O ENSINO DOS CONCEITOS BÁSICOS DE CÁLCULO … · Thomas apresenta um resumo no inicio do...

X Encontro Nacional de Educação Matemática Educação Matemática, Cultura e Diversidade

Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010

Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Comunicação Científica

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O ENSINO DOS CONCEITOS LIMITE, DERIVADA E INTEGRAL, POR

PROFESSORES DE MATEMÁTICA E DE DISCIPLINAS ESPECÍFICAS EM

CURSOS DE ENGENHARIA.

Iêda do Carmo Vaz

Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais – CEFET

[email protected]

João Bosco Laudares

Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais – CEFET

[email protected]

Resumo: Este artigo é oriundo de uma pesquisa de Mestrado Acadêmico em

desenvolvimento, cujo objeto de estudo se refere à prática educativa de professores de

Matemática e de professores de disciplina específica, em cursos de Engenharia. Busca

entender como esses professores tratam os conceitos de limite, derivada e integral. A partir

do estudo da ciência e tecnologia, a Matemática apresenta-se como requisito conceitual

científico para concepção tecnológica. Nesse contexto, pretende-se observar a interação da

Educação Tecnológica com a Educação Matemática, pela ação efetiva do educador

matemático e do educador tecnológico. Foi acompanhado o fazer desses educadores dos

cursos de Engenharia, na apresentação e tratamento dos conceitos fundamentais do Cálculo

e verificou-se como são realizados os procedimentos metodológicos do ensino desses

mesmos conceitos. Foi realizada uma extensa revisão bibliográfica do tema investigado.

As técnicas utilizadas foram de observação das aulas de Matemática e de disciplinas

específicas bem como, entrevistas semi-estruturadas com docentes e análise de livros de

Cálculo, já encerrada. Nesse artigo, entretanto, é apresentada análise de livros textos de

Cálculo, quanto ao tratamento conceitual dos itens estudados, parte da pesquisa realizada.

Os demais dados oriundos da observação de aulas e entrevistas estão sendo analisados.

Palavras-chave: Ensino de Cálculo em cursos de Engenharia; Educação Matemática;

Educação Tecnológica.

INTRODUÇÃO

Vive-se hoje numa sociedade do conhecimento onde o científico está vinculado ao

raciocínio causal, organizado, sistêmico e lógico. A ciência antecede a concretude

operacional e a Matemática apresenta-se como requisito conceitual tecnológico. Nesse

contexto, a Educação Tecnológica interage-se com a Educação Matemática, pela ação

efetiva do educador matemático e do educador tecnológico.

mailto:[email protected]

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Interdisciplinarmente e na integração curricular, o professor de matemática e o

professor de disciplina específica em cursos de Engenharia buscam o mesmo objetivo, a

formação integral do engenheiro. A tecnologia faz-se a partir da transformação da técnica

que se utiliza dos saberes matemáticos na problematização do fenômeno tecnológico.

É o professor o responsável pela mediação entre o aluno e o conhecimento

matemático, e suas intervenções despertam o interesse do educando para o conteúdo.

Segundo ZARIFIAN (2001), o entendimento prático não remete apenas à dimensão

cognitiva, mas também à dimensão compreensiva.

Frente a essas proposições, surgem algumas questões a serem investigadas:

Como os professores dos cursos tecnológicos de nível superior refletem e investigam

(FIORENTINI, 2003) sobre o ensino dos conceitos matemáticos, em suas aulas?

Como os professores de Matemática tratam os conceitos de Cálculo: Limite, Derivada e

Integral, em cursos de Engenharia?

A Matemática é uma disciplina científica, trabalhada nos cursos de área tecnológica.

Investigar, acompanhar e entender as metodologias e estratégias utilizadas pelos

professores, na maneira de ler e interpretar a sala de aula (TARDIF, 2005) dos cursos

tecnológicos, bem como nas abordagens conceituais, nas operacionalizações (utilização

dos algoritmos) e nas aplicações dos conteúdos estudados, é parte reflexiva da metodologia.

Perceber como o professor de disciplina específica faz a transposição do conhecimento

Matemático (científico) para o saber tecnológico, nos cursos de Engenharia, é fundamental

dentro dos estudos da Educação Matemática, que se insere nos estudos da Educação

Tecnológica.

