Versão On-line ISBN 978-85-8015-076-6Cadernos PDE

OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSENA PERSPECTIVA DO PROFESSOR PDE

Artigos

GEOMETRIA DA SUPERFÍCIE ESFÉRICA: UM EXEMPLO DE GEOMETRIA NÃO-EUCLIDIANA PARA ALUNOS DO ENSINO MÉDIO1

Joana Dark Mariano de Souza2

Ms. Dirceu Pereira da Silva3

Ms. Karolina Barone Ribeiro da Silva4

RESUMO:

O presente artigo é o resultado final da pesquisa realizada durante a participação no Programa de Desenvolvimento Educacional do Estado do Paraná – PDE 2013/2014, em parceria com a Universidade Estadual do Centro-Oeste – UNICENTRO/Guarapuava. Este trabalho tem como tema as Geometrias Não-euclidianas, mais especificamente a Geometria da Superfície Esférica. A descoberta das Geometrias Não-euclidianas rompeu com hábitos do pensamento secular, a Geometria Euclidiana causando um tumulto na comunidade científica da época, rompendo com a “verdade absoluta” dos moldes tradicionais da matemática, e estas surgiram na tentativa de se provar o 5º Postulado de Euclides. Este artigo sistematiza as discussões e reflexões sobre a implementação das Geometrias Não-euclidianas nas aulas de Matemática do Ensino Médio e propostas de atividades práticas que auxiliem aos professores da rede pública na inserção deste conteúdo. A intervenção pedagógica foi realizada com alunos do 1º ano “A” do Ensino Médio do Colégio Estadual José de Anchieta - EFMNP, município de Santa Maria do Oeste, no primeiro semestre de 2014 e os resultados desta implementação foram partilhados com os professores da Rede Estadual da Educação do Paraná por meio do Grupo de Trabalho em Rede (GTR).

PALAVRAS-CHAVE: Geometria; Geometrias Não-euclidianas; Geometria da Superfície Esférica; Interdisciplinaridade.

INTRODUÇÃO

De acordo com as Diretrizes Curriculares de Matemática almeja-se um ensino

que possibilite aos estudantes análises, discussões, conjecturas, apropriação de

conceitos e formulação de ideias (PARANÁ, 2008, p. 48).

As Diretrizes Curriculares da Educação Básica do Estado do Paraná propõem

que a disciplina de Matemática seja dividida em cinco conteúdos estruturantes:

1 Artigo Final, elaborado com base nos resultados do Projeto de Intervenção Pedagógica na Escola

no Programa de Desenvolvimento Educacional PDE no ano de 2014. 2 Especialista e Graduada em Matemática pela Universidade Estadual do Centro-Oeste

(UNICENTRO). Professora da Rede Pública Estadual no município de Santa Maria do Oeste e Participante do Programa de Desenvolvimento Educacional PDE-2013/14. E-mail: joanadark@seed.pr.gov.br. 3 Professor do Departamento de Matemática - DEMAT-UNICENTRO e orientador PDE – Universidade

Estadual do Centro - Oeste – Guarapuava – PR. E-mail: dirceu@unicentro.br. 4 Mestre em Estatística pela Universidade Federal de São Carlos. Professora do Departamento de

Matemática da UNICENTRO – Universidade Estadual do Centro - Oeste – Guarapuava – PR. Coorientadora. E-mail: karolina.barone@yahoo.com.br.

Números e Álgebra, Grandezas e Medidas, Geometrias, Funções e Tratamento da

Informação. Para o Conteúdo Estruturante - Geometrias, tanto no Ensino

Fundamental como no Médio, há o desdobramento em Geometria Plana, Geometria

Espacial, Geometria Analítica e Noções Básicas de Geometrias Não-euclidianas.

O último tópico é uma das grandes preocupações de muitos educadores de

Matemática da Rede Pública, “Onde encontrar material didático disponível para a

Educação Básica para que possamos consultá-lo e apreendê-lo sobre esse

conteúdo? O que são Geometrias Não-euclidianas e por que ensiná-las na

Educação Básica? Qual a sua importância?”

Por esta razão, o tema de estudo escolhido “Noções Básicas de Geometrias

Não-euclidianas”, justificou-se pela necessidade de proporcionar atividades práticas

que auxiliassem os professores na inserção deste conteúdo no Ensino Médio, uma

vez que muitos problemas do cotidiano e do mundo científico só são resolvidos

através das Geometrias Não-euclidianas. Exemplo disso são os estudos que

resultaram na Teoria da Relatividade.

A ausência de conceitos de Geometrias Não-euclidianas nos livros didáticos

do Ensino Médio e a falta de formação continuada para os professores da Rede

Estadual, contribuem para que essas geometrias passem como despercebidas nos

conteúdos de Matemática por boa parte dos professores.

A proposta foi mostrar que essa geometria é acessível de ser incluída nos

encaminhamentos metodológicos das aulas de Matemática das escolas públicas,

para que o aluno perceba que é uma geometria muito presente em nosso cotidiano.

O desenvolvimento das Geometrias Não-euclidianas libertou a Geometria dos

moldes tradicionais, rompendo com um hábito de pensamento secular da Geometria

Euclidiana. Com isso, houve um grande avanço na Matemática como um todo,

despontando assim, como uma criação arbitrária do espírito humano e não como

algo necessariamente ditado a nós pelo mundo em que vivemos. Nas palavras de

Georg Cantor (apud EVES, 1995, p. 545) “A essência da matemática está em sua

liberdade”.

