O PROBLEMA DE SEQUENCIAMENTO DA …abepro.org.br/biblioteca/TN_STO_211_250_27727.pdf · Wagner...

O PROBLEMA DE SEQUENCIAMENTO

DA PRODUÇÃO EM UM AMBIENTE

FLOWSHOP COM LINHAS SEMI-

PARALELAS E OPERAÇÃO DE

SINCRONIZAÇÃO FINAL

Irce Fernandes Gomes Guimaraes (UFOP)

[email protected]

Mauricio Cardoso de Souza (UFMG)

[email protected]

Farouk Yalaoui (UTT)

[email protected]

Este artigo aborda uma variante do problema de sequenciamento

flowshop centrado em uma indústria de material electro-eletrônico. O

ambiente em estudo consiste de uma linha de montagem constituída

por duas semi-linhas e uma operação de sincronização. As semi-linhas

têm funcionamento paralelo e fornecem semi-produtos para a

operação de sincronização, que finaliza a atividade de fabricação

unindo os semi-produtos. A decisão deste problema consiste em obter a

programação das tarefas de forma a otimizar o makespan. Foram

propostos um modelo de programação linear inteira mista e variantes

da heurística de NEH. Experimentos computacionais preliminares

foram realizados em instâncias de problemas benchmarking da

literatura para o problema de flowshop.

Palavras-chave: Sequenciamento da produção, programação linear,

heurística NEH

XXXV ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCAO Perspectivas Globais para a Engenharia de Produção Fortaleza, CE, Brasil, 13 a 16 de outubro de 2015.

XXXV ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCAO Perspectivas Globais para a Engenharia de Produção

Fortaleza, CE, Brasil, 13 a 16 de outubro de 2015.

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1. Introdução

Diferentes modelos de planejamentos e de sequenciamento em manufatura são focos de

estudos científicos, visando garantir um bom desempenho da produção de produto e serviço.

Neste sentido, pode-se dizer que a programação da produção é uma das principais atividades

em um sistema produtivo e é considerado por alguns pesquisadores um campo amplo e

diversificado. Segundo Cheng et al. (2001), esta atividade pode ser definida genericamente

como a alocação de recursos disponíveis para a execução de tarefas em um horizonte de

tempo. Consiste em desenvolver modelos que auxiliem na escolha de melhores soluções de

programação, com vistas a otimizar o fluxo de trabalho através do sistema. Geralmente, estes

modelos objetivam eliminar os gargalos e ajustar as prioridades das etapas, observando as

perdas e sobrecargas entre os centros de produção e ocupação da mão de obra. Para tal

atividade, é necessário determinar o momento de iniciar e terminar cada tarefa e verificar a

melhor utilização dos recursos, onde geralmente procura-se otimizar uma determinada medida

de desempenho. Onwubolu (2002) apresenta diferentes critérios de otimização para o

sequenciamento, os critérios mais comuns são aqueles que minimizam: o máximo fluxo,

atraso de entrega, tempo ocioso dos equipamentos, tempo de setup. Neste sentido, alguns

modelos de planejamentos e de sequenciamento em manufatura são apresentados para

resolver problemas de planejamento de projetos, sequenciamento em sistema flexível de

montagem, sequenciamento de lote econômico, planejamento e sequenciamento na cadeia de

suprimento e sequenciamento de máquinas em ambientes openshop, flowshop e jobshop.

Na literatura existem várias revisões para o problema de sequenciamento flowshop (por

exemplo Framinan et.al (2004) , Ruiz e Maroto (2005) e Gupta e Stafford (2006). Em

Chakraborty e Laha (2007) uma heurística determinística para a solução do problema de

sequenciamento flowshop em n-tarefas, m-máquina baseada na heurística de NEH foi

analisada para minimizar o makespan. Ruiz e Maroto (2005) compara a evolução dos

métodos de resolução do problema de flowshop permutacional com critério de makespan

usando 25 heurísticas e metaheurísticas diferentes. Taillard (1990) mostra a superioridade do

algoritmo de NEH comparando alguns métodos heurísticos para resolver o problema de

sequenciamento flowshop. E finalmente, Kalczynski e Kamburowski (2007) aborda a questão

da competitividade de outros métodos com a heurística NEH, eles fazem uma análise

aprofundada da heurística de NEH observando a otimização, a melhora e o desempenho

geral.



