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I. NÚMEROS COMPLEXOS

I.1. TEORIA RESUMIDA DOS NÚMEROS COMPLEXOS

Um número complexo Z é um número da forma x + jy, onde x e y são reais e 1−=j . O primeiro termo x é chamado parte real e o segundo, jy, a parte imaginária.

REPRESENTAÇÃO GRAFICA DE NÚMEROS COMPLEXOS Exemplos: Z1 = 4 ; Z2 = 2 - j3 ; Z3 = j5 ; Z4 = 3 - j2

I.2. FORMAS REPRESENTATIVAS DE UM NÚMERO COMPLEXO

1) Forma retangular z = x + jy 2) Forma polar ou Steinmetz z = r∠ θ 3) Forma exponencial z = θjre 4) Forma trigonométrica z = r(cosθ + jsenθ) 1.3. CONJUGADO DE UM NÚMERO COMPLEXO

O conjugado de um número complexo Z, representado por Z*, portanto, pode ser assim representado:

• Na forma retangular, z = x + jy é z* = x - jy

Ex: z = 2+ j3 é z* = 2 - j3

• Na forma polar, z = r∠ θ é θ−∠= rz*

Ex: z = 3∠ - 45° é z* = 3∠ 45°

• Na forma trigonométrica, z = r(cosθ + jsenθ ) é z* = r(cosθ - jsenθ )

Ex: z = 4(cos30° + jsen30°) é z* = 4(cos30° - jsen30°).

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I.4. OPERAÇÃO COM NÚMEROS COMPLEXOS

I.4.1. Soma e diferença

Para somar ou subtrair dois números complexos, somam-se ou subtraem-se separadamente as partes real e imaginária, quando estes números estiverem na forma retangular.

Ex: Dados: z1 = 1 + j4 e z2 = 4 - j6

=+ 21 zz (1 + 4) + j(4 - 6) = 5 - j2

=− 21 zz (4 - 1) + j(-6 - 4) = 3 - j10

I.4.2. Multiplicação

• Produto de dois números complexos, estando ambos na forma exponencial: )(

2121212121 ))(( θθθθ +== jjj errererzz

Ex: Sendo 6/

23/

1 23 ππ jj ezeez −== , logo, 6/6/3/21 6)2)(3( πππ jjj eeezz == −

• Produto na forma polar ou de Steinmetz:

)())(( 2121221121 θθθθ +∠=∠∠= rrrrzz

Ex: Sendo: zl = 3∠ 30° e z2 = 2∠ - 45° , logo, z1z2 = (3∠ 30°)(2∠ - 45) = 6∠ -15

• Produto na forma retangular:

)()())(( 21212121212

212121221121 xyyxjyyxxyyjxjyyjxxxjyxjyxzz ++−=+++=++=

Ex: Sendo: zl = 3 + j e z2 = 2 - j5 , logo, zlz2 = (3 + j)(2 - j5) = 11 – j13

I.4.3. Divisão de números complexos

• Divisão na forma exponencial:

)(

2

1

2

1

2

1 21

2

1θθ

θ

θ−== j

j

j

err

erer

zz

Ex: Sendo 3/1 6 πjez = e 6/

2 2 πjez = , logo, 6/6/

3/

2

1 326 π

π

πj

j

j

eee

zz

==

• Divisão na forma polar:

)( 212

1

22

11

2

1 θθθθ

−∠=∠∠

=rr

rr

zz

3

Ex: Sendo: °∠= 3081z e °−∠= 4522z , logo, °∠=°−∠°∠

= 754452

308

2

1

zz

• Divisão na forma retangular:

22

22

12212121

22

22

22

11

2

1 )()()()(

yxxyxyjyyxx

jyxjyx

jyxjyx

zz

+−+−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=++

=

Ex: Sendo 411 jz += e 322 jz −= , logo 13

1210)32()32(

)32()41(

2

1 jjj

jj

zz +−

=++

−+

=

I.5. CONVERSÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS

I.5.1. Polar para retangular:

θθ senrjjyerxjyxjyx ==⇒+→+ cos Ex: 566,85301066,830cos103010 jjsenjez =⇒=°=°⇒°∠=

I.5.2. Retangular para polar:

22 yxrexyarctgrjyx +==⇒∠→+ θθ

Ex: °∠⇒=+=°==⇒+= 87,36553487,364334 22rearctgjz θ

Exercícios de aplicação 0l. Converter os complexos da forma polar para a retangular. a) 12,3 °∠30 b) 25 °−∠ 45 c) 0.003 °∠80 d)0,156 °−∠ 190 02. Converter os complexos da forma retangular para a forma polar a) -12 + j16 b) 2 - j4 c) 700 + j200 d) 0,48 – j0,153 03. Determinar as operações indicadas a) (10 º1,53∠ ) + (4 + j2) b) (10 °∠90 ) + (8 - j2) c) (-4 - j6) + ((2 + j4) d) (2,83 °∠45 ) - (2 - j8) 04. Calcular os seguintes produtos a) (3 - j2)(1 - j4) b) (2 + j0)(3 – j3) c) (j2)(j5) d) (x + jy)(x - jy) 05. Calcular as seguintes divisões a) (5 + j5)/(1 – j) b) (4 – j8)/((2 + j2) c) 10/(6 + j8) d) j5/(2 – j2) 06. Exprimir cada relação como um único número complexo a) (23,5 + j8,55)/(4,53 – j2,11) c) (7,07 + j7,07)/(4,92 + j0,868) b) (21,2 – j21,2)/(3,54 – j3.54) d) (-j45)/(6,36 – j6,36)

Respostas: 01. a) 10,63 +j6,15 b) 17,7 – j17,7 c) 0,00042 + j0,00295 d) -0,1535 –j0,0271 02. a) 20∠ -53° b) 4,47∠ -63,4° c) 727∠ 16° d) 0,5∠ -17,7° (72º) 03. a) 10 + j10 b) 8 + j8 c) -2 -j2 d) j10 04. a) -5 – j14 b) 6 – j6 c) -10 d) x2 + y2 05. a) j5 b) -1 – j3 c) 0,6 – j0,8 d) -1,25 + j1,25 06 . a) 5∠ 45° b) 6∠ 0° c) 3∠ 45° d) 5∠ -45° (135°)