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O PROCESSO GAUSSIANO
Métodos Matemáticos IC
(Programa de Pós-graduação)
UFPE
O PROCESSO GAUSSIANOO PROCESSO GAUSSIANO
1 - I n t r o d u ç ã o
2 - Ve tore s R a n d ô m icos G a u ssia n o s
3 - O P r o c e s s o R a n d ô m i c o G a u ssia n o
4 - F o r m a s d e O n d a d e F a ixa E s t re i ta
5 - O P r o c e s s o R a n d ô m i c o d e F a ixa E s trei ta
6 - O P roce s so R a n d ô m ico G a u ssia n o d e F a ixaEs trei ta
AA p r e sen t a ç ã o
PROCESSOS GAUSSIANOSPROCESSOS GAUSSIANOS
A spec to s a S e r e m A n a lisa d o s
Ä E feito s d a s T ra n sfo r m a ç õ e s Lin e a r e s e mV e tore s R a n d ô m icos G a u ssia n o s
Ä P r o c e sso R a n d ô m i c o G a u ssia n o : D e fin içã o eP r o p r ied a d e s B á s i c a s
Ä A p r e sen t a ç ã o d e u m C a so E spec ia l:D e fin içã o e P r o p r ied a d es d e u m P r o c e s s oR a n d ô m i c o G a u s s i a n o d e F a ixa E s trei ta .
1. INTRODUÇÃO1. INTRODUÇÃO
Função Densidade de Probabilidade Gaussiana
O comportamento de umavariável aleatória é caracterizadopor sua distribuição deprobabilidade.
Uma variável aleatória égaussiana se sua densidade deprobabilidade fX(x) tem a forma:
( )∞+<<∞
−−= - ,
2exp
.2
1)(
2
2
xmx
xf Xσσπ
Função Densidade de Distribuição de uma Variável Gaussiana com Média m e Variância σσ
x
fx(x)
1. INTRODUÇÃO1. INTRODUÇÃO
Função Distribuição de Probabilidade Gaussiana
Por definição:
∫∞−
=
≤=x
X
X
dxxf
xXPxF
)(
)()(
Função Distribuição de uma Variável Gaussiana com Média m e Variância σσ
x
Fx(x)
Embora uma distribuição de probabilidade constitua uma descriçãocompleta da variável aleatória X, em geral é interessante procurarum conjunto de números simples que ressaltem as característicasdominantes da variável aleatória. (Os momentos associados a X)
1. INTRODUÇÃO
( )[ ] [ ] dxivxxf xfivxexpE v- XXX )(exp)()()( 1 ∫+∞
∞
− =ℑ=∆φ
−=
2exp)(
22σφ
vivmvX
A função característica de uma variável aleatória X é definida comosendo a esperança de um número complexo, ou seja, como atransformada inversa de Fourier da função densidade deprobabilidade:
Função Característica
1. INTRODUÇÃO
EXEMPLO: Calcular o n-ésimo momento associado à função:g(x) = Xn.
- Solução através de fX(x):
Determinação dos Momentos
Através da função característica, φX(x), é possível determinar, deforma bem mais simples, os momentos de qualquer variávelaleatória.
∫+∞
∞−
= dxxfXXE Xnn )()(
- Solução através de φX(x): )0()( )( nX
nn iXE φ−=
2. VETORES RANDÔMICOS GAUSSIANOS
( )
−−=
2
2
2.2
1)(
k
k
k
X
mxexpxf
k σσπ
Densidade de Probabilidade Conjunta Gaussiana
Seja X um vetor randômico de dimensão n cujas componentesX1, X2, ..., Xn são variáveis randômicas gaussianas mutuamenteindependentes com médias m1, m2, ..., mn e variâncias σ1
2, σ22, ..., σn
2,respectivamente, a densidade de probabilidade para o k-ésimocomponente é dada por:
2. VETORES RANDÔMICOS GAUSSIANOS
Densidade de Probabilidade Conjunta Gaussiana
Visto que as componentes do vetor X foram definidas como sendovariáveis randômicas gaussianas mutuamente independentes, afunção de probabilidade conjunta será dada por:
( )
mx
2
1 - exp
1
mx
2
1 - exp
1
xf ... xfxf )x,...,x,(xf
n
k k
kkn
kk
n
n
1k k
kk
k
nXXXn21XXX nn
−
=
−=
•••=
∑∏
∏
=
=
=
2
1
1
2
2
21,...,,
2
.2
)()()(2121
σσπ
σσπ
2. VETORES RANDÔMICOS GAUSSIANOS
Densidade de Probabilidade Conjunta Gaussiana
∆Γ
2
22
21
...00
............
