O FORMALISMO INTEGRAL PARA UM VOLUME DE CONTROLE

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A Revista Eletrônica da Faculdade de Ciências Exatas e da Terra

Produção/construção e tecnologia, v. 4, n. 7, 2015

ISSN: 23170336

O FORMALISMO INTEGRAL PARA UM VOLUME DE

CONTROLE

HENRIQUE, G.1, MICHELS F.S.2, PASSOS W.3

RESUMO: O teorema do transporte de Reynolds procura romper com o paradigma da análise do volume do volume de controle a partir do comportamento individual das partículas. O interessante também é a abordagem abrangente do teorema, tendo de básicos princípios da física, isto é, a termodinâmica, a segunda lei de Newton e a lei conservação da conservação de massa, generalizados por uma propriedade extensiva, relacionada com uma propriedade intensiva, de modo a atingir suas formulações padrões. Apesar de aparentemente abstrato, será visualizado adiante, um encaminhamento de fácil entendimento, tomando a principio um sistema de escoamento, onde será especificado um volume de controle e a relação deste com o movimento do sistema nos instantes iniciais e finais, proporcionando as adequadas condições para serem definidas a variação de qualquer propriedade extensiva em relação ao tempo e finalizar com aplicações fornecendo idealizações das verdadeiras aplicabilidades dessa ferramenta extremamente importante na mecânica dos fluidos. PALAVRAS CHAVE: Transporte, Volume, Fluido, Reynolds.

INTEGRAL FORMALISM FOR A CONTROL VOLUME

ABSTRACT: The Reynolds transport theorem seeks to break with the paradigm of analysis of the volume of the control volume from the behavior of individual particles. Interesting is also the comprehensive approach theorem, with basic physical principles, i.e., thermodynamics, and Newton's second law of conservation law of conservation of mass, generalized by extensive property related intensive property, order to achieve their standards formulations. Though seemingly abstract, will be displayed below, a referral is easy to understand, at first taking a drainage system, which will be specified a volume control and its relation with the movement of the system in the initial and final moments, providing the right conditions for be set to any extensive property variation with respect to time and providing an application finish idealizations of the actual applicability of the tool extremely important in fluid mechanics. Keys words: Transport, Volume, Fluid, Reynolds.

INTRODUÇÃO

A mecânica dos fluidos é uma área dos fenômenos dos transportes que estuda

tanto a estática quanto a dinâmica dos fluidos e suas implicações. As áreas de aplicação

são das mais diversas, como no funcionamento de organismos, como no bombeamento

do sangue realizado pelo coração, na respiração. Nesse aspecto, as máquinas vitais (de

respirar ou de diálise) na medicina utilizam os princípios da dinâmica dos fluidos.

1 Acadêmico do Curso de Engenharia Civil (UNIGRAN), E-mail: [email protected]

2 Doutorando em Ciências e Tecnologia (UFGD)

3 Docente do Curso de Engenharia Civil (UNIGRAN)

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Dentre exemplos mais diretamente ligados a Engenharia Civil, estão os mais

simples do cotidiano, como uma torneira ou pequenos canais de escoamento, ou

também alguns mais complexos, como redes de canalização, dutos de aquecimento ou

resfriamento, pontes (interação fluido estrutura). Em outras Engenharias, a mecânica

dos fluidos também demonstra a sua elevada importância, em Engenharia Mecânica é

fundamental no transporte de combustível, por exemplo, do automóvel, havendo

tubulações, injetores, carburador, e analisando mistura de ar e combustível, descarga de

gases, entre vários outros sistemas.

O freio hidráulico, a direção hidráulica, a transmissão automática, o sistema de

lubrificação, são sistema essenciais na projeção do bloco de motor. Enfim, a mecânica

dos fluidos auxilia no projeto de embarcações, aeronaves, foguetes, submarinos,

turbinas, dispositivos biomédicos, refrigeração de componentes eletrônicos, transporte

de gases e líquidos, além de possuir extremo significado quando se trata de edificações,

ajudando a elas resistirem à força do vento ou a fenômenos naturais em geral.

