O Teorema de Nash garante a existência de um equilíbrio em...
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Complexidade computacional O Teorema de Nash garante a existência de um equilíbrio em qualquer jogo finito. Mas como encontrar um tal equilíbrio? Teoria dos Jogos – p. 1
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Complexidade computacional
O Teorema de Nash garante a existência deum equilíbrio em qualquer jogo finito.
Mas como encontrar um tal equilíbrio?
Teoria dos Jogos – p. 1
Complexidade computacional
O Teorema de Nash garante a existência deum equilíbrio em qualquer jogo finito.
Mas como encontrar um tal equilíbrio?
Kamal Jain:“If your laptop cannot find it, neither can the market.”
Teoria dos Jogos – p. 1
Complexidade computacional
O Teorema de Nash garante a existência deum equilíbrio em qualquer jogo finito.
Mas como encontrar um tal equilíbrio?
Kamal Jain:“If your laptop cannot find it, neither can the market.”
Problema NASH: Dado um jogo em forma padrão,encontrar um equilíbrio de Nash.
Teoria dos Jogos – p. 1
Complexidade computacional
O Teorema de Nash garante a existência deum equilíbrio em qualquer jogo finito.
Mas como encontrar um tal equilíbrio?
Kamal Jain:“If your laptop cannot find it, neither can the market.”
Problema NASH: Dado um jogo em forma padrão,encontrar um equilíbrio de Nash.
Podemos resolver esse problema eficientemente?
Qual é a sua complexidade?
Teoria dos Jogos – p. 1
Complexidade computacional
O Teorema de Nash garante a existência deum equilíbrio em qualquer jogo finito.
Mas como encontrar um tal equilíbrio?
Kamal Jain:“If your laptop cannot find it, neither can the market.”
Problema NASH: Dado um jogo em forma padrão,encontrar um equilíbrio de Nash.
Podemos resolver esse problema eficientemente?
Qual é a sua complexidade?
A versão de decisão (existe equilíbrio de Nash?) é trivial...
Teoria dos Jogos – p. 1
Discussão
Nash descreveu um jogo de poker com três jogadores, comutilidades inteiras, e único equilíbrio envolvendo irracionais.
Teoria dos Jogos – p. 2
Discussão
Nash descreveu um jogo de poker com três jogadores, comutilidades inteiras, e único equilíbrio envolvendo irracionais.
Seja σ ∈ Σ. Estratégia s em Si é resposta ótima para σ−i se
Ui(s, σ−i) = max{Ui(ρ, σ−i) : ρ ∈ Σi}.
Teoria dos Jogos – p. 2
Discussão
Nash descreveu um jogo de poker com três jogadores, comutilidades inteiras, e único equilíbrio envolvendo irracionais.
Seja σ ∈ Σ. Estratégia s em Si é resposta ótima para σ−i se
Ui(s, σ−i) = max{Ui(ρ, σ−i) : ρ ∈ Σi}.
Teorema: σ ∈ Σ é equilíbrio de Nash sse todas asestratégias puras no suporte dos σi são respostas ótimas.
Teoria dos Jogos – p. 2
Discussão
Nash descreveu um jogo de poker com três jogadores, comutilidades inteiras, e único equilíbrio envolvendo irracionais.
Seja σ ∈ Σ. Estratégia s em Si é resposta ótima para σ−i se
Ui(s, σ−i) = max{Ui(ρ, σ−i) : ρ ∈ Σi}.
Teorema: σ ∈ Σ é equilíbrio de Nash sse todas asestratégias puras no suporte dos σi são respostas ótimas.
Suporte de σi: subconjunto de Si em que σi é positivo.
Teoria dos Jogos – p. 2
Discussão
Seja σ ∈ Σ. Estratégia s em Si é resposta ótima para σ−i se
Ui(s, σ−i) = max{Ui(ρ, σ−i) : ρ ∈ Σi}.
Teorema: σ ∈ Σ é equilíbrio de Nash sse todas asestratégias puras no suporte dos σi são respostas ótimas.
Suporte de σi: subconjunto de Si em que σi é positivo.
Teoria dos Jogos – p. 3
Discussão
Seja σ ∈ Σ. Estratégia s em Si é resposta ótima para σ−i se
Ui(s, σ−i) = max{Ui(ρ, σ−i) : ρ ∈ Σi}.
Teorema: σ ∈ Σ é equilíbrio de Nash sse todas asestratégias puras no suporte dos σi são respostas ótimas.
Suporte de σi: subconjunto de Si em que σi é positivo.
Exemplo: Jogo simétrico com dois jogadores dado por
0 3 0
0 0 3
2 2 2
.
Teoria dos Jogos – p. 3
Discussão
Seja σ ∈ Σ. Estratégia s em Si é resposta ótima para σ−i se
Ui(s, σ−i) = max{Ui(ρ, σ−i) : ρ ∈ Σi}.
Teorema: σ ∈ Σ é equilíbrio de Nash sse todas asestratégias puras no suporte dos σi são respostas ótimas.