0...0
0...0
n
σ
σσ
∆
nx
xx
X...
2
1
[ ]
=∆
n
x
m
m
m
XE m...
2
1
Utilizando a notação matricial para a equação apresentada, x, m eσ podem ser definidos como:
Matriz das CovariânciasMatriz das Médias
2. VETORES RANDÔMICOS GAUSSIANOS
Densidade de Probabilidade Conjunta Gaussiana
Sabendo-se quen21
1
... σσσσ •••=∏=
n
kk
e,
[ ]
22
22
2222
1
211
22
11
2
22
21
22111
1)(...
1)(
1)(
...
1000
......00
0...1
0
0...01
...)()(
nnn
nn
n
nnxTx
T
mxmxmx
mx
mx
mx
mxmxmxmXmX
σσσ
σ
σ
σ
−++−+−=
−
−−
•
•−−−=−Γ− −
Portanto, matricialmente, a função densidade de probabilidadeconjunta de um vetor randômico X de dimensão n, cujas componentessão variáveis randômicas gaussianas mutuamente independentes, édada por:
Pode-se dizer que,
e
2. VETORES RANDÔMICOS GAUSSIANOS
Densidade de Probabilidade Conjunta Gaussiana
21
1
Γ=∏=
n
kkσ ∑
=
−
−=−Γ−
n
k k
kkx
Tx
T mxmXmX
1
21 )()(
σ
−Γ−
Γ= − )()(
2
1 exp
)2(
1 (x) 1
212 xTx
TnX mXmX-f
π
2. VETORES RANDÔMICOS GAUSSIANOS
Função Característica Conjunta
Desde que os componentes X1, X2, ... , Xn foram assumidos seremmutuamente independentes, a função característica conjunta é dadapelo produto das funções características individuais:
−=
−=
•••==
∑∑
∏
==
=
n
k
kkn
kkk
n
k
kkkk
nnXXXX
vmvi
vmiv
vvvvvvVn
1
22
1
1
22
X2X1X21,...,,
2exp
2exp
)( ... )()(),...,,()(n2121
σ
σ
φφφφφ
2. VETORES RANDÔMICOS GAUSSIANOS
Função Característica Conjunta
∆Γ
2
22
21
...00
............
0...0
0...0
n
σ
σσ
∆
nv
v
v
V...
2
1
[ ]
=∆
n
x
m
m
m
XE m...
2
1
Utilizando a notação matricial para a equação apresentada, v, m eσ podem ser definidos como:
Matriz das CovariânciasMatriz das Médias
2. VETORES RANDÔMICOS GAUSSIANOS
Função Característica Conjunta
[ ] 2222
22
21
21
2
1
2
22
21
21 ......
000......000...00...0
... nn
nn
nT vvv
v
vv
vvvVV σσσ
σ
σσ
+++=
•
•=Γ
Sabendo-se que
[ ] nn21
n
k1Tx vmvmvm
v
vv
mmm Vm +++=
•= ......
... 212
1
2
e
2. VETORES RANDÔMICOS GAUSSIANOS
Função Característica Conjunta
Γ−= VVVimV TT
xX 2
1exp)(φ
∑=
=n
kkk
Tx mvVm
1∑
==Γ
n
kkk
T vVV1
22σ
Pode-se dizer que,
e
Portanto, matricialmente, a função característica conjunta de um vetorrandômico X de dimensão n, cujas componentes são variáveisrandômicas gaussianas mutuamente independentes, é dada por:
2. VETORES RANDÔMICOS GAUSSIANOS
Γ−= VVVimV TT
xX 2
1exp)(φ
U m v e t o r r a n d ô m i c o g a u s s ia n o X d e d im e n s ã o n , c u j a sc o m p o n e n t e s s ã o v a r iá v e i s r a n d ô m i c a s g a u s s ia n a sm u t u a m e n t e i n d e p e n d e n t e s , t em c o m o f u n ç ã o d e n s id a d ec o n j u n t a d e p r o b a b i l id a d e e f u n ç ã o c a r a c t e r í s t i c ac o n j u n t a , r e s p e c t i v a m e n t e :
−Γ−
Γ= − )()(
2
1 exp
)2(
1 (x) 1
212 xTx
TnX mXmX-f
π
2. VETORES RANDÔMICOS GAUSSIANOS
Transformação Linear
Seja Y um vetor randômico de dimensão m (m ≤ n) definido comotransformação linear do vetor randômico gaussiano X:
∆
mnmm
n
n
ggg
gggggg
g
...............
