número binomial.

1p

1n

p

1n

p

n ou

1p

1n

1p

n

p

n

Exemplo:

1)

4

12

4

11

3

11

2)

5

8

5

7

4

7

3)

7

16

7

15

6

15

03. (UFCE) A soma das soluções da equação

1x4

18

6

18 é:

04. Dê o valor de

y =

5

5

4

5

3

5

2

5

1

5

0

5

05. Calcular, usando a relação de Stifel.

a)

4

10

3

10

b)

7

10

6

9

5

9

06. (FGV-SP) Determine o conjunto solução da

equação

3

12

8

12

x

132

TESTES DE SALA

MATEMÁTICA

3

16. Resolver a equação

x

7

3

6

2

6.

17. (FAAP-SP) Os valores de x que satisfazem a

igualdade

1x

12

1x3

12 são:

a) 1 e 4 d) 2 e 3

b) 1 e 3 e) 2 e 4

c) 3 e 4


5

7

4

6

3

6

x

8


7

14

7

15

x

14

RESOLUÇÃO Vamos aplicar a relação de Stifel para decompor o

binomial

7

15 na soma de dois binomiais.

7

14

7

14

6

14

x

14

6

14

x

14 x = 6 ou x = 8

20. (Mack-SP) O valor de

7

7

6

7

5

7

4

7

3

7

2

7 é:

a) 128 d) 116

b) 124 e) 112

c) 120

21. (FUABC-SP) O número de soluções da equação

2x

12

x2

12 é:

a) 0 d) 3

b) 1 e) maior que 3

c) 2

22. (FCMSC-SP) Dada a expressão (a1, a2, a3, ...),

onde an =

n

n...

1

n

0

n, n N*, a soma

do 4 primeiros termos dessa seqüência é:

a) 08 d) 30

b) 15 e) 32

c) 28

23. (FCMSC-SP) Se

4

n

3

n = 5n . (n 2), então

n é igual a:

24. (GENTIL) Determinar n para que exista

3n

4n2.

RESOLUÇÃO

Condições de existência

(1) 2n 4 0 n 2

(2) n 3 0 n 3

(3) 2n 4 n 3 n 1

Pela interseção das três condições, temos:

(1) (2) (3) n 3, n N

25. (Mack-SP) Se

2

n = 28, então n é:

a) 7 d) 26

b) 8 e) 56

c) 14

26. (FCC-SP) A sentença

n

2n = 10 é verdadeira

se, e somente se, n! é igual a:

a) 1 d) 720

b) 6 e) 6 ou 720

c) 18

27. (FCMSC-SP) Resolva a equação

5

2x

3

1x

2

1x

= 1

TESTES DE CASA

MATEMÁTICA

4

Estudaremos aqui o desenvolvimento das potên-

cias da forma (x + a)n onde n N, x R e a R.

Atribuindo valores para n, observamos que os

coeficientes do desenvolvimento são as linhas do

triângulo de Pascal

n = 0 (x + a)0 = 1

n = 1 (x + a)1 = x + a

n = 2 (x + a)2 = x

2 + 2xa + a

2

n = 3 (x + a)3 = x

3 + 3x

2a + 3xa

2 + a

3

Fica visível que os coeficientes reproduzem o

triângulo de Pascal, isto é, que os coeficientes são os

números binomiais, por exemplo:

(x + a)5 =

0

5x

5 +

1

5x

4a +

2

5x

3a

2 +

+

3

5x

2a

3 +

4

5xa

4 +

5

5a

5

Genericamente:

(x + a)n =

0

nx

n . a

0 +

1

nx

n 1 . a

1 +

+

2

nx

n 2 . a

2 + ... +

n

nx

0 . a

n

Observações:

1) No desenvolvimento de (x + a)n temos: o

número de termos no desenvolvimento do

binômio é igual ao expoente mais 1. Desta

forma teremos n + 1 termos;

2) À medida em que os expoentes de x vão

decrescendo os expoentes de a vão crescendo;

3) Os coeficientes dos termos equidistantes dos

extremos são iguais aos coeficientes dos

extremos, sendo que o maior deles se encontra

no centro;

4) A soma dos expoentes de x e a, em cada

termo, é igual ao expoente do binômio;

5) O coeficiente do primeiro termo é sempre

igual a 1;

6) Os coeficientes dos outros termos se

encontram através do produto do expoente de

x com o seu coeficiente, dividindo-se este

resultado pelo número de ordem do termo.

