O ENSINO DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS COM O …tcc/000007/0000077f.pdf · Tabela 3. 2 – Seno e...

i

UNIVERSIDADE FEDERAL DO VALE DO SO FRANCISCO

MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEMTICA EM REDE NACIONAL

EVANDRO ALVES DA SILVA

O ENSINO DE FUNES TRIGONOMTRICAS

COM O AUXLIO DO GEOGEBRA

JUAZEIRO-BA

2013

ii

UNIVERSIDADE FEDERAL DO VALE DO SO FRANCISCO

UNIVERSIDADE FEDERAL DO VALE DO SO FRANCISCO MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEMTICA EM REDE

NACIONAL

Evandro Alves da Silva

O ENSINO DE FUNES TRIGONOMTRICAS COM O AUXLIO DO GEOGEBRA

Juazeiro BA 2013

iii

UNIVERSIDADE FEDERAL DO VALE DO SO FRANCISCO MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEMTICA EM REDE

NACIONAL

Evandro Alves da Silva

O ENSINO DE FUNES TRIGONOMTRICAS COM O AUXLIO DO GEOGEBRA

Trabalho apresentado a Universidade Federal do Vale do So Francisco UNIVASF, Campus Juazeiro, como requisito para obteno do ttulo de mestre. Orientador: Prof. Edson Leite Arajo.

Juazeiro BA 2013

iv

Silva, Evandro A. da

S586e O ensino de funes trigonomtricas com o auxlio do GeoGebra/ Evandro Alves da Silva. Petrolina, 2013.

xii; 75 f. : il. ; 29 cm. Dissertao (Mestrado Profissional em Matemtica em Rede

Nacional) Universidade Federal do Vale do So Francisco, Campus Juazeiro, Juazeiro-BA, 2013.

Orientador: prof. Msc. Edson Leite Arajo.

Referncias. 1. Matemtica estudo e ensino. 2. Funes trigonomtricas. I.

Ttulo. II. Arajo, Edson Leite. III. Universidade Federal do Vale do So Francisco.

CDD 510

Ficha catalogrfica elaborada pelo Sistema Integrado de Biblioteca SIBI/UNIVASF

v

vi

AGRADECIMENTOS Deus pela vida.

Ao corpo docente do Colegiado do PROFMAT da Universidade Federal do Vale do

So Francisco, pelos conhecimentos transmitidos ao longo do curso.

Aos colegas de classe do PROFMAT, pelo companheirismo.

CAPES, pela concesso de bolsa de estudo e pelo apoio ao PROFMAT.

SBM e ao IMPA pela iniciativa de proporcionar um mestrado dessa magnitude.

Ao meu orientador, professor Edson Leite Arajo, pelo apoio constante.

Aos membros da banca pela disponibilidade e contribuio dada a esse trabalho.

todos que fazem a Escola de Referncia em Ensino Mdio Clementino Coelho

(EREMC), pelo apoio.

Fernanda Alencar pelo apoio, carinho e presena constante durante a elaborao

deste trabalho.

Aos meus sobrinhos Pedro Augusto e Jlio Csar pela presena e alegrias

constantes.

Aos meus irmos, Ebson, Edson e Edmundo Jnior pelo apoio, incentivo e amizade

sem igual.

Aos meus pais, Edmundo e Ccera, pelo apoio, pelo amor e pela formao, que me

conduziu at aqui.

A todos que, direta ou indiretamente, contriburam para a elaborao deste trabalho.

vii

RESUMO Existiu uma poca em que era imprescindvel justificar a utilizao de um recurso tecnolgico em sala de aula. Na atualidade, quase unanimidade a sua importncia entre os educadores. Aos poucos, as escolas esto se equipando e implantando a informtica em seus currculos escolares, e o uso das tecnologias, segundo recomendaes dos Parmetros Curriculares Nacionais, contribui com o processo de ensino e aprendizagem. Nesse sentido, este trabalho envolve o uso do software GeoGebra como recurso didtico a ser utilizado pelos professores de matemtica, com o proposito de deixar as aulas mais dinmicas e atraentes para os alunos, podendo ser uma grande oportunidade de aprendizagem significativa. Para isso, as Funes Trigonomtricas serviro de embasamento para nossas analises e discusses. Esta escolha se deu porque, segundo os Parmetros Curriculares Nacionais do Ensino Mdio, o ensino da trigonometria est associado a uma srie de clculos algbricos exaustivos, que servem para destacar propriedades das funes trigonomtricas e para realizar analises dos seus respectivos grficos. Palavras-chave: matemtica, geogebra, funes trigonomtricas, aprendizagem.

viii

ABSTRACT Times ago it was essential to justify the use of technological resources in the classroom. Nowadays, their importance among educators is almost unanimity. Schools are gradually equipping and deploying informatics in their curricula and the use of technology, according to recommendations of the National Curriculum Parameters, contributes to the teaching and learning process. In this way, this study involves the use of GeoGebra software as a teaching resource to be used by math teachers with the purpose of turning the lessons most dynamic and engaging for students and can be a great opportunity for meaningful learning. To this end, Trigonometric Functions work as a basis for our analysis and discussions. This choice was made because, according to the National Curriculum Parameters for high school, the teaching of trigonometry is associated with a lot of exhaustive algebraic calculations to highlight properties of trigonometric functions and to perform analyzes of their respective charts . Keywords : mathematics, geogebra , trigonometric functions , learning.

ix

LISTA DE FIGURAS

CAPTULO II

Figura 2. 1 Interface do GeoGebra ........................................................................... 5

Figura 2. 2 Janelas do GeoGebra ............................................................................ 7

Figura 2. 3 International GeoGebra Institute (IGI) .................................................... 8

CAPTULO III

Figura 3. 1 Crculo trigonomtrico com raio unitrio. .............................................. 10

Figura 3. 2 O ponto P associado ao nmero real t. ................................................ 11

Figura 3. 3 Arcos cngruos. ................................................................................... 12

Figura 3. 4 Ilustrao do exemplo 3.1. ................................................................... 13



Figura 3. 7 O seno de t. .......................................................................................... 16

Figura 3. 8 Seno do nmero real

. ....................................................................... 17


. ........................................................................ 18


...................................................................... 19

Figura 3. 11 Paridade da funo seno. .................................................................. 20

Figura 3. 12 Grfico da funo seno no intervalo . ....................................... 22

Figura 3. 13 Grfico da funo seno. ..................................................................... 22

Figura 3. 14 O cosseno de t. .................................................................................. 23

Figura 3. 15 Arcos complementares. ...................................................................... 24

Figura 3. 16 O grfico da funo cosseno. .............................................................. 25

Figura 3. 17 Relao Fundamental I. ..................................................................... 26

Figura 3. 18 A tangente de t. .................................................................................. 27

Figura 3. 19 A restrio da funo tangente ao intervalo [

[ ............................. 28

Figura 3. 20 Restrio da funo tangente ao intervalo ]-

[. ................. 29

Figura 3. 21 Grfico da funo tangente. ............................................................... 30

x

Figura 3. 22 A cotagente de t. ................................................................................ 31

Figura 3. 23 Grfico da funo cotangente. ........................................................... 32

Figura 3. 24 Grfico da funo secante. ................................................................ 33

Figura 3. 25 Grfico da funo cossecante. ........................................................... 34

Figura 3. 26 A secante de t. ................................................................................... 34

Figura 3. 27 - A cossecante de t. ............................................................................... 35

CAPTULO IV

Figura 4. 1 Rotular todos os objetos novos. ........................................................... 39

Figura 4. 2 Exibir os eixos. ..................................................................................... 39

Figura 4. 3 Configuraes dos eixos. ..................................................................... 39

Figura 4. 4 Parcial do roteiro at o passo 4. ........................................................... 40

Figura 4. 5 Ferramenta para criar um crculo dados centro e raio. ......................... 40

Figura 4. 6- Inserindo o raio do crculo ...................................................................... 41

Figura 4. 7 Estilo de linha. ...................................................................................... 41

Figura 4. 8 Cor do objeto. ....................................................................................... 41

Figura 4. 9 - Parcial do roteiro at o passo 6............................................................. 41

Figura 4. 10 Inserir um novo ponto. ........................................................................ 42

Figura 4. 11 - Ferramenta para criar um segmento definido por dois pontos. ........... 42

Figura 4. 12 Parcial do roteiro at o passo 9. ......................................................... 43

Figura 4. 13 - Ferramenta para a interseo entre dois objetos. ............................... 43

Figura 4. 14 Ferramenta para inserir um ngulo. ................................................... 43

Figura 4. 15 Alterando a decorao de um ngulo. ................................................ 44

Figura 4. 16 Parcial do roteiro at o passo 13. ....................................................... 44

Figura 4. 17 Ferramenta para traar uma reta paralela. ......................................... 44


Figura 4. 19 Desativar a exibio de um objeto. .................................................... 45

Figura 4. 20 Estilo tracejado de uma linha. ............................................................ 45

Figura 4. 21 Cor do segmento que representa o seno. .......................................... 46

Figura 4. 22 Renomear o segmento para seno. ..................................................... 46

Figura 4. 23 Ferramenta para inserir um texto. ...................................................... 46

xi

Figura 4. 24 Editando o texto para o segmento que representa o valor da funo

seno. ......................................................................................................................... 47


