Versão On-line ISBN 978-85-8015-075-9Cadernos PDE

OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSENA PERSPECTIVA DO PROFESSOR PDE

Produções Didático-Pedagógicas

FICHA PARA IDENTIFICAÇÃO PRODUÇÃO DIDÁTICO-PEDAGÓGICA

TURMA - PDE/2013

Título: Descobrindo os Poliedros de Platão e sua relação com o cotidiano

Autor Sueli de Souza Ladeia Cadamuro

Disciplina/Área Matemática

Escola de Implementação Colégio Estadual Santa Mônica- EFM

Município da Escola Santa Mônica

Núcleo Regional Loanda

Professor Orientador Prof.ª Dr.ª Nelma Sgarbosa Roman de Araújo

Instituto de Ensino Superior Universidade Estadual do Paraná - UNESPAR – Campus de Paranavaí

Relação Interdisciplinar Este item não será contemplado no trabalho.

Resumo

Esta Unidade Didática foi produzida com a intenção de

trabalhar conteúdos de geometria espacial, em especial,

os poliedros de Platão de forma interativa, dinâmica e

significativa, com a finalidade de aproximar os alunos do

conhecimento geométrico de forma prazerosa e

diferenciada. Tem como objetivo possibilitar o

aprimoramento da linguagem matemática dos alunos,

estabelecendo relação entre seu cotidiano e os Poliedros

de Platão. Desta forma, tentará suprir, pelo menos em

parte, as defasagens com relação ao conteúdo básico de

Geometria Espacial. Ao abordar os conteúdos, será

trabalhada primeiramente a música Aquarela de Toquinho

com o objetivo de relacionar a música com tudo que nos

cerca e como as formas geométricas se encontram

presentes em nossas vidas. Será realizado um resgate

histórico dos Poliedros de Platão proporcionando

atividades contextualizadas; oficinas com planificação e

construção dos sólidos geométricos; identificação e

classificação em imagens, figuras, fotos e objetos com a

utilização de materiais manipuláveis e multimídia,

possibilitando também a ampliação da visão espacial e a

resolução de problemas, que poderá contribuir para uma

aprendizagem eficaz com o desenvolvimento do

pensamento geométrico e a construção do conhecimento

matemático.

Palavras-chaves Educação Matemática; Geometria Espacial; Poliedros de Platão; Materiais Manipuláveis.

Formato do Material Didático Unidade Didática

Público Alvo Alunos do 3.º Ano do Ensino Médio

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PRODUÇÃO DIDÁTICO PEDAGÓGICA

APRESENTAÇÃO

A produção didático-pedagógica que se apresenta vem ao encontro de uma

abordagem contextualizada e com uso de materiais manipuláveis, sendo também

comparados a uma variedade de situações do cotidiano onde se emprega a

geometria espacial para desenvolver o pensamento geométrico e a construção do

conhecimento matemático. Estas atividades foram elaboradas no Programa de

Desenvolvimento Educacional – PDE, com o formato de Unidade Didática e

vinculado ao Projeto de Intervenção Pedagógica na Escola.

Esta produção permite ainda a visualização espacial e a construção de

maquetes promovendo a relação do abstrato com o real, possibilitando que o aluno

relacione o seu mundo com o estudo da geometria, buscando por meio de

resoluções de problemas, investigação e utilização de jogos, caminhos que motivem

e facilitem a aprendizagem, favorecendo a visualização e análise dos elementos que

compõe cada sólido geométrico. Esta produção será desenvolvida com os alunos do

3.º ano do Ensino Médio do Colégio Estadual de Santa Mônica – EFM. O objetivo

deste trabalho é amenizar as defasagens com relação ao conteúdo básico da

Geometria Espacial, proporcionando uma aprendizagem efetiva da linguagem

matemática envolvida, estabelecendo relações entre o cotidiano dos alunos e os

Poliedros de Platão, bem como observações que relacionam as características dos

poliedros pela relação de Euler.

Tem como proposta trabalhar os conteúdos de geometria espacial de forma

interativa, dinâmica e significativa, possibilitando aos alunos o conhecimento da

história da geometria, destacando sua importância para a compreensão dos

poliedros de Platão. Serão apresentadas situações problemas do cotidiano de forma

prazerosa e diferenciada, como a construção dos sólidos platônicos por meio de

oficinas utilizando materiais variados. Sendo assim, será oportunizado aos alunos

experimentar, analisar, levantar hipóteses e chegar a conclusões durante o processo

de construção de seu conhecimento matemático. Com esta proposta pretende-se

aproximá-los dos conhecimentos geométricos e incentivá-los a buscar respostas de

forma curiosa e diversificada por meio de pesquisas, observações, planificações e

2

construções. É um trabalho considerado importante porque pretende facilitar a

compreensão e a aprendizagem dos alunos, afim de que explorem a história e a

relacionem com o seu cotidiano. Por meio das oficinas, os alunos estarão diante de

problematizações de situações do cotidiano, o que vem valorizar o aluno no seu

contexto social, pois envolvem problemas que sugerem questionamentos de

situações que muitas vezes vivenciam. Desta forma, pensa-se que o trabalho

pedagógico com as oficinas possibilitará a intervenção do estudante nos problemas

reais do meio social e cultural em que vive contribuindo, assim, para a sua formação

como cidadão crítico.

3

UNIDADE DIDÁTICA

Descobrindo os Poliedros de Platão e sua relação com o cotidiano

Esta Unidade Didática, com ênfase em trabalhar as oficinas com materiais

manipuláveis no desenvolvimento dos poliedros platônicos e o conhecimento da

história da geometria, tem como propósito possibilitar que os alunos relacionem o

conhecimento empírico com o científico e, ao mesmo tempo, com o seu cotidiano.

