Optimização da configuração de reforços numa classe de ... · Figura 4.9: Parâmetros de...

Optimização da configuração de reforços numa classe de painéis planos considerando efeitos de plasticidade

Segismundo Maria Themudo de Castro de Bragança

Dissertação para obtenção do Grau em Mestre em

Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica

Júri

Presidente: Prof. Rogério Caldas Pinto

Orientadores: Prof. José Arnaldo Leite Miranda Guedes

Prof. Hélder Carriço Rodrigues

Vogais: Prof. João Folgado

Maio de 2012

Índice:

Resumo...................................................................................................................................................iv

Abstract....................................................................................................................................................vLista de Figuras.......................................................................................................................................vi

Lista de Tabelas.....................................................................................................................................viiiLista de Abreviaturas...............................................................................................................................ix

Lista de Símbolos.....................................................................................................................................x

1. Introdução..........................................................................................................................................1

1.1 - Painéis Sanduíche: Aplicações e Geometrias.........................................................................1 1.2 - Painéis OpenCell: Motivo e Configurações..............................................................................2

1.3 - Motivações e Objectivos..........................................................................................................3 1.4 - Resultados Esperados.............................................................................................................3

1.5 - Estrutura do Trabalho...............................................................................................................3

2. Fundamento Teórico.........................................................................................................................5

2.1 - Teoria de Placas: Reissner-Mindlin.........................................................................................5 2.2 - Teoria da Plasticidade.............................................................................................................8

2.2.1 - Microplasticidade.....................................................................................................8 2.2.2 - Efeito de Bauschinger, histerese e influência do tempo........................................10

2.2.3 - O fenómeno da plasticidade..................................................................................12 2.2.4 - Encruamento: isotrópico e cinético........................................................................13

2.2.5 - Modelos de plasticidade.........................................................................................14 2.2.6 - Critérios de plasticidade: von Mises.......................................................................15

2.2.7 - Condição de normalidade......................................................................................18 2.2.8 - Condição de consistência......................................................................................20

2.2.9 - Encruamento isotrópico linear................................................................................20 2.3 - Optimização...........................................................................................................................21

2.3.1 - Introdução..............................................................................................................222.3.2 - Classificação de algoritmos....................................................................................23

2.3.3 - SQP........................................................................................................................24 2.3.4 - Genético.................................................................................................................28

2.4 - Método de Newton-Raphson.................................................................................................30

3. Formulação do Problema................................................................................................................32

3.1 - Geometria da célula...............................................................................................................323.2 - Função objectivo....................................................................................................................32

3.3 - Variáveis de projecto..............................................................................................................33 3.3.1 - Parâmetro α...........................................................................................................34

3.4 - Constrangimentos..................................................................................................................35

i

3.5 - Placa total e propriedades.....................................................................................................36 3.6 - Processo de optimização.......................................................................................................37

4. Software............................................................................................................................................39

4.1 - Matlab....................................................................................................................................39

4.1.1 - Introdução...............................................................................................................39 4.1.2 - Algoritmo fmincon...................................................................................................39

4.1.3 - Algoritmo genético..................................................................................................43 4.2 - Ansys.....................................................................................................................................45

4.2.1 - Introdução..............................................................................................................45 4.2.2 - Análise não-linear...................................................................................................46

4.2.3 - Modelo de plasticidade...........................................................................................46 4.2.4 - Descrição do processo...........................................................................................47

4.2.5 - Geometria...............................................................................................................49 4.2.6 - Elemento.................................................................................................................50

4.2.7 - Malha......................................................................................................................51 4.2.8 - Condições fronteira e carregamento......................................................................52

5. Resultados e Discussão.................................................................................................................54

5.1 - Caso 1 - Análise linear...........................................................................................................54

5.1.1 - Energia elástica: Comparação entre células..........................................................55 5.1.2 - Energia elástica (α, θ, b).........................................................................................58

5.2 - Caso 2 - Análise não-linear....................................................................................................59 5.2.1 - Extensão plástica equivalente (θ, b).......................................................................60

5.2.2 - Extensão plástica equivalente (α, θ, b)...................................................................61 5.2.3 - Trabalho plástico (θ, b)............................................................................................63

5.2.4 - Trabalho plástico (α, θ, b)........................................................................................64 5.3 - Caso 3 - Condições fronteira: E-E-L-L...................................................................................65

5.3.1 - Extensão plástica equivalente / Trabalho plástico (α, θ, b)....................................66 5.4 - Caso 4 - Condições fronteira: E-L-A-A...................................................................................68

5.4.1 - Extensão plástica equivalente (α, θ, b)..................................................................68 5.4.2 - Influência da pressão: Extensão plástica equivalente (α, θ, b) .............................70

5.4.3 - Análise linear: energia elástica em E-L-A-A ..........................................................71

6. Conclusão........................................................................................................................................74

7. Trabalho Adicional...........................................................................................................................76

Bibliografia...........................................................................................................................................77

Anexos..................................................................................................................................................80 Anexo I - Linha de código fmincon.........................................................................................80

ii

Anexo II - Linha de código algoritmo genético........................................................................81 Anexo III - Geometria da peça.................................................................................................82

Anexo IV - Códigos: Matlab.....................................................................................................86 Anexo V - Códigos: Ansys.......................................................................................................90

iii

Resumo:

O objectivo deste trabalho é fazer uma optimização estrutural a um painel do tipo OpenCell, um tipo

de painel que pretende ser uma alternativa viável aos painéis sanduíche. O painel consiste numa repetição regular de células hexagonais.

Serão feitos dois conjuntos de testes de optimização: o primeiro consiste numa análise linear da placa

no regime elástico, e comparação subsequente a uma placa formada por células com diferentes geometrias; o segundo conjunto de testes consiste numa análise não-linear de uma placa quando

sujeita a um carregamento que a leva a uma deformação plástica.

Este processo foi obtido através da interface entre o Ansys, um software baseado no modelo dos elementos finitos, e o Matlab, que contém os algoritmos de optimização utilizados. Foi, então,

desenvolvido um modelo computacional que fizesse a interface entre ambos os softwares.

O principal objectivo deste trabalho é a análise da influência das variáveis de projecto no comportamento da placa, e estudar a sua alteração quando o painel passa de regime elástico ao

plástico.

Durante o trabalho são utilizados vários parâmetros e indicadores, de modo a estudar o comportamento da placa em diferentes situações, de modo a que os resultados obtidos não estejam

limitados a uma aplicação específica da placa, mas simulem várias solicitações a que esta pode estar sujeita.

Palavras-chave: OpenCell, Optimização estrutural, Plasticidade, Painéis sanduíche, Matlab, Ansys

iv

Abstract:

The purpose of this work is the optimization of an OpenCell type panel. This kind of plate is presented

as an alternative to the well known sandwich panels. It consists in a regular repetition of a hexagonal shaped cell.

Two sets of optimization processes are performed: the first, a linear static analysis of a plate and

subsequent comparison to a plate composed of cells with different geometry; the second, a non-linear analysis of a plate when subject to a load that caused plastic deformation.

The optimization process is made through the interface between Ansys, a FEA based software, and

Matlab, which has the optimization algorithms used. A computational model that would provide this interface is also developed.

The main focus of this work is the influence of the design variables in the plate behavior, and to study

how their optimal values change when going from the elastic to the plastic regime.

During the course of this work several parameters and indicators are used, in order to study and analyze the behavior of the plate in different situations, so that the scope of the obtained results isn’t

limited to a specific working situation of the plate, thereby simulating different types of applications.

Keywords: OpenCell, Structural optimization, Plasticity, Sandwich panels, Matlab, Ansys

v

Lista de figuras:

Figura 1.1: Configurações de placas do tipo sanduíche.........................................................................2Figura 1.2: Configurações de painéis do tipo OpenCell..........................................................................2

Figura 2.1: Representação esquemática de uma placa..........................................................................5Figura 2.2: (i) Deslocamentos na teoria de Kirchoff-Love (ii) Deslocamentos na teoria de Reissner-

Mindlin......................................................................................................................................................6Figura 2.3: Deformação elástica.............................................................................................................8

Figura 2.4: Deformação plástica.............................................................................................................9Figura 2.5: Curva tensão-deformação: tensão de cedência...................................................................9

Figura 2.6: Histerese.............................................................................................................................10Figura 2.7: Efeito de Bauschinger..........................................................................................................11

Figura 2.8: Influência do tempo.............................................................................................................11Figura 2.9: Curva tensão-deformação: deformação elástica e plástica................................................12

Figura 2.10: Curva tensão-deformação: encruamento nulo..................................................................13Figura 2.11: Encruamento isotrópico.....................................................................................................13

Figura 2.12: Encruamento cinético........................................................................................................14Figura 2.13: (i) Modelo rígido perfeitamente elástico (ii) Modelo perfeitamente plástico (iii)

Encruamento com elasticidade nula (iv) Encruamento linear................................................................14Figura 2.14: (i) Encruamento multi-linear (ii) Encruamento não-linear.................................................15

Figura 2.15: Função de von Mises no espaço de Westergaard ..........................................................17Figura 2.16: Superfície de cedência.....................................................................................................19

Figura 2.17: Fluxograma: Processo geral de optimização...................................................................22Figura 2.18: Método de Newton-Raphson............................................................................................30

Figura 3.1: Célula do trabalho..............................................................................................................32Figura 3.2: (i) Variável de projecto b (ii) Variável de projecto θ............................................................33

Figura 3.3: Lâmina da célula: variável de projecto α............................................................................34Figura 3.4: Relações geométricas entre as variáveis de projecto........................................................35

Figura 3.5: Violação do constrangimento não-linear............................................................................36Figura 3.6: Placa total...........................................................................................................................37

Figura 3.7: Fluxograma - processo de optimização do trabalho...........................................................38Figura 4.1: Fluxograma - processo de optimização de algoritmo genético..........................................44

Figura 4.2: Exemplo de evolução de um algoritmo genético................................................................45Figura 4.3: (i) Relação linear entre força e deslocamento (ii) Relação não-linear entre força e

deslocamento........................................................................................................................................46Figura 4.4: Curva tensão-deformação utilizada no trabalho.................................................................47

Figura 4.5: Curva tensão-deformação: encruamento multi-linear.........................................................48Figura 4.6: Relações geométricas entre as variáveis de projecto........................................................49

Figura 4.7: Célula do trabalho: key-points............................................................................................50Figura 4.8: Elemento Shell281.............................................................................................................50

Figura 4.9: Parâmetros de definição da malha.....................................................................................51Figura 4.10: Malha definida..................................................................................................................52

Figura 5.1: Placa com constragimentos e carregamento (E-E-E-E).....................................................55Figura 5.2: Célula quadrangular...........................................................................................................55

vi

Figura 5.3: (i) Célula hexagonal óptima (ii) Célula quadrangular óptima..............................................57Figura 5.4: (i) Deslocamento com célula hexagonal (ii) Deslocamento com célula quadrangular.......57

Figura 5.5: Convergência algoritmo fmincon........................................................................................59Figura 5.6: (i) SRAT em configuração não-óptima (ii) SRAT em configuração óptima.........................62

Figura 5.7: (i) Convergência algoritmo genético sem constrangimento não-linear (ii) Convergência algoritmo genético com constrangimento não-linear.............................................................................62

Figura 5.8: Curva tensão-deformação: trabalho plástico......................................................................63Figura 5.9: (i) Deslocamento em configuração não-óptima (ii) Deslocamento em configuração

óptima....................................................................................................................................................65Figura 5.10: Convergência algoritmo genético.....................................................................................65

Figura 5.11: Placa com constrangimentos e carregamento (E-E-L-L)..................................................66Figura 5.12: (i) SRAT em configuração não-óptima (ii) SRAT em configuração óptima.......................67

Figura 5.13: (i) Célula óptima caso 2.2 (ii) Célula óptima caso 3.1......................................................67Figura 5.14: Placa com constrangimentos e carregamento (E-A-L-L).................................................68

Figura 5.15: (i) SRAT em configuração óptima (ii) SRAT em configuração não-óptima.......................69Figura 5.16: (i) Célula óptima caso 2.2 (ii) Célula óptima caso 3.1 (iii) Célula óptima caso 4.1...........70

Figura 5.17: (i) Célula óptima caso 1.2 (ii) Célula óptima caso 4.3......................................................72Figura 5.18: (i) Deslocamento em 1.2 (ii) Deslocamento em 4.3.........................................................72

Figura 5.19: (i) Célula óptima caso 4.3 (ii) Célula óptima caso 4.2......................................................73

vii

Lista de tabelas:

Tabela 3.1: Propriedades da placa.......................................................................................................37

Tabela 4.1: Análise de convergência....................................................................................................51Tabela 4.2: Divisões da malha..............................................................................................................52

Tabela 5.1: Energia elástica - θ, b (E-E-E-E)........................................................................................56Tabela 5.2: Energia elástica - α, θ, b (E-E-E-E)....................................................................................58

Tabela 5.3: Extensão plástica equivalente - θ, b (E-E-E-E)..................................................................60Tabela 5.4: Extensão plástica equivalente - α, θ, b (E-E-E-E)..............................................................61

Tabela 5.5: Trabalho plástico - θ, b (E-E-E-E).......................................................................................64Tabela 5.6: Trabalho plástico - α, θ, b (E-E-E-E)...................................................................................64

Tabela 5.7: Extensão plástica equivalente / Trabalho plástico - α, θ, b (E-E-L-L).................................66Tabela 5.8: Extensão plástica equivalente - α, θ, b (E-A-L-L)...............................................................69

Tabela 5.9: Extensão plástica equivalente a diferentes pressões - α, θ, b (E-A-L-L)............................71Tabela 5.10: Energia elástica - α, θ, b (E-A-L-L)...................................................................................71

viii

Lista de abreviaturas:

.txt - Ficheiro de Texto

BFGS - Broyden-Fletcher-Goldfarb-ShannoBISO - Bilinear isotropic

DOS - Disk Operating SystemE-A-L-L - Encastrado - Apoiado - Livre - Livre

E-E-E-E - Encastrado - Encastrado - Encastrado - EncastradoE-E-L-L - Encastrado - Encastrado - Livre - Livre

EPEQ - Equivalent Plastic Strain (Extensão plástica equivalente)KKT - Karush-Kuhn-Tucker

KP - Key-PointQP - Quadratic Programming

SLP - Sequential Linear ProgrammingSQP - Sequential Quadratic Programming

SRAT - Stress Ratio

ix

Lista de símbolos:

A,B,C,D Parâmetros de malha da célula

[A] Matriz dos gradientes dos constrangimentos de desigualdade

a Comprimento da célula

Ak Matriz active set

AP Área da placa

b Variável de projecto - dimensão do orifício

[C] Matriz de rigidez elástica

c Comprimento inferior da lâmina

D[ ] Matriz Constitutiva

[D(k ) ] Matriz de correcção

d (k ) Direcção de busca

dASk Direcção de busca de minimização

dp Incremento da deformação plástica efectiva

dε p Incremento da deformação plástica

dr(p) Função de encruamento

dλ Incremento do multiplicador plástico

dσ Incremento da tensão

E Módulo de Young

[E (k ) ] Matriz de correcção

F Distância entre o orifício e o limite da célula

f Função de plasticidade

x

f (x) Função objectivo

gi (x) Constrangimentos de desigualdade

H Altura da placa

h Altura da lâmina

hE Constante de encruamento isotrópico

hP Espessura da placa

h(k ) Incremento do método de Newton-Raphson

hj (x) Constrangimentos de igualdade

J2 Segundo invariante do tensor das tensões

Jij Jacobiano

k Módulo de expansão volumétrica

L Distância do centro á linha soldada

L Lagrangiano

LT Comprimento total da placa

[M ] Matriz auxiliar

[N ] Matriz dos gradientes dos constrangimentos de igualdade

N Número de orifícios da placa

n(i ) Gradiente dos constrangimentos de igualdade

p Vector auxiliar

p(x, y) Pressão transversal

Q Função de plasticidade

ri Pénalti

xi

{S} Tensões desviadoras

s j Variável de folga

U Energia elástica de deformação

U0 Energia elástica de distorção

u,v, z Deslocamentos nas diecções x, y e z

uj Multiplicador de Lagrange de desigualdade

V Energia potencial

vi Multiplicador de Lagrange de igualdade

x Variáveis de projecto

x, y, z Sistema de coordenadas

Z k Decomposição QR da matriz Ak

α Variável de projecto - constante de proporcionalidade para definição de

comprimento de soldadura

α k Step size

γ Parâmetro de folga

γ Função do sub-problema linear

Δk Incremento do trabalho plástico

ε{ } Vector das extensões

ε e,ε p Deformação elástica e plástica

ε tr Deformações de teste

ε xx ,ε yy Extensão linear

ε xy ,ε xz ,ε yz Distorção

xii

ε X , εY , εZ Taxas de deformação plástica em x, y e z

η Factor de correcção da teoria de Reissner-Mindlin

θ Variável de projecto - inclinação das lâminas

λ Multiplicadores de Lagrange

µ Parâmetro de Lamé

υ Coeficiente de Poisson

ξ Distância ás fronteiras dentro do active set

σ{ } Vector das tensões

σ 1,σ 2,σ 3 Tensões principais 1, 2, 3

σ ' Tensão média

σ k Tensão de cedência no ponto k

σ m Tensão média

σ tr Tensões de teste

σ xy ,σ xz ,σ yz Tensões de corte

σ y Tensão de cedência

σ y0T ,σ y0

C Tensão inicial de cedência á tracção e compressão

τ oct Tensão Octaédrica

Φ(x) Merit function

φ(x, y) Rotação do plano perpendicular á superfície média segundo x

φx Derivada em ordem a x

φy Derivada em ordem a y

xiii

ψ (x, y) Rotação do plano perpendicular á superfície média segundo y

ψ x Derivada em ordem a x

ψ y Derivada em ordem a y

Ω Volume

ΩV Potencial das forças transversais

xiv

1. Introdução

Neste capítulo é feita uma breve introdução sobre o objecto de estudo do presente trabalho, as suas motivações e comparações com tecnologia semelhante. É também introduzido o tema e objectivo do

presente trabalho, e revelados os resultados que se esperam obter.

1.1 - Painéis sanduíche: Aplicações e geometrias

Os painéis do tipo sanduíche são utilizadas numa grande variedade de áreas, nomeadamente na

indústria naval (na utilização em decks de navios, por exemplo), na indústria de transportes (na produção de caixas de isolamento térmico), na indústria da construção civil (na construção de

pontes), na indústria aerospacial, entre muitas outras aplicações.

As grandes vantagens deste tipo de estrutura são [1]:

• Elevada resistência específica;• Elevada rigidez específica;

• Núcleo barato e leve - exige-se apenas que suporte cargas baixas;• Possibilidade de combinação de diversos tipos de materiais para as lâminas e o núcleo;

Podemos olhar para este tipo de estruturas e ver o equivalente, em placa, a uma viga em I, sendo

que até a sua constituição segue os mesmos princípios (relativamente a um núcleo para dar altura e transmissão / suporte de cargas baixas), e as vantagens de um são semelhantes ás vantagens do

outro.

Uma placa sanduíche é constituída por duas lâminas (com uma espessura pequena): uma inferior e uma superior. Entre estas duas lâminas está o núcleo do painel, que apresenta uma altura elevada, e

que actua como reforço da estrutura, dando-lhe a sua elevada rigidez [2, 3].

As lâminas superior e inferior são geralmente feitas em metal, e o núcleo tem um leque alargado de materiais possíveis de serem utilizados. Geralmente são utilizados materiais leves e com baixa

resistência mecânica, como, por exemplo, poliuretano, cortiça, madeira de balsa e, actualmente, papel reciclado.

Como se pode ver, a altura do painel, que contribui em grande parte para a sua resistência mecânica,

é obtida com materiais leves, sendo a estrutura final muito leve. Se essa mesma altura fosse obtida utilizando exclusivamente o material das lâminas, isto é, um aço ou um alumínio, o peso do painel

seria elevado. Um peso que, na maioria das aplicações, não seria sustentável.

Existem várias configurações possíveis para este tipo de painéis, estando as mais vulgares ilustradas abaixo [1]:

1

1.2 - Painéis OpenCell: Motivos e configurações

Este tipo de estrutura apresenta, no entanto, uma característica que pode tornar-se numa desvantagem. O processo de reciclagem, em alguns casos, pode ser muito moroso. Em situações em

que, por exemplo, temos chapas de aço e núcleo de cortiça, para ser feita a reciclagem do componente é exigido que estes sejam separados e reciclados separadamente. Isto pode levar a

custos elevados.

Outra característica é que esta estrutura exige, tal como foi dito atrás, a adição de um segundo tipo de material para se obter a rigidez específica pretendida. A empresa Ply Engenharia criou um tipo de

estrutura que pretende ser uma alternativa aos painéis sanduíche, e que solucionam os dois problemas levantados atrás.

Esta empresa criou um tipo de estruturas em que a altura da placa, que lhe confere a elevada rigidez,

é obtida sem ser necessário recorrer-se a qualquer tipo de material extra. O material que vai formar o núcleo é obtido directamente das chapas superior ou inferior. De uma dessas chapas é cortado uma

lâmina de material que depois é dobrada e soldada á outra chapa. E deste modo é possível obter a mesma altura que se obteria num painel sanduíche, sem ter de se recorrer a um material adicional.

Relativamente á reciclagem, imediatamente se verifica que o problema anterior não se coloca, visto que o painel é constituído por um único material.

Geralmente as placas OpenCell são constituídas por um conjunto de células que são repetidas em

duas direcções. Estas células podem ter várias configurações, e algumas estão ilustradas na figura seguinte [4]:

Figura 1.1: Configurações de placa do tipo sanduíche (1)

Figura 1.2: Configurações de painéis do tipo OpenCell (2)

2(1) Figura retirada de: Freitas, Manuel - “Compósitos Sandwich” Materiais Compósitos Laminados, Instituto Superior Técnico, 2011

(2) Figura retirada de: Valente, António - “Opencell Technology (Tech & Applications Perspective)”

1.3 - Motivação e objectivos

Como foi dito acima, este tipo de painel pode ser utilizado nas mesmas aplicações que os painéis

Sandwich, e por essa razão é necessário estudar e analisar diversos parâmetros, para se ganhar uma compreensão do seu comportamento quando sujeito a várias solicitações.

