Oficina 15 – SISTEMA DE NUMERAÇÃO

1. Introdução Acredita-se que a necessidade de criação de números veio com a

necessidade de contar. Desde quando se começou a registrar informações sobre quantidades, foram criados diversos métodos de representar as quantidades. Seja o número de animais, alimentos, ou coisas deste tipo. Como a evolução nos legou algumas características, como os cinco dedos em cada mão e cinco dedos em cada pé, seria muito natural que os primeiros sistemas de numeração fizessem uso das bases 10 (decimal) e 20 (vigesimal).

A base de um sistema é a quantidade de algarismos disponível na representação. A base 10 é hoje a mais usualmente empregada, embora não seja a única utilizada. No comércio pedimos uma dúzia de rosas ou uma grosa de parafusos (base 12) e também marcamos o tempo em minutos e segundos (base 60).

Os computadores utilizam a base 2 (sistema binário) e os programadores, por facilidade, usam em geral uma base que seja uma potência de 2, tal como 24 (base 16 ou sistema hexadecimal) ou eventualmente ainda 23 (base 8 ou sistema octal).

O método ao qual estamos acostumados usa um sistema de numeração posicional. Isso significa que a posição ocupada por cada algarismo em um número altera seu valor de uma potência de 10 (na base 10) para cada casa à esquerda.

Nosso objetivo com esta oficina é explorar o sistema de numeração através de atividades que permitam aos alunos perceberem estes conceitos e identificar os sistemas de numeração mais utilizados.

No ensino tradicional da Matemática, para trabalhar o conceito de número, o professor se valia exclusivamente de exercícios estruturados apresentados em folhas mimeografados ou escritos no quadro de giz.

Tais atividades, de origem empirista, com o objetivo de treinar a criança e dar respostas tidas como “corretas” não levam em consideração os aspectos evolutivos e conceituais subjacentes ao conceito de número. Dentro dessa perspectiva, percebe-se a crença de que este e outros conceitos matemáticos podem ser “transmitidos” pelo professor e memorizados pelo aluno mediante a repetição de exercícios enfadonhos e mecânicos como os descritos.

A partir de vários estudos realizados por educadores, a aprendizagem de conceitos passou a ser tratada sob um enfoque diferente: o conceito de número, como os demais, deve ser construído pela própria criança, através de um processo que envolve seu amadurecimento biológico, as informações recebidas pelo meio, a manipulação de objetos e as experiências vividas.

Convém lembrar que, embora implicando a experiência, o conhecimento não provém dela, mas da coordenação das ações exercidas sobre os objetos do meio e das relações estabelecidas entre eles. Ao manipular tampinhas ou botões, são as ações de ordenar, de reunir, estabelecer correspondência, que levam às idéias de totalidade lógica ou numérica, de quantidade, de equivalência.

Proposta do Programa

Antes mesmo de a criança chegar à escola, ela já convive diariamente com os números, contando os dedinhos para mostrar quantos aninhos tem ou fará, mudando os canais de tv nos controles remotos, comparando qual é o pedaço de chocolate maior e outros vários exemplos. Cabe à escola então, ampliar o significado do número natural proporcionando ao aluno condições de construir seu significado utilizando situações desafiadoras. Para a construção do significado do número natural, a abordagem piagetiana acentua a importância do domínio do conceito de conservação da quantidade, pois o número, enquanto representante de uma quantidade, é um conceito que se constrói articulado à condição de conservação desta quantidade. Além da conservação, a criança precisa dominar também a classificação e a seriação. A seriação está relacionada ao conceito de número envolvendo a compreensão de relação de ordem e a classificação possibilita à criança realizar inclusões hierárquicas, ou seja, perceber classes “encaixadas” sucessivamente umas nas outras. As atividades propostas apresentam situações do cotidiano que envolvem o uso do número de diferentes maneiras:

• Contar é uma função do número, utilizada para quantificar e ordenar objetos de uma coleção, e buscar responder às perguntas “quantos?” e “qual?”.

