Origem da Investigação Operacional Para quê a Investigação Operacional (I.O.)? A Investigação...
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Origem da Investigação Operacional
Para quê a Investigação Operacional (I.O.)?
A Investigação Operacional surgiu para resolver, duma forma mais eficiente, os problemas na administração das organizações, originados pelo acelerado desenvolvimento provocado pela revolução industrial.
Investigação Operacional
A partir da Revolução Industrial aumentam os problemas na gestão das organizações:
• distribuição e utilização óptima dos recursos;
• as diferentes componentes dentro duma organização são sistemas autónomos com objectivos e gestão próprios;
• os objectivos cruzam-se: o que pode ser melhor para uns pode ser prejudicial para outros.
Quando é que surgiu a Investigação Operacional?
A origem da I.O. como ciência é atribuída à coordenação das operações militares durante a 2ª Guerra Mundial.
aplicação de métodos científicos na gestão das organizações:
abordagem quantitativa e qualitativa na tomada de decisões;
orientação sistemática: o problema é analisado no contexto dum
sistema que inclui diversas componentes interrelacionadas entre si;
extensibilidade: pode ser aplicada a um largo número de
organizações.
Características fundamentais da Investigação Operacional
I.O. - Ciência da AdministraçãoA I.O. tem provocado um impacto significativo na gestão e administração de empresas e diferentes organizações, daí ser denominada “a ciência da administração”. A sua utilização e implementação tem sido estendida a áreas como:
negócios,
economia,
indústria,
engenharia civil,
governos,
hospitais, etc.
Problemas de Optimização
Problemas de Optimização Problemas de Optimização
Programação Programação MatemáticaMatemática
ProgramaçãoProgramação Linear Linear
ProgramaçãoProgramação Não Linear Não Linear
Os Ramos da I.O.
Quais são os ramos mais importantes desenvolvidos na I.O.?
PROGRAMAÇÃO MATEMÁTICA
Programação Linear (P. L.)Principais áreas: Económica
MatemáticaMilitar
Programação Não LinearProgramação DinâmicaProgramação InteiraOptimização Global
• na Antiguidade:
Euclides, Newton, Lagrange
• no século XX:
Leontief, Von Neumann, Kantarovich
Recuando no tempo...
Em 1947, George Dantzig com a colaboração de Koopmans, ambos a trabalhar no Departamento da Força Aérea Americana, apresentaram um método denominado Simplex para a resolução dos problemas de Programação Linear (P.L.).
DantzigKoopmans
Programação Linear
ProgramaçãoProgramação
Planeamento de actividades
LinearLinear
O problema é representado
matematicamente pelo modelo de PM
onde todas as funções f (x1, x2 ,… , xn ),
gi(x1, x2 , … , xn ), i=1,…,m são lineares.
Programação Linear
O que são problemas de Programação Linear?
Os problemas de Programação Linear são uma classe particular de Problemas de Programação Matemática (P.M.), onde a função objectivo e as restrições podem ser representadas por funções lineares.
A Programação Linear determina o planeamento óptimo de actividades, ou seja, um plano óptimo que represente a melhor solução entre todas as alternativas possíveis.
1 - Problemas de Transporte
rentabilização de aeroportos;optimização de tráfego interno ou de comunicação de vários tipos;planificação dos semáforos de circulação numa cidade.
2 - Problemas de Composição
composição de medicamentos;blindagem de ligas metálicas e combustíveis; rações de animais e adubos;gelados e produtos alimentares.
3 - Problemas de Formação e Produção
corte de barras e chapas;designação de pessoas e tarefas (composição de tabelas de horários);planeamento da produção de uma empresa têxtil.
Tipos de Problemas de P.L.
Conceitos FundamentaisA função linear a optimizar (maximizar ou minimizar), Z= c1 x1 + c2 x2 + …+ cn xn , designa-se por função objectivo (f.o.).
As variáveis x1 , x2 , ... , xn , designam-se por variáveis de decisão.
As variáveis que se usam para transformar inequações em equações, designam-se por variáveis de folga.
As equações (inequações) que se impõem ao problema, designam-se por restrições.
• As restrições do tipo , = ou que relacionam as variáveis do problema, designam-se por restrições do problema.• As desigualdades do tipo x1 0 , ... , xn 0, designam-se por restrições de não negatividade.