...
...
21
22221
11211
nmnm2m1m
n2n22212
n1n12111
XgXgXg Y
XgXgXg YXgXgXg Y
+++=
+++=+++=
......
......
21
21
21
gXY =
Onde gjk é um número real arbitrárioe g é a matriz transformação:
2. VETORES RANDÔMICOS GAUSSIANOS
Transformação Linear - Função Característica de Y
A função característica conjunta para o vetor Y é dada por:
= ∑
=
m
jjjnYYY YuiEuuu
n1
21,...,, exp),...,,(21
φ
Sendo Y = gX: ( )[ ]gXiuEu TY exp)( =φ
Porém,
( )[ ]YiuEu TY exp)( =φUtilizando a notação matricial:
( )[ ]ixVEVX exp)( =φ Logo, )()( ugu TXY φφ =
2. VETORES RANDÔMICOS GAUSSIANOS
Porém, φY(u) está expressa em função da média (mx) e das variâncias(οx
2) do vetor X.
É necessário, portanto, analisar os termos mx e gΓgT em função de Y.
Γ−= ugguugimu TTTT
xY 2
1exp)(φ
Ou seja,
[ ] [ ] [ ] xgm Xg.E g.XE YE ===∆Ym
Então, TTx
TY gm m =
Sabe-se que:
Transformação Linear - Função Característica de Y
2. VETORES RANDÔMICOS GAUSSIANOS
T
mnmm
n
n
nmnmm
n
n
T
ggg
ggg
ggg
ggg
ggg
ggg
gg
••
σσ
σσσσ
••
==ΓΓ
...
............
...
...
...............
............
...
...
22
22221
11211
2
22
21
22
22221
11211
000
000
000
TggΓ=ΛFazendo:
Transformação Linear - Função Característica de Y
2. VETORES RANDÔMICOS GAUSSIANOS
( )kjjk YY cov ,∆λ
∆Λ
mmmm
m
m
λλλ
λλλλλλ
...
............
...
...
21
22221
11211
Porém, por definição, a matriz Λ é dada por::
Onde,
Transformação Linear - Função Característica de Y
Portanto, a função característica conjunta para o vetor Y é dada por:
Λ−= uuuimu TT
YY 2
1exp)(φ
2. VETORES RANDÔMICOS GAUSSIANOS
A f u n ç ã o c a r a c t e r í s t i c a c o n j u n t a d e um v e t o r r a n d ô m i c oY t e m e x a t am e n t e a m e s m a f o r m a d a f u n ç ã oc a r a c t e r í s t i c a c o n j u n t a d o v e t o r r a n d ô m i c o X , q u a n d o Yé d e f i n i d o c om o a t r a n s f o r m a ç ã o l in e a r d e X e q u a n d o o sc o m p o n e n t e s d e X s ã o v a r i á v e i s r a n d ô m i c a s g a u s s ia n a sm u t u a m e n t e i n d e p e n d e n t e s .
Transformação Linear - Função Característica de Y
Λ−= uuuimu TT
YY 2
1exp)(φ
Γ−= VVVimV TT
xX 2
1exp)(φ
2. VETORES RANDÔMICOS GAUSSIANOS
Λ−= uuuimu TT
YY 2
1exp)(φ
O u ,
A f u n ç ã o c a r a c t e r í s t i c a c o n j u n t a p a r a q u a i s q u e r v e t o r e sr a n d ô m i c o s g a u s s ia n o s t ê m a m e s m a f o r m a , s e j a m s u a sc o m p o n e n t e s v a r iá v e i s r a n d ô m i c a s g a u s s ia n a si n d e p e n d e n t e s o u n ã o .