Todas essas aplicações modernas das mais variadas escalas de complexidade

tiveram inicio a tempos antigos. A primeira contribuição possibilitando o inicio e

desenvolvimento dos estudos até alcançar o atual grau de desenvolvimento das grandes

cidades, foi como matemático grego Arquimedes (285-212 a.C.), formulando o empuxo

para determinar a massa de ouro na coroa do Rei Hiero I, mas também esteve presente

na ampliação urbanística com as construções de aquedutos pelos romanos, fornecendo

água limpa e um modo de irrigar plantações. Na idade média, poucos foram os avanços

significativos, mas na Renascença houve consideráveis avanças, estendendo uma

análise cientifica pela publicação do primeiro texto sobre mecânica dos fluidos, de

Bernoulli (1700-1782), chamado Hydrodynamic.

No meio tempo até o século XX vários foram os avanços realizados por Hagen,

Reynolds, Stokes, Thomson, Kelvin, entre outros, porém os avanços mais conhecidos

pela sociedade em geral e relembrados, foram prestados no século XX com Santos

Dumont e os irmão Wright aplicando teoria à prática no aperfeiçoamento dos conceitos

de planagem no ar, servindo de base ao desenvolvimento do avião moderno. Hoje, além

das intrincadas, mas comuns aplicações exemplificadas anteriormente, existe o

dimensionamento em escalas mundiais das geniais teorias principalmente do século

anterior. A tecnologia possibilitou a ampliação e o grau de urbanização nunca

imaginada, a partir de uma das áreas mais importantes da engenharia, a Mecânica dos

Fluidos.

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O formalismo para um volume de controle é o início da fundamentação da

dinâmica dos fluídos, dentro dos seus campos práticos de atuação. O teorema decorre de

alguns conhecimentos de física, como quantidade de movimento linear, quantidade de

movimento angular, termodinâmica e conservação da massa. Dependo das condições

em análise do fluído, cada propriedade é aplicada de acordo com o contexto. Dessa

maneira, a finalidade dessa produção é saber aplicar corretamente cada caso na devida

situação. Mantendo na realidade, noções fundamentais em utilizações, como a adiantada

pela análise do acumulador hidráulico.

Torna-se claro assim que o assunto não é absurdo e distante, mas claramente

aplicável a ciências práticas como a Engenharia. As análises de infográficos auxiliarão

para ponderar variações e observar com clareza os resultados. O resultado disso é um

trabalho teórico sem deixar de ser próximo do dia a dia de profissões fundamentais para

a sociedade, onde o teorema além de ser indispensável em muitos casos, possui sua alta

funcionalidade e englobamento.

MATERIAIS E MÉTODOS

Dentre os recursos utilizados para o desenvolvimento do artigo, incluíram

materiais didáticos em geral, dentre eles livros, artigos, buscando maneiras alternativas

de revisar e proporcionar uma melhor adaptação coerente a proposta de deduzir o

Teorema do Transporte de Reynolds, aplicar as principais Leis da Física Clássica e

demonstrar por meio de problemas a aplicação prática do estudo.

A metodologia aplicada na formulação integral (para um sistema) do volume de

controle tem por principal característica um raciocínio de buscar compreender a origem

do teorema, e aplicá-lo dentro do contexto de dedução com volume de controle fixo, a

situações reais. Isso foi realizado por meio de cálculos sem o uso de tecnologias

especificas, explicando cada processo.

RESULTADOS E DISCUSSÃO

Equação básica para volume de controle

Até este ponto, foram realizadas apenas revisões fundamentais para

compreender e utilizar de forma eficaz, o teorema do transporte de Reynolds. Ele irá

permitir dado um volume de controle em um intervalo de tempo definido, calcular a

variação total da massa, do momento linear, do momento angular, da energia interna ou

da entropia. Será possível, portanto, analisar o sistema como um todo sem recorrer a

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análise de cada partícula, mas a partir do volume de controle limitado pelas superfícies

de contato.

Admitindo um arbitrário para qualquer das propriedades descritas e um

dependente, isto é, um termo relacionado a propriedade do sistema e proporcional a uma

pequena variação de massa, o correspondente é:

Integrando para volume, mas mantendo a proporcionalidade entre a massa do

sistema (resultado da integral) e a propriedade interligada :

Se é o momento linear, então é a velocidade do escoamento. Se é a

energia do sistema, então é a energia pela porção de massa considerada. E assim por

diante, uma variável completando a outra dentro da Eq. 2 1 ou 2 2. Retornando à

algumas definições, é possível determinar através de um volume de controle

coincidindo com o fluxo de massa de um especifico espaço de escoamento e, após um

tempo , onde não mais coincidem, é determinada a variação da propriedade do

fluido em curto espaço de tempo (diferencial).

