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Questões – Análise de Tensões e Deformações

18

8.8 – Exercícios Resolvidos (colaboração Prof. Plácido)

FORMULÁRIO para cálculo das tensões no plano da seção Esforço

Solicitante

Seção Carregamento

Distribuição das tensões na

seção

Fórmula para cálculo da

Tensão

Observação

Tração Pura (ou compressão)

σ = σ = σ = σ = N / A

Carregamento

Centrado. Área Qualquer

Corte Puro

τ = τ = τ = τ = Q / A

Carregamento

Centrado. Área Qualquer

Flexão Pura Simétrica

σ = σ = σ = σ = (M/I LN)y

σσσσmáx = M/W

Carregamento no plano de

simetria. LN no centróide

da área (M constante)

Flexão Simples

τ = τ = τ = τ = Q Ms/bI LN

ττττmáx = ξ ξ ξ ξ (Q/A)

M s (momento estático)

(M variável)

Flexão

Composta com Força

Normal

σ = Ν/Α −σ = Ν/Α −σ = Ν/Α −σ = Ν/Α −

− (Μ− (Μ− (Μ− (ΜΖΖΖΖ/Ι/Ι/Ι/ΙΖΖΖΖ))))Y + + (My/I Y)Z

(os eixos Y e Z são os eixos principais de

inércia) (LN – lócus onde σ = 0)

Torção Pura

τ = (τ = (τ = (τ = (T/JP)r

τ = τ = τ = τ = T / 2e@

τ = τ = τ = τ = T / ααααbh2

(α tabelado)

Seção circular

Duto de parede fina

Seção Retangular

+N A

A

Q

T

T

+

-

M

LN

LN

T

M

M

M

z

N

M y M z

y

LN

Q


19

Exercício nº 8.8.1 - Determine σ1, σ2 e τmáx , bem como seus respectivos planos de atuação, no ponto A da seção transversal no engastamento do duto esquematizado. Represente o estado de tensão no ponto através do Círculo de Mohr.

40cm

20cm

2cm

4,0 m

125 kN

125 kN

50 kN

50 kN

30 kN/m

10cm A

Solução No engastamento: N = 50 + 50 = 100 kN ( - ) Q = 30 x 4 = 120 kN ( + ) M = 120 x 200 = 24.000 kN.cm T = 125 x 40 = 5.000 kN.cm A = 40 x 20 – 36 x 16 = 224cm2

@ = 38 x 18 = 684 cm2 ILN = 20x(40)3/12 – 16x(36)3/12= = 44.459 cm4

No ponto A: σ = N/A + (M/ILN)y = = -100 /224 + (24.000/44.459)10== - 0,446 + 5,398 = = 4,952 kN/cm2 = 49,5 MPa τQ = Q Ms / b ILN ; Ms = 20 x 10 x 15 – 16 x 8 x 14 = 1.208 cm3

τQ = 120 x 1208 / (2 + 2) x 44.459 = 0,8151 kN/cm2 (�)

τT = T/2.e.@ = 5.000 / 2 x 2 x 684 = 1,827 kN/cm2 (↑)

τtotal = 1,012 kN/cm2 = 10,1 MPa (↑) Para a orientação de eixos mostrada ao lado teremos:

1,01

4,95

x

y

z

PV → σx = + 4,95; τxy = - 1,01; PH → σy = 0; τyx = - 1,01. (estado duplo, com σz =τzy = τzx = 0) As tensões principais valerão:

σ p = ½ (σx + σy) + √ [½ (σx - σy)] 2 + (τxy )

2 = ½ (4,95 + 0) + [ (½ 4,95)2 + (1,01)2]1/2 =

= 2,476 + 2,675 → σ p1 = 5,151 kN/cm2; σ p2 = - 0,199 kN/cm2; τmáx = 2,675 kN/cm2 tg α1 = (σ1 - σx)/ τxy = (5,151 – 4,95)/1,01 = 0,199 → α1 = 11,2º tg α2 = (σ2 - σx)/ τxy = ( - 0,199 – 4,95)/1,01 = - 5,09 → α2 = − 78,8º

1 2 3 4 5 6 -1 -2

1

2 2

3

1

2

3

σσσσ

ττττ

σ1

σx

σ2

PV

τxy

PÓLO

4,95 1,01

2,475 0,00 1,01

α1

O traçado do círculo de Mohr é feito plotando-se os dois pontos representativos das tensões no plano “x” (PV) e no plano “y” (PH). Unindo-se tais pontos obtemos a posição do centro da círculo (sobre o eixo dos σ). Traçada a circunferência, obtem-se as coordenadas correspondentes às tensões extremas. O Pólo é um elemento gráfico que auxilia na determinação da orientação dos planos onde atuam as tensões representadas.