Por meio do uso de materiais manipuláveis, propõe-se aos alunos uma melhor

compreensão do conteúdo de geometria espacial por meio de visualização, da

representação, da planificação e da construção dos poliedros de Platão. Desta

forma, pretende-se melhorar o processo ensino- aprendizagem de matemática,

favorecendo um estudo prazeroso, diversificado e principalmente com compreensão

dos conceitos geométricos envolvidos. Com este trabalho, espera-se que os alunos

se tornem mais participativos e críticos quando estiverem analisando cada situação

apresentada.

Aprender a utilizar adequadamente os materiais manipuláveis favorecerá o

processo ensino-aprendizagem, permitindo aos alunos o desenvolvimento do seu

pensamento, de sua compreensão, bem como da descrição e da representação, de

forma organizada, do mundo em que vive.

Esta Unidade Didática está organizada em oficinas, as quais estão

distribuídas em seis etapas.

A primeira etapa está dividida em quatro tarefas que compreendem:

- situação do cotidiano com apresentação de imagens, fotos e figuras e

utilização de materiais manipulável afim de que os alunos observem a importância e

a aplicação da geometria no meio em que se vive, desde tempos remotos;

- reconhecimento das formas geométricas sem o conhecimento científico;

- breve resgate histórico da geometria e pesquisa no laboratório de

informática sobre Platão;

- explanação e discussão do que foi desenvolvido até o momento para iniciar

o estudo em questão.

Na segunda etapa serão utilizados materiais diversificados para a planificação

e construção dos cinco poliedros platônicos. Esta contem três tarefas.

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Na terceira etapa serão trabalhados os principais conceitos de geometria

espacial com os materiais confeccionados anteriormente, como a comprovação da

relação de Euler.

A quarta etapa compreenderá a apresentação do software Poly (programa

educacional disponível em: <www.peda.com/poly>) para visualização, exploração,

investigação e análise dos sólidos platônicos ou geométricos.

Na quinta etapa os alunos farão exposição de seus trabalhos à comunidade

escolar e apresentação de algumas curiosidades sobre os poliedros platônicos.

A sexta e última etapa compreende uma atividade recreativa com a turma,

“Roleta de Platão”, com o intuito da socialização e, ao mesmo tempo, de verificar se

houve progresso dos alunos em sua aprendizagem no decorrer do projeto.

Os alunos serão avaliados no decorrer do projeto, por meio de observações

quanto a sua participação, sendo acompanhados pelo professor durante todo o

processo das oficinas. Assim, o professor como mediador estará esclarecendo

dificuldades apresentadas e verificando os avanços da turma. Além de todo este

processo, ao finalizar todas as etapas, será proposto aos alunos que participem de

um questionário para se auto avaliarem e apresentarem se houve ou não

dificuldades em cada oficina, para que possam ser retomadas.

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1.ª ETAPA: Um olhar geométrico no nosso cotidiano

Materiais necessários: TV multimídia; fotos, imagens; objetos para serem

manipulados como: bolas, dadinhos, pirâmides de vidro, embalagens, caixas de

sapato, caixas de remédio, caleidoscópio, latas, casquinha de sorvete, entre outros.

Tarefa 1 – Assista ao vídeo “Geometria da Natureza”, disponível em:

<http://www.youtube.com/watch?v=8azgdSzGLdI>. Acesso em: 18 jul. 2013.

Observe a exposição de vários objetos na mesa do professor e manuseie-os.

Discuta com os colegas e o professor o que foi apresentado, o que pode ser

observado e pense nas seguintes questões:

- Qual a importância e a aplicação da geometria no meio em que vive?

- Quais foram às formas geométricas identificadas?

- Cite outros objetos que possuem a mesma forma.

- Cite outros exemplos que podem ser identificados na natureza.

Tarefa 2 – Depois de assistir o vídeo, produza desenhos livres de todas as formas

encontradas, com a utilização de papel e régua, procurando identificá-las e

compará-las.

Com base nos desenhos, pesquise em livros didáticos as seguintes definições:

a) O que são polígonos?

b) O que são faces?

c) O que são vértices?

d) O que são arestas?

Tarefa 3 – Assista o vídeo sobre a “Origem da Geometria”, disponível em:

<www.youtube.com/watch?v=awQvKJbPMqE>. Acesso em: 23 jul. 2013.

Reflita e discuta, juntamente com o professor e colegas, sobre:

a) O que mudou desde a origem da geometria até os dias atuais?

b) É importante conhecer a história da geometria para melhor entendê-la?

Tarefa 4 – Realize uma pesquisa no laboratório de informática sobre quem foi Platão

e a origem dos cinco poliedros platônicos.

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Assista o vídeo “Diálogo Geométrico” criado pela SEED/FNDE/MEC, TV

Escola, disponível em: <www.youtube.com/watch?v=_7yXoZnSTBM>. Acesso em:

23 jul. 2013. Realize discussão com seus colegas e professor.

Tarefa 5 – Observe a imagem (Figura 1) e responda:

Figura 1: Objetos que representam poliedros.

Fonte: <www.somatematica.com.br/emedio/espacial/espacial11.php>. Acesso em: 06 set. 2013.

a) Quais são os poliedros que aparecem na imagem?

b) Os que não são poliedros, como são chamados na geometria?

2.ª ETAPA: Construção dos polígonos

Nesta etapa serão construídas, em cartolina, as figuras geométricas

chamadas de polígonos (triângulo equilátero, quadrado e pentágono) e também

serão resgatados alguns conceitos importantes que nos ajudarão nestas

construções.