• Medir é uma função do número que a criança utiliza inicialmente relacionando à comparação de coleções de objetos, quando se busca responder onde há mais? Onde há menos? Ou se há quantidades iguais. Uma outra aplicação está relacionada à comparação de grandezas contínuas, como a altura de duas pessoas, o comprimento dos lápis, a distância que separa uma pessoa de um objeto ou de outra pessoa, por exemplo, medidas em passos e palmos.

• Codificar é outra função do número, quando ele é utilizado para a identificação em situações tais como: número de telefone, placa de automóvel, camisa de jogador, carteira de identidade etc.

Para a construção do Sistema de Numeração Decimal são propostas atividades em que o aluno deverá utilizar materiais variados para realizarem contagens em diferentes bases. Assim, pretendemos que o aluno compreenda o princípio multiplicativo que origina a formação de diferentes ordens, pois, mesmo variando-se as bases, a regra usada na contagem de quantidades permanece a mesma: cada vez que atingimos um determinado número de elementos, formamos um agrupamento de ordem imediatamente superior. A contagem com bases diferentes de dez é de fundamental importância, pois o aluno constrói o princípio multiplicativo de forma lúdica, como se fosse a regra de um jogo, também vivencia situações que envolvem adição de parcelas iguais e, conseqüentemente a multiplicação.

Sendo assim, ao iniciarem atividades com base dez, os alunos terão uma melhor compreensão do sistema, sem necessidade de manusear grandes quantidades de material, por já ser de seu conhecimento o critério utilizado para a escrita dos números. A partir de então, exploraremos leitura, e escrita, ordenação, composição, decomposição e valor relativo dos algarismos.

Conteúdos programáticos

Atividades

Desenvolvemos nesta oficina os conceitos de: • Número e exploração das

noções de quantidade; • Conservação de

quantidades descontínuas, seriação e classificação;

• Inclusão hierárquica e correspondência biunívoca.

• Número:

- números naturais - sistema de numeração - base de um sistema de numeração - base decimal e não decimal.

As oficinas que serão desenvolvidas: 1 – Blocos Lógicos 2 – Troca-peças 3 – Ábaco 4 – Tira 10 5 – Triângulos e quadrados com os números

Objetivos

� Construir o conceito de número natural. � Utilizar diferentes estratégias para quantificar elementos. � Ler, interpretar e produzir escritas numéricas com base no princípio posicional. � Interpretar regras do sistema de numeração decimal. � Relacionar os sistemas de numeração com o cotidiano.

Atividade 1: Blocos Lógicos 1 – Apresentação do problema

A partir da manipulação das peças dos blocos lógicos, como o grupo poderia elaborar um jogo de regras envolvendo todos as pessoas do grupo e todas as peças do jogo?

Objetivos:

• Conhecer o material e explorar suas características, lançando mão das diferentes possibilidades de classificar, seriar, quantificar, corresponder, etc., o que promoverá a construção do conceito de número;

• Exercitar a criatividade e vivenciar a sócio-afetividade, a partir da construção, em grupo, das regras para o jogo.

Material

• Blocos lógicos.

2 – Levantamento de hipóteses

O professor solicita aos alunos que exponham as regras formuladas pelos diversos grupos, deixa que falem das diferentes possibilidades de pensar sobre o número e as relações matemáticas contempladas no jogo criado..

3 – Experimentação

O professor apresenta ao grupo as regras do Dominó de Semelhanças, um jogo divertido e com muitas possibilidades de se construir os conceitos matemáticos. São elas:

• Distribuem-se as peças igualmente aos jogadores;

• O primeiro jogador lança a primeira peça;

• O segundo tem que colocar uma peça com dois atributos semelhantes. O terceiro jogador coloca uma peça com dois atributos semelhantes à peça colocada pelo segundo, e assim sucessivamente;

• Vence quem terminar as peças primeiro.