20

(Análise crítica: tratando-se de uma flexão composta com força normal de compressão, seria oportuno avaliar se a flecha na extremidade livre da viga, provocada pelo carregamento transversal, iria causar uma excentricidade à força normal em relação à seção do engastamento, aumentando o valor do momento fletor, sendo tal efeito cumulativo. No caso, como se verá mais adiante, a flecha na extremidade livre de uma viga em balanço, de comprimento L, seção com inércia I e material de módulo de elasticidade E, submetida a uma carga uniformemente distribuída w, vale f = wL4/8EI. Supondo que a viga caixão fosse fabricada com barras chatas de aço (E=200 GPa), para os valores apresentados, a flecha calculada seria: f = 30x103x 44 / 8 x 200x109 x 44.459x10-8 = 0,0108m = 10,8mm. O acréscimo de momento no engastamento, devido à excentricidade da força normal seria: ∆M = 100 kN x 1,08cm = 108 kN.cm (0,45 % do momento M = 24.000 kN.cm) (desprezível no caso). Exercício nº 8.8.2 - São conhecidas as tensões atuantes no ponto K da viga esquematizada: Utilizando o círculo de Mohr, determine as tensões e as direções principais.

K σ = 6,50 kN/cm2

τ = 5,20 kN/cm2

K

-2 -4 -6 -8 -10 -12 +2

2

4

6

2

4

6

σσσσ

τ τ τ τ ��

pólo

PV

PH

Plotados os pontos representativos das tensões ocorrentes no PV (-6,50; 5,20�) e no PH (0,00; 5,20�) obtem-se a posição do centro do círculo ½ (-6,50 – 0) = -3,25, bem como o seu raio, fazendo: R = [(6,50/2)2 + 5,202]1/2 = 6,13.

σ1 = −3,25 + 6,13 = + 2,88*

σ2 = −3,25 - 6,13 = - 9,38*

τmáx = 6,13* → *kN/cm2

A orientação dos eixos principais tomando o eixo “x” como referência nos indica: tgα1=[2,88−(−6,50)]/(−5,20) = − 1,805; α1 = − 61,0º

α2 = 29,0º

- 6,50 5,20�

�

0,00 5,20�

α1

-3,25

σ2

σ1

τmáx σméd


21

Exercício nº 8.8.3 – O duto esquematizado, de seção circular (D = 100mm e espessura de parede 2mm), é submetido a uma pressão manométrica p = 10 atmosferas (1 atm = 0,100 MPa) e à força vertical de 5kN na extremidade vedada por flange cego. Para a seção indicada (a 160mm do engastamento), pede-se representar os estados de tensão pelos respectivos círculos de Mohr, nos pontos A, B, C e D assinalados.

300mm 200mm

160mm

2mm D=100mm

5,0kN

B

A

C

D

Flange Cego

A

B

C

D

p

Na seção indicada, temos os seguintes esforços solicitantes:

N = p AINT = 10x0,100x106 x π(0,096)2/4 . →N = 7.238N; Q = 5.000N;

M = 5.000x 0,200 → M = 1.000 N.m; T = 5.000x 0,300 →T= 1.500N.m

As propriedades geométricas valem:

A = π [(0,100)2 - (0,096)2 ]/4 = 615,75 x 10-6 m2

JP = (π/32)[(0,100)4 – (0,096)4] = 1,479 x 10-6 m4

I = ½ JP = 0,7395 x 10-6 m4

Tensão Circunferencial: devido à pressão P: σC =pd/2e =10x0,100x106x0,096/2x0,002 σσσσC = +24MPa (tração) ......................................................... Pontos A, B, C e D. Tensão Longitudinal: 1)Devido à Pressão p: σx = pd/4e = N/A σσσσx = +12 MPa (tração) ........................................................ Pontos A, B, C e D. 2)Devido ao Momento Fletor: σx = (M/I)y = (1.000 / 0,7395 x 10-6) 0,050 = 69,6 MPa σσσσx → Ponto A : - 69,6MPa; Ponto C: + 69,6MPa; Pontos B e D: zero . Tensão Tangencial: 1)Devido ao Torque: τx = (T/JP)r = (1.500 / 1,479 x 10-6) 0,050; ττττx = 50,7 MPa.........................(Pontos A,B,C e D) 2)Devido à Força Cortante: τx = ξ (Q/A) = 2 x (5.000 / 615,75 x 10-6); τ τ τ τx = 16,2MPa .......(Pontos B e D); (Pts. A e C→ 0) Compondo os valores parciais em cada ponto obteremos:

A C B D

24

24

24

24

24

24

24

24 - 57,6

- 57,6

50,7

12

12 12

1281,6

81,6

50,7

34,5 76,9


22

A

24

24

- 57,6

- 57,6

50,7

B 24

24

12

12 34,5

C

24

24

81,6

81,6

50,7

D 24

24

12

12

76,9

σmédio = ½ (- 57,6 + 24) = - 16,8 Raio = [(- 57,6 – 24) / 2]2 + 50,72 ]1/2 = 65,1 σ1 = -16,8 + 65,1 = + 48,3 σ2 = -16,8 - 65,1 = - 81,9

20 40 60 80 100 120 σσσσ -20 -40 -60 -80

20

20

40

60

80

40

60

80

ττττ

20 40 60 80 100 120 σσσσ -20 -40 -60 -80

20

20

40

60

80

40

60

80

ττττ

20 40 60 80 100 120 σσσσ -20 -40 -60 -80

20

20

40

60

80

40

60

80

ττττ

20 40 60 80 100 120 σσσσ -20 -40 -60 -80

20

20

40

60

80 ττττ

σmédio = ½ (12 + 24) = 18 Raio = [(12 – 24) / 2]2 + 34,52 ]1/2 = 35,0 σ1 = 18 + 35 = + 53,0 σ2 = 18 - 35 = -17,0

σmédio = ½ (81,6 + 24) = 52,8 Raio = [(81,6 – 24) / 2]2 + 50,72 ]1/2 = 58,3 σ1 = 52,8 + 58,3 = + 111,1 σ2 = 52,8 – 58,3 = - 5,5

σmédio = ½ (12 + 24) = 18 Raio = [(12 – 24) / 2]2 + 76,92 ]1/2 = 77,1 σ1 = 18 + 77,1 = + 95,1 σ2 = 18 – 77,1 = - 59,1

Tensões MPa

40

60

80


23

Solução: objetivando utilizar as equações deduzidas para a roseta a 45°, devemos observar que o extensômetro b ocupa a posição orientada na direção x, tendo o sensor c defasado de 45° em relação a x e o sensor a orientado na direção y (seguindo o sentido trigonométrico para o giro). Teremos portando:

εx = +800µ; ε45 = +450µ; εy = +400µ. De (8.7.4) → γxy = 2 (ε biss)

x, y – (εx + εy) = 2 x 450 – (800 + 400) = -300µµµµ.

De (8.7.8) → ε1 = (εx+εy)/2 +{[ (1/ 2) (εx-εy)]2+(γxy /2)2} 1/2 = 600 + 250 = +850µµµµ

ε2 = (εx+εy)/2 - {[ (1/ 2) (εx-εy)]2+(γxy /2)2} 1/2 = 600 - 250 = +350µµµµ

De (1.7.6) → G = E / 2(1 + ν)→ ν = (E/2G) – 1 = (105x109 / 2 x 39x109) – 1 = 0,346

De (8.7.12) → εz = [-ν/(1-ν)](εx + εy) = [-0,346 / (1 – 0,346)](800 + 400) = - 634,9µµµµ

De (8.7.14)→ γmáx = εp1 - εp3 = 850 – (-634,6) =1.485µ. De (8.7.13)→ σp1 = [E/(1-ν2)][(ε1 +νε2)]=[105x109/(1- 0,3462)](850+0,346x350)x10-6=115,8MPa

σp2 = [E/(1-ν2)][(ε2 +νε1)]=[105x109/(1- 0,3462)](350+0,346x850)x10-6 = 76,8MPa

De (1.7.5) → τmáx = G γmáx = 39x109 x 1.485x10-6 = 57,9 MPa. (*)

Encarando o estado de tensão como triplo, sendo a terceira tensão nula (σ3 = 0), verifica-se que a máxima tensão tangencial seria dada (de 8.6.1) por τmáx = 1/2 (σp1 - σp3) = ½ (115,8 – 0) = 57,8 MPa (confirmando *). Os círculos de Mohr correspondentes aos estados de deformações (medidas) e de tensões (calculadas) são apresentados a seguir.

200 400 600 800

200

400

25 50 75 100

25

50

γ/2γ/2γ/2γ/2 (µ)

εεεε (µ)

ττττ (MPa)

σσσσ (MPa)

b c

a -200 -400 -600

75

Exercício 8.8.4 – A peça esquematizada, com uma geometria complicada, é fabricada em latão (E = 105 GPa e G = 39 GPa) e submetida um sistema complexo de esforços. Pede-se determinar as tensões máximas de tração/compressão e cisalhamento no ponto da superfície assinalado, onde foi montada uma roseta e foram medidas as seguintes deformações nas direções indicadas: εa = +400µ; εb = +800µ; εc = +450µ.