[ ] ( )
= ∑ ∑∑
= ==
m
j
m
kkjkjj
m
1jjn21YYY uu YY
2
1 -u YEi exp )u,...,u,(u
n1 1
,...,, ,cov21
φ
Transformação Linear - Função Característica de Y
2. VETORES RANDÔMICOS GAUSSIANOS
Transformação Linear - Função Densidade Prob. de Y
−Γ−
Γ= − )()(
)2() 1
212 xTx
T
nX mXmX2
1 - exp
1 x(f
π
Foi visto que:
De forma análoga (fazendo: Y = gX):
−Λ−
Λ= − )()(
)2(1
212 YTY
T
nY mYmY2
1 - exp
1 (y)f
π
2. VETORES RANDÔMICOS GAUSSIANOS
Transformação Linear - Função Densidade Prob. de Y
−−Λ
ΛΛ= ∑ ∑
= =
n
j
n
kkkjjjknxxx mxmxf
n1 1
212n21,...,, ))( (2
1 - exp
)2(
1 )x,...,x,(x
21 π
Onde: |Λ|jk é o cofator do elemento λjk no determinante |Λ| damatriz de covariâncias.
Expandindo,
2. VETORES RANDÔMICOS GAUSSIANOS
Γ−= VVVimV TT
xX 2
1exp)(φ
1. Um vetor randômico gaussiano X de dimensão n, cujascomponentes são variáveis randômicas gaussianas mutuamenteindependentes, tem como função densidade conjunta de probabilidadee função característica conjunta, respectivamente (matricialmente):
−Γ−
Γ= − )()(
2
1 exp
)2(
1 (x) 1
212 xTx
TnX mXmX-f
π
CONCLUSÕES
2. VETORES RANDÔMICOS GAUSSIANOS
CONCLUSÕES
2. A função característica conjunta de um vetor randômico Y temexatamente a mesma forma da função característica conjunta dovetor randômico X, quando Y é definido como a transformaçãolinear de X e quando os componentes de X são variáveis randômicasgaussianas mutuamente independentes.
Λ−= uuuimu TT
YY 2
1exp)(φ
Γ−= VVVimV TT
xX 2
1exp)(φ
2. VETORES RANDÔMICOS GAUSSIANOS
CONCLUSÕES
3. A função densidade conjunta de probabilidade e a funçãocaracterística conjunta para quaisquer vetores randômicos gaussianostem, individualmente, a mesma forma, sejam suas componentesvariáveis randômicas gaussianas independentes ou não.
Λ−= uuuimu TT
YY 2
1exp)(φ
−Λ−
Λ= − )()(
)2(1
212 YTY
T
nY mYmY2
1 - exp
1 (y)f
π
Processo Aleatório Gaussiano
• Um processo randômico real é umprocesso gaussiano se para todo conjunto finito deinstantes de tempo
as correspondentes variáveis randômicas sãovariáveis aleatórias conjuntas.
{ }T , ∈tYt
tY
{ }T , ∈tYt
n 1,2,..., j T =∈jt
As funções características do vetor aleatório
tem a forma da matriz
Em que é a matriz da média de é amatriz da covariância de Y .
( )tnt2t1 Y ..., ,Y ,Y =Y
( )
Λ−
=VVVmi
y
TTY
ev*
2
1**
φΛ e Yym
Processo GaussianoConseqüências
• Um processo gaussiano é completamentedeterminado (estatisticamente) através da
especificação da média e da funçãocovariância do processo.
• Além disso qualquer processo gaussiano que éestacionário no sentido amplo é tambémestacionário no sentido restrito.
[ ]tY E( )', ttK y
Suponha que o processo aleatório é umprocesso gaussiano estacionário de sentido amplo.
