O Uso de Modelagem Matemática no Cálculo do

Volume de uma Maçã Universidade Federal de Uberlândia

Faculdade de Matemática

Alessandra Ribeiro da Silva

alessandraribeirosil@terra.com.br

Carlos Henrique Tognon

carlostognon@gmail.com

Milena Almeida Leite Brandão

milabrand@yahoo.com.br

Rosana Sueli da Mota Jafelice

rmotta@ufu.br

Introdução Presume-se que o cultivo da macieira (Figura 1), tenha-se iniciado há 25 milhões de

anos, tendo como centro de origem a região entre o Cáucaso e o leste da China. No império Romano, a cultura da macieira já estava bastante difundida. No entanto, é muito provável que o desenvolvimento das espécies atuais tenha-se iniciado após o final da última era glacial, portanto, há 20.000 anos. As migrações dos povos euroasiáticos colaboraram para a disseminação das formas primitivas das macieiras atuais.

Figura 1 e 2 - Macieira florida e plantação de maçãs, respectivamente [4].

O início das plantações de maçã no Brasil (Figura 2) ocorreu, provavelmente no município de Valinhos, estado de São Paulo, pelo fruticultor Batista Bigneti que, em 1926, tinha plantas da Cultivar Ohio Beauty.

Com a criação em 1928 da Estação Experimental de São Roque, em São Paulo, pelo Instituto Agronômico de Campinas, foi dado o passo inicial na pesquisa sobre macieira no Brasil.

Objetivos

Este trabalho teve com objetivo calcular o volume de uma maçã utilizando vários métodos e modelar o processo de resfriamento da maçã através da formulação de uma equação que expresse seu comportamento. Considerações

Desde o plantio até a armazenagem da maçã, há vários fatores que podem ser analizados, por exemplo a escolha de terreno, o solo, a aração, herbicídas, colheita e armazenagem. Mas consideraremos apenas este último.

O objetivo do armazenamento é manter a qualidade interna e externa da fruta, assegurarando o perfeito funcionamento das câmaras de conservação, por meio da observação periódica dos equipamentos de refrigeração e controle de gases.

O armazenamento das frutas é feito nas câmaras frigoríficas. Antes de entrar na câmara fria, a maçã recebe um banho, atravessando um tanque de água gelada (-3°C), sobre uma esteira circulante, durante 25 minutos, saindo numa temperatura média de 6.5°C.

A temperatura média da câmara é de 1.5° C e tem capacidade para armazenar 600 bins (caixas). As maçãs podem permanecer na câmara de 5 a 8 meses até a sua comercialização. Se as maçãs forem comercializadas imediatamente após a colheita, então dispensa-se o trabalho do banho e do armazenamento em câmaras.

Inicia-se então a secagem e classificação. As frutas são retiradas da câmara fria e levadas para o classificador onde são separadas as estragadas. Recebem um jato de água passando dali para a desumidificação e polimento. Em seguida, vão para o secador com temperatura de 45°C e, finalmente, é feita a classificação.

A classificação é feita pelo peso e também pelo tamanho das maçãs que são acondicio-nadas em caixas com capacidade de 20kg. Cada caixa comporta de 88 a 250 unidades.

Curiosidades

1) Há mais de 7.500 espécies e variedades de maçãs, veja Figura 3. As diferentes espécies encontram-se em climas temperados e subtropicais.

Figura 3 - Variedades de maçãs [4].

2) As macieiras não florescem em áreas tropicais, por exemplo, as variedades da família Gala necessitam de um inverno com cerca de 700 horas de frio com temperaturas de 7,2°C;

3) A maçã fermentada é utilizada para elaborar bebidas alcoólicas (Figura 4), como a sidra asturiana, o Calvados francês e a sagardua basca;

Figura 4 - Elaborado de Normandia.

4) A maçã possui as seguintes vitaminas: B1, B2 e Niacina, e também contém sais minerais como Fósforo e Ferro.