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Neste artigo é apresentado um estudo de uma variante do problema de flowshop motivado por

uma aplicação prática de sequenciamento da produção em uma linha de soldagem de uma

indústria de material eletro-eletrônico. Os métodos para resolução utilizam modelagem em

programação inteira e variantes da heurística NEH. O restante deste artigo está organizado

como segue. Na seção 2 apresenta-se uma breve descrição sobre flowshop. Na seção 3

apresenta-se o modelo em estudo. Os métodos de resolução são descritos nas seções 4 e 5. Na

seção 6 mostra-se os experimentos computacionais preliminares obtidos. E finalmente, as

considerações finais são apresentadas na seção 7.

2. O problema flowshop

O problema clássico de sequenciamento de tarefas em um ambiente de produção flowshop

consiste em organizar o processamento de n tarefas em um conjunto de m máquinas distintas,

configuradas em série. A principal característica deste problema é que as tarefas devem ter a

mesma sequência tecnológica sendo que, cada tarefa tem um tempo de operação específico

em cada uma das máquinas (GUPTA (1988)). A resolução consiste em determinar dentre as

sequências possíveis, aquela que otimiza uma determinada medida de desempenho. Neste

caso é possível encontrar a solução ótima em tempo polinomial quando o número de

máquinas é igual a 2 (m=2), porém para m > 2 o problema é conhecido como NP-completo.

Em geral, (n!)m sequências são consideradas, mas para esse caso específico são consideradas

n! sequências possíveis. (RUIZ e MAROTO (2005)) As mais utilizadas consistem na

minimização da duração total da programação ou minimização do tempo médio de fluxo.

Alguns estudos desenvolvidos nesta área de pesquisa utilizam técnicas exatas como

programação matemática para resolver esse problema. Exemplos que podem ser citados são

o estudo apresentado por Wagner (1959) que propôs um modelo de programação linear inteira

mista para o problema de sequenciamento de tarefas em um ambiente flowshop

permutacional. Stafford (1988) que desenvolveu um modelo de programação linear inteira

mista (PLIM) para o problema flowshop scheduling padrão com base em um modelo de

Wagner (1959). Manne (1960) que empregou variáveis binárias inteiras para expressar a

relação entre as restrições de não interferência para máquinas individuais. Pan (1997) que

comparou cinco modelos matemáticos de programação inteira para os problemas jobshop e

flowshop observando a performance e a quantidade de variáveis que foram utilizadas em cada

modelo. E Ronconi et al. (2012) que utilizou formulações de programação linear inteira mista

para minimizar o adiantamento e o atraso total das tarefas avaliando, em termos de custo



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computacional, o problema flowshop com buffer ilimitado e buffer zero. Além destes estudos

existem outros que propõem métodos exatos para a resolução de problemas flowshop. No

entanto, devido a complexidade computacional, os métodos exatos geralmente levam muito

tempo de CPU para resolver um problema com grande número de tarefas. Para resolver

maiores instâncias muitos estudos apresentam, como alternativa, o uso de heurísticas para

encontrar soluções razoáveis. Algumas delas são o algoritmo de Campbell et al. (1970), NEH

(Nawaz, Enscore e Ham (1983)). Das citadas a mais encontrada para resolução de problemas

flowshop com o objetivo de minimizar o makespan é a heurística de NEH. Para Kalczynski e