A definição de diferencial pelo limite permite a visualização do movimento do

sistema conforme o fluxo. Lembrando que o volume de controle é uma porção fixa.

Portanto, adotando como estado inicial o de coincidência entre o volume de

controle e o sistema, e como o estado sem coincidência, ou melhor, tendo uma

variabilidade da parte do sistema em diferentes instante relativos ao volume de controle,

encontra-se:

Eq. 1

Eq. 2

Eq. 3

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Figura 1. Em (a) O volume de controle e o sistema coincidem no instante . Com

, o sistema varia devido ao escoamento do fluído e o volume de controle, por

definição, se mantém imóvel.

É preciso denotar o que vem a ser e . O primeiro significa

qualquer propriedade extensiva no segundo instante (figura 3-1-b), ocupando o espaço

II do volume de controle e o III extrapolado. Isso acarreta em:

Com :

A propriedade extensiva em é igual à mesma no volume de controle:

Logo, a Eq.3 com a soma dos limites igual ao limite das somas, se torna:

No primeiro termo, a variação de em dentro da definição de derivada por

limite não é o diferencial a ser obtido, mas sim o limite como um todo. Logo este limite

é visto como uma parcialidade da derivada com as três posições ou espaços

cada um com suas propriedades . Introduzindo a derivada parcial de notação :

Como:

Isolando a diferencial parcial da integral para volume de controle:

Eq. 4

Eq. 5

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Para a região em que há saída do volume de controle, ou o momento posterior

com a mudança de posição do fluido, há um ângulo entre o vetor velocidade e o vetor

normal a superfície de controle. Veja o esquema:

Figura 2. No primeiro caso (a), ocorre a entrada do fluido, e em (b) ocorre a saída.

Na Figura 2-a, o vetor perpendicular a superfície de controle forma uma

ângulo maior que com . O volume de fluido passando pela superfície de

controle é , com representando o deslocamento de uma partícula qualquer.

Por o volume passa a ser designado como ,

com .

Assim, para a região I:

Substituindo no segundo termo da Eq. 4, o negativo será cancelado, não tendo

um volume aparentemente negativo, e a integral inserida no limite é uma constante para

o tempo, de modo que o resultado será uma integral para a superfície de controle com o

tempo anulado pelo limite. Observe o processo:

O procedimento para a região III (de saída, Figura 2-b) é análogo, mas a

diferença reside no fato de o ângulo ser menor , não tendo o sinal negativo na

propriedade extensiva para a região. O volume do fluxo posto em função do produto

escalar , juntamente com a integral substituída no terceiro termo da Eq. 4,

cancelando a variação do tempo e resolvendo o limite para constante no tempo, possui a

notação matemática:

Eq. 6

Eq. 7

29



Para o volume, é considerada uma velocidade ortogonal a qualquer superfície de

incidência direta do fluido pela entrada e saída do mesmo volume. Sendo que o simples

produto escalar , especifica a massa, e não havendo relações trigonométricas no

formato final do teorema.

A definição de derivadas pelo limite representou no primeiro instante a taxa de

variação da propriedade extensiva com um intervalo de tempo pequeno o bastante

para determinar o volume de controle nesse instante de escoamento. Basicamente,

podem-se substituir os resultados encontrados até então, e ter uma maneira de cálculo

com termos viáveis. Isso é possível porque o fluido é uniforme, de modo que parte do

escoamento (o volume de controle) seja o necessário para especificar as propriedades

para o sistema. O que o teorema propôs é uma maneira viável, com termos reais em

dadas condições de escoamento uniforme ter uma nova visão para o sistema. Então:

As superfícies de controle influenciáveis são e , devido a direção das linhas

de corrente. Portanto, outra representação, generalizada, descrita somente por superfície

de controle , está abaixo:

Conservação da massa

A chamada equação da continuidade é aplicável, por exemplo, ao determinar o

tempo necessário para encher um tanque de líquido, a taxa de vazão. Em geral, a partir

da variação temporal da massa constante e da equação básica para volume de controle, é

gerada a equação responsável pela resolução desses problemas sem utilizar o sistema,

mas sim o volume de controle, tornando a resolução e a aplicação muito mais funcional.