Quando as restrições do problema envolvem apenas equações, este apresenta-se na forma padrão.
Quando as restrições do problema envolvem apenas inequações, este apresenta-se na forma canónica.
Qualquer conjunto de valores para as variáveis(x1, x2,…, xn) que satisfaça as restrições do problema, designa-se por solução.
Qualquer especificação de valores para as variáveis de decisão (x1, x2,…, xn ) que satisfaça as restrições do modelo e as condições de não negatividade, designa-se por solução admissível.
Quando a função objectivo cresce (maximização) ou decresce (minimização), indefinidamente, tendo em conta as restrições do problema, designa-se por solução ilimitada.
O conjunto de todas as soluções admissíveis designa-se por região de admissibilidade.
Uma solução óptima maximiza (minimiza) a função objectivo sobre toda a região de admissibilidade.
Problemas de P. L.
O que são problemas de P.L. ?
Os problemas de P. L. são problemas de maximização ou minimização de funções lineares (funções objectivo), num determinado domínio, normalmente definido por um conjunto de restrições nas variáveis.
Estes problemas são representados matematicamente por modelos que podem ser apresentados na forma padrão ou na forma canónica.
Maximizar(minimizar) Z= c1 x1 + c2 x2 + …+ cn xn
sujeito a a11 x1 + a12 x2 + … + a1 j xj + …+ a1n xn { , =, } b1
a21 x1 + a22 x2 + … + a2 j xj + …+ a2n xn {, =, } b2
…
ai 1 x1 + ai 2 x2 + … + ai j xj + …+ ai n xn {, =, } bi
…am 1 x1 + am 2 x2 + … + am j xj + …+ am n xn {, =, } bm
x1, x2,…, xj ,…, xn 0
onde ai j , bi e cj ( i=1,2,…,m, j=1,2,…,n ) são constantes e em cada
restrição apenas se verifica uma e só uma das relações {, =, }.
Função objectivoFunção objectivo
Condições de nãoCondições de não negatividade negatividade
restriçõesrestrições
Formulação Matemática do Modelo de P.L.
É também frequente o modelo de P. L. ser apresentado utilizando as notações:
• cartesiana
• matricial
• vectorial
Notações do modelo
1º. Forma Cartesiana
Maximizar Z= c1 x1 + c2 x2 + …+ cn xn
sujeito a a11 x1 + a12 x2 + …+ a1nxn b1
a21 x1 + a22 x2 + …+ a2n xn b2
…
am 1 x1 + am 2 x2 + …+ am n xn bm
x1, , x2 ,..., xj ,..., xn 0
n
jjj xcZ
1
n
jijij bxa
1
0jx
mi ,...,2,1nj ,...,2,1
Maximizar
2º. Forma Matricial
Maximizar Z= c1 x1 + c2 x2 + …+ cn xn
sujeito a a11 x1 + a12 x2 + …+ a1n xn b1
a21 x1 + a22 x2 + …+ a2n xn b2
…
am 1 x1 + am 2 x2 + …+ am n xn bm
x1, , x2 ,..., xj ,..., xn 0
Maximizar
bAX
0X
XcZ '
nn xxxXcccc ,...,,,,...,, 21
'
21
'
)(0,...,0,00,
nmijaA
,,...,,'
21 mbbbb
3º. Forma Vectorial
Maximizar Z= c1 x1 + c2 x2 + …+ cn xn
sujeito a a11 x1 + a12 x2 + …+ a1n xn b1
a21 x1 + a22 x2 + …+ a2n xn b2
…
am 1 x1 + am 2 x2 + …+ am n xn bm
x1, , x2 ,..., xj ,..., xn 0
Maximizar
onn PPxPxPx ...2211
0jxnj ,...,2,1
'
21 ,...,, mjjjj aaaP '
210 ,...,, mbbbP
'21
'
21 ,...,,,,...,, nn xxxXcccc
XcZ '
As duas formas apresentadas (padrão e canónica) são equivalentes. Com efeito, mediante as operações a seguir indicadas, é sempre possível dar a qualquer problema uma destas formas, sem que o conjunto de soluções se altere.
