Oficina03_Matemática

Oficina 3

EXPLORANDO O ESPAÇO E AS FIGURAS GEOMÉTRICAS

Presidente da RepúblicaLuiz Inácio Lula da Silva

Vice-Presidente da RepúblicaJosé Alencar Gomes da Silva

Secretaria-Geral da Presidência da RepúblicaLuiz Soares Dulci

Ministério do Desenvolvimento Social e Combate à FomePatrus Ananias

Ministério da EducaçãoFernando Haddad

Ministério do Trabalho e EmpregoCarlos Lupi

Secretaria-Geral da Presidência da RepúblicaMinistro de Estado Chefe Luiz Soares Dulci

Secretaria-ExecutivaSecretário-Executivo Antonio Roberto Lambertucci

Secretaria Nacional de JuventudeSecretário Luiz Roberto de Souza Cury

Coordenação Nacional do Programa Nacional de Inclusão de Jovens – ProJovem UrbanoCoordenadora Nacional Maria José Vieira Féres

EXPLORANDO O ESPAÇO E AS FIGURAS GEOMÉTRICAS

Presidência da RepúblicaSecretaria-Geral

Secretaria Nacional de JuventudeCoordenação Nacional do ProJovem Urbano

Programa Nacional de Inclusão de Jovens

Brasília, DF2008

Copyright © 2008 Permitida a reprodução sem fins lucrativos, parcial ou total, por qualquer meio, se citada a fonte e o sítio da Internet onde pode ser encontrado o original (www.projovemurbano.gov.br).

Coleção ProJovem Urbano

Elaboração e Organização

Equipe Técnica

Coordenação Nacional do ProJovem Urbano – Assessoria PedagógicaCláudia Veloso Torres GuimarãesLuana Pimenta de AndradaLeila Taeko Jin BrandãoJazon Macêdo

Organização Cláudia Veloso Torres GuimarãesEleuza Maria Rodrigues BarbozaFabiana Carneiro Martins CoelhoMaria Umbelina Caiafa Salgado Luana Pimenta de AndradaLeila Taeko Jin Brandão

Autores – MatemáticaMaria das Graças Gomes BarbosaWanda Maria de Castro Alves

RevisãoLeandro Bertoletti Jardim

Projeto Gráfico e Editoração EletrônicaLuiza Sarrapio

1EXPLORANDO O ESPAÇO E AS FIGURAS GEOMÉTRICAS

Oficina 3EXPLORANDO O ESPAÇO

E AS FIGURAS GEOMÉTRICAS

LOCALIZANDO-SE E MOVIMENTANDO-SE NO ESPAÇO

ATIVIDADE 1 – REVENDO A ADIÇÃO

Faça os exercícios a seguir.

1. Uma professora dividiu a sala de aula em linhas e colunas e identificou cada carteira por um par formado por dois números, onde o primeiro número identificava a coluna e o segundo número identificava a linha em que cada carteira se encontrava. Assim, a carteira onde Lúcia estava foi identificada pelo par (2,3), pois sua carteira estava no cruzamento da coluna 2 com a linha 3. Observe a ilustração e faça o que se pede.

5 Vítor Alberto Mateus Junia Rute

4 Ari Lara Nair Marcelo Rosa

3 Lucas Lúcia Célia Ênio Taís

2 Fábio Bruna Fabiana Júlia Tiago

1 Ana Luís Oto Mara Marli

1 2 3 4 5

a) Represente, utilizando pares de números, a localização das carteiras dos seguintes alunos: Ana, Lara, Bruna, Fabiana, Mateus e Rute. _____________________________________________________

b) Que alunos estão nas carteiras identificadas pelos pares: (4,2); (1,3); (4,4); (3,1), (5,2)? _________________________________________________________________________________________________

c) Na segunda-feira, a professora resolveu fazer uma brincadeira. Pediu que todos os alunos mudas-sem de lugar. Os novos lugares seriam agora identificados assim: o primeiro número do par iden-tificaria a linha e o segundo número identificaria a coluna onde o aluno deveria se sentar. Pense e responda: Que alunos não vão trocar de lugar? _____________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

1

2OFICINA 3

d) Copie o desenho da sala de aula e coloque em cada carteira os nomes dos alunos, de acordo com a mudança realizada pela professora.

