1. Em 1978, Thomas Malthus, no trabalho “An Essay on the Principle of population” formulou um modelo para descrever a população presente num determinado ambiente em função do tempo.

Chegou à conclusão, que para uma constante r, que varia com a espécie da população e para uma população inicial 0N , o modelo é dado por:

rteNtN 0 , 0t (t em horas)

Seguindo este modelo, uma equipa de cientistas quis estudar a reprodução de um certo tipo de bactérias. No início na experiência, constataram que havia 20 dezenas de bactérias e que passado 6 horas o número de bactérias quadruplicou.

a. Mostre que, nesta experiência, o valor da constante r é igual a 6ln 4 .

b. Quantas bactérias existiam ao fim de um dia? Apresente o resultado em unidades.

c. Calcule ttN

tlim .

d. O número de bactérias é sempre crescente? Justifique. e. Prove que o gráfico de tNln é uma função afim.

Resolução:

1. Neste exercício, à semelhança do anterior, necessitamos de duas equações, uma vez que a constante a determinar r, está relacionada com o número inicial de bactérias 0N .

a. Se no instante inicial, existiam 20 dezenas de bactérias sabemos que 0 20N e como passadas seis horas o número de bactérias

quadruplicou, sabemos que 6 80N , isto é, 0 20 6 80N N .

0006 66

0

6

_______0 20 2020806 80 20 808020

________ _______________ln 46 ln 4 ln 4

6

r

r rr

N NN eN e eN e

r rr

6ln 420 tN t e

Portanto, o valor da constante 6ln 4r c.q.d.

b. Como o tempo é expresso em horas, queremos determinar o número de bactérias existente na população ao fim de 24 horas.

6ln 4 2424 20 604,76N e ;

Portanto, ao fim de um dia existiam na população aproximadamente 6048 bactérias.

c.6 6ln 4 ln 420lim 20 lim

t t

t t

e et t

d.6 6´ ln 4 ln 46 620 ln 4 20 ln 4 0; 0t tN t t e e t

Podemos assim concluir que como a derivada da função é sempre positiva, a função é sempre crescente.

e. Queremos mostrar que o gráfico de ln N t é uma função afim, ou seja, uma função do tipo y mt b .

6 6 6ln 4 ln 4 ln 4

6

ln ln 20 ln 20 ln ln 20 ln

ln 20 ln 4 . . .

tt tN t e e e

t c q d

Comentário [h1]: Limite Notável

limx

px

ep

x¡

1) Considere a função real de variável real, senxxsenxg 2 definida em ,0 .a) Estude a função quanto à existência de assímptotas. b) Recorrendo à definição de derivada de uma função num ponto, determine

0g .c) Escreva uma equação da recta normal a xg no ponto de abcissa 0 .d) O gráfico de g , contém um único ponto em que a ordenada é igual ao

quadrado da abcissa.

Utilizando as capacidades gráficas da calculadora efectue cada um dos seguintes passos:

i) Desenhe os gráficos das funções que traduzem o problema. ii) Assinale o ponto O, origem do referencial iii) Assinale o ponto A, ponto onde a ordenada é igual ao quadrado da

abcissa iv) Assinale a projecção ortogonal de A, ponto B

Determine o perímetro do triângulo OAB .

Estudo das assímptotas ao gráfico de uma função

Assimptotas Verticais

A recta de equação ax é assimptota vertical do gráfico de f , se e só se

xfax

lim ou xfax

lim .

Para determinar as assimptotas verticais do gráfico de uma função, deve-se em primeiro lugar determinar os pontos onde a função não é contínua ou então, os pontos que não pertencem ao domínio da função.

Nota: Se o domínio da função é , o gráfico da função não tem assimptotas verticais.

Assimptotas não verticais:

Assimptotas Horizontais

A recta de equação by é assimptota horizontal do gráfico de f , se e só se

bxfxlim ou bxf

xlim .

Nota: O gráfico de uma função, tem no máximo, duas assimptotas horizontais, uma quando x e outra quando x .