Variação: O mesmo jogo pode ser jogado, considerando atributos diferentes.

4 – Discussão Coletiva:

Os blocos lógicos de Dienes constituem-se num material pedagógico conhecido e bastante utilizado nas escolas. No entanto, sua utilização poderia configurar-se em um momento mais envolvente e significativo para as crianças, que fosse além da mera nomeação dos atributos de suas peças. O que se propõe aqui é que ao vivenciar o jogo “Dominó das semelhanças ou das diferenças”, ou mesmo outros jogos criados pelas próprias crianças, as mesmas enriqueçam suas experiências referentes ao conceito de número, a partir das relações mentais que farão no jogo. Relações de colocar os objetos em série, agrupá-los, correspondê-los um a um, incluí-los ou excluí-los. Outros materiais são mostrados aos alunos, como os bonequinhos de madeira para a seriação e as tampinhas coloridas de garrafas pet, para as diferentes brincadeiras que podem surgir.

5 – Registro: Vamos registrar essa atividade de duas formas: um texto ressaltando os conceitos explorados na atividade, e um desenho de parte da seqüência obtida quando a fila do dominó está completa.

Atividade 2: Troca-Peças

1 – Apresentação do problema

Será que vocês conseguem criar um jogo, utilizando as fichas de cores diferentes e o dado que aí se encontra?

Objetivos:

Incentivar o aluno a identificar o sistema de numeração proposto na atividade verificando a base, o fato de ter ou não valor posicional, a utilização de princípios aditivos e multiplicativos em sua representação e a quantidade de símbolos utilizados.

Materiais:

• 01 dado • 30 fichas de papel ou E.V.A. (quadradas de 3 cm de lado) coloridas de 3

cores diferentes (10 amarelas, 10 rosas e 10 verdes, por exemplo) • 01 ficha branca de mesmo tamanho.

2 – Levantamento de hipóteses Pedir aos diversos grupos que exponham suas formas de organizar as regras do jogo e como relacionariam esse jogo com o sistema de numeração decimal, ou outros sistemas de numeração. 3 – Experimentação

O professor explica aos alunos as regras a serem obedecidas na atividade e questiona possíveis estratégias que pretendem fazer.

As regras são:

• Joga-se inicialmente com 01 dado. • No início do jogo, todas as fichas pertencem à banca, ou seja, não

pertencem a nenhum aluno. • Cada aluno, na sua vez, lança o dado e pega o número correspondente

de fichas, sempre de uma mesma cor – amarela, por exemplo. Depois de retirar suas fichas, passa a vez para o aluno seguinte, que procede da mesma forma. Assim o jogo vai seguindo, com o dado sempre passando de mão em mão e com todos os alunos retirando somente as fichas amarelas correspondentes ao que foi sorteado no dado.

• Na sua vez de jogar, antes de lançar o dado, o aluno pode trocar fichas se as tiver em número suficiente, obedecendo à seguinte relação: 3 fichas amarelas são trocadas por 1 ficha rosa; 3 fichas rosas são trocadas por 1 verde e 3 fichas verdes são trocadas por 1 ficha branca.

• O aluno que, em primeiro lugar, pegar a ficha branca será o vencedor.

Outras maneiras para trabalharmos outras bases nesta atividade são apresentadas a seguir:

• Joga-se da mesma forma que no modo 1. No entanto, utilizam-se 2 dados e modifica-se a base de troca. Agora, serão necessárias 5 amarelas para se obter uma rosa; 5 rosas para se obter uma verde e 5 verdes para se obter uma branca.

• Pode-se apresentar o material dourado e propor as mesmas regras para se vivenciar as trocas na base 10.

