Como nasceu a Investigacao Operacional · Investigação Operacional Definição ... A partir da...

Investigação Operacional

Introdução e Histórico

Durante a II Guerra Mundial, lideres militares da Inglaterra e dos Estados Unidos requisitaram um grupo de cientistas de diversasáreas de conhecimento para analisarem alguns problemas militares.

Entre esses problemas citam-se: Desenvolvimento, operação elocalização de radares, gerenciamento e controle de navios deapoio, planeamento de ataques aéreos, lançamento de bombascontra submarinos, defesa das comunidades européias contraataques aéreos dos inimigos, abastecimento de tropas com muniçõese alimentos, operações de mineração.

A aplicação de métodos matemáticos e científicos para ajudar as operações militares foi chamada Investigação Operacional.


Definição

“Investigação Operacional é o uso do método científico com oobjectivo de prover departamentos executivos de elementosquantitativos para a tomada de decisões, com relação a operaçõessob seu controle’’ (Kittel, 1947).

“ Investigação Operacional é a aplicação do método científico, porequipes multidisciplinares, a problemas envolvendo o controle desistemas organizados de forma a fornecer soluções que melhorinteressam a determinada organização” (Ackoff, 1968).

“Investigação Operacional é uma metodologia de estruturarprocessos aparentemente não estruturados por meio da construçãode modelos. Utiliza um conjunto de técnicas quantitativas com ointuito de resolver os aspectos matemáticos dos modelos”(Ehrlich, 1991).


Definição

Hoje, o termo Investigação Operacional, significa “um método

cientifico para tomada de decisão, que busca determinar como

melhor planear e operar um sistema, usualmente sob condições

que requerem alocação de recursos escassos”.


Metodologia da Investigação Operacional

Geralmente a actividade de uma equipa de InvestigaçãoOperacional envolve as seguintes fases:

Identificação do problema;

Construção de um modelo;

Obtenção da solução;

Teste do modelo e avaliação da solução;

Implantação e acompanhamento da solução.

Deve-se salientar que tais fases não são distintas, superpondo-se e interagindo entre si, na tentativa de se obter uma melhoridentificação entre o modelo e o real.


Quando a Investigação Operacional é usada para resolver um problema de uma organização, o seguinte procedimento, poderáser seguido:

Passo 1- Identificação e formulação do problema

Em primeiro lugar deve ser definido claramente o problema da organização, incluindo a especificação dos objectivos e as partes da organização que devem ser estudadas antes que o problema possaser resolvido.

Passo 2 – Observação do sistema

Os dados devem ser colectados para estimar valores de parâmetrosque afectam o problema da organização. Estes valores são usadospara desenvolver e avaliar o modelo matemático para o problema.


Passo 3 – Formulação do modelo matemático para o

problema

Consiste no desenvolvimento do modelo matemático para o problema.

Geralmente, existem várias técnicas que podem ser aplicadas na

solução dos modelos matemáticos. A técnica adequarda é selecionada

em função das caracteristicas do modelo representativo do problema.

Passo 4 –Verificação do modelo e uso do modelo para

predição

Verifica-se se o modelo matemático proposto para o problema é uma

representação fidedigna da realidade. Os dados colectados durante a

observação do problema podem ser usados para a validação do modelo

na situação corrente.


Passo 5 – Selecionar uma alternativa aceitável

Dado o modelo do problema e um conjunto de alternativas

(soluções viáveis) deve-se escolher aquele (se existir) que melhor

atende aos objectivos da organização. Em alguns casos, a selecção

da melhor alternativa possivel é um problema de dificil solução e,

nesses casos, aceita-se uma “boa alternativa”

Passo 6 – Apresentação dos resultados e conclusões

A partir da definição do modelo e das alternativas determinadas

para o problema são feitas as recomendações para os gerentes das

organizações para que eles possam tomar as decisões que melhor

atendem os objectivos buscados.


Passo 7 – Implementação e avaliação das recomendações

Se a organização aceita o estudo realizado e as recomendações

feitas, parte-se para a fase de implementação da solução, a qual

deve ser constantemente monitorada, e actualizada

dinamicamente, fazendo-se mudanças quando necessárias.