Primeiro é necessário visualizar o sistema. Isso significa retomar o seu conceito.

Sendo o sistema uma quantidade fixa de material, a taxa de variação da massa do

mesmo em ralação ao tempo é nula. Logo, em diferenciais, a massa, generalizando para

o sistema, é em termos de volume a integral da massa especifica, de modo que o

diferencial do volume nessa notação será, na realidade, a somatória dos denominados

Eq. 8

30



volumes elementares, as partes da variação ínfima para uma mesma variação de massa

(definições de diferenciais). Então:

Onde massa propriamente dita do sistema é:

No teorema do transporte de Reynolds é definida a variação de uma propriedade

extensiva com tempo no momento de coincidência entre o volume de controle e o

sistema por meio da somatória da taxa de variação temporal da propriedade extensiva

no volume de controle e de fluxo através da superfície de controle. A propriedade

extensiva em questão é a massa, por conseguinte, a propriedade intensiva tem o valor

1, para que a variação com o tempo de no volume de controle seja coerente.

Fazendo o rearranjo:

A equação da conservação de massa (Eq. 3.1) tem igualdade, é claro, zero

(regime permanente, propriedades constantes). Consequentemente o primeiro membro

da equação é anulado e dessa forma é encontrada a chamada equação da continuidade:

Segunda lei de Newton

Partindo da segunda lei de Newton, com sua definição original (para momento

linear) pode ser feita uma especificação da equação para o volume de controle relativa a

força atuando nesse mesmo volume, quando ele é coincidente com o sistema em um

instante .

A segunda lei de Newton revela que a somatória das forças resultantes é igual à

massa multiplicada pela aceleração adquirida:

Ou para momento linear:

Eq. 9

Eq. 10

31



A taxa de variação do momento linear em relação ao tempo é expressa no

diferencial:

O teorema do transporte de Reynolds é dado por:

Denota-se que é a propriedade extensiva onde é locada a lei questão, e a sua

variação é a somatória das forças resultantes, sendo então interligada com o momento

linear. A somatória das forças sobre o sistema é em definição, pelo teorema, igual à

sobre o volume de controle, pois são consideradas no momento coincidente. A

propriedade intensiva é a relacionada com a massa através da lei, então . Portanto,

simplesmente substituindo a lei física geral para o sistema como o momento linear, com

sua variação no tempo representando a somatória das forças de corpo e superfície e a

propriedade relacionada à extensiva por unidade de massa, por , é obtida a dedução do

teorema em função da força:

A força é uma entidade vetorial, estando implícita a decomposição para cada

eixo em :

Primeira lei da termodinâmica

A Primeira Lei da Termodinâmica dita a energia interna de um sistema. E esse

processo é realizado convencionando sinais da interação desse sistema com o meio

externo. Para um trabalho ( ) realizado sobre o sistema é negativo e o trabalho

realizado pelo sistema sobre a vizinhança é positivo e o calor ( ) que sai do sistema é

Eq. 11

Eq. 12

Eq. 15

Eq. 14

Eq. 13

32



negativo e o que entra é positivo. Assim, em geral a energia interna do sistema será o

calor que entra no sistema menos o trabalho realizado pelo sistema sobre a vizinhança.

Adicionando a notação diferencial para demonstrar a energia interna dentro de

uma pequena variação do espaço ou do tempo, pois trata-se do fluxo de energia e

variação do trabalho, é deduzida imediatamente a relação para a energia interna do

sistema:

Na formulação integral para um volume de cotrole, são calculadas as leis de a

partir de um diferencial de massa, em função da área ou do volume, dependendo do

instante de escoamento, sendo necessária uma propriedade intrínseca a massa

(propriedade intensiva). Na formulação para energia em um escoamento, a propriedade

intensiva é a energia, mas a relacionada diretamente à massa (energia especifica),

definida pela soma da energia cinética, potencial, e interna associada ( ). Esta gera pela

integral a energia no volume de controle e na vazão, somadas, computam a variação da

energia durante o escoamento, desta vez para o sistema.

