Versão On-line ISBN 978-85-8015-075-9Cadernos PDE

OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSENA PERSPECTIVA DO PROFESSOR PDE

Produções Didático-Pedagógicas

Ficha para identificação da Produção Didático-pedagógica – Turma 2013

Título: Equações de 2º grau no contexto de uma trajetória de ensino e aprendizagem

Autor: Eugênia de Cássia Andrade

Disciplina/Área: Matemática

Escola de Implementação do Projeto e sua localização:

C.E. Profª Déa Alvarenga - EFM

Município da escola: Londrina - PR

Núcleo Regional de Educação: Londrina - PR

Professor Orientador: Pamela Emanuelli Alves Ferreira

Instituição de Ensino Superior: Universidade Estadual de Londrina

Resumo:

Esta Produção Didático-pedagógica é um material que servirá de

suporte para a implementação do Projeto de Intervenção do PDE-2012.

Apresenta o formato de uma Unidade Didática Pedagógica, um material

didático no qual constará as tarefas e encaminhamentos metodológicos

que serão aplicadas juntamente com os alunos. Com as ações

propostas nesta Unidade Didática pretendemos que os alunos

encontrem nos conteúdos matemáticos explorados relações com suas

vidas, percebam que os conteúdos são relevantes e úteis nas suas

aplicações diárias. Com o objetivo de contribuir na superação dos

problemas relacionados ao processo ensino-aprendizagem, esta

unidade didática busca alternativas na Educação Matemática Realística

com Trajetórias de Ensino e Aprendizagem de problemas que permitem

explorar diversos conteúdos, principalmente as Equações de 2º Grau.

Palavras-chave:

Educação Matemática Realística, Trajetória Hipotética de

Aprendizagem, Equações do 2º Grau, Resolução de Problemas.

Formato do Material Didático: Unidade Didática

Público:

Alunos do 9º Ano do Ensino Fundamental

EQUAÇÕES DE 2º GRAU NO CONTEXTO DE UMA

TRAJETÓRIA DE ENSINO E APRENDIZAGEM

1. APRESENTAÇÃO

A Unidade Didática Pedagógica em questão está relacionada ao

Projeto de Intervenção Pedagógica para o Projeto PDE – 2012, cujo tema

escolhido foi a “Concepção sobre Matemática e as práticas avaliativas”.

O Título do trabalho a ser desenvolvido é “Equação de 2º grau no

contexto de uma Trajetória de Ensino e Aprendizagem”.

O trabalho foi elaborado mediante as necessidades e dificuldades

percebidas no ambiente escolar onde atuo como professora de Matemática do

Ensino Fundamental e Médio da Rede Pública do Estado do Paraná.

2. AS TAREFAS

As tarefas que serão apresentadas aos alunos deverão ser

desafiadoras, contextualizadas e que estimulem os alunos a resolvê-las, serão

situações-problemas que visem fazer o aluno a pensar, criar estratégias, levantar

hipóteses, criar estratégias de resolução, utilizar a Matemática que conhecem e

dominam para que possam validar suas conjecturas e assim, criar seus próprios

conceitos.

Para Freudenthal, a educação deve dar aos estudantes a

oportunidade “guiada” de reinventar a matemática (GRAVEMEIJER, 2005;

HEUVEL-PANHUIZEN, 2008). De acordo com Gravemeijer (2008) e Van den

Heuvel-Panhuizen (2008) a oportunidade de reinventar a matemática considera

que o foco principal deveria estar nas tarefas, no processo, que Freudenthal

chamou, de “matematização”.

3. ALUNOS

Para uma aula ser bem sucedida, um dos requisitos é a

participação dos alunos. Os problemas serão apresentados aos mesmos para que

resolvam em dupla ou em pequenos grupos, estimulando a troca de experiências

e ideias.

Os alunos serão desafiados a resolverem os problemas sem que

seja estipulado um conteúdo. Os problema serão apresentados aos alunos e

estes, por sua vez, terão que resolvê-los, de forma investigativa, respeitando as

opiniões dos colegas do grupo, criarem e analisarem as estratégias possíveis,

discutirem entre si, levantarem hipóteses, analisarem os resultados obtidos e

julgarem a melhor solução e concluírem a resposta.

Todos os grupos farão as apresentações de suas resoluções à

sala toda, de forma que ocorra a interação e todos os alunos compartilhem as

diferentes resoluções.

Os alunos devem ser orientados, inicialmente, a partir de seus

próprios procedimentos de solução informal para desenvolverem procedimentos

formais, que apresentam um enriquecimento no processo ensino-aprendizagem

para todos os conteúdos da matemática, enfatizando as estratégias de resolver

problemas, as estimativas e o sentido do conteúdo, a sua contextualização, ou

seja, oportunizar a “matematização” (VAN DEN HEUVEL-PANHUIZEN, 2008).

4. PROFESSOR

O professor terá o papel de mediador, estimulador e orientador

dos alunos para que os mesmos resolvam os problemas.

O professor deve auxiliar os alunos na resolução de problemas,

sugerindo-lhes algumas etapas:

- ler e reler o problema quantas vezes forem necessárias;

- fazer o levantamento de dados dos problemas, ver o que o

problema traz de informações;

- ter de forma bem clara a pergunta do problema;

- criar uma estratégia de resolução, seja por tentativa e erro,

construção de uma tabela, um gráfico, ou seja, aquilo que julgar melhor;

- colocar sua estratégia em execução, testando passo a passo, e

se necessário, criar uma nova estratégia;

- analisar o resultado, verificar se a resposta condiz com os dados

do problema e satisfaz a pergunta em questão.

5. PROCEDIMENTOS/ MATERIAL DIDÁTICO

A presente Trajetória Hipotética da Aprendizagem (THA) servirá

como base para a aplicação do Projeto de Intervenção Pedagógica, abordando o

conteúdo de Equações do 2º Grau, com alunos do 9º ano no C.E.Profª Déa

Alvarenga – Ensino Fundamental e Médio.

Primeiramente, será apresentado um “mapa conceitual” que traz

os conteúdos que deverão ser abordados no tema Equações do 2º Grau, de

acordo com as Diretrizes Curriculares da Educação Básica do Estado do Paraná e

o livro didático adotado pelo colégio em questão.

De acordo com as Diretrizes Curriculares da Educação Básico do

Estado do Paraná (PARANÁ, 2005) o Conteúdo Estruturante em questão será

Números e Álgebra, e espera-se que os alunos estabeleçam relações entre sua

linguagem com os números e a linguagem algébrica. Os objetivos a serem

alcançados pelos alunos ao se trabalhar a Álgebra, no Ensino Fundamental, são:

compreender o conceito incógnita;

realizar a escrita de uma situação problema na linguagem

matemática;

reconhecer e resolver equações numéricas e algébricas,

inequações e sistemas de equações;

diferenciar e realizar operações com monômios, binômios,

trinômios e polinômios, equações quadradas, biquadradas e irracionais.

O conteúdo básico abordado será Equações do 2º Grau e será

avaliado que os alunos sejam capazes de:

Extrair uma raiz usando fatoração;

Identificar uma Equação do 2º Grau na forma completa e

incompleta, reconhecendo seus elementos;

Determinar as raízes de uma Equação do 2º Grau utilizando

diferentes processos;

Interpretar problemas em linguagem gráfica e algébrica.