Nota Histórica e Definições

Para uma melhor compreensão do conteúdo deste trabalho, faz-se necessário neste momento uma introdução histórica no que diz respeito ao assunto Cálculo Diferencial e Integral, alguns resultados sobre centróides, o Teorema de Pappus e um dos princípios fundamentais da hidrostática. É o que se segue imediatamente.

A derivada e a integral são duas noções básicas do Cálculo Diferencial e Integral. Do ponto de vista geométrico, a derivada está ligada ao problema de traçar a tangente a uma curva enquanto que a integral está relacionada com o problema de determinar a área de certas figuras planas, mas também possui muitas outras interpretações possíveis.

O Cálculo Diferencial e Integral foi criado por Isaac Newton (1642-1727) e Wilhelm Leibniz (1646-1716). O trabalho destes cientistas foi uma sistematização de idéias e métodos surgidos principalmente ao longo dos séculos XVI e XVII, os primórdios da chamada “Era da Ciência Moderna”, que teve início com a Teoria heliocêntrica de Copérnico (1473-1543). Na realidade, a grande descoberta de Newton e de Leibniz foi que a Matemática, além de lidar com grandezas, é capaz de lidar com a variação das mesmas.

A idéia básica do conceito de integral já estava embutida no método da exaustão atribuído a Eudoxo (406-355 a.C.), desenvolvido e aperfeiçoado por Arquimedes (287-212 a.C.), grande matemático da escola de Alexandria. O método da exaustão consiste em "exaurir" a figura dada por meio de outras de áreas e volumes conhecidos. O inconveniente do método de exaustão de Arquimedes é que para cada novo problema havia a necessidade de um tipo particular de aproximação.

O que permitiu a passagem do método de exaustão para o conceito de integral foi a percepção que em certos casos, a área da região pode ser calculada sempre com o mesmo tipo de aproximação por retângulos (Figura 5).

Figura 5 - Calculando área por aproximação de retângulos.

Esta foi uma descoberta conceitual importante, mas em termos práticos, a descoberta fundamental foi a possibilidade de exprimir a integral de uma função em termos de uma primitiva da função dada e este fato é conhecido pelo nome de Teorema Fundamental do Cálculo. A idéia ou o conceito de integral foi formulado por Newton e Leibniz no século XVII, mas a primeira tentativa de uma conceituação precisa foi feita por volta de 1820, pelo matemático francês Augustin Louis Cauby (1789-1857). Os estudos de Cauchy foram incompletos, mas muito importantes por terem dado início à investigação sobre os fundamentos do Cálculo Integral, levando ao desenvolvimento da Análise Matemática e da teoria das funções.

Por volta de 1854, o matemático alemão Bernhard Riemann (1826-1866) realizou um estudo bem mais aprofundado sobre a integral e em sua homenagem a integral estudada por ele passou a receber o nome de Integral de Riemann. Tal nome serve para distinguir essa integral de outras que foram introduzidas mais tarde, como por exemplo, a Integral de Lebesgue. A forma usada para introduzir o conceito de Integral de Riemann nos cursos de Cálculo é a versão devida a Cauchy. O que justifica isto é que, ela é simples e bastante acessível aos alunos de um curso inicial de Cálculo, além de atender aos propósitos de um curso desta natureza.

Agora veremos como a integração pode ser utilizada no cálculo de centróides. Considere a distribuição contínua de massa numa região R (chapa fina de material homogêneo) do plano xy com densidade superficial δ (= massa por unidade de área) constante, conforme a Figura 6.

Figura 6 - Uso de integração para o cálculo de centróides [3]. O momento dessa região em relação ao eixo y e em relação ao eixo x é dada pelas expressões:

∫=b

ay dxxfxM )(δ

∫=d

cx dyygyM )(δ

respectivamente, onde f(x)dx é a área do retângulo vertical e sua massa é δf(x)dx, g(y)dy é a área do retângulo horizontal e sua massa é δg(y)dy.