Operações de reformulação
1. Qualquer problema de maximização pode converter-se num problema de minimização, pois:
máximo Z = - mínimo (-Z)
2. Qualquer restrição de desigualdade do tipo “” pode ser convertida numa restrição do tipo “”, multiplicando por (-1) ambos os membros:
ai 1 x1 + ai 2 x2 + …+ ai n xn bi
- ai 1 x1 - ai 2 x2 - …- ai n xn - bi
3. Qualquer restrição de igualdade pode ser convertida em duas restrições de desigualdades “ ” equivalentes àquela.
ai 1 x1 + …+ ai n xn = bi ai 1 x1 + …+ ai n xn bi
ai 1 x1 + …+ ai n xn bi
ai 1 x1 + …+ ai n xn bi
-ai 1 x1 - …- ai n xn - bi
4. Qualquer restrição de desigualdade pode ser convertida numa restrição de igualdade, através da introdução de uma nova variável (variável de desvio ou folga) xn+1 de valor não negativo .
ai 1 x1 + …+ ai n xn bi
bi - ai 1 x1 - …- ai n xn 0
xn+1 = bi - ai 1 x1 - …- ai n 0
ai 1 x1 + … + ai nxn + xn+1 = bi
xn+1 0
5. Qualquer variável livre xj, (não restringida pela condição de não negatividade) pode ser substituída por um par de variáveis não negativas xj' 0 e xj'' 0, fazendo:
xj = xj' - xj''
e deste modo formulando de novo o problema em função destas duas variáveis.
Hipóteses do modelo de P.L.
Qualquer modelo de P.L. deve cumprir as seguintes hipóteses que garantem a linearidade da função objectivo e das restrições do problema:
» Proporcionalidade
» Aditividade
» Divisibilidade e não negatividade
» Linearidade da função objectivo
- Proporcionalidade
Em cada actividade a quantidade de bens que entram e saem são sempre proporcionais ao nível da mesma.
-Divisibilidade e não negatividade
O nível de uma actividade pode assumir qualquer valor positivo de um dado intervalo, o que equivale a supor que os bens são perfeitamente divisíveis, isto é, susceptíveis de variar em quantidades infinitesimais.
-Linearidade da função objectivo
Cada actividade contribui para o objectivo global perseguido pelo sistema (por exemplo, cada actividade normalmente tem associado um certo lucro ou um certo custo). Esta hipótese indica que essa contribuição para a função económica é proporcional ao nível da actividade.
A contribuição total é a soma das contribuições de todas as actividades.
Problema
Custo global: soma dos custos de transporte i para j
em função de xij
Designação de
actividade
Intensidade (incógnita)
Recursos e restrições
Função objectivo
Transporte da unidade i para o
armazém j
Quantidade a transportar de i
para j : xij
Colocação do alimento i na
dieta
Percentagem de i na dieta (xi)
Custo global da composição
Produção do produto j
Quantidade a produzir do produto
j : xj
Quantidade de recurso disponível;Quantidade derecurso i gasto na produção de uma unidade do produto j
Lucro global: soma dos lucros obtidos pela produção dos produtos j em
função de xj
Níveis calóricos e vitamínicos mínimos
A -
Transporte
B -
Composição
C -
Produção
Capacidade de fornecimento em i; quantidade requerida no armazém j
Formulação dos vários tipos de problemas de P.L.
Problema de Transporte
cij - custo de transporte de uma unidade de produto da unidade i para o armazém j
ij
ijij xcmin
s.a.
j
iij axM unidades produtoras M restrições de oferta; ai -OFERTA da unidade produtora i; i=1…m;
N armazéns receptores N restrições de procura;bj- PROCURA do armazém receptor j , j=1,…n;
i
jij bx
0ijx
Problema
Custo global: soma dos custos de transporte i para j
em função de xij
Designação de
actividade
Intensidade (incógnita)
Recursos e restrições
Função objectivo
Transporte da unidade i para o
armazém j
Quantidade a transportar de i
para j : xij
Colocação do alimento i na
dieta
Percentagem de i na dieta (xi)
Custo global da composição
Produção do produto j
Quantidade a produzir do produto
j : xj
Quantidade de recurso disponível;Quantidade derecurso i gasto na produção de uma unidade do produto j
Lucro global: soma dos lucros obtidos pela produção dos produtos j em
função de xj
Níveis calóricos e vitamínicos mínimos
A -
Transporte
B -
Composição
C -
Produção
Capacidade de fornecimento em i; quantidade requerida no armazém j
Formulação dos vários tipos de problemas de P.L.