Áreas de aplicação

Administração;

Agropecuária;

Economia e planeamento económico;

Educação e saúde;

Energia;

Engenharia;

Forças armadas;

Investimentos e finanças;

Localização – armazenamento – distribuição;

Planeamento e controle da produção,


Planeamento urbano e regional;

Recursos hídricos;

Siderurgia;

Telecomunicações;

Transporte.


Programação Linear

O significado da expressão

“Programação” alocação de itens ou entidades

“Linear” relativo a funções, equações ou inequações lineares

O problema geral

Recursos escassos

devem ser

repartidos entre

demandas

competitivas

Decisões são

interligadas na

tomada de

decisão

Demandas

competem entre si

na procura dos

recursos escassos


Exemplos de modelos para alguns problemas clássicos de

programação linear

Escolha da mistura para rações


Problema de Produção

Uma pesquisa de mercado indica que a demanda diária de tintas para

interiores não pode ultrapassar a de tintas para exteriores por mais de 1

tonelada. Além disso, a demanda máxima diária de tinta para interiores é

2 toneladas. A Reddy Mikks quer determinar o mix óptimo (o melhor)

de produtos de tintas para interiores e exteriores que maximize o lucro

total diário. Os lucros por toneladas de tintas para interiores e exteriores

e são de 5 e 4 (mil) meticais. A utilização por dia da matéria-prima M1 é

de 6 tonelada de tinta para exteriores e de 4 tonelada de tinta para

interiores e a utilização por dia da matéria-prima M2 é de 1 tonelada de

tinta para exteriores e de 2 tonelada de tinta para interiores. As

disponibilidades diárias das matérias-primas M1 e M2 estão limitadas a

24 e 6 toneladas respectivamente


Propriedade do modelo de PL

O objectivo e as restrições serem todas funções lineares. Linearidadeimplica que a programação linear deve satisfazer três propriedadesbásicas:

1. Proporcionalidade: essa propriedade requer que a contribuição de cada variável de decisão, tanto na função objectivo quando nas restriçõesseja directamente proporcional ao valor da variável.

2. Aditividade: essa propriedade requer que a contribuição total de todas as variáveis da função objectivo e das restrições seja a soma diretadas contribuições individuais de cada variável.

3. Certeza: todos os coeficientes da função objectivo e das restriçõesdo modelo de PL são determinísticos, o que significa que são constantesconhecidas – uma ocorrência rara na vida real, na qual o mais provável é que os dados sejam representados por distribuição de probabilidade.


Forma Estandar

2x1 + x2 + s1 = 18

2x1 + 3x2 + s2 = 42

3x1 + x2 + s3 = 24

2. Igualar a função objectivo a zero e depois agregar asvariáveis de folga do sistema anterior

Z – 3x1 – 2x2 = 0

3. Escrever a tabela inicial Simplex

Nas colunas aparecem todas as variáveis do problema e nas filas oscoeficientes das igualidades obtidas, uma fila para cada restrição ena ultima fila com os coeficientes da função objectivo.


4. Encontrar a variável de decisão que entra na base e a

variável de folga que sai da base.

A) Para escolher a variável de decisão que entra na base, observamos

na última fila, a qual mostra os coeficientes da função objectivo e

escolhemos a variável com o coeficiente mas negativo (em valor

absoluto).

Neste caso, o coeficiente (-3) da variável x1

Se existisse dois o mais coeficientes iguais, que satisfazem a condição

anterior, então se escolhe qualquer deles.

Se na última fila não existir nenhum coeficiente negativo, significa

que já alcançamos a solução optima


Portanto, o que vai determinar o final do processo de aplicação dometodo Simplex, é que na última fila não haja elementos negativos. Acoluna da variável que entra na base se chama de coluna Pivote.

B) Para encontrar a variável de folga que tem que sair da base.

Se divide cada elemento da última coluna (valores da solução) porcada elemento correspondente da coluna pivote. Sempre estes últimosseja maiores que zero.

A linha pivote será aquela que tiver menor valor absoluto depois dedividirmos os elementos da coluna de solução com oscorrespondentes elementos da coluna pivote.