Se o domínio da função for um intervalo limitado, então o gráfico da função não admite assimptotas horizontais uma vez que não é possível calucular xf

xlim nem

xfxlim .

Assimptotas Obliquas

A recta de equação bmxy é assimptota obliqua ou não vertical do gráfico de f ,

se e só se 0lim bmxxfx

ou 0lim bmxxfx

.

Como determinar o valor de m (declive) e de b (ordenada na origem)?

xxfm

xlim

mxxfbxlim

Notas:

O gráfico de uma função tem, no máximo, duas assímptotas não verticais, uma quando x e outra quando x .

Quando estes limites não existem ou não são números reais, o gráfico da função não admite assímptotas não verticais.

Sendo m e b números reais, se 0m a assimptota diz-se oblíqua e se 0m ,trata-se de uma assimptota horizontal.

Resolução:

a.Assímptotas verticais

0sin2sinsin2sinlimlim

00sin02sinsin2sinlimlim00

xxxg

xxxg

xx

xx

Não existem assímptotas verticais

Assímptotas não verticais

Como o domínio da função é um intervalo limitado, a função não tem assímptotas não verticais.

Definição de derivada num ponto

Seja xf uma função definida num intervalo aberto A e Ax0 .

A derivada de xf no ponto Ax0 (representa-se por 0xf ), é dada por:

hxfhxfxf

h

00

00 lim ou 0

00

0

limxx

xfxfxfxx

.

O valor de 0xf , é o valor do declive da recta tangente a xf no ponto de

abcissa 0x , ou seja, é o declive da recta tangente a xf no ponto de coordenadas

00 , xfx .

De uma maneira geral, se xf é derivável no ponto de abcissa 0x , a equação que

define a recta tangente ao gráfico de f no ponto 00 , xfx é dada por:

000 xxxfxfy

Nota: O declive da recta normal a xf no ponto de abcissa 0x é dado por:

0

1xf

m

b.O declive da recta normal a xf no ponto de abcissa 0x é dado por

01

gm .

Utilizando a alínea anterior, facilmente determinamos o declive.

111m .

A recta normal é uma função afim do tipo bxy .

Para determinar a ordenada na origem, o b, precisamos das coordenadas de um ponto por onde passe a recta, que será o ponto 0,0 g , ou seja, o ponto 0,0 .Substituindo em bxy , obtemos o valor de b.

0010 bb

Portanto, a equação da recta normal a xf no ponto de abcissa 0x é dada por xy .

c. Em primeiro lugar, comecemos por traduzir o problema. Queremos determinar o ponto onde a ordenada, y , é igual ao quadrado da abcissa, 2x .

Assim, queremos encontrar a solução de 2xy , ou seja, 2xxg .

Utilizando a calculadora gráfica vamos então inserir as duas funções.

xxY sin2sin1

22 xY

Utilizando a janela de visualização1 2,2,0 , obtemos os seguintes gráficos:

Para determinar a intersecção das duas funções, vamos utilizar o comando intersectda calculadora gráfica (nas máquinas Texas, second-calc-intersect).

Obtemos assim o ponto A de coordenadas 37.0;61.0 . Finalmente, vamos marcar os pontos que faltam. O ponto O, origem do referencial e o ponto B, projecção ortogonal de A sobre Ox.

1 Sempre que não se consiga encontrar uma janela de visualização adequada, pode-se recorrer à opção ZoomFit. Esta opção, geralmente, dá uma boa visualização para o gráfico em questão

Para calcular o perímetro do triângulo OAB , basta-nos calcular OA , pois é trivial

verificar que 61.0OB e 37.0AB .

Para determinar OA , vamos utilizar a distância entre dois pontos no plano (poderíamos ainda utilizar o Teorema de Pitágoras).

71.037.061.037.0061.00 2222OA

Assim, o perímetro do triângulo OAB é dado por:

..69.137.061.071.0 cuABOBOA