Faculdade de Engenharia Investigao Operacional Prof. Doutor Eng Jorge Nhambiu 1 Faculdade de Engenharia Investigao Operacional Prof. Doutor Eng Jorge Nhambiu 2 Aula 2 Definio de Problemas de Investigao Operacional Construo de um modelo matemtico de PL. Programao Matemtica(PM) e Programao Linear(PL). Exemplos clssicos de PL. Faculdade de Engenharia Investigao Operacional Prof. Doutor Eng Jorge Nhambiu 3 Problemas de Investigao Operacional ProgramaoMatemtica Programao Linear Programao No Linear Problemas de Investigao Operacional Faculdade de Engenharia Investigao Operacional Prof. Doutor Eng Jorge Nhambiu 4 Oque soproblemas de Investigao Operacional ? Problemas de Investigao Operacional Os problemas de Investigao Operacional so problemas de maximizao ou minimizao de funes de variveis, designadas por objecto,que dependem de um nmero finito de variveis. Estas variveis podem ser independentes umas das outras, ou podem estar relacionadas atravs de uma ou mais restries. Faculdade de Engenharia Investigao Operacional Prof. Doutor Eng Jorge Nhambiu 5 Oque soproblemas de Programao Matemtica ? Problemas de ProgramaoMatemtica Os problemas de Programao Matemtica so uma classe particular de problemas de Investigao Operacional, que surgem na dcada de quarenta, aplicados nos campos da organizao e da gesto econmica, em que o objectivo e as restriesso dados como funes matemticas e relaes funcionais. Faculdade de Engenharia Investigao Operacional Prof. Doutor Eng Jorge Nhambiu 6 Programao Matemtica Planeamento de actividades O problema pode ser representado por um modelo matemtico Programao Matemtica Faculdade de Engenharia Investigao Operacional Prof. Doutor Eng Jorge Nhambiu 7 maximizarf (x1, x2, , xN ) (minimizar) satisfazendo g1 (x1, x2, , xN ) {, =, }b1 gM (x1, x2, , xN ) {, =, } bM onde: x1, x2, , xN -N variveis de deciso, f(x1,

x2, , xN )- funo objectivoe g1 , g2, , gM -M restries do modelo Modelo matemtico do problema de Programao Matemtica Faculdade de Engenharia Investigao Operacional Prof. Doutor Eng Jorge Nhambiu 8 Classificao dos problemas de Programao Matemtica Os problemas de Programao Matemtica podem ser classificados em: lineares: se f (x1, x2, , xN) , gi (x1, x2, , xN) , i=1M, so funes lineares PROGRAMAO LINEAR no lineares: se alguma das relaesf (x1, x2, , xN), gi (x1, x2, , xN) , i=1M, for uma funo no linear PROGRAMAO NO LINEAR Faculdade de Engenharia Investigao Operacional Prof. Doutor Eng Jorge Nhambiu 9 Oque soproblemas de Programao Linear? Programao Linear Os problemas de Programao Linear so uma classe particular de Problemas de Programao Matemtica (PM), onde a funo objectivo e as restries podem ser representadas por funes lineares. A Programao Linear determina o planeamento ptimo de actividades, ou seja, um plano ptimo que represente a melhor soluo entre todas as alternativas possveis. Faculdade de Engenharia Investigao Operacional Prof. Doutor Eng Jorge Nhambiu 10 Programao Linear Planeamento de actividades O problema representado matematicamente pelo modelo de PM onde todas as funes f (x1, x2 , , xN ), gi(x1, x2 , , xN ), i=1Mso lineares. Programao Linear Faculdade de Engenharia Investigao Operacional Prof. Doutor Eng Jorge Nhambiu 11 maximizarf (x1, x2, , xN ) (minimizar) satisfazendo g1 (x1, x2, , xN ) {, =, }b1 gM (x1, x2, , xN ) {, =, } bM onde: x1, x2, , xN - variveis de deciso, f(x1,