Sabe-se que a realidade mostra que vivemos num mundo não-euclidiano,

devido à curvatura da Terra as retas traçadas nesta superfície, não são retas

euclidianas e sim curvas. Por isso dá-se a importância de proporcionar ao educando

o conhecimento de outras geometrias, principalmente da Geometria Esférica por

fazer parte das nossas experiências diárias. Acredita-se, então, que se deveria

oportunizar ao educando o estudo da Geometria Euclidiana e das Não-euclidianas

simultaneamente, para que o mesmo perceba as diferenças entre elas e suas

aplicações.

No estudo da Geometria Esférica, fez-se uma relação com outras áreas do

conhecimento, como a Física e a Geografia.

Através do estudo das Geometrias Não-euclidianas, o aluno pode ampliar o

conhecimento geométrico e sua visão de mundo. Com isso, compreender que

existem outras geometrias tão consistentes quanto à euclidiana, percebendo que

esta não é única e sua aplicação dependerá do objetivo a que se destina.

A intervenção pedagógica foi realizada com alunos do 1º ano “A” do Ensino

Médio do Colégio Estadual José de Anchieta - EFMNP, município de Santa Maria do

Oeste, no primeiro semestre de 2014.

O tema, “Noções Básicas de Geometrias Não-euclidianas, principalmente da

Geometria da Superfície Esférica”, foi desenvolvido utilizando de algumas

tendências metodológicas, principalmente, da História da Matemática, Resolução de

Problemas e Investigações Matemáticas.

O conjunto de atividades da produção didático-pedagógica desenvolveu-se

nas aulas de Matemática, através de vídeos, slides, pesquisas e em trabalhos de

grupos de no máximo quatro alunos (as), por meio de atividades teóricas e práticas,

com o uso de materiais manipuláveis. Possibilitou-se, assim, ao educando perceber

a evolução histórica da ciência; diferenciar conceitos da geometria euclidiana com os

da geometria da superfície esférica, através do uso de materiais manipuláveis,

como: bolas de isopor, fitas adesivas, canetinhas coloridas, linhas/barbantes,

alfinetes, mapa-múndi, globo terrestre, compasso, régua, tesoura, entre outros.

GEOMETRIAS NÃO-EUCLIDIANAS

A palavra “geometria” deriva do grego – geo: Terra e metria: medida, portanto

significa “medição da Terra”.

Dos primeiros matemáticos que contribuíram para a origem da geometria

pouco se sabe, têm-se referências de Tales de Mileto e de Pitágoras de Samos,

entre outros (PRESTES, 2006).

Outro matemático importante para o desenvolvimento da Geometria foi, sem

dúvida, Euclides de Alexandria.

A obra mais famosa de Euclides foi “Os Elementos”, que com exceção da

Bíblia, nenhum trabalho foi tão largamente usado ou estudado e, provavelmente,

nenhum exerceu influência maior no pensamento científico. Mais de mil edições

impressas dos Elementos já apareceram desde a primeira delas em 1482 e por mais

de dois milênios, esse trabalho dominou o ensino de geometria. (EVES, 1995, p.167-

168).

Trata-se de uma coletânea de 13 livros, reunindo quase todo o conhecimento

matemático da época em que foi escrita e de grande valor histórico. A obra trata de

geometria, aritmética e álgebra. Ela é considerada, até os dias atuais, como a

tentativa mais bem sucedida de sistematização dos conhecimentos geométricos.

Vamos nos ater ao que interessa ao nosso tema de estudo. No Livro I,

encontram-se os cinco postulados de Euclides, que aqui não estão exatamente

como ele formulou, mas mais próximo da linguagem de hoje:

1. Dois pontos determinam uma reta. 2. A partir de qualquer ponto de uma reta é possível marcar um segmento de comprimento arbitrário. 3. É sempre possível traçar um círculo com centro e raio arbitrários. 4. Todos os ângulos retos são iguais. 5. Dadas três retas r, s e t num mesmo plano, se r encontra s e t de forma que a soma dos ângulos interiores de um mesmo lado de r seja menor que dois ângulos retos, então as retas s e t, quando prolongadas indefinidamente, se encontram do mesmo lado de r em que estão os referidos ângulos interiores. (ÁVILA, 2010, p. 61)

Porém, o quinto postulado, conhecido como “postulado das paralelas”, foi

objeto de infrutíferas tentativas de demonstração, desde a Antiguidade até início do

século XIX, o que teve como consequência o desenvolvimento das geometrias não-

euclidianas.

Ainda no início do século XIX, matemáticos tentavam provar o quinto

postulado de Euclides. Esforços estes, que fizeram com que entendessem mais

profundamente a Geometria Euclidiana e “descobrissem” a Geometria Não-

euclidiana. Foram eles: Carl Friedrich Gauss (1777-1855), Nicolai Ivanovich

Lobachevsky (1793-1856), Johann Bolyai (1802-1860) e Georg Friedrich Bernhard

Riemann (1826-1866).