Figura 4. 26 Habilitar o rastro do ponto (seno). ...................................................... 47

Figura 4. 27 Grfico da funo seno feito no GeoGebra. ....................................... 48

Figura 4. 28 Ferramenta para traar uma reta perpendicular. ................................ 49

Figura 4. 29 Parcial do roteiro da funo cosseno at o passo 3. .......................... 49


cosseno. .................................................................................................................... 50

Figura 4. 31 Parcial do roteiro para a funo cosseno at o passo 7. .................... 50

Figura 4. 32 Habilitar o rastro do ponto (cosseno). ................................................ 51

Figura 4. 33 Grfico da funo cosseno feito no GeoGebra. ................................. 51

Figura 4. 34 Parcial do roteiro da construo do grfico da funo tangente at o

passo 4. ..................................................................................................................... 53

Figura 4. 35 Parcial do roteiro da construo do grfico da funo tangente at o

passo 6. ..................................................................................................................... 53


tangente. ................................................................................................................... 54

Figura 4. 37 Grfico da funo tangente feito no GeoGebra. ................................. 54

Figura 4. 38 Parcial do roteiro da construo do grfico da funo cotangente at o

passo 4. ..................................................................................................................... 56

Figura 4. 39 Parcial do roteiro da construo do grfico da funo cotangente at o

passo 6. ..................................................................................................................... 56


cotangente................................................................................................................. 57

Figura 4. 41 Grfico da funo cotangente feito no GeoGebra. ............................. 57

Figura 4. 42 Parcial do roteiro da construo do grfico da funo secante at o

passo 2. ..................................................................................................................... 59

Figura 4. 43 Parcial do roteiro da construo do grfico da funo secante at o

passo 5. ..................................................................................................................... 59


secante. ..................................................................................................................... 60

Figura 4. 45 Grfico da funo secante feito no GeoGebra. .................................. 60

xii

Figura 4. 46 Parcial do roteiro da construo do grfico da funo cossecante at o

passo 4. ..................................................................................................................... 62


cossecante. ............................................................................................................... 62

Figura 4. 48 Grfico da funo cossecante feito no GeoGebra.............................. 63

Figura 4. 49 Controle deslizante. ............................................................................ 64

Figura 4. 50 Aplicar controle deslizante. ................................................................ 64

Figura 4. 51 Variao do parmetro a da funo. ................................................ 65

Figura 4. 52 Variao do parmetro b da funo. ................................................ 65

Figura 4. 53 Variao do parmetro c da funo. ................................................ 66

Figura 4. 54 Variao do parmetro d da funo. ................................................ 66

CAPTULO V

Figura 5.1 Ilustrao grfica da tabela 5.1. ............................................................ 69

Figura 5.2 Ilustrao grfica da tabela 5.2. ............................................................ 69

LISTA DE TABELAS

CAPTULO III

Tabela 3. 1 Valores do seno no crculo trigonomtrico .......................................... 17

Tabela 3. 2 Seno e cosseno de arcos complementares ......................................... 24

Tabela 3. 3 Valores do seno, cosseno, tangente e da cotangente para ngulos

notveis ..................................................................................................................... 32

CAPTULO V

Tabela 5. 1 Questo 01, itens A e B, de cada atividade ....................................... 175

Tabela 5. 1 Questo 02, itens A, B e C, de cada atividade .................................. 175

xiii

SUMRIO

CAPTULO I Introduo ...................................................................................................... 1

CAPTULO II As ferramentas computacionais .................................................................... 4

2.1 GeoGebra ................................................................................................................. 5

CAPTULO III As Funes Trigonomtricas no Currculo Escolar ....................................... 9

3.1 O Ensino de Funes Trigonomtricas no Ensino Mdio .......................................... 9

3.1.1 O crculo trigonomtrico .................................................................................. 9

3.1.2 Funo seno.................................................................................................. 16

3.1.3 Funo cosseno ............................................................................................ 23

3.1.4 Relao Fundamental I ................................................................................. 26

3.1.5 Funo Tangente .......................................................................................... 26

3.1.6 A funo cotangente ...................................................................................... 30

3.1.7 Funes Secante e Cossecante .................................................................... 33

3.1.8 Relaes entre as funes trigonomtricas ................................................... 35

3.2 Comentrios ..................................................................................................... 36

CAPTULO IV O ensino de Funes Trigonomtricas com o auxlio do GeoGebra........... 38

4.1 A Funo Seno ....................................................................................................... 38

4.2 A Funo Cosseno .................................................................................................. 48

4.3 A Funo Tangente ................................................................................................. 52

4.4 A Funo Cotangente ............................................................................................. 55

4.5 A funo secante .................................................................................................... 58

4.6 A Funo Cossecante ............................................................................................. 61

4.7 Estudo de fenmenos peridicos ............................................................................ 63

CAPTULO V Aplicao do trabalho e resultados ............................................................. 68

CAPTULO VI Consideraes Finais ................................................................................ 71

REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS ..................................................................................... 73

ANEXOS .............................................................................................................................. 74

1

CAPTULO I Introduo

O conhecimento matemtico j contribuiu e continua contribuindo para o

desenvolvimento de diversas reas do conhecimento humano, proporcionando

avanos na cincia e novas oportunidades de praticar habilidades que ajudem no

desenvolvimento intelectual de profissionais e estudantes da matemtica e de reas

diversas. Entretanto, muitos alunos ainda questionam o porqu do seu ensino e qual

a sua relevncia no seu cotidiano.

AVILA (2010) justifica que o ensino de matemtica numa escola faz parte de

um resumo histrico de uma riqueza adquirida pela humanidade ao longo dos anos.

Destacando que para atingir os objetivos de um currculo escolar, que visa uma boa

concepo cidad, imprescindvel inserir o ensino de matemtica para que haja

uma formao mais completa por parte dos alunos. Ressaltando que, os

conhecimentos matemticos influem diretamente no ensino de outras reas, tais

como astronomia, fsica, qumica, etc.

Na dcada de 90, de acordo com (SILVA, 2005), verificou-se que os piores

resultados obtidos pelos alunos no estavam relacionados com as atividades que

envolviam apenas clculos e sim nas mais complexas, que exigem mais raciocnios

por partes dos alunos.

SILVA (2005) destaca que, mesmo com vrias mudanas propostas para o

ensino da matemtica, ainda existe altos ndices de reprovao dos alunos nessa

rea, e esta componente curricular continua sendo um grande desafio nas diversas

reas do conhecimento.

Os parmetros curriculares nacional do ensino mdio (PCNEMs, 2007)

reala que o artefato principal para o ensino da matemtica est na resoluo de

problemas, que exige empenho dos indivduos diante de desafios, fazendo fluir o

pensar e o fazer. Essas capacidades no surgem quando se propem apenas

exerccios de fixao dos conceitos e tcnicas, nesta ocasio, ocorrer apenas um

repasse de uma tcnica, no qual o aluno ir desenvolver apenas passos anlogos

situaes semelhantes e isso no garantir capacidade de utilizar os mesmos

conhecimentos em situaes diferentes.

De acordo com GRAVEMEIJER (2005) uma das dificuldades do ensino da

matemtica pode est associada na formalidade abstrata da transmisso dos

contedos por parte dos professores, que em muitos casos, so oriundos dos

2

autores dos livros didticos. Com isso, surge um desajuste ao comparar o

conhecimento formal dos professores com o prtico dos alunos.

Desta forma, cabe-se uma investigao sobre a forma com a qual o aluno

consegue compreender determinados contedos, analisando as dificuldades e

consultando suas necessidades e, a partir da, adaptar a teoria a prtica.

Uma possibilidade para realizar essa investigao pode estar na promoo

do uso de recursos tecnolgicos no ensino, que de acordo com os PCNEMs, podem

contribuir de forma significativo no processo de ensino-aprendizagem.

O presente trabalho tem como objetivo propor o uso do software GeoGebra,

atravs de tutoriais em forma de roteiros, como recurso didtico a ser utilizado pelos

professores, com o propsito de deixar as aulas mais dinmicas e atraentes para os

alunos. Nesse sentido, este trabalho foi aplicado numa turma de segundo ano do

ensino mdio, com o intuito de verificar a influncia que o software GeoGebra pode

proporcionar ao ser utilizado como recurso didtico.

As Funes Trigonomtricas serviro de embasamento para as analises e

discusses deste trabalho, que est dividido em seis captulos.

O captulo 1 (um) tem como escopo a apresentao do tema escolhido para

ser desenvolvido, a justificativa para a escolha do mesmo, os objetivos a serem

alcanados e a sua estrutura do trabalho, apresentando os contedos dos demais

captulos.

O captulo 2 (dois) d nfase ao uso de ferramentas computacionais

utilizadas como recursos tecnolgicos na sala de aula. Em especial, destaque para o

software GeoGebra, que foi a ferramenta escolhida como instrumento de pesquisa.

O captulo 3 (trs) destaca o enfoque contido nos currculos escolares em

relao ao ensino das funes trigonomtricas, assim como, a abordagem desse

tpico no ensino mdio nas escolas pblicas. Nele, so apontadas algumas

dificuldades encontradas no ensino desse contedo.

O captulo 4 (quatro) concentra-se numa abordagem, com auxlio do

GeoGebra, nas dificuldades citadas no captulo trs. Mostrando alternativas para

que o ensino das funes trigonomtricas se torne mais significativo e atrativo

para o alunado.