Para essa análise e compreensão este trabalho tem vários objectos de estudo. Todos eles consistem

na análise de um painel OpenCell (cujas especificações serão dadas de seguida), mas utilizando diversos parâmetros.

O primeiro objectivo consiste na optimização de um painel Open Cell, através de uma análise estática

deste, e comparação com um trabalho do mesmo tipo [9], mas elaborado para uma célula com uma configuração diferente. Pretende-se, com a introdução de uma nova variável de projecto, obter uma

nova e melhor configuração óptima.

O segundo objectivo consiste na análise e optimização de uma placa que é solicitada até ao regime plástico. Este é um caso limite na utilização de qualquer componente mecânico, mas é importante

estudar o seu comportamento quando sujeito a um esforço tão severo. Tal como o primeiro objectivo pretende-se, através do estudo de diversos parâmetros, determinar configurações óptimas para

diferentes solicitações e aplicações.

Para este processo de optimização poder ser feito é também necessário o desenvolvimento de um modelo computacional que, para além de simular a placa e analisar o seu comportamento, faça o

interface entre os softwares utilizados.

1.4 - Resultados esperados

Com os processos de optimização descritos acima é esperado obter-se uma configuração óptima de

uma placa constituída por várias células OpenCell. Esta configuração óptima depende do parâmetro de optimização adoptado e das condições de carregamento e de fronteira adoptadas. É esperado,

então, que sejam obtidos resultados para várias situações práticas de engenharia.

Espera-se, também, que no fim deste trabalho seja obtido um modelo computacional que, de um modo simples, permita modelar um painel deste tipo e permita a integração de dois softwares.

1.5 - Estrutura do trabalho

O presente trabalho está dividido em cinco capítulos. O primeiro consiste, como se viu, numa breve introdução ao estado da arte e expõe as motivações e objectivos do presente trabalho. O segundo

capítulo é uma breve revisão teórica de alguns fundamentos utilizados no desenvolvimento do trabalho, nomeadamente a teoria de placas, alguns princípios base da teoria da plasticidade e de

optimização. O terceiro capítulo consiste na descrição da geometria da célula do presente trabalho e na formulação do problema, onde são referidos a função objectivo, as variáveis de projecto e os

3

constrangimentos. O quarto capítulo faz uma breve introdução e descrição dos softwares utilizados, realçando algumas das ferramentas de maior importância. No capítulo seguinte são apresentados e

discutidos os resultados obtidos. Nos dois capítulos seguintes, o sexto e o sétimo, é feita a conclusão do trabalho e são abordadas algumas possibilidades de trabalho futuro na área.

4

2. Fundamento Teórico

2.1 - Teoria de placas: Reissner-Mindlin

A teoria de placas tem sido, ao longo de muito tempo, um objecto de estudo aprofundado. Foram várias as teorias apresentadas, entre as quais podem ser referidas algumas como momentos-chave

na disciplina [5]:

• Teoria clássica, 1816 por Germain e Lagrange;• Teoria de placas com efeito de membrana, 1879 por Kirkchoff e Love;

• Teoria não linear, 1910 por von Kárman;• Teoria ortotrópica, 1923 por Huber;

• Teoria de placas espessas, 1954 por Reissner e Mindlin.

Nesta secção não serão abordadas todas estas teorias, apenas a clássica, importante para se perceber os conceitos fundamentais e como o estudo se desenvolveu, e a teoria de placas espessas,

na qual se baseia a análise efectuada neste trabalho.

Uma placa é uma estrutura plana que tem duas dimensões consideravelmente superiores à terceira. Abaixo podemos ver um exemplo básico deste tipo de elemento:

A teoria clássica de placas, também referida como teoria de Kirchhoff-Love, apresenta um conjunto de

pressupostos que servem de base ao modelo desenvolvido [6]:

i. O material que constitui a placa é homogéneo, elástico e isotrópico;ii. A placa é inicialmente plana;

iii. Uma das dimensões é significativamente menor que as outras duas (na ordem de dez vezes menor);

iv. O deslocamento transversal é consideravelmente menor que a espessura da placa (na ordem de cinco vezes menor);

v. As tangentes á superfície média, após a deformação, são muito menores que a unidade;vi. Os planos normais á superfície média assim o continuam depois de deformados;

vii. As tensões normais á superfície são desprezáveis;

Figura 2.1: Representação esquemática de uma placa (1)

5(1) Figura retirada de: Luongo, Fabio - “Optimization of the Reinforcement Configuration of an OPENCELL® Type

Flat Panel” - Instituto Superior Técnico, 2011

viii. As extensões na superfície média são desprezáveis relativamente ás de flexão;

A teoria de Kirchhoff-Love, também chamada teoria clássica de placas, não considera o esforço transverso e a inércia de rotação, logo só pode ser aplicada a placas finas. Foi então necessário

desenvolver uma teoria adequada a placas espessas. Esta foi desenvolvida por Reissner e Mindlin.

Na teoria de Reissner-Mindlin o pressuposto vi. enunciado acima é alterado, e passa a ler [7]:

vi. Os planos normais á superfície média continuam planos depois de deformados, mas não necessariamente perpendiculares á superfície;

Na figura abaixo podemos ver uma comparação entre o pressuposto vi. das duas teorias [8]:

Como se pode ver, esta ‘pequena’ alteração tem uma influência significativa na teoria, pois

acrescenta duas rotações que, como se verá de seguida, alteram uma parte da formulação apresentada na teoria clássica.

O campo de deslocamentos toma então a seguinte forma:

Isto implica que as extensões xz e yz, que eram nulas na teoria de Kirchhoff-Love, já não o são, e são contabilizadas no novo campo de deslocamentos:

Figura 2.2: (i) Deslocamentos na teoria de Kirchoff-Love (1) (ii) Deslocamentos na teoria de Reissner-Mindlin (1)

u = −zφ(x, y)v = −zψ (x, y)w = w(x, y)

6(1) Figura retirada de: Luongo, Fabio - “Optimization of the Reinforcement Configuration of an OPENCELL®

Type Flat Panel” - Instituto Superior Técnico, 2011

(2.1)

(i) (ii)

Com o campo de deslocamentos podemos definir o novo campo de tensões [5]:

Em que η é um factor de correcção devido ao facto de as tensões σxz e σyz, na teoria de Mindlin, serem admitidas como independentes de z, mas na realidade serem funções quadráticas em ordem a

esta variável. Este parâmetro é dado por [7]:

É necessário agora definir as equações de equilíbrio de placas espessas. São estas equações que são depois utilizadas para estudar e analisar o comportamento da placa. Faremos a dedução das

equações através do princípio da energia potencial total mínima das equações energéticas da placa. A energia elástica de deformação é dada através da seguinte expressão geral:

Em que Ω representa o volume total.

Substituindo, na equação (2.5) as expressões para os deslocamentos obtidas em (2.2) temos:

Olhando agora com alguma atenção para a expressão 2.7, podemos ver que os primeiros dois termos

estão relacionados com a energia de flexão, enquanto o terceiro termo está relacionado com a energia devido ao esforço transverso.

O potencial das forças transversais é dado por:

{ε} =

ε xxε yy2ε xy2ε xz2ε yz

⎧

⎨

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎫

⎬

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

=

∂u ∂x ∂v ∂y∂u

∂y +∂v

∂x∂u

∂z +∂w

∂x∂v

∂z +∂w

∂y

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

=

-z∂φ ∂x

-z∂ψ ∂y

-z(∂φ ∂y +∂ψ

∂x)

−φ + ∂w ∂x −ψ + ∂w ∂y

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

{σ} = [D]{ε}

{σ} = E1−υ 2

1 υ 0 0 0υ 1 0 0 0

0 0 1−υ 2 0 0

0 0 0 1−υ 2η 0

0 0 0 0 1−υ 2η

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

-z∂φ ∂x

-z∂ψ ∂y

-z(∂φ ∂y +∂ψ

∂x)

−φ + ∂w ∂x −ψ + ∂w ∂y

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

η = 12π 2 ≈1.2

U = 12

{σ}t{ε}dΩ∫ Ω = 1

2{ε}t[D]{ε}d

Ω∫ Ω

U = 12

D (∂φ∂x)2 + (∂ψ

∂y)2 + 2υ ∂φ

∂x∂ψ∂y

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+ E2(1+υ)

h3

12(∂φ∂y

+ ∂ψ∂x)2 + Eh

2α (1+υ)(∂w∂x

−φ)2 + (∂w∂y

−ψ )2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟dxdy

AP∫

7

(2.2)

(2.4)

(2.5)

(2.6)

(2.7)

(2.3)

Em que p(x,y) é a pressão transversal aplicada á placa. Podemos então definir a energia potencial total como:

Utilizando as equações de Euler-Lagrange [5]:

Obtém-se:

São estas as funções diferenciais parciais utilizadas para o estudo de placas espessas, nomeadamente no software de elementos finitos utilizado.

2.2 - Teoria da plasticidade

2.2.1 - Microplasticidade

Quando é aplicado um sistema de forças a um corpo este sofre uma extensão, ou seja, deforma-se.

Podemos dividir a deformação que o corpo sofre em dois tipos principais: deformação elástica e plástica.

A deformação elástica é provocada por estiragem das ligações inter-atómicas [10], e depois da força

deixar de actuar no corpo os átomos voltam á sua posição inicial, isto é, não existe uma deformação permanente do corpo.

ΩV = − p(x, y)w(x, y)dxdyA∫

V = U +ΩV

∂V∂φ

− ∂∂x

∂V∂φx

− ∂∂y

∂V∂φy

= 0

∂V∂ψ

− ∂∂x

∂V∂ψ x

− ∂∂y

∂V∂ψ y

= 0

∂V∂w

− ∂∂x

∂V∂wx

− ∂∂y

∂V∂wy

= 0

D(∂2φ

∂x2+ 1−υ

2∂2φ∂y2

+ 1+υ2

∂2ψ∂x∂y

)+ Eh2η(1+υ)

(∂w∂x

−φ) = 0

D(∂2ψ∂y2

+ 1−υ2

∂2ψ∂y2

+ 1+υ2

∂2φ∂x∂y

)+ Eh2η(1+υ)

(∂w∂y

−ψ ) = 0

Eh2η(1+υ)

(∂2w∂x2

+ ∂2w∂y2

− ∂φ∂x

− ∂ψ∂y) = − p

Figura 2.3: Deformação elástica (1)

8

(2.10.2)

(2.8)

(2.9)

(2.11.2)

(2.10.3)

(2.10.1)

(2.11.3)

(2.11.1)

(1) Figura retirada de: Dunn, Fionn e Petrinic, Nik - Introduction to Computational Plasticity. 1ª Edição: Oxford University Press, 2005

Por outro lado, a deformação plástica exige que as ligações inter-atómicas sejam destruídas e que

sejam formadas ligações novas, e exige também o movimento relativo de planos de átomos. O principal processo para a deformação plástica é o escorregamento cristalino [11]. Os metais são

materiais policristalinos, ou seja, são um conjunto de diversos cristais nos quais os átomos estão organizados numa disposição ordenada.

Abaixo temos uma imagem que ilustra o processo de escorregamento cristalino. Á esquerda podemos

ver a configuração inicial dos átomos, e á direita a nova configuração. Observa-se que, para haver este movimento dos planos atómicos, é necessário que as ligações atómicas sejam destruídas, como

foi dito anteriormente.

O fenómeno da plasticidade pode ser verificado num ensaio uniaxial. Neste ensaio é aplicada uma

tensão uniaxial nas extremidades de um provete (geralmente cilíndrico) que tende a alongá-lo. Durante o processo vai sendo controlada a tensão aplicada e medida a extensão que o provete está a

sofrer. No fim é possível obter-se um gráfico como o que temos abaixo:

É possível ver que, numa primeira parte, o gráfico apresenta um comportamento linear. Aqui é

aplicável a lei de Hooke, estando a tensão e a extensão relacionadas, de um modo linear, pelo módulo de Young (E). Nesta zona verifica-se também um comportamento elástico do provete. A partir

do ponto A deixamos de ter um comportamento linear, não se verificando, desse modo, a lei de Hooke. Aqui tem início a plasticidade do provete. Visto que este ponto é de difícil identificação,

assume-se que o fenómeno da plasticidade tem início apenas a uma determinada extensão.

Figura 2.4: Deformação plástica (1)

Figura 2.5: Curva tensão-deformação: tensão de cedência (2)

9(1) Figura retirada de: Dunn, Fionn e Petrinic, Nik - Introduction to Computational Plasticity. 1ª Edição: Oxford

University Press, 2005(2) Figura retirada de: R. M. Natal, Jorge e L.M.J.S, Dinis - “Teoria da Plasticidade” Faculdade de Engenharia da

Universidade do Porto, 2005

Geralmente utiliza-se um valor de 0.2% [12]. O valor da tensão no ponto B tem o nome de tensão de cedência (σy).

Como se pode ver, no caso de uma deformação uniaxial a existência ou não de plasticidade é fácil de

se observar: se a tensão aplicada ultrapassar o valor da tensão de cedência, então existe a ocorrência de plasticidade.

No entanto, a maioria dos processos / solicitações existentes não são puramente uniaxiais. Isto dá

origem a que tenha de ser feito um estudo aprofundado do fenómeno da plasticidade, não só para uma compreensão do fenómeno em si, mas também para que seja desenvolvido um critério que

determine a existência, ou não, de plasticidade num elemento.

2.2.2 - Efeito de Bauschinger, histerese e influência do tempo

Antes de dar início a uma breve discussão sobre o fenómeno da plasticidade será conveniente referir

três fenómenos que não estão contemplados nos modelos de plasticidade mais usuais [12], nomeadamente no critério que é utilizado neste trabalho.

O primeiro é a histerese. Este fenómeno é observável numa curva tensão-deformação. Depois de se

ultrapassar a tensão de cedência, e consequente entrada no regime plástico, a linha de descarga não é exactamente linear e paralela á zona elástica da curva [13]. Se for feito um novo carregamento, a

linha de carga não vai coincidir com a de descarga, sendo o ponto de tensão final superior ao anterior. Deste modo, em cada ciclo carga - descarga o corpo vai perdendo energia durante o

processo, tornando-se assim menos resistente.

O segundo fenómeno que não é considerado é o efeito de Bauschinger. Tal como o anterior, este

fenómeno é observável numa curva tensão - deformação. Um corpo é carregado até um determinado valor (ponto D na figura 2.7) superior á tensão de cedência, entrando assim no regime plástico.

Depois de atingido esse ponto, é descarregado e é feito um novo carregamento, mas na direcção oposta - neste caso um carregamento de compressão - até se atingir um ponto superior á tensão de

cedência (ponto D’ na figura). O fenómeno que se verifica é que os valores da tensão de cedência em tracção e compressão não coincidem, sendo o valor em compressão menor [12]:

Figura 2.6: Histerese (1)

10(1) Figura retirada de: R. M. Natal, Jorge e L.M.J.S, Dinis - “Teoria da Plasticidade” Faculdade de Engenharia da


Isto implica que, de ciclo para ciclo, a tensão de cedência, que determina a entrada no regime

plástico, vai diminuindo. Este fenómeno é facilmente observável quando se dobra um clipe de metal de um lado para o outro. Facilmente se verifica que a força que é necessária fazer para este se

deformar definitivamente vai diminuindo de ciclo para ciclo.

Finalmente, o terceiro fenómeno que não é, geralmente, considerado nos modelos de plasticidade é a influência do tempo. Isto parece contraditório, pois a plasticidade é um fenómeno dependente do

tempo [12], isto é, exige uma certa janela temporal para que a deformação plástica atinja o seu valor final.

Na figura abaixo podemos verificar o que foi dito acima. Temos dois ensaios realizados no mesmo

material, em que, em ambos os casos, este é levado até ao mesmo valor de tensão. No entanto, verifica-se que as taxas de deformação são diferentes. Como se pode ver, isto faz com que as curvas

sejam diferentes, e o resultado final no material também.

σ Y 0T >σ Y 0

C

Figura 2.7: Efeito de Bauschinger (1)

Figura 2.8: Influência do tempo (1)

11(1) Figura retirada de: R. M. Natal, Jorge e L.M.J.S, Dinis - “Teoria da Plasticidade” Faculdade de Engenharia da


(2.12)

2.2.3 - O fenómeno da plasticidade

Novamente, iremos recorrer a uma curva tensão - deformação para ilustrar algumas características

de maior importância no estudo da plasticidade. Apesar de, como já foi dito anteriormente, a maioria das solicitações a materiais / elementos mecânicos ser bastante mais complexa que uma simples

tracção, este ensaio permite que sejam observados alguns fenómenos no seu modo mais simples, que depois serão extrapolados para casos de carregamentos bi- e triaxiais.

Na curva acima podemos ver um carregamento de um provete até uma tensão superior á tensão de

cedência, e a sua descarga até um valor nulo de tensão. Estão assinalados dois valores de extensão, um relativo a uma deformação elástica (εe) e outro relativo a uma deformação plástica (εp). O valor da

deformação elástica é calculado utilizando a expressão seguinte:

Como será visto numa secção posterior, o software Ansys calcula este valor [14], e calcula depois o valor da deformação total. A partir dos dois obtém o valor da deformação plástica utilizando a

expressão seguinte:

De notar que, no gráfico tensão - deformação acima, são ignorados os fenómenos de histerese e o efeito de Bauschinger referidos acima. Como foi dito, estes dois fenómenos são ignorados na maioria

dos modelos de plasticidade utilizados.

Verifica-se que o fenómeno da plasticidade ocorre a volume constante [11]:

Isto implica um coeficiente de Poisson (υ) igual a 0.5. É habitual ver, na codificação dos softwares de

elementos finitos [15], que é este o valor utilizado para determinar, a partir de uma extensão plástica,

as restantes.

Figura 2.9: Curva tensão-deformação: deformação elástica e plástica (1)

σ = Eε e →ε e = σE

ε = ε e + ε p →ε p = ε − σE

ε Xp + εY

p + εZp = 0


University Press, 2005

(2.13)

(2.14)

(2.15)

2.2.4 - Encruamento: isotrópico e cinético

Podemos considerar uma curva tensão-deformação como a ilustrada abaixo:

Verifica-se que, nesta curva, a partir do momento em que é atingida a tensão de cedência do material

(σy) esta mantém-se constante ao longo do restante processo de deformação. Este seria o comportamento real dos materiais se não existisse o fenómeno de encruamento. Este fenómeno pode

ser dividido em duas classes principais:

• Encruamento isotrópico;• Encruamento cinético.

No caso do encruamento isotrópico [19] verifica-se uma expansão uniforme da superfície de

cedência, não havendo qualquer alteração da sua forma ou da sua origem. Abaixo temos uma representação gráfica do fenómeno, para o caso bidimensional:

Este é um modelo de encruamento muito simples e não consegue traduzir alguns comportamentos

reais do material, tal como o efeito de Bauschinger [20]. Este tipo de encruamento adequa-se particularmente á situação em que existe uma carga sempre crescente não alternada.

O outro tipo de encruamento é chamado cinético [21]. Nesta situação, a superfície de cedência

depois do encruamento mantém a mesma forma, mas é transladada para cima ou para baixo, mudando, ao contrário do encruamento anterior, a coordenada da sua origem. Abaixo temos uma

representação gráfica do fenómeno, para o caso bidimensional:

Figura 2.10: Curva tensão-deformação: encruamento nulo

Figura 2.11: Encruamento isotrópico (1)



Este modelo surgiu para colmatar aquilo em que o encruamento isotrópico falhava, o facto de não

contabilizar o efeito de Bauschinger [22]. Como se pode ver pela representação gráfica do encruamento isotrópico, é criada uma zona elástica muito grande, e a tensão de cedência, para o

início do regime plástico, está sempre a aumentar, o que não está de acordo com o efeito de Bauschinger. No encruamento cinético este valor diminui do primeiro para o segundo ciclo,

conseguindo, deste modo, simular duma forma mais precisa este fenómeno. Ao contrário do anterior, este tipo de encruamento é mais adequado para cargas cíclicas e alternadas.

2.2.5 - Modelos de plasticidade

Existem vários modelos de plasticidade que podem ser escolhidos para modelar elementos sujeitos a

determinados sistemas de tensão. Abaixo temos vários desses modelos ilustrados através de uma curva tensão-deformação:

Figura 2.12: Encruamento cinético

Figura 2.13: (i) Modelo rígido perfeitamente elástico (1) (ii) Encruamento com elasticidade nula (1) (iii) Modelo rígido perfeitamente plástico (1) (iv) Encruamento linear (1)

14

(ii)(i)

(iii) (iv)

(1) Figura retirada de: Moura Branco, Carlos A. G. - Mecânica dos Materiais. 4ª Edição: Fundação Calouste Gulbenkian, 2006

Em (i) temos um modelo rígido perfeitamente plástico [10]. Este modelo ignora a parte elástica,

assumindo que, logo que se inicia o carregamento, o elemento entra em regime plástico. É adequado para materiais com uma parte elástica muito inferior quando comparada com a plástica, e nos quais

os efeitos desta possam ser ignorados.

Em (iii) temos um modelo perfeitamente plástico [10]. Este modelo não contempla qualquer tipo de encruamento. Ou seja, a tensão de cedência mantém-se constante ao longo de todo o carregamento

a que o elemento está sujeito.

Em (ii) temos um modelo que não contempla a parte elástica, mas considera que existe encruamento do material, e em (iv) temos um modelo com encruamento linear e que contempla também a parte

elástica [12]. Este é o modelo que mais se aproxima a um material real.

Dentro dos modelos que contemplam o encruamento existem várias possibilidades para esta curva, algumas das quais podem ser vistas na figura abaixo:

Em (i) temos um material com um modelo de encruamento multi-linear, que difere do modelo linear

acima no facto da taxa de encruamento não ser constante durante a deformação. Como se pode ver, esta vai diminuindo até atingir o valor nulo [14], simulando desse modo o patamar de cedência do

material, no qual a tensão de cedência tem um valor constante.

Em (ii) temos um encruamento não-linear. Se, em cada ponto da curva obtivéssemos o seu declive, verificar-se-ia que o valor deste, ou seja, da taxa de encruamento, ia diminuir, tal como ocorre no

modelo multi-linear anterior. Não é possível observar na figura, mas estes modelos geralmente terminam num patamar de cedência, com uma taxa de encruamento nula.

