UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAISINSTITUTO DE CIENCIAS EXATAS

PROGRAMA DE POS-GRADUACAO EM MATEMATICA

O Teorema do Posto

Israel de Oliveira Azevedo

Belo Horizonte - MG

2010

UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAISINSTITUTO DE CIENCIAS EXATAS

PROGRAMA DE POS-GRADUACAO EM MATEMATICA

O Teorema do Posto

Israel de Oliveira AzevedoOrientador: Prof. Dr. Renato Jose de Moura

Monografia apresentada ao Programa

de Pos-Graduacao em Matematica da

UFMG como parte dos requisitos para

obtencao do tıtulo de Especialista em

Matematica

Belo Horizonte - MGFevereiro de 2010

Sumario

1 Introducao 3

2 Resultados Preliminares 6

3 Teorema do Posto 14

3.1 Consequencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.2 Forma Local das Imersoes de Classe C1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.3 Forma Local das Submersoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4 Aplicacoes 21

4.1 Primeira Aplicacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.2 Segunda Aplicacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

5 Demonstracao do Teorema do Posto 24

5.1 Teorema da Parametrizacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

5.2 Corolario do Teorema da Parametrizacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

5.3 O Teorema do Posto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Referencias Bibliograficas 30

Capıtulo 1

Introducao

A proposta deste trabalho e apresentar o Teorema do Posto, entender quais sao as

hipoteses e os resultados deste teorema e algumas de suas consequencias. Pelo fato do teorema

fornecer um resultado geral, a apresentacao de exemplos e, principalmente, aplicacoes pode

ajudar a elucidar qual a motivacao, de onde surgiu a necessidade deste resultado e, de fato,

sob quais hipoteses este teorema facilita a demonstracao de alguns resultados como, por

exemplo, a Forma Local das Imersoes de classe C1 e Forma Local das Submersoes de classe

C1 .

A grosso modo, o Teorema do Posto estabelece que dada uma funcao f de classe C1

com posto constante (definicao vista mais adiante), a menos de composicoes de bijecoes, a

funcao f e simplesmente uma funcao projecao.

Sera mostrada uma abordagem do Teorema do Posto diferente do que e encontrado

na literatura usual. Em geral, para se mostrar o Teorema do Posto, sao usadas a Forma

Local das Imersoes e a Forma Local das Submersoes que, por sua vez, sao demonstradas

utilizando o Teorema da Aplicacao Inversa. Aqui, de posse do Teorema do Posto, sera

mostrado que a Forma Local das Imersoes de classe C1 e a Forma Local das Submersoes

de classe C1 decorrem dele. A demonstracao do Teorema sera apresentada ao final desta

monografia, mais precisamente no capıtulo 5. Um resultado que sera muito importante nesta

demonstracao sera o Teorema da Aplicacao Inversa.

Durante o texto algumas afirmacoes e resultados provenientes da Algebra Linear

serao apenas enunciados devido a conexao entre a Algebra Linear com varias definicoes da

Analise. Como exemplo podemos tomar a definicao de derivada em um ponto. Nela temos o

contato direto com uma funcao linear e temos um objeto associado a esta funcao. Este objeto

e o que chamaremos de matriz. E atraves dele usaremos varios resultados para estudar uma

funcao aproximando-a localmente pela sua derivada.

4

Outro exemplo desta conexao e a definicao de um conjunto de vetores, de um espaco

vetorial X, linearmente independentes e1, ..., ek.Se temos uma combinacao linear destes

vetores e elementos de um corpo K tal que α1e1 + ... + αkek = 0, cada elemento do corpo

deve ser nulo, isto e α1 = ... = αk = 0. Desta maneira, a dimensao da imagem de T :

Rp → R

q e o numero maximo de vetores linearmente independentes entre T.e1, ...T.ep, ou,

de modo equivalente, e o numero maximo de colunas linearmente independentes da matriz

A. Estes fatos apresentados, tao interligados, serao de vital importancia para cumprirmos

nossos objetivos, uma vez que sem eles nao poderıamos chegar a definicao de posto de uma

aplicacao.

Estes exemplos mostram que ao longo do texto sera de fundamental importancia que

se tenha com clareza os conceitos que serao definidos na secao Resultados Preliminares.

Atraves de um exemplo de uma funcao linear podemos compreender o que estabelece

o Teorema do Posto. Afim de expor este exemplo, por simplicidade, aceitaremos alguns

resultados, entre eles que o posto de uma matriz e o numero maximo de linhas linearmente

independentes, uma vez que a dimensao do espaco linha de qualquer matriz e igual a dimensao

do seu espaco coluna. Este resultado pode ser encontrado, por exemplo, em [2]. Outro

importante resultado e o seguinte

Teorema 1.1 O posto de uma aplicacao linear T : Rp → Rq e igual a r se, e somente se,

a matriz de T contem um determinante menor r × r nao-nulo, mas qualquer determinante

menor de ordem r + 1 e igual a zero.

Seja T : Rm × R

p−m → Rm × R

q−m uma aplicacao linear de posto m definida

por T (x, y) = (x, 0). Como T e linear, a derivada de T e a propria aplicacao linear T .

Geometricamente temos a seguinte configuracao

T

Cada ponto em Rm×R

p−m e levado em um ponto do eixo Rm. De forma mais geral,

uma curva de Rm × R

p−m e levado em um subconjunto de Rm.

Dada uma funcao qualquer f : Im T → Rm × R

q−m , seja g : Rm × R

p−m →

Rm × R

q−m definida por g = f T , desta maneira temos que cada imagem de g depende

5

unica e exclusivamente de um subconjunto de Rm. Esta ideia sera generalizada atraves do

Teorema do Posto.

Capıtulo 2

Resultados Preliminares

Nesta secao serao enunciados algumas definicoes e resultados usados no desenvolvi-

mento desta monografia. Eventualmente, algumas definicoes que nao estiverem neste capıtulo

serao definidas dentro do desenvolvimento do texto e acompanhada de exemplos.

Estas definicoes podem ser separadas em dois grupos: As definicoes numeradas de 1

a 22 e as demais definicoes numeradas de 23 a 31. O segundo grupo de definicoes aparecera

de maneira direta no texto, enquanto o primeiro grupo de definicoes e usado dentro das

definicoes do segundo grupo.