A energia específica é a somatória:

Todos esses conceitos iniciais são aplicados ao TTR (Teorema do Transporte de

Reynolds) empregando e resultando em:

A equação para energia, expressa que a mesma no sistema, é igual a somatória

da contida no volume de controle e em outros instantes por quais há vazão,

independente da quantidade, ou seja, a energia contida no fluxo pelas superfícies de

controle.

O termo é a potência que pode ser expressa de várias maneiras, de forma

que a representação acima é uma demonstração geral, onde dependem da aplicação, as

corretas interpretações desses trabalhos. A título de exemplo, há o trabalho realizado

pelos eixos de turbinas e bombas, designado por , há também o trabalho do

próprio escoamento, as chamadas forças de pressão ( ), e as

Eq. 16

33



dissipações da potência resultante do atrito viscoso, contrário ao fluxo do fluido

( .

Segunda lei da termodinâmica

Vários são os enunciados da segunda lei da termodinâmica, porém a aplicação

da descrição da entropia de um sistema será o utilizado, descrevendo uma lei

relacionada, porém ainda diferente das anteriores. Desse modo não terá somente mais

uma dedução para energia ou qualquer das outras leis.

A entropia ( , grau de desorganização do sistema) é proporcional à razão do

calor absorvido e o consequente aumento de temperatura durante uma perturbação. Se a

proporcionalidade for generalizada, terá a entropia como maior que a razão em

processos irreversíveis ou igual para processos reversíveis. A inserção de diferenciais,

possibilita visualizar as correspondentes e .

A realização as operações de álgebra, a partir da definição de entropia por

diferencias segue abaixo:

De maneira análoga a formulação global da energia, para a propriedade

intensiva, deve existir uma entropia especifica ( ) associada a pequena porção de massa

utilizada na integração, utilizada como base no calculo para o sistema. Com isso,

e :

Com o intuito de ter dimensões mais exatas, ou melhor, ter maiores

visualizações no que realmente ocorre no escoamento analisando a entropia, introduz-se

um elemento de área neutro no segundo membro, tendo o fluxo calor/entropia sobre

área, a notação . Por a variação da entropia no sistema com o tempo ser igual a

variação da energia com temperatura constante e o elemento de área ter sido adicionado

(se tratando da superfície de controle), o primeiro membro da Eq. 7.1 é substituído pela

integral:

Eq. 17

34



Logo:

A Eq. 7.2 revela que o fluxo de energia pela superficie de controle é menor ou

igual ( processos irreverssiveis ou reversiveis ) que a entropia contida no volume de

controle somada a que atravessa a superficie de controle.

Problema - Conservação de massa

Um acumulador hidráulico é projetado para reduzir as pulsações de pressão do sistema

hidráulico de uma máquina operatriz. Para o instante mostrado, determine a taxa à qual

o acumulador ganha ou perde óleo hidráulico.

Solução

Com a variação da massa do sistema em relação ao tempo e visualizando que a

propriedade extensiva , no caso de conservação de massa, é substituída por e com

isso, é finalizada a operação com 1, em decorrência da definição para a massa do

sistema e, por conseguinte, é equivalente a equação agora para volume. Portanto o

termo para volume de controle do Teorema do Transporte de Reynolds tem e

:

Figura 3. Acumulador hidráulico com a função de armazenar energia a partir da

pressão, de acordo com a necessidade, tendo o objetivo de reduzir as pressões do

sistema.

Eq. 18

35



Dizer que o sistema tem a sua massa conservada, é representar matematicamente

por:

O primeiro termo representa a variação da massa no volume de controle e o

segundo termo é a vazão de massa em relação a superfície de controle.