Kamburowski (2007) essa é considerada a melhor heurística para resolver o problema de

flowshop permutacional. Segundo Rad et al. (2009), esta heurística tem como pressuposto que

uma tarefa com um tempo de processamento total elevado em todas as máquinas, deve

receber maior prioridade em relação aos que tem tempo de processamento total baixo. Ela

constrói a sequência final adicionando a cada passo uma nova tarefa e encontrando a melhor

solução parcial. Um exemplo é mostrado em Pan et al. (2011) que apresentou a resolução do

problema de sequenciamento em um ambiente flowshop, com buffer zero. Foram analisadas

para a resolução, heurísticas que explorassem características específicas do problema e que

pudessem encontrar boas soluções com esforços computacionais menores, sendo uma delas a

heurísticas de enumeração de Nawaz-Enscore-Ham (NEH). Outro exemplo é o estudo de

Allaoui e Artiba (2006) que investigou o problema de sequenciamento flowshop híbrido de

dois estágios com apenas uma máquina no primeiro estágio, e m máquinas no segundo estágio

com o objetivo de minimizar o makespan.

3. O modelo flowshop com linha semi-paralela e operação de sincronização final

O modelo considerado é uma linha de montagem constituída por duas semi-linhas paralelas e

uma operação de sincronização final. Cada semi-linha produz uma das metades do produto

final, que são montadas em um único produto na operação de sincronização final. A ordem

em que as metades referentes aos produtos finais de cada semi-linha deve ser a mesma. Sendo

que, essa mesma ordem é respeitada na operação de sincronização final. A primeira semi-

linha possui um número q1 de máquinas e a segunda um número q2 de máquinas. Cada tarefa

requer operações em cada máquina das semi-linhas com diferentes tempos de

processamentos. As tarefas de uma semi-linha independem da finalização das tarefas da

outra semi-linha. A sequência das tarefas nas semi-linhas são iguais e as atividades nas



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primeiras máquinas não precisam iniciar ao mesmo tempo em cada semi-linha. Porém a

operação final de sincronização para um produto, só poderá ser iniciada quando as operações

para suas metades nas duas semi-linhas forem concluídas. A Figura 1 ilustra o ambiente

estudado.

Figura 1 - Modelo estudado

Fonte: Elaborado pelos autores (2015)

4. Formulação matemática para o problema flowshop com linhas semi-paralelas e

operação de sincronização final

A formulação matemática foi adaptada no modelo proposto por Wagner (1959). Onde: zij é

considerada uma variável binária que assume o valor 1 se a tarefa i está na jth

posição da

permutação e 0 caso contrário; x ljk o tempo de espera na máquina k antes do início da tarefa

na posição j da permutação de tarefas na semi-linha l; yljk o tempo de espera da tarefa na j

th

posição da permutação, depois de terminar o processo na máquina k, enquanto espera que a

máquina k+1 seja liberada; plri o tempo processamento da tarefa i na máquina r na semi-

linha l; clj o tempo de fluxo máximo do conjunto de tarefas na semi-linha l; ml última

máquina da semi-linha l e ml+1 máquina de sincronização.



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A restrição 1 calcula o tempo de processamento máximo para minimizar a função objetivo. A

restrição 2 assegura que cada tarefa ocupa somente uma única posição na sequência da

permutação. A restrição 3 garante que em cada posição da sequência de permutação seja

alocada por um único job. A restrição 4 garante a igualdade dos tempos de processamento

mais tempos de espera de todo par de máquinas adjacentes. A existência de duas semi-linhas

artificialmente independentes é considerada para determinar o clj e o maior tempo de

processamento entre as semi-linhas. A restrição 5 assegura que o tempo de espera de uma

dada máquina que ocupa a posição 1 da permutação seja igual a soma dos tempos de

processamento nas posições 1 das máquinas anteriores. A restrições 6 assegura que a tarefa

atribuída na primeira posição da permutação de cada semi-linha tenha o tempo de espera para

a máquina subsequente igual a zero. A restrição 7 determina o makespan de cada semi-linha

como a soma dos tempos de processamento de todas as tarefas na máquina mais os tempos de

espera das tarefas na última máquina. A restrição 8 assegura a igualdade dos makespans das

semi-linhas. A restrição 9 garante que o makespan máximo seja maior ou igual ao makespan

das semi-linhas l. A restrição 10 recebe o valor 1 se a tarefa i está na jth

posição da

permutação e 0 caso contrário. A restrição 11 assegura a não-negatividade do tempo de

espera na máquina de cada semi-linha.