Os teoremas enunciados aqui, apesar da importancia, nao serao demonstrados. Con-

tudo as referencias bibliograficas trazem as prova e mais sugestoes de onde encontrar outras

demonstracoes destes teoremas.

Definicao 2.1 Seja K um conjunto cujos elementos podem ser adicionados e multiplicados.

Dizemos que K e um corpo se, para qualquer a, b e c ∈ K, as seguintes propriedades forem

satisfeitas

• (a+ b) + c = a+ (b+ c);

• a+ b = b+ a;

• existe um elemento em K, denotado por 0, tal que a+ 0 = a;

• para cada a ∈ K, existe um unico x ∈ K tal que a + x = 0. O elemento x e denotado

por (−a);

• (ab)c = a(bc);

• ab = ba;

6

7

• existe um elemento em K, denotado por 1, tal que 1a = a;

• a(b+ c) = ab+ ac;

• para cada a ∈ K e a 6= 0, existe um unico elemento x ∈ K − 0 tal que ax = 1. O

elemento x e denotado por a−1 ou 1

a.

Definicao 2.2 Um espaco vetorial X sobre um corpo K e um conjunto cujos elementos

(chamados vetores) podem ser somados e multiplicados por escalares, isto e, os elementos

do corpo K. Se x, y, z ∈ X e λ, µ ∈ K, as seguintes propriedades devem ser satisfeitas pela

adicao e multiplicacao por escalar

• x+ y ∈ X;

• (x+ y) + z = x+ (y + z);

• x+ y = y + x;

• existe 0 ∈ X tal que x+ 0 = x;

• existe (−x) ∈ X talque x+ (−x) = 0;

• λx ∈ X;

• µ(λx) = (µλ)x;

• λ(x+ y) = λx+ λy;

• (λ+ µ)x = λx+ µx);

• 1x = x.

Definicao 2.3 Um subconjunto Y de um espaco vetorial X e um subespaco, se seus ele-

mentos satisfizerem as propriedades que definem o espaco vetorial X.

Definicao 2.4 Sejam X e Y espacos vetoriais sobre o corpo K. Um aplicacao

T : X → Y

que satisfaz

T (x+ λy) = Tx+ λTy

para quaisquer x, y ∈ X e λ ∈ K e chamada de aplicacao linear. Quando trata-se de

aplicacoes lineares e usual a notacao Tx = T (x).

8

Definicao 2.5 Seja S ⊂ X um subconjunto qualquer de um espaco vetorial X. Uma com-

binacao linear de elementos de S e uma soma finita

λ1x1 + · · ·+ λnxn

com λ1, . . . , λn ∈ K e x1, · · · , xn ∈ S.

Definicao 2.6 Seja S ⊂ X um subconjunto qualquer de um espaco vetorial X. Dizemos que

S e linearmente dependente, se existe um numero finito de elementos x1, · · · , xn ∈ S e

escalares λ1, . . . , λn ∈ K, nao todos nulos, tais que

λ1x1 + · · ·+ λnxn = 0.

Definicao 2.7 Seja S ⊂ X um subconjunto qualquer de um espaco vetorial X. Sejam

x1, · · · , xn ∈ S e escalares λ1, . . . , λn ∈ K. Se λ1x1 + · · ·+ λnxn = 0 =⇒ λ1 = · · · = λn = 0,

o conjunto S e linearmente independente.

Definicao 2.8 Um conjunto S gera o espaco X se, para cada elemento x ∈ X, existem

finitos λ1, . . . , λj ∈ K e x1, . . . , xj ∈ S tais que λ1x1 + · · ·+ λjxj = x.

Uma base de X e um subconjunto ordenado B que e linearmente independente e gera

X.

Definicao 2.9 Seja ej = (α1, . . . , αn) em que αj = 1 ∈ K e αi = 0, i 6= j. e1, ...en e a

base canonica de Kn.

Definicao 2.10 Se B = x1, . . . , xn for uma base do espaco vetorial X, dizemos que X tem

dimensao n e escrevemos dim X = n.

O proximo teorema sera usado para definirmos uma matriz. Esta definicao de matriz

foi adotada para explicitar diretamente a relacao entre uma matriz e uma aplicacao linear.

A demonstracao deste teorema pode ser vista em [2].

Teorema 2.1 Sejam X = Kn e Y = K

m e aij ∈ K, para j = 1, . . . , n e i = 1, . . . ,m. Para

cada x = (x1, . . . , xn) ∈ Kn definimos T : X = K

n → Y = Km, por y = Tx, sendo que

yi =n

∑

j=1

aijxj, i = 1, . . . ,m.

Entao T e uma aplicacao linear. Alem disso, toda aplicacao linear T : X = Kn → Y = K

m

e da forma yi =∑n

j=1aijxj, i = 1, . . . ,m

9

Definicao 2.11 Dada uma aplicacao linear T : X = Kn → Y = K

m, pelo teorema acima T

e da forma yi =∑n

j=1aijxj, i = 1, . . . ,m. O arranjo

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

.... . .

...

am1 am2 · · · amn

e denominado de matriz m × n, sendo m o numeros de linhas e n o numeros de colunas.

O elemento aij e a entrada correspondente a linha i e a coluna j. Se m = n a matriz e dita

quadrada. Dada uma matriz A, uma submatriz de A e uma matriz que e obtida de A ao se

omitir algumas linhas e/ou colunas.

Definicao 2.12 Sejam l1, . . . , lm ∈ Kn linhas de uma matriz A m× n. O espaco linha da

matriz A e o espaco gerado pelos vetores l1, . . . , ln e sera denotado por < L >.

Definicao 2.13 Sejam c1, . . . , cn ∈ Km colunas de uma matriz A m×n. O espaco coluna

da matriz A e o espaco gerado pelos vetores c1, . . . , cn e sera denotado por < C >.

O proximo teorema traz um resultado importante que utilizaremos mais adiante

quando trataremos sobre posto de uma matriz. Sua demonstracao se encontra em [2].

Teorema 2.2 Dada uma matriz A m× n, sejam < C > = espaco coluna e < L > = espaco

linha, assim, temos que

dim < C > = dim < L >

Definicao 2.14 Definimos como o posto da matriz A, denotado por posto A, como sendo

dim < C >. Se A for uma representacao matricial de uma aplicacao linear T , definimos

posto T = posto A.