Para Eves:

Dois desenvolvimentos matemáticos notáveis e revolucionários ocorreram na primeira metade do século XIX. O primeiro foi à descoberta, perto de 1829, de uma geometria autoconsistente, diferente da geometria usual de Euclides; o segundo foi à descoberta, em 1843, de uma álgebra diferente da álgebra familiar dos números reais. (EVES, 1995, p. 539)

O desenvolvimento das Geometrias Não-euclidianas rompeu com hábitos do

pensamento secular, a Geometria Euclidiana, causando um tumulto na comunidade

científica da época, rompendo com a “verdade absoluta” dos moldes tradicionais da

Matemática.

Provavelmente Gauss (1777-1855), tenha sido o primeiro a alcançar

conclusões sobre conceitos dessa nova geometria, mas como não publicou nada

sobre essa descoberta, devido às ideias dominantes da época, teve que dividir a

honra da “descoberta” das Geometrias Não-euclidianas com Bolyai e Lobachevsky.

Segundo, Silva:

Na época, a filosofia de Kant (1724-1804), cujas ideias se baseavam na geometria euclidiana, tida como verdade absoluta, havia sido absorvida pela Igreja Romana e devido à Inquisição, qualquer manifestação contrária à filosofia dominante poderia ser perigosa (SILVA, 2011, p. 14).

O húngaro Bolyai (1802-1860) publicou suas primeiras descobertas em 1832

e mais tarde ficou sabendo que o russo Lobachevsky também tinha publicado

descobertas semelhantes em 1829-1830, porém devido às barreiras da língua e a

lentidão com que as informações se propagavam na época, seu trabalho

permaneceu ignorado na Europa Ocidental, por vários anos.

Os esforços de Lobachevsky, na expectativa de alcançar um público maior,

fizeram com que ele publicasse, em 1840, um pequeno livro em alemão e mais

tarde, em 1855, um ano antes da sua morte e algum tempo depois de ficar cego,

publicou uma abordagem final, mais condensada, em francês. Infelizmente não

viveu o suficiente para ver seu trabalho reconhecido. Hoje a geometria desenvolvida

por ele, é também chamada de geometria de Lobachevsky ou Geometria

Hiperbólica.

Em 1854, o alemão Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866)

apresentou uma visão global da geometria, em espaços de dimensão qualquer. Um

geômetra que foi o primeiro tradutor da dissertação de Riemann para o inglês,

William Clifford (1845-1879), percebeu o potencial da geometria riemanniana para

descrever fenômenos físicos, o que mais tarde foi confirmado por Einstein (1879-

1955), que percebeu na geometria de Riemann a linguagem matemática para

expressar suas ideias (SILVA, 2011, p. 17).

Geometria da Superfície Esférica

“Aprender uma nova Geometria não significa deixar de ensinar a Geometria

Euclidiana, ao contrário, significa resgatá-la, para apreensão de conceitos em

Geometria Esférica” (ANDRADE, 2011).

Sabe-se que a Geometria de Euclides foi considerada como única por cerca

de dois mil anos, porém alguns renomados matemáticos, pós Euclides, na tentativa

de provar o 5º postulado perceberam que este era independente dos quatros

anteriores e substituindo-o, desenvolveram novas geometrias, tão válidas e

consistentes quanto a Euclidiana.

Pataki (2011), afirma que:

As Geometrias de LOBACHEWSKI-BOLYAI e RIEMANN são fundamentais para os estudos que envolvem grandes distâncias. São de grande utilidade, entre outros campos, para a Física atômica, à Óptica, à Teoria Geral de propagação de ondas, às distâncias estelares, às velocidades superiores àquelas imperceptíveis aos nossos sentidos e à Análise Matemática.

Percebe-se então, que tanto a Geometria Euclidiana quanto as Não-

euclidianas têm suas importâncias no mundo físico e só se distinguem pela

aplicação que elas nos proporcionam. A Geometria Euclidiana é a que está mais

enraizada nas nossas concepções e é a mais apropriada para pequenas distâncias.

Há várias Geometrias Não-euclidianas além das já comentadas, a Geometria

dos Fractais (bloco de neve e a curva de Koch; triângulo e tapete de Sierpinski);

Geometria Projetiva (estudo dos pontos de fuga e linhas do horizonte); Geometria

Topológica (conceitos de interior, exterior, fronteira, vizinhança, conexidade, curvas e

conjuntos abertos e fechados). E alguns autores, como Krause (1975), Kaleff e

Nascimento (2004), Miranda (2005), Noronha (2006) também chamam de geometria

não-euclidiana, a Geometria do Táxi, que utiliza como espaço uma malha

quadriculada, modelando os quarteirões de uma cidade, onde as ruas são

segmentos horizontais e verticais (SILVA, 2011, p. 19).

Mas os dois tipos clássicos são: a Geometria Hiperbólica, de Lobachevsky e a

Geometria da Superfície Esférica (muitas vezes chamada de Geometria Elíptica),

caso particular da geometria estudada por Riemann. E esses dois tipos clássicos, se

diferenciam devido à substituição que se faz do postulado das paralelas.

Conforme Coutinho (2001), na Geometria Hiperbólica, o Postulado de

Euclides é substituído pela afirmação, “por um ponto dado P, fora de uma reta r,

existe mais de uma paralela a esta reta r, enquanto que na Geometria Elíptica, não

existe nenhuma reta paralela”.

Para que possamos visualizar melhor os conceitos, usam-se superfícies como

modelos para tais geometrias.