Problema de Composição
i
ii xcmin
com
i
ii uxa nível calórico
i
ii vxb nível vitamínico
0ix
sendo: ai e bi - o conteúdo calórico e vitamínico unitário de cada alimento i, ci - o custo unitário de i , e u e v, os níveis mínimos exigidos.
Problema
Custo global: soma dos custos de transporte i para j
em função de xij
Designação de
actividade
Intensidade (incógnita)
Recursos e restrições
Função objectivo
Transporte da unidade i para o
armazém j
Quantidade a transportar de i
para j : xij
Colocação do alimento i na
dieta
Percentagem de i na dieta (xi)
Custo global da composição
Produção do produto j
Quantidade a produzir do produto
j : xj
Quantidade de recurso disponível;Quantidade derecurso i gasto na produção de uma unidade do produto j
Lucro global: soma dos lucros obtidos pela produção dos produtos j em
função de xj
Níveis calóricos e vitamínicos mínimos
A -
Transporte
B -
Composição
C -
Produção
Capacidade de fornecimento em i; quantidade requerida no armazém j
Formulação dos vários tipos de problemas de P.L.
Problema de Produção
j
jj xcmax
comi
jjij bxa restrições dos recursos
0jx
sendo i=1…m, j=1,…n, cj o lucro obtido por cada unidade do produto j , aij a quantidade de recurso i gasto na produção de uma unidade do produto j, e bi a quantidade de recurso disponível.
A empresa Nova Linha produz artigos de vidro: janelas e portas, em três secções de produção:
Secção de Serralharia: para produzir as estruturas de alumínioSecção de Carpintaria: para produzir as estruturas de madeiraSecção de Vidro e Montagem: para produzir vidro e montar as portas e janelas
Devido à diminuição dos lucros, o gerente decidiu reorganizar a produção, e propõe produzir os 2 produtos que têm uma melhor aceitação entre os clientes.
Estes produtos são:Produto 1: uma porta de vidro com estrutura de alumínioProduto 2: uma janela grande com estrutura de madeira
PROBLEMA DE MAXIMIZAÇÃO
O Departamento de Marketing concluiu que a empresa pode vender tanto de qualquer dos dois produtos, tendo em conta a capacidade de produção disponível. Como ambos os produtos partilham a capacidade de produção da secção nº 3, o gerente solicitou ao Departamento de Investigação Operacional da empresa a resolução deste problema.
O Departamento de I.O. formulou o problema, utilizando os seguintes dados:
• a capacidade de produção por minuto de cada secção a ser utilizada na produção de ambos os produtos;• a capacidade de produção por minuto de cada secção, a ser utilizada para produzir uma unidade de cada produto;• os lucros unitários para cada produto.
Maximizar Z = 3x + 5y
sujeito a x 4 2y 12 3x + 2y 18
x 0, y 0
x , y - o número de unidades do produto 1 e 2 produzidas por minuto.Z - o lucro total por minuto.
Capacidade utilizada por unidade de
produção Secção n.º Produto 1 Produto 2 Capacidade
disponível 1 2 3
1 0 3
0 2 2
4 12 18
Lucros unitários
(em euros)
3 5
Formulação
I. Identificar os valores de (x, y) que satisfaçam todas as restrições (região de admissibilidade)
1º x 4 (x , y) estão situados à esquerda ou sobre a recta x = 4
2º 2 y 12 y 6 (x , y) estão situados abaixo ou sobre a recta y = 6
3º 3 x + 2 y 18 (x , y) estão situados abaixo ou sobre a recta 3x + 2y =18
4º x 0, y 0 (x , y) estão no 1º Quadrante
II. Determinar a solução
A função objectivo Z = 3x + 5y define uma recta que pode ser deslocada paralelamente no sentido do seu gradiente (garantindo o crescimento de Z), até se tornar tangente à região admissível.
Neste caso o ponto de tangência (2,6) optimiza a função objectivo, pelo que a solução pretendida é x = 2, y = 6. O valor óptimo é 36.
