SISTEMA DE NUMERAÇÃO
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Sistema de Numerao
Conceito:
uma maneira de representar graficamente informaes quantitativas, ou seja, um conjunto de regras para representao dos nmeros;
Evoluo:
Povos primitivos usavam as mos para fazer contagens;
Como foi: Dedos;
Cinco em cinco;
Dez em dez;
Mo em mo;
...
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Sistema de Numerao - Decimal
Smbolos:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9;
Representao:
Combinao dos dez smbolos, associado com sua posio.
Expresso Polinomial:
BASE DECIMAL 10
Onde: a representa os dgitos do nmero e b a base dos sistema;
Os coeficientes de a1 e at an so menores do que a base b.
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Sistema de Numerao - Decimal
Representao Visual: Nmero = 2.534;
2 5 3 4
Multiplica por: 103 102 101 100
Ou seja: 1000 100 10 1
Resultado: 2 x 1000 5 x 100 3 x 10 4 x 1
Igual a: 2000 500 30 4
Somando tudo: 2000 + 500 + 30 + 4
Igual a: 2534
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Sistema de Numerao - Decimal
Exemplo:
Represente o nmero decimal 10648.
1 0 6 4 8
Multiplica por: 104 103 102 101 100
Ou seja: 10000 1000 100 10 1
Resultado: 1 x 10000 0 x 1000 6 x 100 4 x 10 8 x 1
Igual a: 10000 0 600 40 8
Somando tudo: 10000 + 0 + 600 + 40 + 8
Igual a: 10648
01234 108104106100101 Nmero
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Sistema de Numerao - Decimal - Exerccios
Represente os seguintes nmeros decimais na forma polinomial:
a. 10;
b. 5236;
c. 10001;
d. 123.456;
e. 45;
f. 12;
g. 4.568.456.123;
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Sistema de Numerao - Binrio
Para equipamentos eletrnicos, existem dois estados: ligado e desligado;
Computadores so dotados de componentes eletrnicos;
Representar a informao atravs da combinao de 10 tipos de voltagens bastante complicado;
Sistema de numerao binrio. A representao baseada em dois valores: 0 e 1.
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Sistema de Numerao - Binrio
Smbolos:
0 e 1;
Representao:
Combinao dos dois smbolos, associado com sua posio.
Expresso Polinomial:
BASE BINRIA 2
Onde: a representa os dgitos do nmero e b a base dos sistema;
Os coeficientes de a1 e at an so menores do que a base b.
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Sistema de Numerao - Binrio Representao Visual: Nmero = 1011;
1 0 1 1
Multiplica por: 23 22 21 20
Ou seja: 8 4 2 1
Resultado: 1 x 8 0 x 4 1 x 2 1 x 1
Igual a: 8 0 2 1
Somando tudo: 8 + 0 + 2 + 1
Igual a: 11
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Sistema de Numerao - Binrio
Exemplo:
Represente o nmero decimal 11001.
1 1 0 0 1
Multiplica por: 24 23 22 21 20
Ou seja: 16 8 4 2 1
Resultado: 1 x 16 1 x 8 0 x 4 0 x 2 1 x 1
Igual a: 16 8 0 0 1
Somando tudo: 16 + 8 + 0 + 0 + 1
Igual a: 25
01234 2120202121 Nmero
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Sistema de Numerao - Binrio - Exerccios
Represente os seguintes nmeros binrios na forma polinomial e diga seu valor correspondente no
sistema de numerao decimal:
a. 10;
b. 100111000;
c. 10001;
d. 1101001;
e. 1;
f. 0;
g. 111;
h. 01;
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Sistema de Numerao - Octal
Smbolos:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7;
Representao:
Combinao dos oito smbolos, associado com sua posio.
Expresso Polinomial:
BASE OCTAL 8
Onde: a representa os dgitos do nmero e b a base dos sistema;
Os coeficientes de a1 e at an so menores do que a base b.
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Sistema de Numerao - Octal
Representao Visual: Nmero = 2534;
2 5 3 4
Multiplica por: 83 82 81 80
Ou seja: 512 64 8 1
Resultado: 2 x 512 5 x 64 3 x 8 4 x 1
Igual a: 1024 320 24 4
Somando tudo: 1024 + 320 + 24 + 4
Igual a: 1372
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Sistema de Numerao - Octal
Exemplo:
Represente o nmero decimal 42536.
