Versão On-line ISBN 978-85-8015-076-6Cadernos PDE

OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSENA PERSPECTIVA DO PROFESSOR PDE

Artigos

O QUADRADO MÁGICO NAS AULAS DE MATEMÁTICA:

Experiências no Ensino Médio

Marcel Medeiros1

Susimeire Vivien Rosotti de Andrade2

RESUMO O presente artigo tem como objetivo apresentar os resultados relativos à implementação de uma Unidade Didática proposta pelo primeiro autor elaborada no Programa de Desenvolvimento Educacional - PDE. Trabalhou-se com estudantes do 1° ano do ensino médio no Colégio Estadual Pedro Viriato Parigot de Souza, localizado no município de São Miguel do Iguaçu, com objetivo de apresentar aos alunos o quadrado mágico como estratégia no processo de ensino aprendizagem do conteúdo de progressão aritmética, dessa maneira, foram elaboradas atividades de cunho investigativo com o material, propiciando um ensino dinâmico e interativo. Ao finalizar a implementação pôde-se averiguar por meio das resoluções das atividades e da observação que o trabalho que visa aproximar a investigação nas aulas de matemática contribui para a formação do aluno e do professor, pois desperta o interesse em estudar matemática, reforçando sua curiosidade e o prazer pela descoberta da resolução. E o professor consegue assim identificar as dificuldades dos alunos e quais modificações em sua ação pedagógica deve ser realizada para resolvê-las.

Palavras-Chave: Quadrado mágico. investigação matemática. Progressão Aritmética.

INTRODUÇÃO

Como professor da Rede pública Estadual de Ensino do Paraná, desde 2003

percebi que muitos dos meus alunos não apresentam interesse no processo ensino

aprendizagem nas aulas de matemática, fazendo que a matemática seja a vilã de

todas as matérias.

Ao iniciar os estudos no PDE, pude aprofundar meu conhecimento na busca

de uma atividade que tivesse uma tendência metodológica que despertasse o

interesse dos alunos e fizesse uma relação entre o ensino e a aprendizagem

resultando em um conhecimento prazeroso.

Nesta perspectiva, das diferentes tendências metodológicas da educação

matemática estudada no decorrer do PDE, verifiquei que a investigação matemática

seria mais adequada em contribuir para que os alunos se sentissem mais motivados

nas aulas de matemática e de fato participassem ativamente da mesma.

1 Professor da Rede Pública Estadual de Ensino do Paraná.

2 Orientadora PDE da Universidade Estadual do Oeste do Paraná – Unioeste – Campus de Foz do

Iguaçu.

Neste sentido, o presente trabalho almeja responder a seguinte questão:

Como mobilizar os alunos nas aulas de matemática contribuindo no processo de

ensino aprendizagem do conteúdo de progressão aritmética?

A busca por resposta à esta pergunta, nos motivou a investigar as possíveis

contribuições no processo de ensino e aprendizagem dos conteúdos matemáticos

dos alunos do 1º ano do ensino médio durante o desenvolvimento de um conjunto de

tarefas3 investigativas realizadas com quadrado mágico aditivo.

No presente artigo será apresentado primeiramente os fundamentos teóricos

do mesmo, seguido das análises da implementação da unidade didática.

2 A INVESTIGAÇÃO MATEMÁTICA NO CONTEXTO ESCOLAR

As diretrizes Curriculares da Educação do Paraná (2008, p.45) salienta que o

ensino de matemática não visa a memorização e o desenvolvimento de habilidades

e ressalta enfaticamente que:

A aprendizagem da Matemática consiste em criar estratégias que possibilitam ao aluno atribuir sentido e construir significado às idéias matemáticas de modo a tornar-se capaz de estabelecer relações, justificar, analisar, discutir e criar. Desse modo, supera o ensino baseado apenas em desenvolver habilidades, como calcular e resolver problemas ou fixar conceitos pela memorização ou listas de exercícios. A ação do professor é articular o processo pedagógico, a visão de mundo do aluno, suas opções diante da vida, da história e do cotidiano (DIRETRIZES CURRICULARES DA EDUCAÇÃO BÁSICA DO PARANÁ 2008, p. 45).

Esta concepção corrobora com o conceito de aprendizagem apontada por

Ponte (2003). Dessa forma, a educação matemática é um campo de pesquisa que

contribui para estudos que visam a melhora do ensino e as diferentes tendências

metodológicas propostas por esse campo de estudo favorece aos professores

compreender o que é ensinar.