A massa total da chapa pode evidentemente ser expressa de duas maneiras,

( ) ( ) .b d

a c

m f x dx g y dyδ δ= =∫ ∫

O centro de massa ( ),x y da chapa é agora definido por

( )

( )

b

yab

a

x f x dxM

xm

f x dx

δ

δ= =

∫

∫ e

( )

( )

d

c xd

c

y g y dyMym

g y dy

δ

δ= =

∫

∫.

Como a densidade é constante podemos eliminá-la por cancelamento e as fórmulas tornam-se:

( )

( )

b

ab

a

xf x dxx

f x dx=

∫

∫ e

( )

( )

d

cd

c

yg y dyy

g y dy=

∫

∫.

Exemplos 1) Cálculo do centróide de um retângulo. Considere o retângulo de altura h e base b e portanto de área hb, conforme Figura 7.

Figura 7 - Centróide de um retângulo [3].

2 20

0

1 1 1 1 1Temos: e de modo análogo, encontramos2 2 2

1 1 1 , logo o centróide é o ponto , que é obviamente o centro do retângulo.2 2 2

b

bx hdxx hx hb b

hb hb hb

y h b h

⋅ = = = =

=

∫

2) Determinar o centróide da região do primeiro quadrante limitada pelos eixos e pela curva y

= 4 - x2, conforme Figura 8.

Figura 8 - Centróide da região do primeiro quadrante limitada pelos eixos e pela curva y = 4 - x2 [3].

22

2 3

00

222 2 4

00

1 16 Usando o retângulo vertical, vemos que a área da região é (4 ) 4 . 3 3

3 3 1 3 Logo, (4 ) 2 . 16 16 4 4

Analogamente,

A x dx x x

xdAx x x dx x x

A

= − = − =

= = − = − =

∫

∫ ∫4

0

3 usando um retângulo horizontal, temos 4 . 16

Para calcular essa integral, fazemos a substituição u = 4 - y. Assim, y = 4 - u e dy = -du e os novos limites de

xdAy y ydy

A= = −∫ ∫

44 4 41 2 1 2 3 2 3 2 5 2

00 0 0

integração serão 4 e 0:

3 3 3 3 8 2 3 64 64 84 (4 )( ) (4 ) .16 16 16 16 3 3 16 3 5 5

3 8 Portanto, o centróide é o ponto , .4 5

y y ydy u u du u u du u u = − = − − = − = − = − =

∫ ∫ ∫

Dois belos teoremas geométricos relacionando centróides com sólidos e superfícies

de revolução foram descobertos no século quatro antes de Cristo, por Pappus de Alexandria, o último dos grandes matemáticos gregos. Neste trabalho utilizaremos apenas um deles que passamos a descrever. Primeiro Teorema de Pappus: Considere uma região plana que está inteiramente de um lado de uma reta do plano. Se essa região é girada ao redor da reta que desempenha a função de eixo, então o volume do sólido gerado dessa maneira é igual ao produto da área da região pela distância percorrida pelo centróide ao redor do eixo[3].

Voltemos nossa atenção agora para outro matemático grego, Arquimedes (287 a.C. - 212 a.C.), este, além de matemático era inventor. Nasceu na cidade-estado grega de Siracusa, na ilha da Sicília e foi o mais importante matemático da Antiguidade. Em Física, no seu Tratado dos Corpos Flutuantes, estabeleceu as leis fundamentais da

