PARADOXO DE MONTY HALL

COMO SURGIU O PARADOXO?

O paradoxo de Monty Hall é um problema matemático que surgiu a partir de um concurso televisivo dos Estados Unidos da América chamado Let's Make a Deal (“Vamos fazer um negócio”), exibido na década de 1970.

PARADOXO

O jogo consiste no seguinte: Monty Hall (o apresentador) apresentava 3 portas aos concorrentes, sabendo que atrás de uma delas estava um carro e que as outras tinham uma cabra.

Paradoxo de Monty Hall

Na 1ª etapa o concorrente escolhe uma porta, suponhamos que é B

BA CB

Paradoxo de Monty HallDe seguida Monty abre uma das outras duas portas que o

concorrente não escolheu, sabendo à partida que o carro não se

encontra aí. Suponhamos que é A

A B C

Paradoxo de Monty Hall

Quer mudar da porta? Ou permanece na B

B C?

B C

Quando o apresentador revelou uma porta não premiada, o concorrente teria à frente um novo dilema com apenas duas portas e um prémio. A probabilidade

deveria ser de ½.

ERRADO

Quantos casos possíveis de sair carro e cabra é que temos à partida?

P(sair o carro)=3/9=1/3

P(sair cabra)=6/9=2/3

Porta A Porta B Porta C

Caso 1 CarroCabraCabra

Caso 2 CabraCarroCabra

Caso 3 CabraCabraCarro

Lei de Laplace

Cabra 2 Cabra 1 Cabra 1

Cabra 1 Cabra 2 Carro

Carro Cabra1 Carro Cabra2 CarroCabra2

1/31/3 1/3

S N S N S N

1/3

Cabra 2

S

Cabra1 Carro

N

1/3 1/3 1/3 1/61/6 1/6 1/6

Concorrente escolhe:

Apresentador mostra:

Troca?

Mudar Não MudarCarro: 1/3 +1/3=2/3 Carro:1/6+1/6=1/3

Cabra1:1/6 Cabra1:1/3

Cabra2: 1/6 Cabra2:1/3

1/211 1/2Probabilidade de o

apresentador escolher esta porta

DIAGRAMA DE ÁRVORE

1/3 2/3

Existem três portas, a porta 1, 2 e 3. Quando se escolhe uma das portas, a hipótese de que ela seja a premiada é de 1/3. Como consequência, as hipóteses de que se tenha errado é de 2/3. Pode-se comprovar isso somando a probabilidade de cada uma das outras portas sabendo-se que terá de ser igual a 1.

Explicação

 

Sabendo isso, o apresentador abrirá sem a possibilidade de erro uma dessas duas portas, que contêm uma cabra, talvez a porta A. Ao fazer isso, o apresentador está a dar uma informação muito importante ao concorrente:Pois se o prémio estava nas outras portas que não tinham sido escolhidas necessariamente as portas B ou C, agora só pode estar na porta que o concorrente não escolheu e que não foi aberta, isto é, a porta C. Se o concorrente errou ao escolher uma porta, as hipóteses de isso vir a acontecer são de 2/3. Então, ao abrir uma das outras portas que não tenham o prémio, o apresentador está a dizer onde se situa o prémio.

1- Inicialmente ao escolher a porta com a cabra 1. No entanto o apresentador escolhe a outra cabra. Mudando, o jogador ganha o carro.

2- Inicialmente escolhe a porta com a cabra 2. No entanto o apresentador escolhe a outra cabra. Mudando, o jogador ganha o carro. 3- Inicialmente escolhe a porta com carro. O apresentador escolhe uma cabra. Mudando, o jogador fica com uma cabra.

Então o concorrente está

perante 3 situações:

Como as hipóteses de que se tenha errado, ao escolher inicialmente, são de 2/3, se trocar-se as hipóteses de ganhar serão de 2/3. Por conseguinte a probabilidade que o concorrente tem de ganhar, e se no entanto este não trocar de porta, é de apenas 1/3. É assim visível que é mais vantajoso trocar de porta!

É assim visível que é mais vantajoso trocar de porta!

SABIA QUE PODEMOS APLICAR A LEI DOS GRANDES NÚMEROS??

Imagine que existem 1000 portas. Suponhamos que escolhe a 446. A probabilidade de acertar da 1ª vez é de 1/1000, é pouco provável que acerte logo a 1ª.

O apresentador elimina 998 portas. Sobraram : 446 ( que escolheu ) e a porta 8.

Se ficar na porta 446 ,tem 1/1000 de ganhar

Se mudar para porta 8 , tem 999/1000 de ganhar

O que precisamos levar em consideração é que o

apresentador, sabe onde está o prémio . E isto é a chave do problema .Tendo essa informação, ele jamais eliminará a porta que contém o prémio, e sim somente as que NÃO contem o prémio , restando apenas a porta premiada . Quando ele deixa apenas 1 das 1000 portas, esta praticamente aponta onde está o prémio.

http://people.hofstra.edu/Steven_R_Costenoble/MontyHall/MontyHallSim.html

http://www.grand-illusions.com/simulator/montysim.htm

http://math.ucsd.edu/~anistat/chi-an/MonteHallParadox.html

http://translate.google.pt/translate?js=y&prev=_t&hl=pt-PT&ie=UTF-8&u=http://www.cut-the-knot.org/hall.shtml&sl=en&tl=pt

SIMULAÇÃO VIRTUAL

http://pt.wikipedia.org/wiki/Problema_de_Monty_Hall

http://enigma.weblog.com.pt/arquivo/085543.html

http://hugosilva.wordpress.com/2009/05/10/o-paradoxo-de-monty-hall/

Bibliografia:

O trabalho foi realizado por:

Kamal Miriam Nadiya Nuno

9ºA

Para a disciplina:

Matemática

A pedido do professor:

RUI PEDRO PEREIRA