x2, , xN )- funo objectivo LINEAR , g1 , g2, , gM - restries do modelo LINEARES Modelo matemtico do problema de Programao Linear Faculdade de Engenharia Investigao Operacional Prof. Doutor Eng Jorge Nhambiu 12 Exemplo Prottipo A empresa Nova Linha produz artigos de vidro de alta qualidade: janelas e portas, em trs seces de produo:Seco de Serralharia: para produzir as estruturas de alumnio; Seco de Carpintaria: para produzir as estruturas de madeira; Seco de Vidro e Montagem: para produzir vidro e montar as portas e janelas. Devido diminuio dos lucros, o gerente geral decidiu reorganizar a produo, e prope produzir s2 produtos que tm uma melhor aceitao entre os clientes. Estes produtos so: Produto 1: uma porta de vidro com estrutura de alumnio; Produto 2: uma janela grande com estrutura de madeira. Faculdade de Engenharia Investigao Operacional Prof. Doutor Eng Jorge Nhambiu 13 Exemplo Prottipo O Departamento de Marketing concluiu que a empresa pode vender tanto de qualquer dos dois produtos, tendo em conta a capacidade de produo disponvel. Como ambos os produtos partilham a capacidade de produo da seco N3, o gerente solicitou ao Departamento de Investigao Operacional da empresa a resoluo deste problema. O Departamento de IO para realizar a formulao do problema, procurou os seguintes dados: Acapacidade deproduo por minuto de cada seco a ser utilizada na produo de ambos os produtos; Acapacidade deproduo por minuto de cada seco, a ser utilizada para produzir uma unidade de cada produto; Os lucros unitrios para cada produto. Faculdade de Engenharia Investigao Operacional Prof. Doutor Eng Jorge Nhambiu 14 Exemplo Prottipo Estes dados esto resumidos na seguinte tabela: Capacidade utilizada por unidade de produo Seco NProduto 1Produto 2Capacidade disponvel 1104 20212 33218 Lucro unitrio (em milhares de Mt) 35 Faculdade de Engenharia Investigao Operacional Prof. Doutor Eng Jorge Nhambiu 15 Maximizar Z =3x1+5x2,sujeito a x 1

4 2x 2 12 3x1+2x 2

18 x1 0, x2 0 x1 , x2 - o nmero de unidades do produto 1 e2produzidas por minuto. Z o lucro total por minuto. Exemplo Prottipo: Formulao Faculdade de Engenharia Investigao Operacional Prof. Doutor Eng Jorge Nhambiu 16 6 4 2 x1 2 4 6 8 x2 x1 = 4 x2 = 6 43 x 1+ 2 x 2 18 (x1 , x2) esto situados abaixo ou sobre arecta 3x1 + 2x2 =18I. Identificar os valores de(x1, x2)

que satisfaam todas as restries (regio de admissibilidade) Regiode admissibilidade Exemplo Prottipo: Soluo grfica (I) 1x1 0, x2 0 (x1 , x2) esto no 1 Quadrante 2x 14 (x1 , x2)

esto situados esquerda ou sobre a rectax 1= 4 32 x 2 12 x 2 6 (x1 , x2) esto situados abaixo ou sobre arectax 2= 6 Faculdade de Engenharia Investigao Operacional Prof. Doutor Eng Jorge Nhambiu 17 6 42x12468x2Regiodassoluesadmissveis(2,6) a soluo II. Determinar a soluoNova Linha deve fabricar duas portas (Produto 1) e seis janelas (Produto 2) por minuto obtendo um lucro de 36 Mil Mts por minuto.Exemplo Prottipo: Soluo grfica (II) Afuno objectivoZ = 3x1+ 5x2 define uma rectaque pode ser deslocada paralelamente no sentido do seu gradiente (garantindo ocrescimento de Z), at se tornar tangente regio admissvel.Neste caso o ponto de tangncia (2,6) optimiza a funo objectivo, pelo que a soluo pretendida x1 = 2,x2 = 6. O valor ptimo 36. Faculdade de Engenharia Investigao Operacional Prof. Doutor Eng Jorge Nhambiu 18 Capacidade de produo das 3 secesRecursos: MProdutos a produzir: 2 produtosTotal de produtos a produzir por minutos:x1 e x2