estática e da hidrostática. Um dos princípios fundamentais da hidrostática é assim enunciado: "todo corpo mergulhado total ou parcialmente em um fluido sofre uma impulsão vertical, dirigido de baixo para cima, igual ao peso do volume do fluido deslocado, e aplicado no centro de impulsão." O centro de impulsão é o centro de gravidade do volume que corresponde à porção submersa do corpo. Isto quer dizer que, para o objeto flutuar, o peso da água deslocada pelo objeto tem de ser maior que o próprio peso do objeto. Conta-se que certa vez, Hierão, rei de Siracusa, no século III a.C. havia encomendado uma coroa de ouro, para homenagear uma divindade que supostamente o protegera em suas conquistas, mas foi levantada a acusação de que o ourives o enganara, misturando o ouro maciço com prata em sua confecção. Para descobrir, sem danificar o objeto, se o seu interior continha uma parte feita de prata, Hierão pediu a ajuda de Arquimedes. Este pôs-se a procurar a solução para o problema, a qual lhe ocorreu durante um banho. A lenda afirma que Arquimedes (Figura 9) teria notado que uma quantidade de água correspondente ao seu próprio volume transbordava da banheira quando ele entrava nela e que, utilizando um método semelhante, poderia comparar o volume da coroa com os volumes de iguais pesos de prata e ouro: bastava colocá-los em um recipiente cheio de água, e medir a quantidade de líquido derramado. Feliz com essa fantástica descoberta, Arquimedes teria saído à rua nu, gritando Eureka! Eureka! (Encontrei! Encontrei!).

Figura 9 - Arquimedes.

Outro matemático importante foi Pappus de Alexandria (Figura 10) e foi conhecido por seu trabalho Synagoga ou Coleção. Ele foi um egípcio helenizado nascido em Alexandria, Egito. Entretanto, muito pouco se conhece sobre sua vida e os escritos gravados sugerem que ele era professor.

Figura 10 - Pappus de Alexandria.

Vejamos agora algumas definições que serão necessárias para o cálculo do volume de

um sólido de revolução.

1-iiii

n10

i1-i1-n10

1n0

xxx onde 1,xmax :por dada é b],[a, de ,x,...,x,x partição uma de normaA )2

.1 ,x xe x...xxa se ,,..., ntopontilhame com b],[a, fechado intervalo do partição uma é x,...,x 1)

−=∆≤≤∆=∆

=∆

≤≤≤≤=<<<===∆

ni

nib i

n

ξξξξ

Figura 11 - Sólido obtido por rotação de uma curva.

∫=∑=

∆=

===

∈ ∀≥→

→ ∆ba dx. Veja Figura 11.

n

i ixif 2f(x)][1

2))((Vpor dado

volumepossui b, xea xretasaseeixoof(x),y curva pela limitada

regiãoda eixo, do tornoemrotaçãopelaobtido revolução de sólido O

b]. [a,x0,f(x)que tale contínua Rb] [a, : f Seja 3)

0 lim πξπ

Exemplos

ππππ 644

)14

0

44

0

34

0

2

23

23

===

=→= ∫∫

xdxxdxxVxy

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

1

2

3

4

5

6

7

8

Figura 12 - Gráfico da função y = x1.5.

( )3

43

22 )23

0

3222

0

22222 axxadxxaVxayayxaa πππ =

−=−=→−=→=+ ∫

Figura 13 - Uso da integração para o cálculo do volume de uma esfera [3].

Metodologia A aproximação do volume de uma maçã será feita utilizando-se conceitos de cálculo

diferencial e integral, conhecimentos de geometria espacial e um teorema, conhecido como teorema de Pappus.

É importante também ressaltar que a maioria dos problemas levantados neste processo de modelagem diz respeito à geometria do objeto em estudo, no caso a maçã. Este destaque para a parte visual é importante, visto que assim se consegue uma melhor compreensão do que está acontecendo além de aguçar a imaginação geométrica.

Para modelar o processo de resfriamento da maçã serão utilizadas equações de diferenças [1].

Os modelos matemáticos utilizados para o cálculo do volume de uma maçã estão colocados em uma seqüência que obedece a um nível gradativo de dificuldade e complexidade conceitual.

No entanto, isto não significa necessariamente que o resultado obtido para a

aproximação do volume da maçã seja tão mais preciso quanto maior for a complexidade do modelo.