2.2.6 - Critérios de plasticidade: von Mises

Como foi dito anteriormente, se todos os carregamentos fossem uniaxiais, era fácil analisar a existência ou não de plasticidade. Se o valor da tensão excedesse a tensão de cedência, então

teríamos plasticidade. E o inverso também seria verdadeiro. Mas esta análise complica-se para casos

Figura 2.14: (i) Encruamento multi-linear (1) (ii) Encruamento não-linear (2)

15

(i) (ii)

(1) Figura retirada de: “Release 11.0 Documentation” Ansys(2) Figura retirada de: Dunn, Fionn e Petrinic, Nik - Introduction to Computational Plasticity. 1ª Edição: Oxford


bi e triaxiais. Nestas situações não podemos olhar apenas para uma tensão, e a partir desta confirmar a existência, ou não, de deformação permanente. É então necessário desenvolver critérios que

permitam identificar esta entrada no regime plástico. Isto é feito através da dedução de funções de cedência [11], que têm a seguinte forma:

Em que α é um parâmetro que indica o encruamento do material, sendo então σY(α) uma expressão que controla a presença de plasticidade mediante a existência ou ausência de encruamento. Se

considerarmos um ensaio de tracção uniaxial, sem encruamento, o valor desta parcela será a tensão de cedência. A parcela f(σ) é a função de cedência utilizada.

Foram desenvolvidos vários modelos que respondessem á primeira parcela da equação acima.

Existem várias funções de cedência que podem ser utilizadas, como por exemplo a de Tresca, a da tensão normal máxima, a de Mohr-Coulomb, etc. [12].

A partir de observações experimentais verificou-se que a deformação plástica de metais, em geral,

não depende da tensão hidrostática [10]. Assim, neste trabalho, utilizou-se o critério de von Mises, também conhecido como critério do invariante das tensões J2 [12]. Este critério considera as

seguintes hipóteses:

• A cedência do material é independente das tensões hidrostáticas, isto é, depende apenas da tensão desviadora;

• Assume-se que a cedência em materiais policristalinos é isotrópica. Como foi dito anteriormente, os

metais são constituídos por vários cristais com os átomos dispostos com a mesma orientação, e considera-se que o elemento de volume em análise contém diversos cristais;

• As tensões de cedência medidas em tensão têm a mesma magnitude que as medidas em

compressão, ou seja, ignora-se o efeito de Bauschinger.

O critério de von Mises [16] é traduzido por uma função f que, dependendo do seu valor, indica a existência ou não de plasticidade:

• f < 0 - regime elástico

• f = 0 - regime plástico

A função que rege este critério é dada por:

Onde J2 é o segundo invariante das tensões:

F(σ ,α ) = f (σ )−σ Y (α ) = 0

f =σ e −σ y = (32σ :σ )1/2 −σ y = 3J2 −σ y =

= 12[(σ 1 −σ 2 )

2 + (σ 2 −σ 3)2 + (σ 3 −σ 1)

2 ]1/2 −σ y

16

(2.16)

(2.17)

Em que σ’ é o tensor das tensões desviadoras, e é dado por:

Geometricamente, esta função corresponde a um cilindro no espaço de Westergaard [12], tendo o seu eixo ao longo da linha σ1 = σ2 = σ3. Se o estado de tensão se encontrar no interior do cilindro,

estamos em regime elástico. Se se encontrar sobre a superfície deste, estamos já em regime plástico.

Como é possível ver em (2.17), para uma aplicação com a tensão hidrostática com tensor a tender

para infinito, se as tensões médias tiverem todas o mesmo valor, o critério de von Mises será sempre menor que zero.

Existem duas interpretações para o critério de von Mises. Uma foi dada por Nadai [17], que introduziu

o conceito de tensão de corte octaédrica:

Esta é a tensão de corte nos planos do octaedro regular, cujos vértices coincidem com os eixos principais de inércia. Outra interpretação foi dada por Hencky [18], e diz que a cedência ocorre

quando a energia elástica de distorção atinge um valor crítico. Este valor crítico é o valor máximo de energia por unidade de volume que um material pode armazenar e é dado por:

J2 = (12σ ' :σ ')1/2

σ m =σ xx +σ yy +σ zz

3

σ ' = σ − σ mI ≡

2σ xx −σ yy −σ zz 3

τ xy τ xz

τ yx 2σ yy −σ zz −σ xx

3 τ yz

τ zx τ zy 2σ zz −σ xx −σ yy

3

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

Figura 2.15: Função de von Mises no espaço de Westergaard (1)

τ oct = (23J2 )

1/2

17

(2.18)

(2.19)

(2.20)

(2.21)

(1) Figura retirada de: Dunn, Fionn e Petrinic, Nik - Introduction to Computational Plasticity. 1ª Edição: Oxford University Press, 2005

Combinando (2.21) e (2.22) temos:

Devido á condição de incompressibilidade da plasticidade temos que υ = 0.5, pelo que a segunda

parcela da equação acima tem um valor nulo. Se assumirmos a equação (2.22) como a função de

cedência e a substituirmos na equação (2.16), obtemos então:

A segunda parcela da equação acima vem da energia elástica de distorção crítica, obtida num ensaio de tracção uniaxial. Combinando (2.26) com a forma geral de uma função de plasticidade:

Tem-se que:

Que coincide com a expressão dada para o critério de von Mises, tornando-o ‘um caso particular do critério energético de Beltrami e aplicável a materiais cuja energia de deformação volúmica se pode

considerar desprezável’ [12].

As duas interpretações acima servem para demonstrar que os vários critérios de plasticidade existentes apresentam relações entre si, sendo que, muitas vezes, alguns se apresentam como casos

particulares de outros.

2.2.7 - Condição de normalidade

Na secção anterior obteve-se uma expressão que indica quando é que ocorre o fenómeno de

plasticidade. É preciso agora determinar como ocorre o fenómeno. Isto é, para onde escoa o material e a quantidade de material que se deforma [11].

A regra da normalidade da plasticidade afirma que o incremento do tensor de deformação plástica

(dεp) tem a direcção normal a uma tangente á superfície de cedência no ponto de carga presente:

U0 =12υ

J2 +12k

σ m2

µ = E2(1+υ)

k = E3(1− 2υ)

U0 =12µ

J2 +3(1− 2υ)2E

σ m2

F(σ ,α ) = 12µ

J2 −16µ

σ Y2 (α ) = 0

σ −σ Y (α ) = 0

σ = 3J2

18

(2.23)

(2.24)

(2.25)

(2.22)

(2.26)

(2.27)

(2.28)

Esta hipótese é traduzida por:

Onde dεp é um tensor. Esta expressão permite-nos obter o valor do incremento da deformação plástica efectiva. Podemos olhar para esta expressão e decompô-la em dois componentes principais:

• ∂f/∂σ indica a direcção do incremento da deformação plástica;

• dλ indica a magnitude do incremento, isto é, quanto é que a deformação plástica

efectivamente aumenta. Este parâmetro tem o nome de multiplicador plástico.

Verifica-se que, para o caso de tracção uniaxial, se considerarmos f(σ) em (2.16) como o critério de von Mises, se tem:

Em que σ’ são as tensões desviadoras escritas na forma de tensor. Verifica-se também que se pode obter o incremento da deformação plástica efectiva através de [11]:

Substituindo a equação (2.30) na equação (2.31), verifica-se que:

Ou seja, verifica-se que, para um material von Mises, o multiplicador plástico é apenas o incremento de deformação plástica efectiva. Considera-se um material von Mises aquele cujo comportamento no

Figura 2.16: Superfície de cedência (1)

dε p = dλ ∂ f∂σ

dε p = 32dλ σ '

σ e

dp = (23dε p :dε p )1/2

dp = 2332dλ σ '

σ e

: 32dλ σ '

σ e

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1/2

= dλ ((3 / 2)σ ' :σ ')1/2

σ e

σ e =32σ ' :σ '⎛

⎝⎜⎞⎠⎟1/2

dp = dλ



(2.29)

(2.30)

(2.31)

(2.32)

(2.33)

(2.34)

regime plástico segue o critério de plasticidade de von Mises. Esta relação vai ser utilizada na elaboração do trabalho, como será visto numa secção posterior.

2.2.8 - Condição de consistência

Imaginemos, novamente, um provete sujeito a um carregamento uniaxial. Este começa a ser carregado, até atingir a tensão de cedência, entrando assim no regime plástico. Chegando a este

ponto, o provete continua a ser carregado, verificando-se deformação plástica adicional. Se assumirmos que não existe encruamento do material, o ponto mantém-se sobre a superfície de

cedência, isto é, a tensão mantém-se constante. Se existir encruamento e o valor da tensão de cedência aumentar, então existem duas hipótese: o ponto de carregamento, no espaço de tensões,

muda de coordenadas para atingir a nova tensão de cedência, ou temos uma expansão da superfície de cedência. A esta verificação dá-se o nome de condição de consistência [11], e é uma condição que

permite a determinação do multiplicador plástico.

Por esta razão foi dito que existe deformação plástica quando o ponto de carga está sobre a superfície de cedência. Não se afirmou que existe deformação plástica quando está sobre ou fora da

superfície de cedência pois, de acordo com a condição de consistência, isto é algo que não é possível.

Verifica-se que a expressão (2.17) depende directamente da tensão de cedência. Esta, na maioria

dos casos, não tem um valor constante, devido á existência do encruamento do material, como foi visto anteriormente. Isto é, este parâmetro apresenta uma dependência relativamente á deformação

plástica efectiva.

Verifica-se que, assumindo a existência de encruamento, ou seja, que existe uma relação entre a tensão de cedência e o valor da deformação plástica efectiva, temos a seguinte relação [11]:

Em que C é a matriz de rigidez elástica [11]. Podemos observar que, pela expressão acima, se determina o multiplicador plástico a partir de incrementos da deformação total (dε). No caso das

situações analisadas neste trabalho o parâmetro conhecido eram os incrementos da tensão (dσ). A expressão tem então de ser modificada, obtendo-se:

Esta fórmula permite o cálculo do incremento do multiplicador plástico e, consequentemente, permite ter uma ideia da deformação plástica total.

2.2.9 - Encruamento isotrópico linear

dλ =

∂ f∂σ

:C : dε

∂ f∂σ

:C : ∂ f∂σ

− ∂ f∂p(23∂ f∂σ

: ∂ f∂σ)1/2

dλ =− ∂ f∂σ

:dσ

∂ f∂p(23∂ f∂σ

: ∂ f∂σ)

20

(2.35)

(2.36)

O modelo de encruamento escolhido para este trabalho foi o isotrópico linear. A função que traduz

este modelo é a seguinte:

Em que h é uma constante. Os valores das extensões elásticas, plásticas e totais, para o caso unidimensional, são dados por:

O declive da secção com deformação plástica é, como foi dito anteriormente, constante, e é dado por:

O parâmetro hE vai então controlar a taxa de encruamento do material.

Considerando o modelo de encruamento actual temos que a expressão final para a função de cedência é dada por:

E a função r(p) facilmente se obtém integrando a expressão (2.37) e aplicando as condições de fronteira conhecidas.

2.3 - Optimização

2.3.1 - Introdução

A optimização é uma disciplina no campo da engenharia que tem um papel preponderante na criação

e desenvolvimento de qualquer projecto. Esta disciplina reveste-se de uma importância cada vez maior considerando as políticas de gestão, poupança e utilização inteligente dos recursos e matérias-

primas, e a maximização de lucro e poupança de capital.

A optimização aplica-se tanto ao desenvolvimento de um produto, seja ele um simples componente mecânico ou uma complexa peça de engenharia moderna, como a processos e organizações. O seu

leque de aplicação é muito alargado e os métodos utilizados são constantemente desenvolvidos e melhorados. No presente trabalho a optimização foi feita á configuração geométrica de um painel.

Qualquer processo de optimização começa com uma análise e uma compreensão do processo,

sistema ou elemento. É necessário depois perceber quais são as restrições impostas. Estas podem ser de ordem económica, geométrica, etc..

dr(p) = hdp

dε e = dσE

dε p = dσhE

dε = dσ (E + hE

EhE)

E(1− EE + hE

)

f (σ , p) =σ e(σ )−σ y(p) =σ e(σ )−σ y0 − r(p) = 0

21

(2.37)

(2.38)

(2.40)

(2.39)

(2.41)

(2.42)

Um processo de optimização é iterativo [23], isto é, são analisadas várias configurações do elemento em estudo de um modo sucessivo, até que é escolhida uma configuração final, que será considerada

a ideal dentro do universo de todas as que foram analisadas, e tendo em conta os constrangimentos do projecto. O fluxograma abaixo ilustra, de um modo simples, um processo de optimização:

Como se pode ver, o primeiro passo consiste no que foi dito acima: compreender o problema em questão. Só tendo este passo bem assente é possível partir para uma análise com sucesso. Depois é

feita a primeira estimativa do processo iterativo. É dada uma primeira configuração, que é analisada da perspectiva do problema em questão. Se essa configuração for satisfatória, então obteve-se a

solução final. Se não for, então voltamos ao terceiro passo, e é atribuída uma nova hipótese.

Até aqui abordou-se a optimização de um ponto de vista geral e pouco definido. Para se utilizarem as ferramentas que serão aqui abordadas é necessário traduzir o problema e todas as suas condições e

restrições para linguagem matemática. Estima-se que, em todo o processo de optimização, até se atingir a solução final, esta formulação ocupa 50% do tempo [23]. Facilmente se verifica a importância

que este passo assume. É também importante realçar que uma má formulação implica, inevitavelmente, uma má solução.

Podemos dividir este processo de formulação matemática numa sequência de cinco passos [23]:

I. Definição do problema em análise: é feita uma descrição pormenorizada do problema em questão e

do que é pretendido ao longo de todo o processo.

II. Análise de dados e informação: aqui são reunidos os dados que são considerados mais importantes para o problema. Estes dados podem ser exigências de desempenho, custos de

materiais, limitações, etc.. Este passo complementa o anterior, que pode ser, em certos casos, pouco preciso, carecendo assim da informação aqui reunida.

Figura 2.17: Fluxograma - Processo geral de optimização

22

III. Variáveis de projecto: aqui são identificadas as variáveis que vão ser optimizadas durante o processo. Estas podem ser as dimensões de uma peça, o tempo de um processo, a eficiência de um

sistema, etc.. São estes valores que, durante o processo de optimização, terão certos valores-teste, que serão verificados para ver se cumprem os requisitos. De referir a importância deste passo pois,

como é observável, variáveis de projecto mal definidas implicam maus resultados. Matematicamente, estas variáveis de projecto têm a forma seguinte:

IV. Critério de optimização: é necessário saber o que se quer optimizar no problema. E este parâmetro tem de ser traduzido para um número, uma grandeza que seja fácil de avaliar e comparar.

Isto é, tem de ser criada uma função que traduza o que se quer alterar. Esta função é a chamada função objectivo do problema, e é a partir desta que as várias hipóteses de configuração, atribuídas

durante o processo, serão avaliadas e comparadas. Esta função tem de ser minimizada ou maximizada, dependendo do problema em questão, e apresenta a seguinte forma:

V. Constrangimentos: se queremos minimizar o custo de fabrico de um elemento não podemos reduzir até próximo de zero os componentes que o constituem, pois há o perigo do comportamento

final não ser o pretendido. Se queremos reduzir o material utilizado na construção de uma ponte é preciso observar o mínimo a partir do qual a ponte deixa de ser viável. Isto é, em todos os processos

de optimização existem restrições, constrangimentos que têm de ser observados. Estes dividem-se em dois grandes grupos: constrangimentos de igualdade e de desigualdade, e estão representados

abaixo por esta ordem:

Tendo feito os passos anteriores é possível agora formular matematicamente, de um modo completo, o problema a ser estudado e optimizado:

É importante notar que estes passos não são estanques. Isto é, não se aplicam a todos os processos e problemas. Novamente se observa a importância de uma compreensão do fenómeno em estudo, de

modo a que, se necessário, possam ser feitas alterações nesta sequência.

2.3.2 - Classificação de algoritmos:

Depois desta introdução geral á abordagem que deve ser tomada em cada problema de optimização

será agora feita uma classificação de algoritmos. Podemos dividir os métodos de optimização numéricos mais utilizados em três classes principais:

• Gradient Based Methods - exigem informação sobre as derivadas da função objectivo. São

mais rápidos comparativamente aos outros, e adequam-se bem a problemas de grande

x = (x1, x2, x3,..., xn )

f (x) = f (x1, x2, x3,..., xn )

hj (x) = hj (x1, x2, x3,..., xn ) = 0 j = 1,...,me

gi (x) = gi (x1, x2, x3,..., xn ) ≤ 0 i = me +1,...,m

min f (x)s. a hj (x) = 0 gj (x) ≤ 0

23

(2.43)

(2.44)

(2.45)

(2.46)

(2.47)

escala. A desvantagem principal está relacionada com o facto de exigirem informação de 1ª ordem, o que por vezes pode ser difícil, e em alguns casos impossível;

• Genetic Algorithms - não exigem informação sobre derivadas do problema. Trabalha com populações, e tenta encontrar a solução óptima através de uma mudança dos seus

indivíduos. É ideal para situações não-lineares, situações em que os dados são discretos e em que os dados são de difícil medição (possivelmente por terem um elevado erro), e em

situações em que não temos a função objectivo explicitada em função das variáveis. É um método lento;

• Direct Search Method - tal como os algoritmos genéticos, não exigem qualquer informação sobre derivadas do problema. Parte de um ponto e procura, na vizinhança deste, um novo

ponto no qual a função objectivo tenha um valor menor. Exige um elevado número de avaliações da função objectivo, o que o torna num método lento. É ideal para situações em

que não são conhecidas as derivadas do problema e problemas com descontinuidades.

Serão utilizados neste trabalho algoritmos pertencentes ás duas primeiras classes. De seguida será feita uma introdução a cada um destes.

2.3.3 - SQP

Geralmente, num problema com constrangimentos o objectivo passa por transformá-lo num sub-

problema mais simples, que pode ser estudado e analisado através de um processo iterativo [23]. Uma possibilidade para se obter isto é utilizar um pénalti que, como o nome indica, penaliza a função

objectivo cada vez que são utilizados valores fora da fronteira definida pelos constrangimentos. Actualmente, este método é considerado relativamente ineficiente, e tem vindo a ser trocado por

métodos que assentam nas condições de Karush-Kuhn-Tucker (KKT), que são condições necessárias e suficientes para uma solução óptima.

As condições KKT podem ser definidas através das seguintes expressões [23]:

• Lagrangiano:

• Condições de Gradiente:

• Critério de desigualdade:

L(x, v, u, s) = f (x) + vihi (x) + uj (gj (x) + s j2

j=1

m

∑i=1

p

∑ )

∂L∂xk

= ∂ f∂xk

+ vi* ∂hi∂xk

+ uj* ∂gj∂xk

= 0j=1

m

∑i=1

p

∑ ;

∂L∂vi

= 0→ hi (x*)=0;

∂L∂u j

= 0→ (gj (x*)+s j2 ) = 0;

24

(2.48.1)

(2.48.2)

(2.48.3)

(2.48.4)

• Switching Conditions:

• Não-Negatividade dos Multiplicadores de Lagrange para desigualdades:

Nas expressões acima, vi e uj são os multiplicadores de Lagrange de igualdade e desigualdade e sj é a variável de folga.

O algoritmo fmincon, que será descrito numa secção posterior consiste [24], de um modo geral, em

derivar, a partir das condições KKT do problema, uma sequências de sub-problemas quadráticos que são resolvidos em cada iteração do algoritmo principal. Na literatura anglo-saxónica isto é conhecido

como Quadratic Programming (QP).

A obtenção de um sub-problema QP foi consequência de um método chamado Sequential Linear Programming (SLP). Este método é utilizado para resolver problemas de optimização com

constrangimentos e tem a vantagem de ser muito simples e de fácil implementação, mas tem algumas desvantagens [23]. Uma delas é o facto de ser um método pouco robusto.

Para tentar ultrapassar esta desvantagem surgiram métodos em que o problema geral é

desconstruído em sub-problemas quadráticos mais simples, e a partir dos quais se calcula uma direcção de busca de nova solução - Quadratic Programming.

Para se poder utilizar este método temos de linearizar a nossa função e os constrangimentos do

nosso problema. A maioria dos métodos numéricos para optimização de um problema com constragimentos utiliza este princípio, que consiste em obterem-se as expansões lineares em série de

Taylor para a função objectivo e os constrangimentos.

Em todos os métodos começa-se com valores estimados que, com o desenrolar do algoritmo, vão sendo alterados iterativamente. Isto ocorre de um modo sucessivo, até se obter uma solução final. Se

escrevermos a expansão de Taylor da função objectivo e constrangimentos no ponto x(k), sendo k o número de iteração, obtemos o seguinte problema linearizado:

Sujeito aos constrangimentos linearizados:

E as seguintes simplificações de notação são feitas:

s j2 ≥ 0;ou

gj ≤ 0;

∂L∂s j

= 0→ 2uj*s j = 0

uj* ≥ 0;

min f (x(k ) + Δx(k ) ) ≅ f (x(k ) )+∇f T (x(k ) )Δx(k )

hj (x(k ) + Δx(k ) ) ≅ hj (x

(k ) )+∇hjT (x(k ) )Δx(k ) = 0; j = 1 a p

gj (x(k ) + Δx(k ) ) ≅ gj (x

(k ) )+∇gjT (x(k ) )Δx(k ) = 0; j = 1 a m

25

(2.48.6)

(2.48.5)

(2.48.7)

(2.48.8)

(2.49)

(2.51)

(2.50)

Utilizando esta nova notação, o sub-problema aproximado pelas equações anteriores pode ser escrito como:

Sujeito a:

Em que as colunas da matriz N são os gradientes dos constrangimentos de igualdade, e as colunas da matriz A são os gradientes dos constrangimentos de desigualdade.

Se olharmos para as três expressões acima, podemos ver que estas são lineares em di, portanto os

métodos de programação linear podiam ser utilizados para resolver em ordem a este valor. Surgiu assim o método SLP já referido acima. Este método assenta num conceito chamado limites móveis.