Dentre as diferentes tendências metodológicas temos a investigação

matemática e um dos principais teóricos desta tendência é Ponte (2003, p.02) que

define primeiramente que . Investigar “não é mais do que procurar conhecer,

compreender, procurar encontrar soluções para os problemas com os quais nos

3Segundo Ponte (2005) a tarefa é como objetivo de uma atividade e há diferentes tipos de tarefas,

podemos identificar algumas que já são mais conhecidas, são elas, os exercícios, os problemas, as

investigações e os projetos.

deparamos”. Diante disso, todos na sociedade deveriam ter esta capacidade e a

escola que é um ambiente social também deve aproximar a investigação do trabalho

da escola, tanto dos professores como dos alunos.

Uma investigação é um problema em aberto e, por isso, as coisas acontecem

de forma diferente do que na resolução de problemas e exercícios. O objeto a ser

investigado não é explicitado pelo professor, porém o método de investigação

deverá ser indicado através, por exemplo, de uma introdução oral de maneira que o

aluno compreenda o significado de investigar. Assim uma situação apresentada

poderá ter objetos de investigação distintos por diferentes grupos de alunos.

(PARANÁ, 2008, p.67)

Assim as investigações matemáticas adotam características muito próprias,

transportando rapidamente à produção de significados que procuram testar e provar

naturalmente procedimentos, conceitos e representações matemáticas fortalecendo

o que mais o aponta para o estilo de significado, de teste e demonstração. (Ponte;

2003).

Vale lembrar que uma investigação desenvolve-se em três fases: A

compilação de informação e experimentação, sem produzir resultados papáveis,

sequenciada pela fase da iluminação súbita e finalizada pela sistematização e

verificação dos resultados. (Ponte, Brocardo e Oliveira; 2006).

Segundo os autores a primeira fase caracteriza-se pela formulação de

atividades ou questões bem definidas, para as quais se pretende obter uma

resposta, seguido pelo teste e refinamento de conjecturas.

Em seguida os autores destacam que a realização de testes práticos, pondo à

prova as conjecturas, através da realização de experiências na sala de aula e da

recolha de dados indicando os respectivos resultados, finalizando, a terceira fase se

resume no processo de divulgação de resultados, destancando-se pela validação

dos resultados obtidos, através de uma análise de dados cuidadosa, da construção

de uma argumentação que evidencie o alcance do trabalho feito e da respectiva

divulgação.

Conforme Ponte (2003) é importante também o professor compreender que

há uma diferença entre problemas e investigações, segundo ele: “as investigações,

mais do que os problemas, promovem o envolvimento dos alunos, pois requerem a

sua participação ativa.”, onde o objetivo principal na resolução de problemas é

encontrar um caminho para alcançar um tema não imediatamente alcançável,

enquanto que numa investigação matemática, o objetivo é explorar todos os

caminhos possíveis para alcançar tal tema, tornando um processo convergente.

Assim o autor indica que na investigação matemática, os sujeitos envolvidos

fazem uma caminhada até ao desconhecido, onde o objetivo é o caminho percorrido

e não o destino pretendido. A finalidade da mesma é explorar todos os caminhos

que aparecem como interessantes a partir de uma dada situação. É uma maneira

discordante, pois se conhece qual é o ponto de partida, mas não se sabe qual será o

ponto de chegada.

Ponte (2003), ressalta que:

O envolvimento ativo do aluno é uma condição fundamental da aprendizagem. O aluno aprende quando mobiliza os seus recursos cognitivos e efetivos com vista a atingir um objetivo. Esse é, precisamente, um dos aspectos fortes das investigações. Ao requerer a participação do aluno na formulação das questões a estudar, essa atividade tende a favorecer o seu envolvimento na aprendizagem. (PONTE, 2003, p.23).

Assim o autor aponta que a investigação matemática pode vir a ser um

recurso metodológico capaz de desenvolver a autoconfiança, a organização, a

concentração, a socialização, além de aumentar as interações do indivíduo com

outras pessoas, propiciando a construção do conhecimento matemático (Ponte,

2003).

Propõe-se, então, a utilização do quadrado mágico aditivo como atividade

investigativa de modo que, apresentaremos o que vem a ser o referido quadrado.

2.1 O QUADRADO MÁGICO ADITIVO

O quadrado mágico é uma tabela quadrada que podemos dividir em

quadrados iguais e a soma dos termos de cada linha, coluna e diagonal (principal e

secundária) é um valor constante que é denominado constante mágica.