Desenvolvimento Existem vários métodos matemáticos para calcular o volume de uma maçã. Logo,

escolhemos os seguintes métodos para este cálculo: teorema de Pappus, fórmula do volume da esfera, fatiando uma maçã e usando integração. Este estudo foi realizado baseado em um modelo apresentado em [1].

1. Problema: Como calcular o volume de uma maçã?

Figura 14 - Etapas de uma modelagem [1]. 1º Método: Utilizando a fórmula do volume da esfera Envolvendo a maçã com um barbante (Figura 15) obtemos uma circunferência cujo comprimento é de 26.2cm. Sabendo que o comprimento de uma circunfência é dado pela fórmula 2 Rπ temos que R = 4.1698cm.

34 Volume da esfera: 3

V rπ→ = .

Volume da esfera!

Fatiando a maçã!

Teorema de Pappus!

Integração!

Figura 15 - Medindo a circunferência da maçã com um barbante [1].

Aplicando a fórmula do volume de uma esfera obtemos um valor "aproximado"

superior ao volume da maçã: 3 3

max 4 3.1416 (4.1698) 3 303.6934 .V cm= × × = Cortando-se a maçã ao meio (no sentido longitudinal), mede-se o raio r do círculo

inscrito na face plana da maçã: r = 2.95cm, e obtém-se um valor mínimo para o volume da maçã:

33min 5364.1073/)95.2(1416.34 cmV =××=

Calculando a média, entre o volume máximo e este mínimo, segue que:

3(303.6934 107.5364) 2 205.6149maçaV cm≈ + = .

2º Método: Utilizando o teorema de Pappus

Pelo teorema de Pappus temos que o volume do sólido de revolução é igual ao produto

da área da região Ω pela distância d percorrida pelo centróide ao redor do eixo. Como d = 2 h e sendo A a área da região temos que V = 2 hA.π πΩ

A Figura 16 mostra uma meia fatia de maçã e h é determinado experimentalmente medindo a distância entre o eixo da maçã (a partir do centróide) até a borda e considerando a metade deste comprimento.

Determinamos geometricamente a área A através de um papel milimetrado:

2 322.875 2.1 2 301.8292 .A cm e h cm V hA cmπ= = ⇒ = =

Figura 16 - Volume da maçã pelo Teorema de Pappus [1].

3º Método: Fatiando a maçã

(i) Retângulos internos (Figura 17).

321

1

2 5.235)( cmrVi

i =∆= ∑=

π

4.2Usamos 0.2 e 21 fatias cilíndricas.0.2

cm∆ = =

Figura 17 - Fatiando a maçã [1].

(ii) Retângulos externos (Figura 18).

321

1

2 06.247)( cmrVi

i =∆= ∑=

π

Volume total ≈ (235.5 + 247.06)/2 = 241.28

3cm .

Figura 18 - Fatiando a maçã [1].

4º Método: Usando integração (i) Aproximando a configuração do corte central da maçã por uma circunferência (Figura 19).

O volume de cada fatia é dado por

2iV = y xπ ∆ .

Volume total:

4.14.1 32 3

0 0

2 2 16.81 288.69633xV y dx x V cmπ π

= = − + ⇒ =

∫

Figura 19 - Usando integração para calcular o volume da maçã [1]. (ii) Aproximando por uma parábola y = ax2 + bx + c (Figura 20).

( ) ( ) ( )1 2 3Os pontos dados da curva são: 4.1, 0 , 0, 2.7 1,3.2 .P P e P= = = Desta maneira, como P2 = (0, 2.7) temos que y = ax2 + bx + 2.7 e P1 e P3 nos fornecem

o sistema: 16.81 4.1 2.7

0.5a b

a b+ = −

+ = Resolvendo o sistema temos que a = -0.3737 e b = 0.8737 e, portanto,

20.3737 0.8737 2.7.y x x= − + +

Figura 20 - Aproximando o formato da maçã por uma parábola [1].