Então:
para todo t, e
para todo t e t’
{ }∞+<<∞− , tYt
( ) ( )' - ' , ttKttK yy =
Processo Gaussiano
Então segue que
ou
( )[ ] ( )
−∑ ∑ ∑
=Φ = = =
n
1j 1 1it
21
,2
1YE
21 , ... , , , ... ,,
n
j
n
kkjkjyj
nttt
vvttKvi
nYYY evvv
( )( )
−−∑ ∑ ∑
=Φ = = =
n
1j 1 1
21
2
1 *
21... , , , ... ,,
n
j
n
kkjkjyj
tt
vvttKvmi
nYY evvv
Processo Gaussiano
• processo gaussiano randômico estacionário no sentido amplo.translação dos instantes de tempo pela mesma quantidade
• A função característica conjunta das novas variáveis
{ }tY
nttt ,...,, 21 τ
njYit
,...,2,1 , =+τ
( )( )
( )
( )nYYY
vvttKvmi
vvttKvmi
nYYY
vvv
e
evvv
nttt
n
j
n
kkjkjyj
n
j
n
kkjkjyj
nttt
, ... ,,
, ... ,,
21 , ... , ,
2
1 *
- 2
1 *
21 , ... , ,
21
n
1j 1 1
n
1j 1 1
21
Φ=
∑ ∑∑=
∑ ∑∑=Φ
−−
−+−
= = =
= = =
+++
ττ
τττ
Processo Gaussiano
• A função característica conjunta n dimensional (e portantoa densidade de probabilidade conjunta n dimensional) nãoé alterada pela translação da origem dos tempos.
• Se processo gaussiano é estacionário no sentido amplo,então ele também é estacionário no sentido restrito;
Estacionaridade no sentido estacionário amplo e nosentido estacionário restrito são equivalentes no caso doprocesso gaussiano!
Digressão:
• Teorema do Limite Central
Para amostras estatisticamente independentes, a
distribuição de probabilidade da amostra tende a uma
gaussiana quando o número de amostras cresce.
Digressão :
• Ruído branco : ruído cuja função de densidade espectral é constanteao longo do espectro.
potência infinita, pois:
ruído branco numa dada faixa de frequência.
Qualquer que seja a freqüência sempre teremos um sinal que visto em um osciloscópiotem um comportamento senoidal
( ) ∞== ∫+∞
∞−
dffSP n
f∆
( ) ( ) ( )[ ]ttwtvtx o Φ+= cos
Abrindo um parênteses :
• A dada função pode ser representada através de um somatório atravésda série de Fourier.
Em que, é dado por:
Onde é chamada de .
( ) ( ) ( )( ) ( )∑∑∞
=
∞
=
+∆=+=11
cos'2cosn
nnfnn
nnn twfStwAtx θθ
'2S '22
'2
SAA
S nn =⇒
=
( )( ) ( )nnfn twfS θ+∆ cos'2 ( )txn
Abrindo um parênteses :
• em que
• fixando t tem-se uma variável aleatória, ou seja, fazendot= t* tem-se:
uma soma de variáveis aleatórias, donde conclui-se atravésdo Teorema do Limite Central que é uma variávelaleatória gaussiana.
( ) ( )∑= txtx nc
( ) ( )∑∞
=
=1
**n
nc txtx
( )txc
• Logo:
observa-se que a frequência foi deslocada de , afim de expressarmos
em termos de seno e cosseno, ou seja,
( ) ( )( ) ( )( )ncnfnn twwfStx θ+−∆≡ *cos2*
nwcw
( )txn
( ) ( )( ) ( )[ ]
( ) ( )( ) ( )[ ]ncnn
fns
ncnn
fnc
twwfStx
twwfStx
θ
θ
+−∆=
+−∆=
∑
∑∞
=
∞
=
sen'2
cos'2
1
1
Formas de Onda de faixas estreitas
• Uma função do tempo X(t) é dita ser uma forma de onda de faixaestreita se a região sobre a qual o espectro de frequência.
diferente de zero está confinado em uma banda estreita defrequência com
∫+∞
∞−
−= dtetxfX tfi ** *2**)()( π
f∆ ffo ∆>>
A forma de onda de faixa estreita vista em um osciloscópio aparecemais ou menos como uma onda senoidal com uma função envoltóriavariando lentamente e uma função de fase variando vagarosamente.
Formas de Onda de faixas estreitas
Pode-se escrever:
Onde v(t) é uma função envoltória variando lentamente (sempre não
negativa), é uma função de fase variando lentamente, e
é a frequência aparente.
( ) ( ) ( )[ ]tttvtx o φω += cos*
( )tφπ
ω2
oof =
Formas de Onda de faixas estreitas
• Uma representação alternativa
é a componente do cosseno de
é chamada a componente do seno de .