Estes surgiram porque o problema definido pelas expressões acima pode não ter soluções limitadas, ou as alterações dos valores de busca podem tornar-se demasiado grandes, invalidando assim as

aproximações lineares. Por isso, impuseram-se limites nas alterações dos valores de busca:

Em que os valores acima são os limites inferior e superior máximos para a alteração dos valores de busca.

Estes valores cumprem dois objectivos:

• Tornam o sub-problema linearizado limitado; e

• Devolvem os novos valores de busca sem ser preciso fazer qualquer pesquisa de linha.

Estes dois objectivos podem ser obtidos de outros modos. O sub-problema linearizado pode ser limitado se for exigida, juntamente com a minimização da função objectivo linearizada, a minimização

fk = f (x(k ) )ej = −hj (x

(k ) )

bj = −gj (x(k ) )

ci =∂ f (x(k ) )∂xi

nij =∂hj (x

(k ) )∂xi

aij =∂gj (x

(k ) )∂xi

di = Δxi(k )

min f = cidii=1

n

∑ (f = cTd)

nijdi = ej ; j = 1 a p (NTd=e)i=1

n

∑

aijdi ≤ bj ; j = 1 a m (ATd ≤ b)i=1

n

∑

-Δ(k )il ≤ di ≤ Δ(k )

iu i = 1 a n

26

(2.52.1)

(2.52.6)

(2.52.7)

(2.52.3)

(2.52.4)

(2.52.5)

(2.52.2)

(2.53)

(2.54)

(2.55)

(2.56)

do comprimento da direcção de busca. Se combinarmos estes dois objectivos, obtém-se uma função quadrática em termos da direcção de busca - o sub-problema QP - que pode ser definido como:

Sujeito aos seguintes constrangimentos:

De referir que o sub-problema QP é estritamente convexo e assim, se existir um mínimo, será global e único [23].

É importante que estes problemas QP sejam resolvidos por intermédio de um algoritmo eficiente, por

isso tem sido desenvolvida extensa investigação na área [25, 26]. Para além disto, muitos algoritmos utilizados em optimização com constrangimentos transformam os problemas que analisam numa

sucessão de problemas QP, o que vem reforçar o que foi dito.

Existem vários métodos que resolvem problemas QP, e em particular existe um método muito simples que é uma adaptação do método Simplex a problemas QP. A taxa de convergência deste algoritmo

pode, para alguns problemas, ser muito lenta. Para tentar contrariar esse facto foram desenvolvidos métodos que incorporam informações de 2ª ordem das funções em análise. Verificou-se que o

problema QP acima pode ser modificado ligeiramente introduzindo-se informação de curvatura para a função de Lagrange na função objectivo quadrática definida na expressão atrás.

Visto que informação de 2ª ordem do problema pode ser muito complicada de ser calculada utiliza-se

a informação de 1ª ordem para se aproximar a esta. O princípio é o mesmo que o utilizado nos métodos quasi-Newton sem constrangimentos [23]. Nesses métodos eram utilizados os gradientes da

função objectivo para se obter uma aproximada da Hessiana da função. Aqui utilizam-se os gradientes do Lagrangiano para se obter uma aproximada da Hessiana dessa função. Este método é

geralmente chamado quasi-Newton com constrangimentos ou Sequential Quadratic Programming (SQP).

Em cada iteração destes algoritmos é resolvido um sub-problema QP (reforçando, novamente, o que

já foi dito acima sobre a necessidade de ser utilizado um algoritmo que resolva este tipo de problemas de um modo eficiente). O primeiro passo é, então, a obtenção deste sub-problema. Este é obtido a

partir das condições KKT do problema. O Lagrangiano do problema é dado por (contabilizando apenas os constrangimentos de igualdade):

E a partir das condições KKT obtém-se:

min f = cTd + 12dTd

NTd = eATd ≤ b

L(x,v) = f (x)+ υihi (x) = f (x)+ v ⋅h(x)i=1

p

∑

27

(2.58)

(2.57)

(2.59)

(2.60)

Estas são equações não-lineares, por isso pode ser utilizado o método de Newton-Raphson para a sua resolução. Aplicando-se então este método é obtida a seguinte solução:

A solução acima é a mesma que se obtém resolvendo-se o problema QP que surge a cada iteração. Esse problema é definido por:

Sujeito aos constrangimentos de igualdade linearizados:

Em que n(i) é o gradiente da função hi. O Lagrangiano da função acima e as respectivas condições KKT são dados por:

Combinando as expressões acima e escrevendo-as em forma de matriz obtém-se a mesma solução que se obteve pelo método de Newton-Raphson. Podemos, então, afirmar que o problema de

minimização da função objectivo sujeita a constrangimentos de igualdade pode ser resolvido resolvendo-se de um modo iterativo o problema QP definido em (2.65) e (2.66).

Se olharmos para Δx como a direcção de busca d e incluindo os constrangimentos de desigualdade o

problema QP é definido como:

Sujeito a:

Em que H é a Hessiana do Lagrangiano do problema.

2.3.4 - Genético

Os algoritmos genéticos são parte da computação evolucionária, uma área da inteligência artificial

[27]. Os seus princípios são baseados na teoria da evolução. Isto é, o algoritmo actua através de um

∇L(x,v) = 0

∇f (x)+ vi∇hi (x) = 0i=1

p

∑hi (x) = 0 i = 1 a p

∇2L NNT 0⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

(k )Δx(k )

v(k+1)

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ = −

∇fh⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

(k )

min∇f TΔx + 0.5ΔxT∇2LΔx

hi + n(i )TΔx = 0; i = 1 a p

L = ∇f TΔx + 0.5ΔxT∇2LΔx + υi (hi + n(i )TΔx)

i=1

p

∑∇L = 0

∇f +∇2LΔx + Nv = 0

hi + n(i )TΔx = 0; i = 1 a p

min f = cTd + 0.5dTHd

n(i )T d = ei; i = 1 a p

a(i )T d ≤ bi; i = 1 a m

28

(2.61)

(2.63)

(2.62)

(2.64)

(2.65)

(2.66)

(2.67)

(2.68)

(2.69)

(2.70)

(2.71)

(2.72)

(2.73)

processo evolutivo, que vai resultar na melhor solução. Historicamente, podemos afirmar que os princípios que subjacentes a estes algoritmos surgiram em 1960 através da pesquisa de I.

Rechenberg [28], e a criação e desenvolvimento do algoritmo em si surgiu da pesquisa de J. Holland [29].

O princípio básico destes algoritmos baseia-se no cruzamento e combinação de genes. Em termos

biológicos, o que ocorre é uma combinação dos genes dos pais de modo a formar um cromossoma. Esse cromossoma pode depois sofrer mutações durante o processo.

Passando estes princípios biológicos para um algoritmo genético. O processo começa com um

conjunto de soluções (os cromossomas) chamados população. A partir desta é formada uma nova população, que se espera ser melhor que a que lhe deu origem, isto é, espera-se que as novas

soluções obtidas sejam melhores que as anteriores.

A criação dos cromossomas e a selecção dos pais para gerar o novo espaço de soluções são duas questões centrais no funcionamento do algoritmo.

Antes de respondermos a estas questões é importante explicar a codificação utilizada nos

cromossomas. A mais vulgar é uma codificação binárias, em que cada 0 ou 1 representa uma determinada característica da solução – Cromossoma 1: 1001101110010

Quanto á criação dos cromossomas, são utilizados dois métodos:

• Cruzamento: depois do cromossoma ter sido codificado, são seleccionados dois

cromossomas pais, e é criado o descendente. A maneira mais vulgar de isto ser feito é seleccionando uma parte do cromossoma 1 e outra parte do cromossoma 2, e juntar no

descendente:

Cromossoma 1: 1001 100101 Cromossoma 2: 0010 100111 Descendente 1: 1001 100111

• Mutação: depois de ser criado o cromossoma descendente, este é mutado, isto é, alguns dos seus genes são (aleatoriamente) alterados. Este processo é feito para que se impeça o

algoritmo genético de cair num mínimo local.

De modo a não se perderem os melhores cromossomas da população anterior, é utilizado um princípio chamado elitismo, em que os melhores cromossomas são copiados na íntegra para a nova

população.

Quanto á selecção dos cromossomas pais, existem diversos métodos que podem ser utilizados:

• Roleta: os pais são seleccionados de acordo com a sua qualidade. Isto é, quanto melhores são, maior é a probabilidade de serem seleccionados para darem descendência.

29

• Classificação: neste método toda a população é classificada e recebe um valor de acordo com esta. Relativamente á roleta, este método oferece mais hipóteses a que todos os

cromossomas sejam seleccionados, mas devido ao facto de não existir uma grande distinção entre a qualidade dos cromossomas proporciona-se a que sejam seleccionados, um número

significativo de vezes, cromossomas que não são os ideias. Isto resulta numa menor velocidade de convergência do processo.

• Torneio: os cromossomas são postos a competir uns com os outros, e vence aquele que tiver maior qualidade.

2.4 - Newton-Raphson

O método de Newton-Raphson é um método para a obtenção de soluções de equações algébricas não-lineares [30]. Este é utilizado pelo Ansys [14] para a resolução de problemas não-lineares, como

será visto numa secção posterior, e também pelo Matlab no seu algoritmo de optimização [24]. O problema consiste em resolver:

Para equações algébricas e lineares são conhecidas fórmulas que, de um modo explícito, determinam as raízes das equações. Para as restantes equações, isto não se verifica, sendo por isso necessário

que se recorra a métodos aproximados para as resolver. Geralmente estes métodos actuam de um modo iterativo. Isto é, partem de um conjunto de valores de x conhecidos (x0, x1, x2, ..., xn) e a partir

destes constroem uma nova aproximação, preferencialmente melhor que a anterior.

Neste método a função a ser estudada é, sucessivamente, aproximada pela sua tangente. Isto diverge de outros métodos como, por exemplo, o da bissecção e o da falsa posição, em que a função

era aproximada pela sua secante [30]. A intersecção desta tangente á curva com o eixo dos xx é tomada como o novo valor para o cálculo dos zeros da função.

Na figura abaixo podemos ver um exemplo gráfico de uma iteração do método de Newton-Raphson:

f (z) = 0

Figura 2.18: Método de Newton-Raphson (1)

30

(2.74)

(1) Figura retirada de: Pina, Heitor - Métodos Numéricos. 1ª Edição: McGraw-Hill, 1995

Temos uma função f(x), e temos depois a sua tangente ao ponto x0 considerado. Este ponto x0 é a primeira estimativa do zero da função. A equação desta tangente é dada por:

E a sua intersecção com o eixo dos xx é dada por:

A partir desta expressão podemos obter um novo ponto, que é uma nova estimativa do zero da função.

Como é possível observar, este método exige o conhecimento da derivada da função no ponto. Se a

função em questão for muito complexa, isto pode ser uma tarefa complicada. A grande vantagem deste método é a sua taxa de convergência, que é quadrática [30]. Isto significa que, de um modo

grosseiro, o número de algarismos correctos duplica a cada nova iteração.

A descrição acima foi dada para o método de Newton-Raphson para apenas uma equação. Esta é, também, uma ferramenta muito adequada para ser utilizada na obtenção da solução de um sistema

de equações. Recorrendo á série de Taylor, podemos expandir o caso de uma só equação para um sistema de equações:

Em que z são as soluções deste sistema. Isto implica que, para a solução do sistema de equações utilizando o método de Newton-Raphson vai ser preciso obter-se o jacobiano:

O incremento h em cada iteração k é dado por:

Podemos então obter o sistema de equações final a ser resolvido:

Se o jacobiano for invertível, podemos transformar a expressão acima numa mais conveniente:

Que, como facilmente se observa, é semelhante á equação (2.77), obtida para o método de Newton-Raphson para apenas uma equação.

y = f (xk )+ f '(xk )(x − xk )

xk+1 = xk −f (xk )f '(xk )

fi (z) ≈ fi (x(k ) )+ ∂ fi

∂x j(x(k ) )(z j − x j

(k ) ) = 0j=1

n

∑

Jij (x) =∂ fi∂x j

(x)

h(k ) = x(k+1) − x(k )

x(k+1) = x(k ) − (J(k ) )−1f (k )

J(k )h(k ) = −f(k )

31

(2.75)

(2.76)

(2.77)

(2.78)

(2.80)

(2.81)

(2.79)

3. Formulação do Problema:

3.1 - Geometria da célula

Foi visto na introdução ao trabalho que existem várias configurações de células possíveis para um painel OpenCell. Neste trabalho utilizou-se uma célula hexagonal que está representada abaixo:

3.2 - Função objectivo

O objectivo deste problema é, numa primeira análise, o de maximizar a rigidez do painel quando sujeito a determinadas cargas e condições fronteira. Isto é o mesmo que dizer que o objectivo do

trabalho era o de minimizar a energia elástica total da placa, que é equivalente ao trabalho elástico das forças externas:

A segunda função objectivo consiste na minimização da deformação plástica total do painel quando sujeito a um esforço que o leva ao regime plástico. Para a sua determinação utiliza-se o incremento

de deformação plástica dado por:

Este é um valor obtido para os nós dos elementos. A função objectivo, utilizando este parâmetro, é dada por:

Figura 3.1: Célula do trabalho

[K]{d} = {F}→ {d}T [K]{d} = {d}T {F}min f (x) = {d}T {F}

Δε̂ pl =23

Δε pl{ }T [M ] Δε pl{ }⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

Δε̂ pl dAΩ∫Todos os

incrementosde carga

∑

32

(3.1)

(3.2)

(3.3)

(3.4)

A terceira função objectivo é a minimização do trabalho plástico da placa, sendo o incremento do trabalho plástico dado por:

Tal como na expressão (3.3), este é um valor obtido para os nós dos elementos. A função objectivo, utilizando este parâmetro, é dada por:

Em ambas as expressão acima [M] é uma matriz de constantes utilizada pelo Ansys para os cálculos [14].

3.3 - Variáveis de projecto

Tendo a função objectivo, é necessário definir as variáveis de projecto. Na figura abaixo é possível ver duas variáveis de projecto utilizadas:

• O tamanho do orifício - b;

• A inclinação das lâminas que são cortadas da placa superior - θ;

A variável de projecto θ indica a inclinação das lâminas que são cortadas da chapa superior para serem soldadas á inferior. Os resultados obtidos para esta variável serão indicados no capítulo 5, e é

importante referir como os ângulos são medidos. Como se pode ver acima, o valor de θ começa a ser medido a partir do limite exterior da célula. Isto é, um valor de θ igual a 0º indica que as lâminas foram

completamente dobradas, e um valor de θ igual a 180º indica que estas foram cortadas mas não foi feita qualquer dobra, estando no seu local inicial.

Δk = {σ}[M ]{depl}

Δk dAΩ∫

Todos os incrementos

de carga

∑

Figura 3.2: (i) Variável de projecto b (ii) Variável de projecto θ

33

(3.5)

(3.6)

(i)

(ii)

3.3.1 - Parâmetro α

Como foi dito na introdução do trabalho, as lâminas que são cortadas da placa superior são depois

soldadas á placa inferior. Cada uma das seis lâminas cortadas tem a mesma forma, um triângulo. Ou seja, cada uma das lâminas termina num ponto, o vértice superior do triângulo.

Do ponto de vista teórico, não é possível soldar um ponto. Por muito pontual que seja a soldadura, é

sempre soldada uma linha. Para além disso, quanto mais pequena a área soldada á placa inferior, maior será a concentração de tensões nesse ponto. Ou seja, no limite, se a área de contacto entre a

lâmina e a placa inferior tender para um ponto, a concentração de tensões tende para infinito. Isto é, obviamente, uma situação hipotética e impossível na prática, mas serve para alertar do perigo da

concentração de tensões na área de contacto.

Nos trabalhos anteriores o comprimento da lâmina que é soldada á placa inferior é constante. Ou seja, atribui-se um valor que permita ignorar o efeito de queda de rigidez nessa zona mas que não

reduza substancialmente a altura da placa.

Neste trabalho um dos objectivos passa pelo estudo da influência do comprimento da linha soldada. Este parâmetro que controla o comprimento de soldadura é identificado por α:

Como se pode ver, transformou-se o comprimento da linha c numa função do valor do comprimento

do orifício b. A relação entre os dois parâmetros é linear, sendo a constante de proporcionalidade dada por α. Olhando com maior atenção para este parâmetro, vemos que se podem obter as

seguintes situações limite:

• α = 0: obtemos uma soldadura num ponto, a situação puramente teórica que foi referida acima;

• α = 1: b e c têm o mesmo valor, o que quer dizer que a lâmina é totalmente cortada. Nesta situação temos apenas uma placa em cima de outra.

Para além de olharmos para o parâmetro α como uma variável de projecto podemos também olhar

para ele como um parâmetro industrial. Ou seja, este é um parâmetro que equilibra as propriedades

Figura 3.3: Variável de projecto α

34

mecânicas da placa (será visto numa secção á frente que este parâmetro influencia, directamente, o valor da altura da placa) com a facilidade e flexibilidade do processo de soldadura da lâmina á placa

inferior a nível industrial.

3.4 - Constrangimentos

Tendo definido a função objectivo e as variáveis de projecto é agora necessário definir os

constrangimentos desses parâmetros. A figura abaixo ilustra as variáveis utilizadas e algumas relações geométricas existentes entre estas:

Para as três variáveis de projecto adoptadas temos constrangimentos de desigualdade que limitam os seus valores superior e inferior:

Estes constrangimentos servem, essencialmente, para que não exista o perigo de, durante o processo de optimização, o painel deixar de ter algumas propriedades características. Se, por

exemplo, a variável θ tiver um valor nulo, então a placa não terá altura, serão apenas duas placas sobrepostas soldadas uma á outra. O mesmo ocorre com a variável b. Se esta tiver um valor nulo,

temos a mesma situação. Para além destas situações limites podem ocorrer vários outros problemas geométricos que, com a existência destes constrangimentos, são assim impossibilitados.

O facto de se utilizar o parâmetro α como uma variável de projecto impõe a existência de um

constrangimento não linear. Podem existir situações em que, devido á existência da variável θ e do facto das lâminas se poderem inclinar em direcção ao exterior da placa, mesmo estando esta dentro

dos constrangimentos lineares, a lâmina invade uma célula vizinha. Isto pode ser visto na figura 3.5:

Figura 3.4: Relações geométricas entre as variáveis de projecto

binf ≤ b ≤ bsupθ inf ≤θ ≤θsupα inf ≤α ≤α sup

35

(3.7.1)

(3.7.2)

(3.7.3)

Este problema não se resolve apenas com um constrangimento linear, pois o valor máximo que θ

pode tomar vai depender do valor do parâmetro α, e vice-versa. Quando são utilizadas estas variáveis em separado este problema não se coloca, e pode ser resolvido através de constrangimentos

lineares. Mas nas situações em que as duas variáveis são utilizadas em simultâneo é necessário utilizar-se um constrangimento adicional.

Como se pode ver pela figura 3.4, o valor de L tem de ser inferior a F para a lâmina não invadir uma

célula vizinha. O parâmetro F é o comprimento do limite do orifício até ao limite da célula e L é o comprimento entre o limite do orifício, medido na placa superior, e a linha de soldadura da lâmina. O

parâmetro a é o comprimento da célula, que tem um comprimento fixo de 0.2 m. Temos então um constrangimento com a seguinte forma:

Em que γ é um parâmetro de segurança que vai definir o valor da folga existente entre o orifício e o limite da célula.

3.5 - Placa total e propriedades

Acima é descrita apenas uma célula. Essa célula é depois repetida, de modo a formar a placa que é o objecto de estudo do presente trabalho. Foi analisada uma placa de 1 x 1 m, com uma pressão

distribuída uniformemente sobre esta. Abaixo temos uma tabela que resume os parâmetros

Figura 3.5: Violação do constrangimento não-linear

L ≤ γ F

F = a2− bsin60º

L = hcosθ = tan60º2

b(1−α )cosθ

cosθ tan60ºb(1−α )a2− bsin60º

≤ 2γ

36

(3.8.1)

(3.8.2)

(3.8.3)

(3.8.4)

essenciais utilizados no trabalho, em que N é o número de células utilizadas na placa e LT o comprimento total da placa.

a (m) 0.2

N 5 x 5

LT (m) 1

E (GPa) 70

Et (GPa) 7

σy (MPa) 100

υ 0.5

Abaixo podemos ver uma imagem da placa:

3.6 - Processo de optimização

Tendo definido todas as componente essenciais para um processo de optimização - função objectivo,

variáveis de projecto, constrangimentos - fazemos agora uma breve descrição sobre o processo de optimização propriamente dito, e como as diversas ferramentas utilizadas (nomeadamente os

softwares que serão descritos de seguida) interagem entre si.

O processo seguido em cada caso de optimização é o mesmo: utiliza-se em primeiro lugar o algoritmo genético, que depois devolve valores óptimos para o caso em análise. Depois utiliza-se o

algoritmo fmincon, que exige como parâmetros de entrada pontos de busca iniciais. Para estes

Tabela 3.1: Propriedades da placa

Figura 3.6: Placa total

37

valores utilizam-se os valores obtidos no algoritmo anterior, pois, se tudo corresse como esperado, são já os pontos óptimos ou, se não, estão pelo menos próximos destes.

O fluxograma abaixo ilustra esquematicamente o desenrolar do processo de optimização, e

facilmente se verifica que este segue, essencialmente, os passos enunciados atrás que devem ser seguidos para a elaboração de um processo deste tipo.

MatLab

Valores iniciais:b0 | Ɵ0 | α0

Algoritmo de Optimização

Critério de Convergência?

Sim Não

Valores óptimos:bopt | Ɵop | α0

Novos Valores:bn | Ɵn | αn

Ansys

Escrever bn | Ɵn | αn em ficheiro .txt

Lançamento Ansys (batch mode)

Lê ficheiro de comandos

Lê ficheiro com bn | Ɵn

Análise Não-Linear

Energia Elástica Total

Escrever valor em ficheiro .txt

1ª Iteração

MatLab

Figura 3.7: Fluxograma - Processo de optimização do trabalho

38

4. Software

4.1 - Matlab


O software Matlab é uma ferramenta computacional destinada, principalmente mas não

exclusivamente, ao desenvolvimento de algoritmos e computação numérica [24]. É usado para uma grande variedade de aplicações, e no caso deste trabalho é utilizado como optimizador da placa a ser

estudada.