No captulo 5 (cinco) discorremos sobre a aplicao do trabalho. A partir da

pesquisa de campo apresentamos, analiticamente, os resultados do estudo.

3

No captulo 6 (seis) so apresentadas as consideraes finais e feitas

recomendaes para o desenvolvimento de futuras pesquisas. Em seguida, as

referncias bibliogrficas, livros e textos utilizados na elaborao e como

embasamento terico.

4

CAPTULO II As ferramentas computacionais

Com o avano tecnolgico das ltimas dcadas cada vez mais comum

presena de recursos tecnolgicos no nosso cotidiano. E, em se tratando de

ambiente escolar, a utilizao desses recursos chega a ser um consenso e at

mesmo uma exigncia entre os educadores e, aos poucos, as escolas vo se

adaptando e implantando essas ferramentas em suas matrizes escolares.

Geralmente, os alunos utilizam apenas editores de textos, planilhas

eletrnicas e PowerPoint para fazer e apresentar seus trabalhos escolares.

Entretanto, existem outros recursos que, trabalhados de forma eficiente, pode

enriquecer o processo de ensino-aprendizagem no ambiente escolar e at mesmo

fora dele.

LOPES (2004) afirma que o foco defendido hoje em dia, ao implantar a

informtica na matriz escolar, o uso do computador como recurso didtico e

atravs do mesmo preparar os estudantes para um mundo cada vez mais

tecnolgico.

Conforme BONA (2009), as crianas e os jovens reagem de forma diferente

a nova era cientfica e tecnolgica em que vivemos, principalmente no ambiente

escolar, que bastante diferente de algumas dcadas atrs. Com isso, surge a

preocupao e a necessidade de adaptar os princpios do ensino da matemtica

para esses jovens e crianas. Ou seja, necessrio, alm da formalizao dos

contedos, apresentar dispositivos que sirvam de suporte para que os alunos sejam

criativos ao enfrentarem novas situaes-problemas.

Neste contexto, BONA (2009), relata a existncia de vrios softwares com

fins educativos e que podem servir de recurso para as aulas de matemtica,

deixando-as mais dinmicas e atrativas. Embora, seja necessrio que os

professores realizem estudos e identifique dentre os mais diversos softwares

aqueles que mais se adequem as suas necessidades, servindo assim, de recurso

didtico para suas aulas.

5

2.1 GeoGebra

O software GeoGebra1 um programa de computador gratuito voltado para

o ensino de matemtica e que possui, como caracterstica principal, a possibilidade

do arrastar, o que torna as construes dinmicas. Esse software possui uma

multiplataforma destinada a todos os nveis de ensino, nela pode haver combinaes

de lgebra, grficos, geometria e tabelas em apenas uma aplicao. A figura 2.1

ilustra a interface do GeoGebra.

Esse software foi desenvolvido pelo austraco Markus Hohenwarter2 com o

proposito de ser tornar um recurso didtico. Ele iniciou o projeto do GeoGebra na

Universitt Salzburg em 2001 e, desde ento, segue em processo de

desenvolvimento e aprimoramento na Florida Atlantic University. A popularidade

desse software cresce dia a aps dia desde sua criao.

Figura 2. 1 Interface do GeoGebra

O GeoGebra possui caracterstica importantes, uma delas, a geometria

dinmica, em 2D3, que possibilita construir diversos objetos, tais como: pontos,

retas, segmentos de reta, crculos, polgonos, grficos ilustrativos de funes, entre

1 Aglutinao das palavras Geometria e lgebra e disponvel em htttp://www.geogebra.org

2 Professor e pesquisador Ph.D. na rea de informtica aplicada a educao matemtica. 3 Em duas dimenses

ENTRADA DE COMANDO

BARRA DE MENU COMANDO

BARRA DE FERRAMENTAS COMANDO

JANELA DE

LGEBRA

JANELA DE

VISUALIZAO

PLANILHA DE

CLCULOS

JANELA DE

AJUDA

6

outros, que podem ser alterados instantaneamente mesmo aps o trmino das

construes.

Outra caracterstica que chama ateno no software o fato das equaes e

coordenadas serem inseridas de forma direta pelo teclado dos computadores. Assim

como, possui a vantagem de trabalhar com variveis associadas a nmeros, pontos

e vetores.

Para um nvel mais avanando, o GeoGebra permite obter derivadas e

integrais de funes e ainda oferece uma srie de comandos que servem para

realizar anlise matemtica, como por exemplo, a identificao de pontos singulares

de funes, como zeros e/ou extremos.

Estas duas caractersticas atribuem ao GeoGebra a seguinte

particularidade: associa uma expresso ou equao na janela de lgebra com a sua

representao grfica na janela de visualizao e vice-versa, conforme ilustra a

figura 2.2. Desta forma, didaticamente, ao alterar uma das duas representaes

(algbrica ou grfica) a outra modifica-se instantaneamente.

Outros pontos importantes do software so:

A interface do GeoGebra simples e possui vrios recursos;

Gera de aplicativos interativos em html;

Disponvel em vrios idiomas, inclusive em portugus;

Os Institutos Internacionais de GeoGebra (IGI) so organizaes sem

fins lucrativos e foram criados devido ampla divulgao e uso do

software livre GeoGebra. Tem como objetivo agregar interessados no

uso dessa ferramenta como instrumento de ensino e aprendizagem,

criando uma comunidade aberta com a finalidade de compartilhar

conhecimentos atravs de treinamentos e desenvolver novos materiais

de suporte para estudantes, professores e pesquisadores;

Este software funciona em computadores com os sistemas operacionais

Windows, Linux ou Mac OS;

O GeoGebra um software que possui cdigo de fonte disponvel.

O GeoGebra j recebeu vrios prmios de software educacional na Europa e

nos EUA, dentre eles, podemos citar:

Prmio EASA 2002 de software acadmico em Ronneby na Sucia;

7

Prmio LEARNIE AWARD 2003, 2005 e 2006 de software educacional

austraco em Viena;

Prmio DIGITA 2004 de software educacional em Colnia na Alemanha;

Prmio COMENIUS 2004 de mdia educacional alemo em Berlim;

Prmio Internacional TROPHES DU LIBRE 2005 de software Livre,

categoria Educao em Soissons na Frana;

1 Prmio ETWINNING AWARD 2006 no "Desafio dos Crculos" com

GeoGebra em Linz na ustria;

Figura 2. 2 Janelas do GeoGebra

Por ser um software gratuito e livre, o GeoGebra surge com um recurso a

ser utilizado nas novas perspectivas de ensino-aprendizagem dos contedos da

matemtica, permitindo assim, que professores e alunos desfrutem a explorao,

hipteses e investigaes sobre esses contedos na busca por conhecimentos que

envolvam a matemtica.

com todas essas ferramentas e caractersticas que possui o software

GeoGebra que pretendemos explorar o ensino de funes trigonomtricas. Pois,

alm possibilidades didticas, o GeoGebra uma extraordinria ferramenta que

serve para criar ilustraes grficas matemticas que podem ser inseridas em

editores de textos como o microsoft word, por exemplo.

8

Com ampla divulgao e o grande nmero de usurios simpatizante com o

GeoGebra foi fundado o International GeoGebra Institute (IGI), que consiste numa

organizao sem fins lucrativos e com objetivo de desenvolver e compartilhar

trabalhos independentes em vrios pases. A partir de ento, vrias filiais foram

fundadas em todos os continentes, assim como ilustra a figura 2.3.

Figura 2. 3 International GeoGebra Institute (IGI) Fonte: http://www.geogebra.org/cms/pt_BR/institutes

Os professores, pesquisadores e alunos associados as IGIs se dedicam

para desenvolver o software e promover as seguintes atividades:

Desenvolver materiais gratuitos sobre o GeoGebra;

Capacitar professores e futuros formadores sobre o GeoGebra;

Desenvolver e implementar novas funes para o software GeoGebra;

Desenvolver um sistema de apoio on-line para professores;

Desenvolver projetos de pesquisa com o GeoGebra;

Troca de experincias conferncias nacionais e internacionais.

De forma generalizada, os integrantes dos IGIs compartilham experincias e

oferecem suporte para o desenvolvimento do GeoGebra, buscando parcerias e a

criao de uma comunidade de usurios.

http://www.geogebra.org/cms/pt_BR/institutes

9

CAPTULO III As Funes Trigonomtricas no Currculo Escolar

Os Parmetros Curriculares Nacionais do Ensino Mdio (PCNEM, 2007)

destacam que o ensino da trigonometria um exemplo de conexo entre a

aprendizagem de matemtica e o desenvolvimento de habilidades e competncias

dos indivduos, desde que esse estudo seja direcionado s aplicaes, evitando

assim, excessos de clculos algbricos das identidades e equaes trigonomtricas

para destacar propriedades das funes trigonomtricas e realizar analises dos seus

respectivos grficos. Destacam ainda, que um dos pontos que deve-se garantir no

ensino da trigonometria a construo de modelos que correspondam a fenmenos

peridicos.

J as orientaes pedaggicas da Secretaria de Educao da Bahia, as

funes trigonomtricas, em especial as funes seno e cosseno, apresentam

importante papel em modelos matemticos para os fenmenos peridicos.

