OPERAÇÕES COM CONJUNTOS. A = {2, 3, 5, 7} B = {0, 2, 4, 6} União de conjuntos Operações com...

OPERAÇÕES COM OPERAÇÕES COM CONJUNTOSCONJUNTOS

A = {2, 3, 5, 7}

B = {0, 2, 4, 6}

União de conjuntos

Operações com conjuntos

A B = {0, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

A região hachurada representa A B.

Dados dois conjuntos, A e B, a união de A e B é o

conjunto formado por todos os elementos que

pertencem a A ou a B.

A B = {xx ϵ A ou x ϵ B}

União de conjuntos


A = {xx é um número natural menor que 8}

B = {xx é um número natural par menor que 10}

Intersecção de conjuntos

A B = {0, 2, 4, 6}



Dados dois conjuntos, A e B, a intersecção de A e B

é o conjunto formado por todos os elementos que

pertencem a A e a B.

A B = {xx ϵ A e x ϵ B}


Intersecção de conjuntos

1. Determinar A B, sabendo que:

A = {xx é um número natural menor que 8} e

B = {xx é um número natural entre 7 e 11}.

Resolução

Inicialmente, determinamos os elementos dos conjuntos

A e B. Assim, temos:

A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e B = {8, 9, 10}

Desse modo: A B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

EXEMPLOS



B = {xx é um número natural entre 7 e 11}.

EXEMPLOS

Representando a união desses conjuntos em um diagrama,

temos:


Resolução


A = {xx é um número natural maior que 9} e

B = {xx é um número natural menor que 9}.

Inicialmente, determinamos os elementos dos conjuntos

A e B. Assim, temos:

A = {10, 11, 12, 13, 14, 15, ...} e

B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

Como não há elementos em comum, A B = .

Resolução

EXEMPLOS

a) Inicialmente, vamos determinar os

elementos pertencentes a cada

conjunto. Assim: A = {1, 2, 3, 4},

B = {1, 2, 6, 7} e C = {1, 3, 5, 7}

Agora, determinamos (A B):

A B = {1, 2, 3, 4, 6, 7}

Depois, determinamos a intersecção

desse conjunto com C e obtemos:

(A B) C = {1, 3, 7}

Determinar:

a) (A B) C

b) (A B)

C

Resolução

3. Considerar os conjuntos representados abaixo.

EXEMPLOS


EXEMPLOS

a) (A B) C

a) Representando em um diagrama

de Venn:

A parte laranja representa (A B) C.

Resolução

EXEMPLOS


b) (A B) C

b) Primeiro, determinamos (A B):

A B = {1, 2}

Depois, determinamos a união desse

conjunto com C:

(A B) C = {1, 2, 3, 5, 7}

Resolução

EXEMPLOS


b) (A B) C

b) Representando em um diagrama

de Venn:

A parte azul representa (A B) C.

Resolução

4. Sabendo que A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e

A B = {4 ,5}, escrever duas possibilidades diferentes

para A e B.

EXEMPLOS

Resolução

Assim, podemos escrever:

A = {1, 4, 5} e B = {2, 3, 4, 5, 6} ou

A = {3, 4, 5, 6} e B = {1, 2, 4, 5}

Há outras possibilidades além dessas.

Como A B = {4, 5}, devemos considerar que os elementos

4 e 5 pertencem tanto ao conjunto A quanto ao conjunto B.

Sabemos também que os conjuntos A e B são formados

necessariamente pelos elementos que pertencem a A B.


A = {xx é um número natural e está entre 20 e 30}

B = {xx é um número primo menor que 30}

A – B = {21, 22, 24, 25, 26, 27, 28}

Diferença de conjuntos


Dados dois conjuntos, A e B, a diferença entre A e B

é o conjunto formado pelos elementos que

pertencem a A, mas não pertencem a B.

A – B = {xx A e x B}


Diferença de conjuntos

Complementar de um conjunto

Dados os conjuntos A e B, o complementar do

conjunto B em relação a A é a parte laranja da figura.

= A – B, com B A

5. Determinar A – B sabendo que:


B = {xx é um número natural e está entre 3 e 7}.

Resolução

Enumerando os elementos de A e B, temos:

A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} e B = {4, 5, 6}

Como a diferença de A e B é o conjunto formado pelos

elementos que pertencem a A mas não pertencem a B, temos:

A – B = {0, 1, 2, 3, 7, 8, 9}

EXEMPLOS

6. Descrever a parte azul do diagrama por meio de

operações de conjuntos.

EXEMPLOS

Resolução

Observando a figura, vemos que nenhuma parte do conjunto

B está colorida, assim como nenhuma parte do conjunto C.