Faça os cálculos utilizando as fórmulas e confira através da análise feita através dos círculos de Mohr. Considere tratar-se de um estado triplo de tensões, sendo nula a tensão no 3º plano (o da superfície onde foi montada a roseta)

a

b c

90º

45º


24

QUESTÕES DE PROVAS E TESTES RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS XI – Eng. Mecânica – 1ª. Prova – Em 18/05/04 – Prof. Pamplona UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE – DEPARTAMENTO DE E NGENHARIA CIVIL RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS XI_ - Engenharia Mecânica – Prof. Pamplona 1a. Avaliação : em 14/10/04

x

y

z

42MPa

42MPa

63MPa

63MPa

6MPa

x

y

z

A) (1,5p) Calcula-se que, em um ponto da superfície livre de um tubo de aço carregado, atua um estado de tensão com os valores representados ao lado. Pede-se determinar, no ponto considerado, os valores extremos da tensão normal e da tensão tangencial, indicando os planos onde essas tensões atuam.

B) (1,5p) Medem-se, em um ponto da superfície livre de um tubo de aço carregado, através de uma roseta 45º, as seguintes deformações longitudinais específicas, correspondentes aos extensômetros a (x), b (45), c(y):

εεεεa = + 110µ; εµ; εµ; εµ; εb = + 212,5µ; εµ; εµ; εµ; εa = + 240µ;µ;µ;µ; Pede-se determinar, no ponto considerado, os valores extremos da tensão normal e da tensão tangencial.

Aço 1020 E = 208 GPa G = 80 GPa

σσσσesc = 250 MPa

a b

c

45º

1a. QUESTÃO (3,0 pontos)

400

300

150

50

50

50 50

8

8 4

4

1ª Questão (4p) Para a seção situada a 150 mm do engaste do duto de aço esquematizado (E = 200GPa e ν = 0,300), submetido ao carregamento indicado, pede-se calcular os valores das tensões principais (tração e compressão) e da máxima tensão tangencial: a)(1,5p) no ponto P assinalado; b)(1,5p) a partir das medições de deformações específicas obtidas através da roseta R esquematizada, onde:

εεεεa = - 140µ; ε; ε; ε; εb = + 42µ; ; ; ; εεεεc = - 356µ;;;;

c)(1,0p) em complemento, faça um esboço dos círculos de Mohr representando os estados triaxiais de tensão e de deformação computados nos itens a) e b).

R 10kN

5 kN

x

y

z

x

P

45º

a

b

c

y


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UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE – DEPARTAMENTO DE E NGENHARIA CIVIL RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS XI - Engenharia Mecânica – Prof. Pamplona 1ª PROVA – Em 19 de abril de 2005 -

UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE – DEPARTAMENTO DE E NGENHARIA CIVIL RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS XI - Engenharia Mecânica – Prof. Pamplona

1ª avaliação – em 20 de setembro de 2005

x

y

z

(∆)

a

b c

P

30º

1ªQUESTÃO – No ponto P da superfície externa de uma peça de aço 1020 foi montada uma roseta em delta (eqüilátera), sendo o extensômetro “a” orientado segundo o eixo “x” da barra. Depois de carregada a peça, as leituras dos sensores foram:

εεεεa = 1170 µ; µ; µ; µ; εεεεb = 737 µ; µ; µ; µ; εεεεc = 304 µ.µ.µ.µ. Considerando triplo o estado de tensão no ponto P (com σ3 = 0), pede-se: a) traçar um esboço dos círculos de Mohr indicando o valor máximo da distorção γ;γ;γ;γ; b) traçar um esboço dos círculos de Mohr indicando o valor máximo da tensão tangencial τ;τ;τ;τ; c) calcular a tensão tangencial ττττnt atuante num plano perpendicular à superfície xy, formando um ângulo de 30º com o plano yz (segundo o sensor b)

60º 60º

100 100

100 100

600

P R

30kN

12kN

135º 135º

90º

x

x

y z

a

b c R

1ª QUESTÃO ( 4 pontos ) Para a coluna tubular esquematizada (seção circular com diâmetro externo 100 mm e 6mm de espessura de parede) pede-se: a)(1p) a máxima tensão tangencial no ponto P assinalado (considerando o estado duplo com σy = σz = 0) b)(1p) a tensão normal no ponto P assinalado, num plano que forma um ângulo de 67,5º com o plano da seção transversal (plano π) c)(1p) esboçar os círculos de Mohr para as deformações ε − γ no ponto R onde foi montada uma roseta com dois sensores ortogonais (b e c) e um terceiro (a) orientado na bissetriz (x) dessas direções,

cujos sensores registram: εεεεa = +522 µµµµ; εεεεb = +301 µµµµ ; εεεεc = +90,0 µµµµ d) (1p) as máximas tensões normal e tangencial no ponto R assinalado a partir dos registros dos sensores da roseta ali posicionada.