Sólidos Platônicos são sólidos convexos cujas arestas formam polígonos planos regulares

congruentes.

Polígonos são figuras plana limitada por segmentos de reta.

Triângulo Equilátero é o triângulo que tem os três lados iguais e três ângulos de 60°.

Quadrado é o paralelogramo que tem os quatro lados iguais e os quatro ângulos retos (90°).

Pentágono é um polígono com cinco lados iguais. Seus ângulos internos medem 108°.

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Materiais necessários: Compasso, régua, lápis, borracha, tesoura, cartolina

ou papelão.

Triângulo Equilátero

Na construção do triângulo equilátero, pode-se partir do seguinte princípio:

Dados os vértices A e B, basta desenhar um arco de circunferência com

centro em A e abertura até B e outro arco de circunferência, com centro em B e

abertura até A. A intersecção entre os dois arcos define o terceiro vértice do

triângulo equilátero.

Figura 2: Triângulo equilátero

Fonte: <http://www.matematica.seed.pr.gov.br/modules/galeria/fotos.php?evento=3&start=200>.

Acesso em: 29 jul. 2013.

Tarefa 6 - Dado um segmento AB, construa o triângulo equilátero ABC e sua altura.

Lembre-se que o triângulo ABC é equilátero e a reta CD é a mediatriz de AB.

Fonte: <http://www.veraviana.net/triangulos.html#triangulolado>. Acesso em: 25 jul. 2013.

Quadrado

Figura 3: Quadrado

Fonte da Figura 3: http://www.mundoeducacao.com/matematica/o-teorema-pitagoras-aplicado-no-estudo-trigonometria.htm>. Acesso 25 jul. 2013.

A B

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Tarefa 7 - Dado o segmento AB, construa o quadrado ABCD.

Trace por A e B retas perpendiculares ao segmento AB. Trace as

circunferências de centro A, passando por B e de centro B passando por A. As

interseções dessas circunferências com as perpendiculares são os vértices C e D.

Pentágono

Tarefa 8 – Construa, juntamente com o professor e colegas, um pentágono

considerando que AB é o seu lado.

Figura 4: Pentágono Fonte:<http://es.wikipedia.org/wiki/Pent%C3%A1gono>. Acesso em: 29 out.2013.

1.º passo: Sendo AB=5 cm, fazer duas circunferências com centros em A e em B e

raio AB. Marque o ponto C no cruzamento das duas circunferências.

Figura 5: 1.º passo da construção do pentágono.

2.º passo: Marque o ponto D no cruzamento das duas circunferências. Coloque a

ponta seca do compasso em D e com abertura igual à DB ou DA, construa um arco

que encontra as duas circunferências em D e F. Em seguida, construa a mediatriz

de AB que passa pelos pontos C e D. Depois, marque o ponto G na interseção da

mediatriz com o arco EABF.

B

A B

A

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Figura 6: 2.º passo da construção do pentágono.

3.º passo: Ligue os pontos EG e prolongue até a circunferência de centro B

encontrando o ponto I na interseção da reta com a circunferência. Em seguida ligue

os pontos F e G e prolongue até a circunferência de centro A, encontrando o ponto

H na intersecção da reta com a circunferência.

Figura 7: 3.º passo da construção do pentágono.

4.º passo: Coloque a ponta seca do compasso no ponto H e com abertura igual à

AB trace um arco que intersecta a mediatriz no ponto J. Da mesma forma, coloque a

ponta seca do compasso em I e com abertura igual à AB trace outro arco que

intersecta a mediatriz no mesmo ponto J.

Figura 8: 4.º passo da construção do pentágono.

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5.º passo: Ligue os pontos A, B, I, J e H, obtendo assim o pentágono regular.

Figura 9: 5.º passo da construção do pentágono.

(Disponível em: <http://www.mat.uel.br/geometrica/php/dg_ex_re/dg_ex_re11.php>. Acesso em: 25

jul. 2013).

3.ª ETAPA: Construção das representações e das estruturas dos Sólidos

Platônicos.

Figura 10: Sólidos Platônicos

Fonte: <http://www.brasilescola.com/matematica/os-solidos-platao.htm>. Acesso em: 29 jul. 2013.

Tarefa 9 – Assista ao vídeo “Construção dos Sólidos de Platão” (com os seus

devidos materiais), disponível em: <http://www.youtube.com/watch?v=TJj0F-

cRpqw>. Acesso em: 29 jul. 2013.

Em grupos de quatro alunos e com a orientação do professor, serão

construídos nas tarefas seguintes cinco sólidos platônicos: tetraedro, hexaedro,

octaedro, dodecaedro e icosaedro, com a utilização de materiais diversificados.

Materiais necessários: papelão (caixas de fogão, geladeira, de produtos de

mercado, etc.), fita crepe, solução de cola e água (meio a meio), tesoura, papel

higiênico, pincel, tinta acrilex ou guache e os moldes dos polígonos construídos nas

tarefas 6, 7 e 8 (triângulo equilátero, quadrado e pentágono).

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Tarefa 10: Construa a representação do tetraedro.

1.º passo - Riscar no papelão as quatro faces os quatro triângulos equiláteros que

serão as faces do tetraedro, recortá-los e unir as arestas duas a duas com a fita

crepe, formando um triângulo maior como na Figura 6.

Figura 11: Planificação do tetraedro.

(Fonte: <http://pt.wikipedia.org/wiki/Tetraedro> Acesso em: 29 de jul.2013).

2.º passo – Fazer a estruturação do poliedro unindo duas arestas de cada vez com

a fita crepe, concluindo a construção.