Pode-se tambem provar que dada uma matriz A, < C > e o subespaco imagem de

Ax = b, onde x, b ∈ Kn, denotado por Im A. Desta maneira poderıamos dar a seguinte escrita

a definicao anterior:

O posto da matriz A, denotado por posto A, como sendo dim ImA. Se A for uma

representacao matricial de uma aplicacao linear T , definimos posto T = posto A.

Definicao 2.15 Sejam c1, c2, . . . , cn ∈ Kn. Uma funcao determinante e uma funcao

D : Kn × . . .×Kn → K

que associa (c1, . . . , cn) a D(c1, . . . , cn) satisfazendo as seguintes propriedades

10

• D e uma funcao alternada, isto e, se ci = cj para i 6= j, i, j ∈ 1, . . . , n, entao

D(c1, . . . , cn) = 0;

• D(c1, . . . , cn) e uma funcao n-linear, ou seja, D e uma aplicacao linear em cada coor-

denada, as outras sendo mantidas constantes. Mais precisamente, se cj estiverem fixos

com i 6= j,

D(c1, . . . , λci + c′i, . . . , cn) = λD(c1, . . . , ci, . . . , cn) +D(c1, . . . , c′i, . . . , cn).

• D(e1, ..., en) = 1, em que e1, ...en e a base canonica de Kn.

Pode-se provar que a funcao determinante e unica e para melhor entendimento da

definicao acima e conveniente pensar nestas propriedades para a funcao determinante para

uma matriz 2×2 D : K2×K2 → K definida por: D((a11, a12), (a13, a14)) = a11 ·a22−a12 ·a21.

Definicao 2.16 Seja A uma matriz n×n. Sendo D uma funcao determinante definida para

matrizes (n− 1)× (n− 1), definimos indutivamente

Di(A) = (−1)i+1ai1D(Ai1) + · · ·+ (−1)i+nainD(Ain).

Esta igualdade e a expansao do determinante de A segundo os cofatores da i-esima

linha de A.

Definicao 2.17 Sejam D a funcao determinante e A = (c1 · · · cn) uma matriz n×n denotada

por meio das suas colunas. O determinante de A e

detA = D(c1, . . . , cn).

Definicao 2.18 Seja V um espaco vetorial real; uma norma em V e uma funcao de V em

R, denotada por x 7→ ||x|| e que satisfaz

• ||x|| ≥ 0 para todo x ∈ V ;

• ||x|| = 0 se e somente se x = 0;

• ||ax|| = |a| · ||x|| para todo a ∈ R, x ∈ V ,

• ||x+ y|| ≤ ||x||+ ||y|| para todo x, y ∈ V .

Definicao 2.19 Dado um elemento x = (x1, ..., xn) ∈ Rn definimos a norma euclidiana

de x, ||x||, como

||x|| =√

x21 + ...+ x2

n

11

Definicao 2.20 Um conjunto Ω ∈ Rn e um aberto em R

n, ou simplesmente um aberto, se

para cada ponto x ∈ Ω, existe um numero real positivo r tal que todo ponto y de Rn que

satisfaca ||x− y|| < r tambem pertence ao conjunto Ω.

Definicao 2.21 Seja x ∈ Rp e seja r > 0. Entao o conjunto y ∈ R

p : ||x − y|| < r e

chamado de bola aberta de centro x e raio r.

Definicao 2.22 Seja x ∈ Rp e seja r > 0. Entao o conjunto y ∈ R

p : ||x − y|| ≤ r e

chamado de bola fechada de centro x e raio r.

Definicao 2.23 Seja f : Ω ⊆ Rn → R

m. Dizemos que f e uma funcao contınua em um

ponto a do domınio, se dado ǫ > 0, existe um numero δ(ǫ) > 0 tal que, se x ∈ Ω e um

elemento tal que ||x− a|| < δ(ǫ), temos ||f(x)− f(a)|| < ǫ.

Definicao 2.24 Dizemos que f e uma funcao contınua se f for uma funcao contınua em

cada ponto do seu domınio.

Definicao 2.25 Seja X um espaco vetorial dotado de uma norma. Uma funcao f : X → R

diz-se semicontınua inferiormente no ponto a ∈ X quando, para cada ǫ > 0 dado,

pode-se obter δ > 0, tal que x ∈ X, ||x− a|| < δ =⇒ f(x) < f(a) + ǫ.

Definicao 2.26 Uma funcao f e semicontınua inferiormente quando e semicontınua

inferiormente em cada ponto do seu domınio.

Definicao 2.27 Seja f definida em um subconjunto A de Rp e com valores em R

q. Seja c

um ponto interior de A, e u um ponto qualquer de Rp. Diz-se que um vetor Lu ∈ R

q e a

derivada parcial de f em c em relacao a u se, para cada ǫ > 0, existe um δ(ǫ) tal que,

para todo t ∈ R verificando 0 < ||t|| < δ(ǫ), tenhamos∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1tf(c+ tu)− f(c) − Lu

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

< ǫ

Definicao 2.28 Sejam f uma funcao com domınio A contido em Rp e contradomınio em

Rq e c um ponto interior de A. Dizemos que f e diferenciavel no ponto em c se existe

uma funcao linear L : Rp → Rq tal que, para todo ǫ > 0, existe um δ(ǫ) > 0 tal que se x ∈ R

p

e um vetor que satisfaz ||x− c|| < δ(ǫ), entao x ∈ A e

||f(x)− f(c)− L(x− c)|| ≤ ǫ||x− c||

Definicao 2.29 Uma funcao diferenciavel e uma funcao diferenciavel em cada ponto do

seu domınio.

12

Definicao 2.30 Um funcao f : Rm → Rn e de classe C1 se f e diferenciavel e a aplicacao

derivada f ′ : U → L(Rm;Rn) e contınua.

Definicao 2.31 Dada uma aplicacao diferenciavel f : Ω ⊆ Rp → R

q em um ponto x ∈ Ω, o

posto de f e o posto de sua derivada f ′(x) : Rp → Rq. Alem disso, temos que: posto A ≤

maxm,n.

Os teoremas abaixo serao muito utilizados no decorrer do desenvolvimento do tra-

balho. Com excessao do teorema 2.6 , todos os demais podem ser encontrados juntamente

com suas demonstracoes em [1, 3, 4, 5, 6, 8]. A demonstracao do teorema 2.6 pode ser

encontrado em [4].