2. No quadriculado a seguir, cada figura tem um “endereço”: o endereço da figura ♠, por exemplo, é o par (9,8) por estar no cruzamento da reta vertical que passa por 9 com a reta horizontal que passa por 8. Observe o quadriculado e faça o que se pede.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

a) Escreva na forma de um par, formado por números, os endereços das seguintes figuras: ♦; ♠; ♥ e ♣. _____________________________________________________________________________________

b) Desenhe um quadriculado igual ao anterior e desenhe nele as seguintes figuras de acordo com os seus endereços.

(5, 1) (1, 6) (4, 5) (6, 4)

c) Inverta a ordem dos números nos pares do exercício da letra b, escreva-os e desenhe as figuras no mesmo quadriculado anterior de acordo com seus novos endereços. As figuras foram representa-das no mesmo lugar ou em lugares diferentes? ____________________________________________

Agora responda: Mudar a ordem dos números nos pares muda a posição das figuras? _________

Para localizar pontos em uma reta, precisamos apenas de um número. Mas quando queremos localizar pontos em um plano, precisamos de dois números, isto é de duas informações. Para isso usamos duas retas numeradas de mesma origem, perpendiculares, chamadas de eixos coordena-dos. Um plano com dois eixos coordenados chama-se plano cartesiano, porque foi inventado por um matemático francês chamado René Descartes (1596-1650).

No quadriculado a seguir estão duas retas perpendiculares ox e oy. Observe que P está no cruza-mento da reta vertical que passa pelo ponto 2, situado na reta OX, com a reta horizontal que passa pelo ponto 5, situado na reta OY. Dizemos que os números 2 e 5 são as coordenadas do ponto P e escrevemos P = (2,5). Podemos dizer que, nesse caso o endereço de P é o par ordenado (2,5).


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

T MR

N

SQ(5,2)

P(2,5)

A reta horizontal é chamada de eixo x ou eixo horizontal ou eixo das abscissas.A reta vertical é chamada de eixo y ou eixo vertical ou eixo das ordenadas.Os dois eixos, juntos, são chamados de eixos coordenados, e um plano, com dois eixos desenha-

dos, chama-se plano cartesiano.

Para não confundir os endereços e trocar o ponto P pelo ponto Q tem-se que:

1° elemento do parNome: 1ª coordenada ou abscissa. É medido no eixo horizontal e dá a

distância de P ao eixo vertical.

2° elemento do parNome: 2ª coordenada ou ordenada.

É medido no eixo vertical e dá a distância de P ao eixo horizontal.

(2,5)

Observe novamente o plano cartesiano e responda às perguntas seguintes.

Compare as coordenadas e a localização dos pontos e P e Q.

a) O que você observa? ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

b) Qual é a abscissa do ponto M? ___________________________________________________________

c) Qual é a ordenada do ponto N? __________________________________________________________

d) Qual é a abscissa do ponto T? ___________________________________________________________

e) Qual é a ordenada do ponto R? ___________________________________________________________

f) Quais são as coordenadas do ponto S? ____________________________________________________

g) Dos pontos acima, qual deles tem a maior ordenada? E a menor? ____________________________

h) Dos pontos acima, qual deles tem a maior abscissa? E a menor? ____________________________

i) Qual é a ordenada de um ponto qualquer que está sobre o eixo horizontal? ____________________

j) Qual é a abscissa de um ponto qualquer que está sobre o eixo vertical? _______________________

4OFICINA 3

ESTUDANDO OS SÓLIDOS GEOMÉTRICOS

As formas estudadas pela Geometria são chamadas de figuras geométricas. A Geometria é impor-tante para ver e entender o mundo que nos cerca e está presente na natureza e nas artes.