Neste artigo é apresentada parte de uma pesquisa de Mestrado Acadêmico quanto

a análise de quatro autores de livros de Cálculo, relativamente ao tratamento dos conceitos

de Limite, Derivada e Integral, em três abordagens integradas: Aritmética, algébrica e

geométrica.

EDUCAÇÃO MATEMÁTICA NO CONTEXTO DA EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA

Hoje, pesquisas se desenvolvem no campo da Educação Matemática, e buscam

entender as estratégias de aprendizagem que os educandos desenvolvem para aprender

Matemática (FROTA, 2001). As apreensões dos conceitos matemáticos acontecem a partir




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de experimentações, e descrições são feitas juntamente com conceitos anteriormente

adquiridos. As construções de gráficos acontecem para apresentar imagens visuais, que são

utilizadas para entendimento de proposições. Há uma tensão entre a coerência da

matemática elementar e a conseqüência da matemática formal, num movimento do

descrever para o definir (FUSARO, 2001).

No diálogo professor-aluno, emerge o que Paulo Freire (1972) chama de

“pedagogia emancipadora”, em que o professor-dos-estudantes e os estudantes-do-

professor se desfazem e um novo termo se constrói; professor-estudante e estudantes-

professores. No diálogo que se estabelece nesse novo contexto, ambos são parceiros.

Aliado a esses estudos espera-se do professor a criação de um novo ambiente

escolar do questionamento, encorajando o estudante a propor soluções, explorar

possibilidades, levantar hipótese e justificar seu raciocínio (LAUDARES, 2004).

A atual sociedade do conhecimento, onde o científico está vinculado ao raciocínio

causal, organizado, sistêmico e lógico, a Matemática acontece como requisito conceitual

científico. Se, fazer ciência é matematizar os fenômenos, realizando sua leitura e

compreensão pelo raciocínio lógico-dedutivo, essência da estruturação Matemática, a

Educação Tecnológica ou para a Tecnologia, se faz numa interação estreita com a

Educação Matemática.

Nessa interação tecnológica com a matematização da realidade, a Educação

Matemática se apropria da Etnomatemática (D’AMBROSIO,1998) tomando os princípios

socioculturais, hoje, de uma sociedade tecnizada, e utiliza a modelagem, segundo

Bassanezi (2002) para interpretação do real e do fenômeno, através do instrumental

matemático. Isso constitui o fundamento pedagógico para a Educação Tecnológica e

Educação Matemática, que se integram no processo educacional pela ação efetiva do

educador matemático e do educador tecnológico. Ambos estão a serviço da formação e

capacitação do homem para sua inserção social no mundo do trabalho, e sua integração

cultural para viver numa sociedade impregnada de ciência e de tecnologia.

PESQUISA EM DESENVOLVIMENTO

Foi realizada uma extensa revisão bibliográfica do tema investigado. As técnicas de

pesquisa utilizadas foram de observação das aulas de Matemática e de disciplinas




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específicas bem como, entrevistas semi-estruturadas com docentes e análise de livros de

Cálculo, já encerrada. As entrevistas e observação de aula estão em fase de análise dos

dados.

Nesse artigo, então, é apresentada análise de livros textos de Cálculo, quanto ao

tratamento conceitual dos itens estudados: Limite, Derivada e Integral.

ANÁLISE DE LIVROS DE CÁLCULO E DIÁLOGO ENTRE SEUS AUTORES.

As quatro obras e autores selecionados nessa pesquisa foram:

CÁLCULO I - Volumes I e II - 8ª edição; Howard Anton e outros.

CÁLCULO com aplicações - 6ª edição; Ron Larson e outro.

CÁLCULO – Volumes I e II - 10ª edição; George B. Thomas.

CÁLCULO – Volumes I e II - 5ª edição - James Stewart

Considera-se que o livro texto não é apenas uma colocação de conteúdos, pois, este

sempre interfere na parte metodológica a ser desenvolvida pelo professor. O conteúdo

abordado nos livros, em um determinado período do curso, é o mesmo. O que diferencia os

autores é a forma de apresentação. Cada autor imprime em sua obra modo peculiar de

trabalhar, a sua metodologia. A partir de então, é possível perceber a concepção de ensino

e aprendizagem que cada autor concebe, pois, analisar livro texto é fazer análise de

metodologia de ensino.