Suporte de σi: subconjunto de Si em que σi é positivo.
Exemplo: Jogo simétrico com dois jogadores dado por
0 3 0
0 0 3
2 2 2
.
Jogo simétrico de dois jogadores: A2 = At
1.
Teoria dos Jogos – p. 3
Discussão
Seja σ ∈ Σ. Estratégia s em Si é resposta ótima para σ−i se
Ui(s, σ−i) = max{Ui(ρ, σ−i) : ρ ∈ Σi}.
Teorema: σ ∈ Σ é equilíbrio de Nash sse todas asestratégias puras no suporte dos σi são respostas ótimas.
Suporte de σi: subconjunto de Si em que σi é positivo.
Exemplo: Jogo simétrico com dois jogadores dado por
0 3 0
0 0 3
2 2 2
.
Equilíbrio simétrico de Nash: (0, 1/3, 2/3).Teoria dos Jogos – p. 3
Consequência
Resolver NASH significa encontraro suporte certo das estratégias mistas de cada jogador.
Teoria dos Jogos – p. 4
Consequência
Resolver NASH significa encontraro suporte certo das estratégias mistas de cada jogador.
Dados os suportes,um sistema de equações polinomiais identifica σ.
Teoria dos Jogos – p. 4
Consequência
Resolver NASH significa encontraro suporte certo das estratégias mistas de cada jogador.
Dados os suportes,um sistema de equações polinomiais identifica σ.
Sejam S′
i⊆ Si os suportes para cada i, e ki = |S′
i|.
As ki probabilidades correspondentes devem somar 1.
O valor de Ui deve ser igual para as ki estratégias.
Teoria dos Jogos – p. 4
Consequência
Resolver NASH significa encontraro suporte certo das estratégias mistas de cada jogador.
Dados os suportes,um sistema de equações polinomiais identifica σ.
Sejam S′
i⊆ Si os suportes para cada i, e ki = |S′
i|.
As ki probabilidades correspondentes devem somar 1.
O valor de Ui deve ser igual para as ki estratégias.
Tais restrições são descritas em ki equações,para um total de
∑
iki equações, com
∑
iki variáveis.
Teoria dos Jogos – p. 4
Consequência
Resolver NASH significa encontrar o suporte certodas estratégias mistas de cada jogador.
Sejam S′
i⊆ Si os suportes para cada i, e ki = |S′
i|.
Sistema de equações polinomiais:
As ki probabilidades correspondentes devem somar 1.O valor de Ui deve ser igual para as ki estratégias.
Tais restrições são descritas em ki’s equações,para um total de
∑
iki equações, com
∑
iki variáveis.
Teoria dos Jogos – p. 5
Consequência
Resolver NASH significa encontrar o suporte certodas estratégias mistas de cada jogador.
Sejam S′
i⊆ Si os suportes para cada i, e ki = |S′
i|.
Sistema de equações polinomiais:
As ki probabilidades correspondentes devem somar 1.O valor de Ui deve ser igual para as ki estratégias.
Tais restrições são descritas em ki’s equações,para um total de
∑
iki equações, com
∑
iki variáveis.
Resolva o sistema e verifique se a solução consisteem números positivos que formam um equilíbrio.
Teoria dos Jogos – p. 5
Complexidade computacional
Os seguintes problemas são NP-completos:dado um jogo com dois jogadores na forma matricial,decidir se este jogo tem
pelo menos dois equilíbrios de Nash;
dado k, um equilíbrio de Nash para o jogador 1 comutilidade pelo menos k;
dado k, um equilíbrio de Nash com valor social pelomenos k;
dado k, um equilíbrio de Nash com pelo menos kestratégias no seu suporte;
dado s, um equilíbrio de Nash com s no suporte;
dado s, um equilíbrio de Nash sem s no suporte.
Teoria dos Jogos – p. 6
Complexidade computacional
Problema: Dado jogo com dois jogadores na forma padrão,decidir se existem pelo menos dois equilíbrios de Nash.
Teoria dos Jogos – p. 7
Complexidade computacional
Problema: Dado jogo com dois jogadores na forma padrão,decidir se existem pelo menos dois equilíbrios de Nash.
Vamos mostrar uma redução de SAT para este problema.
Teoria dos Jogos – p. 7
Complexidade computacional
Problema: Dado jogo com dois jogadores na forma padrão,decidir se existem pelo menos dois equilíbrios de Nash.
Vamos mostrar uma redução de SAT para este problema.
φ: fórmula booleana em FNC sobre as variáveis x1, . . . , xn.
Jǫ(φ): jogo simétrico com dois jogadores para ǫ > 0.
Teoria dos Jogos – p. 7
Complexidade computacional
Problema: Dado jogo com dois jogadores na forma padrão,decidir se existem pelo menos dois equilíbrios de Nash.
Vamos mostrar uma redução de SAT para este problema.
φ: fórmula booleana em FNC sobre as variáveis x1, . . . , xn.
Jǫ(φ): jogo simétrico com dois jogadores para ǫ > 0.