Silva (2011) argumenta que:

O primeiro modelo matemático para a geometria não euclidiana foi exibido pelo matemático italiano Eugênio Beltrami (1835-1900). Trata-se de uma superfície de curvatura negativa denominada pseudoesfera, que ilustra as ideias desenvolvidas por Lobachevski. (SILVA, 2011, p. 17)

Para entender o conceito de curvatura, basta perceber que um plano

euclidiano tem curvatura zero, uma superfície como a de uma esfera ou de um

elipsóide (“ovo”) tem curvatura positiva – Geometria Elíptica, e uma superfície em

forma de sela ou a pseudoesfera são consideradas como de curvatura negativa –

Geometria Hiperbólica.

A Geometria de Riemann, ou Geometria Elíptica, interpreta o plano como a

superfície de uma esfera e uma reta como uma circunferência máxima dessa esfera.

A Geometria Esférica é muito utilizada nas navegações marítimas e no espaço

aéreo.

Finalizando, nas palavras de Coutinho (2001, p.105), “É o Universo em que

vivemos euclidiano? Eis uma pergunta que talvez um dia tenha resposta.”

Contudo, para a maioria dos fins práticos, não importa se o Universo é ou não

é euclidiano. Conforme Coutinho, “a curvatura está às nossas ordens”.

Nas palavras de Henri Poincaré apud Coutinho: “Nenhuma Geometria é mais

correta do que qualquer outra – apenas é mais conveniente” (COUTINHO, 2001, p.

106).

Execução do Projeto na escola: relatos dessa experiência de aplicação das

atividades de Implementação da Produção Didático-pedagógica

A Implementação do Projeto de Intervenção na Escola realizou-se de

fevereiro a junho de 2014, com o objetivo de desenvolver atividades práticas e

teóricas sobre as Geometrias Não-euclidianas / Geometria da Superfície Esférica.

Antes de iniciar com as atividades, preparou-se um resumo (1 lauda) sobre o

projeto de intervenção pedagógica para que os alunos levassem para os pais e/ou

responsáveis lerem e assinarem, explicando o objetivo desta implementação

pedagógica - apresentar aos alunos uma das Geometria Não-euclidianas – a

Geometria da Superfície Esférica - para que eles ampliassem o conhecimento

geométrico e sua visão de mundo, fazendo com que percebessem que existem

outras geometrias tão consistentes quanto à euclidiana e que esta não é única, e

sua aplicação dependerá do motivo a que se destina.

Num primeiro momento, aplicou-se a avaliação pré-teste, envolvendo

questões sobre geometria euclidiana plana, conceitos sobre ponto, reta, semirreta,

segmento de reta, suas representações, definições de geometria e a história da sua

origem, bem como, possíveis conhecimentos de geometrias não-euclidianas. Os

resultados foram o que já se esperava, a maior parte dos alunos não souberam

definir o que é geometria e nem se lembravam da história do surgimento da

geometria. Alguns colocaram que estuda as formas geométricas, mas a maioria não

se lembrava da história do surgimento, visto que os livros didáticos do 6º ano do EF,

sempre trazem resumidamente um pouco da História da Matemática em relação ao

surgimento da Geometria, mas passa despercebida por boa parte dos alunos, talvez

porque, nós, professores não damos a devida importância nessa história da

humanidade. Em relação aos conceitos da geometria euclidiana, como ponto, reta,

segmento de reta, semirreta, plano e suas representações, a maioria dos alunos

errou. Após a correção da avaliação pré-teste, comentou-se quantos alunos

acertaram e quantos erraram cada questão e juntos fizemos uma revisão desses

conceitos.

Antes de iniciar as atividades, comentou-se com os alunos que a

implementação seria sobre Geometrias Não-euclidianas, ficaram preocupados em

não saber nada e pensaram que seria muito difícil. No entanto, foram tranqüilizados

e comentou-se que trabalharíamos com materiais manipuláveis, como bolas de

isopor, fitas adesivas coloridas, mapa-múndi, globo terrestre, atlas e outros, então

começaram a se interessar. Sobre a revisão dos conceitos da Geometria Euclidiana

(ponto, reta, segmento de reta e semirreta) comentaram que viram no ensino

fundamental, mas não lembravam.

A seguir são descritas as seis atividades discutidas com os alunos. Foram

impressas folhas com as questões digitalizadas e disponibilizadas duas cópias para

os grupos (quatro alunos por grupo). A análise dos resultados obtidos em sala de

aula é apresentada logo após o enunciado de cada proposta.

Todas as questões trabalhadas na Produção Didático-pedagógica continham

dois tópicos – Mensagem ao Professor com sugestões de respostas das atividades

e Para Saber Mais: os conceitos trabalhados em cada uma das atividades

propostas. Na Produção Didático-pedagógica é possível consultar todas as

atividades com sugestão de respostas.

Atividade 1

Iniciou-se com uma atividade clássica de introdução das Geometrias Não-

euclidianas – a seguinte situação problema, adaptada de Silva (2011):

“Partindo de certo ponto da Terra, um caçador andou 10 quilômetros

para o sul, 10 quilômetros para o leste e 10 quilômetros para o norte,

voltando ao ponto de partida. Ali encontrou um urso. De que cor era o

urso?”

a) Em uma folha de papel, represente a trajetória do caçador e identifique a

figura formada.

b) De acordo com a história acima, é possível o caçador voltar ao ponto de

partida? Escreva suas conclusões.

c) Agora de posse de uma bola de isopor e fitas adesivas coloridas,

represente o trajeto do caçador.

d) Analisando o desenho do trajeto do caçador na bola de isopor, é possível

voltar ao ponto de partida? Escreva suas conclusões.