Buscou-se analisar nos livros-texto, o objeto de pesquisa que é o tratamento dos

conceitos de limite, derivada e integral, nos cursos de Engenharia, quanto ao tratamento

numérico, a abordagem algébrica e as representações geométricas com interpretações

gráficas. As obras escolhidas não são voltadas especificamente para os cursos de

Engenharia, mas fornecem a base matemática para cursos de Engenharia. Em todas as

obras analisadas, os autores apresentam no prefácio ou na introdução, indícios da

metodologia que é utilizada ao longo do texto.

Optou-se, a seguir, para melhor compreensão do leitor, estabelecer uma

comparação, e sempre que possível, um diálogo entre os autores, a partir dos estudos, em

separado, dos conceitos pretendidos: Limite, Derivada e Integral.




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LIMITE

Stewart ao introduzir o conceito de limite, apresenta uma abordagem numérica e em

seguida faz uma discussão geométrica. Apresenta tabelas para situar melhor o estudo

gráfico, como apresentado no exercício: Encontre o valor de 1

1lim

21 x

x

x.

O autor busca um sentido de utilidade para esse conceito, e discute um exemplo

físico de velocidade instantânea. Desenvolve novos exercícios, alternando propostas

contextualizadas em situações cotidianas e no interior da Matemática.

Para o desenvolvimento da definição algébrica e apresentação da notação de Limite,

Stewart investiga o comportamento da função f(x)= x² - x + 2 para valores próximos de 2,

com apresentação da tabela e sua representação geométrica.

Figura 1 – Discussão geométrica

Figura 2 – Investigação do comportamento da função




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Anton nomeia o capítulo sobre os estudos de Limites como, “Limite e

continuidade”. Inicia os estudos com uma abordagem intuitiva (enquanto Stewart faz

conjecturas), e enfoca a continuidade.

Como Stewart, Anton inicia com os estudos de Limites com o problema das retas tangentes.

Enfatiza uma abordagem intuitiva ao pedir que o educando “dê um palpite” sobre

limite, e num próximo exercício, o autor novamente interage e dialoga com o educando

para que faça uma conjectura sobre limite. Anton, em seus estudos aritméticos, apresenta

um detalhamento maior de tabelas, do que os encontrados em Stewart, com análises à

esquerda e à direita do ponto, o que possibilita ao estudante um melhor entendimento, com

valores bem especificados.

Ao longo de sua obra, Anton apresenta uma seção denominada “Enfocando

Conceitos”, que agrupa exercícios de compreensão. Nesse tópico do capítulo de Limite, ele

trabalha os conceitos através da interpretação gráfica.

Figura 3 – Retas tangentes

Figura 4 – Análises de aproximações




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Thomas também faz estudos do comportamento de uma dada função na vizinhança

de um ponto, ou seja, dos limites laterais, com valores suficientemente próximos a um

ponto.

Para discutir o limite num ponto, Thomas também aborda o estudo da reta tangente

a uma curva. Utiliza-se de um exemplo prático de termodinâmica, estuda a variação na

temperatura de uma blindagem térmica e apresenta o gráfico.

No exemplo de limite de uma função, ele apresenta um estudo de levantamento de

indeterminação com interpretação gráfica. Também como Stewart, Thomas traz uma

definição formal de limite usando episolon e delta.

Larson busca o entendimento do significado da palavra limite ao iniciar o capítulo,

quando se refere a limite como sendo uma fronteira que em certas circunstâncias, não pode

ser atingida ou mesmo ultrapassada. Como exemplo, apresenta a representação de uma

mola que pode ser esticada até um determinado limite.

Figura 5 – Enfoque de conceitos

Tabela 1

Estudo de limites laterais




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E em seguida, contextualiza uma situação dentro da própria Matemática, e estuda o

limite de uma função de grau 2 (dois), em diálogo constante com as tabelas e gráficos.