Usando integral, pode-se determinar o volume do sólido de revolução da parábola

(“aproximadamente” metade do volume da maçã). Assim, 4.1

2 2 3maça

0

V =2 ( 0.3737 0.8737 2.7) 169.2408 .x x dx cmπ − + + =∫

Conclusão Parcial

Cabe ressaltar que neste caso específico, de calcular volume de uma maçã, um processo mecânico seria o mais indicado para a avaliação, tanto em termos de simplicidade como de precisão.

Este processo, devido a Arquimedes, é o seguinte: Mergulha-se a maçã num recipiente cheio de água e o volume do líquido deslocado é igual ao volume da maçã. Com a utilização deste experimento, o volume encontrado para a maçã foi de 3310 .cm 2. Um Exemplo de Modelo Variacional

Para se fazer a formalização de um modelo variacional o conteúdo matemático que é utilizado baseia-se nas equações diferenciais ordinárias e equações de diferenças.

Processo de resfriamento da Maçã

Para que a maçã possa ser estocada ela deve primeiramente ser submetida a um processo de resfriamento, o qual é feito com a utilização de um tanque de resfriamento. A Figura 21 mostra os elementos que compõem o sistema de resfriamento com água.

Figura 21- Tanque de refrigeração [5].

O processo de resfriamento é uma das mais importantes etapas pós colheita que

consiste na remoção rápida de calor do campo dos frutos antes do armazenamento ou comercialização. A maioria das câmaras de armazenagem não possui suficiente capacidade de refrigeração e nem o movimento de ar com velocidade suficiente para efetuar um resfriamento rápido dos produtos recém armazenados. Desta forma, este pré-resfriamento, geralmente, é uma operação separada e que necessita de equipamentos de maior capacidade de refrigeração. A Tabela 1 relaciona as condições para o armazenamento refrigerado de alguns tipos de maçãs.

Cultivares Temperatura (°C)

Umidade Relativa (%)

Período de armazenamento

Gala e mutações 0 94-96 4-5 meses Fuji -1 a 0 92-96 6-7 meses

Golden Delicious 0 94-96 5-6 meses Belgolden 0 94-96 5-6 meses Braeburn 0 92-96 6-7 meses

Tabela 1

O Brasil, apesar de ser um país tropical, dispõe de poucos resfriadores comerciais.

Além disso, pela falta de conhecimento dos produtores, o armazenamento ainda é feito de forma bastante precária e o pré-resfriamento dos frutos geralmente não é efetuado. Este fato, juntamente com a entrada de novas cargas ainda não resfriadas na unidade de armazenamento, faz com que o processo de resfriamento na câmara seja muito demorado e irregular, principalmente em função da oscilação de temperatura.

Antes da maçã entrar na câmara fria, que está à uma temperatura média de 1.5°C, o fruto recebe um banho num tanque à uma temperatura de -3°C. A passagem pelo tanque é feita sobre uma esteira circulante e dura cerca de 25 minutos.

O objetivo deste banho é fazer com que a temperatura da maçã alcance cerca de 6°C. Na saída do tanque, a temperatura da maçã é avaliada (por amostragem) e, caso não tenha atingido o valor ideal para estocagem, o lote de maçã deve passar novamente pelo tanque. Este processo de retorno ao tanque, além de atrasar a estocagem, ocupa uma maior mão-de-obra e por conseguinte acarreta prejuízos ao agricultor. Este transtorno ocorre porque a temperatura do meio ambiente é variável e a velocidade da esteira é constante (a máquina é construída para atender à termperatura ambiente de, no máximo, 26°C).

Em um primeiro momento, temos o seguinte problema: “Se a maçã entra no tanque a uma temperatura T0 (temperatura inicial), quantos

minutos deve permanecer neste banho para sair com uma temperatura de 7°C?” Para se tratar desta questão, usa-se a lei de resfriamento de Newton. Esta supõe que a

variação da temperatura é proporcional à diferença de temperatura do objeto e do ambiente (em condições ideais).