4 – Discussão Coletiva: A idéia principal nesta atividade é trabalhar o sistema de numeração com uma base diferente da decimal, procurando levar a criança a perceber o funcionamento, mesmo que informal, de um sistema de numeração. Esta atividade é essencial no sentido de preparar a criança para verificar a existência de outras bases num sistema de numeração. As crianças discutem no interior do grupo (ou da dupla) e depois com a classe toda, para tentar explicar o sistema de numeração utilizado na atividade promovida na experimentação. Incentivá-las a identificarem os sistemas de numeração existentes no cotidiano. Negociar coletivamente um registro de atividades para definir: que bases de numeração foram utilizadas na atividade. 5 – Registro: O professor deverá representar, no quadro, a quantidade de fichas de um determinado aluno, de preferência que tenha conseguido a branca. Fará no Quadro de Posição os sucessivos agrupamentos necessários para se conseguir a ficha branca, chegando à representação na base três, ou em outras não decimais, e na base dez. Incentivar os alunos a escreverem pelo menos um parágrafo sobre o que aprenderam com a oficina.

Atividade 3: Ábaco

1 – Apresentação do problema

Dados os materiais expostos, tentem construir um ábaco. Como ele poderia ser utilizado para se compreender e operar no sistema de numeração decimal?

Objetivo

Incentivar o aluno a identificar o sistema de numeração decimal que é proposto na atividade, o fato de ter valor posicional, a utilização das operações de adição, subtração, multiplicação e divisão em sua representação e a quantidade de símbolos utilizados.

Materiais:

• 5 pentes de ovos ou pedaços de isopor que possam apoiar os palitos; • 20 palitos de churrasco; • 250 tampinhas de garrafa de cerveja furadas ao meio..

2 – Levantamento de hipóteses

O professor questiona aos alunos sobre a forma de representar as operações no ábaco. Em seguida, direciona para as regras que são apresentadas na experimentação.

3 – Experimentação

O professor apresenta aos alunos duas situações problema e pede que os mesmos as resolvam no ábaco. É importante que o professor resolva as operações com reserva e reagrupamento para que o processo fique claro.:

• Duas turmas do projeto “Mão na Massa” têm 26 alunos cada. Quantos alunos há no total?

• Considerando que 18 alunos chegaram atrasados para as oficinas da tarde, quantos alunos foram pontuais?

4 – Discussão Coletiva:

As crianças discutem no interior do grupo (ou da dupla) e depois com a classe toda para tentar explicar o processo utilizado. .Ressaltar que o ábaco foi a primeira calculadora inventada pela humanidade e é o que deu origem ao quadro de posição. O ábaco trabalha o sistema de numeração decimal, levando a criança a perceber o funcionamento deste sistema. Uma grande importância da utilização do ábaco está no fato de ele explicar a reserva na adição e o reagrupamento, na subtração, utilizados no algoritmo do sistema de numeração indo-arábico. É importante destacar que o ábaco não substitui a necessidade evidente de as crianças mostrarem seu raciocínio, a partir de algoritmos próprios.

5 – Registro:

Desenhe vários ábacos e escolha uma operação. Resolva-a representando cada fase de sua resolução nos ábacos desenhados.

Atividade 4: Tira 10

1 – Apresentação do problema

Vocês têm um saquinho sobre a mesa que contém tampinhas de garrafas de cerveja. Como pensam poder jogar com elas, sem retira-las da sacola?

Objetivo:

Incentivar o aluno a identificar o sistema de numeração proposto na atividade verificando a base, o fato de ter ou não valor posicional, a utilização de princípios de adição e subtração em sua representação e a quantidade de símbolos utilizados.

Materiais:

• Um pacote com 100 tampinhas de metal (cerveja). • Uma tabela de papel conforme modelo abaixo:

JOGADORES JOGADAS TIROU PASSOU FALTOU PONTOS 1ª

2ª 3ª 4ª

1ª 2ª 3ª 4ª

1ª 2ª 3ª 4ª

1ª 2ª 3ª 4ª

1ª 2ª 3ª 4ª

Desafio: Aproximar-se da base decimal.

