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Matemática Comercial e Financeira

Professor Lucas Carvalho

Conceito

Matemática Comercial: É a disciplina que estuda as operações correntes do comércio.

Ex: Análise de custo de aquisição de mercadorias, fixação de preços de venda, determinação de margens de lucro, negociação de descontos.

Matemática Financeira: É a disciplina que estuda o quanto vale o dinheiro ao longo do tempo. É o instrumento usado para avaliar e regular as operações à prazo e nos permite comparar valores monetários ao longo do tempo.

Ex: Taxas de juros simples e compostos, capitalizações e atualizações, mecanismos de financiamentos e aplicações de recursos, instrumentos e recursos do mercado financeiro.

Por que estudar Matemática Financeira?

• Para responder dúvidas frequentes do nosso dia-a-dia:

• Comprar à vista ou em 3 vezes iguais?

• Quanto poupar por mês, durante quantos meses, para comprar algo no futuro?

• Mesmo produto com diferentes condições de pagamento. Qual a melhor opção?

Entender o “Marketing Financeiro”

O que é o dinheiro?

Dinheiro: (S, m.) “1. Mercadoria (geralmente representada por

cédulas e moedas) que tem curso oficial, e cujo valor é estabelecido

como o equivalente que permite a troca por outra(s) mercadoria(s), de

cujo valor comparativo é a medida.

O Dinheiro

PORQUE SURGIU O DINHEIRO?

A Essência do ser humano e suas relações de troca!

É POSSÍVEL ALUGAR O DINHEIRO?

Ao longo desta unidade veremos que o dinheiro é uma mercadoria que se negocia!

O Dinheiro

O dinheiro muda de valor ao longo do tempo, mesmo que o seu valor de face seja o mesmo, seu valor irá mudar.

O valor de uma quantia de dinheiro será diferente de acordo com a data em que essa quantia estiver disponível para ser usada.

• INFLAÇÃO

• CUSTO DE OPORTUNIDADE

O dinheiro pode ser representado por dois valores:

• Valor Presente (PV - Present Value)

• Valor futuro (FV - Future Value)

O valor do dinheiro no tempoO valor do dinheiro no tempo

Quanto mais distante for a data futura em que estiver

disponível a quantia, menor será seu valor na data de hoje

(Valor Presente)

A quantia disponível na data futura é chamada de Valor

Futuro.Reflita

O que é melhor: ganhar R$ 1.000,00 hoje ou daqui a um ano?

Conversão de MoedasCada país possui sua respectiva moeda, com valor próprio;

Podemos converter o valor que uma moeda possui em um determinado país, no valor de outra moeda, de outro país.


O poder de compra de US$ 100,00 nos EUA é diferente do poder de compra de R$ 100,00 no Brasil.



O VALOR DO DINHEIRO E A INFLAÇÃO

Inflação: Aumento generalizado de preços.

Se o preço de um produto aumenta constantemente, precisamos de cada vez mais dinheiro para comprar um mesmo produto.

A TAXA DE JUROSA TAXA DE JUROS

CONCEITO DE JUROS

• Remuneração do Capital

• Preço que se paga pelo uso do dinheiro

• Produtividade do Capital

• Preço que se cobra pelo risco de ficar sem o capital

• Preço que se atribui à falta de capital

CONCLUSÃO: Dinheiro é um bem que pode ser negociável e possui um preço pelo uso: OS JUROS

As diversas linguagens das taxas de jurosAs diversas linguagens das taxas de juros

Apesar de tantos nomes, todas as taxas procuram interpretar um único fato:

Principal Coeficiente MontanteX =

Capital inicial,aplicado ouemprestado

Fator que reajusta o

capital

Resultado da aplicação ou

do empréstimo

Esse coeficiente é interpretado nas diversas linguagens de taxas de juros, mas de “fato” é sempre um só.