Teorema 2.3 (Teorema do Valor Medio) Seja Ω ⊆ Rp aberto e suponhamos f : Ω →

Rq. Suponhamos que Ω contenha todos os pontos a,b e o segmento S que os une, e que f seja

diferenciavel em todos os pontos de S. Entao existe um ponto c em S tal que

||f(b)− f(a)|| ≤ ||Df(c)(b− a)||.

Teorema 2.4 (Teorema da Aplicacao Inversa) Seja Ω ⊆ Rp aberto e suponhamos

f : Ω → Rp pertencente a classe C1(Ω). Se c ∈ Ω e tal que Df(c) e uma bijecao, entao existe

uma vizinhanca aberta U de c tal que V = f(U) e uma vizinhanca de f(c) e a restricao de f

a U e uma bijecao sobre V com inversa contınua g. Alem disso, g pertence a Classe C1(V ) e

Dg(y) = [Df(g(y))]−1

Teorema 2.5 (Teorema da Aplicacao Injetiva) Suponhamos que Ω ⊆ Rp seja um

aberto, que f : Ω → Rq pertenca a classe C1(Ω) e que L = Df(c) seja injetiva. Entao existe

um numero δ > 0 tal que a restricao de f a Bδ = x ∈ Rp : ||x− c|| ≤ δ e injetiva. Alem

disso, a inversa da restricao f |Bδe uma funcao contınua de f(Bδ) ⊆ R

p.

Definicao 2.32 Uma submersao do aberto Ω ⊂ Rp e uma aplicacao diferenciavel f : Ω →

Rq tal que para cada x ∈ Ω, a derivada Df(x) : R

p → Rq e uma transformacao linear

sobrejetiva, e para tanto devemos ter p ≥ q.

Definicao 2.33 Dados X ⊂ Rm, Y ⊂ R

n, uma aplicacao f : X → Y diz-se uma aplicacao

aberta quando, para cada A ⊂ X aberto em X, sua imagem f(A) e um subconjunto aberto

em Y .

Teorema 2.6 Toda submersao de classe Ck(k ≥ 1) e uma aplicacao aberta.

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Teorema 2.7 (Teorema da Aplicacao Sobrejetiva) Sejam Ω ⊆ Rp aberto e f : Ω → R

q

pertenca a classe C1(Ω). Suponhamos que para algum c ∈ Ω a funcao linear L = Df(c) seja

uma sobrejecao de Rp sobre R

q. Entao existem numeros m > 0 e α > 0 tais que, se y ∈ Rq

e ||y − f(c)|| ≤ α2m

, entao existe um x ∈ Ω tal que ||x− c|| ≤ α e f(x) = y.

Capıtulo 3

Teorema do Posto

Na introducao foi colocado que dada uma funcao f de classe C1, com posto cons

tan te, podemos escreve-la como uma composicao de bijecoes para que a funcao “seja uma

projecao”. Neste capıtulo serao apresentadas quais sao estas bijecoes e como se da esta

afirmacao. Alem disso a Forma Local das Submersoes de classe C1 e a Forma Local das

Imersoes de classe C1 serao mostradas utilizando-se o Teorema do Posto. Comecemos este

capıtulo apresentado o enunciado do Teorema do Posto. Lembramos que sua demonstracao

esta no final da monografia.

Teorema 3.1 Seja Ω ⊆ Rp aberto e suponhamos f : Ω → R

q pertencente a classe C1.

Suponhamos que Df(x) tenha posto m para todo x ∈ Ω e seja f(a) = b ∈ Rq para algum

a ∈ Ω. Entao

(i) existem vizinhancas abertas Z de a e Z’ de 0 em Rp, e uma funcao σ : Z → Z ′ de classe

C1 que tem uma inversa σ−1 : Z ′ → Z de classe C1;

(ii) existem vizinhancas abertas V de b e V’ de 0 em Rq, e uma funcao τ : V ′ → V de

classe C1 que tem uma inversa τ−1 : V → V ′ de classe C1;

(iii) se x ∈ Z, entao f(x) = τ imσ(x), onde ir : Rp → Rq e a aplicacao definida por

im(c1, ..., cm, cm+1, ..., cp) = (c1, ..., cm, 0, ..., 0) ∈ Rq.

Usando as decomposicoes Rp = Rm ×R

p−m e Rq = Rm ×R

q−m, o Teorema do posto

pode ser ilustrado pela figura 3.1.

Nela podemos perceber que im faz exatamente o mesmo papel no sentido de associar

Z ⊆ Rm × R

p−m a V ′ ⊆ Rm, da funcao T definida no exemplo da introducao.

14

15

f (a)

a

Figura 3.1: Ilustracao do Teorema do Posto.

O Teorema do Posto nos permite tratar, localmente, de qualquer funcao com posto

constante em um subconjunto de seu domınio “de maneira similar a uma aplicacao linear”.

De fato, a propria definicao de im nos leva a esta interpretacao. Existem outras observacoes

de fatos uteis e importantes como o uso do Teorema do Posto no Calculo em Variedades,

mas nos concentraremos na colocacao anterior. Desta forma os esforcos serao concentrados

em entender o quao exatamente possıvel o vago termo “de maneira similar a uma aplicacao

linear”.

3.1 Consequencias

Nesta secao, veremos uma primeira aplicacao do Teorema do Posto como um corolario.

Para tanto precisamos de duas definicoes.

Definicao 3.1 Uma imersao de um aberto Ω ⊂ Rp e uma aplicacao diferenciavel f : Ω →

Rq tal que para cada x ∈ Ω, a derivada Df(x) : R

p → Rq e uma transformacao linear

injetiva,e para tanto devemos ter p ≤ q.

Exemplo: Seja f : Rp → R

p × Rq definida por f(x) = (x, 0). Como f e linear, temos

Df(x) = f para todo x ∈ Rp, e portanto, f e uma imersao.

Definicao 3.2 Uma submersao do aberto Ω ⊂ Rp e uma aplicacao diferenciavel f : Ω →

Rq tal que para cada x ∈ Ω, a derivada Df(x) : R

p → Rq e uma transformacao linear

16

sobrejetiva, e para tanto devemos ter p ≥ q.

Exemplo: Dada uma decomposicao em soma direta do tipo Rp ⊕ R

q em que temos: (x, y) ∈

Rp ⊕R

q com x ∈ Rp e y ∈ R

q, seja f : Rp ⊕Rq → R

q a projecao sobre a segunda coordenada

f(x, y) = y. Temos que Df(x) = f para todo x ∈ Rp+q, uma vez que f e linear, assim f e

uma submersao.