Nas Orientaes Tericos-Metodolgicas (OTMs) para matemtica do

ensino mdio da Secretaria de Educao do Estado de Pernambuco, de 2008, as

funes trigonomtricas podem ocupar lugar central em modelos matemticos

para os fenmenos peridicos. Resulta dessa perspectiva que as funes seno e

cosseno, com suas propriedades fundamentais, devem ser privilegiadas no ensino,

pois, com base nelas, possvel construir, gradualmente e com compreenso,

modelos simples para muitos fenmenos peridicos.

Neste captulo pretende-se rever alguns tpicos ressaltando alguns detalhes

merecedores de alguma ateno e que posteriormente, neste trabalho ser

abordado com o auxlio do GeoGebra.

3.1 O Ensino de Funes Trigonomtricas no Ensino Mdio

3.1.1 O crculo trigonomtrico

Segundo AUBYN et. al. (2004), uma forma didtica de apresentar os

conceitos de funes trigonomtricas atravs do crculo trigonomtrico4, que

consiste numa circunferncia5 de raio unitrio.

4 Seria mais razovel usar o termo circunferncia trigonomtrica, mas, por tradio, crculo trigonomtrico o

termo usado.

10

Tomando e como as coordenadas de um ponto genrico P de uma

circunferncia, de centro na origem e raio unitrio, e utilizando o teorema de

Pitgoras tem-se,

(3.1)

Na figura 3.1 representamos o plano de coordenadas cartesianas e o crculo

trigonomtrico da equao (3.1), designado por .

Figura 3. 1 Crculo trigonomtrico com raio unitrio.

Seja um nmero real qualquer associado a um ponto P do crculo

trigonomtrico. Considere, tal como indicado na figura 3.2, o ngulo orientado6

cuja medida em radianos .

Esse ngulo determina uma semi-reta com extremidades no centro do

crculo (ponto O) e na interseco com o crculo trigonomtrico (ponto P), que por

definio, foi associado ao nmero real .

Nota-se que, do ponto de vista formal, acabamos de definir uma funo

que, a cada nmero real , associa o ponto P do crculo trigonomtrico construdo da

seguinte forma:

5 Circunferncia um conjunto de pontos que esto a mesma distncia de um ponto fixo do plano, esse ponto

o centro da circunferncia (O) e a distncia o raio (r). 6 O sentido positivo o contrario ao dos ponteiros do relgio.

11

A funo sobrejetiva porque, dado um ponto P qualquer do crculo

trigonomtrico, possvel determinar um nmero real tal que , em outras

palavras, tal que P seja o ponto associado a pelo processo descrito no incio. De

fato, basta considerar a semi-reta OP, determinar um ngulo orientado que ela

faa com o eixo das abscissas, e tomar para a medida, em radianos, desse ngulo

(ver figura 3.2).

Figura 3. 2 O ponto P associado ao nmero real t.

No entanto, a funo no injetiva. De fato, suponha que o ponto P do

crculo trigonomtrico est associado a um nmero , ou seja, que . Isto

significa que um ngulo orientado entre o eixo das abscissas e a semi-reta OP mede

radianos. Mas, outro ngulo orientado entre o eixo das abscissas e a semi-reta OP

mede, por exemplo, radianos, visto que um ngulo de radianos

corresponde a uma volta completa no crculo trigonomtrico, esses ngulos so

conhecidos como arcos cngruos e esto ilustrados na figura 3.3.

Consequentemente, o ponto P tambm est associado ao nmero real , ou

seja, Ou seja,

onde conclumos que no injetiva.

12

Figura 3. 3 Arcos cngruos.

AUBYN et. al. (2004) levanta a questo: dado um ponto P do crculo

trigonomtrico, a que nmeros reais P estar associado? Ou seja, quais os nmeros

reais tais que ?

Para responder a esta questo, considere um ngulo orientado entre o

eixo das abscissas e a semi-reta OP. Seja a medida dada em radianos

correspondente ao ngulo , logo . A partir da, verifica-se que todos os

ngulos formados entre a semi-reta OP e o eixo horizontal das abscissas diferem de

ngulo por um nmero inteiro de voltas no crculo trigonomtrico, ou seja, diferem

por um mltiplo inteiro de . Isso implica que a medida , em radianos, de qualquer

um desses ngulos igual a mais um mltiplo inteiro de , ou seja, existe um

nmero inteiro tal que igual a :

(3.2)

Da segue que, se P um ponto do crculo trigonomtrico associado ao

nmero real ento P tambm est associado ao nmero real

( ) se a condio (3.2) for verificada. Dito de outra forma, .

Assim, a equao (3.2) equivalente a

(3.3)

13

A equao (3.3) pode ser reescrita da seguinte forma

e, como quando pertence ao conjunto dos nmeros inteiros o mesmo acontece a

, as equaes (3.2) e (3.3) so equivalentes.

De forma anloga, tm-se as condies abaixo:

(3.4)

A seguir sero apresentados alguns exemplos com estes tipos de situaes.

Exemplo 3.1 - Considere os pontos P e Q do crculo trigonomtrico representados na

figura 3.4. Como determinar todos os nmeros reais , tais que, P ou Q esto

associados a ? Em outras palavras, quais os valores de tais que ou

?

Figura 3. 4 Ilustrao do exemplo 3.1.

Da figura 3.4, sabe-se que e , vem, por (3.2),

(3.5)

14

Veja que a primeira destas condies informa que a diferena entre e

um mltiplo inteiro de , ou ainda, que um mltiplo inteiro par de . A segunda

condio, que pode se escrita como , indica que a diferena entre

e um mltiplo inteiro mpar de . Ou seja, a diferena entre e um mltiplo

inteiro (qualquer) de , ou seja, da forma . Com isso, acabamos de

mostrar que (3.5) equivalente a

(3.6)


figura 3.5 e determine todos os nmeros reais tais que P ou Q esto associados a

, ou seja, tais que ou .


Pela figura 3.5, tem-se que e . Por consequncia,

tendo em conta (3.2),

(3.7)

15

A primeira condio informa que obtido somando um mltiplo par de

e . A segunda diz que obtido fazendo a diferena entre um mltiplo mpar

de e . A condio (3.7) pode ento ser abreviada para

(3.8)


figura 3.6 e determine todos os nmeros reais tais que P ou Q esto associados a

, ou seja, tais que ou .


Sabe-se, pela figura 3.6, que e e, por consequncia,

tendo em conta (3.2), tem-se

(3.9)

Tendo em conta a conveno de notao introduzida em (3.4), nota-se que

(3.9) equivalente a

(3.10)

16

Baseado em experincia prpria e em troca de informaes com colegas

docentes, conclumos que demonstraes como essas, atravs do uso tradicional de

problemas, reduzidos aplicao e sistematizao dos conhecimentos, atrai a

antipatia e o desinteresse dos alunos. E esse, um dos motivos, pelos quais,

buscamos novas alternativas de ensino-aprendizagem da matemtica, procurando

deixar as aulas mais dinmicas e, consequentemente, mais atrativas para os

estudantes.

3.1.2 Funo seno

Para definir o seno do nmero real , considere o ngulo orientado cuja

medida em radianos e, em seguida, considere o ponto do crculo

trigonomtrico associado ao nmero real , ou seja, . Enfim, o seno de a

ordenada do ponto no sistema de coordenadas cartesianas onde est inserido o

crculo trigonomtrico, conforme ilustra a figura 3.7 a seguir.

Figura 3. 7 O seno de t.

Essa definio associa cada nmero real a outro nmero real chamado de

seno de . Essa associao chama-se funo seno (usualmente designada por

).

17

O domnio da funo seno o conjunto dos nmeros reais, j que o

calculo do seno de se pode aplicar a qualquer nmero real. J o contradomnio

desta funo o conjunto das ordenadas dos pontos do crculo trigonomtrico, ou

seja, o intervalo .

Em termos de notao usual para funes, pode-se escrever:

Recorrendo ao crculo trigonomtrico, para alguns valores de , evidente

os valores do seno de , ou simplesmente, . Como exemplos, tem-se:

Tabela 3. 1- Valores do seno no crculo trigonomtrico

(

)

(

) (

)

A seguir ser descritos alguns procedimentos para determinar os valores da

funo seno nos pontos (

), (

) e (

) a partir do crculo trigonomtrico.

Para calcular o seno do nmero real (

), utilizando o crculo trigonomtrico,

tal como ilustrado na figura 3.8, basta determinar a ordenada do ponto , que, neste

caso, o comprimento do segmento PR.

Figura 3. 8 Seno do nmero real (

).

18

Por construo os ngulos e so iguais e a sua soma mede

((

) (

)) (

) (

) radianos, pois a soma dos ngulos de um tringulo

sempre igual a radianos. Logo, cada um dos ngulos e mede (

)

radianos, o que prova que o tringulo equiltero. Consequentemente, a

medida do lado PQ igual do lado OP (e tambm do lado OQ), cujo

comprimento , por ser o raio do crculo trigonomtrico.

Como, por construo, os tringulos e so geometricamente

iguais, conclui-se que os segmentos PR e QR tm o mesmo comprimento, e esses

so igual a

. Portanto,

(

)

Para o calculo do seno de (

), recorre-se novamente ao crculo

trigonomtrico, como representado na figura 3.9.


).

O tringulo retngulo em R e o ngulo mede (

) radianos.