A atividade do Urso foi bem aceita e todos tentaram chegar a uma solução,

alguns tentaram aplicar o Teorema de Pitágoras, quando estavam traçando a

trajetória na superfície plana e perceberam que não daria certo, pois, nesse caso, o

caçador não estaria andando em linha reta e nem a hipotenusa daria 10 km. Não

demoraram muito para perceber que só seria possível chegar ao ponto de partida

(Polo Norte) se a trajetória fosse na superfície esférica (bola de isopor), ou seja, na

superfície da Terra. Uma aluna representou a trajetória na

bola de isopor colando 10 cm da fita adesiva para o sul, 10

cm para o leste e 10 cm para o norte. Ficaram contentes

com a conclusão, neste momento comentou-se sobre as

geometrias não-euclidianas brevemente e eles ficaram

curiosos em saber mais.

Foto 01: A autora

Atividade 2: Texto histórico sobre o surgimento das GNE. Seminário / Pesquisa. O

texto histórico foi um resumo do desenvolvimento deste artigo e/ou do projeto, o qual

foi disponibilizado aos grupos como subsídio de pesquisa, além de outras fontes

sugeridas e disponibilizadas. A partir do texto e de outras fontes de pesquisas, os

grupos prepararam slides e um texto impresso, com base em seis perguntas

(algumas constam a seguir), o qual foi apresentado após o término da

implementação, bem como, construção de histórias em quadrinhos.

- Onde se localiza hoje a cidade de Alexandria?

- Como vimos, o descobrimento das Geometrias Não-euclidianas surgiu na tentativa

de se provar o 5º postulado de Euclides. Mas, você sabe a diferença entre

definições, axiomas, postulados e teoremas? Pesquise em dicionário e internet.

Após a leitura do texto entregue aos grupos e apresentação de slides pelo

professor, nos slides continham mais informações históricas do surgimento das

GNEs e sobre os cinco postulados de Euclides. Pensou-se que não se interessariam

pela parte histórica, mas felizmente, muitos alunos perguntavam e demonstraram

interesse pela História da Matemática. O quinto postulado, alvo do surgimento das

geometrias não-euclidianas, ficou um pouco confuso para os alunos, quando foi

apresentada a linguagem que aparece nos livros didáticos sobre o “postulado das

paralelas” de John Payfair, ficou mais claro, porém comentou-se que este postulado

(V Postulado) gerou dúvidas até nos tempos de Euclides e que foi motivo de crítica,

e a negação ou substituição deste postulado deu início ao que chamamos de

Geometrias Não-euclidianas.

Foi mostrado algumas histórias em quadrinhos sobre conceitos físicos, feitas

por alunos do EM, para que servisse de modelo ou exemplo para que pudessem, em

grupos, construírem suas próprias HQ sobre a parte histórica das GNEs. Comentou-

se que tanto os Seminários como as HQs seriam a conclusão da implementação.

Histórias em quadrinhos produzidas pelos alunos sobre o tema de estudo

Foto 02: A autora

Atividade 3: Introdução à Geometria Esférica. Interdisciplinaridade com a

disciplina de Física. Iniciou-se com o vídeo – “As Aventuras de Radix: Geometria

Esférica” 5. O vídeo aborda de maneira dinâmica a Geometria Esférica, história do

surgimento das GNEs, reforçando os slides apresentados na atividade 2 e o texto

histórico, fixando ainda mais e apresentando conceitos novos sobre a geometria da

superfície esférica, além de fazer uma interdisciplinaridade com a Física, em se

tratar do conceito de força gravitacional, lançamento de foguetes.

Disponibilizou-se aos grupos, duas cópias contento as atividades propostas -

texto teórico com questões, retirado de: GONÇALVES FILHO, A.; TOSCANO, C.

Física e realidade: ensino médio física. V. 1. São Paulo: Scipione, 2010, e situações

problemas sobre a Lei da Gravitação Universal de Newton, retiradas de: MÁXIMO e

ALVARENGA (2010, p. 206 e 212), para que resolvessem em grupos e após a

resolução, fez-se a correção no quadro com explicações. Não encontraram grandes

dificuldades na resolução da atividade.

Atividade 4: Conceitos da Geometria Esférica.

Materiais didático-pedagógicos utilizados: bolinha de pingue-pongue, bola de

sinuca, mapa-múndi, globo terrestre, fita adesiva colorida, folha de papel, lápis,

régua, bolas de isopor, barbante/linha, alfinetes. Essa atividade foi desenvolvida

através de questões teóricas, utilizou-se materiais manipuláveis para apreensão dos

conceitos da Geometria Esférica, fazendo interdisciplinaridade com a disciplina de

Geografia, através do mapa-múndi e globo terrestre sobre conceitos de ponto e reta

- geodésicas (meridianos e linha do Equador). Constatou-se, através de material

concreto (bola de isopor), a não veracidade do V Postulado para a Geometria da

Superfície Esférica.