De posse destas definicoes podemos provar que:

Corolario 3.1 Seja f : Ω → Rq, com posto constante no aberto Ω ⊂ R

p. Entao

(i) f e localmente injetiva se, e somente se, e uma imersao.

(ii) f e aberta se, e somente se, e uma submersao.

Demonstracao

(i)(⇒) Primeiramente temos que se o posto de f = n fosse menor que p entao, no Teorema

do Posto, a aplicacao im nao seria injetiva, logo f nao seria localmente injetiva. Assim f

localmente injetiva implica posto de f = p e assim temos que f e uma imersao.

(⇐) Se f e uma imersao entao Df(x) e injetiva e pelo Teorema da Aplicacao Injetiva e

localmente injetiva.

(ii) Sejam m o posto de f e as decomposicoes Rp = Rm ⊕ R

p−m e Rq = R

m ⊕ Rq−m. Como

toda submersao de classe C1 e aberta, basta mostrar que f aberta implica que posto de

f = q. Se m = posto de f fosse menor que q, dados V × W ⊂ Rm × R

p−m e o aberto

Z = σ(V ×W ), com ir : V ×W → Rm × R

q−m da forma (x, y) → (x, 0), como no Teorema

do Posto, a imagem τ−1 f(Z) = τ−1 f σ−1(V ×W ) = V × 0 nao seria um aberto em

Rq, logo f(Z) ⊂ R

q nao seria um aberto.

3.2 Forma Local das Imersoes de Classe C1

Usando o Teorema do posto, nesta secao apresentaremos e demonstraremos a Forma

Local das Imersoes. Atraves deste exemplo teremos uma motivacao diferente da usual para

a Forma Local das Imersoes,de classe C1, como consequencia do Teorema do Posto. O

enunciado abaixo pode ser ilustrado pela figura 3.2.

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f (a)

(a, 0)

Figura 3.2:

Teorema 3.1 Seja f : U → Rm+n definida no aberto U ⊂ R

m de classe C1. Se a derivada

f ′(a) : Rm → Rm+n e injetiva, existe um difeomorfismo h : Z → V × W , de uma aberto

Z ⊂ Rm+n que contenha f(a) sobre um aberto V ×W que contem (a, 0) em R

m×Rn, tal que

h f(x) = (x, 0) para todo x ∈ V .

Demonstracao: Como f ′(a) : Rm → Rm+n e injetiva, Df(a) tem posto m. Como o posto

e uma funcao semi-contınua inferiomente, temos que existe uma vizinhanca Z de a, onde o

posto da derivada e pelo menosm. Por outro lado, m e o posto maximo deDf(x), assim posto

f = m em Z. Dessa maneira podemos aplicar diretamente o Teorema do Posto e obtemos:

(i) Existe im : V ′ ⊂ Rm → Z ′ ⊂ R

m × Rn−m que associa (x, y) → (x, 0).

(ii) Existe τ : Z ′ → Z difeomorfismo de classe C1.

(iii) Existe σ : V → V ′ difeomorfismo de classe C1.

(iv) f(x) = τ im σ(x).

Dessa maneira, se x ∈ V ′, temos:

f(x) = τ im σ(x) ⇒ τ−1 f(x) = im σ(x)

= (x, 0).

Assim, basta definir h = τ−1 : Z → Z ′.

A ideia contida na demonstracao pode ser ilustrada atraves de uma pequena modi-

ficacao na mesma figura do Teorema do Posto. Esta ilustracao e feita na figura 3.3.

18

f (a)

a

h fo

Figura 3.3:

3.3 Forma Local das Submersoes

Nesta secao, sera apresentado um tratamento analogo ao abordado anteriormente,

em suma mostraremos a Forma Local das Submersoes como consequencia do Teorema do

Posto.

Teorema 3.2 Seja f : U → Rn definida no aberto U ⊂ R

m+n de classe C1. Se a derivada

f ′(a) : Rm+n → Rn e sobrejetiva, entao existem abertos, V, W, Z, com a ∈ Z ⊂ R

m+n,

a1 ∈ V ⊂ Rm, f(a) ∈ W ⊂ R

n, e um difeomorfismo h : W×V → Z, fortemente diferenciavel

no ponto (f(a), a1), tal que f h(w, y) = w para todo (w, y) ∈ W × V .

Vale salientar que dizer que f ′(a) ser sobrejetiva equivale a: se e dada uma decom-

posicao em soma direta do tipo Rm+n = R

m × Rn tal que a = a(a1, a2) e a derivada parcial

∂2f(a) = f ′(a)|Rn : Rn → Rn e um isomorfismo.

Demonstracao: Temos que f ′(a) : Rn+m → Rm e sobrejetiva, Df(a) tem posto n. Como o

posto e uma funcao semi-contınua inferiomente, temos que existe uma vizinhanca Z de a,

onde o posto da derivada e pelo menos n. Por outro lado, n e o posto maximo de Df(x),

assim posto f = n em Z. Dessa maneira podemos aplicar diretamente o Teorema do Posto e

obtemos:

(i) Existe im : Z ′ ⊂ Rn × R

m → V ′ ⊂ Rn × 0 que associa (x, y) → (x, 0).

(ii) Existe σ : Z → Z ′ difeomorfismo de classe C1.

19

a

(x, c)

Figura 3.4: A Forma Local das Submersoes

(iii) Existe τ : V ′ ⊆ Rn × 0 → V ⊆ R

n difeomorfismo de classe C1.

(iii) f(x) = τ imσ(x)

Temos que; como f e uma submersao, pelo Teorema da Aplicacao Sobrejetiva, f e

localmente sobrejetiva, assim, podemos escrever um elemento de V como f(x), sendo x ∈ Z.

Desta maneira um ponto σ(a) ∈ Z ′ tem a forma (w, y), sendo w = f(x).

τ−1 f σ−1(σ(a)) = (w, 0) ⇒ f σ−1(w, y) = τ (w, 0)

= f(x)

= w.

Assim, basta definir h = σ−1 : V → V ′. Como anteriormente, podemos ilustrar a

ideia contida na demonstracao pela figura seguinte.