Logo o ngulo tambm mede(

) radianos, uma vez que o tringulo

issceles. Seja o comprimento do segmento PR (que igual ao do segmento OR)

19

tem-se, pelo Teorema de Pitgoras, , ou seja,

onde

concluir-se que:

Portanto o seno de (

), que o comprimento do segmento

PR, dado por:

(

)

A seguir o processo para determinar o seno de (

), recorrendo figura

3.10.


)

Por construo, os tringulos e so geometricamente iguais,

pelo fato do comprimento do segmento RS ser igual ao comprimento do segmento

, e dos ngulos e tambm serem iguais. Note que PQ o seno de

(

), cujo valor, como demonstrado, igual a

. Chamando de o comprimento do

segmento OS, que o seno de (

), pode-se aplicar o Teorema de Pitgoras ao

tringulo , obtendo:

(

)

20

Portanto:

(

)

Um outro resultado interessante, que se deduz a partir do crculo

trigonomtrico, conforme ilustrao da figura 3.11, :

(3.11)

Assim como,

(3.12)

Figura 3. 11 Paridade da funo seno.

De forma anloga se demonstra as seguintes igualdades:

(

) (

)

(3.13)

(3.14)

(3.15)

21

(

) (

) (3.16)

Mas geralmente, e tendo em conta as propriedades (3.11) e (3.12), tem-se:

(3.17)

(

) (

) (3.18)

(3.19)

(3.20)

(

) (

) (3.21)

As igualdades (3.17) a (3.21) so vlidas para quaisquer que sejam e

.

3.1.2.1 Grfico da funo seno

A funo seno definida de em , , como j foi exposto, sobrejetiva.

Entretanto, de acordo com as igualdades de (3.17) a (3.21), no injetiva. Quando

cresce de 0 at

, o ponto P do crculo trigonomtrico (ver figura 3.7) associado a

percorre, no sentindo anti-horrio o primeiro quadrante do crculo trigonomtrico.

Nota-se assim que o seno de , que a ordenada de P, cresce de 0 at 1. Quando

cresce de

at , o ponto P percorre, no sentido contrrio ao dos ponteiros de um

relgio, o quarto crculo trigonomtrico que est no segundo quadrante, onde o seno

de decresce de 1 at 0. Utilizando a igualdade (3.18) com , nota-se que, no

intervalo , o grfico da funo seno tem um comportamento simtrico em

relao reta vertical (

). Finalmente, utilizando as igualdades (3.19) e (3.20),

nota-se que, no intervalo , o grfico do seno simtrico em relao ao ponto

22

de abscissa e ordenada 0. Da, o grfico da funo seno no intervalo ter o

comportamento ilustrado na figura 3.12.

Figura 3. 12 Grfico da funo seno no intervalo [0,2].

Para outros valores da varivel independente, o seno desses valores

calculado atravs da igualdade (3.12) e, consequentemente, o grfico do seno vai

ser uma repetio da curva representada na figura 3.12, assim como, ilustra a

figura 3.13. A curva esboada nessa figura conhecida como senide7. Observa-se

que, por (3.11), a funo seno mpar, logo seu grfico simtrico em relao

origem dos eixos.

Figura 3. 13 Grfico da funo seno.

Pelo fato de ser ter, para todo real, , dizemos que a

funo seno peridica e que seu perodo principal .

7 O grfico da funo seno conhecido como senide.

23

3.1.3 Funo cosseno

O cosseno de um nmero real pode ser definido por um processo anlogo

ao do seno. O cosseno de a abscissa do ponto P do crculo trigonomtrico

associado ao nmero real , tal como ilustrado na figura 3.14.

Figura 3. 14 O cosseno de t.

A funo cosseno, designada por , a funo que a cada nmero real

associa a outro nmero real, chamado de cosseno de , ou simplesmente, .

Tal como o caso do seno, imediato ver, recorrendo ao crculo trigonomtrico, que

uma funo sobrejetiva mas no injetiva.

Seja um nmero real qualquer, assim como ilustrado na figura 3.15, o

cosseno de o comprimento do segmento OQ. E os e so, por

construo, geometricamente iguais. Logo o comprimento do segmento OQ (que

coincide com o cosseno de ) igual ao comprimento do segmento OS (que coincide

com o seno de (

). Esse raciocnio, que feito com o ponto P no 1 quadrante,

generaliza-se ao caso em que P pertence aos outros quadrantes.

24

(

) (3.22)

A partir de da figura 3.15 pode-se calcular o valor do cosseno em pontos

onde conheamos o seno.

Figura 3. 15 Arcos complementares.

Assim, tem-se:

Tabela 3. 2- Seno e cosseno de arcos complementares

(

) (

) (

)

(

) (

) (

)

(

) (

)

(

) (

)

(

) (

)

Com recurso ao crculo trigonomtrico, ou frmula (3.22), fcil deduzir

para o cosseno as igualdades correspondentes s estabelecidas para o seno em

(3.11), (3.12), (3.17), (3.18) e (3.21), e que so:

(3.23)

(3.24)

25

(3.25)

(3.26)

(3.27)

Estas igualdades so vlidas quaisquer que sejam e . A ttulo de

exemplo, ser demonstrado apenas a igualdade (3.23):

(

) (

) (3.28)

Na expresso anterior, a primeira igualdade resulta da substituio de por

em (3.22), a segunda igualdade obtida de (3.18), com , a ltima igualdade

no mais do que (3.22). As demais so demonstradas de forma anlogas essas.

3.1.3.1 Grfico da funo cosseno

A partir da igualdade (3.22) imediato obter o grfico da funo cosseno.

Basta transladar o grfico da funo seno, para a esquerda, de (

). A figura 3.16

ilustra o grfico da funo cosseno, conhecido como cossenide8.

A funo cosseno, assim como a funo seno, peridica e o seu perodo

principal . Por outro lado, a igualdade (3.23) mostra-nos que a funo cosseno

par, pelo que o seu grfico simtrico em relao ao eixo das ordenadas.

Figura 3. 16 O grfico da funo cosseno.

8 O grfico da funo cosseno chamado de Cossenide.

26

3.1.4 Relao Fundamental I

Seja um nmero real associado ao ponto P do crculo trigonomtrico, com

e , respectivamente, como abscissa e a ordenada. Pelo Teorema de Pitgoras,

lembrando que, por definio, temos e , logo:

, (3.29)

Essa igualdade chamada de Relao Fundamental I da Trigonometria e est

ilustrada na figura 3.17.

Figura 3. 17 Relao Fundamental I.

3.1.5 Funo Tangente

A funo tangente, designada por , tem a seguinte definio:

(3.30)

O domnio da funo tangente, decorrente de (3.29), o conjunto de

todos os nmeros reais cujo cosseno diferente de zero:

27

A tangente tem uma interpretao geomtrica simples no crculo

trigonomtrico (como ilustrado na figura 3.18), onde se considera o caso de

pertencer ao intervalo

.

Figura 3. 18 A tangente de t.

Recordando que o seno de a ordenada do ponto P do crculo

trigonomtrico associado ao arco , ou seja, no caso da figura 3.18, o comprimento

do segmento PQ. O cosseno de a abcissa de P, ou seja, o comprimento do

segmento OQ. Portanto:

Recorrendo ao Teorema de Thales, e tendo em vista que o comprimento do

segmento OS igual a 1, o raio do crculo trigonomtrico, tem-se:

28

3.1.5.1 Grfico da funo tangente

Recorrendo interpretao geomtrica da funo tangente ilustrada na

figura 3.18, nota-se que, quando cresce de 0 at (

), sem atingir este valor, o

comprimento do segmento RS (que coincide com a tangente de ) vai aumentando,

a partir de 0, tanto quanto se queira. Isto significa que, no intervalo

, a tangente

uma funo crescente e toma todos os valores do intervalo . O grfico da

restrio da funo tangente ao intervalo

. Est representado na figura 3.19.

Figura 3. 19 A restrio da funo tangente ao intervalo

Observe que a funo tangente mpar, visto que:

(3.31)

Logo, o grfico da funo tangente simtrico em relao origem do

referencial. A partir do grfico ilustrado na figura 3.19, conclui-se que a restrio da

funo tangente ao intervalo ]

ter um grfico com o comportamento

esboado na figura 3.20.

Das igualdades (3.12) e (3.25) resulta,

29

Figura 3. 20 Restrio da funo

tangente ao intervalo [

].

que:

(3.32)

Devido igualdade precedente,

ressalta-se que a funo tangente peridica

e que o seu perodo . No entanto, a partir

das igualdades (3.19) e (3.26), pode-se

escrever:

Mostrando assim que:

(3.33)

Com isso, nota-se que um perodo da funo tangente. E tendo em

vista que, a restrio da funo tangente ao intervalo ]

[ injetiva, como

ilustra a figura 3.20, tem-se que o menor perodo da funo tangente e tido

como o perodo principal da funo.

Uma vez conhecida a restrio do grfico da funo tangente ao intervalo

]

[ e sabendo que um perodo da funo tangente, o grfico desta funo

imediato. Esse, de fato, vai ser uma repetio do grfico representado na figura

3.19, assim como, ilustrado na figura 3.21.

30

Figura 3. 21 Grfico da funo tangente.