A superfície de controle é na realidade formada pelas áreas e . Então, duas

integrais na superfície de controle para esse caso. Além disso, pode-se também resolver

a primeira parte da Eq.2 do seguinte modo:

Por isso para a seção na posição inferior do acumulador hidráulico são

consideradas duas áreas (a superfície de controle propriamente dita) com o sentido do

vetor contrário à superfície de entrada e de saída. Colocando a Eq. 3 para as áreas

e com o respectivo sentido do vetor normal:

A área multiplicada pela velocidade do escoamento em tal momento

corresponde ao volume de vazão . Isto é:

E:

Eq. 19

Eq. 20

36



Sabe-se que a densidade relativa é dada por , substituindo

na Eq.5 e evidenciando :

Foi fornecido o dado do diâmetro de , é preciso então demonstrar para o

diâmetro, empregando a própria fórmula de área:

Como , , :

Transformando as unidades de modo a manter a uniformidade na equação:

Finalmente, o objetivo do problema é descobrir, em outras palavras, a variação

da volume de óleo hidráulico em relação ao tempo. Porque a taxa com que o

acumulador ganha ou perde óleo hidráulico é o mesmo que a variação da do volume de

controle em um espaço de tempo definido. O volume de controle é o acumulador. Isso é

dado pela diferencial da propriedade extensiva, mas agora expostos somente para

termos do volume de controle a partir de :

Ou:

É necessário saber a taxa de variação do volume de óleo, no caso, em função

de uma unidade de tempo . É preciso então isolar :

O valor para foi encontrado anteriormente , é

tabelado como 0,88 de acordo com a substância em estudo e sabendo que

, a equação anterior ganha o formato:

Eq. 21

Eq. 22

37



Da informação (galões, aproximadamente 3,78 ). O

resultado também pode ser expresso em outra unidade:

Problema- Segunda Lei de Newton

Um pequeno regador de gramados, giratório, é mostrado no esquema adiante.

Para uma pressão manométrica de entrada de 20 kPa, a vazão total em volume de água é

de 7,5 litros por minuto e o aparelho gira a 30 rpm. O diâmetro de cada jato é 4mm.

Calcule a velocidade do jato em relação a cada bocal do borrifador. Avalie o torque

devido ao atrito no pivô do aparelho.

Figura 4. Borrifador de gramado, com sistema rotacional constituído de braços e

pontas equivalentes

Solução

O problema requisita a determinação da velocidade relativa do jato em relação a

cada bocal. Com essa informação é retirada uma ideia que a princípio é fundamental na

resolução, por serem dois bocais ou superfícies de vazão, a área será multiplicada duas

vezes ao relacionar a velocidade relativa pela razão entre a vazão em massa e a área das

superfícies.

A vazão foi dada pelo enunciado, e seu valor é de 7,5 e a área do bocal é

obtida partindo de seu diâmetro. Assim, a velocidade relativa é a divisão desses valores,

multiplicando a área para os dois jatos. Admitindo essas informações e transformando

os dados nas unidades do SI:

38



Da equação baixo cada um dos termos serão avaliados no cálculo do torque.

O torque é decomposto para fins de generalização pela soma das forças de

superfície, forças de massa e pelas gerados em presença do eixo (seu valor é o desejado

no problema).

A pressão atmosférica e as tensões na superfície não alteram a quantidade de

movimento, então o primeiro termo do lado esquerdo da equação será nulo. Os

momentos dos braços do borrifas são iguais e opostos, levando em consideração o

sentido de rotação nos eixos cartesianos, logo o segundo termo do lado esquerda

equação também será nulo. O torque no eixo, é o torque devido ao atrito, e o eixo é o

ponto pivô de rotação dos braços do borrifador , seu movimento é contrário a

tendência na direção , consequentemente a expressão a calcular se reduziu

simplesmente em função de .

Figura 5. Vista em plano do deslocamento de um tubo com sua seção de vazão (a).

E vista em plano do deslocamento da ponta desse tubo.

Cada vetor de posição e velocidade precisa ser descrito nas coordenadas , a

análise inicial será para o volume de controle , terá sua descrição em comprimento

pelo vetor (o raio formado pela sua varredura) utilizando o chamado método analítico,

decompondo os vetores para os respectivos vetores. Sabendo que a velocidade

tangencial (formada pelos vetores velocidade tangente a curva) é o produto da

velocidade angular ao raio, a sua soma com a velocidade relativa ao tubo determina

a velocidade no fluido , obtida pela análise direcional de cada vetor. Como a

Eq. 23

39



velocidade no fluído pode ser decomposta pela análise bidimensional, a mensuração dos

valores é a decomposição dessa soma para cada um dos eixos, resultando na equação a

seguir.