20

f (a)

a

h

Capıtulo 4

Aplicacoes

Para atingir os objetivos tracados na introducao, serao colocadas duas aplicacoes do

Teorema do Posto e estes exemplos visam o melhor entendimento de suas hipoteses e seus

resultados. As aplicacoes sao: uma funcao f : Rm → Rn de classe C1 nao pode ser injetiva

se m > n, e que nao pode ser sobrejetiva se m < n. Nestas aplicacoes, duas das hipoteses do

Teorema do Posto ja estao satisfeitas e a terceira, que a derivada deve ter posto constante,

merece atencao especial.

Para tanto relembremos que dada uma aplicacao diferenciavel f : Ω ⊆ Rm → R

n em

um ponto x ∈ Ω, o posto de f e o posto de sua derivada f ′(x) : Rm → Rn. Alem disso, temos

que: posto A ≤ maxm,n.

E conveniente ressaltar que dada uma funcao f : Ω ⊆ Rm → R

n de classe C1, o

posto de f e uma funcao semi-contınua inferiormente com valores inteiros. Ou seja, se f tem

posto r em um ponto x ∈ Ω entao existe uma vizinhanca V de x, contida em Ω, tal que

posto f ≥ r. Podemos afirmar pelo teorema 1.1 que existe um determinante menor r × r da

matriz jacobiana de f(x) que e nao-nulo. Por continuidade, este mesmo determinante menor

e nao-nulo em todos os ponto de uma bola com centro em x. Nesses pontos, o posto de f

e pelo menos igual a r. Este ultimo argumento e a ideia principal que tornara possıvel a

utilizacao do Teorema do Posto nas aplicacoes seguintes.

4.1 Primeira Aplicacao

Aplicacao 4.1 Nao existe uma funcao f : Rm → Rn, em que m > n, de classe C1 e injetiva.

Demonstracao Dadom > n, suponha que exista f : Rm → Rn injetiva com Df(x) : Rm → R

n

contınua.

21

22

Sejam k = maxposto Df(x) : x ∈ Rm e x0 ∈ R

m tal que Df(x0) tenha posto k.

Assim, como Df(x0) tem posto k em um ponto x0 podemos afirmar que o determinante de

Df(x0) e nao nulo. Pelas continuidades da matriz jacobiana e da funcao determinante, o

determinante de Df(x0) e nao nulo em uma vizinhanca de x0, portanto existe uma vizinhanca

V de x0, tal que posto Df(x) ≥ k para todo x ∈ V . Por outro lado k e o posto maximo de

Df(x0) em Rm, portanto posto Df(x) = k em V .

Existem, ainda, as decomposicoes Rm = R

k × Rm−k e R

n = Rk × R

n−k. Nestas

hipoteses o Teorema do Posto garante que existem:

(i) ik : Z ′ ⊂ Rk × R

m−k → V ′ ⊂ Rk × R

n−k que associa (x, y) → (x, 0).

(ii) σ : Z → Z ′ difeomorfismo de classe C1.

(iii) τ : V ′ → V difeomorfismo de classe C1.

(iv) f(x) = τ ikσ(x)

Como k ≤ n < m e ik nao e injetiva, logo f(x) = τ ikσ(x) tambem nao pode ser

injetiva e chegamos a uma absurdo.

4.2 Segunda Aplicacao

A segunda aplicacao e obtida de forma semelhante a primeira, porem os detalhes

serao explicitados, ate mesmo, os que ja foram abordados na primeira aplicacao.

Aplicacao 4.2 Nao existe uma funcao f : Rm → R

n, em que m < n, de classe C1 e

sobrejetiva.

Demonstracao: Dado m < n, suponha que exista f : Rm → Rn injetiva com Df(x) : Rm →

Rn contınua.

Sejam k = maxposto Df(x) : x ∈ Rm e x0 ∈ R

m tal que: Df(x0) tenha posto

k. Assim, como Df(x0) tem posto k em um ponto x0 podemos afirmar que o determinante

de Df(x0) e nao nulo.Pela continuidade da matriz jacobiana e pela continuidade da funcao

determinante, o determinante de Df(x0) e nao nulo em uma vizinhanca de x0,portanto existe

uma vizinhanca V de x0, tal que posto Df(x) ≥ k para todo x ∈ V . Por outro lado k e o

posto maximo de Df(x0) em Rm, portanto posto Df(x) = k em V .

Existem, ainda, as decomposicoes Rm = R

k × Rm−k e R

n = Rk × R

n−k. Nestas

hipoteses o Teorema do Posto garante que existem

23

(i) ik : Z ′ ⊂ Rk × R

m−k → V ′ ⊂ Rk × R

n−k que associa (x, y) → (x, 0).

(ii) σ : Z → Z ′ difeomorfismo de classe C1.

(iii) τ : V ′ → V difeomorfismo de classe C1.

(iv) f(x) = τ ikσ(x)

O Teorema do Nucleo e da Imagem de uma aplicacao linear nos da que

m = dim Im Df(x) + dim Ker Df(x) ≥ k

Como k ≤ m < n e ik nao e sobrejetiva, logo f(x) = τ ikσ(x) tambem nao pode

ser sobrejetiva o que nos leva a um absurdo.

Capıtulo 5

Demonstracao do Teorema do Posto

Inicialmente sera apresentada a demonstracao do Teorema da Parametrizacao. Este

teorema nao e famoso, pelo menos com este nome, e a bem da verdade e um caso particular do

Teorema do Posto, mas o mostraremos de forma separada pois desta forma a demonstracao

do Teorema do Posto fica menor, assim, procurando deixa-la mais acessıvel com um menor

custo de organizacao de ideias. No esquema abaixo e sintetizado o que obteremos com o

Teorema da Parametrizacao.

5.1 Teorema da Parametrizacao

Teorema 5.1 (Teorema da Parametrizacao) Sejam Ω ⊆ Rp um aberto e f : Ω → R

q

uma funcao de Classe C1. Suponha que Df(x) tenha posto r para todo x ∈ Ω e seja b =

f(a) ∈ Rq para algum a ∈ Ω. Entao existem uma vizinhanca aberta V ⊆ Ω de a e uma

funcao α : V → Rr ∈ C1 e tambem existem um aberto W ⊆ R

r e funcoes β : W → Rp e

ϕ : W → Rq, tais que

(i) f(x) = ϕ α(x) para todo x ∈ V .

(ii) ϕ(t) = f β(t) para todo t ∈ W.

Demonstracao: Sem perda de generalidade, supomos a ∈ Rp e b ∈ R

q.