4 2 5 3 6
Multiplica por: 84 83 82 81 80
Ou seja: 4096 512 64 8 1
Resultado: 4 x 4096 2 x 512 5 x 64 3 x 8 6 x 1
Igual a: 16384 1024 320 24 6
Somando tudo: 16384 + 1024 + 320 + 24 + 6
Igual a: 17758
01234 8683858284 Nmero
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Sistema de Numerao - Hexadecimal
Smbolos:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,
A, B, C, D, E e F;
Representao:
Combinao dos dezesseis smbolos, associado com sua posio.
Expresso Polinomial:
BASE HEXA 16
Onde: a representa os dgitos do nmero e b a base dos sistema;
Os coeficientes de a1 e at an so menores do que a base b.
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Sistema de Numerao - Hexadecimal
Representao dos nmeros:
Hexadecimal Decimal
0 0
1 1
2 2
3 3
4 4
5 5
6 6
7 7
8 8
9 9
Hexadecimal Decimal
A 10
B 11
C 12
D 13
E 14
F 15
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Sistema de Numerao - Hexadecimal
Representao Visual: Nmero = 7D40;
7 D 4 0
Multiplica por: 163 162 161 160
Ou seja: 4096 256 16 1
Resultado: 7 x 4096 13 x 256 4 x 16 0 x 1
Igual a: 28672 3328 64 0
Somando tudo: 28672 + 3328 + 64 + 0
Igual a: 32064
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Tabela de Equivalncia
Decimal Binrio Octal Hexadecimal
0 0000 0 0
1 0001 1 1
2 0010 2 2
3 0011 3 3
4 0100 4 4
5 0101 5 5
6 0110 6 6
7 0111 7 7
8 1000 10 8
9 1001 11 9
10 1010 12 A
11 1011 13 B
12 1100 14 C
13 1101 15 D
14 1110 16 E
15 1111 17 F
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Converses entre os Sistemas de Numerao
Converso de Bases
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Decimal para Qualquer Base
Base 10 para Base n
Processo:
Atravs de divises sucessivas por n, at obter quociente 0, tomando-se os restos em ordem inversa que foram obtidos.
Exemplos:
Decimal binrio: Divises sucessivas por dois;
Decimal octal: Divises sucessivas por oito;
Decimal hexadecimal: Divises sucessivas por dezesseis.
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Converso: Decimal Binrio
Divises sucessivas por dois (binrio);
Exemplo: converter o nmero 2510 para binrio.
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Converso: Decimal Binrio
Exerccios
Converta os nmeros decimais, abaixo, para binrio:
a. 45;
b. 2;
c. 15;
d. 128;
e. 56;
f. 12;
g. 7;
h. 32.
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Converso: Decimal Octal
Divises sucessivas por 8 (octal);
Exemplo: converter o nmero 2010 para octal.
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Converso: Decimal Octal
Exerccios
Converta os nmeros decimais, abaixo, para octal:
a. 45;
b. 2;
c. 15;
d. 128;
e. 56;
f. 12;
g. 7;
h. 32.
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Converso: Decimal Hexadecimal
Divises sucessivas por 16 (hexa);
Exemplo: converter o nmero 30110 para hexadecimal.
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Converso: Decimal Hexadecimal
Exerccios
Converta os nmeros decimais, abaixo, para hexa:
a. 45;
b. 2;
c. 15;
d. 128;
e. 56;
f. 12;
g. 7;
h. 32.
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Qualquer Base para Decimal
Base n para Base 10
Processo:
Atravs da multiplicao dos algarismos, da direta para esquerda, pelas sucessivas potncias de n (peso), e soma-se essas parcelas.
Exemplos:
Binrio Decimal: Multiplicaes sucessivas por dois;
Octal Decimal: Multiplicaes sucessivas por oito;
Hexadecimal Decimal: Multiplicaes sucessivas por dezesseis.