Das onze atividades do material didático desenvolvidas com os alunos, aqui

constam somente três delas.

1. A partir dos dois objetos – bolinha de pingue-pongue e bola de sinuca - que vocês

estão vendo e que podem manuseá-los, respondam:

a) Qual é a forma geométrica desses dois objetos?

b) Existe alguma diferença entre esses dois objetos? Em caso positivo, descreva.

c) Vocês conhecem outros objetos com esta forma geométrica? Quais?

5As aventuras de Radix. “Geometria Esférica”. Disponível http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1054.

Acesso em: 01/04/2014.

2. De posse de um mapa-múndi e de um globo terrestre:

a) Localize a cidade de Alexandria com um lápis. Que figura geométrica você utilizou

para localizá-la? Esse conceito é o mesmo para a Geometria Euclidiana e Esférica?

b) Trace, nos dois objetos, utilizando fita adesiva colorida, a menor distância

(geométrica) entre dois pontos (por exemplo, Brasília e Alexandria) e compare as

representações. Represente em forma de desenho.

c) Em relação à distância entre dois pontos, no mundo real, quando a representação

plana é adequada? Quando a representação espacial é necessária?

3) Você conhece algum conceito da geografia que se relacione com geodésicas?

Essa atividade foi realizada em 5 aulas, mais do que previa-se.

Conceito e representação de segmento de reta nas duas geometrias

Foto 03: A autora Foto 04: A autora

Atividade 5: Coordenadas Geográficas: Latitude e Longitude; Escalas.

Interdisciplinaridade com a disciplina de Geografia. Foi realizada no laboratório

devido ao transporte dos materiais, como globo terrestre, mapa-múndi, atlas.

Algumas das questões foram extraídas e/ou adaptadas de Prestes (2006).

Aqui constam quatro das vinte e cinco atividades desenvolvidas com os alunos.

1) Observando o Globo Terrestre, identifiquem que tipos de circunferências vocês

vêem na superfície do Globo.

2) Tomando dois pontos sobre a superfície esférica, como você determinaria a

distância entre eles? Qual a unidade de medida que você usaria para medir essa

distância?

3) Localize no Globo Terrestre as seguintes coordenadas: 25° S e 49° O, 26º S e

28° L, 14° N e 17° O. De quais lugares são estas localizações? Ligue esses três

pontos, com fita adesiva. Que figura formou? Com o auxílio de um transferidor, meça

os ângulos internos formados e calcule a soma.

Outras questões sobre Localização das Coordenadas Geográficas no Globo

Terrestre e no Atlas Geográfico, retiradas de LUCCI, E. A. Geografia – O homem no

espaço global, Ed. Saraiva, 1999, apud Prestes, 2006.

Questões sobre Escalas:

1) Usando o mapa político do Brasil da Região Sul, determine a distância em linha

reta, ou seja, a menor distância entre as cidades A e B da tabela.

CIDADE A CIDADE B DISTÂNCIA (em cm no mapa)

DISTÂNCIA (em km aprox.)

Chapecó Guarapuava

Porto Alegre Apucarana

Curitiba Florianópolis

Essa atividade demorou aproximadamente 6 aulas, mas a participação e

aprendizagem dos alunos foi muito boa. Iniciou-se com o vídeo – “As aventuras do

Geodetetive 2: Latitude e Longitude”6. Somente as questões sobre escalas, foram

realizadas em sala de aula e as demais questões envolvendo as coordenadas

geográficas, no laboratório. O que dificultou a aplicação dessa atividade foi o número

insuficiente de globos terrestres. Mas foram participativos e realizaram todas as

atividades sem maiores dificuldades.

Através da localização de três coordenadas geográficas, localizaram três

pontos no globo terrestre, traçando com fitas adesivas a distância entre essas

cidades e calcularam a soma dos ângulos internos do triângulo esférico formado.

6 As aventuras do Geodetive2. “Latitude e Longitude”. Disponível em:

http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1103. Acesso em: 20/04/2014

Foto 05: A autora Foto 06: A autora

Atividade 6: Triângulos esféricos.

Materiais didático-pedagógicos necessários: fita adesiva colorida, folha de

papel, lápis, régua, transferidor, bolas de isopor, barbante/linha, alfinetes, slides.

Algumas das atividades a seguir, foram adaptadas de Marqueze (2006) e

Silva, 2011. Aqui são apresentadas duas das sete atividades desenvolvidas com os

alunos.

1) De posse de uma bola de isopor:

a) Divida a superfície esférica em duas partes iguais.

b) Agora divida em quatro partes iguais.

c) Divida em oito partes iguais.

d) Que figuras formaram? E quantas?

e) Vocês acabaram de construir oito triângulos esféricos, ou seja, tesselaram

uma superfície esférica. Quanto mede o ângulo formado em torno de um

ponto comum desses triângulos? E quanto mede cada ângulo interno desses

triângulos esféricos?

2) Na Geometria Euclidiana há relação entre a área do triângulo e a soma de seus

ângulos internos? E na Geometria da Superfície Esférica? Justifique.

Explicação através de slides sobre a classificação dos triângulos, quanto aos

lados e ângulos, na geometria plana euclidiana e na superfície esférica, ou seja, na

geometria não-euclidiana de curvatura positiva.