ππππ

D=100

67,5º


26


1ª avaliação – (pré-prova) – em 13 de setembro de 2005-09-09

100 100

100 100

50 50 50 50

500

P R

30kN

10kN

120º 120º

120º

x

x

y z

a

b

c R

1ª QUESTÃO ( 4 pontos ) Para a coluna vazada esquematizada (seção quadrada 100 x 100 mm2 –medidas externas e 5mm de espessura de parede) determinar: a)(1p) a máxima tensão normal no ponto P assinalado (considerando o estado duplo com σy = σz = 0) b)(1p) a tensão tangencial no ponto P assinalado, num plano que forma um ângulo de 60º com o plano da seção transversal (plano π) c)(1p) a máxima distorção γ no ponto R assinalado, onde foi montada a roseta eqüiangular (120º) cujos sensores registram:

εεεεa = +91,0 µµµµ; εεεεb = -57,9 µµµµ ; εεεεc = +62,5 µµµµ d)(1p) a máxima tensão normal no ponto R, utilizando os registros dos sensores da roseta (acima)

60º ππππ

20º

60

D=20mm

K

J

TESTE – 2004 – 01 - O eixo maciço em balanço assinalado na figura, com 20mm de diâmetro, é acionado por uma engrenagem de dentes retos (ϕ = 20º e diâmetro primitivo = 50mm), girando a 1.800 rpm, transmitindo a potência de 6 ½ CV a uma máquina M . Pede-se determinar as tensões máximas de tração, compressão e cisalhamento nos pontos K e Jassinalados, junto ao mancal de entrada da máquina. Faça um esboço dos círculos de Mohr correspondentes aos estados de tensão nos respectivos pontos.

M

x

z F

50


27

1ª PROVA – Em 23 de maio de 2006 -


1ª avaliação – em 02 outubro de 2007

1ªQUESTÃO – (4,0 p) O vaso de pressão cilíndrico esquematizado (L = 1,2m, D interno = 300mm, parede de espessura = 3mm), fabricado em aço 1020 (E = 200 GPa e ν = 0,300) sob a pressão manométrica de 20 atmosferas (1 atm = 0,102 MPa) é engastado em uma das extremidades e submetido à força de 10 kN, contida no plano do flange em balanço, e orientada como mostrado. Considerando o estado triplo de tensões e de deformações, pede-se calcular: a)(2p) a máxima tensão tangencial ττττ no ponto Aindicado; b)(2p) a máxima distorção γγγγ no ponto B indicado, tendo como base a medida de deformações específicas ε extraídas da roseta ∆ (eqüiangular) esquematizada, de onde se lê: εεεεa = 55,3 µ; µ; µ; µ; εεεεb = 326,7 µ; µ; µ; µ; εεεεc = 372,2 µ.µ.µ.µ.

(∆)

a

b c

60º 60º

400

400

400

500

x

z

10 kN

60º DEXT = 306

A

B

x

y

y

1ª QUESTÃO (4 pontos) No ponto P da superfície externa de uma peça de aço 1020 foi montada uma roseta, sendo o extensômetro “a” orientado segundo o eixo “x” mostrado. Depois de carregada a peça, as leituras dos sensores foram:

εεεεa = + 600 µ; µ; µ; µ; εεεεb = + 140 µ; µ; µ; µ; εεεεc = + 500 µ.µ.µ.µ. Considerando triplo o estado de tensão no ponto P (com σ3 = σz = 0), pede-se: a) (1,5p) traçar um esboço dos círculos de Mohr indicando o valor máximo da distorção γ; γ; γ; γ; b) (1,5p) traçar um esboço dos círculos de Mohr indicando o valor máximo da tensão tangencial τ;τ;τ;τ; c) (1p) calcular a tensão tangencial ττττnt atuante num plano perpendicular à superfície xy, formando um ângulo de 60º com o eixo x (segundo o sensor “a”)

x

y

z

b

c

P

60º

75º a

75º

P x

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