4.1.2 - Algoritmo fmincon:

O software Matlab disponibiliza uma toolbox com diversos algoritmos de optimização passíveis de

serem utilizados. Como é dito numa secção anterior, para este trabalho é utilizado um método baseado no gradiente do problema, mais especificamente é utilizado o fmincon, que assenta nos

princípios do SQP [31] abordados anteriormente.

O algoritmo fmincon disponível no software Matlab consiste em três passos principais:

• Actualização da Hessiana;• Solução do QP; e

• Busca em linha.

No primeiro passo do método podem ser utilizados vários métodos quasi-Newton. Aqui é utilizado o método BFGS [24]. Recomenda-se que a matriz Hessiana actualizada seja mantida positiva definida

[32], mesmo que, em algum ponto, seja positiva indefinida. Esta recomendação é feita para que o problema QP definido acima se mantenha estritamente convexo.

O método BFGS pode levar a que se obtenha uma Hessiana singular ou indefinida. Para ultrapassar

isto, Powell [32] sugeriu uma modificação ao método BFGS, que se tem verificado correcta para a maioria dos casos analisados.

Para o cálculo da Hessiana actualizada é feita uma sequência de passos, na qual o primeiro passa

por determinar o vector de mudança valores z(k):

É depois calculada a diferença dos Lagrangianos em dois pontos:

São depois calculados vários valores escalares que são utilizados para o cálculo da Hessiana actualizada:

s(k ) =α kd(k )

z(k ) = H(k )s(k )

y(k ) = ∇L(x(k+1),u(k ),v(k ) )−∇L(x(k ),u(k ),v(k ) )

39

(4.1)

(4.2)

(4.3)

Quando a expressão (4.5) acima é negativa isto pode levar a que se obtenha uma Hessiana indefinida. Este facto é contrariado através do vector w(k) abaixo:

Tendo estes valores é possível calcular a matriz Hessiana actualizada, sendo D(k) e E(k) matrizes de correcção:

No algoritmo fmincon é feito um procedimento ligeiramente diferente. A Hessiana positiva definida é obtida modificando-se a matriz w(k) elemento a elemento.

O facto de esta modificação ser feita elemento a elemento tem como objectivo que os valores

‘correctos’ da matriz (por ‘correctos’ entenda-se aqueles que contribuem para que a actualização da Hessiana seja uma matriz positiva definida) sejam alterados o menor possível. Para se conseguir este

objectivo segue-se o procedimento seguinte:

• O valor mais negativo da matriz sk é dividido por 2;• Processo repete-se até s(k).w(k) ser maior ou igual a uma tolerância negativa;

• Se s(k).w(k) for positivo, é calculada a Hessiana;• Se continuar negativo, modifica-se a matriz w(k) adicionando um vector multiplicado por um

valor escalar constante a;• Aumentar o escalar a até s(k).w(k) ser positivo.

O segundo passo do método é a resolução do sub-problema QP:

O software Matlab disponibiliza quatro algoritmos diferentes para serem utilizados, nas fases subsequentes do método, com o algoritmo geral fmincon:

• Interior Point;

• SQP;• Active Set;

• Trust Region Reflect;

ξ1 = s(k ) ⋅y(k )

ξ2 = s(k ) ⋅z(k )

θ = 1 se ξ1 ≥ 0.2ξ2 ou θ = 0.8ξ2

(ξ2 −ξ1)w(k ) = θy(k ) + (1−θ )z(k )

ξ3 = s(k ) ⋅w(k )

D(k ) = w(k )w(k )T

ξ3

E(k) = z(k )z(k )

T

ξ2H(k+1) = H(k ) +D(k ) − E(k )

min f = cTd + 0.5dTHd

40

(4.4)

(4.5)

(4.6)

(4.7)

(4.8)

(4.9)

(4.10)

(4.11)

(4.12)

Neste trabalho foi feita uma análise sobre qual dos algoritmos se adequava melhor ao problema em questão, e os resultados indicaram que o algoritmo Active Set permite obter os melhores resultados.

Por essa razão, nos parágrafos seguintes será descrito o processo do fmincon utilizando este algoritmo.

Este método tem este nome pois existe um conjunto activo (active set) de números [33, 34] que são a

estimativa dos constrangimentos activos no ponto de solução - Ak. Os constrangimentos de igualdade estão sempre neste active set. Este conjunto Ak é actualizado a cada iteração, e a partir deste é

formada a base para a direcção de busca dASk. Esta direcção dAS

k é uma direcção utilizada dentro do

algoritmo active set, e não deve ser confundida com a direcção de busca (dk) efectuada em cada iteração principal do algoritmo SQP.

O subespaço possível para esta direcção dASk é obtido a partir de uma matriz Zk, cujas colunas são

ortogonais ao active set Ak. Deste modo, garante-se que a direcção dASk se mantém nas fronteiras

dos constrangimentos activos. Esta matriz Zk é obtida a partir das últimas (r - l) colunas da

decomposição QR da matriz Ak transposta, em que r é o número total de constrangimentos (de igualdade e desigualdade - m + p) e l é o número de constrangimentos activos:

O caracter ‘:’ é um notação própria do Matlab, que quer dizer ‘de - até’. Quando é utilizado isoladamente quer dizer ‘do princípio ao fim’. Ou seja, significa o que foi dito acima, que são utilizadas

todas as linhas do vector Q, mas apenas as últimas r - I colunas.

Obtida a matriz Zk é procurada uma direcção de busca dASk que minimize o sub-problema QP que se

está a resolver, e que esteja no subespaço ortogonal dos constrangimentos activos. Isto é, dASk é uma

combinação linear das colunas de Zk:

Em que p é um vector. Se substituirmos a expressão (4.6) no sub-problema QP obtemos:

Diferenciando em ordem a p obtém-se:

O termo ZkTHZk é chamado Hessiana projectada. Assumindo que a matriz H é positiva definida (o que é o caso no algoritmo SQP), então o mínimo da função q(p) no subespaço definido por Zk ocorre

quando a sua derivada é igual a zero, que é a solução do sistema de equações seguinte:

A(k )T = QR

QTA(k )T =R0⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

Z(k ) = Q[:,l +1:r]

dAS(k ) = Z (k )p

q(p) = cTZ(k )p + 12pTZ(k )

T

HZ(k )p

∇q(p) = Z(k )T

HZ(k )p + Z(k )T

c

Z(k )T

HZ(k )p = −Z(k )T

c

41

(4.13)

(4.14)

(4.15)

(4.16)

(4.17)

(4.18)

(4.19)

Depois é procurado um novo valor de x para o sub-problema QP a ser resolvido, utilizando-se a expressão abaixo:

Visto que a função objectivo é quadrática, existem apenas duas escolhas possíveis para o valor de α: um valor de unidade ao longo de dAS

k é o passo exacto para o mínimo da função restringida dentro do

subespaço ortogonal de Ak. Se puder ser utilizado esse valor sem existir violação dos

constrangimentos, então esta é a solução do sub-problema QP. Se se verificar violação dos constrangimentos, então o valor de α ao longo da direcção dAS

k é menor que 1, e é incluindo um novo

constrangimento dentro do active set para a iteração seguinte. A distância até ás fronteiras criadas

pelos constrangimentos, em qualquer direcção dASk, é dada por:

Definido para constrangimentos fora do conjunto activo e nos casos em que dASk é em direcção ás

fronteiras impostas pelos constrangimentos. Isto é:

Quando são incluídos n constrangimentos independentes no conjunto active, e não foi ainda determinada a localização do mínimo, então é necessário o cálculo dos multiplicadores de Lagrange.

Estes são obtidos através do conjunto de equações lineares não singulares seguinte:

Se depois de calculados os multiplicadores se verificar que estes são todos positivos, então xk é a solução óptima do sub-problema QP. No entanto, se algum dos multiplicadores for negativo, e esse

multiplicador não corresponder a um constrangimento de igualdade, então esse elemento é eliminado do conjunto activo, e é iniciada uma nova iteração.

O algoritmo descrito acima necessita de um ponto inicial para busca. Se possível, é utilizado o ponto

actual do algoritmo principal SQP. Se não for possível utilizar este, então é determinado um novo ponto resolvendo o problema linear abaixo:

Se existir um ponto aceitável, este pode ser determinado assumindo-se que x tem um valor que satisfaz os constrangimentos de igualdade. Este valor pode ser determinado resolvendo-se um

conjunto de equações lineares formado pelo conjunto destes constrangimentos. Se for encontrado um valor a partir deste conjunto de equações, então a variável γ tem o valor máximo entre todas as folgas

dos constrangimentos de desigualdade neste ponto.

x(k+1) = x(k ) +αdAS(k )

dAS(k ) = Z (k )

T

p

ξ = mini∈{1,...,m}

−(Aix(k ) − bi )

AidAS(k )

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

Aid(k ) > 0 i = 1 a m

A(k )Tλ (k ) = c

minγ ∈,x∈n

γ

niTx = ei , i = 1 a paiTx −γ ≤ bi , i = p +1 a m

42

(4.20)

(4.21)

(4.22)

(4.23)

(4.24)

(4.25)

De referir que o algoritmo utilizado acima para a resolução do sub-problema QP pode ser transformado num algoritmo para resolver um problema LP. Isto é feito assumindo-se que a direcção

de busca do algoritmo é a direcção de descida máxima.

Se, no algoritmo para a resolução do sub-problema QP, não for obtida uma solução possível, então assume-se que a direcção de busca para o algoritmo principal SQP é a que minimiza o valor de γ na

expressão explicitada acima.

Tendo obtido então o valor da direcção de busca - dASk - voltamos agora ao algoritmo principal do

SQP, entrando no terceiro e último passo do processo, onde são calculados os novos valores da função objectivo, obtidos através da expressão:

É preciso então calcular o valor de α. No algoritmo fmincon este processo é feito através de uma função chamada merit function [35]. O objectivo passa por o valor de α ser tal que provoca uma

diminuição suficiente na merit function abaixo:

Em que ri é o pénalti. Recomenda-se que este parâmetro tenha o valor seguinte:

O objectivo desta recomendação é para que possa existir uma contribuição dos constrangimentos que, no sub-problema QP resolvido acima, estejam inactivos, mas que estiveram recentemente

activos. Na primeira iteração ri tem o valor:

Obtido o valor de α podemos então calcular os novos valores da função objectivo. O processo é então repetido desde o início, até ser cumprido o critério de paragem.

4.1.3 - Algoritmo genético

O software Matlab oferece a possibilidade, através da sua Optimization Toolbox, da utilização deste tipo de algoritmos [24]. Será dada uma breve explicação sobre o modo como este algoritmo está

implementado, da codificação utilizada e dos parâmetros relevantes que foram usados neste trabalho.

Abaixo podemos ver um fluxograma sobre o funcionamento de um algoritmo genético no Matlab:

x(k+1) = x(k ) + ξd (k )

Φ(x) = f (x)+ ri ⋅gi (x)+ ri ⋅max[0,gi (x)]i=p+1

m

∑i=1

p

∑

ri = r(k+1)i = max

iλi ,

r (k )i + λi

2⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

, i = 1 a m

ri =∇f (x)∇gi (x)

43

(4.26)

(4.27)

(4.28)

(4.29)

Abaixo está um esquema que ilustra a evolução de uma solução num algoritmo genético. Podemos

ver que, com a evolução das gerações, a população (pontos a azul) se vai aproximando do valor óptimo.

Figura 4.1: Fluxograma - Processo de optimização do algoritmo genético

44

4.2 - Ansys


Este software foi utilizado para se analisar o comportamento da placa quando sujeito a diversos tipos de solicitações. A partir dessa análise obtinham-se diversos parâmetros que actuavam como

indicadores de optimização do problema. Como foi dito anteriormente, o objectivo deste trabalho dividia-se em dois grupos principais: no primeiro grupo era feita uma análise estática da placa, e no

segundo grupo era feita uma análise não-linear.

Como se pode ver pelo fluxograma na figura 3.7, o Ansys actua sem intervenção do utilizador. Este era lançado em batch mode através de um comando DOS, executava uma série de instruções

presentes num ficheiro .txt, devolvia os resultados necessários e encerrava. Tudo isto era feito directamente a partir de uma sequência de comandos do Matlab.

De seguida será feita uma breve explicação sobre o procedimento utilizado pelo Ansys para efectuar

uma análise não-linear, e serão referidos os parâmetros mais importantes que são comuns a análises utilizando softwares baseados no método dos elementos finitos.

Figura 4.2: Exemplo de evolução de um algoritmo genético (1)

45(1) Figura retirada de: “Matlab Product R2011a Documentation” Mathworks

4.2.2 - Análise não-linear:

Para se fazer um estudo de plasticidade é necessário fazer-se uma análise não-linear. Segundo a

documentação disponível pelo software, uma estrutura é considerada não linear se o carregamento provocar alterações significativas na sua rigidez. Estas alterações são devidas a vários factores, entre

os quais [15]:

• Entrada em regime plástico;• Grandes deslocamentos;

• Contacto entre dois corpos.

Podemos apontar o aparecimento formal de uma equação que ilustra o comportamento linear dos materiais a Robert Hooke, que relacionou de uma forma muito simples a força (F) e o deslocamento

(u):

Existem, no entanto, estruturas que não verificam esta equação. Abaixo podemos ver dois gráficos que representam o comportamento destes dois tipos de estruturas quando sujeitas a uma solicitação:

Como se pode ver, a rigidez deixa de ser constante, e passa a ser dependente da carga aplicada - KT

na curva acima. Um comportamento não-linear não pode ser analisado do mesmo modo que um comportamento linear, pois não se pode usar, de um modo directo, um conjunto de equações

lineares. Mas é possível, no entanto, analisar um comportamento deste tipo recorrendo-se a uma série iterativa de aproximações lineares.

O software Ansys utiliza, para a resolução deste tipo de problemas, o método de Newton-Raphson

[14], que foi já explicado numa secção anterior.

4.2.3 - Modelo de plasticidade

O Ansys permite a utilização de vários modelos de plasticidade. Para este trabalho escolheu-se, para

simular o comportamento da placa, o modelo de encruamento isotrópico bilinear (BISO). Este modelo é indicado para grandes deformações e para cargas não-cíclicas, o que era o caso. Como foi visto

anteriormente, este tipo de modelo não contempla o fenómeno de Bauschinger, mas visto que este é

F = Ku

Figura 4.3: (i) Relação linear entre força e deslocamento (1) (ii) Relação não-linear entre força e deslocamento (1)

46

(i) (ii)

(1) Figura retirada de: “Release 11.0 Documentation” Ansys

importante principalmente em carregamentos cíclicos e alternados, que não é o caso, o efeito poderia ser desprezado.

Podemos ver na figura abaixo a curva tensão-extensão utilizada no software neste trabalho.

4.2.4 - Descrição do processo

De seguida será feito um breve resumo sobre o modo como o Ansys executa uma análise não-linear

[14]. Primeiro são calculadas as extensões-teste utilizando a expressão seguinte:

Em que o primeiro elemento do lado direito da equação é a extensão total e o segundo é o valor da extensão plástica no passo anterior. A partir deste valor da extensão-teste calcula-se a tensão-teste:

Em que D é a matriz do módulo de elasticidade tangente. É aqui calculada a tensão equivalente, uma expressão específica para o modelo de plasticidade adoptado:

Em que {S} é o vector das tensões desviadoras:

O critério de von Mises sofre então uma transformação e, computacionalmente e para este modelo, é dado por:

Figura 4.4: Curva tensão-deformação utilizada no trabalho

εntr{ } = εn{ }− εn−1

pl{ }

σ tr{ } = [D] ε tr{ }

σ e =32{S}T [M ]{S}⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

1/2

{S} = {σ}−σ m[1 1 1 0 0 0]T

σ m = 13

(σ x +σ y +σ z )

f = 32{S}T [M ]{S}⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

1/2

−σ k

47

(4.30)

(4.31)

(4.32)

(4.33)

(4.34)

(4.35)

Neste modelo, σk é a tensão de cedência para o estado de tensão presente. Esta tensão é obtida como está ilustrado na figura abaixo:

De referir que este valor de extensão plástica indicado na figura não é o valor para o caso em estudo,

pois este é para a situação de um carregamento uniaxial. Como se vai ver abaixo, a extensão plástica para o caso da placa é calculado utilizando outra expressão.

Tendo isto verifica-se se o elemento entrou, ou não, em regime plástico. Se verificarmos que f = 0,

então estamos em regime plástico.

Entrando em regime plástico é calculado o incremento de extensão plástica [36]. Como será visto á frente, este valor vai servir como um indicador da quantidade de deformação plástica existente:

Em que Q é a função de plasticidade utilizada, neste caso a expressão de Von Mises. Depois de calculado o incremento de extensão plástica podemos então actualizar o valor da extensão plástica, e

calcular também o valor da extensão elástica:

De seguida é calculado o incremento do trabalho plástico e o consequente valor deste:

A partir daqui temos todos os valores necessários para calcular os diversos indicadores disponibilizados pelo software. Um desses parâmetros é chamado Stress State Ratio (SRAT), e é

descrito por:

Figura 4.5: Curva tensão-deformação: Encruamento multi-linear (1)

depl{ } = l ∂Q∂s

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

εnpl{ } = εn−1

pl{ }+ Δε pl{ }ε el{ } = ε tr{ }− Δε pl{ }

Δk = σ{ }T [M ] dε pl{ }kn = kn−1 + Δk

SRAT = σ e

σ y

48(1) Figura retirada de: “Release 11.0 Documentation” Ansys

(4.36)

(4.37)

(4.38)

(4.39)

(4.40)

(4.41)

Facilmente se pode comprovar que este parâmetro é útil para verificar se determinados nós estão em regime plástico ou elástico: se SRAT < 1, então está em regime elástico. Se SRAT > 1, então está já

em regime plástico. Outro parâmetro que, como vai ser possível ver numa secção posterior, é importante, é a chamada extensão plástica equivalente (EPEQ), e o seu incremento pode ser

calculado através de:

O que implica:

É dito na documentação do software que, para um material de von Mises, se tem:

Visto que neste trabalho se verificava que o material era de von Mises, podíamos utilizar a expressão acima. Esta vai revelar-se muito útil durante a elaboração do trabalho pois, como foi dito

anteriormente, o parâmetro λ é um indicativo da quantidade de deformação plástica. E, para além disto, tal como foi referido acima, é a partir deste que é possível calcular o valor das extensões

plásticas.

4.2.5 - Geometria

O primeiro passo para se poder analisar qualquer tipo de estrutura é definir a sua geometria. E a

definição geométrica dessa estrutura, idealmente, começa do mais simples para o mais complexo. Isto é, começa das entidades mais básicas - os pontos - e termina nas entidades finais e mais

complexas - os volumes ou as áreas. Foram então definidos inicialmente os Key Points (KP) da célula. Obtidos os KP foram definidas linhas que uniam os pontos, e finalmente definiram-se as áreas.

Recuperamos abaixo a figura que ilustra as variáveis de projecto do trabalho e algumas relações

geométricas importantes:

Δε̂ pl =23

Δε pl{ }T [M ] Δε pl{ }⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

ε̂npl = Δε̂n

pl + ε̂n−1pl

Δε̂ pl = λ

Figura 4.6: Relações geométricas entre as variáveis de projecto

49

(4.42)

(4.43)

(4.44)

As coordenadas de cada ponto, obtidas durante a fase de definição da peça no software Ansys, estão disponíveis em anexo, juntamente com algumas expressões relevantes obtidas. Todas as expressões

utilizadas para a obtenção da geometria da peça são função das variáveis de projecto. Abaixo temos uma figura que ilustra os pontos da célula definidos no software:

4.2.6 - Elemento

Para modelar as placas, visto que se trata de um elemento que tem duas dimensões muito superiores á terceira, optou-se por um elemento do tipo Shell. Este tipo de elementos é adequado para modelar

estruturas finas. Escolheu-se então o elemento Shell 281, pois cumpria todos os requisitos exigidos, e permitia a utilização de modelos de plasticidade.

Este tipo de elemento é adequado para analisar estruturas finas a moderadamente espessas [14]. É

um elemento com 8 nós e 6 graus de liberdade em cada um deles: translações em x, y e z, e rotações em relação aos eixos x, y e z. Como é dito na documentação de ajuda do Ansys, os elementos shell

obedecem á teoria de placas de Mindlin-Reissner, também conhecida como First Order Shear Deformation Theory, que foi mencionada numa secção anterior.

Figura 4.7: Célula do trabalho: key-points

Figura 4.8: Elemento Shell 281 (1)

50(1) Figura retirada de: “Release 11.0 Documentation” Ansys

4.2.7 - Malha

Este é um dos passos mais importantes de uma análise utilizando um método de elementos finitos.

Uma malha muito grosseira vai resultar em resultados insatisfatórios. Uma malha muito refinada vai resultar num processo demasiado lento. Existe, pois, um valor ideal de refinamento de malha, que

equilibra a qualidade de resultados e o tempo de execução do processo.

Para se obter esse valor é necessário fazer uma análise de convergência. Isto é, começar com uma malha grosseira, fazer uma análise, e ir aumentando o grau de refinamento, analisando sempre o

mesmo parâmetro, e verificar a partir de que valor este parâmetro converge. Foram obtidos diversos valores, para diferentes zonas da célula, que serão revelados numa tabela abaixo.

Abaixo podemos ver um gráfico que ilustra a análise de convergência efectuada, no qual o parâmetro

escolhido foi o número de divisões da dimensão A, que pode ser visto na figura 4.9:

5 9 13 17 21 25 29 33 37 41

[1] 0.7057 0.7301 0.7332 0.7370 0.7427 0.7405 0.7421 0.7421 0.7422 0.7421

Como se pode ver, sensivelmente a partir das 21 divisões da dimensão A temos uma convergência de

resultados.

Devido á forma irregular da peça em questão, não fazia sentido definir uma malha uniforme em toda a peça. Optou-se então por um sistema que, dependendo das dimensões, o número de divisões para a

malha eram diferentes. Isto é, para dimensões maiores, a malha teria mais divisões, para evitar que se obtivesse uma malha muito grosseira.