Seja L = Df(0) de forma que L : Rp → Rq tenha posto r. Definamos para o restante

da demonstracao os espacos X1, X2, Y1, Y2.

24

25

Seja x1, ..., xp uma base do Rp tal que xr+1, ..., xp gere ker L =X1 e denotemosX2

o espaco gerado por x1, ..., xr. Desta forma obtemos uma base y1 = L(x1), ..., yr = L(xr)

de im L = Y1. Sejam yr+1, ..., yq vetores linearmente independentes de forma que y1, ..., yq

forme uma base de Rq. Da algebra linear, sabemos que todo x ∈ Rp possui uma representacao

da forma x = α1x1 + ... + αpxp. Alem disso, esta representacao e unica. Definimos, entao,

duas transformacoes lineares em Rp:

P1(x) =r

∑

j=1

αjxj e P2(x) =p

∑

j=r+1

αjxj

Note que o contradomınio de P1 e X1 e que o contradomınio de P2 e X2. Na verdade podemos

pensar que P1 e uma forma de projecao de x sobre X1 e P2 uma projecao sobre X2.

Analogamente definimos Q1 e Q2 em Rq para y = α1y1 + · · ·+ αqyq por

Q1(x) =r

∑

j=1

αjxj e Q2(x) =q

∑

j=r+1

αjxj

Segue-se que o contradomınio de Qj e Yj,j = 1, 2.

Todas estas observacoes visam tornar viavel a aplicacao do Teorema da Funcao In-

versa, afinal a hipotese do referido teorema nos e necessaria para a esta prova.

Seja L1 a restricao de L a X1. Assim construımos uma bijecao de X1 → Y1. Seja

L−1

1 = A : Y1 → X1, em particular A L(x) = x para todo x ∈ X1 e L A(y) = y para todo

y ∈ Y1.

Por fim, definimos u de Ω ⊆ Rp em R

p por

u(x) = A Q1 f(x) + P2(x), x ∈ Ω,

de modo que u(0) = 0, que u leve X1 ∩ Ω em X1, e que

Du(x) = A Q1 Df(x) + P2(x), x ∈ Ω,

de modo que u e de classe C1.

Note que Du(0) e a aplicacao identidade em Rp. Basta lembrar que Df(0) = L.

Aplicando o Teorema da Funcao Inversa, segue-se que existe uma vizinhanca aberta U de

a = (0) tal que U ′ = u(U) e uma vizinhanca aberta de 0, e que a restricao de u a U e uma

bijecao sobre U ′ com inversa w : U ′ → Rp pertencente a classe C1. Podemos ainda substituir

U e U ′ por subconjuntos convexos destes.

Definamos entao g : U ′ → Rq por

g(z) = f(w(z)).

26

Entao g e de classe C1 e pela Regra da Cadeia temos que:

Dg(z) = Df(w(z)) Dw(z), z ∈ U ′.

Afirmamos que Dg(x) tem posto r para todo z ∈ U ′, uma vez que Df(x) tem posto r

para todo x ∈ Ω e Dw(z) e invertıvel para x ∈ U ′. Basta lembrar que, sendo R e S aplicacoes

lineares, posto (RS) ≤ min posto(R), posto(S) = r. Daı

g(z) = (Q1 +Q2) f(w(z))

= Q1 f(w(z)) +Q2 f(w(z)),

Como w = u−1, temos

z = u(w(z)) = A Q1 f(w(z)) + P2(w(z)), z ∈ U ′.

Mas L A Q1 = Q1 em Rq e L P2 = 0 em R

p, temos L(z) = Q1 f(w(z)) = Q1 g(z),

donde L(z) = Q1 f(w(z)) = Q1 g(z); z ∈ U ′. Logo se z ∈ U ′, entao o operador Q1 leva

o contradomınio de Dg(z), de dimensao r, sobre o contradomınio de L, que tambem tem

dimensao r.

Concluımos que Q1 e injetiva no contradomınio de Dg(z) para z ∈ U ′. Daı se

z ∈ U ′ e x ∈ Rp e tal que L(x) = 0, entao, lembrando Q1 e uma aplicacao linear injetiva,

, Dg(z)(x) = 0. Consequentemente, se z ∈ U ′ e z2 ∈ X2 = KerL, entao temos que

Dg(z)(z2) = 0.

Pode-se verificar que se g : U ′ → Rq e z ∈ U ′, Z2 ∈ X2 com z + z2 ∈ U ′,temos

g(z + z2) = g(z). Desta forma estamos afirmando que g depende, unicamente, de z1 ∈ X1.

Para tanto basta aplicar o Teorema do Valor Medio, e obtemos um ponto z0 no segmento de

reta que une z e z + z2(em U ′) com

0 ≤ ||g(z + z2)− g(z)|| ≤ ||Dg(z0)(z2)|| = 0

o que implica em

g(z + z2)− g(z) = 0 ⇒ g(z + z2) = g(z).

Definamos α, β e ϕ. Comecemos por definir C : Rr → Rp a transformacao que leva

os vetores da base e1, e2, .., er no vetores x1, x2, ..., xr que formam uma base X1. Logo C e

uma bijecao de Rr sobre X1, existindo portanto C−1 : X1 → R

r. Seja W = C−1(U ′) =

C−1(U ′ ∩X1) de modo que W ⊆ Rr seja uma vizinhanca aberta de 0 em R

r, e seja V ⊆ U

uma vizinhanca aberta de a = 0 tal que P1 u(V ) ⊆ U ′. E entao pomos

α : V → Rr por α(x) = C−1 P1 u(x).

27

β : W → Rp por β(t) = w C(t).

Pode-se inferir, ainda, que α pertence a Classe C1 e α(V ) ⊆ W e que β pertence a

Classe C1 e que β(W ) ⊆ U .

Por ultimo, pomos ϕ : W → Rq por ϕ(t) = g C(t).

E notemos que ϕ(t) = (f w) C(t) = f β(t). E podemos escrever ainda f(x) =

f(w u(x)) = (f w) u(x) = g u(x). Para concluirmos a demonstracao basta lembrar que

g u(x) = g P1 u(x) e escrevemos

f(x) = g u(x) = g P1 u(x)

= g (C C−1) (P1 u)(x)

= (g C) (C−1 P1 u)(x)

= ϕ α(x).