Nova Linha deve fabricar duas portas (produto 1) e seis janelas (produto 2) por minuto obtendo um lucro
de 36 euros por minuto.
Problema de Minimização
Um criador de cavalos pretende determinar as quantidades de cada tipo de ração que devem ser dadas diariamente a cada animal por forma a conseguir uma certa quantidade nutritiva a um custo mínimo.
Os dados relativos ao custo de cada tipo de ração, às quantidades mínimas diárias de ingredientes nutritivos básicos a fornecer a cada animal, bem como às quantidades destes existentes em cada tipo de ração (g/kg) constam no seguinte quadro:
FormulaçãoRação
Ingredientesnutritivos
Granulado Farinha Quantidademínima
requeridaCarbohidratos
VitaminasProteínas
205030
501030
200150210
Custos(euros/Kg)
0.05 0.03
Minimizar Z = 0.05x + 0.03ySujeito a
20x + 50y 20050x + 10y 15030x + 30y 210x 0, y 0
x, y - quantidades (em Kg), de granulado e farinha, respectivamente, a fornecer diariamente a cada animal Z - custo total (em euros) a suportar diariamente com a alimentação de cada animal.
I. Identificar os valores de (x, y) que satisfaçam todas as restrições (região de admissibilidade)
1º 20x + 50y 200 2x + 5y 20 (x,y) estão situados acima ou sobre a recta 2x + 5y =20
2º50x + 10y 150 5x + y 15 (x,y) estão situados acima ou sobre a recta 5x + y = 15
3º30x + 30y 210 x + y 7 (x,y) estão situados acima ou sobre a recta x + y = 7;
4º x 0, y 0 (x , y) estão no 1º Quadrante
II. Determinar a solução
A função objectivo Z = 0.05x + 0.03y define uma recta que pode ser deslocada paralelamente no sentido contrário ao do seu gradiente (garantindo o decréscimo de Z), até se tornar tangente à região admissível.
Neste caso o ponto de tangência (2,5) optimiza a função objectivo, pelo que a solução pretendida é x = 2, y =5 . O valor óptimo é 0.25.
Desta “dieta” resulta para cada criador de cavalos um custo de alimentação diário com cada animal de
0,25€.
Um problema de P.L. pode ter:
uma única solução óptimaou
múltiplas soluções óptimas (uma infinidade)ou
não ter óptimo finitoou
não ter nenhuma solução (neste caso o problema é impossível)
Soluções do Problema de P.L.
Casos particulares
•Situações em que a solução não é limitada;
•Situações em que existem soluções óptimas alternativas;
•Situações em que o problema é impossível.
Em qualquer dos problemas anteriores pode afirmar-se que se está perante problemas de P.L. “bem comportados”, uma vez que ambos têm uma única solução óptima. Existe contudo a possibilidade de situações “anómalas” que devem ser consideradas quando, se pretende apresentar uma técnica capaz de resolver qualquer problema de P.L..
No exemplo de maximização, determinamos uma única solução óptima: x = 2 , y = 6, onde a função objectivo alcança o seu valor máximo Z=36 .
Uma Única Solução Óptima
Múltiplas Soluções Óptimas Se um problema de P.L. tem soluções óptimas múltiplas então
tem um número infinito delas.
No exemplo de maximização, mudando o lucro unitário do produto 2 de 5 euros para 2 euros, a função objectivo é agora a recta Z = 3x + 2y (a f.o. tem o mesmo gradiente da recta da 3ª restrição 3x+ 2y = 18). Todos os pontos (uma infinidade) do segmento de recta AB, são soluções óptimas, pois todas alcançam o melhor valor da f.o.: Z = 18
Se as restrições não evitarem o crescimento indefinido do valor da função objectivo Z, então o problema não tem óptimo finito (esta situação não ocorre em problemas de minimização devido ás restrições de não negatividade).
No exemplo de maximização, eliminando as restrições: y 6, 3x +2y 18, a região de admissibilidade fica não limitada e o valor da função objectivo pode crescer indefinidamente nesta região.
O Problema não tem Óptimo Finito
O problema é ImpossívelSe não existissem soluções admissíveis (o conjunto de soluções admissíveis é vazio), então o problema não tem nenhuma solução, o problema é impossível.