Criaram-se então três zonas distintas de divisões, que podem ser vistas na figura abaixo:

Tabela 4.1: Análise de convergência

Figura 4.9: Parâmetros de definição da malha

51

Para o lado de cada quadrado da célula, indicado por A, visto que este valor é constante ao longo de

todo o processo, então o número de divisões poderia também ser constante. Para as outras duas dimensões, B, C e D, visto que estes valores dependem directamente dos valores atribuídos ás

variáveis b, α e θ, o número de divisões não poderia ser constante. Criou-se então um ciclo if que, dependendo dos valores que B, C e D tivessem, atribuíam o número de divisões para a criação da

malha. A tabela abaixo indica os valores utilizados neste trabalho:

A (m) Nº de Divisões B (m) Nº de

Divisões C (m) Nº de Divisões D (m) Nº de

Divisões

0.2 16

0.01 - 0.03 5 0.01 - 0.04 5 0.005 - 0.02 3

0.2 16 0.03 - 0.06 6 0.04 - 0.08 6 0.02 - 0.04 40.2 16

0.06 - 0.09 7 0.08 7 0.04 5

Abaixo é possível ver uma imagem da célula já com a malha definida:

4.2.8 - Condições fronteira e carregamento

Seguindo o esquema de uma análise estática no Ansys, o passo depois de ser definida a malha, é a imposição das condições fronteiras e a aplicação do carregamento.

Poderiam ser simuladas várias situações: fronteiras simplesmente apoiadas com uma pressão

distribuída por toda a área ou apenas numa zona específica, uma extremidade apoiada e tensões de corte ou uma força vertical na extremidade oposta, todas as extremidades encastradas com uma

pressão distribuída ou localizada apenas numa área, etc.

Como foi dito, um dos objectivos do trabalho era o de determinar a configuração óptima da célula para várias situações. Para simular várias aplicações diferentes do painel combinaram-se diferentes

Tabela 4.2: Divisões de malha

Figura 4.10: Malha definida

52

condições fronteira: num primeiro caso utilizaram-se todas as extremidades encastradas (E-E-E-E); numa segunda análise utilizaram-se duas extremidades opostas encastradas, e as outras duas livres

(E-E-L-L); finalmente, num terceiro caso utilizaram-se duas extremidades opostas livres, uma encastrada e a outra simplesmente apoiada (E-A-L-L). Em todas as situações utilizou-se uma pressão

distribuída aplicada na placa inferior.

53

5. Resultados e Discussão

Os algoritmos do software Matlab disponibilizam, durante e no fim do processo de optimização,

informações sobre o seu funcionamento. Uma das informações mais importantes é a chamada exit-flag. Este parâmetro é um valor numérico que indica a razão pela qual o algoritmo terminou. Não

serão descritas todas as exit-flag disponíveis em cada um dos algoritmos, apenas as que, por aparecerem nesta secção, se consideram as mais relevantes:

fmincon:

• 1 – o critério de paragem relativamente á informação de 1ª ordem foi verificado, e a

violação máxima dos constrangimentos foi menor que o definido;• 0 – o número máximo de iterações foi excedido;

• 4 – a magnitude da direcção de busca e a violação máxima dos constrangimentos são menores que valores pré-definidos;

• 5 – a magnitude da derivada direccional da direcção de busca e violação máxima dos constrangimentos são menores que valores pré-definidos.

Genético:

• 1 - a magnitude do critério de paragem é menor que a raiz quadrada do valor de

convergência definido, e a violação dos constrangimentos é menor que o valor limite definido;

• 0 - o número máximo de gerações foi excedido.

Abaixo podemos ver os valores utilizados para os constrangimentos do processo de optimização:

Como se viu, γ é um parâmetro de segurança relativamente á folga entre a lâmina e a extremidade da célula. Utilizar um valor de 0.9 significa que o espaço mínimo aceitável entre a lâmina e a fronteira da

célula é 10% do espaço entre o orifício e o limite da célula.

5.1 - Caso 1: Análise Linear

Neste caso é utilizada uma placa encastrada nas quatro extremidades com uma pressão distribuída

tendo o valor de 5 kPa. A representação pode ser vista abaixo:

0.01≤ b ≤ 0.0940 ≤θ ≤1500.15 ≤α ≤ 0.9


≤ 2γ

γ = 0.9

54

(5.1.1)

(5.1.2)

(5.1.3)

(5.2.1)

(5.2.2)

5.1.1 - Caso 1.1: Energia elástica: comparação entre células

Como foi referido, o primeiro objectivo do trabalho é maximizar a rigidez do painel e comparar os resultados obtidos com um trabalho semelhante que utilizou uma célula diferente [9]. Nesse trabalho

a célula era quadrangular, como se pode ver na figura 5.2:

Os parâmetros utilizados em ambos os trabalhos são semelhantes, excepto no facto de, neste

trabalho, ter sido acrescentado o parâmetro α como variável de projecto. Ou seja, no trabalho anterior a altura da placa dependia apenas da inclinação das lâminas, pois o comprimento da linha soldada á

placa inferior tinha um valor constante. Para os resultados poderem ser comparados era então necessário que a altura máxima que as placas pudessem ter fosse a mesma, e para isso é

necessário encontrar um valor equivalente aparente para o parâmetro α. De realçar a expressão valor equivalente aparente, pois este parâmetro existe apenas neste trabalho. O valor obtido é o seguinte:

Figura 5.1: Placa com constragimentos e carregamento (E-E-E-E)

Figura 5.2: Célula quadrangular (1)

55(1) Figura retirada de: Luongo, Fabio - “Optimization of the Reinforcement Configuration of an OPENCELL®

Type Flat Panel” - Instituto Superior Técnico, 2011

Podemos então determinar a configuração óptima do painel utilizando como variáveis de projecto b e θ, visto que o parâmetro α é constante durante o processo. Abaixo podemos ver os resultados obtidos

em ambos os trabalhos, sendo a primeira linha os resultados do trabalho anterior:

Algoritmo Energia Elástica [J] bopt [m] Ɵopt [º] αopt

Nº de Avaliações

Exit Flag

Altura (cm)

fmincon 0.0840 0.16 76.8 44 5 6.3

Genético 0.0785 0.089 71.7 630 1 6.2

fmincon 0.0756 0.090 75.9 165 5 6.4

Como se pode ver, o valor de b é o valor limite superior. Isto é expectável, pois, desse modo, a altura

da placa é maximizada, e consequentemente também a sua rigidez. Isto acontece para ambas as geometrias de células.

Também em ambas as placas a inclinação das lâminas apresenta um valor óptimo diferente de 90º.

Este resultado não é expectável pois, como é possível observar pela expressão acima, o valor máximo da altura é obtido para uma inclinação de 90º. No entanto, não é isso que se verifica. Ou

seja, o facto das lâminas estarem ligeiramente inclinadas, apesar de sacrificar em parte a altura da placa, aumenta a sua rigidez. Com esta inclinação a deformação da placa torna-se, assim, mais

difícil.

É também possível observar que o valor da função objectivo, a energia elástica, é menor para a placa do presente trabalho. Isto é expectável pois, tratando-se de uma célula hexagonal, apresenta seis

lâminas, contra as quatro presentes numa célula quadrangular. Isto provoca uma menor possibilidade de deformação da placa, que está dificultada pelo facto de ter menos liberdade devido ás seis

lâminas. Desta forma a sua rigidez aumenta, facto que é comprovado pelo menor valor da função objectivo.

Célula Quadrangular:

Hquad = (b2− b

12)cosθ

bquadmax = 16mm

Hquadmax = (

bquadmax

2−bquad

max

12)cos0º= 6.67mm

Célula Hexagonal:

Hhex =tan60ºb(1−α )

2bhex

max = 9mmHhex

max = Hquadmax

α = 0.1443

Tabela 5.1: Energia elástica - θ, b (E-E-E-E)

56

(5.3.1)

(5.3.2)

(5.3.3)

(5.4.1)

(5.4.2)

(5.4.3)

(5.4.4)

Abaixo temos a configuração óptima para ambas as células. Verifica-se que estas apresentam claras

semelhanças, apesar das lâminas da célula hexagonal apresentarem um valor menor para a variável θ, estando a célula quadrangular mais próxima da posição vertical.

Temos também, na imagem seguinte, uma comparação entre os deslocamentos em toda a placa para

ambas as geometrias. Como é de esperar, devido á simetria do problema, o gráfico apresenta também uma clara simetria, estando o maior deslocamento concentrado no centro da placa. É

possível observar que, para a geometria hexagonal, o deslocamento está mais concentrado no centro da placa. Isto é, pelas razões apontadas acima para a rigidez ser superior, a área com deslocamentos

mais elevados é mais pequena e mais localizada.

Figura 5.3: (i) Célula hexagonal óptima (ii) Célula quadrangular óptima (1)

Figura 5.4: (i) Deslocamento com célula hexagonal (ii) Deslocamento com célula quadrangular (1)

57

(i)

(ii)

(i) (ii)

(1) Figura retirada de: Luongo, Fabio - “Optimization of the Reinforcement Configuration of an OPENCELL® Type Flat Panel” - Instituto Superior Técnico, 2011

5.1.2 - Energia elástica (α, θ, b)

Neste caso é feita uma optimização á geometria da placa utilizando as três variáveis de projecto em simultâneo. Como foi dito anteriormente, quando se utilizam as três variáveis de projecto em

simultâneo é necessário adicionar um novo constrangimento, que não pode ser uma simples limitação dos valores inferior e superior, mas tem de ser um constrangimento não-linear, pois os valores limites

de todas as variáveis de projecto estão condicionados pelos valores das outras. O constrangimento foi deduzido na secção 3.4, e recorda-se que a sua forma final é dada por:

São feitos dois processos de optimização, sendo que num deles se utilizou o constrangimento não-linear e no outro não. Abaixo temos uma tabela com os resultados obtidos:

AlgoritmoEnergia Elástica

[J]bopt [m] Ɵopt [º] αopt

Nº de Avaliaçõe

sExit Flag Altura

(cm)Const.

NL

Genético 0.0710 0.089 72.92 0.245 6520 1 5.56 Sim

fmincon 0.0712 0.089 71.12 0.250 129 4 5.47 Sim

Genético 0.06879 0.089 69.65 0.238 1050 1 5.51 Não

fmincon 0.06773 0.090 72.9 0.238 165 4 5.61 Não

Em ambas as situações o valor da variável de projecto b é, tal como no caso anterior, o valor máximo

possível. Desse modo maximiza a altura da placa. Relativamente aos valores obtidos para a variável α, verifica-se que estes não implicam a altura máxima da placa pois, como se viu pela figura 3.4,

quanto menor o comprimento de ligação entre as lâminas e a placa inferior, maior a altura da placa. É por isso normal que a altura seja, até certo ponto, sacrificada de modo a ser obtida uma boa ligação

entre as lâminas e a placa. A altura da placa neste caso é menor que em 5.1.1, e isto deve-se ao facto de, nesse caso, o valor de α ser aproximadamente metade do obtido aqui.

Relativamente ao valor da função objectivo, é normal que este seja menor que o obtido no caso

anterior, em que se utilizavam apenas duas variáveis de projecto. Com um parâmetro adicional a placa tem maiores possibilidades de se ajustar, de modo a obter uma nova configuração óptima que

minimize a função objectivo.

Existe uma situação que é óbvia pela leitura da tabela, que é o facto do processo de optimização do algoritmo genético, utilizando o constrangimento não-linear, ser significativamente mais demorado

que aquele em que este constrangimento não é contabilizado. Isto deve-se ao facto de, no algoritmo genético do Matlab, quando se utilizam constrangimentos deste tipo, ser utilizado o Augmented

Lagrangian Genetic Algorithm.


≤ 2γ

Tabela 5.2: Energia elástica - α, θ, b (E-E-E-E)

58

(5.5)

Este tipo de algoritmo cria, dentro do problema de optimização, um novo sub-problema, e só depois de se verificar a convergência deste sub-problema os Lagrangianos são actualizados. Deste modo

exige-se um número de avaliações da função objectivo muito superior, tornando o processo de optimização significativamente mais lento. Este facto não se verifica no algoritmo fmincon que, como

se pode ver abaixo, apresenta uma convergência rápida, necessitando apenas de seis iterações:

Observa-se que, apenas num caso, o constrangimento não-linear é violado: quando este é utilizado

com o algoritmo genético. Quando se utiliza o algoritmo fmincon com os pontos iniciais de pesquisa obtidos pelo algoritmo genético vemos que a solução óptima está dentro do espaço definido pelo

constrangimento não-linear. Observa-se também que os valores óptimos obtidos são mais elevados quando é utilizado este constrangimento. Isto deve-se ao facto de, por si só, o problema ser já

altamente não-linear e de difícil análise, com vários mínimos locais, sendo este facto agravado quando se utiliza um constrangimento adicional com este tipo de complexidade.

Podemos então afirmar que a geometria óptima da célula coloca os limites dos orifícios o mais

próximo possível do limite da placa ou da fronteira de outras células. Isto é devido ao facto que foi apontado para que uma célula hexagonal tenha uma maior rigidez que a quadrangular. O facto dos

orifícios encherem ao máximo a placa diminui a liberdade de deformação desta, aumentando assim a sua rigidez e diminuindo o valor da função objectivo.

No caso 5.1.1, o deslocamento máximo da placa com célula hexagonal é de 0.86E-4. Neste caso,

com as três variáveis de projecto, o deslocamento máximo é de 0.81E-4. Temos, então, um desvio de aproximadamente 6%, o que, juntamente com a diminuição do valor da função objectivo, prova a

utilidade de se utilizar o parâmetro α como variável de projecto.

5.2 - Caso 2: Análise não-linear

Como foi dito na introdução deste trabalho, o segundo objectivo principal consiste no estudo e análise

do comportamento da placa quando levada ao regime plástico. Para isso utiliza-se uma pressão de 4 MPa, que provocava a entrada no regime plástico, mas não implica uma plastificação completa. Não

Figura 5.5: Convergência do algoritmo fmincon

59

se pretende isto, pois, no caso de plastificação total, a placa tem de, obrigatoriamente, sofrer diversos fenómenos que podem alterar a qualidade dos resultados finais. Utiliza-se, então, uma força que leva

a placa ao regime plástico, independentemente da configuração desta. Verifica-se que a percentagem de área plastificada é muito sensível com a configuração da placa. Isto é, com a mesma pressão

podemos ter, aproximadamente, 10% da placa em regime plástico como, com outra configuração, cerca de 90%.

Como primeiro parâmetro de optimização utiliza-se a extensão plástica equivalente. Dentro do

software Ansys este valor é dado por:

Podemos olhar para este valor e ver uma espécie de ‘extensão de Von Mises’, ou seja, este parâmetro dá uma ideia geral do nível de extensão plástica em toda a placa, contabilizando todas as

extensões, e não apenas algumas restritas a certas direcções. A minimização da extensão plástica equivalente é desejável em situações nas quais, sendo a placa sujeita a um esforço que a leva a

entrar em regime plástico, se pretende que a deformação que esta sofre seja a menor possível. É uma situação desejável quando a geometria da placa obedece a exigências apertadas e não é

desejável que as suas dimensões sofram uma alteração significativa.

Recorde-se, também, o que foi dito numa secção anterior:

Isto verifica-se para um material Von Mises, e, tal como foi dito, o multiplicador plástico é um indicador relativo á quantidade de deformação plástica presente num elemento.

5.2.1 - Extensão plástica equivalente (θ, b)

Os primeiros ensaios são feitos com o valor de α fixo, sendo este o valor óptimo obtido no caso 5.1.2. Abaixo podemos ver os resultados obtidos:

AlgoritmoExt.

Plástica Eq.

bopt [m] Ɵopt [º] αoptNº de

Avaliações Exit Flag Altura (cm)

Genético 4.817 0.090 75.36 580 1 5.75

fmincon 4.830 0.089 75.33 322 5 5.68

Tal como acontece no caso anterior, o valor de b é o limite superior, ou seja, aquele que maximiza a

altura da placa e que maximiza o espaço na placa ocupado pelos orifícios, aumentando assim a sua rigidez. A variável θ, tal como no caso da energia elástica, tem um valor diferente 90º, ou seja, as

lâminas da célula não implicam a altura máxima da placa. As razões disto são iguais ás enunciadas

Δε̂ pl =23

Δε pl{ }T [M ] Δε pl{ }⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

Δε̂ pl = λ

Tabela 5.3: Extensão plástica equivalente - θ, b (E-E-E-E)

60

(5.6)

(5.7)

acima, ou seja, esta configuração torna a deformação da célula mais difícil aumentando a sua rigidez e, consequentemente, diminuem a deformação plástica da placa.

Observa-se também que o resultado óptimo é obtido com o algoritmo de optimização genético. Ou

seja, o algoritmo fmincon tem como pontos de pesquisa inicial os pontos óptimos e este acabou depois por convergir para uma situação não-óptima. Este facto dá alguns indícios sobre a dificuldade

de análise deste problema utilizando um algoritmo que exiga informação de primeira ordem sobre a função objectivo devido á presença de vários mínimos locais.

5.2.2 - Extensão plástica equivalente (α, θ, b)

Neste caso o parâmetro utilizado é o mesmo que no caso anterior, mas pretende-se a optimização das três variáveis de projecto. A pressão e todos os outros parâmetros utilizados são os mesmos que

o caso anterior, acrescenta-se apenas uma nova variável de projecto e o constrangimento não-linear que, como foi visto atrás, existe nas situações em que se utilizam as três variáveis em simultâneo.

O mesmo ensaio foi feito com e sem o constrangimento não-linear, tal como no caso 5.1.2. Pretende-

se com isto estudar a influência deste constrangimento no processo de optimização e nos resultados finais. Podemos ver abaixo os resultados obtidos:

AlgoritmoExt.

Plástica Eq.


Avaliações Exit Flag Altura (cm)

Const. NL

Genético 4.45 0.089 75.58 0.321 7650 1 5.07 Sim

fmincon 4.44 0.089 75.53 0.321 152 4 5.07 Sim

Genético 4.50 0.089 81.04 0.299 1020 1 5.34 Não

fmincon 4.39 0.089 85.10 0.298 303 4 5.39 Não

Os resultados são semelhantes aos obtidos em 5.1.2, ou seja, a variável b tem o valor máximo

aceitável, maximizando assim o orifício em cada célula, e tornando-a mais rígida e menos permissível a deformação plástica. Na figura 5.6 é possível ver a consequência desta maximização dos orifícios,

percebendo-se a razão para este resultado.

A variável de projecto θ e α apresentam resultados semelhantes aos obtidos em 5.1.2. Nesta situação o valor de α é maior, o que indica que, dentro do regime plástico, é necessário que o comprimento de

ligação entre as lâminas e as placas seja maior, de modo a minimizar a deformação da placa, aumentando a sua rigidez. Isto é normal visto que nesta situação o esforço a que a placa está sujeita

é consideravelmente superior ao aplicado no caso anterior. Comparando com 5.1.2 verifica-se que a altura da placa neste caso é, aproximadamente, 5% superior.

Tabela 5.4: Extensão plástica equivalente - α, θ, b (E-E-E-E)

61

Abaixo podemos ver duas imagens que comparam a quantidade de deformação plástica da placa quando esta é sujeita ao mesmo carregamento, mas para configurações geométricas diferentes. A

vermelho temos a zona da placa que se encontra em regime plástico:

Facilmente se comprova o impacto que a variação da geometria da célula tem no comportamento

mecânico da placa. É interessante também verificar que, para o caso óptimo, a deformação plástica se encontra fora do domínio das células, isto é, no espaço entre elas. É por esta razão que a

configuração óptima tende a maximizar o espaço ocupado pelos orifícios na placa.

Vale a pena realçar alguns dados da tabela 5.4 que dão informações importantes sobre o comportamento dos dois algoritmos de optimização utilizados. Tal como se verificou no caso 5.1.2, a

utilização do constrangimento não-linear com o algoritmo genético implica um esforço computacional elevado pois o número de avaliações da função objectivo e o número de gerações é

consideravelmente superior nesta situação. Abaixo temos dois gráficos que ilustram este facto:

Uma verificação adicional revela que os resultados obtidos sem o constrangimento não-linear estão

dentro do espaço de soluções aceitáveis definido por este, facto que se verifica no caso 5.1.2.

Figura 5.6: (i) SRAT com configuração não-óptima (ii) SRAT com configuração óptima

Figura 5.7: (i) Convergência algoritmo genético sem constrangimento não-linear (ii) Convergência algoritmo genético com constrangimento não-linear

62

(i) (ii)

(i) (ii)

Verifica-se então que, mesmo sem este constrangimento, a solução óptima tende, naturalmente, para uma geometria aceitável. Contabilizando este facto e o facto de que, com os constrangimentos não-

lineares, o processo de optimização é consideravelmente mais difícil, optou-se por, nas análises posteriores se ignorar esta condição. Obtidos os resultados verificar-se-ia se estes violam o

constrangimento, e em caso afirmativo o processo seria repetido utilizando este constrangimento.

Finalmente, é interessante realçar um facto adicional. As duas melhores soluções obtidas, utilizando como critério o valor da função objectivo, são as obtidas com o algoritmo fmincon. Verifica-se que a

diferença entre as duas é de apenas 1.1%. Mas verifica-se uma diferença considerável da variável θ - aproximadamente 10º. E para o resultado que apresenta um valor de θ menor verifica-se que α é

superior. Isto é, neste caso, o painel perde rigidez aproximando θ de 90º e, portanto, tem de compensar essa perda aumentando o comprimento de ligação da lâmina á placa inferior -

aumentando a variável α.

Ou seja, temos uma pequena alteração no valor da função objectivo, mas temos grandes alterações em duas variáveis de projecto. Isto vem comprovar a existência de vários mínimos locais, e com

valores muito semelhantes, o que dificulta o estudo e análise deste tipo de placas.

5.2.3 - Trabalho plástico (θ, b)

Nesta secção o parâmetro de avaliação é o trabalho plástico. Podemos observar este valor, num

gráfico tensão-deformação, como sendo:

Dentro do software Ansys este é calculado através da expressão seguinte:

Este valor é o trabalho exigido ao esforço imposto para deformar plasticamente o painel. Sendo o nosso objectivo a minimização do trabalho plástico, é esperado que a configuração óptima seja

aquela que maximiza a rigidez da placa. Isto é, espera-se que os resultados traduzam a altura máxima possível.