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5. Variantes do algoritmo NEH para o problema flowshop com linhas semi-paralelas e

operação de sincronização final

A heurística NEH, inicia com um conjunto de n tarefas que são ordenados de acordo com os

valores não-decrescentes da soma dos tempos de processamento em todas as m máquinas. Em

seguida, as duas primeiras tarefas da ordenação são sequenciadas de modo a diminuir o

makespan desta sequência parcial. As outras tarefas, a partir da terceira, são então inseridas

(uma a uma) em uma posição da sequência parcial de forma a minimizar o makespan. Para

este estudo serão consideradas três variantes algoritmo NEH considerando : a média dos

tempo de operação das tarefas nas máquinas paralelas, o maior dos tempo de operação das

tarefas nas máquinas paralelas, e cada semi-linha separadamente incluindo a máquina de

sincronização (NEHav, NEHhi, e NEHsep). O princípio geral das variantes é reduzir as duas

semi-linhas em uma única linha e aplicar o algoritmo NEH. Neste caso, será considerado que

as semi-linhas têm o mesmo número de máquinas. Estas variantes utilizarão as seguintes

notações: como o tempo de processamento da tarefa i na máquina m na semi-linha 1;

como tempo de processamento da tarefa i na máquina m na semi-linha 2; é o tempo de

processamento da tarefa i na máquina de sincronização mf; e o tempo total de

processamento da tarefa i.

5.1. Algoritmo de NEH considerando tempo médio de processamento em cada máquina

paralela

Esta variante considera o tempo médio de processamento ( ) utilizando o tempo de

processamento da tarefa i na kesima

máquina na semi-linha 1 com o tempo de processamento

da tarefa i na kesima

máquina na semi-linha 2. Através do tempo médio de processamento de

cada máquina k, as tarefas são ordenadas de acordo com a ordem não decrescente da soma dos

tempos de processamento em todas as máquinas. Em seguida, as duas primeiras tarefas da

ordenação são sequenciados, de modo a reduzir o makespan desta sequência parcial. Os

outros jobs, a partir da terceira, são então inseridas (uma a uma) em uma posição da sequência

parcial que adquira o menor makespan. A sequência adquirida é considerada para todo o

sistema. A Figura 2 apresenta o pseudocódigo do algoritmo.



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Figura 2 – Pseudo-código da variante de NEHav


5.2 Algoritmo de NEH considerando maior tempo de processamento em cada

máquina paralela

Esta variante considera o maior tempo de processamento comparando a tarefa i na kesima

máquina na semi-linha 1 com o tempo de processamento da tarefa i na kesima

máquina na

semi-linha 2. Através do maior tempo de processamento de cada máquina k, os jobs são

ordenados de acordo com o algoritmo de NEH . A sequência adquirida é considerada para

todo o sistema. A Figura 3 apresenta o pseudo-código do algoritmo.

Figura 3– Pseudo-código da variante de NEHhi



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5.3. Algoritmo de NEH considerando cada linha separadamente

Nesta variante o algoritmo de NEH é aplicado separadamente na semi-linha 1 e na semi-linha

2 considerando a operação de sincronização. Depois de obter as sequências geradas por cada

semi-linha, cada sequência é analisada no sistema original. A sequência que gerar o menor

makespan é considerada para o sistema original. A Figura 4 apresenta o pseudo-código do

algoritmo.