7) No desenvolvimentos de (x a)n temos: os

sinais de cada termo do desenvolvimento são

alternados, isto é, os termos de ordem par

são negativos e os de ordem ímpar são

positivos.

Exemplos:

1) (x a)2 = x

2 2xa + a

2

2) (x a)3 = x

3 3x

2a + 3xa

2 a

3

Em geral

(x a)n =

0

nx

n

1

nx

n 1 a

1 + ... + (1)

n

n

n a

n

TERMO GERAL Note que o desenvolvimento de (x + a)

n tem n + 1

termos: (x + a)

n = T1 + T2 + T3 + ... + Tn + 1

onde:

T1 =

0

nx

n

T2 =

1

nx

n

1a

1

T3 =

2

nx

n

2a

2

.

.

.

Tp + 1 =

p

nx

n p . ap

Fórmula do Termo Geral

Exemplo: Determinar o 4º termo no desenvolvimento

de (x + 2)7

Resolução:

Para o 4º termo, temos:

p + 1 p = 3; n = 7 e a = 2

T3 + 1 =

3

7 . x

7 3 . 2

3 T4 = 280x

4

B I N Ô M I O D E N E W T O N

MATEMÁTICA

5

07. (UFBa) No desenvolvimento do binômio

43x igualando-se a zero o termo médio

menos o termo independente de x obtém-se uma

equação do 2º grau em x. Determine a soma das

raízes.

08. (FEI-SP) No desenvolvimento do binômio

8

x

1x

, dê o termo independente de x.

09. (UFBa-Adaptado) Calcule a soma dos algarismos

que compõe o termo médio do desenvolvimento

do (2x + 3y)8.

Observações:

Para o desenvolvimento de (x a)n, temos:

(x a)n = [x + (a)]

n.

O termo geral é dado pela expressão

Tp + 1 =

p

n(a)

p x

n p = (1)

p .

p

n. a

p . xn p

10. (UFBa-Adaptado) O coeficiente do termo de

grau 7 do desenvolvimento (2x 3x2)

5 é m.

Calcule 10

m.

SOMA DOS COEFICIENTES

Para obter a soma dos coeficientes de (A + B)n,

basta fazer cada letra igual à unidade. Exemplos:

I. A soma dos coeficientes de (A + B)

6 é:

Sc = (1 + 1)6 = 2

6 = 64;

II. A soma dos coeficientes de (2x 3)65

é:

Sc = (2 3)65

= (1)65

= 1;

Para (A + B)n, Sc (soma dos coeficientes), Sp

(soma dos coeficientes dos termos de ordem par) e Si

(soma dos coeficientes dos termos de ordem ímpar)

são dados por:

Sc = 2n Sp = Si = 2

n 1

11. Calcular a soma dos coeficientes:

a) (x + 3y)5

b) (x2 4y)

4

c) (5x 2)6

12. (UCSal) A soma dos coeficientes do binômio (x + a)

n é 256. Qual o valor de n?

TESTES DE SALA

TESTES DE SALA

TESTE DE SALA

MATEMÁTICA

6

28. (UnB-DF) Determinar o coeficiente de x8 no

desenvolvimento de [2x + (x 1)2]

9.

RESOLUÇÃO

(2x + x2 2x + 1)

9 = (x

2 + 1)

9

Aplicando a fórmula do termo geral, temos:

Tp + 1 =

p

9. (x2

)9 p

. 1

p =

p

9 . x18 2p

Como queremos obter o coeficiente de x8,

fazemos:

x18 2p

= x8 18 2p = 8 p = 5, logo;

T5 + 1 =

p

9 . x8

T6 = 126x8


y =

n

x

1x

determine:

a) o número de termos, para n igual a 9;

b) o termo independente de x, para n = 6.