3.º passo – Em cada face, colocar papel higiênico seco e passar a solução de cola e

água (com pincel) para fazer uma textura. Quando todas as faces já estiverem com

esta textura deixar secar.

4.º passo – Completando a secagem, passar a tinta sobre o papel higiênico seco e

deixar secar.

Na construção das representações dos demais poliedros, utilizar o mesmo

processo, considerando que:

- Hexaedro – tem 6 faces quadrangulares.

- Octaedro – tem 8 faces triangulares, o mesmo molde utilizado no tetraedro.

- Dodecaedro – tem 12 faces pentagonais.

- Icosaedro – tem 20 faces triangulares, o mesmo molde utilizado no tetraedro.

Construção das estruturas dos Sólidos de Platão com canudos

Tarefa 11 – Assista ao vídeo “Construindo Poliedros com Canudos”, disponível em:

<www.youtube.com/watch?v=FXcrq3QSAZI> ou <http://www.uff.br/cdme/poliedros_

platao_dual/aluno03.html>. Acesso em: 30 jul. 2013.

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Tarefa 12 – Construção da estrutura do tetraedro regular.

Materiais necessários: 6 pedaços de canudo de refrigerante de mesma cor e

comprimento (sugere-se 8 cm), régua, tesoura, 1 metro de linha de pipa e agulha.

1.º passo - Tome o fio de linha, passe-o por dentro de três pedaços de canudo,

construa um triângulo e feche-o por meio de um nó.

Figura 12: 1.º passo da construção da estrutura do tetraedro regular.

2.º passo - Passe o restante de linha por mais dois pedaços de canudo, juntando-o

e formando mais um triângulo com um dos lados do primeiro triângulo.

Figura 13: 2.º passo da construção da estrutura do tetraedro regular.

3.º passo - Finalmente, passe a linha por um dos lados desse triângulo e pelo

pedaço de canudo que ainda resta, fechando a estrutura com um nó. Essa estrutura

representa as arestas de um tetraedro regular.

Figura 14: 3.º passo da construção da estrutura do tetraedro regular. Fonte: <http://www.uff.br/cdme/poliedros_platao_dual/aluno03.html>. Acesso em 30 jul. 2013.

Tarefa 13: Construa a estrutura do octaedro regular.

Materiais necessários: dois metros de linha para pipa, doze pedaços de

canudo de mesma cor e comprimento (sugere-se a medida de 8 centímetros).

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Passo único – Com os pedaços de canudos e o fio de linha de pipa, construa

quatro triângulos e os una, dois a dois. Em seguida faça a junção formando o

octaedro como ilustrado na Figura 10.

Figura 15: Detalhamento da construção da estrutura do octaedro regular.

(Fonte: <http://www.uff.br/cdme/poliedros_platao_dual/aluno03.html>. Acesso em: 30 jul. 2013).

Tarefa 14: Construa a estrutura do icosaedro regular.

Materiais necessários: três metros de linha para pipa, trinta pedaços de

canudo de mesma cor e comprimento (sugere-se a medida de 7 centímetros).

1.º passo - Construa quatro triângulos e os una com mais um canudo, de forma a

obter uma pirâmide regular de base pentagonal.

Figura 16: 1.º passo para construção da estrutura do icosaedro regular.

2.º passo - Repita essa construção, obtendo mais uma pirâmide como essa.

3.º passo - Una as pirâmides pelos vértices das bases, por meio de pedaços de

canudos, de tal forma que em cada vértice se encontrem cinco canudos.

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Figura 17: 2.º passo para construção da estrutura do icosaedro regular. (Fonte: <http://www.uff.br/cdme/poliedros_platao_dual/aluno03.html>. Acesso em: 30 jul. 2013).

Tarefa 15: Construa a estrutura do cubo e suas diagonais.

Materiais necessários: 2 metros de linha para pipa, doze pedaços de canudo

da mesma cor e medindo oito cm, seis canudos de outra cor ou de diâmetro menor

do que o anterior, e mais um canudo de cor diferente das demais.

1.º passo - Com pedaços de canudo da mesma cor construa um cubo de 8 cm de

aresta. Para isso, passe a linha pelos quatro canudos e passe a linha novamente por

dentro do primeiro canudo, construindo um quadrado (passos 1, 2, 3, 4 e 5).

Considerando um dos lados desse quadrado e passando a linha por mais três

canudos (passos 6, 7, 8), construa mais um quadrado. Observe que ainda faltam

cinco canudos para completar as arestas do cubo (passos 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15,

sendo o 16 no mesmo canudo 7, chegando ao 17). Prenda-os de maneira a

completa-la, conforme ilustrado na Figura 13.

Figura 18: 1.º Passo para construção da estrutura do cubo.

2.º passo – Observem que a estrutura construída ainda não ficou rígida. O que se

pode fazer para deixá-la rígida?

Agora, com pedaços de canudo de cor ou diâmetro diferente da usada para

representar as arestas do cubo, construa uma diagonal no interior da estrutura.

Ao final de sua construção, esta ficou rígida?

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Figura 19: 2.º Passo para construção da estrutura do cubo.

(Fonte: <http://www.uff.br/cdme/poliedros_platao_dual/aluno03.html>. Acesso em: 30 jul. 2013).

Tarefa 16: Construa a estrutura do dodecaedro.

Há muitas maneiras de se construir um dodecaedro. Uma forma seria a da

estrutura montada com canudos de refrigerante e barbante.

Nessa construção serão necessários trinta pedaços de canudo da mesma cor

e medindo 8 cm de comprimento, 6 m de linha e agulha para tapeçaria.

Figura 20: Passos da construção do dodecaedro.

