OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS

ADIÇÃO E SUBTRAÇÃOINÍCIO DE CONVERSA

As atividades de contagem possibilitam à criança a percepção e a vivência da ação de somar. Quando constrói conceitos numéricos ao realizar contagens, a adição é parte dessa construção, porque, na seqüência numérica, um número é resultado da adição de 1 ao que lhe antecede. Percebe, também, que o valor numérico de um grupo aumenta ao ser adicionado.

Ao fazer uma contagem regressiva, observa que as quantidades diminuem de 1 em 1. Se, após 6 ela diz 5, esse número é o mesmo que 6 menos 1.

Esses pensamentos carregam o germe conceitual das operações de adição e subtração. No entanto, as crianças têm muito que aprender e compreender sobre estas duas operações.

O verbo “aprender” aqui empregado não significa saber usar números, sinais ou mesmo o algoritmo para fazer a conta. O “aprender” envolve o “entender” que se refere à compreensão conceitual básica dessas operações.

Nas situações do cotidiano, a criança desde muito pequena vai criando meios de resolver problemas com os quais se defronta. A maioria envolve estruturas aditivas ou subtrativas e ela consegue solucioná-las utilizando os recursos de que dispõe. Se, no seu grupo há 3 colegas e chegam mais 2, ela pode descobrir o valor numérico do grupo todo contando os colegas. Essa é uma situação bem concreta em que os elementos contados são os mesmos inseridos na situação.

Outras vezes, a resolução de um problema se dá através do olhar concreto, mas já abrange alguma abstração. Por exemplo: mediante a situação – há 5 balas na caixa e Júlia coloca lá mais 4 balas -, a criança pode usar fichas ou outro material no lugar das balas e encontrar a solução. Nesse caso, ela imagina que as fichas são as balas e isso não faz diferença. Daí, passa a utilizar variados objetos em substituição a outros, o que já é um tipo de representação.

A atividade espontânea da criança ao resolver situações-problema e a sua motivação e envolvimento nessa tarefa levam a constatar que esse é o melhor caminho para trabalhar os conceitos de adição e subtração. Não há como separar essas operações de contextos que lhes são próprios, pois a compreensão conceitual está condicionada à compreensão dos contextos (situações-problema) em que estão inseridas.

Portanto, uma das maiores preocupações dos professores das classes do Ciclo Inicial de Alfabetização parece ser a de propiciar aos seus alunos situações favoráveis à construção conceitual das quatro operações básicas. Essa construção leva a inverter a postura do professor tradicional, pois, primeiro, deve-se focalizar os significados das operações; depois, o ensino do algoritmo. Mais uma vez, fica reforçada a afirmativa de que a compreensão deve preceder à simbolização.

SIGNIFICADOS DA ADIÇÃO E DA SUBTRAÇÃO

A construção dos conceitos operatórios de adição e subtração passa pela compreensão dos contextos em que aparecem, pois a ação inserida nesses contextos é que determina a operação envolvida.

Operação é, portanto, ação; em cada uma das operações essa ação tem vários significados.

A adição envolve ações de reunir e de acrescentar. Num contexto em que se reúnem grupos de objetos, animais, pessoas, etc., como por exemplo, num aquário em que há peixinhos azuis e vermelhos, dizemos que o significado da adição, nessa situação, é de reunir. Nesse caso, a ação é menos dinâmica. O mesmo acontece quando nos referimos aos alunos de uma classe afirmando que são 16 meninos e 18 meninas, perfazendo um total de 34 crianças. O contexto já está formado, as partes estão reunidas e o total é obtido considerando-se estas partes. A ação de reunir está ligada à idéia de combinar dois grupos para obter um terceiro e é comumente identificada como ação de “juntar”.

Quando a situação é dinâmica e requer somar um grupo a outro, dizemos que a ação é de acrescentar. As situações que encerram esse significado estão ligadas à idéia de transformação, ou seja, alteração de um estado inicial. Acrescenta-se quando há um grupo e outro junta-se a ele, como por exemplo, “há 3 crianças jogando e chegam mais 5 para entrar no jogo”; a ação é mais concreta do que no primeiro caso, por isso as crianças menores entendem melhor o adicionar com significado de acrescentar.

