OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE NA … · UNIDADE 3: POLÍGONOS REGULARES E NÃO...
52
Versão On-line ISBN 978-85-8015-075-9 Cadernos PDE OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE NA PERSPECTIVA DO PROFESSOR PDE Produções Didático-Pedagógicas
Transcript of OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE NA … · UNIDADE 3: POLÍGONOS REGULARES E NÃO...
Versão On-line ISBN 978-85-8015-075-9Cadernos PDE
OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSENA PERSPECTIVA DO PROFESSOR PDE
Produções Didático-Pedagógicas
0
SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO
SUPERINTENDÊNCIA DA EDUCAÇÃO
PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL – PDE
ADRIANA MARIA ALVES
A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS COMO METODOLOGIA DE ENSINO EM
GEOMETRIA: CONSTRUÇÃO DE MOSAICOS
Material Didático (caderno pedagógico) para Intervenção Pedagógica na Escola, apresentado à Secretaria Estadual de Educação do Estado do Paraná, como requisito parcial à obtenção do título de Professor PDE, sob a responsabilidade da Universidade Estadual de Maringá - UEM, tendo como orientadora, a Professora Ms. Terezinha Aparecida Corazza Pereira.
MARINGÁ/PR
DEZEMBRO/2013
1
SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO
SUPERINTENDÊNCIA DA EDUCAÇÃO
PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL – PDE
ADRIANA MARIA ALVES
A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS COMO METODOLOGIA DE ENSINO EM
GEOMETRIA: CONSTRUÇÃO DE MOSAICOS
MARINGÁ/PR
DEZEMBRO/2013
2
SUMÁRIO
APRESENTAÇÃO ................................................................................................... 3
INTRODUÇÃO ........................................................................................................ 4
1 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ............................................................................ 5
2 UM BREVE HISTÓRICO SOBRE OS MOSAICOS .............................................. 8
3 OBJETIVO GERAL .............................................................................................. 10
4 DESENVOLVIMENTO ......................................................................................... 10
UNIDADE I: A ARTE E OS MOSAICOS ................................................................. 10
UNIDADE II: OS MOSAICOS NA NATUREZA E CONSTRUÇÃO .......................... 14
UNIDADE 3: POLÍGONOS REGULARES E NÃO REGULARES
CONVEXOS E NÃO CONVEXOS E MOSAICOS .............................. 20
UNIDADE IV: CLASSIFICAÇÃO DOS POLÍGONOS, SEUS VÉRTICES,
ARESTAS, LADOS, SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS E
EXTERNOS ....................................................................................... 25
UNIDADE V: SIMETRIA E DIAGONAIS DE UM POLÍGONO ................................. 26
UNIDADE VI: CONSTRUÇÃO DE POLÍGONOS REGULARES: TRIÂNGULO,
QUADRADO E HEXÁGONO COM VARETAS E BOLINHAS DE
ISOPOR ............................................................................................. 35
UNIDADE VII: SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS E EXTERNOS
DE UM POLÍGONO............................................................................ 36
UNIDADE VIII: ÁREA E PERÍMETRO DOS POLÍGONOS ..................................... 41
UNIDADE IX: CONSTRUÇÃO DE POLÍGONOS REGULARES: TRIÂNGULO,
QUADRADO, PENTÁGONO E HEXÁGONO, UTILIZANDO RÉGUA
E COMPASSO ................................................................................... 43
UNIDADE X: CONSTRUÇÃO DE MOSAICOS GEOMÉTRICOS COM
POLÍGONOS REGULARES ............................................................... 47
UNIDADE XI: CONSTRUÇÃO DE UMA EXPRESSÃO GEOMÉTRICA
UTILIZANDO TRAÇADOS DE RETAS .............................................. 47
UNIDADE XII: COMPOSIÇÃO ARTÍSTICA COM FIGURAS GEOMÉTRICAS
NO LABORATÓRIO DE INFORMÁTICA ........................................... 48
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ........................................................................ 50
3
APRESENTAÇÃO
O presente material é resultado do Programa de Desenvolvimento
Educacional – PDE, enquanto política de formação continuada e de valorização dos
Professores – da Rede Pública Estadual de Ensino do Estado do Paraná, em
parceria com o Ensino Superior. O material didático aqui apresentado, sob a forma
de Caderno Pedagógico, foi elaborado em consonância com o objeto de estudo
sobre o tema “ A resolução de problemas como metodologia de ensino em
Geometria: construção de mosaicos”, na área de Matemática, no período referente
ao 2º semestre do ano de 2013. As atividades do Programa foram realizadas na
Universidade Estadual de Maringá – UEM, sob a orientação da Professora Ms.
