Optimização do servomecanismo de um disco rígido§ão e Simulação 2014/2015 – Guia do...

Modelação e Simulação 2014/2015 – Guia do Trabalho 2

João Pedro Gomes, António Pascoal, J. Miranda Lemos – IST – DEEC/Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo 1

Modelação e Simulação 2014/15

Trabalho de Laboratório nº 2 Optimização do servomecanismo de um disco rígido

Objectivo Após realizar este trabalho, o aluno deverá ser capaz de utilizar o SIMULINK

para optimizar um funcional de custo que envolve a resolução duma equação

diferencial e avaliar o desempenho de soluções sub-óptimas.

Bibliografia

• Manuais do MATLAB e SIMULINK (disponíveis em pdf na secção

“Laboratórios” da página da disciplina).

Elementos a entregar Cada grupo deverá entregar por email um relatório sucinto respondendo às

questões do enunciado. As respostas às questões de preparação prévia,

identificadas nos enunciados como “Em casa”, deverão ser manuscritas e

entregues em papel. A parte correspondente às questões de simulação

deverá ser gerada automaticamente através da função “Publish” do MATLAB,

e entregue por via electrónica conjuntamente com os ficheiros

MATLAB/SIMULINK utilizados. Ambas as partes deverão conter um

cabeçalho com a identificação do trabalho e a identificação dos alunos

(número e nome). As respostas a cada questão deverão ser identificadas

pelo seu número. As respostas devem ser concisas.



Nota importante: Quer neste trabalho, quer nos subsequentes, os relatórios devem ser

originais e corresponder ao trabalho efectivamente realizado pelo grupo que

o subscreve. Relatórios não originais ou correspondentes a software ou

outros elementos copiados terão nota zero, sem prejuízo de procedimentos

disciplinares previstos pela Lei Portuguesa ou pelos regulamentos do IST.



Descrição do problema Neste trabalho estuda-se o posicionamento das cabeças de leitura/escrita de

um disco rígido, avaliando-se estratégias de actuação do braço que as

suporta para conseguir um reposicionamento rápido.

Fig. 1 – Estrutura mecânica dum disco rígido.

A fig. 1 mostra a estrutura mecânica dum disco rígido. A superfície do disco

contém milhares de pistas de gravação (tracks) concêntricas, que são lidas

ou escritas por uma cabeça magnética. A cabeça é suportada por um sistema

de suspensão e transporte, pairando a muito curtas distâncias (da ordem de

μm) da superfície do disco em rotação. Um servomotor movimenta o braço,

posicionando a cabeça sobre a pista pretendida, sendo desejável que esta

operação seja precisa e rápida. O sistema mecânico em estudo consiste no

servomotor, braço, e cabeça magnética. A entrada do sistema é uma tensão,

𝑢, aplicada ao servomotor, sendo a saída, 𝑦, a posição radial da cabeça

sobre o disco. Aproxima-se a dinâmica deste sistema por

𝑦 = 𝑢 − 𝑏𝑦 onde 𝑏 é uma constante associada a um termo que modela o efeito do atrito.

Em unidades apropriadas o módulo da entrada de controlo não pode exceder

o valor máximo 1 e toma-se como valor numérico nominal 𝑏 = 0.

O posicionamento da cabeça pode ser formulado, de forma canónica, como

um problema de actuação que leva o estado do sistema duma configuração

inicial (em unidades apropriadas) 𝑦 0 = 1,𝑦 0 = 0 para 𝑦 𝑇 = 0,𝑦 𝑇 = 0,

sendo desejável que o intervalo T seja o menor possível. O objectivo deste

initial values during mode switching of controllers onthe servo performance. Here the initial value means thevalues of the states during mode switching. However,the robust perfect tracking (RPT) controllers developedby Chen (2000) have enough robustness against externaldisturbances and are independent of initial values. It iscapable of rendering the Lp-norm !1ppoN" of theresulting tracking error arbitrarily small for any initialconditions. Hence, the use of these controllers duringmode switching eliminates the need for initial valuecompensation. In this paper, such a controller is used intrack following mode to follow the track preciselyagainst various disturbances and plant uncertainty athigh frequency. We propose in this paper a new MSCdesign, which uses a proximate time-optimal servome-chanism (PTOS) controller for track seeking, and anRPT controller for track following. These controllersare combined through a suitable mode switchingcondition.