2 – Levantamento de hipóteses

Inicialmente, a tendência é que os alunos retirem as tampinhas da sacola e precisam retornar com elas para experimentar as regras do jogo

3 – Experimentação

O professor apresenta as regras que são:

• Cada aluno de olhos fechados tentará retirar do pacote 10 tampinhas de uma só vez.

• Feito isto, cada aluno conta as tampinhas para verificar quantas tampinhas retirou, anotando na tabela apresentada acima, a quantidade de tampinhas retiradas e também o quanto passou ou o quanto faltou para 10.

• Repete-se este procedimento por quatro rodadas. • Ganha o jogo que mais se aproxima de 10.

4 – Discussão Coletiva: Esta atividade trabalha o sistema de numeração decimal levando a criança a perceber o funcionamento mesmo que informal deste sistema. Esta atividade é válida no sentido de preparar a criança para trabalhar os conceitos de adição e subtração de números neste sistema.

5 –Registro: Refazer o registro do roteiro com as formas utilizadas para vencerem o jogo.

A tabela será entregue aos alunos em quantidade suficiente para pelo menos, quatro rodadas. Sugere-se, para o cálculo da pontuação, que quem tirar dez faz 20 pontos. Quem tirar 11 ou 9, faz dez pontos. As demais quantidades não resultam em marcação de pontos.

Atividade 5 – Desafio

1 – Apresentação do problema

Uma criança brincando, formou 3 triângulos com tampinhas, representou-os usando 6, 10 e 16 tampinhas, respectivamente. Como ela fez? Depois ela formou 3 quadrados. Quantas tampinhas ela teria usado em cada quadrado? Após formar triângulos e quadrados com as tampinhas, descubra qual o menor número que possibilita formar 1 triângulo e também um quadrado?

Objetivos:

Desenvolver a habilidade de resolver problemas a partir de brincadeiras com os números;

Perceber as características aditivas e multiplicativas inerentes ao sistema de numeração decimal;

Materiais:

36 tampinhas de garrafas para cada grupo. 2 – Levantamento de hipóteses Como pensam em resolver o problema dos quadrados e triângulos? Que relações existiram entre a forma e a quantidade de tampinhas utilizadas? O professor tenta fazer com que as crianças imaginem possíveis soluções para o problema proposto antes de manusearem as tampinhas. Isso ajuda na construção do conhecimento porque o confronto desses conhecimentos prévios com os adquiridos na experimentação, amplia a capacidade operatória. 3 – Experimentação Incentivar as crianças a resolverem o problema, formando quadrados e triângulos, observando e registrando as relações existentes em cada quadrado e cada triângulo formado, de acordo com o número de tampinhas. 4 – Discussão Coletiva: As relações numéricas podem ser, na verdade, experimentadas a partir de brincadeiras. Os princípios de posição, de adição e de multiplicação estão sempre presentes no sistema de numeração decimal e as crianças só podem perceber esses princípios a partir de experiências com os números, resolvendo situações problemas e criando outras. 5 – Registro: O registro por meio do desenho das formas (triângulos e quadrados numéricos) é essencial nesse problema, assim como os algoritmos utilizados nas diferentes tentativas de resolução do problema. A explicação verbal, oral e escrita também poder ser utilizada.

Referências Bibliográficas CARRAHER, Terezinha, Crianças Fazendo Matemática. Porto Alegre: AM,

1997.

CENTURION, Marilia, Números e operações, São Paulo, Scipione, 1994.

DANYLUK, Ocsana, Alfabetização Matemática: as primeiras manifestações da

escrita infantil. Porto Alegre: Sulina, 1998. 240p.

KAMII, C. e LINVIGSTON, S. J., Desvendando a Aritmética: implicações da

teoria de Piaget. Campinas-SP: Papirus, 1995. 299p.

KAMII, Constance, A Criança e o Número. 3ª ed. Campinas-SP: Papirus, 1985.

123p.