As características comuns dos fatores de As características comuns dos fatores de produçãoprodução

Como podemos gerar riqueza?

Podemos produzir riqueza alugando bens que possuímos a quem pagar por isso.

Venda de bens não é um meio de produzir riqueza pois isso apenas a transforma. A única possibilidade de venda produzir riqueza é quando o produto vendido não se esgotar.

As características comuns dos fatores de As características comuns dos fatores de produçãoprodução

Quais são os fatores de produção capazes de gerar riqueza?

TERRA TRABALHO CAPITAL

Pode ser alugada

Remunerado pelo salário

Rende juros

O valor dessa riqueza é determinado pela oferta e pela procura

Conceitos Fundamentais

• Capital ou valor principal: é o valor de uma quantia em dinheiro “na data zero”, ou seja, no início de uma aplicação.

•Juros: são a remuneração paga pelo uso do dinheiro.

•Juros (capitalização) simples: o juro de cada intervalo de tempo sempre é calculado sobre o capital inicial emprestado ou aplicado.

•Juros (capitalização) composta: o juro de cada investimento é calculado a partir do saldo no início do correspondente de cada intervalo

•Taxa de juros: representa a razão entre o juro e o capital

•Prazo ou período de capitalização: é o tempo pelo qual o capital é aplicado

Conceitos Fundamentais

• Montante: é a soma do capital inicial co o juro produzido em determinado tempo.

•Prestação: é a parcela contínua que amortiza o capital e os juros, dedução do montante a ser pago.

•Desconto: é um abatimento oferecido sobre o valor nominal de um título ou sobre um montante de uma dívida a vencer, quando paga antecipadamente.

•Capitalização: é o processo de aplicação de uma taxa de juros sobre um capital, resultando em juros.

•Descapitalização: quando sabemos o montante e queremos saber o valor atual.

Capitalização Simples

• Neste regime, os juros são calculados sempre sobre o valor inicial, não correndo qualquer alteração da base de cálculo durante o período de cálculo de juros.

niVPJ

Número de períodosNúmero de períodos

Taxa de jurosTaxa de juros

Valor presenteValor presente

Total dos jurosTotal dos juros

Questão de concurso

Montante

JCM

• É a quantia total após o período de capitalização do valor aplicado.

Juros Juros

Valor presenteValor presente

MontanteMontante

Questão de concurso

Descontos simples

• São juros recebidos (devolvidos) ou concedidos quando o pagamento de um título é antecipado. O desconto é a diferença entre o valor nominal (o que se pagaria no final do período) e o valor atual .

C - SD

Valor atualValor atual

Valor nominalValor nominal

DescontoDesconto

Descontos simples – TIPOS:

• Por fora (comercial ou bancário): o desconto é calculado sobre o valor nominal do título

S.i.t Df



Desconto por foraDesconto por fora

Período que foi antecipadoPeríodo que foi antecipado

• O valor atual (o valor a ser pago) será

Questão Cespe 2010


• Valor a ser pago (valor atual)

i.t)S.(1 C






• Por dentro (racional): O desconto é calculado sobre o valor atual do título

C.i.t Dd



Desconto por dentroDesconto por dentro



• Valor a ser pago (valor atual)

i.t)S/(1 C





Equivalência de Taxas

• Quando a taxa de juros e o período estão em diferentes períodos, mês ano, semestre dia... Devemos efetuar a adequação,ou seja, deixá-las no mesmo referencial.

11 / tqtq ii

iq - Taxa para o prazo que eu quero

it - Taxa para o prazo que eu tenho

q - Prazo que eu quero

t - Prazo que eu tenho

Questão Cespe 2010

Taxas

• Tipos de taxas de juros:

1.Exata: considera o tempo segundo o calendário normal

2.Comercial: considera o tempo como comercial

3.Efetiva: quando o tempo e a taxa estão no mesmo período, mês-mês, ano-ano...