Figura 4– Pseudo-código da variante de NEHsep


6. Experimentos computacionais preliminares

Para verificar o desempenho dos métodos apresentados foram criadas instâncias que

pudessem atender o modelo em estudo. Estas instâncias têm os tempos de processamento das

semi-linhas (1 e 2) e da máquina de sincronização. Elas foram elaboradas a partir do conjunto

de instâncias referidas por Carlier (1978), Reeves (1995) e Taillard (1993). De forma que,

para a realização de cada teste foram consideradas duas instâncias, uma representando a semi-

linha1 e outra a semi-linha2. Para a etapa de sincronização foram considerados os mesmos



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tempos para as duas semi-linhas, estes tempos foram retirados de uma das instâncias

escolhidas. Um exemplo de uma instância é mostrado na Tabela 1. Note que, na primeira

coluna estão alocadas as tarefas que necessitam de processamento na linha de montagem, e as

outras colunas indicam o tempo de processamento (Pi) de cada tarefa (Tj) sobre as máquinas

(Mk) em cada semi-linha. E a última coluna mostra o tempo de processamento (Pi) de cada

tarefa na máquina de sincronização.

Tabela 1: Exemplo de instância


Os testes apresentados foram testados utilizando um computador com as seguintes

configurações: Intel iR Core TM 3.1GHz with 4GB of memória. Os resultados do modelo

matemático foram gerados utilizando o CPLEX 12.6.1 e os resultados relativos a variantes do

algoritmo foram implementados na linguagem C++. Para comparar os resultados, foi

utilizado o desvio relativo (GAP) que, neste caso, mede a variação correspondente entre a

solução ótima e o resultado da variante de NEHav. O GAP será calculado pela equação :

onde: O GAP representa o desvio relativo médio; HNEHav corresponde ao makespan da

variante considerada; e OPTsol corresponde ao makespan da programação matemática. A

Tabela 2 mostra os makespan das instâncias testadas para o modelo matemático (PLIN) e das

variantes de NEHav. A primeira coluna mostra a que instância se refere, a segunda e terceira

colunas mostra o número de tarefas e número de máquinas sucessivamente. A quarta e a

quinta colunas apresentam o makespan e o tempo de CPU do modelo de programação



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matemática. As próximas colunas apresentam, rescpecivamente o makespan, tempo de CPU e

o GAP para cada variante de NEH (NEHav, NEHhi e NEHsep). Ao final da tabela é

encontrado os tempos de CPU médio e as médias do GAP.

Tabela 2: Resultados computacionais dos modelos PLIM e das variantes de NEH

PLIN NEAV NEHHi NEHSEP

Inst.

MK T(s) MK T (s) Gap % MK T (s) Gap%

T(s)