Após a análise destes objetivos ao se trabalhar com Números e

Álgebra, pretende-se avaliar os conteúdos específicos que estão presentes no

livro didático adotado pelo colégio que constituem o conteúdo básico Equações do

2º Grau, foi elaborado o seguinte “mapa conceitual”:

EQUAÇÕES DO 2º GRAU

EQUAÇÕES INCOMPLETAS

EQUAÇÕES COMPLETA

S

C = 0 FATORAÇÃ

O

B = 0 OPERAÇÕES INVERSAS,

POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO

C=B=0 OPERAÇÃO INVERSA DA

POTENCIAÇÃO; RADICIAÇÃO

COMPLETAMENTO DO QUADRADO

FÓRMULA RESOLUTIVA (“FÓRMULA

DE BHÁSKARA)

TRINÔMIO DO

QUADRADO PERFEITO

? > 0

2 RAÍZES

? = 0

1 ÚNICA

RAIZ

? < 0

NÃO POSSUI

RAÍZES

REAIS

Aos professores cabe a função de mapear uma trajetória de

aprendizagem dos alunos, a fim de ajudá-los a elaborarem a matemática que lhes

são requeridas nas situações de aplicação (GRAVEMEIJER, 2008).

A trajetória de aprendizagem dos alunos é referenciada por Simon

(APUD PIRES, 2009), na qual sugere a construção de trajetórias hipotéticas de

aprendizagem (THA). Estas trajetórias estão baseadas em objetivos voltados à

aprendizagem de tarefas matemáticas que serão usadas para promover a

aprendizagem dos estudantes bem como o levantamento de hipóteses sobre o

processo dessa aprendizagem (PIRES, 2009).

Uma THA é composta por três componentes:

1) O objetivo do professor com direções definidas para a

aprendizagem dos alunos;

2) as tarefas de ensino;

3) o processamento hipotético de aprendizagem (uma suposição

de como o pensamento e o entendimento dos alunos será colocado em ação no

contexto de aprendizagem das tarefas). A noção da THA, para Simon, pressupõe

a importância da relação entre a meta pretendida e o raciocínio sobre decisões de

ensino e a hipótese sobre esse percurso. Simon destaca que a geração de uma

THA prioriza buscar a forma pela qual o professor desenvolve seu planejamento

em tarefas de sala de aula, mas também ajuda a identificar como o professor

interage com as observações dos alunos, coletivamente, constituindo uma

experiência e construindo novos conhecimentos.

Neste trabalho, é oportuno esclarecer em que sentido usam-se

estes vocábulos:

Intenção “s.f. o que se pretende fazer ou alcançar; propósito, plano, desejo” (HOUAISS, 2010, p. 444). Refere à ação do professor.

Objetivo “s.m. o que se quer alcançar; propósito” (HOUAISS, 2010, p.554). Refere-se à ação do aluno.

Conteúdo “s.m. tópico abrangido em livro, anúncio etc.; assunto” (HOUAISS, 2010, p. 19).

As trajetórias apresentadas neste trabalho visam as seguintes

intenções:

- possibilitar a boa convivência em sala de aula e fora dela;

- incentivar e promover o compartilhamento de ideias;

- favorecer o desenvolvimento da capacidade de planejar e

elaborar diversas estratégias;

- estimular os alunos a aceitarem diversas soluções dos colegas,

respeitando as diferentes opiniões e a compreenderem a lógica de outras

soluções;

- possibilitar a demonstração de iniciativa e capacidade de

argumentar, criar e realizar;

- possibilitar e favorecer o relacionamento do conhecimento

adquirido em experiências anteriores com os conhecimentos necessários na

elaboração e execução das tarefas;

- promover a intuição e confiança;

- possibilitar o desenvolvimento do raciocínio, do entendimento, da

criatividade e do senso crítico.

5.1. DESENVOLVIMENTO

No início do trabalho, o professor realiza um contrato didático com

os alunos, apresentando as regras que serão respeitadas durante toda a

execução das tarefas, suas expectativas, o comprometimento e responsabilidade

que os alunos devem ter e principalmente desenvolver no aluno a conscientização

quanto à seriedade em desenvolver as tarefas.

Os alunos estarão distribuídos em grupos de 3 alunos,

favorecendo a troca de ideias, experiências e opiniões. A discussão entre os

participantes deve se limitar somente ao grupo, pois em um segundo momento as

discussões serão socializadas em um todo.

Toda a execução das tarefas deverá ser registrada, seja

anotações, tabelas, gráficos, esquemas, enfim, qualquer recurso deverá ser

registrado, pois será utilizado no relatório, cujo modelo estará disponível no final

desta produção didática, que será apresentado ao término das tarefas.

Este relatório será utilizado na avaliação dos alunos, sendo que a

nota será discutida juntamente com os alunos.

5.2. AVALIAÇÃO DAS TAREFAS

Durante a execução de todas as tarefas os alunos estarão sendo

avaliados quanto à participação, envolvimento, seriedade, responsabilidade e

compromisso.

No decorrer das aulas, a professora consegue verificar se os

alunos estão progredindo quanto ao desenvolvimento das tarefas mediante suas

expectativas e as intervenções deverão ocorrer sempre que necessário, seja na

adaptação das tarefas, no diálogo com os alunos individualmente ou até mesmo

com a sala.

Após a execução das tarefas, os alunos deverão entregar um

relatório, onde deve conter as anotações dos alunos acerca dos procedimentos e

estratégias que utilizou para resolver os problemas. Neste relatório os alunos

explicitarão todas as dificuldades, expectativas, resoluções, angústias, acertos e

qualquer particularidade que julgar relevante. O relatório será individual e também

deverá constar uma crítica do aluno quanto ao desenvolvimento das tarefas e a

participação do grupo, se este tipo de trabalho lhe ajudou ou não.

5.3 PROBLEMAS

5.3.1. PROBLEMA DO CAMPO DE FUTEBOL

(MOTTA, 2000) Um campo de futebol, situado em um espaço aberto, tem como dimensões: 70 m de largura por 100 m de comprimento. Para maior segurança o

campo será cercado. Assim, haverá entre o campo e a cerca uma pista com x metros de largura, conforme a figura abaixo.

a) Escreva a expressão que representa a área total limitada pela cerca. b) Se a área total vale 7696 m², quanto mede a pista entre o campo e a cerca? Resolução do Problema do Campo de Futebol

Ao iniciar a aula serão estabelecidas com os alunos algumas

regras, nas quais denominaremos contrato didático, com o objetivo de que os

estudantes compreendam como devem proceder, qual o objetivo da tarefa a ser

desenvolvida, a participação da professora, os registros dos procedimentos, das

discussões e a avaliação.

A professora entregará para cada aluno uma cópia do problema,

pedindo que os mesmos leiam atenciosamente.

Professora: “Qual é a situação que temos neste problema?”

Professora: “Quais são as dimensões do campo de futebol?”

Professora: “O campo de futebol tem a forma de qual figura geométrica?”

Aluno: É sobre um campo de futebol. Aluno: É sobre a área de um campo de futebol. Aluno: É sobre uma área do campo de futebol, mas vai ser feito uma pista ao redor de todo o campo.

Aluno: A largura é de 70 metros e o comprimento é de 100 metros.

Professora: “Por que um retângulo?”

Professora: “Retângulo é uma figura geométrica plana, um quadrilátero, que

possui todos os ângulos retos. Os seu lados são congruentes

paralelamente. O que vai acontecer com este campo de futebol?”

Professora: “Qual é a largura desta pista?”

Professora: “E qual é a pergunta do problema?”

Professora: “O que é área de uma figura plana?”

Professora: “Como calculamos a área de um retângulo?”

Professora: “Na primeira pergunta, se pede uma expressão. Qual é a

diferença entre expressão algébrica e equação?”

Aluno: Um retângulo.

Aluno: Porque tem ângulos de 90º, e seus lados são iguais de dois em dois.

Aluno: Ele vai ser cercado. Aluno: Mas, entre o campo e o cercado, terá uma pista.

Aluno: Não sabemos, é x metros.

Aluno: Tem duas perguntas. A primeira é uma expressão que representa a área total, do campo com a pista. A segunda pergunta é a largura da pista se a área total fosse 7696 m².