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Qualquer Base para Decimal
0
0
1
1
1
1 ... babababaNmeron
n
n
n
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Converso: Base n Decimal
Exerccios
Converta os nmeros, abaixo, para base decimal:
a. 1101112;
b. 10101112;
c. 11112;
d. 4616;
e. 25616;
f. 2568;
g. 468;
h. 1016;
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Binrio para Octal ou Hexadecimal
Base 2 para Base 8 ou 16
Processo: Binrio Octal.
Agrupa-se os dgitos binrios trs a trs da direita para esquerda e substitui-se cada grupo por seu equivalente octal. Se o ltimo grupo da esquerda ficar com menos de trs dgitos, completa-se o restante com zeros.
Processo: Binrio Hexa.
O processo semelhante ao da converso para octal, sendo que agrupa-se os dgitos binrios de quatro em quatro.
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Binrio para Octal ou Hexadecimal
Base 2 para base 8:
(11001)2 = 011 001 = (31)8
Base 2 para base 16:
(10111101)2 = 1011 1101 = (BD)16
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Binrio para Octal ou Hexadecimal
Exerccios
Converta os nmeros binrios, abaixo, para base octal e hexadecimal:
a. 100000;
b. 110111;
c. 1111000;
d. 1010111;
e. 01100110;
f. 10101010;
g. 01010101;
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Octal ou Hexadecimal para Binrio
Base 8 ou 16 para Base 2
Processo: Octal Binrio.
Substitui-se cada dgito octal pelo equivalente binrio de trs (bits).
Processo: Hexa Binrio.
Substitui-se cada dgito hexadecimal pelo equivalente binrio de quatro (bits).
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Octal ou Hexadecimal para Binrio
Base 8 para Base 2:
(31)8 = 011 001 = (11001)2
Base 16 para Base 2:
(BD)16 = 1011 1101 = (10111101)2
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Octal ou Hexadecimal para Binrio
Exerccios
Converta os nmeros, abaixo, para base binria:
a. 4616;
b. 25616;
c. 2568;
d. 468;
e. 1016;
f. 648;
g. 6416;
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Resumo
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Nmeros Fracionrios
Qualquer base para binrio:
Multiplica a parte fracionria pelo valor da base, descartando os nmeros que vo para antes da vrgula, at chegar ao valor zero;
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Nmeros Fracionrios
Qualquer base para Decimal:
Multiplicando os elementos depois da vrgula pelo respectivo peso negativo.
(8,375)10 = ( ? )2
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As operaes aritmticas nos sistemas binrio, octal, e hexadecimal obedecem a regras similares quelas do sistema decimal.
A seguir procedimentos para as quatro operaes aritmticas para nmeros binrios:
Adio Subtrao Multiplicao Diviso
Operaes Aritmticas - Sistema Binrio
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H apenas dois algarismos disponveis (0 e 1).
Tabela de Possibilidades:
0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 0 , vai 1 ou 102
Adio - Sistema Binrio
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Adio: deslocamento direita na srie, cada deslocamento correspondendo a adio de uma unidade.
Adio entre dois nmeros de um algarismo pode-se obter resultados com um ou dois dgitos.
Estouro (maior algarismo ultrapassado): Carry (transporte) ou vai-um.
Adio - Sistema Binrio
-
4510 + 4710
Decimal Binrio
1 1 1111 45 101101 47 101111 92 1011100
3710 + 8710
Decimal Binrio 11 111 37 0100101 87 1010111 124 1111100
Adio- Sistema Binrio
-
Regra:
Adio- Sistema Binrio
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Da mesma forma que o sistema decimal (minuendo subtraendo = diferena) mais complicada
Inversa adio deslocamento esquerda do minuendo de tantas unidades quantas forem o subtraendo.
Se o minuendo menor que o subtraendo, isto , 0 1 necessita de emprstimo de um valor igual a base (que 2), obtido do primeiro algarismo diferente de 0 (zero), existente esquerda. No sistema decimal, o emprstimo igual a 10 (dez).
Estouro quando subtrai uma unidade do minuendo ou somar uma unidade ao subtraendo da casa seguinte.
Estouro borrow (emprstimo) ou vem-um.
Subtrao- Sistema Binrio
-
Subtrao- Sistema Binrio
-
Subtrao- Sistema Binrio
-
Regras:
0 x 0 = 0
0 x 1 = 0
1 x 0 = 0
1 x 1 = 1
Multiplicao - Sistema Binrio
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Procedimentos iguais aos do sistema decimal
21 x 13 = ?
