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8/16/2019 operacoes-matrizes.pdf

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Operações com matrizes

Adição

A = [aij ], B = [bij] m× n.

A soma de A e B é a matriz C = [cij] do tipo m× n tal que

cij = aij + bij,

1 ≤ i ≤m, 1 ≤ j ≤ n.


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Propriedades da adição de matrizes

a) comutativa

b) associativa

c) existência de elemento neutro: matriz nula

d) existência de simétrico aditivo de A: −

A

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Multiplicação

1. Multiplicação de uma linha por uma coluna

A = [a1 a2 . . . an] B =

b1

b2

...

bn

A.B = a1b1 + a2b2 + · · · + anbn =

ni=1

aibi

Esta operação só está bem definida se A e B tiverem o mesmo número de

elementos!!


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2. Multiplicação de duas matrizes

A =

a11 . . . a1 j . . . a1n...

......

ai1 . . . aij . . . ain...

......

am1 . . . amj . . . amn

B =

b11 . . . b1 j . . . b1p...

......

bi1 . . . bij . . . bip...

......

bn1 . . . bnj . . . bnp

m× n n× p

A.B = [cij]

m× p


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A entrada (i, j), ci j , de AB é obtida multiplicando a linha i de A pela

coluna j de B.

A =

a11 . . . a1 j . . . a1n...

......

ai1 . . . aij . . . ain...

......

am1 . . . amj . . . amn

B =

b11 . . . b1 j . . . b1p...

......

bi1 . . . bij . . . bip...

......

bn1 . . . bnj . . . bnp

cij = ai1b1 j + · · · + ainbnj


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Multiplicação de uma matriz por um escalar (real ou

complexo)

A = [aij ] m× n, α escalar

αA = [ãij]

é uma matriz do tipo m× n tal que

ãij = α aij,

1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n.


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Propriedades da multiplicação por um escalar

A, B m× n, C n× p, α, β escalares

a) α(βA) = (αβ)A;

b) (α + β)A = αA + βA;

c) α(A + B) = αA + αB;

d) A(αC ) = α(AC ) = (αA)C .


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Potência de uma matriz quadrada

Ap

=AAp−1

A0 = I por convenção

Propriedades:

• (Ap)q = Apq

• ApAq = Ap+q

NOTA: Em geral (AB)p

= Ap

B

p

.


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Propriedades da multiplicação de matrizes

a) associativa

b) distributiva à direita

c) distributiva à esquerda

d) existência de elemento neutro à esquerda e à direita: I m e I n (matriz

identidade)

A multiplicação de matrizes não é comutativa!!


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TRANSPOSTA DE UMA MATRIZ

Seja A = [aij] uma matriz do tipo m × n. A matriz transposta de A, At,

é a matriz do tipo n × m cuja entrada ( j, i) é aij .

Exemplos

1– A =

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12

At =

1 5 92 6 10

3 7 11

4 8 12

.

2– C =

1−1

C t =

1 −1

.


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3– B =

2 2 2 2

Bt =

2

2

2

2

.

4– D =

1 2 3

2 3 4

3 4 5

Dt =

1 2 3

2 3 4

3 4 5

.

5– E =

0 1

1 0

E t =

0 1

1 0

.


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Resulta facilmente da definição que, para qualquer matriz A, (At

)t

= A.

MATRIZES SIMÉTRICA e ANTI-SIMÉTRICA

Seja A = [aij] uma matriz quadrada.

• A é simétrica se At = A, ou seja, se ∀i, j a ji = aij ;

• A é anti-simétrica se At = −A, ou seja, se ∀i, j a ji = −aij .


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Observações

Resulta imediatamente da definição que:

uma matriz simétrica tem elementos diagonais arbitrários e elementos

opostos em relação à diagonal principal (correspondem às entradas (i, j) e

( j, i) da matriz) iguais;

uma matriz anti-simétrica tem elementos diagonais nulos e elementos

opostos em relação à diagonal principal simétricos.


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Exemplo

A matriz A =

−1 2 3

2 0 4

3 4 1

é simétrica

e a matriz B =

0 2 3

−2 0 −4−3 4 0

é anti-simétrica, como facilmente se

comprova calculando as transpostas respectivas.


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Propriedades da transposição

A, B m× n, C n× p, α escalar

a) (AT

)T

= A;

b) (A + B)T = AT + BT ;

c) (AC )T = C T AT ;

d) (αA)T = αAT .

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