C) A interação da fila pivote e coluna pivote temos o elemento pivote

(3) este indica que a variável de decisão x1 entra e a variável de folga

s3 sai.

5. Encontrar os coeficientes para a nova tabela simplex

Os novos coeficientes da fila pivote se obtem dividido todos os

coeficientes da fila por elemento pivo operacional “3” de modo que

este se converta em 1

A continuação será mediante a redução gaussiana


Como nos elementos da última fila há um número negativo (-1),

significa que ainda não chegamos a solução optima. Temos que repetir

o processo.

A) A variável que entra na base é x2 por ser a coluna pivote que

corresponde o coeficiente (-1)

B) Para calcular a variável que sai da fila pivote, dividimos os

elementos da coluna solução com os elementos da nova coluna

pivote.

E como o menor coeficiente positivo é 6 temos na fila pivote a

variável de folga que sai é s1


Como todos os coeficientes da linha da função objectivo são positivo ,

vamos alegar que a nossa solução é óptima.


Um recurso é designado como escasso se as actividades (variáveis)

do modelo o usarem totalmente. Caso contrário, o recurso é

donominado abudante.


Qualquer Problema de Programação Linear (PPL) pode ser escrito

nas formas Canônica, Padrão e Matricial por meio das seguintes

operações:

Operação 1: Mudança de critério de optimização

Maximizar

Q (x)

Maximizar

- Q (x)

Minimizar

Q (x)

Minimizar

- Q (x)


Variável de

folga


Variável de

excesso


Este quadro não é óptimo pois existem variáveis com coeficientesnegativos na linha da função objectiva


Como encontrar uma solução básica admissivel

Resposta:

Fazendo uma mudança de base.

Para isso precisamos definir que entra e quem sai da base.

Quem Entra?

Qual, entre as variáveis não básicas, deve entrar para a base

Resposta:

Deve entrar a base a variável que possuir o coeficiente mais negativona linha da função objectiva.


Se duas ou mais variáveis tem o mesmo coeficiente negativo, nos

podemos escolher qualquer uma delas.

Se todas as variáveis tiverem coeficientes positivos então atingimos o

ponto óptimo da função objectivo e, consequentemente, o processo

do método simplex chega ao seu fim.

Os valores assumidos pelas variáveis são os que corresponderão ao

óptimo da função objectivo.


Quem entra na base?

x1 entra na base pois é a que tem o coeficiente mais negativo nalinha da função objectivo.


Quem sai da base?

Resposta:

Deve sair da base a variável cujo coeficiente RHS (termo

independente), em relação à variável que está entrando para a base,

for mínimo.


Para conseguir tal objectivo, irão ser estudados 2 métodod diferentes,

que são 2 variantes do método simplex: método do M-Grande

(Penalidades) e método das Duas-Fases.

Método do M-Grande (ou das Penalidades)

Neste método, as variáveis artificiais são “ fortemente” penalizadas na

função objectivo, de modo a “provocar” rapidamente o seu

anulamento. O método Simplex, tenderá “ naturalmente” a eliminar

da base as variáveis artificiais, como se pretende, dado que aquelas

estão penalizadas com coeficientes arbitrariamente grandes: (-M) na

maximização e (+M) na minimização


Exemplo

Uma pequena empresa fabrica 3 tipos de Kits electrónicos: A, B e C. Olucro unitário liquido de cada um é 5 (A), 10 (B) e 15 u.m. (C). O tempodisponível limita o número total de kits que podem ser fabricados, a 500.Estudos de mercado indicam que o total de kits tipos A e B deve ser pelomenos 100. O total de kits A deve exceder exactamente em 120 o totalde kits tipos B e C.

Quantas unidades de A, B e C devem ser fabricadas de modo a maximizaro lucro?