(Fonte: <http://www.uff.br/cdme/poliedros_platao_dual/desafio.html>. Acesso em: 28

out.2013).

Seguindo as orientações da Figura 20, construa o dodecaedro, observando

que para tal, teremos apenas 3 fases construídas com os 5 lados e a linha passa por

quase todos os canudos duas vezes. Em alguns trechos, a linha fica sem canudos

para que facilite na hora de fechar.

16

Construção das estruturas dos Sólidos de Platão com palitos

de dente e jujubas (balas de gomas).

Tarefa 17: Assista o vídeo “Construindo poliedros com jujubas e palitos de dente”.

Disponível em: <www.youtube.com/watch?v=qI5agL6LngU>. Acesso em: 05 ago.

2013.

Materiais necessários: um saco de jujubas de 500 gramas e uma caixa de

palitos de dente.

Observe, na sequência, a quantidade de material necessário para a

construção de cada estrutura.

- Tetraedro: 6 palitos de dente e 4 jujubas.

- Cubo: 12 palitos de dente e 8 jujubas.

- Octaedro: 12 palitos de dente e 6 jujubas.

Figura 21: Estruturas dos Sólidos de Platão com palitos de dente e jujubas

Tarefa 18 – Construa a estrutura do cubo.

Materiais necessários: 8 jujubas e 12 palitos.

1.º passo - Comece com quatro palitos e quatro jujubas. Espete os palitos nas

jujubas para fazer a representação de um quadrado, com uma jujuba em cada

vértice (encontro das arestas), conforme Figura 16.

Figura 22: 1.º passo da construção da estrutura do cubo

2.º passo - Espete outro palito no topo de cada bala.

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3.º passo - Coloque uma bala em cima de cada palito. Ligue estas balas de cima

com palitos de dente para fazer um cubo. Um cubo tem um quadrado em cada lado

(faces), conforme ilustrado na Figura 22.

Figura 23

(Fonte: <http://www.feiradeciencias.com.br/sala27/27_11.asp>. Acesso em: 07 ago. 2013).

Observe a estrutura do cubo montada e responda:

a) Quantas arestas (palitos) contêm?

b) Quantos vértices (encontro das arestas) possui?

Tarefa 19: Construa a estrutura de uma pirâmide.

Figuras 24, 25 e 26: Passos da construção da estrutura do Tetraedro

1.º passo - Comece com três jujubas e três palitos. Espete os palitos nas balas para

fazer um triângulo, com uma goma em cada vértice (encontro das arestas).

2.º passo - Espete outro palito no topo de cada goma. Dobre os 3 palitos de dente

em direção ao centro. (Os palitos podem ser espetados já um tanto inclinados).

3.º passo - Espete todos os 3 palitos em uma só goma para fazer

uma pirâmide de três lados. A pirâmide de três lados tem um triângulo de cada

lado (faces). Quantos vértices (gomas) tem esta pirâmide? E quantas arestas

(palitos)?

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Figura 27

(Fonte: <http://www.feiradeciencias.com.br/sala27/27_11.asp>. Acesso em: 07 ago. 2013).

Tarefa 20 - Construa uma tabela, relacionando os nomes dos poliedros de Platão

com seus vértices (V), arestas (A), faces (F), número de lados (N), número de

arestas que convergem em cada vértice (C) desse poliedro e observe se existe

alguma relação entre eles.

Tarefa 21 - Faça uma pesquisa e um resumo sobre a comparação feita por Platão

entre os elementos do universo e suas respectivas figuras representativas.

(Disponível em: <http://www.webquestbrasil.org/criador/webquest/soporte_mondrian_w.php?

id_actividad=17533&id_pagina=2>. Acesso em: 09 ago. 2013).

4.ª ETAPA – Alguns conceitos de geometria espacial com os materiais

confeccionados anteriormente.

Tarefa 22 – Num poliedro convexo, o número de vértices é 8 e o número de arestas

é 16. Qual o número de faces desse poliedro?

Tarefa 23 – Um poliedro convexo apresenta 3 faces quadrangulares, 2 faces

hexagonais e 4 faces triangulares. Quantos vértices têm esse poliedro?

Tarefa 24 – Preencha o quadro:

Poliedro V F A V + F A + 2

Tetraedro

Cubo ou Hexaedro

Octaedro

Dodecaedro

Icosaedro

A Relação de Euler é verificada para esses poliedros?

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5.ª ETAPA – Estudando poliedros com auxílio do software Poly.

O software Poly é um programa educacional, desenvolvido pela Pedagoguery

Software Inc., (disponível no endereço eletrônico: <www.peda.com/poly>, acesso

em: 09 agosto de 2013).

Tarefa 25 – Dirija-se ao laboratório de informática, entre no software Poly e siga as

instruções:

1- Explore livremente o programa.

2- Clique no botão que permite visualizar o sólido montado com as arestas

realçadas. Depois, clique em Sólidos Platônicos e selecione o tetraedro. Na tela já

aparecerá um tetraedro (um tetraedro regular). Com o botão direito (ou esquerdo) do

mouse pressionado, movimente o sólido e determine:

a) o número de faces:___________

b) o número de arestas:___________

c) o número de vértices:___________

3 - Planifique o sólido utilizando os recursos do software e confira suas respostas.

4 - Verifique se a relação V + F = A + 2 (relação de Euler), sendo V o número de

vértices, F o número de faces e A o número de arestas, é válida para o sólido

analisado.

5 - Repita a atividade 2 desta tarefa para o hexaedro e o octaedro.