DERIVADA

Stewart descreve em um único capítulo, o conceito de Limite e Derivada. Utiliza-se

de um processo de diálogo contínuo, em evidente recursividade. Retoma os estudos da

inclinação da reta tangente à curva e da velocidade de um objeto com uma função posição,

e estabelece uma relação direta com os estudos de Derivada. No tópico “A Derivada como

uma Função”, o autor apresenta o gráfico de uma função f qualquer, e, a partir dele, solicita

que o estudante esboce o gráfico da derivada f’. Nesse fazer, o autor estabelece um diálogo

entre a Aritmética e a Geometria, para que o estudante perceba a relação existente entre o

crescimento e decrescimento de uma função e sua derivada. Em seguida, ainda no estudo

de Derivada como uma função, Stewart traz uma situação problema que envolve a taxa de

crescimento populacional de um determinado país, com análises gráficas e suas respectivas

tabelas. O autor “mescla”, ao longo dos exercícios propostos, situações que se relacionam

com o cotidiano e também situações unicamente matemáticas.

Ao iniciar os estudos de Função Derivada, Anton dialoga com o educando e

ressalta que o conceito de uma “derivada” é a principal ferramenta matemática utilizada

para calcular e estudar as taxas de variação. Utiliza-se de exemplos de situações cotidianas,

com aplicações em cálculo de velocidade média e velocidade instantânea. Anton separa as

seqüências de exercícios propostos em “exercícios de compreensão”, que visa obtenção de

Figura 6 – Representação de uma mola




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aptidões e a compreensão de conceitos básicos. O autor apresenta seções de exercícios do

tipo “enfocando conceitos”, que trabalham mais o conceitual. Também como Stewart, ele

apresenta em exercício resolvido, uma função f definida por f(x) = 12x e pede para

encontrar sua derivada em relação a x. Mas Anton apresenta o mesmo exemplo resolvido,

do estudo de uma função, trazido por Stewart e estabelece novas analogias, propondo que o

educando utilize o resultado para encontrar a equação de reta tangente a 12xy em

x = 2. Nesse diálogo Anton utiliza-se do pensar em f’ como uma função “que produz

inclinações”, no sentido de que o valor de f’(x) em 0xx é a inclinação da reta tangente

ao gráfico de f em 0xx . Também discute a diferenciabilidade de uma função.

Thomas apresenta um resumo no inicio do capítulo 2, denominado DERIVADAS.

Nele retoma a definição do coeficiente angular de uma curva como limite dos coeficientes

angulares das secantes, descrita no capítulo 1. E afirma: Esse limite, chamado derivada,

mede a taxa de variação de uma função e é um dos conceitos mais importantes de Cálculo.

Ao longo dos exercícios propostos, Thomas apresenta itens diferenciados que se intitulam:

“escrevendo para aprender”, “Teoria e Exemplos”. Esses tópicos dialogam com a teoria

estudada e propiciam ao educando a oportunidade de descrever com as próprias palavras o

seu pensamento. Em situações oportunas, Thomas apresenta várias situações-problema

cotidianas aplicadas os estudos de Derivadas.

Larson apresenta os estudos de Derivada no capítulo, 2, com a abordagem da reta

tangente a uma curva, como os outros autores. Desenvolve a ideia intuitiva de Derivada a

partir da observação da reta secante quando se busca alcançar a reta tangente, e leva esse

processo ao limite, até determinar a inclinação da reta tangente no ponto almejado.

INTEGRAL

Figura 7 – reta tangente a uma curva




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Stewart ao iniciar o capítulo de Integrais, afirma que há uma conexão entre o

Cálculo Integral e o diferencial. Ressalta que o Teorema Fundamental do Cálculo relaciona

a Integral com a Derivada, e que para a resolução de muitos problemas, isso será um

facilitador. Propõe o cálculo da área de uma região com fronteira curva e lembra que se

traz sempre a ideia intuitiva do que é uma área. E, a partir de então, torna-se necessário

transformar essa ideia numa definição formal. O autor trabalha com estimativa a partir de

análises gráficas em busca de uma aproximação, na construção de retângulos em uma

superfície com um lado em curva. Dialoga com o educando para que perceba que quanto

maior for o número de faixas retangulares que se conseguir colocar na região estudada,

menor será o erro no final do cálculo da superfície pesquisada, ou seja, há um limite a ser

estudado.

Assim como Stewart, Anton inicia o capítulo denominado Integração, discutindo o

problema de área. Porém, ele retoma a história da Matemática lembrando que os

matemáticos primitivos se deparavam com muitas dificuldades para encontrar fórmulas

para a área de regiões com contornos curvilíneos. O autor cita Arquimedes e aproveita a

oportunidade para apresentar sua biografia. Anton também explora áreas de retângulos e

diz que embora esse método seja intuitivamente atraente, os limites que dele resultam

somente podem ser calculados em certos casos. E, mais uma vez, ele se apóia na história,

lembrando Newton e Leibniz, e afirma que independentemente, eles descobriram uma

relação fundamental entre os estudos de área e derivada.