Figura 5.8: Curva tensão-deformação: trabalho plástico

Δk = {σ}[M ]{depl}

63

(5.8)

Numa primeira análise utilizam-se apenas duas variáveis de projecto, fixando o valor da variável α. Podemos ver abaixo os resultados obtidos durante o processo:

AlgoritmoTrabalho Plástico


Nº de Avaliações Exit Flag Altura

Genético 5.70E8 0.090 83.14 830 1 4.64

fmincon 5.53E8 0.090 84.01 233 5 4.65

Verifica-se que os resultados obtidos são semelhantes aos obtidos no caso anterior. Ou seja, como

era esperado, a variável b tem o valor máximo aceitável, de modo a maximizar o espaço ocupado pelas células na placa, e a variável θ apresenta um valor diferente de 90º.

5.2.4 - Trabalho plástico (α, θ, b)

A função objectivo nesta análise é igual á utilizada no caso anterior, mas aqui utilizam-se as três variáveis de projecto. Não se utiliza o constrangimento não-linear pois, como se verificou nos casos

anteriores, em certa medida, este não é essencial. É suficiente apenas uma verificação posterior da validade dos resultados.

Abaixo podemos ver os resultados obtidos:

AlgoritmoTrabalho Plástico


Nº de Avaliações

Exit Flag

Altura (cm)

Const. NL

Genético 5.995E8 0.089 81.37 0.394 2060 0 4.62 Não

fmincon 5.009E8 0.089 84.00 0.296 389 5 5.40 Não

Vemos que os resultados de b e θ, tendo em conta os casos analisados atrás, são os esperados - b

tem o valor máximo e θ apresenta um valor diferente de 90º. Aqui o resultado interessante é o valor óptimo do parâmetro α: este é superior ao valor óptimo obtido no caso 5.2.2. Ou seja, para se

minimizar o trabalho plástico da placa é necessário um comprimento de ligação entre a lâmina e a placa inferior superior aos obtidos nos casos anteriores. Mas isto não traduz uma diminuição da altura

da placa pois, como se pode ver, neste caso é 0.01 cm superior. Isto é devido ao facto da variável θ apresentar um valor superior.

Abaixo temos uma comparação entre o deslocamento total na placa, obtido com uma configuração

não-óptima e com a configuração óptima:

Tabela 5.5: Trabalho plástico - θ, b (E-E-E-E)

Tabela 5.6: Trabalho plástico - α, θ, b (E-E-E-E)

64

Vemos que, para o caso do algoritmo genético, o critério de paragem não é o ideal. A exit-flag foi a 0,

que indica que o processo parou por o número de gerações exceder o máximo permitido, como se pode ver abaixo:

Devido ao facto do valor da função objectivo ser várias ordens de grandeza superior aos obtidos em

todos os casos anteriores a convergência deste torna-se muito difícil, não se tendo verificado para o algoritmo genético. Utilizando os resultados obtidos com o algoritmo genético com o fmincon já se

verifica uma convergência natural do processo para uma solução óptima.

5.3 - Caso 3: Condições fronteira - E-E-L-L

Como foi dito nos objectivos do trabalho, pretende-se estudar o comportamento da placa e obter-se a

sua configuração óptima para vários tipos de solicitação. Com esse propósito são feitos novos testes em que se utiliza uma geometria de célula semelhante aos casos anteriores, modificando-se a

pressão aplicada na placa e as suas condições fronteiras. Aqui, duas fronteiras opostas estão encastradas e as outras duas são extremidades livres. A pressão não pode ser a mesma que se

Figura 5.9: (i) Deslocamento em configuração não óptima (ii) Deslocamento em configuração óptima

Figura 5.10: Convergência algoritmo genético

65

(i) (ii)

aplicou no caso 5.2, pois aqui implicaria uma plastificação completa da placa. É então utilizada uma pressão distribuída de 3.5 MPa. A configuração total da placa pode ser vista abaixo:

Os resultados obtidos para ambas funções objectivos serão discutidos na mesma secção.

5.3.1 - Extensão plástica equivalente / trabalho plástico (α, θ, b)

Tal como no caso 5.2, utilizam-se como funções objectivos a extensão plástica equivalente e o trabalho plástico. E, novamente, para cada uma das funções é utilizado o algoritmo genético e de

seguida o fmincon, que utiliza como pontos de busca iniciais a configuração óptima devolvida pelo primeiro. Os resultados obtidos podem ser vistos na tabela abaixo, na qual as primeiras duas linhas

correspondem á extensão plástica equivalente, e as duas últimas ao trabalho plástico:

Algoritmo Função Objectivo bopt [m] Ɵopt [º] αopt

Nº de Avaliações

Exit Flag Altura Const.

NL

Genético 36.89 0.089 76.43 0.313 1220 1 5.15 Não

fmincon 36.70 0.089 75.53 0.321 165 4 5.07 Não

Genético 5.48E9 J 0.077 58.83 0.268 2740 1 4.18 Não

fmincon 2.77E9 J 0.089 75.96 0.366 215 4 4.74 Não

Imediatamente se verificam as semelhanças entre os resultados obtidos no caso 5.2 e os resultados

acima. Novamente, e como era já esperado, os valores de b tendem para o limite superior, de modo a maximizar os orifícios na placa que, como se viu pela figura 5.6, tornam a deformação plástica mais

difícil.

Figura 5.11: Placa com constrangimentos e carregamento (E-E-L-L)

Tabela 5.7: Extensão plástica equivalente / Trabalho plástico - α, θ, b (E-E-L-L)

66

O valor da variável α apresenta alguns desvios relativamente aos obtidos no caso 5.2, tal como o valor da inclinação θ. Verifica-se que os desvios que se verificam tendem a diminuir a altura da placa

no presente caso. Isto é, o valor de θ é menor, o que significa que as lâminas apresentam um desvio maior relativamente á vertical, e o valor de α é superior, implicando que o comprimento de ligação

entre as lâminas e a placa inferior é maior. A altura neste caso é cerca de 8% menor quando comparada com 5.2.2, e o desvio é ainda maior se compararmos com 5.2.4.

Isto justifica-se pelo facto de, no presente caso, a rigidez natural da placa, devido ao facto de ter duas

fronteiras livres, ser menor. Isto é, a resistência que oferece á deformação plástica é, naturalmente, mais baixa. Desse modo existe a necessidade de reforçar essa falta de rigidez. Isso é obtido através

de um valor de θ inferior e de um aumento da ligação entre a lâmina e a placa inferior, aumentado a rigidez de ligação e diminuindo a altura.

Podemos ver abaixo uma comparação entre a área da placa em deformação plástica para a

configuração óptima do caso presente e do caso 5.2.2:

Verifica-se que, com as presentes condições fronteira, a área da placa em regime plástico é maior

para o presente caso. Verifica-se também que esta é mais acentuada nas duas extremidades encastradas, pois o esforço é maior na vizinhança destas fronteiras. E tal como se verifica no caso

5.2.2, a zona em regime plástico situa-se, essencialmente fora dos orifícios, onde a rigidez é menor e a deformação é mais fácil.

Na figura abaixo temos uma comparação entre a geometria óptima do presente caso e do caso 5.2.2:

Figura 5.12: (i) SRAT em configuração não-óptima (ii) SRAT em configuração óptima

Figura 5.13: (i) Célula óptima caso 5.2.2 (ii) Célula óptima caso 5.3.2

67

(i) (ii)

(i) (ii)

Como foi referido, ambas as configurações óptimas são muito parecidas, não sendo fácil, pela imagem acima, distinguir uma da outra. Mas, apesar de ser subtil, é possível verificar que o

comprimento de ligação da célula do presente caso é ligeiramente superior, devido ao facto do parâmetro α ser superior.

Relativamente ao processo de optimização, verifica-se novamente que existe uma maior dificuldade

de convergência no caso do trabalho plástico como função objectivo. Mas, ao contrário do que se verifica em 5.2.4, a exit-flag não é 0, isto porque se aumentou o número máximo de gerações,

possibilitando desse modo uma convergência natural.

5.4 - Caso 4: Condições fronteira - E-A-L-L

A principal razão para os resultados obtidos nos casos 5.2 e 5.3 apresentarem alguma semelhança

deve-se ao facto de, em ambos os casos, a placa apresentar uma simetria das condições fronteira em ambos os eixos. Porque o objectivo consiste no estudo da placa em diversas situações, os últimos

testes são feitos tendo a placa duas extremidades opostas livres mas, relativamente ás outras duas fronteiras, uma está encastrada e a outra simplesmente apoiada. A pressão aplicada neste caso é de

3.2 MPa. Podemos ver a configuração na imagem abaixo:

Verifica-se também, nos casos 5.2 e 5.3, que os resultados obtidos para ambas as funções objectivos

traduzem, aproximadamente, a mesma geometria. Por essa razão, nos testes feitos para esta configuração utiliza-se apenas como função objectivo a extensão plástica equivalente.

5.4.1 - Extensão plástica equivalente (α, θ, b)

Os resultados obtidos com esta configuração podem ser vistos na tabela abaixo:

Figura 5.14: Placa com constrangimentos (E-A-L-L)

68

AlgoritmoExt.

Plástica Eq.


AvaliaçõesExit Flag Altura Const.

NL

Genético 22.83 0.081 58.96 0.268 1040 1 4.40 Não

fmincon 22.80 0.080 59.04 0.267 178 4 4.35 Não

Os resultados aqui obtidos são diferentes dos obtidos nos casos 5.2 e 5.3. Como se pode ver, a

variável b não tende para o seu valor superior, apesar de estar muito próximo. Portanto, para uma situação em que não existe simetria e, devido ás condições fronteiras impostas, a placa está mais

vulnerável a sofrer deformação plástica, e a configuração óptima, isto é, a maximização da rigidez do painel total, é obtido para um valor de b que não maximiza o tamanho dos orifícios.

Este facto pode ser comprovado pela imagem abaixo, em que é feita uma comparação entre a área

da placa em regime plástico para a configuração óptima e para uma configuração não-óptima. Na configuração não-óptima o valor de b utilizado é o limite superior:

Facilmente se comprova que, efectivamente, a configuração óptima com um valor de b menor diminui

a presença de deformação plástica na placa. Verifica-se, também, que não existe simetria segundo um dos eixos, devido ás condições fronteira utilizadas.

O valor da variável α está de acordo com os obtidos nos casos anteriores, sendo neste caso cerca de

10% inferior ao valor obtido no caso 5.2.2. Ou seja, para esta configuração, e tendo em conta o valor das outras variáveis, não é necessário um comprimento de ligação tão grande entre a lâmina e a

placa inferior, sacrificando uma parte da rigidez dessa ligação para dar mais altura á placa.

O parâmetro que apresenta maiores desvios relativamente aos resultados anteriores é a inclinação das lâminas θ. Verifica-se aqui que estas se aproximam da inclinação 0º, abdicando assim, em parte,

da altura da placa. Isto deve-se ao facto de, quando a placa está sujeita a este tipo de solicitação e

Tabela 5.8: Extensão plástica equivalente - α, θ, b (E-A-L-L)

Figura 5.15: (i) SRAT em configuração óptima (ii) SRAT em configuração não-óptima

69

(i) (ii)

tem estas condições fronteira, estar mais vulnerável a sofrer deformações plásticas. Isto verifica-se, também, no caso 5.3, mas nesta situação, devido á ausência de simetria num dos eixos, essa

vulnerabilidade é exponenciada, o que obriga a uma diminuição muito mais acentuada da inclinação das lâminas.

Esta divergência de parâmetros relativamente aos casos anteriores traduz-se numa diminuição da

altura das placas. Dos três casos plásticos estudados, nesta situação obtém-se a altura mais baixa, com um desvio de cerca de 20% relativamente a 5.2.2 e de 10% relativamente a 5.3.1.

Abaixo podemos ver uma comparação entre as células ideias obtidas nos casos 5.2, 5.3 e 5.4:

Como se pode ver, a célula do caso 4 apresenta a altura menor das três configurações.

5.4.2 - Influência da pressão: extensão plástica equivalente (α, θ, b)

Em nenhum dos casos anteriores se estudou o efeito de uma variação da pressão aplicada na configuração óptima da placa. Isto é, desconhece-se se a configuração óptima depende,

essencialmente, do tipo de condições fronteira ou da intensidade da pressão aplicada. Por esta razão, o teste feito em 5.4.1 é repetido para diferentes valores de pressão distribuída. Os resultados e

a intensidade das pressões utilizadas podem ser vistos abaixo:

Figura 5.16: (i) Célula óptima caso 5.2.2 (ii) Célula óptima caso 5.3.1 (iii) Célula óptima caso 5.4.1

70

(i)

(ii)

(iii)

Algoritmo Pressão [MPa]

Ext. Plástica Eq.

bopt [m] Ɵopt [º] αopt

Nº de Avaliações


NL

Genético 3.00 22.83 0.081 58.96 0.268 1040 1 4.40 Não

fmincon 3.00 22.80 0.080 59.04 0.267 178 4 4.35 Não

Genético 3.25 30.79 0.080 58.83 0.268 890 1 4.34 Não

fmincon 3.25 30.78 0.080 58.99 0.265 201 4 4.37 Não

Genético 3.50 40.21 0.081 62.10 0.272 1120 1 4.45 Não

fmincon 3.50 39.18 0.081 61.02 0.266 245 4 4.44 Não

Como se observa, independentemente da pressão utilizada, os algoritmos convergem para uma

configuração óptima que é, essencialmente, a mesma em todos os casos. Ou seja, para esta situação, a configuração óptima é independente da pressão utilizada. A necessidade de maximizar a

rigidez devido á vulnerabilidade á deformação que a configuração presente provoca está essencialmente relacionada com as condições fronteira, não tendo a pressão influência significativa.

Como é esperado, o valor da função objectivo, a extensão plástica equivalente, não se mantém

constante. É óbvio que, para pressões menores, a deformação plástica, e consequentemente a extensão plástica equivalente, são menores. E o inverso verifica-se para pressões maiores.

5.4.3 - Análise linear: energia elástica com E-A-L-L (α, θ, b)

Finalmente, pretende verificar-se se, para estas condições fronteira específicas, a configuração óptima em regime elástico e em regime plástico seriam iguais, e qual é o desvio para a configuração

obtida em 5.1.2. Para isso repetiu-se a análise linear feita no caso 5.1, mas tendo a placa condições fronteira diferentes. Os resultados obtidos podem ser vistos na tabela abaixo:

AlgoritmoEnergia Elástica


Nº de Avaliações


NL

Genético 0.129 0.088 69.53 0.278 720 1 5.15 Não

fmincon 0.130 0.088 69.30 0.278 184 4 5.12 Não

Verifica-se que, se compararmos com a tabela 5.2 do caso 5.1.2 os resultados são semelhantes. Isto

é, em ambos os casos o valor de b tende para o seu valor máximo, para maximizar o espaço ocupado pelos orifícios na placa total, de modo a aumentar a sua rigidez.

Tabela 5.9: Extensão plástica equivalente a diferentes pressões - α, θ, b (E-A-L-L)

Tabela 5.10: Energia elástica - α, θ, b (E-A-L-L)

71

Verifica-se que os valores de θ e de α também são semelhantes mas, para este caso, temos uma inclinação das lâminas menor e o comprimento de ligação entre estas e a placa inferior é também

maior, pois α é superior. Isto é normal visto que, para este tipo de condições fronteira, em comparação com a placa totalmente encastrada do caso 5.1, a placa está mais vulnerável a ser

deformada e, por isso, a geometria óptima tende a maximizar a sua rigidez com valores das variáveis de projecto mais severos. Abaixo podemos ver uma comparação entre a célula óptima do caso 5.1 e

a célula óptima do presente caso. A altura em 5.1.2 é aproximadamente 10% superior á obtida neste caso.

Verifica-se que, para o presente caso, as lâminas apresentam uma maior inclinação, diminuindo

ligeiramente a sua altura, relativamente á célula do caso 5.1.

Abaixo podemos ver uma comparação entre os deslocamentos obtidos no caso 5.1 e no presente caso:

Como seria de esperar, neste caso temos uma deformação mais elevada e que não apresenta,

devido ás condições fronteira utilizadas, a simetria que se verificava no caso 5.1.

Se compararmos estes resultados com os obtidos em 5.4.2, verifica-se que, para o caso da deformação plástica, os valores óptimos das variáveis de projecto são mais severos. Isto é: as

lâminas apresentam uma inclinação mais próxima dos 0º, com a diminuição de θ, e o valor de α é superior, aumentando o comprimento de ligação á placa inferior. Isto é esperado pois a solicitação a


Figura 5.18: (i) Deslocamento em 1.2 (ii) Deslocamento em 4.3

72

(i) (ii)

(i) (ii)

que a placa está sujeita para entrar no domínio plástico é consideravelmente superior á que esta experimenta no caso 5.1 (e no presente caso), em que se mantém no regime elástico. Isto resulta

numa diminuição de altura, entre 5.4.2 e 5.4.3, de cerca de 15%.

Abaixo podemos ver uma comparação entre a configuração óptima obtida no presente caso e em 5.4.2:

Facilmente se verifica que a altura é substancialmente maior neste caso.


73

(i) (ii)

6. Conclusão

Como foi dito no início deste trabalho, o objectivo era obter uma configuração óptima para um painel

do tipo OpenCell, utilizando uma célula de forma hexagonal. Olhando para os resultados obtidos e discutidos no capítulo anterior pode afirmar-se que esse objectivo foi atingido. Relativamente á

comparação com o painel com uma célula de diferente geometria não é possível retirar-se conclusões definitivas. Verificou-se no caso 5.1.1 que o valor da função objectivo, a energia elástica, era menor

para a célula hexagonal, mas os valores eram muito semelhantes, sendo o desvio de apenas cerca de 5%. Era já esperado que a célula hexagonal apresentasse uma rigidez maior pois, tendo um

número maior de lâminas que ligam as placas superior e inferior, a deformação da placa é mais difícil.

Viu-se no caso 5.1.2 que, contabilizando a variável de projecto α a rigidez da placa aumentava e, neste caso, o desvio entre a energia elástica das duas placas era já considerável. É preciso, no

entanto, relembrar que, no caso do painel com a célula quadrangular, a variável de projecto α não existia. Isto é, o comprimento de ligação entre as lâminas e a placa inferior é constante, tendo a

placa, desse modo, menor flexibilidade para obter uma configuração que maximizasse a sua rigidez.

No presente trabalho foram contemplados os efeitos da plasticidade na configuração óptima da placa, algo que não tinha sido contemplado nos trabalhos anteriores. Comparando com o seu

comportamento enquanto no regime elástico observa-se que existem diferenças significativas nos valores óptimos das variáveis de projecto, acabando por causar uma diminuição da altura.

Relativamente á nova variável de projecto introduzida neste trabalho, ou seja, o facto do comprimento

de ligação entre as lâminas e a placa inferior ser variável, é possível afirmar que produziu resultados interessantes. Conclui-se, depois de analisados os dados obtidos, que, dependendo do tipo de

utilização e do tipo de comportamento que se pretende da placa, o valor de α varia, e o facto de se manter o comprimento de ligação fixo pode originar desvios significativos dos resultados óptimos.

Outro objectivo que se pretendia neste trabalho era o de analisar a configuração óptima da placa para

diferentes tipos de aplicação. Para simular essas aplicações distintas foram feitos testes com três tipos diferentes de condições fronteira. Verificou-se que, no caso de condições fronteira simétricas em

relação a ambos os eixos, os resultados obtidos são semelhantes. Isso já não se verifica quando desfazemos uma das simetrias. Nesse caso verificou-se que as variáveis de projecto, quando na

configuração óptima, assumem valores mais severos. Isto é, tendem a diminuir a altura da placa e o tamanho dos orifícios para aumentar a rigidez da placa.

Verificou-se também que quanto mais vulnerável está a placa á deformação, e isto traduz-se

principalmente através da variação das condições fronteira, maior é a necessidade da placa para compensar esta vulnerabilidade. Isso é conseguido através de, essencialmente, dois métodos:

diminuição da variável de projecto θ, ou seja, aproximação da inclinação nula, e aumento da variável de projecto α, ou seja, aumento do comprimento de ligação entre a lâmina e a placa inferior. Estes

dois processos servem o mesmo objectivo, que é o aumento da rigidez da placa, aumentando assim a dificuldade para a sua deformação.

74

Pelos resultados obtidos verifica-se que existe uma relação entre a variação das variáveis θ e α. Foi dito atrás que, para um painel do tipo sanduíche, a sua rigidez era dependente, principalmente, da

sua altura. Esperava-se que o mesmo se verificasse para este tipo de placa. Isto é verdade apenas em parte. Ou seja, nem sempre a altura maior implica uma maior rigidez, facto traduzido pelos valores

obtidos nas variáveis θ e α. Mas, por outro lado, verifica-se que quando o valor de θ diminui, e consequentemente a altura da placa, o valor de α diminui, desse modo aumentando a altura. Visto

que a expressão da altura total depende directamente destes dois parâmetros, verifica-se que existe quase que uma relação de compensação entre os seus valores óptimos. Pode concluir-se que, para

cada tipo de condições fronteira utilizadas, existe uma altura óptima, e, mediante a função objectivo que se pretende minimizar, esta altura é obtida através de diferentes combinações de,

essencialmente, θ e α.

Verificou-se também que a configuração óptima do painel depende essencialmente do tipo de condições fronteira aplicadas no painel. Em termos práticos isto pode ser uma desvantagem ou uma

vantagem. Ou seja, se se pretender utilizar o painel para diferentes aplicações nas quais o seu apoio varia, então a configuração óptimo de uma aplicação pode não ser a de outra e, como se viu, as

diferenças em termos de comportamento da placa podem ser muito significativas. Mas se, por outro lado, a placa tiver sempre a mesma utilização, sendo que a única coisa que varia é o valor da pressão

a que esta está sujeita, então a configuração óptima mantém-se constante ao longo da sua utilização.

No entanto, a configuração óptima muda do estado elástico para plástico. Como se observou pelo caso 5.4.2 e 5.4.3, e também pelos caso 5.1.2 e 5.2.2, mesmo utilizando as mesmas condições

fronteira a configuração óptima da placa muda do regime elástico para o plástico. Esta alteração verifica-se, essencialmente, numa diminuição da altura da placa, que é obtida através da variação dos

parâmetros θ e α.