Lucro por minuto:Z Actividades: NNvel da actividade j : xj Medida da vantagem:Z Exemplo Prottipo: 3 recursos limitados a distribuir entre 2 actividades Faculdade de Engenharia Investigao Operacional Prof. Doutor Eng Jorge Nhambiu 19 Exemplo Prottipo (II) AempresaFiltrosdeNapipineLtd,dedica-seaproduodetrs tipos de filtros para automveis a saber: filtros de leo, de gasolina e dear.Amanufacturadecadafiltrorequeroprocessamentoem cadaumadasduasmquinasqueaempresapossui,queesto disponveis40horasporms.Otempodeprocessamento(em horas)eolucrounitriodecadaFiltrosobressalente(emMt) apresenta-se na tabela seguinte: Faculdade de Engenharia Investigao Operacional Prof. Doutor Eng Jorge Nhambiu 20 Exemplo Prottipo (II) Capacidade utilizada por unidade de produo Mquina Filtros de leo Filtros de ar Filtros de gasolina 10,020,030,05 20,050,020,04 Lucro unitrio (em Mt) 250200150 O problema consiste em determinar as quantidades de cada tipo defiltrosaproduzirpormsdemodoaobterumlucro mximo. Faculdade de Engenharia Investigao Operacional Exemplo Prottipo (II) Prof. Doutor Eng Jorge Nhambiu 21 Maximizar Z =250x1+200x2+150x 3 sujeito a: 0,02 x 1 +0,03x 2 +0,05x 3 40 0,05 x 1 +0,02x 2 +0,04x 3 40 x1 0, x2 0 , x3 0 x1 , x2, x3 - o nmero filtros de leo, ar e gasolina . Z o lucro total mensal. Faculdade de Engenharia Investigao Operacional Prof. Doutor Eng Jorge Nhambiu 22 Capacidade de produo das 2 mquinasRecursos: MProdutos a produzir: 3 produtosTotal de produtos a produzir por ms:x1 ,x2e x3

Lucro por ms:Z Actividades: NNvel da actividade j : xj Medida da vantagem:Z Exemplo Prottipo (II): 2 recursos limitados a distribuir entre 3 actividades Faculdade de Engenharia Investigao Operacional Prof. Doutor Eng Jorge Nhambiu 23 O modelo de PL. Utilizao do recurso por actividade Actividades Recursos 1 2 ... NTotal de recurso disponvel 1 2 . . . M a11 a12...a1N

. a21 a21...a2N

aM1aM2...aMN

b1 b2 . ., . bM Lucro unitrioc1 c2... cNNvel de actividade x1 x2... xNOsparmetrosdomodelodePLparaumproblemaondeesto envolvidasNactividadeseMrecursospodemserdefinidos utilizando a seguinte tabela: onde ai j ,

biecjso constantes,xj variveis de deciso ( i=1,2,,M, j=1,2,,N ) Faculdade de Engenharia Investigao Operacional Prof. Doutor Eng Jorge Nhambiu 24 Maximizar(minimizar)Z=c1 x1 +c2 x2 + + cN xN sujeito aa11 x1 + a12 x2 + +a1 jxj+ + a1N xN { , =, }b1 a21 x1 + a22 x2 + +a2 jxj+ + a2N xN{, =, }b2 ai 1 x1 + ai 2 x2 + +ai jxj + + ai N xN{, =, }bi aM 1 x1 +aM 2 x2 + + aM jxj+ + aM N xN{, =, } bM x1,

x2,, xj ,, xN 0onde ai j ,

biecj( i=1,2,,M, j=1,2,,N )so constantes e em cada restrio apenas se verifica uma e s uma das relaes {, =, }. coluna j linha i Funo objectivo Condies de no negatividade restries Formulao Matemtica do Modelo de PL. Faculdade de Engenharia Investigao Operacional Prof. Doutor Eng Jorge Nhambiu 25 Exemplos clssicos de PL I- TRANSPORTE: Suponha que um sistema de distribuio alimenta N armazns a partir de M grandes unidades produtoras. Conhecendo os custos de transporte, a procura prevista para cada armazm e as capacidades (mximas) de produo de cada unidade, determinar o programa de distribuio com menor custo. II- COMPOSIO: Conhecendo os contedoscalricosevitamnicosde diversos alimentos, bem como os seus preos, optimizar a composio da dieta a adoptar de modo a minimizar o seu custo e a satisfazer nveis mnimos de calorias evitaminas. Faculdade de Engenharia Investigao Operacional Prof. Doutor Eng Jorge Nhambiu 26 Exemplos clssicos de PL III- PRODUO: Suponhaqueumafbrica capaz de produzirN produtos distintosutilizando M recursos limitados, os quais podem ser : horas de trabalho, tempos de operao de vrias mquinas, matrias primas, servios, etc. Conhecendo o lucro unitrio, as quantidades de recurso utilizada para cada produto, e as quantidades de recursos disponveis, determinar o plano ptimo de produo (com maior lucro).Faculdade de Engenharia Investigao Operacional Prof. Doutor Eng Jorge Nhambiu 27 OsproblemasdeProgramaoLinearpodemserformuladosde acordocomummodelomatemticogeral,queconsistena determinao de valores no negativos para as variveis x1, x2,, xj ,, xN,asatisfazerumsistemadeMequaes(inequaes)linearesque maximizem ou minimizem uma funo (real) linear dessas variveis. O modelo de PL: Concluses