Terezinha Aparecida Corazza Pereira.
Esta produção permitirá a reflexão teórica sobre a prática, promovendo uma
discussão sobre a utilização da resolução de problemas como recurso metodológico.
Será implementada no 1º semestre do ano de 2014, no Colégio Estadual Dr. Felipe
Silveira Bittencourt, em Marialva, núcleo de Maringá para alunos do 8° ano do
Ensino Fundamental – Fase II.
As atividades aqui apresentadas têm importância na formação de conceitos
matemáticos por meio de uma metodologia diferenciada que pode auxiliar
professores e alunos no processo de ensino-aprendizagem em geometria,
construção de mosaicos.
4
INTRODUÇÃO
Os livros didáticos, na maioria das vezes, abordam de maneira muito
superficial e ineficaz a resolução de problemas, tratando-os somente como fixação
de conteúdos e não como uma tendência metodológica.
Geralmente, os conteúdos de Geometria são abordados no final do período
letivo, na maioria das vezes não dá tempo, então, os alunos vão deixando de ter
acesso a vários conceitos de extrema importância para sua vida.
Raramente, ao se propor o ensino de conteúdos de Geometria as construções
geométricas são abordadas, as atividades são oferecidas prontas aos alunos, quase
não são manuseados régua e compasso, importantes instrumentos que contribuem
na construção dos conceitos geométricos e matemáticos.
Muitos conceitos da Geometria vão deixando de ser aprendidos pelos alunos,
influenciando, negativamente, em toda a aprendizagem em Matemática.
Estudos recentes revelam essa defasagem em Geometria com construções
geométricas, resultados de avaliações institucionais demonstram claramente esse
problema que norteia o ensino de Matemática.
O caderno pedagógico tem como meta dar maior ênfase e importância ao
ensino da Geometria com construções de mosaicos, fazendo uso da régua e
compasso, que é base para o entendimento de muitos conceitos e conteúdos
matemáticos, desenvolvendo nos alunos com esse trabalho diferenciado o
pensamento geométrico.
5
1 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
No decorrer das décadas, muito tem se falado e escrito sobre as defasagens
do ensino de Matemática em todos os níveis de escolarização, mais especificamente
no que se refere ao ensino da Geometria. Ensinar Geometria é um problema para
muitos professores, por vários motivos; algumas vezes por falta de bom
conhecimento sobre o assunto, de como abordá-lo, pela falta de motivação dos
alunos pelos conteúdos apresentados na maioria das vezes por meio de fórmulas
que devem ser decoradas, dificilmente manuseando régua e compasso.
Desta forma, há uma necessidade urgente de se implementar formas variadas
de se trabalhar os conteúdos de Geometria, devido a sua importância no contexto
escolar e no cotidiano. Faz-se necessário buscar metodologias diferenciadas de
trabalhar tais conteúdos, bem como as construções geométricas, no ensino
fundamental, metodologias estas que possam tornar a aprendizagem mais
significativa e que contribuam positivamente na formação do pensamento
geométrico do aluno.
Ao relacionar a Geometria com a arte busca-se promover o conhecimento
aliado à criatividade, para que o conhecimento matemático formatizado oportunize a
construção de mosaicos, faixas decorativas e composição de obras com mosaicos
utilizando figuras geométricas.
Desta forma, pode-se fazer relação entre a Geometria e a construção
geométrica, favorecendo e facilitando o processo de ensino e aprendizagem de
Geometria.
[...] Não há Geometria sem régua e compasso. Quando muito, há apenas meia geometria, sem os instrumentos euclidianos. A própria designação Desenho Geométrico me parece inadequada. No lugar, prefiro construções geométricas. Os problemas de construções são parte integrante de um bom curso de Geometria. O aprendizado das construções amplia as fronteiras do aluno e facilita muito a compreensão das propriedades geométricas, pois permite a “concretização”. Vejo a régua e o compasso como instrumentos que permitem “experimentar”. Isso por si só, dá uma outra dimensão aos conceitos e propriedades geométricas. (PUTNOKI, apud ZUIN, 2002, p. 9)
Segundo OCHI (1997, p. 9), existem muitos professores que reconhecem que
o ensino da Geometria se faz necessário e é importante, mas para que isso se
concretize de maneira eficiente e satisfatória, há ainda um problema em como
estabelecer quais conceitos e como devem ser abordados nas aulas de Matemática
6
para que os alunos se apropriem deles. Desta forma, a Geometria ensinada nas
aulas de Matemática, quando abordada, é fragmentada e descontextualizada, como
a maioria dos conteúdos da disciplina, favorecendo assim, para uma aprendizagem
defasada e sem significados para a maioria dos alunos.