This paper first briefly describes a head-positioningsystem of disk drives. Also, a plant model is derived toimplement the proposed method. This is done in Section2. Section 3 gives the main theoretical framework of thepaper. In particular, Sections 3.1 and 3.2 recall thedesign procedures of the PTOS and RPT techniques,whereas in Section 3.3, the MSC technique is proposedtogether with a detailed derivation of a set of modeswitching conditions. The application of these control-lers to an HDD is given in Section 4 and the simulationand experimental results are reported in Section 5.Finally, the concluding remarks are drawn in Section 6.

2. An HDD

Fig. 1 shows a typical HDD with a voice-coil motor(VCM) actuator servo system. On the surface of a disk,there are thousands of data tracks. A magnetic head issupported by a suspension and a carriage, and it issuspended several microinches above the disk surface.The VCM actuator initiates the carriage and moves the

head to a desired track. The mechanical part of theplant, that is, the controlled object, consists of the VCM,the carriage, the suspension, and the heads. Thecontrolled variable is the relative head position. Thecontrol input u is a voltage to a current amplifier forthe VCM and the measurement output y is the headposition in tracks. The frequency response of acommercially available HDD servo system from u to yis shown as a solid line in Fig. 2. This drive will be usedin our experimental test. It is quite conventional toapproximate the dynamics of the VCM actuator by asecond-order state space model as

’x # Ax$ Bu #0 1

0 0

" #

x$0

a

" #

u; x #y

v;

!

; !1"

where x is the state, which consists of the displacement y(in micrometer) and the velocity v of the [read/write] (R/W) head; u is the control input (in V) constrained by

ju!t"jpumax !2"

and a # Kt=Ja is the acceleration constant, with Kt beingthe torque constant and Ja being the moment of inertiaof the actuator mass. Thus, the transfer function from uto y of the VCM model can be written as

Gv1!s" #a

s2: !3"

The frequency response shows that the servo system hasmany mechanical resonance frequencies over 1 kHz: Ingeneral, it is difficult to model these high-frequencymodes exactly. However, if we only consider the firstdominating resonance frequency, a more realistic modelfor the VCM actuator should be given as

Gv!s" #a

s2o2

n

s2 $ 2zons$ o2n

; !4"

where on corresponds to the resonance frequency and zis the associated damping coefficient. To design andimplement the proposed controller, an actual HDD istaken and the model is identified through a series offrequency response tests. Fig. 2 shows the frequencyresponse of a Maxtor HDD (Model 51536U3). It isobtained using a laser doppler vibrometer (LDV) and anHP make dynamic signal analyzer (HP35670A). Usingthe measured data from the actual system (see, Fig. 2),and the algorithms of Eykhoff (1981) and Wang, Yuan,Chen, and Lee (1998), we obtain a fourth-order modelfor the HDD actuator as

Gv!s" #6:4013% 107

s2

%2:467% 108

s2 $ 2:513% 103s$ 2:467% 108: !5"

This model will be used throughout the rest of the paperin designing appropriate controllers and in simulation.Fig. 1. A hard disk drive with a VCM actuator servo system.

V. Venkataramanan et al. / Control Engineering Practice 10 (2002) 925–939926



trabalho é comparar diferentes estratégias para controlo do braço da

unidade de disco.

O trabalho proposto enfatiza os aspectos relacionados com a optimalidade do

sinal de comando do braço, e com a forma de lidar com os erros de

posicionamento. A obtenção duma solução analítica para um problema formal

de controlo óptimo não se enquadra nos objectivos da disciplina de

Modelação e Simulação1, adoptando-se aqui uma abordagem baseada em

simulação.