6 - Clique no botão que permite visualizar o sólido montado com as arestas

realçadas. Depois, clique em Sólidos Platônicos e selecione Dodecaedro. Observe

que este sólido é composto de 12 pentágonos regulares.

a) determine o número de arestas desse sólido, sem contar uma a uma.

b) utilize a relação de Euler e determine o número de vértices.

7 – Repita a atividade desta tarefa para o icosaedro.

(Disponível em: <http://www.edumat.com.br/wp-content/uploads/2008/11/apostila_poliedros_poly

2006.pdf>. Acesso em: 09 ago. 2013).

6.ª ETAPA - Apresentação dos sólidos geométricos confeccionados nas

oficinas para a comunidade escolar.

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7.ª ETAPA – Jogo

Tarefa 26 – Jogar a “Roleta de Platão”.

Regras do Jogo:

A sala será dividida em duas equipes, sendo A e B e cada equipe será

dividida em duplas. A cada envelope respondido, trocam as duplas.

Dois alunos se enfrentam para tentar descobrir, com o menor número de

pistas, qual é a palavra secreta. São 12 envelopes colocados sobre uma roleta e os

participantes se revezam na escolha de um deles. Dos 12 envelopes, 4 trazem

perguntas consideradas fáceis, 4 consideras moderadas e 4 difíceis.

Cada envelope traz 3 pistas, que o professor lê alternadamente, primeiro para quem

tirou o envelope e depois para o outro aluno. Se acertar a palavra secreta com a

primeira pista, o primeiro aluno que respondeu a pergunta ganha 10 pontos. Na

segunda, que será para o outro aluno, ganhará 9 e, na terceira, que retornará ao

primeiro obtém 8 pontos. Depois que o professor lê a pista, o aluno é obrigado a

responder, mesmo que errado, sob pena de perder 10 pontos. Se nenhum dos dois

acertarem a palavra secreta com as 3 pistas, o professor passa a chance para os

alunos da equipe A e B que estão na plateia. O aluno que responder primeiro

corretamente, seja este da equipe A ou B, receberá os 10 pontos para a equipe.

A equipe vencedora terá direito a um prêmio escolhido pelo professor.

(Adaptado do jogo das três pistas do Programa Silvio Santos).

1.º envelope:

1.ª pista – Estão relacionados à natureza.

2.ª pista – Todos possuem faces poligonais iguais.

3.ª pista – São cinco no total.

2.º envelope:

1.ª pista – Possui 30 arestas.

2.ª pista – Possui 12 vértices.

3.ª pista – Possui 20 faces.

21

3.º envelope:

1.ª pista - É o poliedro mais pontiagudo.

2.ª pista – Arestas mais cortantes.

3.ª pista – Menor mobilidade e representa o fogo.

4.º envelope:

1.ª pista – Filósofo grego.

2.ª pista – Nasceu em Atenas.

3.ª pista – Discípulo de Sócrates.

5.º envelope:

1.ª pista – Sólido geométrico.

2.ª pista – Região do espaço limitada por uma superfície fechada.

3.ª pista – Composto por um número finito de faces.

6.º envelope:

1.ª pista – Utiliza a soma de faces mais vértices.

2.ª pista – Se iguala a arestas mais 2.

3.ª pista – Comprova a existência dos cinco poliedros platônicos.

7.º envelope:

1.ª pista – As faces são polígonos regulares.

2.ª pista – Todas as arestas são congruentes.

3.ª pista – Todos os vértices são congruentes.

8.º envelope:

1.ª pista – Quinto e último poliedro regular convexo.

2.ª pista – Representa o cosmos.

3.ª pista – Segundo Platão “alma do mundo”.

9.º envelope:

1.ª pista – Representa a Terra.

2.ª pista – Possui 8 vértices.

3.ª pista – Pode ser chamado de hexaedro.

22

10.º envelope:

1.ª pista – Possuem três dimensões: comprimento, largura e altura.

2.ª pista – Suas superfícies podem ser planas e curvas.

3.ª pista – Suas superfícies são limitadas.

11.º envelope:

1.ª pista – Possui maior mobilidade crescente.

2.ª pista – Possui 6 vértices.

3.ª pista – Representa o ar na natureza.

12.º envelope:

1.ª pista – Possui 20 vértices.

2.ª pista – Tem 12 faces.

3.ª pista – Tem polígonos pentagonais.

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ORIENTAÇÕES METODOLÓGICAS

Na sequência serão apresentadas algumas sugestões e orientações aos

professores que pretendem utilizar esta U.D., referentes a algumas tarefas que se

pensou fazer necessárias. As tarefas não citadas foram consideradas

autoexplicativas.

1.ª ETAPA:

Tarefa 1 – Para esta tarefa o professor deve deixar exposto, em sua mesa, objetos e

fotos para os alunos observarem e manusearem após a apresentação do vídeo

“Geometria da Natureza”.

Sugestão: Este trabalho pode ser desenvolvido em aula de campo, onde os alunos

poderão observar tudo que os cercam para depois descrever, por meio de

desenhos, recorte, colagem ou oralidade, as formas geométricas encontradas.

Os alunos poderão ainda, em grupos, elaborar um vídeo com imagens de

tudo que os cercam, apresentarem para os colegas e justificarem as formas

geométricas encontradas.

Tarefa 2 – Esta atividade tem como objetivo enfatizar o interesse no estudo dos

poliedros e os conceitos de geometria como polígonos, vértices, ângulos, arestas e

faces.

Nesta atividade o professor deverá entregar aos alunos papel sulfite para que

desenhem todas as imagens que conseguiram identificar e observar na atividade

anterior. Poderá ainda utilizar como instrumento a régua e outro material que achar

necessário para que possam compará-las e pesquisar em livros didáticos ou na

internet sobre as questões propostas na atividade.