Pensando desta forma, podemos evidenciar cada vez mais da necessidade
de se abordar o ensino da Geometria de uma maneira mais contextualizada, na qual
o aluno possa enxergá-la no seu cotidiano, suas aplicações, propiciando, assim,
uma aprendizagem significativa e eficaz.
Então, o trabalho em Geometria, com construção de mosaicos, usando régua
e compasso é de suma importância, pois os mosaicos se fazem presente no nosso
cotidiano, e por meio deles poderão ser abordados vários conceitos matemáticos e
suas aplicabilidades, possibilitando que, os próprios alunos possam fazer suas
indagações, aprendendo com seus acertos e “erros”, construindo assim, seu
pensamento geométrico.
Devemos mostrar aos alunos a utilidade prática da Geometria no decorrer da
história, trabalhando com curiosidades e fatos, bem como o seu uso para responder
às indagações da própria Matemática.
Sabemos que a Geometria e o raciocínio criativo oportunizaram muitas
descobertas científicas, dentre elas, devido Eratóstenes, (matemático grego, do
século III a.C.), a descoberta do comprimento de uma volta em torno da Terra sem
viajar, algo impossível na época> Neste cálculo Eratóstenes cometeu um erro de
menos de 10%, um grande feito aquele tempo.
Um exemplo da aplicação prática da Geometria se refere aos mosaicos, que
apresentam um padrão geométrico que se repete aliando precisão matemática e
estética, trazendo um grande número de conceitos, os quais muitas vezes se têm
dificuldades em torná-los interessantes.
É de grande importância possibilitar que os alunos possam construir figuras
geométricas, manuseando régua e compasso, visualizando suas características e
propriedades, podendo assim, de forma mais objetiva e clara, construir seus próprios
conceitos e pensamento geométrico.
O ensino da Geometria, por meio da resolução de problemas, possibilita ao
aluno a construção do seu conhecimento, opinando e esclarecendo suas dúvidas,
podendo trocar ideia com seus pares e efetivar de maneira autônoma e eficaz sua
aprendizagem.
7
De acordo com os Parâmetros Nacionais Curriculares (PCN’s), o ensino
através da resolução de problemas é um método que tem como pré-requisitos fazer
com que os alunos pensem matematicamente e agucem a sua autonomia
matemática, não se restringindo apenas a aprender meras fórmulas prontas e
métodos mecânicos de resolução.
É fundamental que os professores propiciem aos alunos momentos de reflexão,
que se sintam capazes de solucionar problemas propostos a partir de seus
pressupostos, podendo ampliar seus conhecimentos matemáticos e desenvolvendo
aptidões cognitivas.
“a resolução de problemas é uma aptidão cognitiva altamente complexa que caracteriza uma das atividades humanas mais inteligentes”. (RABELO, 2002, p. 77).
O professor desempenha um papel importantíssimo nesse processo de
resolução de problemas. Cabe a ele indagar, instigar e desafiar a curiosidade dos
alunos, propondo problemas compatíveis com sua idade e nível intelectual,
proporcionando a eles os meios necessários para atingir o objetivo da atividade.
O ensino da Matemática vai muito além do que apenas calcular dados, deve
levar ao estabelecimento das relações, de forma que o aluno desenvolva habilidades
e competências necessárias e primordiais ao seu desenvolvimento.
Nesta perspectiva de aprendizagem, podem estar, dentre outras
metodologias, o ensino da Geometria com mosaicos, por meio da resolução de
problemas, podendo proporcionar aos alunos uma aprendizagem mais participativa
e concreta, mais significativa e de interesse do aluno, na qual ele próprio poderá
formular suas respostas, de acordo com seu pensamento e conhecimentos já
apropriados.
A resolução de problemas como metodologia de ensino, proporciona aos
alunos uma forma mais ampla de desenvolver suas habilidades de autonomia e
construção do conhecimento, levando-os à condição de serem capazes de
formularem suas respostas, levando-os a aprender a aprender. O ensino baseado
na resolução de problemas pressupõe promover nos alunos o domínio de
procedimentos, assim como a utilização dos conhecimentos disponíveis, para dar
resposta a situações variáveis e diferentes. (POZO e ECHEVERRÍA, 1998, p. 9).
Quando se ensina por meio da resolução de problemas, contribui-se para que
8
os alunos desenvolvam a capacidade de investigação e de aprender a aprender.
Desta maneira, são habituados a determinar, por si próprios, respostas às questões
que lhes são propostas, sejam elas escolares ou cotidianas, ao invés de se esperar
uma resposta pronta e acabada.