No exemplo de maximização, modificando a restrição x 4 para x 7 e mantendo todas as outras, não há nenhuma solução que verifique todas as restrições do problema.
Método Simplex
O primeiro e mais importante passo na sua descoberta foi concluir que a região admissível é um polítopo.
Dantzig
Polítopo: Poliedro Convexo e LimitadoO invólucro convexo de um conjunto S com um número finitos de pontos designa-se por polítopo (poliedro convexo limitado).
x1
x2
K
AA BB
CC
DDEE
FFA região sombreada fornece um poliedro convexo gerado pelos pontos A,B,C,D,E,F
O polítopo gerado por n+1 pontos em n designa-se por simplex.
•A região admissível é um polítopo;
•O ponto óptimo está sobre algum dos vértices da região admissível;
•A função objectivo tem geralmente valores diferentes para cada vértice;
•Pode-se melhorar a função objectivo passando de vértice para vértice.
Ideias importantes
Como determinar uma solução do problema de P.L. na forma Padrão?
Maximizar Z= c1 x1 + c2 x2 + …+ cn xn (3.1)
sujeito a
a11 x1 + a12 x2 + …+ a1n xn = b1 (3.2)a21 x1 + a22 x2 + …+ a2n xn = b2
…am 1 x1 + am 2 x2 + …+ am n xn = bm
x1, x2,…, xm,…, xn 0 (m n ) (3.3)
Maximizar Z= c1 x1 + c2 x2 + …+ cn xn (3.1)
sujeito a
a11 x1 + a12 x2 + …+ a1n xn = b1 (3.2)a21 x1 + a22 x2 + …+ a2n xn = b2
…am 1 x1 + am 2 x2 + …+ am n xn = bm
x1, x2,…, xm,…, xn 0 (m n ) (3.3)
c(A) - característica de uma matriz Amxn que corresponde ao
número máximo de colunas de A linearmente independentes
Este sistema é constituído por m equações e n incógnitas, suponha que a característica da matriz do sistema é igual a m, c(A)=m, e que m n .
Este sistema tem uma infinidade de soluções, tratando-se portanto dum sistema possível e indeterminado de grau n-m. Isto significa que podemos exprimir m variáveis em função das n- m restantes.
Para determinar uma solução do problema de P.L. é preciso resolver o sistema de equações lineares
Base do Sistema.Variáveis básicas e não básicas
Se uma submatriz Bmxm da matriz A do sistema de equações correspondente às restrições é não singular, isto é, o determinante de Bmxm é não nulo, então Bmxm designa-se por base.
As m variáveis x1 , x2 ,…, xm , correspondentes às colunas de Bmxm ,designam-se por variáveis básicas e as restantes n-m variáveis xm+1, xm+2 ,…, xn designam-se por variáveis não básicas.
Solução Básica e Solução Básica Admissível
Sem perda de generalidade, suponha que a base B é composta pelas m últimas colunas, isto é, B= { P1 , P2 ,..., Pm }
como o determinante de B é não nulo (pela definição de base), o sistema de equações BXB =b tem solução
única
Obtém-se uma solução básica para o sistema (3.2) atribuindo o valor 0 às n-m variáveis não básicas xm+1 ,
xm+2 ,…, xn, e determinando uma solução para as restantes m variáveis básicas x1 , x2 ,…, xm , isto é, X = (0, ..., 0, x1 , x2 ,… , xm), onde XB =(x1 , x2 ,…, xm) é a única solução do sistema B XB =b.
Se todas as variáveis básicas da solução básicaX= (0, ..., 0, x1 , x2 ,… , xm) são não negativas então X é uma solução básica admissível (SBA).
Solução Básica DegeneradaSuponha-se X = (0, ..., 0, x1 , x2 , ..., xm) uma solução básica para o sistema (3.2) com as correspondentes variáveis básicas x1 , x2 ,…, xm.
Se alguma variável básica x1 , x2 ,…, xm for igual a zero, a solução básica designa-se por solução básica degenerada.
Se todas as variáveis básicas são não nulas a solução básica designa-se por solução básica não degenerada.
Soluções Básicas Adjacentes
Duas soluções básicas que apenas diferem numa variável básica designam-se por soluções básicas adjacentes.