Tarefa 4 - O vídeo “Diálogo Geométrico”, proposto nesta tarefa apresenta uma série

de informações, principalmente a relação da geometria com o nosso cotidiano, como

também as formas geométricas que se encontram presentes em vários contextos do

dia a dia, inclusive na natureza e a origem dos sólidos platônicos.

24

2.ª ETAPA:

O professor deve apresentar uma peça piloto de todas as construções

trabalhadas, para que os alunos possam visualizar e manusear.

Sugere-se trabalhar a construção dos polígonos como: triângulo equilátero,

quadrado e pentágono. Estas construções devem ser explicadas pelo professor, que

precisa intermediar todo o trabalho do aluno. Em seguida, a cada construção, o

aluno terá tarefas a serem realizadas (6, 7 e 8).

3.ª ETAPA:

Propõe-se que os alunos construam representações e estruturas dos sólidos

de Platão com papelão, canudos e palitos, assistindo, antecipadamente, vídeos

sobre suas construções. A sala é dividida em grupos, de forma que cada grupo

constrói a representação de um sólido platônico, trocando na próxima construção.

Assim, possibilita que todos conheçam os cinco poliedros.

Estas atividades têm objetivo de proporcionar ao aluno reconhecer os

Poliedros de Platão e suas particularidades. Pode-se dizer, ainda, que o aluno

poderá identificar as arestas, faces e vértices.

Para cada uma das tarefas desta etapa é viável que o professor entregue aos

alunos apostila com o passo-a-passo das construções.

A construção da representação dos sólidos de Platão com papelão tem como

objetivo destacar suas faces.

A construção da representação dos sólidos de Platão com canudos tem como

objetivo destacar suas arestas.

A construção da representação dos sólidos de Platão com palitos de dente e

jujubas tem o objetivo de destacar os vértices representados pelas jujubas.

Sugestão: esta atividade pode ser feita com palitos de churrasco e bolinhas de

isopor, utilizando o mesmo procedimento para construí-las.

4.ª ETAPA:

Nesta etapa sugere-se retomar o vídeo “Diálogo Geométrico”, (proposto na

tarefa 4), para trabalhar os conceitos da geometria espacial e a comprovação da

Relação de Euler, com a utilização dos materiais confeccionados nas tarefas de 10

a 19.

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Tarefas 22 a 24 – objetivam trabalhar os conceitos da geometria espacial e a

Relação de Euler.

5.ª ETAPA:

Nesta etapa é proposto o trabalho de informática com o software educacional

Poly (disponível no endereço eletrônico <www.peda.com/poly>, acesso em 09 de

agosto 2013). Este software auxilia o aluno a visualizar, reconhecer e analisar os

diferentes poliedros, possibilitando a manipulação das figuras em suas variadas

representações: tridimensionais, planificações e incrustações topológicas no plano.

Possui diversos recursos de computação gráfica que possibilitam girar as figuras

tridimensionais e planificá-las na velocidade desejada. Permite a impressão das

imagens e planificações.

6.ª ETAPA:

Sugere-se que seja organizada pelo professor e alunos uma exposição dos

trabalhos à comunidade escolar, apresentando o material confeccionado.

7.ª ETAPA:

Tarefa 26 – “Roleta de Platão” constitui-se como um desafio, ou seja, uma

competição para os alunos, de forma recreativa, apresentarem o que aprenderam

sobre os sólidos platônicos.

Respostas das palavras secretas de cada envelope:

1.º envelope - Poliedro de Platão.

2.º envelope – Icosaedro.

3.º envelope – Tetraedro.

4.º envelope – Platão.

5.º envelope – Poliedro.

6.º envelope Relação de Euler.

7.º envelope – Poliedro regular.

8.º envelope – Dodecaedro.

9.º envelope – Cubo.

10.º envelope – Sólidos Geométricos.

11.º envelope – Octaedro.

12.º envelope – Dodecaedro.

Estas são as sugestões e orientações que a autora pensa serem necessárias.

26

AVALIAÇÃO

Os alunos serão avaliados no decorrer do projeto por meio de observações

quanto à participação.

Proposta de Atividade Avaliativa.

1 - Enumere os sólidos de Platão e relacione-os aos elementos naturais.

2 - Usando a Relação de Euler, resolva as questões abaixo.

a) Num poliedro convexo, o número de faces é 8 e o número de vértices é 12.

Quantas arestas têm esse poliedro?

b) (Unicap-PE) Um dodecaedro convexo possui todas as faces pentagonais.

Determine o número de vértices desse poliedro.

c) Um icosaedro convexo possui todas as faces triangulares. Quantas arestas

possui esse poliedro?

3 - Um sólido geométrico é composto por: _________, __________, ___________.

4 - Utilize um dos tetraedros confeccionados nas tarefas e responda:

a) Qual o nome do polígono que forma a base da pirâmide? ________________.

b) Quantas faces, arestas e vértices têm essa pirâmide? __________________.

5 - Complete a tabela abaixo:

Poliedro Regular Vértices (V) Faces (F) Arestas (A)

Tetraedro

Cubo ou Hexaedro

Octaedro

Dodecaedro

Icosaedro

(Disponível em: <http://www.slideshare.net/gigilu/geometria-no-espacosolidos-geometricos>. Acesso

em: 09 ago. 2013).

Após estas atividades avaliativas quanto à aprendizagem, os alunos

indicarão, oralmente, as dificuldades encontradas para que o professor possa

retomá-las.

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SUGESTÕES DE LEITURA:

EVES, Howard. Introdução à História da Matemática. Campinas: UNICAMP, 2004.