Resolução em grupos de questões para conhecer, construir e diferenciar

triângulos na superfície plana e esférica e calcular a soma dos ângulos internos de

triângulos construídos nas duas superfícies, tirando conclusões, através de materiais

manipuláveis como bolas de isopor, canetinhas, fitas adesivas coloridas,

transferidores, régua flexível, entre outros. Nessa atividade os alunos perceberam e

comprovaram que a soma dos ângulos internos de um triângulo na geometria

euclidiana é sempre 180°, independente da área do triângulo construído na

superfície plana, e que na Geometria da Superfície Esférica é maior que 180° até

aproximadamente 900°, quanto maior o triângulo construído (em área) na superfície

esférica (bola de isopor), maior será a soma dos ângulos internos e que a soma se

diferencia devido à curvatura da superfície. Será maior que 180° (Geometria Elíptica

/ Esférica) curvatura positiva; será menor que 180º - curvatura negativa (Geometria

Hiperbólica) e na curvatura nula (Geometria Euclidiana), exatamente 180°. Os

alunos participaram ativamente da atividade proposta.

Foi apresentado pelo professor, por meio de slides, e disponibilizado aos

alunos uma tabela comparativa com os conceitos principais, da Geometria

Euclidiana e da Geometria da Superfície Esférica estudados na Implementação

desta Produção Didático-pedagógica.

QUADRO COMPARATIVO ENTRE A GEOMETRIA EUCLIDIANA E A GEOMETRIA ESFÉRICA

GEOMETRIA EUCLIDIANA GEOMETRIA ESFÉRICA

Plano euclidiano Superfície Esférica

Ponto Ponto

Reta Geodésica ou circunferência máxima.

Segmento de reta Arco da geodésica

Dois pontos determinam uma reta. Dois pontos determinam uma geodésica

(reta).

Por dois pontos passam uma única reta. Por dois pontos passam infinitas retas.

(Pontos antípodas na superfície esférica).

Existem retas paralelas. Não existem retas paralelas, pois duas

geodésicas sempre se interceptam em dois

pontos.

Soma dos ângulos internos de um

triângulo é 180 graus.

Soma dos ângulos internos de um triângulo

maior que 180 graus, variando de mais de

180 a aproximadamente 900 graus.

A reta é infinita. A reta é finita, porém ilimitada.

Após essa revisão entre os conceitos abordados na implementação entre a

Geometria Euclidiana e Geometria da Superfície Esférica, foi realizado pelos alunos

um trabalho avaliativo envolvendo questões conceituais referentes ao tema de

implementação, Geometria da Superfície Esférica. A maioria dos alunos comprovou

entendimento total, e alguns, ainda, parcial, comprovando que ficaram algumas

lacunas de conceitos e/ou aprendizagem, talvez por dificuldades ou porque não se

envolveram e/ou não prestaram a devida atenção na resolução das atividades

proposta da implementação.

Ao término das atividades da implementação foi aplicado a Avaliação Pós-

teste: envolvendo conceitos da Geometria Euclidiana e Geometria Não-euclidiana –

Geometria da Superfície Esférica. Nessa avaliação pós-teste, foi acrescentada os

conceitos apresentados na avaliação pré-teste e complementado com os conceitos

apresentados e estudados na implementação – geometria da superfície esférica. No

geral, percebeu-se que boa parte dos alunos entendeu bem os conceitos e as

diferenças entre essas geometrias, atingindo, portanto, o esperado para a

implementação.

Encerramento da Implementação Didático-pedagógica na Escola.

Os trabalhos produzidos - Histórias em Quadrinhos, materiais manipuláveis

usados na implementação, as atividades propostas da implementação, bem como

apresentação de slides (Seminário), por alguns alunos, sobre o tema abordado,

parte histórica e conceitos das Geometrias Não-euclidianas - foram apresentados

para a Direção, Equipe Pedagógica e alguns professores. O professor mostrou, em

slides, algumas fotos dos alunos na realização das atividades propostas. Esta ação

foi desenvolvida com sucesso. Após a conclusão da implementação (slides,

seminários), fizemos uma confraternização entre os envolvidos.

Foto 07: A autora Foto 08: A autora

Grupos de Trabalho em Rede - GTR: amadurecimento teórico, reflexão e

construção de novas práticas pedagógicas.

Concomitante ao desenvolvimento da implementação pedagógica na escola

ocorreu o curso GTR - Grupo de Trabalho em Rede, na Modalidade a Distância

(EaD), as atividades foram realizadas no Ambiente Virtual de Aprendizagem da

SEED, ocorridas de março a maio de 2014. Os Grupos de Trabalho em Rede – GTR

constituem uma das atividades do Programa de Desenvolvimento Educacional -

PDE e caracterizam-se pela interação a distância entre o Professor PDE e os

demais professores da Rede Pública Estadual, cujo objetivo é a socialização e

discussão do Projeto de Intervenção Pedagógica na Escola, da Produção Didático-

pedagógica e da Implementação do Projeto de Intervenção na Escola.

Esse curso à distância contou com quinze participantes de várias regiões do

Estado do Paraná, com produções apresentadas e discutidas no ambiente virtual e

que possibilitou a troca de experiências pedagógicas e informações que

enriqueceram tanto o desenvolvimento da implementação da proposta pedagógica

na escola quanto o trabalho em sala de aula dos participantes do GTR.