Uma SBA é óptima quando nenhuma das SBA adjacentes é “melhor”, isto é, nenhuma melhora o valor da função objectivo.
Algoritmo
O que é um algoritmo?
Um algoritmo é um processo que repete (itera) sucessivas vezes um procedimento sistemático até obter um resultado. Além disso, também inclui um procedimento
para iniciar e um critério para terminar.
INÍCIOINÍCIOForma Padrão
Identificar uma SBA inicial.Construir o quadro Simplex correspondente
Análise dos simétricos dos coeficientes da f. o.
A solução é óptima ?
FIMFIMSolução óptima !!!SimSim
critério de optimalidadeNãoNão
Identificar a variável não básica que entra
critério de entrada
Óptimo nãofinito?
FIMFIMO problema não tem
óptimo finitoSimSimcritério de óptimo não finito
NãoNãoIdentificar a variável básica que sai
critério de saída
Actualizar o quadro SimplexCalcular nova SBA
Exemplo Redução à Forma Padrão
Restrição de desigualdade
Variável de folga
Restrição de igualdade
x1 4 xx33 x1 + x3 = 41ª1ª
2 x2 122ª2ª xx44 2 x2 + x4 = 12
3ª3ª 3 x1 + 2 x2 18 xx553 x1 + 2 x2 + x5 = 18
Função objectivo max Z = 3 x1 + 5 x2
x1 x2 x3 x4 x5 b
x3 1 0 1 0 0 4
x4 0 2* 0 1 0 12
x5 3 2 0 0 1 18
Z -3 -5 0 0 0 0
Algoritmo Primal Simplex.Exemplo: 1º quadro
Simétricos dos coeficientes da f.o.
valores das
variáveis básicas
os simétricos dos coeficientes
das variáveis básicas são sempre nulos
Valor da f.o.
Primeira solução básica admissível: (x1, x2, x3, x4, x5) = (0, 0, 4, 12, 8); x1, x2 são variáveis não básicas e x3, x4, x5 são as variáveis básicas; Esta solução não é óptima; A variável a entrar na base é x2 porque, entre as variáveis não básicas
com custo reduzido negativo, é a que tem menor valor; A variável de saída é x4, porque o min 12/2, 18/2 corresponde à linha
definida por esta variável básica; O pivot neste caso é 2 (assinalado com um asterisco); A actualização do quadro simplex é feita utilizando as seguintes
operações elementares:
L1 L1
L2 1/2L2
L3 L3 – L2
L4 L4 + 5/2L2
x1 x2 x3 x4 x5 b
x3 1 0 1 0 0 4
x2 0 1 0 1/2 0 6
x5 3* 0 0 -1 1 6
Z -3 0 0 5/2 0 30
Algoritmo Primal Simplex.Exemplo: 2º quadro
Nova solução básica admissível: (x1, x2, x3, x4, x5) = (0, 6, 4, 0, 6); Esta solução ainda não é óptima; Para esta solução a função objectivo é 30; A variável a entrar na nova base é x1 porque, entre as duas variáveis não
básicas, é a única que tem um custo reduzido negativo; A variável de saída é x5, porque o min {4/1,6/3} corresponde à linha
definida por x5; O novo pivot é 3 (assinalado com um asterisco); A nova actualização do quadro simplex é feita utilizando as seguintes
operações elementares:
L1 L1 – 1/3L3
L2 L2
L3 1/3L3
L4 L4 + L3
x1 x2 x3 x4 x5 b
x3 0 0 1 1/3 -1/3 2
x2 0 1 0 1/2 0 6
x1 1 0 0 -1/3 1/3 2
Z 0 0 0 3/2 1 36
Algoritmo Primal Simplex.Exemplo: 3º quadro
A nova solução básica admissível é (x1, x2, x3, x4, x5) =
(2, 6, 2, 0, 0) ; uma vez que neste último quadro não
existem custos reduzidos negativos, esta solução é
óptima.
O valor máximo da função objectivo é 36.
Conclusão
O Método Simplex :
•Permite passar de uma solução básica admissível para uma outra solução básica admissível que corresponde a um melhor valor da função objectivo.
•Dispondo de um critério que permita saber quando se alcançou a solução óptima sem necessidade de experimentar todas as soluções básicas.