Devemos observar ainda que somente uma parte do

conjunto A está colorida de azul. Como essa parte representa

os elementos de A que não pertencem a B nem a C, podemos

escrever a seguinte operação para representar a parte azul

da figura: A – B – C ou A – C – B

7. Considerar os conjuntos A = {0, 5, 10, 15}, B = {0,

10} e U = {xx é um número natural menor ou

igual a 15}. Determinar:

a) Ac c) , com E =

Resolução

a) Como o conjunto U é um conjunto finito, para facilitar a

resolução podemos enumerar seus elementos:

U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15}

b)

EXEMPLOS

Determinando U – A, encontramos:

Ac = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14}

7. Considerar os conjuntos A = {0, 5, 10, 15},

B = {0, 10} e U = {xx é um número natural menor ou

igual a 15}. Determinar:c) , com E = b)

EXEMPLOS

b) Nesse caso, devemos determinar A – B. Assim: = {5, 15}

Resolução

c) Inicialmente, devemos encontrar os elementos do

conjunto E.

Como E = , temos: E = {5, 15}.

Agora, determinamos U – E e encontramos:

= {0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14}.

8. Dados os conjuntos U = {3, 6, 9, 12, 15, 18},

AC = {3, 6, 9} e BC = {15, 18}, determinar:

a) o conjunto A.

a) Como AC = {3, 6, 9}, os elementos de U que não pertencem

a AC pertencem ao conjunto A; portanto: A = {12, 15, 18}

b) o conjunto B.

Resolução

EXEMPLOS

b) Como BC = {15, 18}, os elementos de U que não

pertencem

a BC pertencem ao conjunto B; portanto:

B = {3, 6, 9, 12}

PROBLEMAS COM CONJUNTOS

9. (Esportes) Em uma pesquisa com uma turma de Ensino Médio,

verificou-se que 15 alunos praticavam basquete como

atividade esportiva, 25 alunos praticavam futebol e 7 alunos

praticavam duas atividades: basquete e futebol. Determinar

quantos alunos participaram da pesquisa, sabendo que todos

optaram por pelo menos um dos dois esportes.

EXEMPLOS

15 alunos praticavam basquete, 25 alunos praticavam futebol

e 7 alunos praticavam as duas atividades. Determinar quantos

alunos foram pesquisados.

Resolução

n(A B) = 8 + 18 + 7 = 33

Somente B

10. (Consumidor) Após uma pesquisa com os clientes de um

supermercado, verificou-se que 150 pessoas compraram o

refrigerante da marca C e 75 compraram o da marca P.

Sabendo que 200 pessoas participaram da pesquisa,

determinar quantas compraram refrigerantes das duas

marcas.

EXEMPLOS

Marca C e marca P: x

10. De 200 pesquisados, 150 compraram o refrigerante da

marca C e 75 compraram o da marca P. Determinar quantas

compraram refrigerantes das duas marcas.

Marca C: 150 – x

Marca P: 75 – x

Resolução

N(C P) = (150 – x) + x + (75 – x)

200 = (150 – x) + x + (75 – x)

x = 150 + 75 – 200 x = 25

Assim, concluímos que 25 pessoas compraram refrigerantes

das duas marcas.

EXEMPLOS

11.(Carnaval) Uma empresa faz colares para o carnaval. As

matérias-primas utilizadas são plásticos rosa e verde. Em

um ano, foram produzidos 1.750 colares com o plástico

rosa, 1.200 colares com plástico verde e rosa e uma certa

quantidade de colares feitos somente com o plástico verde.

Quantos colares foram fabricados apenas com o plástico

rosa?

O número de colares feitos apenas com o plástico rosa é:

1.750 – 1.200 = 550

Então, 550 colares foram feitos apenas com o plástico rosa.

11. 1.750 colares com o plástico rosa, 1.200 colares com plástico

verde e rosa. Quantos colares foram fabricados apenas

com o plástico rosa?R conjunto dos colares com o plástico rosa

V conjunto dos colares com o plástico verde

Resolução

12. (Cultura) Uma pesquisa foi realizada com o objetivo de

identificar o tipo de leitura preferida de 145 alunos de Ensino

Médio. Nessa pesquisa, história em quadrinhos teve 60

votos, romance, 85 votos, e ficção científica, 55. Sabe-se

ainda que 20 alunos votaram em história em quadrinhos e

em romance, 30 votaram em romance e em ficção, 10

votaram em história em quadrinhos e em ficção e 5 alunos

votaram nos três tipos. Determinar quantos alunos votaram

somente em romance.

EXEMPLOS

12. Leitura preferida de 145 alunos: história em quadrinhos,

60 votos; romance, 85 votos; ficção científica, 55; história

em quadrinhos e romance, 20; romance e ficção, 30;

história em quadrinhos e ficção, 10; e nos três tipos, 5.

Determinar quantos votaram apenas em romance.

Resolução

Portanto, 40 alunos votaram somente em romance.

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