Os significados da subtração têm suporte nas ações de tirar, comparar e complementar.

A ação de tirar é bem dinâmica e compreende o ato de, a partir de um grupo, tirar outro contido nesse e de verificar o que sobra. O resultado é o resto. As situações envolvendo ação de tirar são mais freqüentes na vida da criança e, por isso, ela tem mais facilidade de solucioná-las.

Outra ação é a de comparar dois grupos e determinar o que possui mais ou o que possui menos objetos e descobrir a diferença numérica entre eles. O resultado, nesse caso, é a diferença. As crianças demonstram muita dificuldade em quantificar a comparação.Um dos fatores que interfere nessa habilidade é o fato de que elas identificam as idéias de adição e subtração com mudanças nas quantidades. Como nas situações comparativas não percebem alterações nas quantidades, elas não conseguem raciocinar sobre as relações envolvidas no problema. De fato, comparar é uma ação mais passiva do que tirar e a criança realmente não percebe o que fazer quando, questões desse tipo lhe são colocadas: “Jane tem 4 lápis e Ana tem 7. Qual é a diferença entre as quantidades de lápis das meninas?” A diferença é eliminada tornando os dois grupos de lápis iguais numericamente. Isso pode ser feito somando 3 ao grupo menor ou tirando 3 do grupo maior. Portanto, a diferença é 3. Essa equalização é muito complexa para crianças mais novas. Para que o pensamento delas trabalhe no sentido de compreender essas situações, é prudente modificar a redação do problema trocando a pergunta por: “Quantos lápis faltam para Jane ter o mesmo tanto que Ana?”, ou “Quantos lápis Ana deve tirar dos seus para que fique com a mesma quantidade de lápis de Jane?”

Quanto ao significado de complementar, a idéia envolvida é a de completar um grupo para que fique equivalente a um outro determinado. O resultado da subtração com esse significado é o complemento. As situações de complementação envolvem mais pensamento aditivo do que subtrativo. Para solucionar questões, como: -‘quanto

falta a um grupo de 6 bolas para completar 9 bolas?”, a contagem a partir de 6 é a estratégia mais fácil; 3 é o resultado porque 6 mais 3 são 9.

Para resolver uma situação-problema a criança deve, a partir da compreensão do contexto em que está inserido, utilizar-se de esquemas de ação que possibilitem obter a solução.

DIALOGANDO COM OS PCNs

Consultando os Parâmetros Curriculares verificamos que o objetivo relacionado aoQue foi exposto, é: “Resolver situações-problema e construir, a partir delas, os significados das operações

fundamentais, buscando reconhecer que uma mesma operação está relacionada a problemas diferentes e um mesmo problema pode ser resolvido pelo uso de diferentes operações.” Ao construir os significados das operações, a criança vai percebendo que a adição e a subtração podem ser usadas para resolver várias situações diferentes e que há vários caminhos para resolver um problema. Acompanhando o desenvolvimento dos seus alunos, o professor vai observar que a construção dos significados leva tempo e ocorre pela descoberta de diferentes procedimentos de solução das situações-problema.

...ESQUEMAS DE AÇÃO NAS ESTRUTURAS ADITIVAS/SUBTRATIVAS

Ao deparar-se com uma situação-problema, a primeira tentativa da criança deve ser a de compreendê-la. De posse do significado das ações envolvidas, ela tenta esquematizá-las organizando um “esquema de ação”. O termo “esquema” é empregado aqui com o mesmo significado que possui habitualmente, ou seja, uma representação da ação que considera apenas os elementos essenciais, desprezando os detalhes, conforme afirmam NUNES & BRYANT (1997).

As representações das ações de juntar e tirar dão origem aos primeiros esquemas pelos quais a criança começa a compreender a adição e a subtração. Esses esquemas possibilitam encontrar, de um modo prático, soluções para as situações que envolvem estas operações. Contando nos dedos a criança resolve questões, como: “ Imagine que sua colega tenha 5 moedas e ganhe mais 2; com quantas ficou?” Ela usa os dedos no lugar das moedas, mas isso não importa, desde que chegue á solução que é obtida por meio do esquema de juntar. O considerado foi a ação e não os objetos nela envolvidos.