Como salienta Mello e Souza4 (1995):

Tomemos um quadrado e dividamo-lo em 4, 9, 16 …quadrados iguais – os quais denominamos casa. Em cada uma dessas casas, coloquemos um número inteiro. A figura obtida será um Quadrado Mágico quando a soma

4 Segundo Machado (1997) Júlio César de Mello e Souza é mais conhecido como Malba Tahan, isto

porque ele criou uma figura exótica estrangeira para conseguir publicar seus livros devido a dificuldade de autores nacionais conseguirem publicar.

dos números que figuram numa coluna, numa linha ou sobre uma diagonal for sempre a mesma. Esse resultado invariável é denominado constante do quadrado, e o número de casas de uma linha é o módulo do quadrado. (Mello e Souza, 1995, p.131).

Segundo Barichello (2008), o quadrado mágico com notação numérica

moderna é atribuído ao imperador e engenheiro Yu, o Grande (2200 a.C.) e na

tradição, Yu estava observando o rio Amarelo, quando surgiu uma tartaruga divina,

em cujo dorso estava o símbolo que hoje é conhecido pelo nome de lo shu5. Assim,

os chineses acreditavam que quem possuísse um quadrado mágico teria sorte e

felicidade para toda a vida. Dessa forma, durante o século XV, os quadrados

mágicos foram se propagando, chegando ao Japão, Oriente Médio e posteriormente,

à Europa.

De acordo com Kolodzieiski e Nascimento (2012), o Quadrado Mágico aditivo,

abordado como atividade investigativa, contribui consideravelmente para que os

alunos aprofundem e ampliem os significados e conceitos matemáticos, pois esta

atividade possibilita exercitar várias estratégias de investigação.

No entanto, os autores acima enfatizam que sua utilização em sala de aula,

deve ser planejada, pois somente dessa forma, poderá ser uma ferramenta para

melhorar no ensino-aprendizagem da matemática, contribuindo para que ocorra uma

autonomia dos alunos neste processo. Mas a presença do professor continua a ser

indispensável, é ele quem estabelece as situações, orienta e organiza. O professor

deve ser o líder da situação, ele que tem influência decisiva sobre o

desenvolvimento do aluno e suas atitudes vão interferir na relação que ele irá

estabelecer com o conhecimento.

Segundo as Diretrizes Curriculares da Educação Básica do Paraná de

Matemática (2008):

Cabe ao professor a sistematização dos conteúdos matemáticos que emergem das aplicações, superando uma perspectiva utilitarista, sem perder o caráter científico da disciplina e de seu conteúdo. Ir além do senso comum pressupõe conhecer a teoria científica, cujo papel é oferecer condições para apropriação dos aspectos que vão além daqueles observados pela aparência da realidade. (PARANÁ, 2008, p.48).

O professor, ao utilizar o quadrado mágico como uma atividade investigativa

deve ter objetivos bem estabelecidos. Deve ser uma atividade utilizada para

5 Segundo: BARICHELLO, Lo significa rio e Shu significa livre.

estimular o desenvolvimento do conteúdo estabelecido, bem como promover as

aprendizagens específicas.

A seguir apresentaremos as análises das atividades desenvolvidas como o

quadrado mágico aditivo.

3 O QUADRADO MÁGICO ADITIVO NA AULA DE PROGRESSÃO ARITMÉTICA

A implementação da Unidade didática ocorreu no primeiro semestre do ano

letivo de 2014, em uma turma de 19 alunos do 1º ano do ensino médio vespertino do

Colégio Estadual Pedro Viriato Parigot de Souza, localizado na Rua Afonso Alves

Camargo, Centro do Município de São Miguel do Iguaçu, Estado do Paraná.

Assim utilizou-se o quadrado mágico aditivo como atividade investigativa

relacionando-o com Progressão Aritmética, buscando uma aula que incentivasse o

despertar da curiosidade e da investigação visando à motivação pelo ensino

matemático, contribuindo no processo de ensino e aprendizagem dos alunos.

Inicialmente ocorreu a apresentação do projeto de intervenção no colégio,

para agentes educacionais, professores, pedagogos e direção, bem como, as

orientações sobre sua implementação ao longo do ano letivo, para que cada

profissional tivesse uma visão exata sobre o que iria ser desenvolvido bem como, os

alunos que participariam.

A seguir apresentaremos as análises da implementação da unidade didática

na turma do 1º ano do ensino médio.