3.1.6 A funo cotangente

A funo cotangente, designada por , definida por

(3.34)

O domnio da funo cotangente, como se depreende de (3.28), o

conjunto de todos os nmeros reais cujo seno diferente de zero:

Da igualdade (3.18) surge uma relao entre a cotangente e a tangente:

( )

( )

(

)

ou seja, para todo no domnio da cotangente, se tem

(

) (3.35)

31

Segundo AUBYN et. al. (2004), foi a partir da equao (3.35) que surgiu o

nome de cotangente, pois a cotangente de a tangente de

e os ngulos com

estas medidas (em radianos) so complementares.

A cotangente tem uma interpretao geomtrica simples no crculo

trigonomtrico, tal como indicado na figura 3.22, onde se considera o caso de

pertencente ao intervalo

. Nesta figura, os tringulos e so

semelhantes, pois so ambos retngulos e o ngulo igual ao ngulo .

Ento, tem-se:

No caso de um valor qualquer de pertencente ao domnio da funo

cotangente, imediato ver que o valor absoluto da cotangente de igual ao

comprimento do segmento horizontal, tangente ao crculo trigonomtrico, e que une

a semi-reta OP, determinada pelo ponto P do crculo associado a , ao eixo das

ordenadas.

Figura 3. 22 A cotagente de t.

3.1.6.2 Grfico da funo cotangente

Para obter o grfico da funo cotangente, recorre-se a (3.35) e ao fato da

tangente ser uma funo mpar:

32

(

) (

) (3.36)

Enfim, o grfico da funo cotangente pode se obtido a partir da figura

3.21, por translao de

, assim como ilustrado na figura 3.23.

Figura 3. 23 Grfico da funo cotangente.

Analisando a figura 3.23, nota-se que, o contradomnio da cotangente o

conjunto dos nmeros reais e que se trata de uma funo peridica, cujo perodo

principal .

A tangente e a cotangente de so imediatamante calculveis para valores

de que o seno e o cosseno so conhecidos. A tabela 3.3 a seguir, aponta os

valores do seno , do cosseno de , da tangente de e da cotangente de (quando

possvel), para os casos onde ,

,

,

e

.

Tabela 3. 3 Valores do seno, cosseno, tangente e da cotangente para ngulos notveis

33

3.1.7 Funes Secante e Cossecante

Alm das funes seno, cosseno, tangente e cotangente, usualmente

tambm so definidas as funes secante e cossecante. A funo secante

designada por e cossecante designada por , so definidas

respectivamente por:

(3.37)

(3.38)

A partir de 3.37 e 3.38 observa-se que o domnio da secante o conjunto de

nmeros reais tais que e o domnio da cossecante o conjunto de

nmeros reais tais que . Nota-se que, o domnio da secante coincide

com o domnio da tangente, enquanto o domnio da cossecante coincide com o

domnio da cotangente.

3.1.7.1 Grficos das funes secante e cossecante

Os grficos das funes secante e cossecante (representados pelas

figuras 3.24 e 3.25) so obtidos, respectivamente, a partir dos grficos do cosseno

e do seno.

Analisando os grficos ilustrados nas figuras 3.24 e 3.25 verifica-se que o

contradomnio das funes secante e cossecante o conjunto e .

Essas funes so peridicas e o perodo principal .

Figura 3. 24 Grfico da funo secante.

34

Figura 3. 25 Grfico da funo cossecante.

A funo secante e cossecante possuem interpretaes simples no crculo

trigonomtrico. Com base na figura 3.26, onde um nmero real compreendido

entre 0 e

e P o ponto do crculo trigonomtrico associado a . Os tringulos

e so semelhantes e, como o raio do crculo 1, tem-se:

Figura 3. 26 A secante de t.

Ou seja, a secante de coincide com o comprimento do segmento ON. Da,

o nome de secante, visto que a reta que passa em O e em P secante ao crculo

trigonomtrico.

35

De forma anloga, se d a interpretao da cossecante no crculo

trigonomtrico, conforme figura 3.27. Considerando os tringulos e ,

semelhantes, onde a razo entre os lados correspondentes a ngulos iguais

constante. Logo,

Figura 3. 27 - A cossecante de t.

Isto , a cossecante de coincide com o comprimento do segmento OM. O

nome de cossecante se d ao fato de ser a secante de (

), que imediato

( )

(

) (3.39)

3.1.8 Relaes entre as funes trigonomtricas

Da Igualdade Fundamental da Trigonometria (equao 3.24), pode-se

deduzir relaes semelhantes para as outras funes trigonomtricas. Dividindo

ambos os membros dessa equao por (supondo ) e por

(supondo ) obtm-se, respectivamente,

36

(3.40)

(3.41)

Tendo em conta as definies das funes tangente, cotangente, secante e

cossecante, as igualdades 3.40 e 3.41 podem ser reescrita da seguinte forma:

(3.42)

(3.43)

3.2 Comentrios

As dificuldades encontradas no ensino das funes trigonomtricas podem

est associadas ao fato das metodologias adotadas pelos professores ao abordarem

o tema de forma abstrata e mediante a uma srie de clculos que, muitas vezes,

tomam muito tempo nas aulas.

SILVA (2011) aponta que uma das dificuldades para o ensino da

Trigonometria est na interpretao e relao de suas vrias representaes:

geomtrica, algbrica, no tringulo retngulo, no crculo trigonomtrico e no plano

cartesiano. Em um ambiente tradicional, que se baseia no uso de quadro, pincel

e/ou giz, relacionar estas mltiplas interpretaes no tarefa fcil, sem mencionar

que, por vezes, pode gerar uma viso fragmentada dos conceitos trigonomtricos.

Ressalta ainda que, o nvel de abstrao necessrio na aprendizagem em

Trigonometria, principalmente ao sair do ambiente do tringulo retngulo, exige

novas abordagens, que sejam capazes de relacionar as diversas representaes e

permitam tornar concretas e visveis as propriedades dos objetos com os quais

trabalhamos, de forma a permitir a construo slida dos conceitos trigonomtricos.

De acordo com KRUSE (2007), a abordagem na maioria das escolas dada

as Funes Trigonomtricas Seno e Cosseno se baseiam em construes de

grficos, em que necessrios realizar vrios clculos para se preencher uma

tabela e essa prtica toma muito tempo da aula. E a partir dessa tabela que os

37

alunos verificam o perodo e a imagem destas funes. Afirma ainda, que essa

prtica deixa muito a desejar, uma vez que, o objetivo resume-se somente em traar

os grficos das funes, sem se preocupar com as variaes desses ocasionadas

pelos coeficientes (parmetros) das funes senos e cossenos e sua aplicabilidade.

38

CAPTULO IV O ensino de Funes Trigonomtricas com o auxlio do

GeoGebra

Neste captulo ser dado nfase ao ensino das funes trigonomtricas com

o auxlio do GeoGebra. Buscando alternativas para explorar as peculiaridades

relativas ao ensino dessas funes de forma crtica, investigativa e dinmica.

Inicialmente, apresentam-se roteiros para as construes dos grficos das

funes trigonomtricas a partir das definies contidas na maioria dos livros

didticos utilizados no ensino mdio. Em seguida, ser apresentado anlises dos

parmetros que constitui a definio mais abrangente da funo seno

( ), suas implicaes no domnio, na imagem e no perodo da

mesma.

4.1 A Funo Seno

Apresenta-se a seguir um roteiro com ilustraes para a construo do

grfico da funo seno, utilizando o software GeoGebra.

Observaes importantes:

Cada um dos botes contidos na barra de ferramentas do GeoGebra

tem um tringulo branco no seu canto inferior direito;

Ao clicar no boto quando o tringulo est branco, a ltima opo

utilizada com esse boto, ser ento a ferramenta escolhida;

Quando passar o cursor por cima do tringulo branco, este se torna

vermelho, e ao ser clicado, abre-se um menu de possibilidades.

Roteiro:

1 Habilitar todos os rtulos dos objetos que sero criados: opes > rotular > para

todos os objetos novos;

39

Figura 4. 1 Rotular todos os objetos novos.

2 Exibir os eixos ortogonais: clicar com o boto direito do mouse na janela de

visualizao > janela de visualizao > eixos;

Figura 4. 2 Exibir os eixos.

3 Exibir o rtulo do eixo , alterar a unidade de medida do eixo para radianos, a

distncia entre os pontos para (

) e exibir os nmeros sobre o mesmo: clicar com o

boto direito do mouse na janela de visualizao > janela de visualizao > alterar

as configuraes;

Figura 4. 3 Configuraes dos eixos.

40

4 Exibir o rtulo do eixo , a distncia entre os pontos para 1 e exibir os nmeros

sobre o mesmo: clicar com o boto direito do mouse na janela de visualizao >

janela de visualizao > alterar as configuraes;

Figura 4. 4 Parcial do roteiro at o passo 4.

5 Criar um crculo com centro na origem e raio unitrio: barra de ferramentas >

boto de crculos > crculo dados centro e raio;

Figura 4. 5 Ferramenta para criar um crculo dados centro e raio.

6 Clicar na origem do sistema de eixos (para inserir crculo basta clicar no local

onde deseja-se que fique o centro do mesmo) e digitar o nmero 1 (um) na janela

que ir ser exibida na sequncia;

41

Figura 4. 6- Inserindo o raio do crculo

7 Alterar as propriedades do crculo: Aumentar a espessura (estilo) para o mximo

(13); Mudar a cor para azul;

Figura 4. 7 Estilo de linha.

Figura 4. 8 Cor do objeto.