Aluno: É a parte de dentro. Aluno: É a região interna, superfície limitada.

Aluno: É a soma de todos os lados.

Aluno: Não, a área é o comprimento vezes a largura ou base vezes altura.

Aluno: Expressão algébrica é uma expressão que envolve os números e as letras. Equações são sentenças que possuem números, incógnitas e tem o sinal de igual, a igualdade.

Professora: “Na expressão algébrica não conseguimos chegar a um

resultado da incógnita já na equação temos uma igualdade, uma solução, um

valor numérico para a incógnita. Agora que já esclarecemos as informações

do problema e a primeira pergunta, procurem respondê-la.”

A partir deste momento é dado mais um tempo para os alunos

tentarem resolver a primeira pergunta do problema. Enquanto isso, a professora

vai caminhando pela sala procurando ouvir as discussões e esclarecê-los em

algumas dúvidas individuais.

Professora: “Alguém já resolveu a primeira questão do nosso problema?

Pode vir ao quadro para mostrar sua resolução?”

Professora: “Então, como ficaria para representar o comprimento e a largura

de toda a área limitada pela cerca?”

Professora: “Muito bem! E como faríamos agora, para calcular a área de toda

esta região?”

Professora: “Isso mesmo! Então vamos colocar no quadro usando a

expressão da área do retângulo:

Área do Retângulo = Base . Altura;

Aluno: Bom, olhando para a figura, se fosse para calcular a área somente do campo de futebol, seria comprimento multiplicado pela largura, seria 100 X 70 = 7000 m², mas tem a pista ao lado de todo o campo. Esta pista tem x metros de largura e ela aparece de todos os lados do campo de futebol. Então para calcular a área do campo com a pista tem aumentar dois x tanto no comprimento como na largura.

Aluno: O comprimento é 100 m do campo de futebol mais 2x da pista. E o mesmo acontece com a largura, 70 m mais 2x da pista.

Aluno: O comprimento é (100 + 2x) e a largura é (70 + 2x). Já que área é comprimento multiplicado pela largura, fica (100 + 2x).(70 + 2x).

A base é o comprimento e a altura é a largura do retângulo, sendo assim a

área seria:

Área do Retângulo = (100 + 2x).(70 + 2x); e como fazer para chegarmos na

expressão algébrica?”

Professora: “Nós temos uma multiplicação de binômios e a multiplicação

dos parênteses tem um nome específico, é uma propriedade chamada

distributiva.”

Neste momento a professora retoma com os alunos os conteúdos

sobre monômios, binômios, trinômios e a propriedade distributiva.

Professora: “Como ficou o resultado da multiplicação dos monômios?”

Professora: “Exato! Então vamos colocar aqui na nossa fórmula da área:

Área do Retângulo = (100 + 2x).(70 + 2x)

Área do Retângulo = 7000 + 340x + 4x²

Sendo essa a expressão algébrica que representa a área total da região

delimitada pela cerca.

Agora vamos pensar na segunda pergunta do problema, qual é ela?”

Professora: “O que esta pergunta nos traz de informação?”

Aluno: Fizemos a multiplicação dos parênteses.

Aluno: (100 + 2x).(70 + 2x) (7000 + 200x + 140x + 4x²) 7000 +

340x + 4x²

Aluno: Se a área total vale 7696 m², quanto mede a pista entre o campo e a cerca?

Aluno: O valor da área total que é 7696 m².

Professora: “E o que é esta área total?”

Professora: “Qual é a pergunta do problema?”

Professora: “Mas qual medida da pista? Seu comprimento? A Largura? Sua

Área?”

Professora: “Isto mesmo, não podemos nos limitar à leitura apenas da

pergunta, mas sim do problema como um todo. Teremos que descobrir o

valor do x, da largura da pista. Como faremos isso?”

Neste momento, a professora dá um tempo para os alunos tentarem resolver o

problema. Enquanto isso, vai caminhando pela sala e participando das discussões

dos grupos.

Professora: “Alguém gostaria de expor a todos, no quadro, a sua

resolução?”

1ª Resolução:

Valor do x 4x² + 340x Área da Pista = 696 m²

1 4.1² + 340.1 = 4 + 340 344 m²

2 4.2² + 340.2 = 4.4 + 680 = 16 + 680

696 m²

- Os alunos colocam a tabela no quadro e explicam a resolução.

Aluno: A área do campo de futebol e da pista.

Aluno: Qual é a medida da pista.

Aluno: Não sei. Aluno: Não está dizendo nada na pergunta. Aluno: Deve ser o comprimento. Aluno: Não, é a largura, no enunciado do problema, diz que a largura da pista é x, então é para calcular o valor do x.

Professora: “Muito bem, vocês concordam com a resolução dos colegas?

Alguém resolveu de alguma forma diferente?”

2ª Possibilidade de Resolução

Valor da largura da Pista

Expressão Algébrica Área Total

x 7000 + 340x + 4x² 7696 m²

1 7000 + 340.1 + 4.1² = 7000 + 340 + 4

7344 m²

2 7000 + 340.2 + 4.2² = 7000 + 680 +4.4 = 7000 + 680 + 16

7696 m²

Professora: “Isso mesmo! Qual a diferença entre a resolução do grupo 1 e

do grupo 2?”

Professora: “É isso aí. Alguém resolveu diferente?”

Aluno: Nós pensamos assim. A área do campo é 7000 m², a área total é 7696 m², então a área da pista é 7696 – 7000 = 696 m². A pista é composta de dois retângulos no comprimento do campo de futebol, estes retângulos têm 100 + 2x de comprimento e x de largura. A área de cada um destes retângulos é (100 + 2x).x, que vai dar 100x + 2x², como são dois retângulos iguais temos (100x + 2x² ).2 que resulta 200x + 4x². Observando a largura do campo de futebol, temos dois retângulos de 70 m de comprimento e x de largura cada um, cuja área é 70x, como são dois retângulos temos 70x.2 que vai ter como resultado 140x. Se juntarmos as áreas de todos os retângulos teremos 200x + 4x² + 140x, que vai resultar 4x² + 340x e esta área tem que resultar 696 m². Então o valor do x é igual a 2.

Aluno: A diferença é que o grupo um fez usando a área somente da pista e o grupo 2 pensou na área total, mas fizeram do mesmo jeito.

Aluno: Concordo! Aluno: Concordamos, mas fizemos quase igual ao deles.

Aluno: A largura da pista é 2 metros.

3ª Possibilidade de Resolução:

De acordo com a resolução dos Grupos 1 e 2 a professora pode

levá-los a resolver o problema utilizando a fórmula de Bháskara, explicando o que

são coeficientes, que toda Equação do 2º Grau é escrita na forma a.x² + b.x + c =

0, equações completas e incompletas.

Professora: “Como podemos resolver este problema usando a fórmula de

Bháskara?”

Professora: “Qual equação que vamos usar?”

Professora: “Mas o que encontramos na primeira pergunta do problema é

uma equação?”

Aluno: Nós fizemos! Pensamos que a área da pista é 696 m² e temos 4 retângulos que compõem esta pista, dividimos então 696 por 4, e o resultado foi 174 m² para cada retângulo, tiramos 100 m que é o comprimento do campo, resulta 74 m². Desse valor tiramos 70 m que é a largura do campo de futebol, sobra 4 m² que é a área de cada quadradinho que fica no canto da área total. Como é um quadrado, a raiz quadrada de 4 é 2. A medida do x.

Aluno: Primeiro temos que ter a equação.

Aluno: Aquela que a gente encontrou na primeira pergunta do problema.

Professora: “Isso mesmo! Então a nossa equação ficaria 7000 + 340x + 4x² =

7696, mas como toda equação do 2º Grau é escrita na forma ax² + bx + c = 0,

como poderíamos fazer para que a nossa equação fique nesta forma?”

