Óptica 02/2007

Óptica Geométrica:Óptica Geométrica:Óptica de raios com matrizesÓptica de raios com matrizes

UFRJ - IF

Aula 14

Adriano Henrique de Oliveira Aragão

Prof. Paulo H. S. RibeiroProf. Paulo H. S. Ribeiro

Sumário

• Ótica Geométrica: postulados

• A equação do raio• Princípio de Fermat

• Equações de Hamilton

Caracterização geométrico-óptica de componentes óticos

• Matrizes de raios

Óptica Quântica: explica a maioriados fenômenos ópticos

Óptica Eletromagnética:tratamento clássico mais completo sobre a luz

Óptica Ondulatória:aproximação escalar para a Óptica Eletromagnética

Óptica de Raios: Quando as ondas de luz passam porobjetos de dimensões muito maiores que o seu comprimento de onda.

O Comportamento da luz pode ser descrito por raios obedecendo certas leis geométricas

Postulados da Óptica de Raios (segundo Saleh & Teich)

1. Luz viaja na forma de raios. Os raios são emitidos por uma fonte de luz e podem ser observados quando alcançam um detector óptico.

2. Um meio óptico é caracterizado pelo seu índice de refração n=c/v, onde v (c) é a velocidade da luz no meio (vácuo). O tempo que a luz leva para percorrer uma distância d é t=d/v=nd/c. A distância nd é conhecida como caminho óptico.

3. Em um meio não homogêneo, n(r) é função da posição r=(x,y,z). O comprimento do caminho óptico ao longo de um dado traçado entre dois pontos A e B é:

,)(∫B

Adsrn

+ Princípio de Fermat

onde ds é o elemento diferencial de comprimento ao longo do caminho.

Princípio de Fermat

Raios ópticos viajando entre dois pontos A e B seguem um caminho tal que o tempo do trajeto entre eles é um extremo relativo aos caminhos vizinhos. Matematicamente,

∫ =B

Adsrn ,0)(δ

Usualmente, o caminho óptico é um mínimo, caso no qual,

“De todos os caminhos possíveis para ir de um ponto a outro, a luz segue aquele que é percorrido no tempo mínimo”.

Meio homogêneo (n=cte): caminho ótico mínimo corresponde à distância mínima -> Propagação retilínea da luz entre 2 pontos.

P.F. leva a lei da reflexão e da refração

0)( 21 =+

dxPBnAPnd

⇒2211 sinsin

Onde está o ponto P que minimiza o caminho ótico [AP]+[PB]?

θθ nn =

Ainda o Princípio de Fermat:

∫∫ == dssrncv

dsT )]([1

)()()( srsrsr δ+→

∫ += dsnndsc

T δδδ 1Considere uma variação no caminho:

Calcule

usando rnn δδ ⋅∇=

dsrd

dsrddsrdrdrdds δδδ ⋅≈−+= 22 )()(

,

e integrando por partes, obtém-se 0=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−∇

dsrdn

dsdn

A equação do raio

0=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−∇

dsrdn

dsdn

Solução dessa equação + condições de contorno = trajetórias representando um grupo (feixe) de raios.

ds é um comprimento diferencial ao longo da trajetória do raio

Trajetória descrita por x(s), y(s) e z(s), sendo que r(s) é o vetor formado com essas componentes.

( ) ( ) ( )222 dzdydxds ++=

Equação paraxial do raio: ds ≈ dzxn

dzdxn

dzd

∂∂

≈⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Formulações equivalentes:

Equação Eikonal: O eikonal S(r) é uma função da posição tal que

• suas superfícies equiníveis são ortogonais em todo lugar aos raios óticos,• os comprimentos do caminho ótico ao longo de todos os raios de uma superfície equinível para outra são iguais.• os raios estão ao longo do gradiente de S(r).

)()( 22 rnrS =∇

)()()()( ASBSdsrSdsrnB

A

B

A−=∇= ∫∫

Equação eikonal é equivalente ao princípio de Fermat!

