Teoria da Produção e do Custo

Tratamento Algébrico

Considerando dois insumos, o capital, K, e o trabalho, L, a função de produção

),( LKF

descreverá a maior produção que pode ser obtida com as combinações destes insumos

Produto Marginal do Capital

Ou seja, iremos supor que ambos insumos possuem produtos marginais positivos e declinantes

Produto Marginal do Trabalho

KLKFLKPMgK ),(),(

0),( LKPMgK

0),( KLKPMgK

LLKFLKPMgL ),(),(

0),( LKPMgL

0),( LLKPMgL

Uma empresa competitiva aceita os preços estipulados para o trabalho, w, e o capital, r

Problema da minimização do custo

sujeito à restrição de que um nível de produção deve ser atingido

0Q

rKwL C Minimizar (1)

(2)0),( QLKF

Para maximizar uma função sujeita a uma restrição utilizamos o método dos multiplicadores de Lagrange

O lagrangiano do problema é

0),( QLKFrWwL (3)

Efetuando os diferenciais em relação a K, L e e igualando as derivadas a zero, encontramos

Combinando as duas primeiras equações acima, obtemos

(4)

0),( LKPMgrK K

0),( LKPMgwL L

0),( 0 QLKF

Combinando estas mesmas equações de outra forma, obtemos o multiplicador de Lagrange

wLKPMgrLKPMg LK ),(),( (5)

),(),( LKPMgwLKPMgr LK (6)

),( LKPMgr K

),( LKPMgw L

Medem o custo do insumo adicional para a produção de uma unidade adicional de produto

Taxa Marginal de Substituição Técnica

representa uma isoquanta de produção *),( QLKF *Q

À medida que as combinações de insumos variam ao longo da isoquanta, a variação de produção iguala-se a zero ( )0dQ

0),(),( dQdLLKPMgdKLKPMg LK (7)

Reordenando a equação 7, definimos a TMST

Reescrevendo a equação 5 como

observamos que a TMST é igual a razão entre os preços dos insumos

),(),(TMST LKPMgLKPMgdLdK LKLK (8)

rwLKPMgLKPMg KL ),(),( (9)

Reescrevendo 9 de outra forma, temos novamente a equação 5

que nos diz que os produtos marginais de todos os insumos devem ser iguais, quando ponderados pelo inverso do custo unitário de cada insumo

wLKPMgrLKPMg LK ),(),( (5)

Dualidade na Teoria da Produção e do Custo

A decisão da empresa em relação a insumos é de natureza dual

Combinação ótima de K e L

Escolha da mais baixa linha de isocusto tangente à isoquanta de produção

Escolha da mais alta isoquanta de produção tangente a uma determinada linha de isocusto

Já fizemos a minimização do custo. Agora vamos à maximização da produção

F(K,L)Maximizar

sujeito à restrição

O lagrangiano é

Efetuando os diferenciais em relação a K, L e e igualando as derivadas a zero, encontramos

0CrKwL (10)

)(),( 0CrKwLLKF (11)

0),( rLKPMgK

00 CrKwL

0),( wLKPMgL (12)

Resolvendo as duas primeiras equações do sistema, obtemoswLKPMgrLKPMg LK ),(),( (5)

que é exatamente a condição de minimização de custo

Função Cobb-Douglas de Custo e Produção LAKLKF ),(

ou, em logaritmos,

LKALKF logloglog),(log

Supomos que de forma que a empresa tenha produtos marginais decrescentes para trabalho e capital

1 e 1

Por exemplo, se o produto marginal do trabalho é expresso por

1),( LBAKLLKFPMgL

a apresenta diminuição à medida que L aumentaLPMg

Se 1 1 1

rendimentos constantes de escala

rendimentos crescentes de escala

rendimentos decrescentes de escala

Exemplos

23,0 e 77,0 • Empresa Pequena:

1 Como a empresa possui rendimentos constantes de escala

22,0 e 83,0 • Empresa Grande:

1 Como a empresa possui rendimentos crescentes de escala

Para minimizar o custo de produção de uma função Cobb-Douglas, sujeita a uma restrição, utilizamos o método dos multiplicadores de Lagrange

O lagrangiano é

)( 0QLAKrWwL (13)

Diferenciando em relação a K, L e e igualando as derivadas a zero, encontramos

(14)0)( 1 LAKwL

0)( 1 LAKrK (15)

00 QLAK (16)

A partir da equação 14, temos1 LAKw (17)

Substituindo a equação 17 na equação 15, obtemos1 LAKw (18)

wrKL (19)ou então

0QwKrAK (20)

Utilizando a equação 19 para eliminar L da equação 16

AQrwK 0)( (21)

Reescrevendo esta equação, temos

Assim, encontramos a quantidade ótima de capital

e a quantidade ótima de trabalho

)(10

)( )()( AQrwK (22)

)(10

)( )()( AQwrL (23)

1

A

QrwC (24)

Agora vamos determinar a função de custo da empresa

rKwLC Substituindo as equações 22 e 23 em

Esta função de custo informa• como o custo total da produção aumenta à medida que o nível de produção Q aumenta• como o custo varia quando variam os preços dos insumos

Quando for igual a 1, a equação 24 pode ser simplificada para

QA

rwC

1

(25)

Fonte: R. Pindyck & D. Rubinfeld, Microeconomia, 5a Edição