Thomas em seu capítulo denominado Integração, traz um resumo que dialoga com a

necessidade do homem em calcular taxas de variação instantâneas, E foi a partir dessas

necessidades que, o longo da história da humanidade chegou-se à investigação do cálculo

de áreas sob curvas, o que acabou por levar a pesquisa ao segundo ramo principal do

cálculo, o Cálculo Integral. Em meio a essas páginas de fórmulas, Thomas desenvolve o

processo de Modelagem Matemática e seus passos a serem seguidos. Na sequência de

exercícios propostos, há aplicações que o educando poderá experienciar o estudo de um

modelo matemático. Ele segue os estudos de Integrais estimando somas finitas,

estabelecendo relações entre deslocamento e distância percorrida, para então chegar ao

estudo da soma de Riemann e às Integrais Definidas.




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Larson inicia o capítulo denominado Integração e suas Aplicações, com o estudo da

antiderivada. O autor desenvolve os estudos de Integral Definida dialogando com

atividades do tipo Análise Marginal, Cálculo do Valor Médio de uma Função, Funções

Pares e Ímpares para então chegar ao cálculo de uma região limitada por duas curvas e,

após uma sequência de exercícios, abordar a Integral Definida como Limite de uma Soma .

CONSIDERAÇÕES FINAIS

Em suma, no estudo dos quatro autores dos livros selecionados, constata-se que há

uma convergência metodológica para o tratamento conceitual de Limite, Derivada e

Integral, com abordagem e ênfase da aritmética, álgebra e geometria. Também se verifica

uma pequena introdução de problemas físicos, econômicos, sociais, quando se apresenta

especialmente a conceituação e definição de derivada.

A pesquisa, em desenvolvimento, está em fase de análise de dados contemplando os

seguintes objetivos específicos em estudo:

1. identificar nas diretrizes curriculares nos cursos de Engenharia, quais são as orientações

para a fundamentação científica na formação do engenheiro;

2. fazer uma exploração do projeto pedagógico dos cursos em estudo quanto à proposta de

formação profissional e científica;

3. Identificar a abordagem que o professor de Matemática faz quando introduz os conceitos

básicos de Limite, Derivada e Integral: um tratamento numérico, algébrico ou geométrico;

4. Verificar como os professores de disciplinas tecnológicas, dos cursos de Engenharia,

utilizam estes mesmos conceitos na introdução dos saberes tecnológicos pela transposição

didática.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

BASSANEZI, Rodney Carlos. Ensino-aprendizagem com modelagem matemática. São

Paulo: Contexto, 2002.

D’AMBROSIO, Ubiratan. Etnomatemática. São Paulo: Ática, 1998.

FIORENTINI, Dario (Org). Formação de professores de Matemática: Explorando novos

caminhos com outros olhares. Campinas, SP: Mercado de letras, 2003.




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FROTA, Maria Clara Resende. Duas abordagens distintas da estratégia de resolução de

exercícios no estudo de cálculo. IN: Educação Matemática: a prática educativa sob o

olhar de professores de cálculo. Belo Horizonte: FUMARC, 2001.

LAUDARES, João Bosco. A Matemática e a estatística nos cursos de graduação da área

tecnológica e gerencial – um estudo de caso da PUC-Minas. IN: Disciplinas Matemáticas

em cursos superiores: reflexões, relatos, propostas. Helena Cury(Org.). Porto Alegre:

EDIPUCRS, 2004.

PINTO, Márcia Maria Fusaro. Discutindo a transição dos cálculos para a análise real. IN:

Educação Matemática: a prática educativa sob o olhar de professores de cálculo. Belo

Horizonte: FUMARC, 2001.

TARDIF, Maurice e LESSARD, Claude. O trabalho docente: Elementos para uma teoria

da docência como profissão de interações humanas. Petrópolis, RJ : Editora Vozes, 2005.

ZARIFIAN, Philippe. Objetivo Competência : Por uma nova lógica. São Paulo:Atlas,2001.

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