Trabalho a realizar Considere sinais de controlo 𝑢(𝑡) obtidos por concatenação de pares de

impulsos semelhantes (fig. 2a). Um sinal 𝑢(𝑡) pode ser expresso como uma

sobreposição de duas réplicas deslocadas e escaladas (no tempo e em

1 A solução analítica é dada pelas técnicas de Controlo Óptimo e estuda-se no 2º ciclo, na disciplina de Controlo em Espaço de Estados.

(a)

(b)

Fig. 2 – (a) Estrutura dos sinais a aplicar ao sistema (b) Modelo para o impulso protótipo



amplitude) de impulsos protótipo 𝑝!(𝑡) cujo modelo de geração (conceptual)

está representado na figura 2b. O parâmetro 0 ≤ 𝛽 ≤ 1 controla a suavidade

dos flancos dos impulsos.

1. (Em casa) Obtenha uma expressão analítica para 𝑝!(𝑡)

2. Desenvolva uma função para geração do impulso protótipo. Esta

recebe como entrada um vector de instantes temporais, 𝑡, e o parâmetro 𝛽.

Devolve os valores de 𝑝!(𝑡) calculados nesses instantes.

3. Desenvolva uma função para gerar 𝑢(𝑡) a partir do protótipo. Esta

recebe como entrada a duração total da forma de onda, T, o parâmetro 𝛼, e

as amplitudes U1, U2. Devolve 𝑢(𝑡). Note que na figura 2a se tem para o

primeiro impulso (por exemplo) 𝑢! 𝑡 = 𝑈!𝑝!!!!!!!

, com 𝜇! =!!!!!

.

4. (Em casa) Verifique que o protótipo tem área unitária, ou seja,

𝑝! 𝑡 𝑑𝑡 = 1!!! . Com base neste resultado calcule a área de uma versão

escalada em amplitude e no tempo, 𝑈𝑝! !! 𝑑𝑡 = 1!

!! .

5. (Em casa) Quando a entrada 𝑢(𝑡) é constante mostre que no plano de

fase 𝑦,𝑦 o estado do sistema percorre uma trajectória parabólica. A figura 3

ilustra uma estratégia baseada neste resultado que conduz o estado do

sistema do ponto inicial para a origem em dois passos, por aplicação

sucessiva de um par de impulsos rectangulares com igual duração e

amplitudes simétricas ±1 (o que corresponde ao caso 𝛼 = 1, 𝛽 = 0).



6. (Em casa) Dado 𝛼 pretende-se agora determinar os parâmetros U1,

U2, e T (ou T1, T2) para que 𝑢(𝑡) conduza o sistema da configuração inicial

dada 𝑦 0 = 1,𝑦 0 = 0 para a configuração final desejada 𝑦 𝑇 = 0,𝑦 𝑇 = 0

em tempo mínimo. Sem recorrer à expressão analítica de 𝑝!(𝑡) comece

por relacionar as amplitudes das duas réplicas, U1 e U2, para que 𝑦 𝑇 =

𝑢 𝑡 𝑑𝑡 =!!! 0. De seguida calcule2 𝑦 𝑇 = 𝑦 0 + 𝑦 𝑡 𝑑𝑡!

! em função de

U1, T1, e 𝛼 > 0. Atendendo a que 𝑦 𝑇 − 𝑦 0 = −1, expresse U1 em função

de T1. Finalmente, imponha a restrição 𝑈! , 𝑈! ≤ 1, para obter o valor

mínimo admissível para T em função de 𝛼. Qual o valor de 𝛼 que minimiza

esse tempo?

7. Simule o sistema com entradas compostas de acordo com a alínea

anterior para 3 pares diferentes de 𝛼, 𝛽, confirmando os resultados analíticos.

Analise também o comportamento de uma versão perturbada do sistema

nominal com 𝑏 = 0.05.