21 10101 (multiplicando)
x 13 x 1101 (multiplicador)
63 10101
21 00000
273 10101
10101
100010001 (resultado)
Multiplicao - Sistema Binrio
-
Multiplicao pela base
Deslocar os algarismos de um nmero para a esquerda (shift left) equivalente multiplicao do nmero pela sua base
Ex. 01: 09 X 2 = ?
1001
x 10
0000
1001
10010
09 x 2 x 2 = ?
1001 10010
x 10 x 10
0000 00000
1001 10010
10010 100100
.
Multiplicao - Sistema Binrio
-
Procedimentos iguais aos do sistema decimal.
1) Diviso binria pelo mtodo conhecido*, ou
2) fazer sucessivas subtraes (processo mais simples de implementar em circuitos digitais)
Regras
0 /1 = 0
1 / 1 = 1
1 / 0 (ERRO)
* dividendo divisor
(resto) quociente
Diviso - Sistema Binrio
-
Algoritmo:
1) A partir da esquerda, avanam-se tantos algarismos quantos sejam necessrios
para se obter um valor maior ou igual ao divisor;
2) encontrado esse valor, registra-se 1 no quociente;
3) subtrai-se do valor selecionado no dividendo o valor do divisor (na diviso binria, como o quociente somente pode ser de valor igual a 1, a subtrao sempre com o prprio valor do divisor);
4) ao resultado, acrescentam-se mais algarismos do dividendo (se ainda houver algum), at se obter um valor igual ou maior que o divisor (como no item 1). Se o(s) algarismo(s) for(em) zero, acrescenta(m)-se zero(s) ao quociente, e
5) repete-se todo o processo a partir do item b, at que se esgotem os algarismos do dividendo.
Diviso - Sistema Binrio
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Diviso - Sistema Binrio
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Diviso - Sistema Binrio
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Diviso pela base
Deslocar os algarismos de um nmero para a direita (shift right) equivalente diviso do nmero pela sua base
Ex.1: 9/2
1001 10
-10 100
0001
Ex.1: 9/2/2
100 10
-10 10
000
1001 (9)10
100 (9 / 2)10
10 (9 / 2 / 2)10
Diviso - Sistema Binrio
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Operaes Aritmticas - Binrio - Exerccios
Faa as seguintes operaes em Binrio:
1.Faa as seguintes operaes em binrio:
a) 101101+ 100111= 101101-100111 =
b) 1011x101= 10010/11 =
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Representao Interna de Dados
Codificao Alfanumrica
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Comunicao
Computador s trabalha com bits (0 ou 1);
Utiliza conjunto de bits para representar nmeros e letras;
Conjunto de bits instruo ou dado.
C C
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Padronizao
Antigamente cada fabricante tinha um cdigo diferente e todos foram originados no binrio puro;
Exemplos:
Binrio Puro: a representao do sistema binrio, ou seja, um conjunto de 0 e
1, associados com os pesos dos algarismos, elevados a potncia de 2;
EBCDIC (Extended Binary Coded Decimal Interchange Code): utilizado em plataformas de grande porte, principalmente pela IBM,
tendo a configurao de 8 bits para representao do byte.
ASCII (American Nacional Standard Code for Information Interchage): o cdigo mais utilizado em todas as plataformas PC, a ABNT e a
ABICOMP.
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Tabela ASCII
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Quantificao
Bit (binary digit):
a menor unidade de memria do computador, representa 0 ou 1.
Byte:
7 anos mais velho que o bit, nasceu em 1956, pela IBM.
uma unidade de informao constituda pelo agrupamento de oito bits;
A capacidade de processamento e armazenamento dos computadores crescem, por isso, as medidas tambm
aumentam.
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Quantificao - Tabela de Equivalncia
Byte B 8 bits
Kilobyte) KB 1.024 bytes 210=1.024
Megabyte MB 1.024 KB 220=1.048.576
Gigabyte GB 1.024 MB 230=1.073.741.824
Terabyte TB 1.024 GB 240=1.099.511.627.776
MegaHertz MHz 1 milho de ciclos por segundo.