4.Nominal: quando o tempo e a taxa estão em diferentes períodos temporais, ex taxa em meses e tempo e ano, nestes casos é aconselhável realizar a conversão.

Taxas


5. Taxa real: é, simplesmente, a taxa efetiva descontada da inflação do período.

ir = taxa de juros real

ie = taxa de juros efetiva

f = taxa da inflação

Taxas


6. Taxa aparente: é formada pela taxa de juros real e pela taxa de inflação.

ir = taxa de juros real

f = taxa da inflação

Questão Cespe

Capitalização composta

• No regime de capitalização composta, os juros produzidos num período serão acrescidos ao valor aplicado e no próximo período produzirão juros, formando o chamado “juros sobre juros”



MontanteMontante

PeríodoPeríodo

tiCM 1.

Capitalização composta

C-MJ


MontanteMontante

JurosJuros

• Os juros a cada período são incorporados ao principal para o cálculo dos juros do período seguinte.

Questões Cespe

Descontos composto

C - MD



DescontoDesconto

• São juros recebidos (devolvidos) ou concedidos quando o pagamento de um título é antecipado. O desconto é a diferença entre o valor nominal (o que se pagaria no final do período) e o valor atual .

tiCM 1.

tiMC 1/

Período totalPeríodo total

Período antecipadoPeríodo antecipado

Séries de Pagamentos Uniformes

Quanto ao número de prestações : Finitas : quando ocorrem durante um período pré-determinado de tempo Infinitas : ou perpetuidades, ocorrem quando ocorrem de forma ad eternum. Isto é, quando os pagamentos ou recebimentos duram de forma infinita.

Quanto à periodicidade dos pagamentos : Periódicas : quando os pagamentos ocorrem a intervalos constantes Não-periódicas : quando os pagamentos ou recebimentos acontecem em intervalos irregulares de tempo

Quanto ao valor das prestações : Uniformes : quando as prestações ou anuidades são iguais. Não-uniformes : quando os pagamentos ou recebimentos apresentam valores distintos

Quanto ao prazo dos pagamentos : Postecipadas : quando as anuidades iniciam após o final do primeiro período Antecipadas : quando o primeiro pagamento ocorre na entrada, do início da série

Quanto ao primeiro pagamento : Diferidas : ou com carência, quando houver um prazo maior que um período entre a data do recebimento do financiamento e data de pagamento da primeira prestação Não diferidas : quando não existir prazo superior a um período entre o início da operação e o primeiro pagamento ou recebimento.


VP = Valor PresenteVP = Valor Presente

PMT = Prestações ou PagamentosPMT = Prestações ou Pagamentos

0

n = número de pagamentos iguaisn = número de pagamentos iguaisCarênciaCarência

m +1m +1


mn

n

ii

iiPVPMT

111

1

Onde :Onde : PMT = Pagamento periódico igualm = carência em número de períodosn = número de pagamentosPV = valor presentei = taxa de juros

• A fórmula básica para uso em séries uniformes pode ser apresentada como :

Séries de Pagamentos Uniformes – Postecipados

Valor PresenteValor Presente

n Pagamentos Periódicosn Pagamentos PeriódicosSem EntradaSem Entrada

PMT

O pagamento ocorreO pagamento ocorreao final do primeiroao final do primeiro

períodoperíodo

0

Séries de Pagamentos Uniformes – Antecipados

Valor PresenteValor Presente

N Pagamentos PeriódicosN Pagamentos PeriódicosCom EntradaCom Entrada

0

AntecipadaAntecipada

PMT

O pagamento ocorreO pagamento ocorreno início do primeirono início do primeiro

períodoperíodo

Planos ou Sistemas de Amortização de empréstimos ou financiamento

Conceito: É a maneira como uma dívida evolui, por meio de pagamentos periódicos. A soma das prestações corresponderá ao reembolso dos juros e do capital. Prestação = Amortização + Juros•Tipos:

1.Sistema de Amortização Constante - SAC2.Sistema de Amortização Crescente – SACRE

3.Sistema Francês de Amortização – Tabela Price

4.Sistema Alemão de Amortização

5.Sistema Americano de Amortização

6.Sistema de Amortização Misto - SAM

Sistema de Amortização Constante - SACO tomador do empréstimo amortiza o saldo devedor em valores iguais e constantes, ao longo do período.Considera-se apenas o regime de juros compostos:

Questão Cespe

Sistema Francês de Amortização – Tabela PriceFoi elaborado para apresentar pagamentos iguais ao longo do período do desembolso das prestações. A fórmula para encontrarmos a prestação é dada a seguir:

PMT = valor da prestaçãoVP = valor inicial do empréstimoi = taxa de jurosn = período

Sistema Francês de Amortização – Tabela PriceA fórmula foi desenvolvida, considerando-se apenas a capitalização por juros compostos. O resultado é listado a seguir:

Sistema de Amortização Misto - SAM É a média aritmética das prestações calculadas nas duas formas anteriores (SAC e Price). É encontradopela fórmula:

Sistema de Amortização Crescente – SACREEste sistema, criado pela Caixa Econômica Federal (CEF), é uma das formas utilizadas para o cálculo das prestações dos financiamentos imobiliários. Usa-se, para o cálculo do valor das prestações, a metodologia do sistema de amortização constante (SAC) anual, desconsiderando-se o valor da Taxa Referencial deJuros (TR). Esta é incluída posteriormente, resultando em uma amortização variável. Chamar de “amortização crescente” parece-nos inadequado, pois pode resultar em amortizações decrescentes, dependendo da ocorrência de TR com valor muito baixo.

Sistema Alemão de Amortização

Neste caso, a dívida é liquidada também em prestações iguais, exceto a primeira, onde no ato do empréstimo (momento “zero”) já é feita uma cobrança dos juros da operação. As prestações, a primeira amortização e as seguintes são definidas pelas três seguintes fórmulas:

Sistema Alemão de Amortização

Sistema Americano de Amortização

O tomador do empréstimo paga os juros mensalmente e o principal, em um único pagamento final.Considera-se apenas o regime de juros compostos

Análise de Investimentos

• Para analisar um investimento financeiro é necessário compreender a ligação entre capital, tempo e juro.• Entender o processo de capitalização (crescimento do poder de compra, moeda) e de atualização (valor real na data zero do investimento)•O rendimento é o resultado da produção de bens e serviços num determinado período de tempo, podendo ser quantificado através da moeda.


• O rendimento pode ser classificado:1.Rendimento do setor privado: que tem como fontes o salário, as rendas, o juro e o lucro.2.Rendimento do setor público: é uma medida do fluxo de bens e serviços na economia de um pais.•O rendimento pode ser aplicado em duas formas:1.Em consumo: é o total de despesa em bens e serviços. Deste não resulta em qualquer retorno sobre o capital investido.


2. Em poupança: é o rendimento excedente do consumo.

• A poupança é dividida em dois segmentos:1. O entesouramento: consiste em guardar a

poupança em forma de moeda, não permite nenhum ganho ao longo do tempo.

2. O investimento: consiste em reaplicar o dinheiro com o objetivo de ter retornos em seus investimentos


• O investimento pode distribuído em duas áreas: 1. Investimento real direto: bens, equipamentos...2. Investimento financeiro: títulos, ações ...


• Capital, Tempo e JuroA essência do cálculo financeiro reside num único

conceito- o valor temporal do dinheiro. O valor do dinheiro muda ao passar do tempo.

Verifica-se que o tempo tem extrema importância em qualquer análise que envolva capitais e, portanto, é necessário atribuir-lhe um valor. Esse valor denomina-se juros.


• Capital, Tempo e JuroO juro existe por três razões:1. Privação da liquidez: ao cedermos capital a

outrem estamos perdendo a oportunidade de escolher o que fazer com o capital.