8. Retomando a estratégia de actuação com impulsos rectangulares

simétricos ±1 da figura 3, pretende-se realizá-la usando uma arquitectura de

controlo em malha fechada representada na figura 4a. Agora, os impulsos

rectangulares que compõem 𝑢(𝑡) não são gerados a priori, mas sim

dinamicamente em função da evolução do próprio sistema. Neste contexto,

2 Para este cálculo é suficiente conhecer a área total do protótipo escalado (já calculada) atendendo ás

simetrias dos flancos de 𝑦 𝑡 = 𝑢 𝜏 𝑑𝜏!! .

Fig. 3 – Diagrama de comutação com entrada bi-nível simétrica.



ao conjunto dos dois ramos de parábola da figura 3 que convergem na

origem chama-se curva de comutação. Realizando o subsistema “Subsys” da

figura 4a um mapeamento descrito por 𝑓 𝑥 = 2 sgn(𝑥) 𝑥 , represente a

função de geração da entrada 𝑢(𝑦,𝑦) (região tracejada no diagrama de

blocos) e explique o princípio de funcionamento global da estrutura de

controlo.

9. Realize simulações que ilustrem o funcionamento do sistema em

malha fechada da figura 4b, verificando a sua equivalência com a estratégia

de malha aberta usada anteriormente3 para impulsos rectangulares.

Justifique as caraterísticas oscilatórias do sinal de controlo que obteve em

malha fechada após convergência do estado do sistema para a vizinhança da

origem. Este comportamento, conhecido por chattering, é problemático?

10. A figura 5 apresenta uma arquitectura de controlo modificada que evita

o chattering na entrada. Em traços gerais este método altera a curva de

comutação, especificando um intervalo ±𝑦! em torno da origem onde o seu

andamento passa a ser linear, e atribuindo à curva uma espessura não nula

3 Para evitar problemas numéricos no cálculo da evolução do modelo é aconselhável substituir o bloco “Sign” por uma saturação em ±1 com uma estreita zona linear. Isto consegue-se ligando um bloco de ganho elevado em cascata com um bloco de saturação em ±1. Atenção aos parâmetros deste bloco, que não correspondem aos valores por omissão da biblioteca do SIMULINK.

(a)

(b)

Fig. 4 − Controlo do sistema em cadeia fechada (a) Estrutura ideal (b) Estrutura para simulação



no plano de fase. O mapeamento do subsistema “Subsys” é dado pela

expressão

f (x) =

k1

k2x, se x ! yl

sgn(x) 2 x "1

k2

#

$%

&

'(, se x > yl,

)

*

++

,

++

onde as constantes 𝑘! = 1/𝑦!, 𝑘! = 2𝑘! asseguram que a curva de

comutação e a sua derivada são contínuas. Dê um significado mais preciso a

esta descrição sumária, representando a função de geração da entrada

𝑢(𝑦,𝑦) (região tracejada no diagrama de blocos) para um valor adequado de

𝑦! e explicando o princípio de funcionamento.

11. Implemente este sistema em SIMULINK e compare a evolução do

estado e do sinal de controlo com o caso do sistema básico em cadeia

fechada. Quantifique a degradação no tempo de resposta e discuta o seu

impacto. Compare também com a resposta do sistema linear que se obtém

retendo apenas o ramo superior da função 𝑓(𝑥) definida acima, estendido

para todo o 𝑥.

12. À semelhança da configuração em cadeia aberta analise o

comportamento do sistema perturbado com 𝑏 = 0.05. Compare com os

resultados em cadeia aberta e discuta a robustez dos dois tipos de estrutura.

13. Simule o sistema da fig. 5 com referências não nulas, aplicando na

entrada “Ref” sinais constantes por troços e sequências de rampas. Comente

a fidelidade de seguimento que obteve nos dois casos.

Fig. 5 – Arquitectura modificada que evita oscilações no sinal de controlo.

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