Professora: “Muito bem! E como faço para deixar esta equação igual a

zero?”

Professora: “Então utilizando do princípio aditivo da equivalência, teremos:

4x² + 340x + 7000 – 7696 = 7696 – 7696

4x² + 340x – 696 = 0

Observando esta equação, será que podemos simplifica-la por algum

número?”

Professora: “Então ficaria da seguinte maneira:

Aluno: Não, é uma expressão. Aluno: Está faltando o sinal de igual. Aluno: Mas esta expressão é igual ao valor da área que está no item b do problema.

Aluno: É só começar a equação com o 4x², é inverter.

Aluno: É mesmo! Fica 4x² + 340x + 7000 = 7696.

Aluno: Tem que passar o 7696 junto com os outros termos. Aluno: Não é passar, é tirar o 7696, mas tem que tirar dos dois lados da equação.

Aluno: Simplificar é dividir?

Aluno: É sim, dá para dividir por 4.

04

696340²4

xx

Resolvendo esta divisão, teremos a seguinte equação:

x² + 85x – 174 = 0

Agora que já estamos com a equação completa do 2º Grau, quais são os

seus coeficientes?”

Professora: Então temos que a = 1, b = 85 e c = -174, qual é mesmo a fórmula

de Bháskara?”

Professora: “Então vamos substituir os coeficientes na fórmula

Vamos resolvê-la?”

Agora a professora dá um tempo para que os alunos resolvam a

equação e vai auxiliando-os nesta resolução.

Professora: “Alguém quer resolvê-la no quadro?”

Aluno: O a é o 1, o coeficiente b é o 85 e o c é o -174.

1.2

)1740.(1.4²8585 x

Aluno: A fórmula é:

a

cabbx

.2

..4²

Aluno: Eu vou! A resolução ficou assim.

Após esta resolução a professora pode voltar à 3ª possibilidade de

resolução e abordar a resolução da equação do 2º Grau pelo método de completar

o quadrado. Explicando que neste caso temos um retângulo, mas de acordo com

o método de Al-Khowarizmi se utiliza o quadrado perfeito. A professora pode usar

outras equações para trabalhar este conteúdo.

2

696722585 x

Aluno: Resolvemos primeiro dentro da raiz a potência e a multiplicação, agora vamos resolver a soma e depois a raiz quadrada.

2

792185x

2

8985x

Aluno: Agora vou resolver primeiro com o sinal de mais e depois a

subtração.

2

2

4

2

8985

x

x

x

87

2

174

2

8985

x

x

x

Aluno: Vai ser o 2, porque estamos falando de medida de largura, o número

negativo não vai servir.

5.3.2 PROBLEMA DOS DOCES

(MOTTA, 2000) Um professor dispunha de 144 doces para dividir igualmente entre

os alunos de sua classe. Como no dia da distribuição faltaram 12 alunos, ele

dividiu os 144 doces igualmente entre os presentes, cabendo a cada aluno um

doce a mais. Quantos alunos estavam presentes no dia da distribuição?

Resolução do Problema dos Doces

O início da tarefa se dá da mesma forma que foi o a primeira

tarefa. Os alunos estão em grupos de 3 alunos, leem o problema e tentam resolvê-

lo. Enquanto isso a professora vai caminhando pela sala para ouvir os

comentários dos alunos, mas não dá nenhuma dica ou explicação. Após um

determinado tempo, pede para que alguém leia o problema em voz alta para todos

da sala. Os demais prestam atenção na leitura e então, a professora começa a

fazer alguns questionamentos, favorecendo a interpretação do problema.

A professora entregará para cada aluno uma cópia do problema,

pedindo que os mesmos leiam atenciosamente.

Professora: “Leram o problema? Entenderam a situação? O que acharam?”

É muito provável que os alunos digam que entenderam, ou que é

muito difícil ou que não sabem fazer.

Professora: “Gostaria agora que se sentassem em grupos de 3 alunos, para

relerem o problema, discutirem suas idéias e tentarem uma possível

resolução”.

Enquanto os alunos lêem e discutem quanto ao problema, eu irei

passando pelos grupos para ouvir seus argumentos, auxiliá-los em alguma dúvida,

desde que esta não esteja relacionada à estratégia ou à resolução.

Após um determinado tempo, pedirei para que alguém leia o

problema em voz alta, pra que todos acompanhem a leitura e começarei a

questioná-los quanto à compreensão que fizeram do problema.

Professora: “Sobre o que se trata o problema? Qual é o assunto?”

Aluno: - Está falando sobre os doces; Aluno: - Não, está falando que o professor ia distribuir doces, mas alguns

alunos faltaram.

Professora: “Isso mesmo! Mas quantos doces o professor ia distribuir?”

Professora: “Muito bem! Como seria esta distribuição? O professor ia dar

quantidades diferentes ou não para cada aluno?”

Professora: “Qual operação matemática que corresponde à palavra

distribuir?”

Professora: “Então vamos pensar: O professor tem 144 doces e vai distribuí-

los aos seus alunos. O que é distribuir?”

Professora: “Isso mesmo! A quantidade vai diminuir?

Professora: “Está certo! Quando eu faço uma divisão, eu também efetuo

uma subtração, por exemplo, se eu fizer 20 balas divididas por 4 pessoas, eu

tenho que pensar em quantos grupos de 4 são necessários para chegar nas

20 balas. Então eu penso na subtração: 20 – 4 = 16; 16 – 4 = 12; 12 – 4 = 8; 8 –

4 = 4 e 4 – 4 = 0, se eu contar quantos quatros eu subtrai é o resultado da

Alunos: São 144 doces.

Aluno: - Não, o professor ia distribuir de forma igual, a mesma quantidade para cada aluno.

Aluno: - É conta de dividir! Aluno: - Não, professora. É conta de menos, eu vou diminuir os doces. Aluno: - Claro que não! Quando eu vou distribuir. Eu estou dividindo. Se você tem 4 canetas e vai emprestar para a gente aqui na sala, você vai dividir suas canetas. Aluno: - Ah, é verdade! Mas professora, não vai diminuir a quantidade de doces?

Aluno: - Distribuir é dar para os outros. Dividir com outras pessoas.

Aluno: - Vai. Mas todos os alunos estão recebendo este doce. Diminui a quantidade de doces que o professor tem nas suas mãos, mas estes doces estão sendo divididos pelos alunos. Cada aluno recebe um pouquinho que se juntar tudo de novo, volta nos 144 doces.

minha divisão. Eu tirei o número 4, cinco vezes do número 20, isso significa

que cada uma das 4 pessoas receberão 5 balas. Bom, agora vamos voltar ao

nosso problema, todos os alunos estavam presentes na sala no dia da

distribuição?”

Professora: “Se faltaram 12 alunos, o que foi feito com os doces que seriam

para estes 12 alunos que faltaram?”

Professora: Os alunos presentes receberam quantos doces a mais?

Professora: “Quais os números que aparecem neste problema?”

Professora: “Muito bem! E qual é a pergunta do problema? O que teremos de

descobrir?”

Professora: “Bom, agora que lemos juntos os problemas e analisamos os

dados e já sabemos qual é a pergunta, vou dar mais um tempo para vocês

discutirem no grupo e tentarem resolver!”

É dado mais um tempo aos alunos para elaborarem suas

estratégias e tentarem executá-las para resolverem o problema. Enquanto isso,

Aluno: - Não, faltaram 12 alunos.

Aluno: - Foram divididos entre os alunos que estavam presentes.

Aluno: - Deu para os outros alunos.

Aluno: - 1 doce a mais.