Os sinais negativos indicam o sentido contrário do movimento no eixo.

O produto vetorial desejado é . Então é preciso de , obtido pela

decomposição do comprimento dos braços horizontais ou pelo raio varrido no

movimento desses braços, sua análise também é bidimensional.

Com isso, é equivalente a:

Para encontrar , é necessário realizar a determinante da matriz formada

pelas componentes de e em cada direção. Resultando em:

Neste momento, foram encontrado os valores pertinentes no cálculo do momento

angular contido no volume de controle, então substituindo o produto vetorial na

integração e a resolvendo para o comprimento do tubo , é obtida uma diferenciação

onde o princípio de conservação de massa (massa que entra igual à que sai) se faz

presente anulando o termo.

Logo, realizando a integral de um comprimento zero a do tubo (o

resultado será igual para o outro):

No Teorema do Transporte de Reynolds, a análise do escoamento acompanha

todos os instantes do mesmo. Além da análise do volume de controle, é necessária

também nos instantes de vazão pela superfície de controle. Desta vez a decomposição

dos vetores terá um formato diferente devido a adoção de toda a geometria de ,

decompondo simultaneamente cada vetor nas diferentes leituras angulares em

cada direção dos eixo . O raio do jato é a soma do comprimento da ponta e

do braço do tubo ( e , respectivamente). Tendo por base esses preceitos, encontra-se

, de , a propriedade intensiva do momento angular pela superfície de

controle.

Eq. 24

Eq. 25

40



Isto posto, e denotando ângulo entre a projeção de no plano xy, e o seu

próprio comprimento :

Se admitir que é muito menor que :

De modo análogo a velocidade do jato é identificada, somando a velocidade do

jato em relação ao bocal e a velocidade no tubo na ponta do braço .

Conhecer implica em verificar de modo vetorial a rotação da ponta e a formação do

ângulo em relação a projeção de no plano , e com isso representar cada elemento

no eixo relacionando .

Assim sendo:

A realização do produto vetorial entre e é o objetivo das últimas

deduções para aplicar o resultado no fluxo pela superfície de controle. Diante disso:

A integral para superfície de controle resulta apenas na direção por as outras

direções se anularem ao terem sinais contrários devido ao posicionamento dos braços.

Nesse caso a integral para a superfície de controle no sistema, possui apenas uma

componente, lembrando que o termo simboliza a vazão. Veja:

Foram analisados os termos da equação para o torque no sistema, e como

, pode-se calcular :

O cálculo de a partir dos dados fornecidos e convertendo para unidades do

SI, resulta em uma velocidade tangencial de . Substituindo em :

Eq. 26

Eq. 27

Eq. 31

41



Portanto o torque devido ao atrito no pivô do aparelho corresponde a

.

CONSIDERAÇÕES FINAIS

Portanto, a também chamada equação básica para volume de controle supõe

teorias para ser possível transmitir o que é aplicável em uma partícula para poder ser

válido para o sistema. Analisar o momento linear,a energia e a massa associada a cada

partícula é muito trabalhoso, de pouca viabilidade. Essas teorias estão pautadas em

considerações de que a pressão em conjunto exercida por milhares de partículas no

sistema analisado é alta o suficiente para o fluido ter pressão uniforme, as variações que

inegavelmente ocorrem são ínfimas comparado ao conjunto.

A partir disso, com um volume de controle, foi calculada integralmente a

variação de qualquer das propriedades, associadas a partículas, do sistema, levando em

conta instantes sucessivos do escoamento e nos mesmos o vetor da área da superfície de

controle. Então como o líquido presente no acumulador hidráulico é incompressível, a

massa especifica é constante, e consequentemente a propriedade extensiva do teorema é

a conservação da massa.

Aplicando as devidas substituições, decompondo o vetor área de e do

acumulador, aplicando a massa especifica em função da massa especifica relativa para o

óleo hidráulico (fluido em questão), para conduzir com os valores numéricos. É

encontrada a taxa de variação da massa em relação ao tempo. Esta por sua vez conduz a

taxa de variação do volume com o tempo (o exigido pelo problema). Um cálculo

relativamente simples e prático, onde os infográficos ajudam na compreensão taxa de

ganho ou perca do óleo pela simples observação. Esta é a teoria e a prática.

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