Calcule a soma dos valores obtidos em a e b.

30. (UFBa) No desenvolvimento do binômio (x + y)5

determine:

a) a soma dos coeficientes numéricos dos seus

termos;

b) o grau de cada termo;

c) o coeficiente do termo independente de x.

Sendo m, n e p os resultados respectivamente

obtidos nos itens a, b e c, calcule 2m + n 10p.

31. (UFBa) Calcule o coeficiente do termo em x8, no

desenvolvimento do binômio

n

x

2x

, sabendo

que

2

n

3

11

3

1n.

32. (UFBa) Calcule o termo independente de x no

desenvolvimento de

9

2

x

1x

.

33. (UFBa) No desenvolvimento de 63x2 ,

a soma dos coeficientes dos três primeiros termos é:

a) 100 d) 124 + 4 3

b) 64 2 + 30 3 e) 128 + 24 6

c) 188 + 24 6

34. (UFBa) Do desenvolvimento do binômio 6

x

1x

, pode-se afirmar:

(01) O número de termos é 6. (02) O termo de menor grau é x

6.

(04) O coeficiente do terceiro termo é 15.

(08) O termo independente de x é 20.

(16) O valor numérico do termo em x

2 para

x = 3

3 é 45.

(32) A soma dos coeficientes é 34.

35. (Gelda) Sendo 1024 a soma dos coeficientes do desenvolvimento de (3x + 1)

m, calcular 2m.

36. (UCSal) O coeficiente do termo independente de

x no desenvolvimento de

15

2

x

1x

é:

a) 10

3 d) 3003

b) 15 e) 72072

c) 5 ou 10

37. (GELDA) Se o 4º termo de desenvolvimento de

(x + a)n é 448x

5. Calcule a + n.

38. (GELDA) No desenvolvimento de

6

x

1x

,

pede-se:

a) o coeficiente do termo médio.

b) o termo independente de x.

c) o coeficiente do termo de grau 3.

Calcule a soma dos valores obtidos nos itens a, b e c.

TESTES DE CASA

MATEMÁTICA

7

39. (UFGO) O valor de “a” para que o coeficiente de

x4 no desenvolvimento de (x + a)

7 seja igual a

1890 é:

a) 3 3 2 d) 2 3

b) 3 2 e) 3

c) 2 3 3

40. (UFBa) O 6º termo do desenvolvimento de n

x

1x

, segundo as potências de x ,

é 2

9

x6

. Determine o coeficiente do termo

anterior.

41. (UFBa) Considere o desenvolvimento de (x + a)9

segundo as potências decrescentes de x. Calcule

o valor de |a| para que o coeficiente de x5 seja

8

7

do coeficiente de x.

42. (UFBa) Sabendo-se que a soma dos coeficientes no desenvolvimento do binômio (a + b)

m é igual a

256, calcule ! 2

m


(x + 1)n, segundo as potências decrescente de x, o

coeficiente do 4º termo é 3

10 do coeficiente do

6º termo. Calcule a soma do 3º, 4º e 5º termo,

para x = 1.

44. (UFBa) No desenvolvimento de (2x2 + y)

9, c é o

coeficiente do termo no qual os expoentes de x e

y são iguais. Calcule 8

c.