Aluno: - Aparecem o 144, 12 e 1

Aluno: - Está perguntando quantos alunos estavam presentes no dia da distribuição. Aluno: - Ele quer saber quantos alunos receberam os doces?

passarei pelos grupos para auxiliar nas dúvidas particulares, ouvindo suas

sugestões, argumentos e percebendo as estratégias que estão criando para a

resolução do problema. Acredito que muitas dificuldades serão apresentadas. Os

alunos estão habituados a resolverem exercícios do tipo de reconhecimento, de

aplicação, estão acostumados a ver o professor resolver um exemplo e depois

reproduzir exercícios semelhantes. Quando são solicitados a ler, compreender e

produzir se defrontam com muitos bloqueios, muitas dificuldades.

Professora: “O que os números 144, 12 e 1 significam no problema?”

Professora: “Bom, se quando eu vou distribuir os doces, faço uma divisão,

os doces dos alunos que faltaram foram redistribuídos pelos alunos

presentes. Qual é a operação a ser feita quando juntamos esta redistribuição

dos doces aos alunos presentes?”

Professora: “Exato! A quantidade de doces que era para os alunos que

faltaram foi dividida entre o número de alunos presentes, e esta quantidade

foi somada para cada aluno.”

É possível que algum grupo não consiga resolver o problema de

forma alguma, mas é provável que algum grupo procure resolver os problema

usando tabelas, pela estratégia de tentativa e erro. O esperado é que nestas

tabelas, algum grupo pense nos divisores de 144, tais como as possíveis

resoluções:

1ªPossibilidade de Resolução:

Aluno:- O 144 é o número de doces que o professor vai distribuir para seus alunos, o 12 é o número de alunos que faltaram e o 1 é o quanto de doce cada aluno presente vai receber a mais.

Aluno:- Redistribuir é dividir de novo. Aluno:- É, mas juntar é somar.

Nº de alunos presentes

Nº de Doces para cada

aluno

Nº de doces vezes os 12 alunos que

faltaram

13 11,07 Ñ inteiro

14 10,2 Ñ inteiro

15 9,6 Ñ inteiro

16 9 108

18 8 96

20 7,2 Ñ inteiro

24 6 72

30 4,8 Ñ inteiro

36 4 48

40 3,6 Ñ inteiro

48 3 36

72 2 24

144 1 12

O grupo coloca na lousa a tabela anterior e explica sua resolução.

Professora: “Todos os alunos estão entendendo?”

Professora: “Podemos continuar a explicação pelo grupo?”

Aluno: Bom professora, nós pensamos assim: - A primeira coluna representa o número total de alunos que a sala possui; Se faltaram 12 alunos esta sala possui mais de 12 alunos, por isso começamos a contar a partir do 13. A segunda coluna da tabela representa o número de doces que cada um desses alunos iriam receber. Então 144 dividido por 13 é igual a 11,07, este número não serve porque ninguém recebeu doce cortado, foi sempre doce inteiro. O próximo número escolhido foi o 14, fazendo a divisão deu 10,2, também não serve e o mesmo foi com o 15. Com o dezesseis deu 9 doces para cada aluno. E fomos escolhendo números e dividindo.

Aluno: Sim; Aluno: Eu não entendi uma coisa, mas por que ele pulou do 18 para o 20, do 20 para o 24 e foi pulando um monte de números? Aluno: Porque só interessa os números que a divisão vai ter como resultado números exato, a gente foi fazendo na calculadora e para não ficar uma tabela muito grande, começamos a pular os números e colocar só os que a

divisão dava exata.

Professora: “Todos concordam com a resolução do grupo?”

Professora: “Então vem colocar a resolução de vocês então.

2ª Possiblidade de Resolução

Número de Alunos Doces

1 144

2 72

3 48

4 36

6 24

8 18

12 16

16 12

18 8

24 6

36 4

48 3

72 2

144 1

Aluno: A terceira coluna representa o número de doces multiplicado pelos doze alunos que faltaram. Porque se cada aluno recebeu uma quantia de doce, esta quantia multiplicada por doze, dá a quantidade de doces que será novamente dividida pelos alunos presentes. Só fizemos a conta com os números inteiros. Daí pensamos assim, olhando a tabela no número de alunos presentes e nos números de doces que serão redistribuídos, observamos que o 36 e o 48 aparecem nas duas colunas, cuja diferença é 12 e no número de doces a receber, para 36 alunos presentes serão 4 doces e para 48 alunos presentes serão 3 doces a receber, e 4 – 3 é igual a 1. Então, na sala havia 36 alunos presentes.

Aluno: Sim; Aluno: Não sei, não consegui fazer. Aluno: Ah, professora nós achamos o mesmo resultado, fizemos quase igual, só que na nossa tabela tem só duas colunas.

Professora: “Muito bem! Todos entenderam!”

A discussão é feita com todos os grupos sobre o pensamento dos

colegas.

Então a professora pergunta se podem resolver o problema de

alguma outra forma sem usar tabelas. Sugere que partindo destas tabelas

apresentadas, os alunos pensem na divisão.

Foi dado mais um tempo para os alunos pensarem e começarem

todos juntos a resolver.

Professora: “Concluímos que 144 é o número total de doces que serão

divididos, 12 é o número de alunos que faltaram, 1 é a quantidade de doce

que cada aluno presente receberá a mais e a divisão tem que ser exata.

Quando vamos fazer uma divisão, montamos esta operação da seguinte

maneira:

Professora: “Posso usar letras para resolver este problema?”

Aluno: Bom, nós pegamos só os números que de forma exata. Se olharmos os números de alunos, procuramos primeiro onde a diferença é 12. Temos 4 alunos e 16; 6 e 18 alunos; 12 alunos e 24 alunos; 24 e 36 alunos; 36 e 48 alunos. Mas o número de doces que receberam a mais foi 1, então no 4 e 16, a diferença entre os números de doces é 36 – 12 = 24, não é esse; no 6 e 18 alunos, a diferença entre os doces é 24 – 8 = 16, não é esse; no 12 e no 24 alunos, a diferença no número de doces é 16 – 6 = 10, também não é esse. No 24 e 36 alunos, temos 6 – 4 = 2, também não é e no 36 e 48 alunos, temos 4 – 3 = 1 doce. É esse!

Aluno: Sim. Esse jeito é mais fácil, foi assim que fizemos.

Alunos: Sim. O que a gente não sabe, chama de x.

Professora: “Preciso usar só o x?”

Professora: “Então vamos pensar juntos, vamos montar a nossa divisão.

Olhando para a nossa divisão, temos:

De acordo com os dados do problema, quem é o nosso dividendo, divisor,

quociente e resto?”

Professora: “E se pensarmos no dia da distribuição, no dia em que faltaram

os 12 alunos?”

Professora: “Que letra posso usar para representar o número de alunos e o

número de doces que cada aluno iria receber?

Nesse momento a professora deve montar a divisão no quadro

usando a letra que os alunos escolheram.

Professora: “Então teremos as seguintes divisões:

Alunos: Não, pode usar qualquer letra.

Aluno: O dividendo é o 144, o divisor é o número de alunos, resto é zero e o quociente é a quantidade de doces que cada aluno irá receber.

Aluno: O dividendo é o 144, o divisor é o número de alunos menos 12, o resto continua zero e o quociente é a quantidade de doce de cada aluno mais um doce.

Aluno: Qualquer letra. Aluno: Pode ser x para o número de alunos e y para o número de doces. Aluno: Ah, eu acho melhor a para o número de alunos e d para o número de doces. Aluno: Essa é melhor! A letra a para aluno e a letra d para doce.

A primeira é com todos os alunos e a segunda representa a situação no dia

em que faltaram os 12 alunos.