5.2 Corolario do Teorema da Parametrizacao

Provamos o que chamamos de Teorema da Parametrizacao, mas nesta demonstra-

cao podemos obter outras informacoes. Elas estarao contidas neste proximo corolario. E

claro que necessitaremos e de forma muito especial destes resultados que serao provados na

demonstracao do Teorema do Posto. Todos as notacoes e conjuntos definidos na demonstracao

serao utilizados no corolario sem nenhuma modificacao.

Corolario 5.1 (a) A aplicacao ϕ : W → Rq tem a forma ϕ1 = ϕ2, onde ϕ1 e a restricao

a W da aplicacao linear de Rr → R

q que leva ej ∈ Rr em yj = L(xj) j = 1, ..., r e onde

ϕ2(W ) ⊆ Y2.

(b) Se ∈ W , entao α β(t) = t.

(c) Se x ∈ U ∩X1, entao x ∈ V e β ϕ(x) = x.

Demonstracao:

(a) Sabemos que g = Q1 g + g2 g = L + g2 g, pois L(z) = Q1 g(z). Substituindo em

ϕ(x) temos ϕ = L C +Q2 g C. Note que ϕ esta escrita conforme definido em (a).

(b) x = β(t) = w C(t) para t ∈ W , logo x ∈ U , alem disso u(x) = u w C(t) = C(t) ∈

U ′∩X1, portanto P1u(x) = C(t) ∈ U ′. Sendo assim se x ∈ V temos α(x) = C−1P1u(x) =

C−1 C(t) = t.

28

(c) Se x ∈ Ω ∩ X1, decorre entao da definicao de u : Ω → Rp e do fato de P2(x) = 0, que

u(x) ∈ X1. Se x ∈ U ∩X1, temos que P1 u(x) = u(x) ∈ U ′∩X1 de modo que x ∈ V e ainda

β α(x) = (w C) (C−1 P1 u)(x)

= w C C−1 u(x) = w u(x) = x.

5.3 O Teorema do Posto

De posse de todas os resultados preliminares necessarios, passaremos a demonstracao

do Teorema do Posto. Outras demonstracoes podem ser encontradas em [4, 7].

Teorema 5.1 Seja Ω ⊆ Rp aberto e suponhamos f : Ω → R

q pertencente a Classe C1.

Suponhamos que Df(x) tenha posto r para todo x ∈ Ω e seja f(a) = b ∈ Rq para algum

a ∈ Ω. Entao

(i) existem vizinhancas abertas V de a e V’ de 0 em Rp, e uma funcao σ : V → V ′ de Classe

C1 que tem uma inversa σ−1 : V ′ → V de Classe C1;

(ii) existem vizinhancas abertas Z de b e Z’ de 0 em Rq, e uma funcao τ : Z → Z ′ de Classe

C1 que tem uma inversa τ−1 : Z ′ → Z de Classe C1;

(iii)se x ∈ V , entao f(x) = τ irσ(x), onde ir : Rp → Rq e a aplicacao definida por

ir(c1, ..., cr, cr+1, ..., cp) = (c1, ..., cr, 0, ..., 0) ∈ Rq.

Antes de demonstrarmos o Teorema do Posto podemos sintetizar as informacoes

contidas na hipotese e tese do teorema no seguinte diagrama

A partir deste diagrama fica mais claro qual ideia esta contida no enunciado do

Teorema do Posto e nos faz lembrar algo sobre mudanca de base entre espacos, como dis-

cutido na introducao. Vimos que esta ideia esta contida na demonstracao do Teorema da

Parametrizacao e consequentemente no Teorema do Posto.

Demonstracao: Supondo a = b = 0, seja B : Rp → Rq a funcao linear que leva os elemento

da base e1, e2, ..., ep nos vetores x1, x2, ..., xp. E claro que B e uma bijecao de Rp em R

q e

portanto existe B−1.

29

f (a)

a

Definamos σ : Ω → Rp por σ(x) = B−1 u(x). Segue-se da definicao que σ(x)

pertence a Classe C1. Como u|U tem uma inversa w : U ′ → Rp, concluimos que σ|U tem uma

inversa σ−1 = w B, de B−1(U ′) em U .

Seja a funcao H : Rp → Rq a funcao linear que leva os elementos da base e1, e2, ..., eq

de Rq nos vetores y1, y2, ..., yq; H e uma bijecao, assim como B, de R

q em Rq existindo H−1.

E sejam W ∩ Rr e ϕ : W → R

q como no Teorema da Parametrizacao.

Definiremos W ′ = (c1, c2, ..., cq) ∈ Rq : (c1, c2, ...., cr) ∈ W ) e τ : W ′ → R

q por

τ(c1, c2, ..., cq) = ϕ(c1, c2, ..., cr) +H(0, ..., 0, cr+1, ..., cq).

Do item (a) do Corolario 5.1, temos Dτ(0) = H e, aplicando o teorema da funcao

inversa, temos que a restricao de τ a uma vizinhanca Z ′ de 0 e uma bijecao sobre alguma

vizinhanca Z de τ(0).

Seja V ∩ Ω tal que f(V ) ∩ Z. Tomando x ∈ V temos

ir σ(x) = (C−1 P1 u(x), 0)

= (α(x), 0)

Daı concluimos que τ ir σ(x) = ϕ σ = f(x) para todo x ∈ V .

Referencias Bibliograficas

[1] BARTLE, R. G.: Elementos de Analise Real, Editora Campus, 1985.

[2] BUENO, H. P.: Algebra Linear, Colecao Textos Universitarios, Sociedade Brasileira

de Matematica, Rio de Janeiro, 2006.

[3] LIMA, E. L.: Analise Real, Volume 2, Colecao Matematica Universitaria, IMPA.

[4] LIMA, E. L.: Curso de Analise, Vol. 2, Projeto Euclides (IMPA), RJ.

[5] LIMA, E. L.: Variedades Diferenciaveis, Rio de Janeiro: Monografias de

Matematicas - IMPA, 1973.

[6] PUGH, C. C.: Real Mathematical Analysis, New York: Springer, 2002.

[7] ROSA, M. A. F.: Sem tıtulo. Disponıvel em http://www.ime.unicamp.br/˜ mar-

cio/ps2007/tposto.html. Acesso em 30 de Junho de 2009.

[8] RUDIN, W.: Princıpios de Analise Matematica, Rio de Janeiro: Ao Livro Tecnico,

1971.