2. Perda do poder de compra: a inflação faz com que o valor do dinheiro se altere ao longo do tempo.

3. Risco: ao cedermos capital não existe garantia que o recuperemos.


• Capital, Tempo e JuroO juro depende destes três fatores (capital, tempo e

taxa) de forma direta, em que se algum deles alteram o juro sofre variação diretamente proporcional.

Para ou operar com capitais é necessário que estes estejam reportados ao mesmo período de tempo.

Temos dois tipos de capitais: o único e o conjunto de capitais.


• Capital, Tempo e Juro


• Operações FinanceirasAs operações são divididas em:1. Curto prazo (menos de um ano);2. Médio prazo (entre um e cinco anos)3. Longo prazo (mais de cinco anos)

Os custos são medidas monetárias que tem que arcar a fim de atingir seus objetivos

Álgebra das Proposições

• Conceitos fundamentais:1. Proposição é uma declaração, podendo ser

afirmativa ou negativa.2. Axioma é quando podemos atribuir um valor

lógico V ou F3. Tipos de Proposições:3.1 Fechada é aquela que podemos garantir como

sendo verdadeira ou falsa.3.2 Abertas é aquela que contém uma variável, um

elemento desconhecido, portanto, não podemos garantir que seja verdadeira ou falsa.


3.3 Simples é uma proposição única, isolada.3.4 Composta quando formada por duas ou

mais proposições.4 Tautologias é uma proposição em que os

seus valores lógicos são Verdadeiros5. Contradição é uma proposição em que

todos os seus valores lógicos são falsos.6. Tabela Verdade Forma de representar todos

os valores lógicos possíveis de uma proposição ou suas combinações.


7. Proposições equivalentes são proposições cujas tabelas verdades são iguais.

Aprendendo a negar uma proposição

1. Antepondo-se a expressão “não” ao seu verbo.Ex: Lucas é bonito – Lucas não é bonito2. Retirando-se a negação antes do verboEx: Fulano não vai dormir – Fulano vai dormir3. Substituindo-se um termo da proposição por um de seus

antônimos.Ex: Ricardo é magro – Ricardo é gordo


Montagem de uma tabela verdadeUma proposição Três proposições

Duas proposições


• Conectores Lógicos


Ex: Eu gosto de assistir o canal A e o canal B


Ex: Eu gosto de assistir o canal A ou canal B


Apenas uma proposição é verdadeira e outra é falsa.

Ex: Ou Antônio é alagoano ou é sergipano


• Se Marcos passar de ano então passou em matemática


• Um filho pode jogar vídeo game se e somente se ele estudar

Questões

Questões

• IBFC - 2013 - SEPLAG-MG – Pedagogia

Se o valor lógico de uma proposição P é verdadeiro e o valor lógico de uma proposição Q é falso, então é correto afirmar que:

a) o condicional entre P e Q , nessa ordem, é verdade.

b) a disjunção entre P e Q é verdade.

c) a conjunção entre P e Q, nessa ordem, é verdade.

d) o bicondicional entre P e Q, nessa ordem, é verdade.

Questões

• CESPE - 2013 - PC-DF - Agente de Polícia

A proposição [P V Q] → Q é uma tautologia.

Questões

Questões

• CESPE - Agente Técnico de Inteligência/Administração/2010

A negação da proposição "estes papéis são rascunhos ou não têm mais serventia para o desenvolvimento dos trabalhos" é equivalente a "estes papéis não são rascunhos e têm serventia para o desenvolvimento dos trabalhos"

• CESPE - Agente Técnico de Inteligência/Administração/2010

A proposição "um papel é rascunho ou não tem mais serventia para o desenvolvimento dos trabalhos" é equivalente a "se um papel tem serventia para o desenvolvimento dos trabalhos, então é um rascunho

Questões

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