Este esquema básico utilizado pela criança pode ser expresso por: “o todo é igual à soma das partes”. Certamente ela compreende isso, mas é incapaz de verbalizá-lo. Essa possibilidade é denominada por pesquisadores dessa área de conhecimento implícito. A compreensão das crianças pequenas se evidencia por suas ações e não pela descrição dos procedimentos utilizados e da sua justificativa.

È importante que o professor identifique os esquemas de ação que seus alunos estão usando e construindo a partir de suas experiências cotidianas, pois eles constituem um referencial para o desenvolvimento da base conceitual das operações.

A resolução de problemas envolvendo adição ou subtração requer um mesmo raciocínio, pois, embora estas operações sejam diferentes, elas se relacionam a uma mesma estrutura de raciocínio.

Observe: parte1 + parte 2 = todo, logo, se do todo tira-se uma parte sobra outra parte.

Então: todo – parte 1 = parte 2 , e, todo – parte2 = parte 1.Analisando esses aspectos constata-se a importância de relacionar

adição/subtração nas atividades de aprendizagem, pois esses relacionamentos enriquecem as possibilidades de compreensão e favorecem a construção de alternativas de resolução das situações-problema.

A título de exemplo, analisemos algumas situações-problema :

“Observe as flores no jarro: são 6 brancas e 3 vermelhas. Quantas flores há nesse jarro?”Este contexto envolve uma estrutura aditiva com o significado de juntar ou combinar dois grupos para obter um terceiro e insere uma situação estática. O grupo total já está organizado, basta descobrir o quantitativo. O esquema de ação é: parte + parte = todo.

“Numa cesta havia 4 maçãs. Mara colocou 5 laranjas na mesma cesta. Quantas frutas há na cesta, agora?

Também envolve uma estrutura aditiva, mas com o significado de acrescentar o que torna a situação dinâmica. O esquema de ação é igual ao anterior. A situação descrita no problema está ligada à idéia de transformação, ou seja, alteração do estado inicial que nesse caso é positiva. A solução consiste em encontrar o total, isto é, o estado final.

Os problemas desses dois tipos são denominados diretos porque resguardam a ordem da sentença em que as partes somadas têm por resultado o todo.

Há dois casos entre estes problemas simples que podem ser considerados inversos por envolverem uma estrutura aditiva e serem resolvidos pela operação inversa, como por exemplo:

“João começou colecionar figurinhas em um álbum. Hoje ele comprou um pacote com 8 e viu que agora já tem 15 figurinhas. Quantas figurinhas João tinha antes?”

A situação descrita insere uma estrutura aditiva baseada na idéia de acrescentar. Nesta estrutura são conhecidos o grupo total e uma das partes. Para encontrar o valor da outra parte, é comum nessa fase o aluno contar a partir de 8 até chegar a 15. Portanto, ele adiciona em vez de subtrair. Outros, porém, pensam complementando: “quanto falta a 8 para completar 15?”

O esquema de ação referente a este problema é: ? + parte = todo, ou, invertendo, todo – parte = ?. O elemento desconhecido corresponde ao estado inicial e são conhecidos as quantidades correspondentes à transformação e ao estado final.

“Antônio tinha 8 bolinhas de gude. Ganhou outras em um jogo com seus colegas e agora tem 17 bolinhas. Quantas bolinhas de gude Antônio ganhou no jogo?”

Nesse caso, a quantidade desconhecida refere-se ao elemento transformador pois são conhecidos os valores inicial (8) e final (17). Também é um problema inverso que insere uma estrutura aditiva resolvida pela subtração.

A dificuldade que o aluno demonstra ao tentar resolver esses problemas inversos é devida ao fato de que deve coordenar adição/subtração de modo a perceber a ação aditiva e usar a subtrativa para obter a solução. Esta mobilidade implica no uso de pensamento reversível que não é peculiar a crianças nessa fase.

Acessado:http://crv.educacao.mg.gov.br/sistema