ATIVIDADE 1 – CLASSIFICANDO OS SÓLIDOS GEOMÉTRICOS

Relacione os dois conjuntos de sólidos apresentados, escrevendo os nomes dos objetos cujas for-mas se parecem com:

a) Um cubo. b) Um paralelepípedo. c) Uma esfera.d) Um cilindro. e) Uma pirâmide. f) Um cone.

Observe os conjuntos de sólidos a seguir.

A. Conjunto dos sólidos que rolam em alguma posição.

Nesse conjunto estão presentes os sólidos que con-têm pelo menos uma superfície não plana.Esse conjunto será chamado de Corpos Redondos.

B. Conjuntos dos sólidos que não rolam em nenhuma posição.

Nesse conjunto estão os sólidos que contêm apenas partes planas, o que significa que as regiões de apoio desses sólidos sobre um plano são sempre superfí-cies planas.Esse conjunto será chamado de Poliedros.

C. Conjuntos dos sólidos que não rolam, mas contêm partes não planas.

Esses sólidos não são poliedros nem corpos redondos.

ATIVIDADE 2 – ESTUDANDO OS POLIEDROS

A parte plana de um poliedro é chamada de FACE. Daí a origem do nome poliedro: poli: muitas e edros: faces, assim poliedro significa um sólido de muitas faces.

facetriangular

faceretangular

2


Além das faces, um poliedro tem também vértices e arestas.

vértice

aresta

PRISMAS – Poliedros cujas arestas laterais são todas paralelas e de mesmo comprimento, cujas faces laterais são todas em forma de paralelogramos e que possuem duas bases congruentes e paralelas que podem ter formas variadas.

Observe os prismas abaixo e responda.De acordo com a região poligonal das bases, que nome especial recebe cada prisma?

Uma classificação para os prismas pode ser visualizada no diagrama a seguir.

poliedros

prismas retos

paralelepípedos

cubos

O segundo conjunto de poliedros será formado pelas pirâmides.

PIRÂMIDES – Poliedros cujas arestas laterais são concorrentes em um único ponto chamado vértice que possuem apenas uma base e cujas faces laterais são regiões triangulares.

Vamos estudar as pirâmides retas, ou seja, as pirâmides nas quais as arestas laterais são todas con-gruentes. De acordo com a região poligonal das bases, a pirâmide também recebe nomes especiais:

6OFICINA 3

O terceiro conjunto de poliedros é o seguinte:

Poliedros que não se caracterizam nem como prismas nem como pirâmides, sendo definidos apenas pelo número de faces que possuem.

ATIVIDADE 3 – ESTUDANDO OS CORPOS REDONDOS

Observando as características dos corpos redondos, como você os classificaria?1. Corpos redondos que não apresentam nenhuma superfície plana: ____________________________

2. Corpos redondos cujas superfícies são formadas por duas partes planas circulares, que são as bases, e uma parte curva arredondada que é a superfície lateral: _____________________________

3. Corpos redondos cuja superfície é formada por uma parte plana, a região circular, que é a sua base, e uma parte curva “arredondada”, que é a sua superfície lateral: _____________________________


ATIVIDADE 4 – OS SÓLIDOS E SUAS PLANIFICAÇÕES

Resolva as questões a seguir.

1. Observe as planificações abaixo. Quais delas podem ser a planificação de um cubo?

Verifique suas respostas, reproduzindo numa folha os desenhos acima, em tamanho maior, e mon-tando os cubos com cada um deles, caso seja possível. _____________________________________

2. Observando os dados e sabendo que a soma dos pontos de duas de suas faces opostas é igual a 7, copie as duas planificações em seu caderno e complete-as com o número de pontos que está faltando em cada uma delas.