PAIS, Luiz Carlos. Uma análise do significado da utilização de recursos didáticos no ensino da geometria. Reunião, Caxambu, 2000. Disponível em: <http://www.anped.org.br/reunioes/23/textos/1919t.PDF>. Acesso em: 18 jun. 2013.

SILVA, Valter Luna da; ASSUMPÇÃO, André Luiz M. de. Utilização de jogos e materiais manipuláveis para a construção de conhecimentos sobre poliedros regulares. Artigo on line da Facitec. 1º. 2011. Disponível em:

<http://www.facitec.br/revistamat/download/artigos/artigo_valter_utilizacao_de_jogos_e_materiais_manipulaveis_para_a_.pdf>. Acesso em: 30 mai. 2013. SITES UTILIZADOS PARA FIGURAS, OFICINAS, TAREFAS E VÍDEOS: Blog Matemática sem trauma. Atividades. Disponível em: <http://matematicasemtrauma.blogspot.com.br/>. Acesso em: 30 jul. 2013. Portal da SEED. Atividades e foto. Disponível em: <http://www.matematica.seed.

pr.gov.br/modules/galeria/fotos.php?evento=3&start=200>. Acesso em: 29 jul. 2013. Site Brasilescola. Sólidos de Platão. Disponível em: <http://www.brasilescola. com/matematica/os-solidos-platao.htm>. Acesso em: 29 jul. 2013. Site Desafio - UFF. Disponível em:

www.uff.br/cdme/poliedros_platao_dual/desafio.htm. Acesso em: 28 out.2013.

Site domínio público. Vídeo Diálogo Geométrico. Disponível em:

<http://www.domíniopublico.gov.br/download/video/me001052.wmv>. Acesso em: 09 ago. 2013. Site Edumat. Atividades. Disponível em: <http://www.edumat.com.br/wp-content/uploads/2008/11/apostila_poliedros_poly2006.pdf>. Acesso em: 09 ago. 2013. Site Feira de Ciências. Imagens de Representação de Sólidos Geométricos. Disponível em: <http://www.feiradeciencias.com.br/sala27/27_11.asp>. Acesso em: 11 jun. 2013. Site Feira de Ciências. Imagens de Representação de Sólidos Geométricos. Disponível em: <http://www.feiradeciencias.com.br/sala27/27_11.asp>. Acesso em: 07 ago. 2013.

28

Site Jaymeprof. Imagem de Euler. Disponível em: http://www.jaymeprof.com. br/joomla/index.php/78-matematica?start=4>. Acesso em: 10 de ago. 2013. Site Oqueeh. Geometria Espacial: conceito e origem. Disponível em: <www.oqueeh.com.br/geometria-espacial-conceito-e-origem>. Acesso em: 30 abr. 2013. Site Peda. Software Poly. Disponível em: <http://www.peda.com/poly>. Acesso em: 09 ago. 2013. Site Slideshare. Atividades. Disponível em: <http://www.slideshare.net/gigilu/

geometria-no-espacosolidos-geometricos>. Acesso em: 09 ago. 2013. Site Somatematica. Figuras geométricas. Disponível em: <www.somatematica. com.br/emedio/espacial/espacial9.php>. Acesso em: 18 jul. 2013. Site Somatematica. Imagem de Embalagens e sólidos geométricos. Disponível em: <www.somatematica.com.br/emedio/espacial/espacial11.php>. Acesso em: 06 set. 2013. Site UEL. Atividades. Disponível em: <http://www.mat.uel.br/geometrica/php/dg_ ex_re/dg_ex_re11.php>. Acesso em: 25 jul. 2013. Site UFSC Atividades. Disponível em: <http://mtm.ufsc.br/ensinomedio/jul-09/const-

geometricas.pdf>. Acesso em: 25 jul. 2013. Site Veraviana. Atividades. Disponível em: <http://www.veraviana.net/triangulos. html#triangulolado>. Acesso em: 25 jul. 2013. Site Tetraedro – Wikipédia, a enciclopédia livre. Disponível em:

<pt.wikipedia.org/wiki/Tetraedro>. Acesso em 18 jul.2013.

Site You Tube. Vídeo Construção dos sólidos de Platão em papelão. Disponível

em: <http://www.youtube.com/watch?v=TJj0F-cRpqw>. Acesso em: 29 jul. 2013. Site You Tube. Vídeo Aquarela de Toquinho. Disponível em: http:/www.youtube.com/watch?feature=fvwp&v=rtd-DFn1fzk&NR=1. Acesso em: 25 abr. 2013. Site You Tube. Vídeo Construção dos Sólidos de Platão com palito de dente e jujubas (goma). Disponível em: <www.youtube.com/watch?v=qI5agL6LngU>.

Acesso em: 05 ago. 2013. Site You Tube. Vídeo Construção dos sólidos de Platão em canudos. Disponível em:<www.youtube.com/watch?v=FXcrq3QSAZI> ou <http://www.uff.br/cdme/ poliedros_platao_dual/aluno03.html>. Acesso em: 30 jul. 2013. Site You Tube. Vídeo Diálogo Geométrico. Criado pela SEED/FNDE/MEC, TV Escola. Disponível em: <www.youtube.com/watch?v=_7yXoZnSTBM>. Acesso em: 23 jul. 2013.

29

Site You Tube. Vídeo Geometria da Natureza. Disponível em: <http://www.youtube. com/watch?v=8azgdSzGLdI>. Acesso em: 18 jul. 2013. Site You Tube. Vídeo Origem da Geometria. Disponível em: <www.youtube.

com/watch?v=awQvKJbPMqE>. Acesso em: 23 jul. 2013.