Relativamente aos algoritmos de optimização utilizados, estes foram, de um modo geral, satisfatórios. Percebeu-se, ao longo do trabalho, que este era um problema com vários mínimos locais, sendo

difícil de analisar exclusivamente através de um algoritmo que exige informação de primeira ordem - fmincon. Isto levou a que se utilizasse o algoritmo genético que, excepto no caso 5.2.4, deu

resultados satisfatórios.

Este algoritmo tem, no entanto, a desvantagem que lhe foi anteriormente apontada: a convergência é lenta pois exige um grande número de avaliações da função objectivo. E este facto é agravado

quando se utiliza um constrangimento não-linear. Verificou-se que, para estes casos, o número de avaliações da função objectivo é oito vezes superior ás situações em que não se utiliza este tipo de

constrangimento. Para algumas situações em que se exige um processo de optimização relativamente rápido este método pode tornar-se incomportável.

75

7. Trabalho Futuro

Como foi dito na introdução deste trabalho, esta é uma tecnologia nova, e por isso existe ainda um

grande espaço para estudo e análise deste tipo de placas. Sugerem-se alguns trabalhos futuros:

• Análise semelhante com outro tipo de célula - visto que o parâmetro α é uma inovação seria interessante fazer uma comparação da sua influência noutro tipo de geometria;

• Na função objectivo é contabilizado apenas a rigidez da placa. Seria interessante fazer uma análise multi-objectivo, na qual se contemplasse também o efeito de concentração de tensões na

ligação entre as lâminas e a placa inferior. Visto que, com a variável α este valor pode variar, é possível que o valor óptimo tendo em conta apenas a rigidez não seja o valor óptimo tendo em

conta a concentração de tensões nessa zona;• Foram feitas algumas simplificações neste trabalho: na placa real, as lâminas não são

cortadas, como foi feito aqui, mas sim dobradas. Pensa-se que o efeito nos resultados obtidos não seria significativo contemplado esta diferença, mas seria interessante verificá-lo;

• A placa é constituída pela repetição da mesma célula. Seria interessante avaliar o comportamento de um painel em que as células não tivessem todas a mesma geometria.

Verifica-se que, no caso de termos condições fronteiras que tornam a placa vulnerável á deformação plástica (E-A-L-L) as células tendem para uma geometria mais severa, isto é, maior

inclinação das lâminas e diminuição das dimensões do orifício. Nas zonas perto da fronteira encastrada, na qual as deformações são menores, talvez não fosse necessário que as células

tivessem este tipo de configuração.

76

Referências:

[1] Freitas, Manuel - “Compósitos Sandwich” Materiais Compósitos Laminados, Instituto Superior

Técnico, 2011

[2] Vinson e Jack R. - The Behavior of Sandwich Structures of Isotropic and Composite Materials. Taylor & Francis Routledge, 1990

[3] Wadley, H. N. G. e Fleck, N. A. e Evans, A. G. - “Fabrication and Structural Performance of

Periodic Cellular Metal Sandwich Structures” Composites Science and Technology n° 63, 2003

[4] Valente, António - “Opencell Technology (Tech & Applications Perspective)”

[5] Mota Soares, Carlos - “Teoria e Análise de Placas: Métodos Analíticos e Aproximados” Mecânica Estrutural, 1982

[6] Love, A. E. H. - On the Small Free Vibrations and Deformations of Elastic Shells - Philosophical

trans. of the Royal Society (London), Vol. série A, N° 17, 1888

[7] Reissner, E. - “The Effect of Transverse Shear Deformation on the Bending of Elastic Plates” ASME Journal of Applied Mechanics, Vol. 12, 1945

[8] Reddy, J. N. - Mechanics of Laminated Composites and Shells: Theory and Analysis. 2ª Edição:

CRC Press, 1997

[9] Luongo, Fabio - “Optimization of the Reinforcement Configuration of an OPENCELL® Type Flat Panel” - Instituto Superior Técnico, 2011

[10] Moura Branco, Carlos A. G. - Mecânica dos Materiais. 4ª Edição: Fundação Calouste Gulbenkian,

2006

[11] Dunn, Fionn e Petrinic, Nik - Introduction to Computational Plasticity. 1ª Edição: Oxford University Press, 2005

[12] R. M. Natal, Jorge e L.M.J.S, Dinis - “Teoria da Plasticidade” Faculdade de Engenharia da


[13] Martins, Paulo - “Folhas de Tecnologia Mecânica” Tecnologia Mecânica, Instituto Superior Técnico, 2008

[14] “Release 11.0 Documentation” Ansys

[15] “Ansys Basic Structural Nonlinearities 10.0” Ingeciber s.a., 2006

77

[16] von Mises, R. - “Mechanic der Festen Körper in Plastisch Deformablem Zustand”, Göttinger Nachr. Math. Phys. Kl., 1913

[17] Fung, Y.C. - Foundations of Solid Mechanics. Prentice-Hall, New Jersey, U.S.A., 1965

[18] Hill, R. - The Mathematical Theory of Plasticity. Oxford University Press, 1950

[19] Kachanov, L.M. - Fundamentals of the Theory of Plasticity. MIR Publishers, Moscow, 1974

[20] Dieter, G.E. - Mechanical Metallurgy. 2ª Edição: McGraw-Hill, Tokyo, 1976

[21] Johnson, W. and Mellor, P.B. - Plasticity for Mechanical Engineers. Van Nostrand Reinhold

Company, London, 1962

[22] Drucker, D.C. and Prager, W. - “Soil mechanics and plastic analysis or limit design”, Q. J. Appl. Math., Vol.10, 1952

[23] S. Arora, Jasbir - Introduction to Optimal Design. 2ª Edição: Elsevier Academic Press, 2004

[24] “Matlab Product R2011a Documentation” Mathworks

[25] Biggs, M.C. - "Constrained Minimization Using Recursive Quadratic Programming" Towards

Global Optimization, North-Holland, 1975

[26] Kuhn, H. W. and Tucker, A. W. - “Nonlinear Programming” Princeton and Stanford Universities

[27] Obitko, Marek (1998), “Algoritmos Genéticos”. Página consultada a 20 de Abril de 2012 <http://www.obitko.com/tutorials/genetic-algorithms/portuguese/introduction.php>

[28] Rechenberg, Ingo - “Evolutionsstrategie - Optimierung Technischer Systeme Nach Prinzipien der

Biologischen Evolution” Fromman-Holzboog, 1971

[29] Henry Holland, John - “Adaptation in Natural and Artificial Systems”, 1975

[30] Pina, Heitor - Métodos Numéricos. 1ª Edição: McGraw-Hill, 1995

[31] “fmincon Active Set Algorithm Introduction” MathWorks

[32] Fletcher, R. - Practical Methods of Optimization. John Wiley and Sons, 1987

[33] Gill, P.E., W. Murray, M.A. Saunders e M.H. Wright - "Procedures for Optimization Problems with a Mixture of Bounds and General Linear Constraints" ACM Trans. Math. Software, Vol. 10, 1984.

78

http://www.obitko.com/tutorials/genetic-algorithms/portuguese/introduction.php




[34] Gill, P.E., W. Murray e M.H. Wright - “Numerical Linear Algebra and Optimization” Addison Wesley, Vol. 1, 1991

[35] Han, S.P. - "A Globally Convergent Method for Nonlinear Programming" J. Optimization Theory

and Applications, Vol. 22, 1977

[36] Simo, J. C. e Taylor, R. L. - "Consistent Tangent Operators for Rate-Independent Elastoplasticity" - Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, Vol. 48,

79

Anexos:

Anexo I - Linha de código fmincon

[x, fval, exitflag, output] = fmincon[fun, x0, A, b, Aeq, beq, lb, up, nonlcon, options]

• fval – valor da função objectivo nos pontos óptimos;

• exitflag – número que identifica a razão pela qual o algoritmo parou, em que as situações que surgiram no trabalho em questão são:

• 1 – o critério de paragem relativamente á informação de 1ª ordem foi verificado, e a violação máxima dos constrangimentos foi menor que o definido;

• 0 – o número máximo de iterações foi excedido;• 2 – a alteração nas variáveis de projecto e a violação máxima dos constrangimentos

são menores que valores pré-definidos;• -2 – não foi encontrado qualquer ponto admissível;

• 4 – a magnitude da direcção de busca e a violação máxima dos constrangimentos são menores que valores pré-definidos (exclusivo para o algoritmo Active-Set);

• 5 – magnitude da derivada direccional da direcção de busca e violação máxima dos constrangimentos menores que valores pré-definidos (exclusive para o algoritmo

Active-Set);• output – dá informações sobre o algoritmo, por exemplo nº de iterações, a violação máxima

dos constrangimentos, etc.;• fun – função a ser minimizada. No caso em análise estava num ficheiro á parte que era

chamado pelo ficheiro que continha o optimizador;• x0 – valores de busca iniciais;

• A – matriz para constrangimentos de desigualdade lineares – campo não utilizado;• b - vector para constrangimentos de desigualdade lineares – campo não utilizado;

• Aeq – matriz para constrangimentos de igualdade lineares – campo não utilizado;• beq – vector para constrangimentos de igualdade lineares – campo não utilizado;

• lb / ub – limites inferiores / superiores aceitáveis para as variáveis de projecto;• nonlcon – constrangimentos não lineares; • options – campo que permite alterar alguns parâmetros do algoritmo:

• Algorithm – permite seleccionar o tipo de algoritmo utilizado com o fmincon – neste

trabalho foram utilizados o Active-Set e o SQP;• MaxIter – define o número máximo de iterações que o algoritmo pode fazer;

• TolFun / TolCon – critérios de paragem relativamente ao valor da função objectivo / violação máxima dos constrangimentos;

80

Anexo II - Linha de código algoritmo genético

[x, fval, exitflag, output] = ga(fun, nvars, A, b, Aeq, beq, LB, UB, nonlcon, options]

• fval – valor da função objectivo nos pontos óptimos;

• exitflag - número que identifica a razão pela qual o algoritmo parou:• 1 -

• output - dá informações sobre o algoritmo, por exemplo nº de gerações criadas, nº de avaliações da função objectivo, etc.;

• fun - função a ser minimizada. No caso em análise estava num ficheiro á parte que era chamado pelo ficheiro que continha o optimizador;

• nvars – número de variáveis do problema;• A – matriz para constrangimentos de desigualdade lineares – campo não utilizado;

• b - vector para constrangimentos de desigualdade lineares – campo não utilizado;• Aeq – matriz para constrangimentos de igualdade lineares – campo não utilizado;

• beq – vector para constrangimentos de igualdade lineares – campo não utilizado;• lb / ub – limites inferiores / superiores aceitáveis para as variáveis de projecto;

• nonlcon – constrangimentos não lineares;• options - campo que permite alterar alguns parâmetros do algoritmo:

• CrossoverFraction – permite alterar a taxa de cruzamento. Foi colocada em 97%;• PopInitRange – permite seleccionar a localização da população inicial. Se é

conhecido o intervalo de valores no qual a solução se situa, então isto pode aumentar muito a velocidade de convergência do algoritmo.

81

Anexo III - Geometria da peça

Limite da célula (placa superior):

KP x (m) y (m) z (m)

1 0 0 0

2 a 0 0

3 a a 0

4 0 a 0

Orifício:


5a − b2

a2− r 0

6a + b2

a2− r 0

7a + b2

+ bcos(60º ) a2 0

8a + b2

a2+ r 0

82

9a − b2

a2+ r 0

10a − b2

− bcos(60º ) a2 0

Contacto com a placa inferior:


11a − b2

−mcos(60º )− hcosθ cos(30º ) a2− r +msin(60º )− hcosθ sin(30º ) hsinθ

12a + c2

a2− r − hcosθ hsinθ

13a + b2

a2− r − hcosθ hsinθ

14a + b2

+mcos(60º )+ hcosθ cos(30º ) a2− r +msin(60º )− hcosθ sin(30º ) hsinθ

15 a + b2

+ bcos(60º )−msin(30º )+ hcosθ cos(30º )a2−mcos(30)− hcosθ sin(30º ) hsinθ

16 a + b2

+ bcos(60º )−msin(30º )+ hcosθ cos(30º )a2+mcos(30)+ hcosθ sin(30º ) hsinθ

83

17 a + b2

+msin(30º )+ hcosθ cos(30º ) a2+ r −mcos(30º )+ hcosθ sin(30º ) hsinθ

18a + c2

a2+ r + hcosθ hsinθ

19a − c2

a2+ r + hcosθ hsinθ

20 a − b2

−msin(30º )− hcosθ cos(30º ) a2+ r −mcos(30º )+ hcosθ sin(30º ) hsinθ

21 a − b2

− bcos(60º )+msin(30º )− hcosθ cos(30º )a2+mcos(30)+ hcosθ sin(30º ) hsinθ

22 a − b2

− bcos(60º )+msin(30º )− hcosθ cos(30º )a2−mcos(30)− hcosθ sin(30º ) hsinθ

Limite da célula (placa inferior):


23 0 0 hsinθ

24 a 0 hsinθ

25 a a hsinθ

84

26 0 a hsinθ

85

Anexo IV - Código Matlab (fmincon)

%Optimizador fmincon %Valores iniciais:format longx0 = [0.7741/10, 95.89/1000, 0.0899]; %Constrangimentos de desigualdade Lim_inf = [0.15/10, 40/1000, 0.01];Lim_sup = [0.9/10, 150/1000, 0.09]; %Funcao placa para obter a funcao objectivo options=optimset('Algorithm', 'active-set', 'Display', 'iter', 'MaxIter',... 70, 'MaxFunEvals', 300, 'TolX', 1e-12, 'TolFun', 1e-12, 'TolCon', 1e-6,... 'PlotFcns',{@optimplotfval}); [x, fval, flag, output] = fmincon(@(x) placa(x), x0, [], [], [], [], ... Lim_inf, Lim_sup, [], options);

86

Anexo IV - Código Matlab (Algoritmo genético)

format long %Constrangimentos de desigualdade Lim_inf = [0.15/10, 40/1000, 0.03];Lim_sup = [0.9/10, 150/1000, 0.09]; %Funcao placa para obter a funcao objectivo options = gaoptimset('CrossoverFraction', 0.97,'Generations', 25,

! 'PopInitRange', [0.03, 0.08, 0.07; 0.09, 0.12, 0.09],'PlotFcns', ! {@gaplotdistance});

[x, fval, exitflag] = ga(@(x) placa(x), 3, [], [], [], [], Lim_inf, Lim_sup,

! [], options);

87

Anexo IV - Código Matlab (Função placa)

function Elast = placa(x) format long %Funcao utilizada no algoritmo fmincon e genético. %Comunica com o Ansys para dar os valores de f(x) %Variáveis para serem escritas em ficheiro .txt alfa = x(1)*10;teta = x(2)*1000;b = x(3); %Abrir o ficheiro .txt e escrever os valores valores=fopen('C:\Documents and Settings\Segismundo\My Documents\TF\variaveis.txt', 'w');fprintf(valores, 'alfa=%.12f\nteta=%.12f\nb=%.12f\n',alfa,teta,b);fclose(valores); %Correr o Ansys através de um comando DOS dos('"C:\Program Files\ANSYS Inc\v130\ansys\bin\intel\Ansys130" -b -j output -dir "C:\Documents and Settings\Segismundo\My Documents\TF" -i "C:\Documents and Settings\Segismundo\My Documents\TF\APDL.txt" -o "C:\Documents and Settings\Segismundo\My Documents\TF\output.out"'); %Depois de se ter obtido a energia elástica é preciso retirá-la do ficheiro%onde esta foi guardada (energia) load energia Elast = energia(1)

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Anexo IV - Código Matlab (Constrangimento não-linear)

function [NL,IL]=ConstrangimentosNL(x)%Constrangimento não-linearalfa = x(1)*10;teta = x(2)*1000;b = x(3); %Passar o ângulo TETA para radteta2=(teta*pi)/(180);NL = (cos(teta2)*tan(pi/3)*b*(1-alfa))/((0.2/2)-b*sin(pi/3))-2*0.9; %Constrangimento não-linear de igualdade. Não existe.IL = [];

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Anexo V - Código Ansys (Ficheiro APDL)

/PREP7/UNITS,MPA*AFUN,DEG

!Carregar valores dados pelo Matlab

PARRES,CHANGE,variaveis.txt,,

!Definição do elemento e propriedades

ET,1,SHELL181SECTYPE,,SHELLSECDATA, 0.005SECOFFSET,MID,OFFSETMP,EX,1,72.9E9MP,PRXY,1,0.3TB,BISO,1,1,TBDATA,1,100E6,72.9E8KEYOPT,1,3,2KEYOPT,1,8,2

!Dados geométricos para definir a placa

b=0.09teta=90a=0.2alfa=0.6r=b*sin(60)c=alfa*bm=(b-c)/2h = tan(60)*b*(1-alfa)/2ALT = h*sin(teta)incX = h*cos(teta)*cos(30)incY = h*cos(teta)*sin(30)

!1 a 4 - Cantos da placa superior

k, 1, 0, 0, 0k, 2, a, 0, 0k, 3, a, a, 0k, 4, 0, a, 0

!5 a 10 - Buraco da placa

k, 5, (a-b)/2, a/2-r, 0k, 6, (a+b)/2, a/2-r, 0k, 7, (a+b)/2 + b*cos(60), a/2, 0k, 8, (a+b)/2, a/2+r, 0k, 9, (a-b)/2, a/2+r, 0k, 10, (a-b)/2-b*cos(60), a/2, 0

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!11 a 22 - Pontos de contacto das abas na placa inferior

k, 11, (a-b)/2-m*cos(60)-incX, a/2-r+m*sin(60)-incY, ALTk, 12, (a-c)/2, a/2-r-h*cos(teta), ALTk, 13, (a+c)/2, a/2-r-h*cos(teta), ALTk, 14, (a+b)/2+m*cos(60)+incX, a/2-r+m*sin(60)-incY, ALTk, 15, (a+b)/2+b*cos(60)-m*sin(30)+incX, a/2-m*cos(30)-incY, ALTk, 16, (a+b)/2+b*cos(60)-m*sin(30)+incX, a/2+m*cos(30)+incY, ALTk, 17, (a+b)/2+m*sin(30)+incX, a/2+r-m*cos(30)+incY, ALTk, 18, (a+c)/2, a/2+r+h*cos(teta), ALTk, 19, (a-c)/2, a/2+r+h*cos(teta), ALTk, 20, (a-b)/2-m*sin(30)-incX, a/2+r-m*cos(30)+incY, ALTk, 21, (a-b)/2-b*cos(60)+m*sin(30)-incX, a/2+m*cos(30)+incY, ALTk, 22, (a-b)/2-b*cos(60)+m*sin(30)-incX, a/2-m*cos(30)-incY, ALT

!23 a 26 - Cantos da placa inferior

k, 23, 0, 0, ALTk, 24, a, 0, ALTk, 25, a, a, ALTk, 26, 0, a, ALT

!Criar as linhas

!Placa superior

LSTR, 1, 2LSTR, 2, 3LSTR, 3, 4LSTR, 4, 1

!'Buraco'

LSTR, 5, 6LSTR, 6, 7LSTR, 7, 8LSTR, 8, 9LSTR, 9, 10LSTR, 10, 5

!Lâminas

LSTR,12,13LSTR,14,15LSTR,16,17LSTR,18,19LSTR,20,21LSTR,22,11

LSTR, 5, 12LSTR, 13, 6

91

LSTR, 6, 14LSTR, 15, 7

LSTR, 7, 16LSTR, 17, 8

LSTR, 8, 18LSTR, 19, 9

LSTR, 9, 20LSTR, 21, 10

LSTR, 10, 22LSTR, 11, 5

!Placa inferior

LSTR,23,24LSTR,24,25LSTR,25,26LSTR,26,23

!Placa Superior

A,1,2,3,4A,5,6,7,8,9,10ASBA,1,2

!Lâminas

AL,5,17,11,18AL,6,19,12,20AL,7,21,13,22AL,8,23,14,24AL,9,25,15,26AL,10,27,16,28

!Placa inferior

A,23,24,25,26A,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22AOVLAP,8,9

!Criar a malha

MSHAPE,1MSHKEY,2

!Ciclo que define as divisões da malha em função das variáveis

DA = 21

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*IF,b,LE,0.03,THENDB=7

*ELSEDB=9

*ENDIF

*IF,alfa,LE,0.5,THENDC=7DD=9

*ELSEDC=8DD=8

*ENDIF

*DO,i,1,4,1LESiZE,i,,,DA,,,,,1,*ENDDO

*DO,j,5,10,1LESIZE,j,,,DB,,,,,1,*ENDDO

*DO,k,11,16,1LESIZE,k,,,DC,,,,,1,*ENDDO

*DO,l,17,28,1LESIZE,l,,,DD,,,,,1,*ENDDO

*DO,n,29,32,1LESIZE,n,,,DA,,,,,1,*ENDDO

EMID,ADD,ALL

AMESH,ALL

AGEN,3 , ALL, , , 0.2, 0, 0,0, ,AGEN,3 , ALL, , , 0, 0.2, 0,0, ,

NUMMRG,ALL/ESHAPE,1,0GPLOT

!Condições fronteira

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LSEL,S,LOC,X,0 ! SELECT NODESDL,ALL,0,ALL,,1LSEL,A,LOC,X,5*aDL,ALL,0,ALL,,1LSEL,A,LOC,Y,5*aDL,ALL,0,ALL,,1LSEL,A,LOC,Y,0DL,ALL,0,ALL,,1LSEL,ALL

!Carregamento

ASEL,S,LOC,z,ALTSFA, ALL,, PRES, -60000,ALLSEL

FINISH

/SOLUTION

ANTYPE,STATICSOLCONTROL,ONAUTOTS,ONDELTIM,1/NERR,,,,,0

SOLVE

!Cria ficheiro onde escreve o valor da função objectivo/POST1*CREATE, com*CFOPEN, 'C:\Documents and Settings\Segismundo\My Documents\MATLAB\energia','txt,''

!Cria uma tabela com o trabalho plástico nos elementos!Soma todos os valores da tabela para obter a função objectivo final

ETABLE,DEFP,EPPL,EQVSSUM*GET,DEFPLA,SSUM,,ITEM,DEFP*VWRITE,DEFPLA(f30.10)*CFCLOS*END/INPUT,com

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Optimização da configuração de reforços numa classe de ... · Figura 4.9: Parâmetros de...

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