O conjunto S de estratégias de cada jogador é a união
do conjunto das variáveis V = {x1, . . . , xn},
do conjunto dos literais L = {+x1,−x1, . . . ,+xn,−xn},
do conjunto das cláusulas C, e
de uma estratégia especial f .
Teoria dos Jogos – p. 7
Funções utilidadeu1(f, f) = u2(f, f) = ǫ
u1(y, f) = u2(f, y) = 0 para todo x em S \ {f}
u1(f, y) = u2(y, f) = n− 1 para todo x em S \ {f}
Teoria dos Jogos – p. 8
Funções utilidadeu1(f, f) = u2(f, f) = ǫ
u1(y, f) = u2(f, y) = 0 para todo x em S \ {f}
u1(f, y) = u2(y, f) = n− 1 para todo x em S \ {f}
u1(c, ℓ) = u2(ℓ, c) = 0 para todo c em C e ℓ in c
u1(c, ℓ) = u2(ℓ, c) = n para todo c em C e ℓ in L \ c
u1(c, y) = u2(y, c) = n− 4 para todo c em C e y in V ∪ C
Teoria dos Jogos – p. 8
Funções utilidadeu1(f, f) = u2(f, f) = ǫ
u1(y, f) = u2(f, y) = 0 para todo x em S \ {f}
u1(f, y) = u2(y, f) = n− 1 para todo x em S \ {f}
u1(c, ℓ) = u2(ℓ, c) = 0 para todo c em C e ℓ in c
u1(c, ℓ) = u2(ℓ, c) = n para todo c em C e ℓ in L \ c
u1(c, y) = u2(y, c) = n− 4 para todo c em C e y in V ∪ C
u1(v, ℓ) = u2(ℓ, v) = 0 para todo v em V e ℓ tq v(ℓ) = v
u1(v, ℓ) = u2(ℓ, v) = n para todo v em V e ℓ tq v(ℓ) 6= v
u1(v, y) = u2(y, v) = n− 4 para todo v em V e y in V ∪ C
Teoria dos Jogos – p. 8
Funções utilidadeu1(f, f) = u2(f, f) = ǫ
u1(y, f) = u2(f, y) = 0 para todo x em S \ {f}
u1(f, y) = u2(y, f) = n− 1 para todo x em S \ {f}
u1(c, ℓ) = u2(ℓ, c) = 0 para todo c em C e ℓ in c
u1(c, ℓ) = u2(ℓ, c) = n para todo c em C e ℓ in L \ c
u1(c, y) = u2(y, c) = n− 4 para todo c em C e y in V ∪ C
u1(v, ℓ) = u2(ℓ, v) = 0 para todo v em V e ℓ tq v(ℓ) = v
u1(v, ℓ) = u2(ℓ, v) = n para todo v em V e ℓ tq v(ℓ) 6= v
u1(v, y) = u2(y, v) = n− 4 para todo v em V e y in V ∪ C
u1(ℓ1, ℓ2) = u2(ℓ2, ℓ1) = n− 1 para todo ℓ1 6= −ℓ2
u1(ℓ1, ℓ2) = u2(ℓ2, ℓ1) = n− 4 para todo ℓ1 = −ℓ2
u1(ℓ, y) = u2(y, ℓ) = n− 4 para todo ℓ em L e y in V ∪ CTeoria dos Jogos – p. 8
Equilíbrios de Nash
Equilíbrio óbvio: (f, f) pois
u1(f, f) = u2(f, f) = ǫ
u1(y, f) = u2(f, y) = 0 para todo x em S \ {f}
Teoria dos Jogos – p. 9
Equilíbrios de Nash
Equilíbrio óbvio: (f, f) pois
u1(f, f) = u2(f, f) = ǫ
u1(y, f) = u2(f, y) = 0 para todo x em S \ {f}
Existe um outro equilíbrio de Nash (EN) sse φ é satisfatível.
Teoria dos Jogos – p. 9
Equilíbrios de Nash
Equilíbrio óbvio: (f, f) pois
u1(f, f) = u2(f, f) = ǫ
u1(y, f) = u2(f, y) = 0 para todo x em S \ {f}
Existe um outro equilíbrio de Nash (EN) sse φ é satisfatível.
A ⊆ L: conjunto de literais de atribuição que satisfaz φ.
Estratégia mista que escolhecada elemento de A com probabilidade 1/n é EN.
Teoria dos Jogos – p. 9
Equilíbrios de Nash
Equilíbrio óbvio: (f, f) pois
u1(f, f) = u2(f, f) = ǫ
u1(y, f) = u2(f, y) = 0 para todo x em S \ {f}
Existe um outro equilíbrio de Nash (EN) sse φ é satisfatível.
A ⊆ L: conjunto de literais de atribuição que satisfaz φ.
Estratégia mista que escolhecada elemento de A com probabilidade 1/n é EN.
EN distinto de (f, f) é uma estratégia mista do tipo acima.
Teoria dos Jogos – p. 9