Agora vamos observar esta divisão e pensar como faria para tirar a prova

real desta operação?”

d.a = 144

(d + 1).(a – 12) = 144

Neste momento a Professora retoma com os alunos os conceitos

de incógnita, sistemas, grau de um sistema, enfim abordar os pontos mais

relevantes deste conteúdo. O importante é que o aluno entenda que incógnita e

variável são diferentes. Cabe neste momento a definição de cada uma, e deixar

claro para o aluno que o sistema em questão é do primeiro grau e que é composto

por duas incógnitas. Neste momento, a professora também pode abordar os

métodos de resolução de sistemas, citando o método da adição e o método da

substituição e levar o aluno a entender que, neste caso, iremos resolvê-lo pelo

método da substituição.

Professora: “Vamos resolver o sistema pelo método da substituição, sendo

assim:

d.a = 144 d = 144/a

(d + 1).(a – 12) = 144

Vamos pegar a 2ªequação do sistema para resolvermos:

(d + 1).(a – 12) = 144

Como resolvemos esta equação?”

Neste momento, a professora pode relembrar com os alunos os

conceitos de distributiva, monômio, binômio e trinômio.

Professora: “Então vamos multiplicar os binômios:

(d + 1).(a – 12) = 144 d.a – 12.d + a – 12 = 144

Olhando para a primeira equação do sistema, temos que:

d.a = 144 e d = 144/a, então fazendo a substituição teremos:

144 - 12.144/a + a – 12 = 144

Vou multiplicar o 12 pelo 144, irá ficar assim:

144 - 1728/a + a – 12 = 144

Como resolvo esta equação?”

Professora: “Isso mesmo! O m.m.c. desta equação é a incógnita a. Então a

equação ficará assim:

Esta é a equação do 2º Grau, pois sua incógnita está elevada à potência 2.”

Aluno: Resolvemos os parênteses primeiro. Aluno: Isso mesmo! Vamos resolver a multiplicação entre os parênteses.

Aluno: Vamos ter que tirar o M.M.C.

0172812²

.144.12²1728.144

aa

a

aaaa

Neste momento, a professora deve abordar a definição de

Equação do Segundo Grau e explicar a respeito dos coeficientes da equação,

quando uma equação é completa e incompleta, e mostrar ao aluno a Fórmula

Geral, mais conhecida como a Fórmula de Bháskara.

Professora: “Toda equação do 2º Grau é da forma ax² + bx + c = 0, no qual a,

b e c são chamados de coeficientes, sendo que a tem que ser diferente de

zero. A Fórmula de Bháskara é

, de acordo com a nossa equação, qual é o

coeficiente a?”

Professora: “Se o número 1 é o coeficiente a, quais são os coeficientes b e

c?”

Professora: “Muito bem, então vamos substituir estes números na nossa

fórmula, onde tiver a letra a nós vamos colocar o número 1, na letra b o

número – 12 e na letra c o número - 1728. Na fórmula aparece as letras x, a, b

e c e na nossa equação, aparece o x?

Professora: “Então não podemos confundir o a da nossa equação com o a

da fórmula. O a da nossa equação corresponde ao x da fórmula e o a da

a

cabbx

.2

..4²

Aluno: É o número que está do lado do x elevado ao quadrado. Aluno: Mas não tem nenhum número do lado do x².

Aluno: É não tem, mas é como se fosse o número 1.

Aluno: O coeficiente b é aquele que está do lado do x e o c é o número que não tem letra.

Aluno: Então o b é o número – 12 e o c é o - 1728.

Aluno: Não, na nossa equação aparece a letra a que representa o número de alunos.

fórmula corresponde ao número 1 da nossa equação, o número que

acompanha o a². Sendo assim nossa fórmula ficaria assim:

, substituindo os coeficientes fica assim:

, o que resolvemos agora?

- Professora: “Então vamos começar pelo primeiro parênteses, temos – ( -

12), como fica a resolução?”

Professora: “E (-12)², como se resolve?

Professora: “Muito bem! E -4.1.(-1728)?”

Professora: “E por último resolvemos 2.1. Que é igual a dois.”

- Enquanto a professora foi fazendo estas perguntas, foi resolvendo

simultaneamente com os alunos.

a

cabba

.2

..4²

1.2

)1728.(1.4)²12()12( a

Aluno: Resolvemos os parênteses e dentro da raiz quadrada. Aluno: É, resolvemos todas as contas que estão aparecendo nos

parênteses, na raiz, a potência e a multiplicação do denominador.

Aluno: É só fazer a regra de sinal, - com – é +, então fica + 12.

Aluno: (- 12)² é igual a menos doze vezes menos doze. Menos com menos dá mais e 12 vezes 12 é igual a 144, então o resultado é 144 positivo.

Aluno: Quatro (negativo) multiplicado por um é igual a quatro negativo e quatro negativo multiplicado por -1728 resulta em 6912 positivo.

Professora: “A equação ficou assim:

, o que resolvemos agora?”

Professora: “Então, a nossa equação ficaria

, qual é a raiz quadrada de 7056?”

Professora: “Pode usar a calculadora sim, mas se não tivéssemos a

calculadora, como faríamos a raiz quadrada de 7056?”

Professora: “A fatoração ficaria assim:

Como coloco esta fatoração na equação?”

2

691214412 a

Aluno: Tem que fazer a soma de 144 com 6912. Que dá 7056.

2

705612a

Aluno: Não sei, podemos usar a calculadora?

Aluno: Tem que fatorar pelos números primos.

Aluno: Dentro da raiz quadrada temos que colocar 2 elevado a quarta potência, 3 ao quadrado e 7 ao quadrado, e depois dividir o expoente por dois para tirar da raiz quadrada.

Professora: “Então vou substituir o 7056 pela sua fatoração,

, o coeficiente da raiz quadrada é o número 2, então

para extrair a raiz quadrada, usaremos a propriedade da raiz que diz que:

, sendo assim a nossa equação, vamos dividir os expoentes da

fatoração por dois que é o coeficiente da raiz. Vai ficar assim.

, o que resolvemos agora?”

Professora: “Então, a raiz quadrada de 7056 é igual a 84.

Agora temos um sinal de mais e menos juntos, isso significa que temos que

resolver com cada um deles, pois toda Equação do 2º Grau tem duas raízes,

2

7.3.212 224a

a

b

a b xx

2

7.3.212 2a

Aluno: A potência e a multiplicação. Aluno: Dois ao quadrado é quatro. Quatro vezes 3 dá 12 e 12 vezes 7 resulta 84.

2

8412 a

dois valores para a incógnita. Vamos resolver primeiro a adição e depois a

subtração.

Quais dos dois valores que vai nos servir como solução da equação de

acordo com o contexto do problema?”

Professora: “O 48 é o número total de alunos ou o número de alunos

presente no dia da distribuição dos doces?”

Professora: “Quantos alunos estavam presentes no dia da distribuição dos

doces?

Após a execução da tarefa, os alunos farão um relatório para exporem suas

expectativas, dificuldades, críticas e comentários pessoais sobre a tarefa

desenvolvida.

48

2

96

2

8412

a

a

a

36

2

72

2

8412

a

a

a

Aluno: Vai ser o 48, porque o a representa o número de alunos, e pessoas não são números negativos.

Aluno: O número total de alunos, pois o número de alunos presentes é a – 12.

Aluno: É só fazer 48 – 12 que é igual a 36 alunos presentes.

5.3.3. PROBLEMA DOS TRIÂNGULOS

(OBMEP - 2012) Renata montou uma sequência de triângulos com palitos de

fósforo, seguindo o padrão indicado na figura. Um desses triângulos foi construído

com 135 palitos de fósforo. Quantos palitos formam o lado desse triângulo?

A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10

Resolução do Problema dos Triângulos

A professora entregará para cada aluno uma cópia do problema,

pedindo que os mesmos leiam atenciosamente.

-Professora: “Leram o problema? Entenderam a situação? O que acharam?”

É muito provável que os alunos digam que não entenderam e que

é muito difícil ou que não sabem fazer.