8OFICINA 3

ESTUDANDO AS FIGURAS PLANAS

Classifique as figuras a seguir.

A. Conjunto das figuras planas limitadas por linhas fechadas curvas: ____________________________

B. Conjunto das figuras planas limitadas por segmentos de retas: _______________________________

O círculo e a circunferência

Circunferência é a linha e círculo é a região limitada pela circunferência. No entanto, é comum se usar o termo círculo para indicar tanto a curva como também a região por ela limitada.

Elementos de uma circunferência.O segmento que une o centro a qualquer ponto da circunferência é chamado de raio da circunfe-

rência, o segmento que liga dois pontos da circunferência é uma corda e uma corda que passa pelo centro de uma circunferência é um diâmetro da circunferência.

A

BC

D

O

Assim na figura acima se tem que CD é uma corda, OA e OB são raios e AB é um diâmetro da circunferência.

Conclusão:● Todo diâmetro de uma circunferência é o dobro do raio dessa mesma circunferência.● Todo diâmetro de uma circunferência é uma corda dessa circunferência.● Nem toda corda de uma circunferência é um diâmetro da mesma.

Os polígonos

Polígono é uma figura plana, fechada, simples, formada por segmentos de reta consecutivos e não colineares, portanto, trata-se apenas da fronteira não se incluindo seu interior. Mas assim como o círculo, é comum estender o nome do polígono à região por ele limitada, ou seja, é comum chamar uma região triangular também de triângulo, uma região retangular de retângulo etc. Todo polígono tem vértices, lados e ângulos internos. De modo geral, quando falarmos em ângulos do polígono, estamos nos referindo aos seus ângulos internos.

3


1. A origem do nome polígono – poli: muitos; gono: ângulo. Assim, polígono significa uma figura plana de muitos ângulos.

2. Uso dos prefixos na nomeação dos polígonos: tri, tetra, penta etc., rela-cionando-os com outras palavras conhecidas que tenham esses prefixos, tais como: tricampeão, trinca de reis, tetracampeão etc.

3. Definição de polígono regular: um polígono é regular se ele possui todos os lados e todos os ân-gulos de mesma medida.

Os triângulos

Classificação dos triângulos

● Quanto à medida dos lados:Triângulo isósceles: triângulo que tem dois lados de mesma medida.Triângulo eqüilátero: triângulo que tem os três lados com medidas iguais.Triângulo escaleno: triângulo que tem os três lados com medidas diferentes.

Triângulo eqüilátero Triângulo isósceles Triângulo escaleno

● Quanto à medida dos ângulos:Triângulo retângulo: triângulo que possui um ângulo reto, ou seja, de medida igual a 90o.Triângulo acutângulo: triângulo que possui os três ângulos agudos, ou seja, cujas medidas são menores que 90o

Triângulo obtusângulo: triângulo que possui um ângulo obtuso, ou seja, cuja medida é maior do que 90o.

Triângulo retângulo Triângulo acutângulo Triângulo obtusângulo

Os quadriláteros

Há quadriláteros com dois pares de lados paralelos, os para-lelogramos, outros com apenas um par de lados paralelos, os trapézios e outros que não possuem lados paralelos, nomeados

simplesmente quadriláteros.

Comparando as medidas dos lados e dos ângulos dos para-lelogramos, podemos observar que alguns quadriláteros têm os quatro ângulos retos e são nomeados retângulos; os quadriláteros que têm os quatro lados iguais são os losangos e os quadriláteros

que têm os quatro lados iguais e os quatro ângulos retos são os qua-drados.

vértices

lados

ângulos

Trapézio

Paralelogramo

Quadrilátero

Retângulo

losango

Quadrado

10OFICINA 3

De acordo com as definições acima, alguns fatos podem ser estabelecidos:● Todo retângulo é paralelogramo.● Todo losango é paralelogramo.● Todo quadrado é retângulo e também losango.