( ) ( ) ( )[ ]tttvtx o φω += cos*
( ) ( ) ( ) ( )ttxttxtx osoc ωω sen*cos*)( −=
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ttvtxttvtx sc φφ sen* e cos* ≡≡
( )txc ( )tx( )txs ( )tx
Formas de Onda de faixas estreitas
• Envoltória e fase de uma forma de onda faixa estreita
resultando
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ttvtxttvtx sc φφ sen* e cos* ≡≡
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
=+= −
tx
txtxtxtv
c
ssc
122 tant e φ
Formas de Onda de faixa estreita
Decomposição:
Formas de Onda de faixa estreita
• interpretação:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )[ ]ttxttxtx
ttxtttx
ttxt
osocs
osooc
os
ωωωωω
ωω
2cos2sen
sen2cossen2
sen2 2
++−=−=
=
Formas de Onda de faixas estreitas
• Desde que ambas variam lentamente no tempo,
o produto da saída tem uma componente centrada em
torno da frequência zero (isto é, ) e uma componente centrada emtorno de freqüências repetidas.
( ) ( )txtx sc e
( )tcω
( )txc
Formas de Onda de faixas estreitas
• Freqüência de corte do filtro passa baixa ideal:escolhida para permitir a separação de duas componentes de saída,
apenas os termos em torno da frequência zero com distorção eeliminando os termos centrados em torno de 2fo .
Antes, obtemos o resultado de saída do filtro passa baixa ideal :
( ) ( )txty cc =
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]twtxtwtxtx
twtxtwtwtx
twtxw
osocs
osooc
os
2cos2sen
sen2cossen*2
sen*22
++−=−=
=
( ) ( )txty ss −=
Formas de Onda de faixas estreitas
• forma de onda de faixa estreita original em fase equadratura.
• Através de um filtro passa baixa
que é a saída do sistema original de entrada da formade onda.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( )tx
twtxtwtx
twtytwtytz
osoc
osoc
=−=+=
sencos
sencos
11°°. Processo Aleat. Processo Aleatóório derio deFaixa EstreitaFaixa Estreita
2°. Processo Gaussiano faixaestreita
Processo Faixa Estreita
Definição: Um sinal no tempo X(t) é dito ter umaforma de onda banda estreita se a região em cima doespectro de freqüência (Fig 1) é não nulo e estálimitado a uma faixa de freqüência estreita delargura ∆∆f centrada sobre uma freqüência, fo .
Sendo f0 >> ∆∆f
Figura 1
• Estender o estudo de banda estreita paraprocessos aleatórios.
Suponha, {Xt, -∞∞< t < +∞∞ } é um processo aleatóriobanda estreita; i.é.,
suponha que {Xt} é estacionário na sua faixa larga
com uma densidade espectral Sx a qual difere de
zero apenas numa estreita banda de freqüência sobre
alguma dada freqüência, chamada de f0.
Algumas vezes é conveniente representar um processo faixa estreita em termos de
1) um módulo de processo
{Vt, -∞∞ < t < +∞∞ } e
2) um processo de fase
{φφt, -∞∞ < t < +∞∞ },
usando a relação:
Xt = Vt Cos(wot + φφt) onde wo = 2ππfo.
Alternativa:
em termos de seus componentes seno e cosseno
{Xct, - ∞∞ < t < + ∞∞ },
{Xst, - ∞∞ < t < + ∞∞ }, respectivamente.
usando a relação:
Xt = Xct Cos wot - Xst Sen wot.
22
XXV stctt+=
ct
st
X
X1t tan −=ϕ
Módulo, fase, componente cosseno ecomponente seno são fenômenos debaixa freqüência; i.é., seus espectrossão todos essencialmente zero em valorpara freqüências maiores em magnitudeque alguma fração pequena fo .
Funções de correlação concernentes aos componentesseno e cosseno do processo.
em particular, componente cosseno.
h - resposta ao impulso de um filtro passa baixa
XFiltro passa
baixa
ideal
tXtCoswo2
ctX
( ) ( )[ ]XXR cttccEtt
ττ
+≡+ ,
( ) ( ) ( ) ( )
−−+= ∫∫
∞
∞−−
∞
∞−−+
dzztCoszhduutCosuhE wXwX oztout2 2 τ
τ
( ) ( ) ( ) ( ) [ ]XXww ztutooEdzztCoszhduutCosuh
−−+
∞
∞−
∞
∞−∫∫ −−+=
ττ 4
( ) ( ) ( ) ( ) [ ]zudzztCoszhduutCosuh Rww xoo+−−−+= ∫∫
∞
∞−
∞
∞−
ττ 4
Equação 1
A última igualdade segue da estacionaridade doprocesso.
filtro passa baixa => domínio da freqüência.