O Modelo Matemático que traduz a lei de resfriamento de Newton pode ser dado por uma equação de dierença, da seguinte maneira [1]:

1 ( ) (1) t t t aT T K T T+ − = − onde:

• tT : temperatura da maçã no instante t;

• 0T : temperatura inicial (quando entra no tanque);

• aT : temperatura ambiente (do tanque) igual a -3°C; • K = coeficiente de resfriamento da maçã.

Solução: A equação (1) pode ser reescrita por

1 ( 1) (2)t t aT K T K T+ = + − que é uma fórmula de recorrência para qualquer valor Tt, uma vez que Ta = -3 e T0 é dado. A solução de (2) pode ser obtida usando-se o processo de recorrência:

)1(

)1(

210

20

323

02

12

01

+++++=

+++=+=

++=+=

−=+=+=

−− aaabTaT

babbaTabaTT

babTabaTT

TKbeKatomandobaTT

nnnn

a

( )1 1

O termo entre parêntesis de (3) é a soma de uma progressão geométrica de razão 1, então, como a soma dos termos de uma P.G. de razao 1 é dada por

1 ( 1), onde é o primeiro tenn

a a

S s a a s

> >

= − −

( )0

0

rmo da P.G., segue imediatamente que:

( 10) ( 1) , ou (4)

( 1 ( 1) )

n nn

nn

T a T b a a

T a T b a b a

= + − −

= + − − − (5) Se considerarmos que a temperatura média inicial da maçã é 25°C e que, depois de passar pela esteira durante 25 minutos, sua temperatura é T25 = 6.5°C, podemos calcular o valor de K= a + 1.

De (5), podemos escrever

0( 1) ( ) (6)nn a aT K T T T= + − +

Logo,

-0.0423k28

5.91k28

5.9ln)1(kln

285.9ln)1(kln25

285.9)1(k328)1(k5.6

251

251

2525

=⇒

=+⇒

=+⇒

⇒

=+⇒=+⇒−+=

Considerando a solução (6), pode-se escrevê-la como:

0(0.95768) ( ) (7)tt a aT T T T= ⋅ − +

com T0 e Ta dados.

(3)

Figura 22 - Temperatura da Maçã no Tanque x Tempo.

Observando o gráfico da Figura 22 que relaciona a temperatura da maçã no tanque com o tempo em que esta permanece imersa, verifica-se que quanto maior o tempo (em minutos) que a maçã fica no banho menor é a temperatura (em °C), como desejado.

Para se encontrar o tempo que a maçã deve permanecer no tanque de resfriamento em função da temperatura final Ttf (depois de passar pelo tanque), usa-se a equação (7) e obtém-se:

0 0

(0.95768) 23.1259 ln (8)f ft a t at

a a

T T T Tt

T T T T

− − = ⇒ = − − −

Se Ta = -3 e considerando-se fixa a temperatura Ttf = 6.5 no fim do banho, pode-se

colocar t em função de T0 (temperatura inicial da maçã). A Tabela1, fornece os valores de t para Ttf = 6.5°C e Ttf = 7°C. O valor de t* é o

tempo ideal, superestimado para a maçã permanecer no tanque. 0

0

Da Tabela 1, observa-se que, se 26°C , então 25 minutos no tanque é tempo suficiente para se ter 7°C.

Se 26°C < < 32°C, o banho deveria durar até 30 minutos; e se o diatf

TT

T

≤

≤

0

estiver bem quente onde 32°C 38°C, então o tempo necessário para a maçã atingir a temperatura de 7°C chega a ser 33 minutos.