Assim, uma classificação para os quadriláteros pode ser visualizada no diagrama a seguir.

quadriláteros

paralelogramos

retâ

ngul

os

losâ

ngos

quad

rado

s

Resolva as questões seguintes.1. As placas de trânsito apresentam, em sua maioria, contornos na forma de figuras planas. Veja.

a) Que figuras planas você consegue identificar nas placas? ____________________________________

_______________________________________________________________________________________

b) Você sabe o significado de cada uma dessas placas? ________________________________________

_______________________________________________________________________________________

2. Identifique os polígonos que formam as faces de cada um dos sólidos. ________________________

_______________________________________________________________________________________

3. Forme com as peças do TANGRAM:

a) Um triângulo usando: só duas peças, só três peças, só quatro peças.

b) Um retângulo usando: só duas peças, só quatro peças, só cinco peças.

c) Um paralelogramo usando: só duas peças, só três peças, só quatro peças.


A SIMETRIA DAS FORMAS GEOMÉTRICAS

ATIVIDADE 1 – DESCOBRINDO A SIMETRIA

Leia e faça o que se pede.

Copie e recorte a figura ao lado.

A

B

Agora, dobre a figura fazendo os vér-tices A e B coincidirem, de modo que uma parte da figura coincida exatamen-te com a outra.

Depois, desdobre a figura e com uma régua trace a linha da dobra, como exemplificado ao lado.

A

B

A linha de dobra é um eixo de simetria da figura que a divide em duas partes que coincidem exatamente por suposição.


1. Complete as figuras de modo que a linha tracejada seja um eixo de simetria.

4

12OFICINA 3

2. As figuras seguintes representam as faces de um dado.

Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4 Figura 5 Figura 6

Qual é o numero de eixos de simetria de cada figura? _______________________________________

_______________________________________________________________________________________

3. As figuras F e F’ são simétricas em relação a uma reta. Descubra e trace essa reta, explicando o seu raciocínio.

4. As figuras abaixo representam a bandeiras nacionais de alguns países.

A B C D E F

a) Quais delas têm eixos de simetria? ________________________________________________________

b) A que país pertence cada uma dessas bandeiras? ___________________________________________

_______________________________________________________________________________________

Reflexão

Uma figura é reflexão de outra se:● A reta que une cada par de pontos correspondentes é perpendicular ao eixo de simetria.● Dois pontos correspondentes estão a uma mesma distância do eixo de simetria, em lados

opostos.



1. Verifique se as figuras abaixo estão refletidas. Use papel transparente para verificar suas respos-tas. ___________________________________________________________________________________

2. Desenhe a reflexão de cada figura abaixo.

3. Considerando a reta r como eixo de reflexão, verifique qual das figuras abaixo é o reflexo do nome ISABEL. _______________________________________________________________________________

a) ISABEL ISABEL b) ISABEL L ISABE c) ISABEL ISABEL

Translação

Observe a figura abaixo.

Translação é uma transformação em que a figura se desloca paralelamente a uma reta, ou seja, todos os pontos da figura são deslocados de uma

mesma distância numa mesma direção retilínea.

● A forma e o tamanho da figura original são mantidos após a translação;● Uma translação fica determinada pela direção, sentido e distância do deslocamento.

Faça os exercícios seguintes.

1. Identifique, em cada par das figuras abaixo, a direção, o sentido e a distância de cada translação, utilizando uma seta.

2. Qual das figuras abaixo é uma translação da figura 1? _______________________________________

14OFICINA 3

Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4 Figura 5

Rotação

Faça as seguintes tarefas:

1. Copie a figura ao lado em um papel transparente.

2. Sobreponha a figura copiada à figura original e efetue um giro de 90° em torno do ponto O. O que você observou?

Uma rotação de centro O e ângulo α é uma transformação em que a imagem é obtida girando-se cada ponto da

figura segundo um arco de circunferência de centro O, percorrendo um ângulo α no sentido horário ou anti-horário.

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