SANTANA, Liege, M. F. Crianças Aprendendo Matemática por meio da

Resolução de Problemas. Vitória, PPGE-UFES, 1999 (Dissertação de

Mestrado)

ANEXO Construção do Número

Jean Piaget (1896-1980) investigou como se processa a construção do

conceito de número de forma experimental. Em sua teoria determinou quatro períodos do desenvolvimento do pensamento da criança: Período Idade aproximada Sensório-motor 0 a 2 anos Pré-operacional 2 a 7 anos Operações concretas 7 a 12 anos Operatório-formal 12 a 16 anos

O período pré-operacional corresponde a um período pré-numérico, pré operatório, ou seja, puramente intuitivo. Significa que a criança só percebe os fatos através dos sentidos, a partir de manipulações práticas.

O aparecimento da função simbólica permite à criança ter uma representação mental dos objetos e das coisas do ambiente, o que lhe possibilita fazer classificações.

Neste período, a criança classifica quando separa ou agrupa objetos por suas semelhanças ou diferenças, estabelecendo assim, relações das coisas do ambiente em que vive.

A classificação e a seriação são operações lógicas que têm estreita relação com a conservação numérica e favorecem a formação do conceito de número.

A criança tem condições de construir o conceito de número no período das operações concretas, pois é nesta fase que ela se apropria de vários esquemas de conservação.

O número, segundo Piaget, é uma síntese de dois tipos de relações que a criança elabora entre os objetos: ordem e inclusão hierárquica.

Ordem é a relação que a criança elabora ao contar um determinado número de elementos, sem saltar ou repetir algum.

Inclusão hierárquica é a relação que permite à criança a quantificação dos objetos como um grupo, ou seja, ao lhe pedirmos que nos mostre 8 objetos, arranjados numa relação ordenada, ela nos apontará para o grupo todo e não apenas para o último.

Entre 7 e 8 anos de idade, o número de relações que a criança estabelece permite-lhe a mobilidade do pensamento de forma a torná-lo reversível. A reversibilidade se refere à habilidade de realizar, mentalmente, ações opostas simultaneamente, isto é, separar o todo das partes e reuni-las novamente no todo. Assim, a criança compreende que uma ação inversa anula a transformação observada.

Na aquisição do conceito de número, destacam-se quatro noções básicas: classificação, seriação, correspondência biunívoca e conservação da quantidade.

Classificar é agrupar segundo um critério. Podemos classificar figuras geométricas (cor, forma, tamanho), utensílios de cozinha (utilidade), livros de história (gênero), animais (espécie), frutas (tipo), secos e molhados, insetos,

figurinhas, materiais escolares, botões (número de furos, tamanho, cor), enfim, tudo aquilo que for da vivência da criança.

Seriar significa colocar em série, em ordem, ordenar. Podemos seriar com materiais diversos, tais como: blocos lógicos, botões, palitos, tampinhas e com os próprios alunos, estabelecendo relações do tipo: maior que, menor que, mais pesado que, menos pesado que, mais que, menos que. Seriar conforme a cor, do mais claro ao mais escuro, fazer seqüências lógicas em cartões (histórias), seqüências de posições e de atividades.

Correspondência biunívoca é a correspondência também chamada um a um, ou seja, cada elemento do primeiro conjunto deverá corresponder a um e somente um elemento do segundo conjunto que também será esgotado.Podemos fazer correspondência com bonecas e camas, xícaras e pires, meninos e bonés, bonecas e vestidos, cães e ossos, cartazes com encaixes para figuras.

Conservação da quantidade: a criança conserva a quantidade no momento em que ela reconhece que o número de elementos de um conjunto não varia, quaisquer que sejam as maneiras como se agrupam esses elementos. Podemos organizar duas fileiras de botões, tampinhas, bolinhas, fazendo a correspondência termo a termo. Após, modifica-se a disposição dos mesmos e questionamos a criança perguntando se nas duas fileiras tem a mesma quantidade.