A participação dos colegas professores participantes neste GTR foi muito boa

e proveitosa. Percebeu-se através das discussões nos fóruns e nos diários de todas

as temáticas, que felizmente muitos professores estão tentando e/ou inovando,

pesquisando aqui e ali, a inserirem em suas aulas de Matemática, algumas noções

básicas das geometrias não-euclidianas. Mas, os materiais de pesquisas ainda são

muito poucos, dificultando assim, o trabalho em sala de aula. A questão principal

abordada por muitos participantes, foi dar prioridade na formação de professores,

tanto na graduação quanto na formação continuada, de disciplinas e/ou oficinas que

abordem o tema, produção de livros de apoio aos professores com atividades

práticas para serem usadas em sala de aula, sofwares livres, inclusão das GNEs e

da História da Matemática nos livros didáticos. Obteve-se muitas sugestões de

atividades, leituras e vídeos em relação às Geometrias Não-euclidianas, em geral e

também sobre a História da Matemática, todos ampliaram o conhecimento e

aprendizagem, melhorando assim a prática pedagógica e contribuindo, desta forma,

para uma educação de qualidade.

Conclui-se que tanto o desenvolvimento da implementação da proposta

pedagógica na escola quanto à tutoria do GTR foi muito importante e enriquecedora,

exigindo muito empenho e dedicação de todos os envolvidos.

CONSIDERAÇÕES FINAIS

Acredita-se ter alcançado o objetivo inicial proposto com este projeto de

implementação pedagógica e com a produção didático-pedagógica, o qual era

mostrar que as geometrias não-euclidianas são acessíveis de serem incluídas nos

encaminhamentos das aulas de Matemática das escolas públicas, possibilitando ao

aluno ampliar o conhecimento geométrico e sua visão de mundo, compreendendo e

percebendo a existência de outras geometrias tão consistentes quanto à euclidiana,

e que esta não é única e sua aplicação dependerá do objetivo ao qual se destina. E

também percebam a evolução histórica da ciência, sendo esta sujeita às mudanças

de paradigmas e das “verdades absolutas”, pois é uma construção humana sofrendo

influências: cultural, social, política e religiosa de uma determinada época, portanto

sujeita a erros e acertos.

Buscou-se oportunizar aos alunos a construção de suas próprias conclusões

e pensamentos sobre o tema, incentivando-os à investigação matemática,

construção de novos conceitos e ampliação dos já adquiridos.

As atividades propostas na produção didático-pedagógica foram trabalhadas

integralmente e houve total envolvimento dos alunos na resolução e aprendizagem,

sem grandes dificuldades.

A questão debatida com os professores da rede estadual, através do GTR,

foi oferecer formação continuada que aborde as Geometrias Não-euclidianas, para

que possamos nos sentir seguros e capacitados para trabalharmos esses conteúdos

nas aulas de Matemática, bem como, a necessidade de disponibilizar materiais de

apoio acessíveis e práticos de serem aplicados em sala de aula e a inserção do

tema e da História da Matemática nos livros didáticos públicos.

Finalizando com uma frase de um matemático não-euclidiano: “Não há ramo

da Matemática, por mais abstrato que seja que não possa um dia vir a ser aplicado

aos fenômenos do mundo real” (Nicolai Ivanovich Lobachevski (1793-1856)).

REFERÊNCIAS ANDRADE, Maria L. T.; SILVA, Maria J. F. Geometria Esférica: Uma sequência didática para a aprendizagem de conceitos elementares no Ensino Básico. São Paulo, 2011. 120 f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática). Pontifícia Universidade Católica de São Paulo. Disponível em: http://www.pucsp.br/edmat/ma/dissertacao/maria_lucia_torelli.pdf. Acesso em 02/04/2013.

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MÁXIMO, A.; ALVARENGA, B. Curso de Física. 1ª ed. São Paulo: Scipione, 2011. V. 1 PATAKI, I. Geometria esférica para a formação de professores: uma proposta interdisciplinar. São Paulo, 2003. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática). Pontifícia Universidade Católica, São Paulo. PARANÁ, Secretaria de Estado da Educação: Superintendência da Educação. Diretrizes Curriculares para o Estado do Paraná – Geografia. Curitiba, 2008. PRESTES, I. C. R.; BONGIOVANNI, V. Geometria Esférica: Uma conexão com a Geografia. São Paulo, 2006. 210 f. Dissertação (Mestrado Profissional em Educação Matemática). Pontifícia Universidade Católica de São Paulo. Disponível em: http://www.dominiopublico.gov.br/pesquisa/DetalheObraForm.do?select_action=&co_obra=34157. Acesso em: 01/08/2013. PROJETO POLÍTICO PEDAGÓGICO - PPP do Colégio Estadual José de Anchieta - EFMNP, Projeto Político Pedagógico. Santa Maria do Oeste, Paraná, 2012. SILVA, K. B. R. Noções de geometrias não euclidianas: hiperbólica, da superfície esférica e dos fractais.1ª ed. Curitiba, PR: CRV, 2011.

Vídeos: UNICAMP. Projeto: Matemática Multimídia. Série: Matemática na Escola.

As aventuras de Radix. “Geometria Esférica”. Disponível em: http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1054. Acesso em: 01/04/2014. As aventuras do Geodetive2. “Latitude e Longitude”. Disponível em: http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1103. Acesso em: 20/04/2014.