3.1 ANÁLISE DA IMPLEMENTAÇÃO DA UNIDADE DIDÁTICA

A turma do 1º ano do ensino médio é caracterizada por ser individualista,

cada aluno vive a mesma situação ao seu modo, percebe-se também a transição da

fase adolescência para adulta, onde as questões sentimentais estão aflorando e as

duvidas em relação decisões para vida profissional são percebidas em seus relatos.

Dessa forma, para iniciar a implementação da unidade didática foi proposta a

primeira atividade aos alunos que consistia na leitura do texto QUADRADO

MÁGICO6 com menções parciais sobre a história do quadrado mágico e questionário

para diagnóstico, onde foi investigado se os alunos sabiam o que é um quadrado

6 Texto adaptado: BARICHELLO; 2008; disponível em:

http://m3.ime.unicamp.br/dl/1IMX3TaowNQ_MDA_ff9ae acessado em: 18/09/2013

mágico ou se já haviam tido conhecimento sobre alguma atividade referente à ele.

Dessa forma, dos dezenove alunos, dezesseis responderam que não

conheciam e ainda ressaltaram que era a primeira vez que tinham lido algo

relacionado a ele, porém demonstraram curiosidade pelo tema, como podemos

observar no relato da aluna A na figura 1.

Figura 1 – Resposta registrada pelos alunos

Fonte: Dados do autor

No entanto, três alunos mencionaram conhecer o quadrado mágico em anos

anteriores, porém como atividade lúdica, como podemos constar no relato da aluna

B na figura 2.

Figura 2 – Resposta registrada pelos alunos

Fonte: Dados do autor

Na seqüência foi proposto o texto OS FASCINANTES QUADRADOS

MÁGICOS 7 composto por figuras, tabelas e seqüências numéricas que tinham como

objetivo conceituar a história do quadrado mágico e aprimorar os conceitos de

seqüência aritmética e razão aritmética. Podemos constatar que todos os alunos não

encontraram dificuldade em definir e diferenciar seqüência numérica e razão

aritmética como podemos verificar no relato do aluno C.

7 Texto adaptado: SANTINHO; MARTINHAGO; 2006; Disponível em

http://www.mat.ufg.br/bienal/2006/mini/miriam.rosa.pdf; acessado em: 18/09/2013

Figura 3 – Resposta registrada pelos alunos

Fonte: Dados do autor

Finalizando essa atividade, foi proposta aos alunos uma tarefa extraclasse em

forma de pesquisa sobre quadrados, pois seria fundamental consolidar alguns

conceitos, entre eles: reta vertical, horizontal e diagonal, pois nas tarefas seguintes

estes seriam necessários, sem mencionar a importância da realização de

investigação matemática em forma de pesquisa, oportunizando ao aluno a

responsabilidade de pesquisar, descobrir e de justificar as suas descobertas, pois

segundo Ponte (2003):

Investigar não resulta de se conhecer a aplicar umas tantas técnicas de recolha de dados, sejam questionários ou entrevistas, e de fazer uma análise estatística ou de conteúdo. Pelo contrário, investigar pressupõe sobre tudo uma atitude, uma vontade de perceber, uma capacidade para interrogar, uma disponibilidade para ver as coisas de outro modo e para pôr em causa aquilo que parecia certo. (PONTE, 2003, p.21)

Após as leituras, apresentações e discussões referente à pesquisa da aula

anterior foi apresentado os conceitos sobre a figura geométrica do quadrado

definindo para os alunos o que é vértice, reta vertical, horizontal e diagonal em forma

de questionário. Na seqüência da tarefa, em uma das atividades os alunos tiveram

que por em prática os conhecimentos adquiridos, fazendo um desenho a punho de

um quadrado com cerca de 9 cm de lado, em seguida, dividiram-no igualmente em

três partes horizontais e três colunas verticais, como pedia a atividade. Pôde-se

constatar com o desenvolvimento desta atividade que os alunos sanaram suas

dúvidas, obtiveram êxito e até mesmo compreenderam de fato, os conceitos como

podemos observar na demonstração do aluno D na figura 4.

Figura 4 – Resposta registrada pelos alunos

Fonte: Dados do autor

Em seguimento, a próxima tarefa tinha como objetivo principal conceituar

elemento numérico, termo central, soma mágica e constante mágica, além de

resolver atividades com quadrado mágico aditivo fundamental. Foi utilizado

COMENTÁRIO INICIAL8 para que os alunos pudessem se familiarizar com os

conceitos e pudessem desenvolver as atividades. Podemos observar indícios que os

alunos não encontraram dificuldades em entender o que é elemento numérico, bem

como na resolução do quadrado mágico por meio da dedução e da investigação

como podemos observar pela resolução da aluna E na figura 5.