T≤ ≤

Tf = 6.5ºC Tf = 7ºC T0 ln(9.5/(T0+3)) tc t ln(10/(T0+3)) tc t t* 19 -0,83975 19,42 19'25'' -0,78845 18,23 18'14'' 19'20 -0,8842 20,45 20'27'' -0,83291 19,26 29'15'' 20'21 -0,92676 21,43 21'26'' -0,87547 20,25 20'15'' 21'22 -0,99675 22,37 22'32'' -0,91629 21,2 21'12'' 22'23 -1,006804 23,28 23'17'' -0,9555 22,1 22'6'' 23'24 -1,44545 24,15 24'15'' -0,99325 22,97 22'58'' 23'25 -1,08091 25 25' -1,03 23,8 23'48'' 24'26 -1,09199 25,8 25'48'' -1,0647 24,6 24'36 25'27 -1,149905 26,59 26'36'' -1,09812 25,4 25'24'' 26'28 -1,1826954 27,35 27'31'' -1,1314 26,17 26'10'' 27'29 -1,2144441 28,08 28'5'' -1,1632 27 27' 28'30 -1,2452157 28,8 28'48'' -1,19392 27,6 27'3'' 28'31 -1,2750687 29,49 29'29'' -1,22378 28,3 28'18'' 29'32 -1,3040562 30,16 30'10'' -1,25276 29 29' 30'33 -1,3322271 30,81 30'49'' -1,28093 29,62 29'37'' 31'34 -1,3596261 31,44 31'26'' -1,30833 30,25 30'15'' 31'35 -1,3862943 32,06 32'4'' -1,335 30,87 30'52'' 32'36 -1,412227 32,62 32'37'' -1,36098 31,5 31'3'' 32'37 -1,437588 33,25 33'15'' -1,3863 32 32' 33'38 -1,4622803 33,8 33'48'' -1,41098 32,63 32'37'' 33'

Tabela 2 - Temperatura inicial x Tempo necessário para atingir Ttf.

Figura 22 - Temperatura inicial x Tempo necessário para atingir Ttf.

Analisando o gráfico da Figura 22 se verifica que quanto maior for a temperatura inicial da maçã maior é o tempo necessário para que ela alcance tanto a temperatura final 6.5°C quanto 7°C. E ainda quanto menor a temperatura final maior deve ser o tempo de duração no banho.

Temperatura inicial

Tem

po n

eces

sário

par

a at

ingi

r Ttf

Conclusão Durante o processo de desenvolvimento do trabalho verificamos a importância de

entender conceitos matemáticos para aplicá-los de uma maneira adequada e correta nas situações problemas que foram encontradas durante o percurso de modelagem de tais situações.

Além disso, é conveniente mencionar que foi necessário fazer um embasamento histórico para as questões abordadas aqui, com o objetivo de proporcionar ao leitor uma melhor compreensão dos fatos e da metodologia utilizada.

Finalmente, cabe ressaltar que todo processo de modelagem teve como suporte um conteúdo matemático, para que assim os modelos pudessem ser executados. Este processo também contou com o auxílio de conceitos específicos sobre o assunto tratado. Comparando os seguintes métodos: Teorema de Pappus, fatiando uma maçã, volume da esfera e integração com o princípio de Arquimedes observa-se que o 1º método teve uma aproximação melhor enquanto que a aproximação por uma parábola foi o menos preciso. Em termos operacionais o 2° método apresentou dificuldades de execução em relação aos demais.

Durante o processo de estocagem da maçã é necessário o seu armazenamento a uma temperatura de 6.5°C. Para tanto, utilizamos equações de diferenças para expressar matematicamente a temperatura desta no tanque e com isto descobrir o tempo necessário no banho. Assim, com os resultados obtidos o agricultor poderá reduzir seus gastos tanto com mão de obra quanto em relação a atrasos na estocagem.

Bibliografia

[1] R.C.Bassanezi. Ensino-Aprendizagem com Modelagem Matemática. Editora Contexto, 2004.

[2] Shenk, Al.. Cálculo e geometria analítica: volume 1. Editora Campus, 1991. [3] Simmons, George F..Cálculo com geometria analítica : volume 1. Editora

McGraw-Hill, Ltda,1987. [4] site http://pt.wikipedia.org/wiki/Ma%C3%A7%C3%A3 [5] site http://www.scielo.br/img/revistas/cta/v23n2/2a12f02.gif