Formalização do problema

X1 = quantidade de unidades do kit A

X2 = quantidade de unidades do kit B

X3 = quantidade de unidades do kit C


Max Z=5x1 + 10x2 + 15x3 (lucro)

s.a x1 + x2 + x3 ≤ 500 (capacidade)

x1 + x2 ≥ 100 (procura de A e B)

x1 – x2 – x3 =120 (excedente de A)

x1, x2, x3 ≥ 0

Passar o problema para sua forma padrão:

Max Z=5x1 + 10x2 + 15x3

s.a x1 + x2 + x3 + x5 = 500

x1 + x2 - x4 = 100

x1 – x2 – x3 = 120

xi ≥0, i=1,…,5


Aplicando o algoritmo simplex a este problema, tem-se:

Passo inicial:


Processo para construir uma nova linha Z


1ª Iteração


2ª Iteração


Método das Duas-Faeses

Nesta variante, o problema de PL é resolvido em duas fases distintas:

na primeira, procura-se determinar se existem soluções admissíveis

para o problema inicial e, caso existam, obtém-se uma solução básica

admissivel (SBA) que será a solução de partida (inicial), da fase

seguinte; a segunda, consiste simplesmente na aplicação do algoritmo

do simplex, tal como foi descrito inicialmente.

A 1ª fase consiste em remover da base todas as variáveis artificiais, de

forma a obter uma solução básica (SB) apenas com variáveis não

artificiais do problema. Para tal, resolve-se o seguinte problema de PL

(problema auxiliar), começando com (X, Xa) = (0,b) como SBA


Minimizar Z = ∑ Xa

Sujeito a AX = b

X ≥ 0

Em que Xa é o vector das variaveis artificiais e o objectivo consiste, nestafase, em minimizar a sua soma (função objectivo artificial), quer o problemainicial seja de maximização quer seja de minimização.

Portanto, obtida uma solução para o problema auxiliar com as variáveisartificiais nulas, fica determinada a SBA de partida para o problema inicial.É evidente que uma solução nestas condições só se verifica com o valor daFO artificial igual a zero (Z=0).

No entanto, outras situações podem acontecer. Portanto, no fim da 1ª fase, em que se atingiu a solução óptima do problema auxiliar, está-se numa das seguintes situações:


Z > 0 – existe pelo menos uma variável artificial básica com valorestritamente positivo 0 problema inicial é impossível (regiãoadmissível vazia)

Z = 0 com todas as variáveis artificiais não básicas – a solução empresença é uma uma SBA de partida para o problema inicial passardirectamente à 2ª fase.

Z = 0 com pelo menos uma variável artificial básica (nula) – asolução encontrada é uma solução admissivel para o problema inicial.Se existir algum vector não artificial for a da base em condições desubstituir um vector artificial procede-se à substituição, sendo asolução obtida degenerada; caso contrário, tira-se do quadro simplexa linha respectiva (e a variável artificial associada). Em qualquer doscasos, após estas operações, passar à 2ª fase.

1º Teste


Começamos com a solucao gráfica, mais concreta, para explicar osfundamentos da análise de sensibilidade. Em seguida, essesfundamentos da análise de sensibilidade. Em seguida, essesfundamentos serão estendidos ao problema geral de PL usando osresultados da tabela simplex.

Analise de sensibilidade gráfica

Serão considerados dois casos

1. Sensibilidade da solução óptima às variações na disponibilidadedos recursos (lado direito das restrições)

2. Sensibilidade da solução óptima às variações no lucro unitário oucustos unitário (Coeficiente da função objectivo)


Variações no lado direito

Exemplo

A Amaflo produz dois produtos em duas máquinas. Uma unidade do produto 1 requer duas horas na máquina 1 e uma hora na máquina 2. Para o produto 2, uma unidade requer uma hora na máquina 1 e trêshoras na máquina 2. As receitas por unidade dos produtos 1 e 2 são30Mt e 20Mt, respectivamente. O tempo de processamento diáriodisponível para cada máquina é oito horas. Como a Amaflo podemaximizar o lucro.

Variáveis de decisão

X1 - número diário de unidades do produto 1

X2 - número diário de unidades do produto 2


Se forem feitas alterações na capacidade da máquina 1. Se a capacidade

diária for aumentada de oito horas para nove horas, aonde ocorrera a

nova solução óptimo

Como nasceu a Investigacao Operacional · Investigação Operacional Definição ... A partir da...

Documents

Transcript of Como nasceu a Investigacao Operacional · Investigação Operacional Definição ... A partir da...