Figura 4. 9 - Parcial do roteiro at o passo 6.

42

8 Inserir um ponto no primeiro quadrante do crculo e, em seguida, renome-lo

para P:

8.1 barra de ferramentas > boto de pontos > novo ponto;

8.2 clicar com o boto direito do mouse sobre o ponto > renomear para P;

Figura 4. 10 Inserir um novo ponto.

9 Traar um segmento de reta com extremidades no centro do crculo no ponto P e

alterar o estilo da linha do segmento:

9.1 barra de ferramentas > segmento definido por dois pontos;

9.2 clicar com o boto direito do mouse sobre o segmento e altere as

propriedades: boto direito > propriedades > estilo: espessura 13 > cor: preto.

Figura 4. 11 - Ferramenta para criar um segmento definido por dois pontos.

43


10 Marcar a interseo do crculo com o eixo , lado positivo do mesmo: barra de

ferramentas > boto de pontos > interseco de dois objetos;

Figura 4. 13 - Ferramenta para a interseo entre dois objetos.

11 Inserir o ngulo que o segmento OP faz com o eixo das abscissas. Selecionar a

ferramenta e clicar na interseco do crculo com o eixo , no centro do crculo e no

ponto P;

Figura 4. 14 Ferramenta para inserir um ngulo.

44

12 Alterar o tamanho da ilustrao do ngulo para 80 e a decorao do mesmo:

boto direito do mouse > propriedades > Decorao; Exibir, em propriedades, o

valor e o nome do ngulo;

Figura 4. 15 Alterando a decorao de um ngulo.

13 Exibir, em propriedades, o valor e o nome do ngulo;


14 Traar uma reta paralela ao eixo das abscissas passando pelo ponto P: barra

de ferramentas > reta paralela > clicar no eixo e no ponto P;

Figura 4. 17 Ferramenta para traar uma reta paralela.

45

15 Marcar a interseco (ponto C) da reta que passa pelo ponto P com o eixo das

ordenadas;


16 Desabilitar (com o boto direito) a exibio da reta do passo 10;

Figura 4. 19 Desativar a exibio de um objeto.

17 Traar um segmento de reta com extremidades em C e P. Em seguida, mudar o

estilo da linha para tracejada;

Figura 4. 20 Estilo tracejado de uma linha.

46

18 Traar um segmento de reta com extremidades na origem dos eixos e no ponto

C. Esse segmento representa a funo seno, renomear o segmento para seno e

destacar as propriedades do mesmo, alterando a espessura para 5 e a cor para

vermelho;

Figura 4. 21 - Cor do segmento que representa o seno.

Figura 4. 22 - Renomear o segmento para seno.

19 Inserir um texto para expressar o valor do segmento que representa o valor da

funo: barra de ferramentas > Inserir texto > seno = seno;

Figura 4. 23 - Ferramenta para inserir um texto.

47

Figura 4. 24 Editando o texto para o segmento que representa o valor da funo seno.


20 Inserir, no campo de entrada, o ponto que percorrer o traado da

funo seno; Renomear o ponto para seno e habilitar o rastro do mesmo;

Figura 4. 26 Habilitar o rastro do ponto (seno).

48

21 Mover o ponto P no sentido positivo adotado nas funes trigonomtricas e

observar o comportamento do grfico, relacionando o segmento que representa o

valor da funo seno e o ponto ;

Figura 4. 27 Grfico da funo seno feito no GeoGebra.

Com este roteiro, pode-se explorar de forma simples, rpida e atraente a

construo do grfico da funo seno, evitando assim, clculos exaustivos e

construes de tabelas, que tomam muito tempo e causam desestmulos na maioria

dos estudantes, como foi mencionado no captulo anterior.

Alm disso, tem-se o dinamismo oferecido pelo programa ao permitir que,

com simples uso do mouse, arrastando o ponto P, visualizar o percurso feito pelo

ponto medida que o ngulo aumenta ou diminui.

Este roteiro pode ainda ser transformado num applet (aplicativo java) e

inserido numa plataforma de ensino virtual, tipo o ambiente Moodle, possibilitando

por exemplo, a criao de um curso/mdulo sobre este assunto.

Essa construo poder tambm ser explorada na introduo dos conceitos

de domnio e imagem da funo senide, como tambm dos conceitos de

crescimento/decrescimento, pontos de mximo/mnimo, periodicidade, sinais,

limitaes e simetria da funo seno.

4.2 A Funo Cosseno

De modo semelhante ao que foi feito na seo anterior, apresenta-se agora,

um roteiro para a construo do grfico da funo cosseno:


49



Ao clicar no boto quando o tringulo est branco, a ferramenta

selecionada a ltima opo utilizada com esse boto;

Quando passar o cursor por cima do tringulo branco, ele se torna


Roteiro:

1 Repetir os passos de 1 a 13 do roteiro para a construo da funo seno;

2 Traar uma reta perpendicular ao eixo das abscissas passando pelo ponto P:

barra de ferramentas > reta perpendicular > clicar no eixo e no ponto P;

Figura 4. 28 Ferramenta para traar uma reta perpendicular.

3 Marcar a interseco (D) da reta que passa pelo ponto P com o eixo das

abscissas;

Figura 4. 29 Parcial do roteiro da funo cosseno at o passo 3.

50

4 Desabilitar (com o boto direito) a exibio da reta;

5 Traar um segmento com extremidades em D e P. Em seguida, mudar o estilo

da linha para tracejada;

6 Traar um segmento de reta com extremidades na origem dos eixos e no ponto

D. Esse segmento representa a funo cosseno, renomear o segmento para

cosseno e destacar as propriedades do mesmo, alterando a espessura para 5 e a

cor para vermelho;

7 Inserir um texto para expressar o valor do segmento que representa o valor da funo: barra de ferramentas > Inserir texto > cos(\alpha) = cosseno;

Figura 4. 30 Editando o texto para o segmento que representa o valor da funo cosseno.

Figura 4. 31 Parcial do roteiro para a funo cosseno at o passo 7.

51


funo cosseno; Renomear o ponto para cosseno e habilitar o rastro do mesmo;

Figura 4. 32 Habilitar o rastro do ponto (cosseno).

9 Mover o ponto P no sentido positivo adotado no crculo trigonomtrico e observar

o comportamento do grfico, relacionando o segmento que representa o valor da

funo cosseno e o ponto ;

Figura 4. 33 Grfico da funo cosseno feito no GeoGebra.

De modo anlogo funo seno, este roteiro permite as mesmas facilidades

para a funo cosseno, possibilitando ainda realizar um comparativo entre as duas

funes e visualizar de forma clara que uma funo defere da outra por um

deslocamento de

.

52

Usando a funo exportar do GeoGebra, tal roteiro tambm pode ser

transformado num aplicativo java (applet) e inserido numa aula virtual, juntamente

com o contedo relativo ao assunto, exerccios, ampliando assim o mdulo sugerido

na seo anterior.

4.3 A Funo Tangente

A seguir apresenta-se um roteiro para a construo do grfico da funo

tangente.








Roteiro:

1 Repetir os passos de 1 a 13 do roteiro da construo do grfico da funo seno;

2 Traar uma reta perpendicular (essa reta ser o eixo das tangentes) ao eixo das

abscissas passando pelo ponto interseco do crculo com a parte positiva do eixo

;

3 Traar uma reta passando pelo centro do crculo e pelo ponto P;

4 Marcar a interseo I das retas;

53

Figura 4. 34 Parcial do roteiro da construo do grfico da funo tangente at o passo 4.

5 Ocultar a reta que passa pelo segmento OP;

6 Traar os segmentos de reta com extremidades no centro do crculo e no ponto I

e o outro com extremidades no ponto B e na mesma interseco (este representa o

valor da funo tangente, renomea-lo, alterar a cor e a espessura do mesmo);

Figura 4. 35 Parcial do roteiro da construo do grfico da funo tangente at o passo 6.

54


funo: barra de ferramentas > Inserir texto > tg (\alpha) = tangente;

Figura 4. 36 Editando o texto para o segmento que representa o valor da funo tangente.


funo tangente; Renomear o ponto para tangente e habilitar o rastro do mesmo;



funo tangente e o ponto ;

Figura 4. 37 Grfico da funo tangente feito no GeoGebra.

55

Estudando a construo do grfico da funo tangente, atravs do

GeoGebra, alm de observar o comportamento desta funo, a partir do

deslocamento do ponto P ao longo do crculo, podemos explorar o conceito de

assntota9 vertical sob a perspectiva dos arcos cngruos, assim como, analisar as

propriedades da funo, observando seu domnio, imagem, periodicidade, sinais,

monotonicidade, limitaes e simetria.

Pode-se verificar que a funo tangente crescente em todo o seu domnio

e a mesma no est definida para os valores de

( ).

4.4 A Funo Cotangente

De maneira anloga seo anterior, apresenta-se seguir um roteiro para

a construo do grfico da funo cotangente:








Roteiro:

1 Repetir os passos de 1 a 13 da construo da funo seno;

2 Traar uma reta paralela ao eixo das abscissas passando pelo ponto de

interseo do crculo com a parte positiva do eixo das ordenadas:

3 Traar uma reta passando pelo centro do crculo e pelo ponto P;

4 Marcar a interseo (E) entre as retas do passo 2 e 3;

9 Nome dado a uma reta que limita uma determinada curva. H assntota horizontal, que intercepta o eixo ,

e assntota vertical, que intercepta o eixo .