Professora: “Gostaria agora que se sentassem em grupos de 3 alunos, para

relerem o problema, discutirem suas ideias e tentarem uma possível

resolução.”

Enquanto os alunos leem e discutem quanto ao problema, a

professora irá passando pelos grupos para ouvir seus argumentos, auxiliá-los em

alguma dúvida, desde que esta não esteja relacionada à estratégia ou à

resolução. Será distribuído aos grupos caixas de palitos de fósforos, para que

possam manipulá-los, caso julguem necessário. Após um determinado tempo, a

professora pedirá para que alguém leia o problema em voz alta, pra que todos

acompanhem a leitura e começará a questioná-los quanto à compreensão que

fizeram do problema.

Professora: “O que diz o problema?”

Professora: “Tem algo de especial nesta construção de triângulos?”

Professora: “O que significa padrão?”

- É esperado que os alunos respondam que padrão significa uma regra, uma

regularidade. Caso não consigam responder, será solicitado que recorram ao

dicionário”.

Professora: “Qual o padrão que esta sequência de triângulos obedece?”

Professora: “Como acontece esse aumento de triângulos?”

Professora: “Esse triângulo tem alguma característica especial?”

Este momento é ideal para definir com os alunos o que significa

igual e congruentes.

Professora: “Esse triângulo tem um nome específico?”

Aluno: Que Renata construiu uma sequência de triângulos.

Aluno: Ela obedece um padrão.

Aluno: Sempre aumenta a quantidade de triângulos no próximo triângulo da sequência.

Aluno: Cada elemento da sequência aumenta na ordem 2, 3, 4, 5, ... . Aluno: O primeiro triângulo contêm um único triângulo, no segundo aumentaram dois triângulos, no terceiro aumentaram três triângulos e assim

sucessivamente.

Aluno: Sim. Todos os lados são iguais.

Aluno: Sim. Equilátero

Neste momento será definida, com os alunos, a classificação dos

triângulos quanto à medida dos lados. Triângulos Equiláteros, Isósceles e

Escalenos.

Professora: “Qual a unidade de medida que estamos usando para medir o

lado do triângulo?”

Professora: “Quantos palitos de fósforos formam o lado do primeiro

triângulo?”

Se alguém responder 3 palitos, será feita a discussão de forma

que ele entenda que é para se contar o número de palitos em cada lado do

triângulo e não os três lados juntos.

Professora: “E no segundo triângulo?”

Professora: “Muito bem! E no terceiro triângulo?”

Professora: “Qual é a pergunta do problema?”

Professora: “Qual triângulo?”

Professora: “Após esta discussão que fizemos, vocês acreditam que é

possível solucionar este problema?”

Aluno: O palito de fósforo.

Aluno: Um palito.

Aluno: Dois palitos.

Aluno: Três palitos.

Aluno: Quantos palitos formam o lado desse triângulo.

Aluno: O lado do triângulo que foi construído com 135 palitos.

Aluno: Não sei não. Aluno: Acho que dá sim, mas não é fácil.

Professora: “Então, retornem a trocar ideias com os colegas do grupo e

tentem resolver o problema.”

Enquanto os alunos tentam resolver o problema, a professora vai

passando pelos grupos para possíveis discussões individuais. Assim que os

grupos chegarem a uma resolução, seja ela correta ou não, começaremos a

correção. Será solicitado que os grupos coloquem no quadro suas resoluções, de

preferência que sejam resoluções diferentes.

Professora: “Alguém quer colocar sua resolução no quadro?”

Conforme o representante do grupo colocar sua resolução será

solicitado que o mesmo explique o raciocínio dos elementos do grupo para

chegarem na solução exposta.

Triângulo da Sequência Número de palitos em

cada lado do triângulo

Total de palitos em todo

o triângulo

1º 1 3

2º 2 9

3º 3 18

4º 4 30

5º 5 45

6º 6 63

7º 7 84

8º 8 108

9º 9 135

Professora: “Muito bem! Alguém resolveu de outra maneira?”

Aluno: Bom professora, esta tabela representa que se eu usar 1 palito de cada lado do triângulo, como o triângulo tem 3 lados, eu uso 3 palitos. Se eu colocar dois palitos em cada lado, uso um total de 9 palitos. E fui fazendo com os palitos todos os possíveis triângulos, com 4 palitos, 5 e assim por diante. E se eu usar 9 palitos em cada lado do triângulo vou precisar de 135 palitos ao todo. Então a resposta do problema é 9.

Professora: “Parabéns! Agora vamos tentar montar uma equação para

resolvermos o problema. Vamos pensar em cada etapa para construirmos a

pirâmide de triângulos e os número de palitos que serão acrescentados. Na

primeira etapa temos um triângulo com um palito de cada lado, usando 3

palitos ao todo. Na segunda etapa, serão dois palitos na base o que também

aumenta 2 triângulos na pirâmide (em vermelho na figura abaixo),

aumentando 3 palitos para cada triângulo, ou seja 3 palitos multiplicado por

2 triângulos serão acrescentados:

Na terceira etapa, serão 3 palitos na base da pirâmide, aumentando 3

triângulos na pirâmide:

Aluno: Nós pensamos assim, cada triângulo tem 3 palitos de fósforos. Como foram usados 135 palitos de fósforos, nós fizemos 135 dividido por 3 que resulta 45 triângulos. Se eu começar a pirâmide de triângulos de cima para baixo tem 1 triângulo, depois 2 triângulos, 3 triângulos e assim por diante. Então comecei a somar os triângulos de cima para baixo até a soma dar 45: 1 + 2 = 3 + 3 = 6 + 4 = 10 + 5 = 15 + 6 = 21 + 7 = 28 + 8 = 36 + 9 = 45. Então a base da minha pirâmide será de nove triângulos, como cada triângulo tem um palito na base, serão necessários 9 palitos na base do triângulo.

, aumentando 3 palitos para cada

triângulo aumentado na pirâmide, o que resulta 3 palitos multiplicado por 3

triângulos.

Organizando estes dados em uma em uma tabela, vamos pensar na tabela a

seguir:

Etapas Número de

palitos

acrescentados

1 3.1 = 3

2 3.2 = 6

3 3.3 = 9

Esse processo pode ser repetido até termos um triângulo que é formado por

n palitos em cada lado. Nesse caso, acrescentaremos ao triângulo

precedente n triângulos iguais ao primeiro triângulo. Voltando para a tabela

teremos:

Etapas Número de

palitos

acrescentados

1 3.1 = 3

2 3.2 = 6

3 3.3 = 9

n 3.n

Portanto, o número de palitos necessários para formar um triângulo em cada

lado é formado por n palitos é igual a seguinte soma:

3.1 + 3.2 + 3.3 + ...... + 3.n

Podemos simplificar esta soma colocando o 3 em evidência:

3.(1 + 2 + 3 + ...... + n)

Alguém sabe o nome do conjunto dos números que temos nos parêntesis?”

Professora: “Então vamos prestar atenção em como fazer a soma dos n

primeiros números naturais.

Observe na figura a seguir, a sequência de circunferências azuis, elas

representam a soma dos n primeiros números naturais.

Agora completaremos a figura para entenderem melhor a demonstração:

Aluno: São os número Naturais. Aluno: Mas como fazer esta soma? Não sabemos em que número parar!

n . . . 3 2 1

n

medida do lado

1 2 3 . . . n

n + 1

medida do lado

Temos um retângulo cujos lados medem n e n + 1, para calcular sua área

fazemos n multiplicado por (n + 1). Mas a soma dos n primeiros números

naturais são as bolinhas azuis, se lembram? E Estas se encontram na

metade do retângulo, então temos que a soma dos n primeiros números

naturais é a metade da área do retângulo.