8 Texto adaptado: BARICHELLO (2008), disponível em:

http://www.m3.ime.unicamp.br/dl/1IMX3TaowNQ_MDA_ff9ae Acessado em: 18/09/2013

Figura 5 – Resposta registrada pelos alunos

Fonte: Dados do autor

As repostas dos alunos vão ao encontro das afirmações de Ponte (2003), “Os

alunos não sabem o que é uma investigação, mas como é evidente, podem

aprender”.

A atividade seguinte objetivava explorar um pouco mais a disposição dos

números no quadrado mágico fundamental, com outras seqüências numéricas e

tendo como resultados outras somas mágicas, no intuito de aumentar o grau de

dificuldade entre as tarefas induzindo aos alunos uma relação entre as seqüências

numéricas para que na próxima tarefa pudéssemos relacionar os elementos em

progressão aritmética com a posição numérica de cada elemento em um quadrado

mágico fundamental. Constatou-se que a maioria dos alunos conseguiram resolver

as atividades com êxito como demonstrado pela aluna F na figura 6.

Figura 6 – Resposta registrada pelos alunos

Fonte: Dados do autor

Para iniciar atividade seguinte primeiro houve a socialização da pesquisa

extraclasse realizada pelo grupo esta tinha como objetivo investigar os conceitos de

Seqüências Numéricas e Progressão Aritmética PA: (Razão e Termo Geral), para

conceituar através da investigação, dos debates e das discussões os assuntos

pesquisados. Nessa atividade, apurou-se que todos os alunos tiveram êxito na

realização como demonstrado pelo Aluno G na figura 7.

Figura 7 – Resposta registrada pelo aluno G.

Fonte: Dados do autor

Após essa socialização, por meio de uma aula expositiva explicou-se o que

são seqüências numéricas, explorando mais os resultados da pesquisa extraclasse

para um melhor entendimento sobre o que é sucessão, seqüência numérica e termo

geral de uma Progressão Aritmética.

Finalizando as atividades por meio um questionário podemos verificar se os

conceitos da relação existente entre o quadrado mágico e os elementos de

progressão aritmética foram adquirido, complementado pela resposta da aluna H na

figura 8.

Figura 8 – Resposta registrada pelo aluno H.

Fonte: Dados do autor

Assim no decorrer da implementação de conjunto de tarefas investigativas

realizadas com quadrado mágico aditivo favoreceu uma participação dos alunos os

alunos nas aulas de matemática, contribuindo desta forma, no processo de ensino

aprendizagem do conteúdo de progressão aritmética.

4 CONSIDERAÇÕES FINAIS

Objetivo geral deste estudo consistia em mobilizar os alunos 1º ano do ensino

médio nas aulas de matemática contribuindo no processo de ensino aprendizagem

do conteúdo de progressão aritmética por meio de conjunto de tarefas investigativas

realizadas com o quadrado mágico aditivo.

Dessa forma, as tarefas que visavam aproximar a investigação matemática do

contexto escolar por meio de atividades com quadrado mágico aditivo favoreceram o

aprendizado e os alunos estabelecerem uma relação entre os números que formam

o quadrado e uma Progressão Aritmética.

No decorrer da implementação observou-se uma participação efetiva dos

alunos e ao final conseguiram construir um quadrado mágico aditivo. Vale dizer que

nos anos anteriores no qual, não utilizei esta estratégia de ensino não ocorria uma

participação de todos os alunos desta forma, comprometia à aprendizagem dos

mesmos.

Como afirma Ponte (2005, p.23) o professor pode favorecer ou não que os

alunos participem das aulas desta forma, deve “estabelecer uma estratégia

adequada, contemplando diversos tipos de tarefa e momentos próprios para

exploração, reflexão e discussão, o professor dá um passo importante para criar

oportunidades que favoreçam a aprendizagem dos alunos”.

Diante disso, fica evidenciado que o professor deve entender que as

pesquisas são uma fonte rica para melhorar sua ação pedagógica. O PDE, como

uma proposta de formação continuada, é de extrema importância, para oportunizar

os professores uma aproximação nas pesquisas que visam à melhoria do ensino.

5 REFERÊNCIAS

BARICHELLO, Leonardo; 2008; O experimento, quadrado mágico aditivo, números e funções; Unicamp, disponível em: http://m3.ime.unicamp.br/dl/1IMX3TaowNQ_MDA_ff9ae acessado em 18/09/2013.

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