56

Figura 4. 38 Parcial do roteiro da construo do grfico da funo cotangente at o passo 4.

5 Ocultar a reta que passa pelo segmento OP e traar o segmento OE;

6 Traar os segmentos de reta com extremidades no centro do crculo e no ponto

E e o outro com extremidades no ponto D e no mesmo ponto E (este representa o

valor da funo cotangente, renomea-lo para cotangente, alterar a cor e a

espessura do mesmo);

Figura 4. 39 Parcial do roteiro da construo do grfico da funo cotangente at o passo 6.

57


funo: barra de ferramentas > Inserir texto > cotg (\alpha) = cotangente;

Figura 4. 40 Editando o texto para o segmento que representa o valor da funo cotangente.


funo cotangente; Renomear o ponto para cotangente e habilitar o rastro do

mesmo;




Figura 4. 41 Grfico da funo cotangente feito no GeoGebra.

58

A partir da construo do grfico da funo cotangente pode-se explorar

conceitos de forma similar construo do grfico da funo tangente, uma vez que,

a cotangente de a tangente de

, ou seja, o grfico de uma o deslocamento

do outro por

.

Alm de analisar o comportamento das propriedades desta funo,

observando seu domnio, imagem, periodicidade, sinais, limitaes e simetria, sua

monotonicidade, percebe-se que a cotangente uma funo sempre decrescente,

exceto nos pontos , , onde ela no est definida.

Novamente, a facilidade no manuseio do aplicativo resultante desta

construo, torna possvel uma fcil visualizao de detalhes, outrora difceis de

enxergar numa abordagem tradicional. Ao mover, com o auxlio do mouse, o ponto P

sobre o crculo trigonomtrico o aluno perceber que ao passar pelos ngulos e

seus mltiplos, o ponto corresponde no grfico da funo se desloca indo aos

extremos da funo ( ou ). Uma tarefa que, com clculos exaustivos e uso de

tabelas, dificilmente seria visualizado com a mesma clareza.

A insero deste aplicativo e seu respectivo contedo e tarefas e exerccios

relacionados, tornaria ainda mais rico e atraente o curso/mdulo numa plataforma de

ensino online que foi sugerido anteriormente.

4.5 A funo secante

Roteiro para a construo do grfico da funo secante. Observaes

importantes:







Roteiro:

1 Repetir os passos de 1 a 13 da construo da funo seno;

59

2 Traar uma reta tangente ao crculo trigonomtrico e perpendicular ao segmento

OP passando pelo ponto P;

Figura 4. 42 Parcial do roteiro da construo do grfico da funo secante at o passo 2.

3 Marcar a interseo (ponto F) da reta tangente com o eixo das abscissas;

4 Traar o segmento OF que representa a funo secante

5 Traar o segmento de reta com extremidades no centro do crculo e no ponto F

que representa o valor da funo secante, em seguida, renomea-lo para secante,

alterar a cor e a espessura do mesmo;

Figura 4. 43 Parcial do roteiro da construo do grfico da funo secante at o passo 5.

60


funo: barra de ferramentas > Inserir texto > sec (\alpha) = secante;

Figura 4. 44 Editando o texto para o segmento que representa o valor da funo secante.


funo secante; Renomear o ponto para secante e habilitar o rastro do mesmo;




Figura 4. 45 Grfico da funo secante feito no GeoGebra.

61

Atravs deste roteiro, pode-se explorar de forma relativamente simples,

rpida e atrativa a construo do grfico da funo secante sem a necessidade de

construir tabelas por meio de clculos extensos e, por muitas vezes, exaustivos.

Alm de tomar muito tempo nas aulas, esses clculos podem provocar desnimo por

partes dos estudantes no ensino desta funo.

Utilizando o GeoGebra, com a sua caracteristica do arrastar, pode-se mover

o ponto P, ao longo do crculo trigonomtrico, observando as mudanas que

ocorrem em relao ao grfico da funo secante. Nesta ocasio, o professor

poder utilizar esta atividade para explicar as assntotas desta funo, assim como,

o domnio, a imagem, periodicidade, sinais, monotonicidade, limitaes e as

concavidades da mesma.

Assim como nos outros casos, esse roteiro pode ser transformado num

applet e inserido numa aula virtual, criando assim um curso/mdulo sobre este

assunto.

4.6 A Funo Cossecante

Roteiro para a construo do grfico da funo cossecante:







Roteiro:

1 Repetir os passos de 1 a 13 do roteiro da construo do grfico da funo seno;

2 Repetir o passo 2 do roteiro da construo do grfico da funo secante;

4 Marcar a interseo (ponto G) da reta tangente com o eixo das ordenadas;

62

Figura 4. 46 Parcial do roteiro da construo do grfico da funo cossecante at o passo 4.


funo: barra de ferramentas > Inserir texto > cossec (\alpha) = cossecante;

Figura 4. 47 Editando o texto para o segmento que representa o valor da funo cossecante.


funo cossecante; Renomear o ponto para cossecante e habilitar o rastro do

mesmo;

63




Figura 4. 48 Grfico da funo cossecante feito no GeoGebra.

De forma anloga funo secante, este roteiro permite realizar as mesmas

anlises para a funo cossecante, possibilitando ainda um comparativo entre as

duas funes e verificar que uma funo defere da outra por deslocamento

horizontal de

.

Assim como os outros, esse roteiro tambm pode ser convertido num

aplicativo applet e transformado num curso/mdulo de aula virtual com as mesmas

caractersticas apontadas nas sees anteriores.

4.7 Estudo de fenmenos peridicos

Nesta seo, pretende-se explorar, com o auxlio do software GeoGebra, a

influncia dos parmetros e na funo . Uma vez

que, funo deste tipo (com base na definio mais simples da funo seno) se

adequa aos fenmenos peridicos. Por este motivo so s vezes tambm chamadas

de funes peridicas.

64

A seguir, apresenta-se um roteiro com instrues passo a passo, para a

construo de um aplicativo GeoGebra que a anlise dos parmetros de tais

funes:

Roteiro:

1 Clicar no boto seletor (controle deslizante, figura 4.23): barra de ferramentas >

botes seletores > controle deslizante;

Figura 4. 49 Controle deslizante.

Figura 4. 50 Aplicar controle deslizante.

2 Clicar com o mouse na janela de visualizao;

3 Clicar no boto "aplicar" da janela que foi aberta;

4 Repetir os passos 2 e 3 outras trs vezes, com isto, vrias barras de rolagens

sero criadas e vrias e as utilizaremos na anlise dos parmetros da funo seno;

5 Digitar a seguinte frmula no campo de entrada: " ";

6 Inserir a funo g(x)=sin(x), para fazer a comparao com a funo do passo 5;

7 Mover cada parmetro, atravs dos seletores, e verificar a influncia que cada

um provoca no grfico da funo inserida no passo 5).

As figuras 4.51, 4.52, 4.53 e 4.54 ilustram o deslocamento do grfico da

funo seno de acordo com a variao de cada parmetro da funo estudada.

65

Figura 4. 51 Variao do parmetro a da funo.

Figura 4. 52 Variao do parmetro b da funo.

66

Figura 4. 53 Variao do parmetro c da funo.

Figura 4. 54 Variao do parmetro d da funo.

Com essa construo, razoavelmente simples, possvel analisar e

compreender de maneira bastante clara a influncia que cada um dos parmetros,

presentes na funo seno, possui no seu grfico.

Alm disso possvel relacionar fenmenos fsicos de natureza peridica,

tais como a presso sangunea do corao, o comportamento das mars em uma

bacia martima, a tenso e a corrente eltrica de uma rede, o campo eletromagntico

67

gerado no microondas, o movimento de um pndulo, o movimento vibratrio dos

tmpanos, dentre outros com as funes em estudo.

Ressaltando que, com procedimentos anlogos, pode-se analisar o

comportamento das funes: , ,

, e ,

a partir das variaes dos seus parmetros.

68

CAPTULO V Aplicao do trabalho e resultados

Este trabalho foi aplicado na Escola de Referncia em Ensino Mdio

Clementino Coelho (EREMC), que est localizada na avenida da Integrao, s/n, no

bairro Jardim Maravilha, no municpio de Petrolina, no serto de Pernambuco. A

escola possui instalaes adequadas para uma boa prtica de ensino, tais como

laboratrios de informtica, fsica, qumica e salas com ar condicionado. Alm de

bibliotecas, refeitrios e rede wireless. Os alunos dessa escola permanecem no

ambiente de ensino em tempo integral, assim como, os professores. E, pelo quinto

ano seguido, a EREMC recebeu o ttulo de melhor escola pblica de Petrolina e est

sempre entre as melhores do estado de Pernambuco.

A EREMC oferece apenas o ensino mdio para os seus estudantes, cada

turma tem em mdia 40 alunos, que para ingressar na escola passam por um teste

de seleo. E aps isso, devem se dedicar aos estudos, pois existem critrios de

desligamentos desses alunos caso no atinjam as metas estabelecidas pela escola,

como por exemplo, duas reprovaes seguidas de ano letivo.

Para realizar o estudo de caso, aplicao dessa dissertao, na EREMC foi

selecionada, aleatoriamente, uma turma do segundo ano do ensino mdio com 30

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