45. (UCSal) O quinto termo do desenvolvimento do

binômio

n

2

x

1x

, segundo as potências

crescentes de x, é 70x4. Nessas condições, a soma

5

1n

4

1n é igual a:

a) 84 d) 386

b) 210 e) 462

c) 252

46. (UCSal) Dos coeficientes dos termos do desen-

volvimento do binômio

8

x

1x2

, o maior é:

a) 512 d) 1792

b) 1024 e) 3548

c) 1120

47. (UCSal) O coeficiente do termo médio no

desenvolvimento do binômio

10

2

4

x

2

4

x

é:

a)

4

23 d)

2

39

b)

8

63 e)

4

103

c)

4

63

48. (UCSal) Desenvolvendo-se (2x 3)4, obtém-se

a) x4 x

3 + x

2 x + 1

b) x4 4x

3 + 6x

2 4x + 1

c) 16x4 8x

3 + 4x

2 2x + 1

d) 16x4 24x

3 + 36x

2 54x + 81

e) 16x4 96x

3 + 216x

2 216x + 81

49. (UCSal) Seje u o coeficiente do termo

independente de x, no desenvolvimento do

binômio

9

2

x

1x

. Nestas condições, é correto

concluir que u é um número

a) menor que 10

b) ímpar

c) divisível por 5

d) maior que 100

e) múltiplo de 7

MATEMÁTICA

8

50. (UCSal) No desenvolvimento do binômio 8

2

x

1x2

, segundo as potências decrescentes de

x, o coeficiente o 5º termo é:

a) 1 d) 1440

b) 448 e) 1792

c) 1120

51. Sobre o desenvolvimento do binômio de Newton, é

verdade que:

(01) (2 x)3 = 8 12x + x

3 .

(02)

4

2

x1

= 1 2x + 1,5x

2 0,5x

3 +

16

x 4

.

(04) Se (x + 2)3m + 1

possui 16 termos, então

m = 5.

(08) O coeficiente do 5º termo de (A + B)7

é

4

7.

(16) O coeficiente do 9º termo de (A + B)20

é

7

19

8

19.

(32) O 7º termo de (A + B) 9 é

7

9. A3

. B7

(64) O 4º termo de (A + B)10

é

3

10. A7

. B3

52. (UCSal) O valor de n tal que, a soma dos

coeficientes dos termos de (A + B)2x 8

é 32.

a) 2 d) 6

b) 4 e) 7

c) 5

53. (UCSal) A soma

S = (x3 1)

4 + 4(x

3 1)

3 + 6(x

3 1)

2 + 4(x

3 1) + 1

é igual a:

a) x12

b) x12

4x9 + 6x

6 4x

3 + 1

c) x12

+ 4x9 + 6x

6 + 4x

3

d) x12

+ 1

e) x12

+ x6 + 1

54. Considerando-se o desenvolvimento do binômio 20

x

1x

, pode-se afirmar:

(01) O coeficiente do 4º termo é 19.17.15

(02) Não existe termo em x2

(04) O termo em x

2 tem coeficiente

!12

!20

(08) O termo independente de x é 21o

(16) A soma dos coeficientes é 2 20

(32) O 20o termo é 20x

9

(64) O coeficiente do 2o termo é igual ao do

20o termo.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 02 05 00 09 E A 16 07

1 15 D 02 03 1,5 E * B *

2 C C D 11 B B 6 30

3 59 20 84 C 30 10 D 10 41 A

4 15 02 24 10 84 C D B E E

5 C 86 E A 82

16. {3, 4}

18. {3, 5}

30. 10 + 20 = 30

34. 02 + 04 + 08 +16 = 30

38. 20 + 15 + 6 = 41

51. 02 + 04 + 16 + 64 = 86

54. 02 + 16 + 64 = 82

BLAISE PASCAL

Matemático famoso, Pascal demonstrou logo cedo sua facilidade para matemática. Aos 14 anos,

participou com seu pai das reuniões da ACADEMIA

DE MERSENNE (PARIS), ocasião em que entrou em contato com as idéias de DESARGUES.

Dois anos depois, Pascal publicou o seu ENSAIO

SOBRE AS CÔNICAS (com apenas 1 página, mas de grande valor), que veria a ser conhecido com

TEOREMA DE PASCAL.

Aos 18 anos, dedicou-se a construir MÁQUINAS

DE CALCULAR, em 1698 optou pela HIDROS-TÁTICA e em 1955 voltou à Matemática.

Pascal morreu aos 39 anos em 1662.

L E I T U R A

GABARITO

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