Voltando onde paramos na resolução do problema dos triângulos,

estávamos na seguinte expressão:

3.(1 + 2 + 3 + ...... + n)

Então o que temos dentro do parêntesis é exatamente a fórmula que

acabamos de descobrir. Se substituirmos ficaria que

2

)1.(...321

nnn

2

)1.(.3

nnpalitos

Esta expressão representa o número de palitos utilizado em um triângulo de

n palitos na sua base.

Como faríamos para saber o número de palitos da base se vamos utilizar 135

palitos ao todo?”

Professora: “Muito bem! Então teríamos a seguinte equação:

Como resolvemos esta equação?”

Professora: “Então faremos 3 multiplica n que resulta 3n, e 3n que multiplica

(n+1). Ficando assim:

Qual é a propriedade que vamos utilizar para resolver esta multiplicação?”

Professora: “É esta mesma! A nossa equação ficaria assim:

E agora, como resolvemos?

Aluno: Tem que colocar igual a 135.

1352

)1.(.3

nn

Aluno: Resolve a multiplicação com os parêntesis.

1352

)1.(3

nn

Aluno: É a distributiva.

1352

3²3

nn

Aluno: Calcula o M.M.C.

Aluno: Mas pode também, multiplicar cruzado.

Professora: “Utilizando qualquer uma das maneiras, vai dar o mesmo

resultado. Vai ficar:

3n² + 3n = 270

Esta equação dá para ser simplificada por algum número?”

Professora: “É mesmo! Então vamos dividir:

Como continuamos a resolução?”

Professora: “Temos que tirar o 90 dos dois lados da Equação:

n² + n – 90 = 90 – 90

n² + n – 90 = 0

Quais são os coeficientes da Equação?”

Professora: “Então vamos escrever a fórmula de Bháskara, substituir os

coeficientes e resolvê-las.”

- Neste momento, a professora deixa que os alunos resolvam a equação sozinhos,

para depois corrigi-la no quadro.

Professora: “Alguém vem resolver a equação no quadro?”

Aluno: Dá pra dividir todos os termos por 3.

90²

3

2703²3

nn

nn

Aluno: A equação tem que ser sempre igual a zero, então tem que tirar o 90.

Aluno: O a é igual a 1, o b também é igual a 1 e o c é igual a – 90.

Aluno: Eu vou.

Professora: “Então a resposta do problema é que o número de palitos que

formam o lado do triângulo é o 9.”

Assim que terminarem de resolver cada uma das tarefas

estabelecidas, os alunos farão um relatório, onde estará presente todas as suas

expectativas, impressões, opiniões, dúvidas, satisfações, descobertas, enfim, sua

verdadeira opinião sobre tudo o que aconteceu em sala de aula.

O relatório segue o seguinte modelo:

2

3611

2

36011

1.2

)90.(1.4²11

.2

..4²

n

n

n

a

cabbx

9

2

18

2

191

2

191

1

1

1

n

n

n

n

10

2

20

2

191

2

2

2

n

n

n

Aluno: O valor que vai nos servir será o nove, pois ele é positivo e estamos falando em quantidade de palitos de fósforos.

ROTEIRO PARA CONFECÇÃO DO RELATÓRIO

● Nome dos alunos que compõem o grupo

● Nome do colégio

● Data

● Disciplina

● Turma e série

● Título

● Texto: descrever suas ações explicando-as (incluir quadros, esquemas,

operações, diálogos da dupla, etc.). Relatar suas dificuldades e outras

particularidades que achar interessante. Registrar uma crítica pessoal revelando

as contribuições que a tarefa lhe proporcionou e como se desenvolveu o trabalho

em grupo

● Referências

Deixamos aqui, algumas sugestões de problemas para serem

trabalhados em sala de aula:

6. SUGESTÕES DE PROBLEMAS

Além dos problemas que serão trabalhados com os alunos para a

execução desta Unidade, apresentamos algumas sugestões de problemas que

abordam as Equações de 2º Grau e que poderão enriquecer as aulas.

I) Problema da Herança

Um cidadão ao falecer deixou uma herança de R$ 200.000,00

para ser distribuído de maneira equitativa entre os x filhos. No entanto, 3

desses filhos renunciaram as suas respectivas partes nessa herança,

fazendo com que os demais (x – 3) filhos, além do que receberiam

normalmente, tivessem um adicional de R$ 15.000,00 em suas

respectivas partes dessa herança. Portanto, qual é o número total de

filhos do referido cidadão?

II) Problema do Jardim

Um jardim é representado pelo triângulo PQR e tem área igual a

75 m². Seu Antônio deseja plantar flores em um canteiro em forma de um

quadrado ABCD conforme a figura:

Dizemos então que o quadrado ABCD está inscrito no triângulo

PQR. Sabe-se ainda que:

- A medida QC é igual ao lado do quadrado;

- A medida RD é igual a 3 metros;

- A altura do triângulo ABP relativa a AB é igual a 4 metros.

Quanto mede o lado do quadrado que representa o canteiro?

III) Na festa de formatura do 9º ano de um determinado colégio, todos os

convidados trocaram apertos de mãos como forma de se

cumprimentarem. Um aluno que estava observando tudo, percebeu que

foram 528 cumprimentos e que 2/3 dos convidados eram mulheres.

Quantos homens foram convidados?

7. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

GRAVEMEIJER, K. P. E. What makes mathematics so difficult, and what can we do about it? In: SANTOS ,L.; CANAVARRO, A. P.; BROCARDO, J. (Eds.). Educação matemática: Caminhos e encruzilhadas. Lisboa: APM, 2005, p. 83- 101. Disponível em: <http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/jponte/fdm/textos/gravemeijer%2006a.pdf>. Acesso em: 04 maio 2011.

GRAVEMEIJER, K. RME Theory and Mathematics Teacher Education. In: TIROSH, D.; WOOD , T. (Eds.). Tools and Processes in Mathematics Teacher Education. Rotterdam, The Netherlands: Sense Publishers, 2008. 283-302.

HOUAISS, A. Dicionário Eletrônico da Língua Portuguesa. Rio de Janeiro: Objetiva, 2009. CD-ROM.

MOTTA, J. M. Abordagem da Equação do 2º Grau através da Resolução de Problemas – Uma aplicação no Ensino Fundamental. Santa Catarina, 2000. Disponível em: <https://repositorio.ufsc.br/bitstream/handle/123456789/97061/Josiane_Marques_Motta.PDF?sequence=1.> Acesso em: 22 nov. 2013.

OBMEP. Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas. 2012. Disponível em: <http://www.obmep.org.br/provas_static/pf1n2-2012.pdf>. Acesso em: 09 dez. 2013.

PARANA. Secretaria do Estado da Educacao. Diretrizes Curriculares de Matemática para a Educação Básica. Curitiba: SEED, 2005.

PIRES, C. M. C. Perspectivas construtivistas e organizações curriculares: um encontro com as formulações de Martin Simon. Educação Matemática Pesquisa, São Paulo, v.11, n. 1, 2009, p. 145-166.

VAN DEN HEUVEL-PANHUIZEN, M. V. D. Realistic Mathematics Education as work in progress. In: LIN, F. L. (Ed.). Common Sense in Mathematics Education. Proceedings of 2001 The Netherlands and Taiwan Conference on Mathematics Education. Taipei, Taiwan: National Taiwan Normal University, 2002. p. 1-42. Disponível em: <http://www.fi.uu.nl/publicaties/literatuur/4966.pdf>. Acesso em: 12 ago. 2008. VAN DEN HEUVEL-PANHUIZEN, M. V. D. The role of contexts in assessment problems in mathematics. For the Learning Mathematics, Alberta-Canadá, v.25, n.2, p.2-9, jul. 2005. Disponível em: <http://www.fi.uu.nl/~marjah/documents/01-Heuvel.pdf>. Acesso em: 12 ago. 2008