Expressar a função de auto correlação Rx como aderivada de Fourier da densidade espectral Sx,então 1 se torna:
( ) ( ) ( )∫∞
∞−−+
−+=+ duutCosuhtt wXR outcττ
τ4,
( ) ( )∫∞
∞−−
− dzztCoszh wX ozt
( ) ( )∫∞
∞−
+ dfefS jx
zu-rf 2 π
Expandindo o cosseno em termos da exponencialcomplexa:
( ) ( ) ( ) ( )( )∫∞
∞−
−+=+ dzeezhttR jjc
z-tf 2z-tf 2 oo, ππτ
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )∫∫∞
∞−
+∞
∞−
+−+ + zu-f 2u-tf 2u-tf 2 ooo dfefSdueezh jx
jj τπτπτπ
( )∫ ∫∫∞
∞−
∞
∞−
+∞
∞−
−
+= )()( )f(f 2f 2)f-(f 2f 2 oooo dzezhedzezhedffS zjtjzjtj
xππππ
+ ∫∫
∞
∞−
−∞
∞−
−−−+++ dueuhedueuhe ujfftjujfftj oo )f(f 2])([f 2)f(f 2])([f 2 oooo )()( πτππτπ
As integrais da função peso podem agora serescritas em termos da função passa-baixa H:
Antes de ir adiante, é usual considerar o gráfico dafreqüência de acordo com a magnitude de váriostermos como mostrado nas figuras a seguir:
∫∞
∞−
− ++−=+ )]()([)(),( *f 2*f 2 ooo
tjo
tjxc ffHeffHedffSttR ππτ
)]()([ ])([f 2])([f 2 ooo
fftjo
fftj ffHeffHe oo −++ −−−++ τπτπ
Figuras
ou
Quando as condições parênteses são escritas emevidência, as condições que contêm os fatores:
H*(f-fo)H(f+fo) e H*(f+fo)H(f-fo)
desaparecem por causa do característica de nãosuperposição de |H(f+fo)| e |H(f-fo)|. Assim:
),()( ttRR cc ττ +=∆
[ ]2)f-(f 2 )()(),( oo
jxc ffHedffSttR −=+ ∫
∞
∞−
τπτ
[ ]2)f(f 2 )(oo
j ffHe ++ + τπ
*
Observando as figuras anteriores
∫∫∞−
+∞
− +=0
)(2
0
)( 2x )()(S) ( dfefSdfefR fofj
xfofj
cπτπτ
∫∫∞−
−−∞
− +=0
)(2
0
)( 2x ')()(S dfefSdfef fofj
xfofj πτπ
Fazendo a mudança de variável f’ = -f, tem-se:
que é a função de autocorrelação “cosseno” de um
processo aleatório de banda estreita.
( )∫∞
−−− +=0
)( 2)( 2x )(S) ( dfeefR fofjfofj
cτπτπτ
( )∫∞
−=0
x 2S2 df)fof(Cos)f( τπ
CASO PARTICULAR: processo gaussiano banda estreita.
processo {Xt, -∞∞< t <+∞∞ }.
componentes seno e cosseno do processo
{Xct, -∞∞<t<+∞∞ } e {Xct, -∞∞<t<+∞∞}, respectivamente,são alcançáveis pela transformação linear de umdeterminado processo banda estreita.
Estes processos são também gaussianos.
22°°. Processo Gaussiano de banda. Processo Gaussiano de bandaestreitaestreita
Componentes aleatórias, a saber, Xct Xst.
para variáveis gaussianas não correlacionadas,
independência!.
Xct e Xst média zero e variância Rx(0), a densidade deprobabilidade é:
+−=
)0(2exp
)0( 2
1),(
22
,xx
xx R
yx
Ryxf
stct π
Densidade de probabilidade do módulo e fase :
22
XXV stctt+=
ct
st
X
X1t tan −=ϕ
CONCLUSÃO: o módulo e a fase das variáveis sãoestatisticamente independentes com densidade deprobabilidade dada por:
≤
−=
Contrário Caso 0
0 ,)0(2
exp)0()(
2
vparaR
v
R
vvf
xxv t
≤≤=
Contrário Caso 0
2 0 , 2
1)(
πφπφφ
paraft