Gap %

C0407 316 0,09 369 0,46 16,77 369 0,44 16,77 324 0,54 2,53

C0715 7539 0,19 8210 0,67 8,90 7998 0,52 6,09 7881 0,55 4,54

C0817 8871 0,73 10365 0,73 16,84 10365 0,76 16,84 10359 1,22 16,77

C1109 7689 0,39 10809 1,27 40,58 10359 1,22 34,72 9328 1,48 21,32

C1011 7720 2,01 8298 1,29 7,49 9328 1,35 20,83 7990 1,85 3,50

C1209 7634 1,24 10809 1,24 41,59 11645 1,58 52,54 9161 1,17 20,00

R0911 833 1,16 1221 1,32 46,58 1048 1,85 25,81 1021 1,87 22,57

R1011 920 0,83 1424 1,29 54,78 1166 1,22 26,74 1068 1,87 16,09

R1111 945 0,89 1296 1,54 37,14 1169 1,58 23,70 1130 1,92 19,58

R1211 995 1,45 1221 1,61 22,71 1275 1,78 28,14 1082 1,94 8,74

R1311 1081 9,59 1363 2,18 26,09 1338 2,34 23,77 1197 2,45 10,73

R1411 1160 17,05 1383 2,35 19,22 1508 2,43 30,00 1470 2,43 26,72

R1512 1195 16,28 1486 3,03 24,35 1530 3,06 28,03 1415 2,93 18,41

R2012 1495 359,1 1916 4,84 28,16 1846 4,23 23,48 1875 4,32 25,42

T0509 534 0,33 699 0,86 30,90 561 0,54 5,06 561 0,57 5,06

T0609 584 0,33 699 0,86 19,69 706 0,65 20,89 606 0,64 3,77

T0709 643 0,22 742 0,74 15,40 816 0,78 26,91 731 0,75 13,69

T0809 683 0,36 851 0,82 24,60 899 0,87 31,63 768 0,78 12,45

T0909 732 0,25 843 0,83 15,16 822 0,88 12,30 812 0,83 10,93

T1009 779 1,28 1070 0,83 37,36 992 0,88 27,34 845 0,83 8,47

T1107 840 0,5 962 0,98 14,52 971 0,98 15,60 874 0,89 4,05

T1110 826 0,89 962 1,26 16,46 971 1,32 17,55 874 1,32 5,81

T1209 888 1,34 1151 2,95 29,62 1182 2,21 33,11 1087 2,33 22,41

T1309 966 0,39 1151 2,95 19,15 1024 2,24 6,00 1095 3,78 13,35

T1409 975 0,69 1308 2,96 34,15 1377 3,13 41,23 1164 3,89 19,38

T1509 1048 0,36 1423 2,98 35,78 1423 2,98 35,78 1256 3,25 19,85

T1609 1089 0,42 1405 3,18 29,02 1462 3,29 34,25 1335 3,71 22,59

T1709 1159 0,36 1575 3,09 35,89 1335 3,73 15,19 1246 3,62 7,51

T1909 1287 0,31 1820 2,45 41,41 1345 3,45 4,51 1473 3,09 14,45

T2009 1337 1,67 1812 3,45 35,53 1812 2,45 35,53 1493 2,78 11,67

Média 14,02 1,83 25.18 1,82 21.96 1,99 13.65




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Para gerar os resultados do modelo matemático e das variantes do algoritmo de NEH foram

utilizados 30 tamanhos de problemas diferentes. A Tabela 2 mostra os resultados adquiridos.

Através destes resultados é possível observar que os valores ótimos para a maioria das

instâncias foram encontrados em baixo tempo computacional. Porém, uma das instâncias

apresentou alto tempo de CPU. As variantes de NEH apresentaram baixos tempos

computacionais, porém os desvios médios relativos apresentaram os valores de 25,18 % ,

21,96% e 13,65%. A variante da heurística NEH que apresentou o pior desvio foi a que

utilizou a média entre os tempos de processamento em cada máquina (NEHav) e a variante

que apresentou melhor resultado foi a que considerou as semi-linhas separadamente (NEHsep).

.

7. Considerações finais

Este estudo apresentou o problema de programacão flowshop em uma linha semi-paralela e

operação de sincronização final. O problema foi resolvido através de um modelo matemático

baseado no modelo de Wagner (1959) e variantes do algoritmo de NEH (NEHav, NEHhi, e

NEHsep). Os resultados das heurísticas foram avaliados pelo desvio relativo médio (GAP).

Observe que utilizando o método de programação inteira mista os makespans da maioria das

instâncias são encontrados com baixo tempo de CPU. No entanto, ao resolvê-lo através das

variantes da heurística de NEH, foi possível descobrir, através do cálculo de GAP, qual o

desvio relativo médio das variantes de NEH e qual destas variantes apresentam menor desvio

em relação ao ótimo . A variante que apresentou menor desvio relativo médio foi a NEHsep,

sendo, para esse caso, o melhor método entre as três apresentadas. Outras pesquisas para

continuidade deste estudo serão realizadas considerando outras heurísticas e meta-heurísticas

que possam alcançar menores desvios em relação ao ótimo.

Agradecimentos

Os autores agradecem a agência CAPES e as universidades , UTT - França, UFMG- MG e

UFOP-MG, pelo apoio ao desenvolvimento desta pesquisa.

REFERÊNCIAS



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