Formulação Hamiltoniana: Defina uma hamiltoniana

( ) 2222 /),,();,,,( yxyx cfzyxnzyxH σσσσ −−−=

Onde: Usualmente representamos a distribuição de luz sobre um plano z=cte especificando o ponto (x,y) e os ângulos (θx,θy) nos quais os raios interceptam o plano.

(θx,θy) é o ângulo que o raio faz com o plano (y,x)-z.

λσ

σ yxyx

,,

sin≡ e λ é o comprimento de onda da luz no meio.

e usex

Hdzdx

σ∂∂

=xH

dzd x

∂∂

−=σ

Componentes Ópticos:

Espelho Plano: Reflete raios originados de um ponto tal que os raios refletidos parecem se originar de um outro ponto atrás do espelho, chamado imagem.

Espelho Parabolóide: Foca todos raios incidentes paralelos ao seu eixo em um mesmo ponto, o chamado foco.

Espelho Esférico:

s= distância do objetos’= distância da imagemr= raio de curvatura

( )( )rs

sr−−

='

sinsin

2

1

θθ

Aberração esférica! Diferentes raios não vão para o mesmo foco

Aproximação paraxial:frss12

'11

==+

Interface dielétrica curvada:

s= distância do objetos’= distância da imagemr= raio de curvatura

( )( ) 1

2

2

1 'sinsin

nn

rsrs

+−

=θθ

Aberração esférica também!

Aproximação paraxial:r

nnsn

sn 1221

'−

=+

Lentes delgadas: Para uma lente com índice n e raios de curvaturas r1 e r2, as distâncias das imagens e do objeto estão relacionadas por

( )frr

nss

1111'

11

21

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=+

Combinação de lentes delgadas: a distância focal f de qualquer número de lentes delgadas (todas em contato mútuo) é

…+++=321

1111ffff

Caracterização geométrico-óptica de componentes óticos

1) Secções do espaço livre (raios paraxiais!!)

xn

dzdxn

dzd

∂∂

≈⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

yn

dzdyn

dzd

∂∂

≈⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Para n constante, 0),(2

2

=dz

yxd-> raios são linhas retas

Se um raio intercepta o plano z=z1 em (x1,y1) fazendo ângulos (θx1,θy1) com os planos y-z e x-z, então o raio irá interceptar o plano z=z2=z1+d em (x2,y2) fazendo ângulos (θx2,θy2), onde

dxx x112 θ+= dyy y112 θ+=

12 xx θθ = 12 yy θθ =

dyy y112 θ+=12 yy θθ =

2) Lentes delgadas: Para uma lente delgada de foco em f,

fx

xx1

12 −= θθ12 xx =

Matriz de transferência de raios

Na aproximação paraxial, a relação entre o ponto de entrada e o de saída de um sistema ótico é linear, sendo que de forma geral,podemos escrever

112 θBAyy += 112 θθ DCy +=

O que nos permite escrever

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

1

1

2

2

θθy

DCBAy

Essa matriz caracteriza a transformação que o sistema ótico faz nos raios incidentes

Exemplos:

1) Reflexão em um espelho plano:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

1001

M

2) Propagação no espaço livre:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

101 d

M

3) Reflexão em um espelho esférico:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡= 12

01

rM

4) Refração em uma superfície esférica

( )⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡−

−=2

1

2

12

01

nn

rnnnM

5) Refração em uma superfície plana:

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡=

2

1001

nnM

6) Transmissão através de uma lente delgada

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡−= 11

01

fM

Uma das vantagens dessa técnica é que podemos decompor um sistema ótico complicado em uma multiplicação de matrizes mais simples:

= M

...M1 M2 Mn

onde

12MMMM N=

Matrizes de raios para feixes Gaussianos

O formalismo de matrizes também é útil para descrever feixes Gaussianos. Se nós temos um feixe Gaussiano de comprimento de onda λ, raio de curvatura R e cintura do feixe w, é possível definir um parâmetro complexo para o feixe q através de:

2

11wi

Rq πλ

−=

Esse feixe pode ser propagado através de um sistema ótico com uma matriz dada usando a equação

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡11

12 qDCBA

kq

Fim!

Pausa para café e depois, Gabriela entra em ação.