Ao propor o trabalho com a Geometria, construindo mosaicos, por meio da
resolução de problemas, tem como objetivo maior, demonstrar ao aluno que a
Matemática faz parte do cotidiano e que todos podem aprendê-la de maneira sólida,
prazerosa e eficaz. Diferentes metodologias contribuem para a construção do
pensamento geométrico e autonomia do aluno tanto na aprendizagem, como na
vida.
2 UM BREVE HISTÓRICO SOBRE MOSAICOS
A palavra mosaico se origina do termo “mosaicon” que significa “musa”,
algumas fontes traduzem como “paciência das musas” e tecnicamente falando:
mosaicos são composições pictóricas formadas por pedras muito pequenas
multicoloridas de aspecto brilhoso, que revestem uma parede. Os mosaicos estão
entre as primeiras manifestações culturais dos homens.
Nas suas primeiras aplicações, o uso de mosaicos foi encontrado num antigo
pavimento de uma vila e em aplicações de revestimento e embelezamento de
edifícios na antiga Suméria, no ano 3000 a.C..
O mosaico foi uma forma de arte que cobriu principalmente dois períodos da
história. O primeiro período greco-romano, desde Alexandre, O Grande, até a queda
de Roma, tais como: “a batalha de Isus” (século II a.C.), mais tarde nos mosaicos
preto e branco encontrados em Pompeia e as aplicações policromáticas feitas no
reino Adriano. No segundo período, conhecido como paleocristão e Bizantino, a
aplicação dos mosaicos é feita em paredes e tetos, assim como os mosaicos de
vidro e de ouro que eram aplicados em vitrais de igrejas. Os mosaicos atingiram um
pico de evolução, mas cederam espaço à pintura, só voltando com alguma força
quando é realizada a imagem da Anunciação, na Catedral de Florença.
No século XVII, Roma retorna à formação de mosaicistas, devido em
grande parte à decoração da Basílica de São Pedro, atingindo seu maior pico de
apreciação e utilização no período romano.
No século XX, a arte do mosaico não consegue responder às exigências
9
do mercado e aos desejos da sociedade contemporânea, que procura tempos curtos
de execução e baixo custo, havendo desta forma, uma necessidade de reformulação
progressiva nos métodos de fabricação dos mosaicos, no seu sistema de produção
e na sua capacidade de resposta às crescentes exigências do mercado e da
sociedade.
Surgiram assim, novos produtos, descendentes dos antigos mosaicos,
conseguindo competir no mercado, promovendo um método indireto na produção
dos mosaicos, chegando estes às obras já fabricadas e prontas para serem
aplicadas. Desta forma, os mosaicos entram no terceiro milênio e no futuro.
Dentro da história dos mosaicos, podemos citar o holandês Maurits Cornelis
Escher, que nasceu em 17 de junho de 1898 e veio transformar o mundo das artes e
da Matemática dos mosaicos. Escher utilizava em seus trabalhos a técnica da
gravura sobre metal, madeira, pedra, etc., o que permitia a obtenção de muitas
cópias de uma mesma obra.
Em uma de suas viagens pela Espanha, visitou o Palácio de Alhambra e a
Mesquita, em Córdoba, interessou-se pelos mosaicos geométricos que os adornam,
os quais estudou minuciosamente. E a partir de então suas obras enriqueceram-se
de elementos geométricos.
Em 1972, quando faleceu, suas obras já tinham sido expostas nos principais
museus e galerias da Europa e da América do Norte, sendo reconhecido pela
notável combinação de sensibilidade, precisão técnica e conhecimento matemático.
As aplicações da Matemática em suas produções não se limitaram aos
mosaicos geométricos regulares, utilizou também malhas curvas, espiraladas e
módulos variáveis, além de perspectivas e sólidos geométricos.
No Brasil, o mosaico foi utilizado por Cândido Portinari, Di Cavalcanti e Tomie
Ohtake em diversas de suas obras. Ele ainda é utilizado, principalmente na
construção civil em imensos painéis, na decoração de piscinas e em pisos e paredes
dos mais diversos ambientes.
A partir deste breve histórico, serão utilizados os mosaicos para mostrar que o
ensino de geometria plana pode ser trabalhado de uma forma contextualizada.
Serão estudados os polígonos regulares que formam os mosaicos geométricos, bem
como o estudo da medida de seus ângulos internos e externos.
10
3. OBJETIVO GERAL
Desenvolver o ensino da Geometria por meio da resolução de problemas
como metodologia de ensino aliada à arte de mosaicos, demonstrando aos alunos o
uso das formas geométricas e suas aplicações no cotidiano.
4. DESENVOLVIMENTO
UNIDADE I: A ARTE E OS MOSAICOS
Objetivo
Identificar os diferentes polígonos utilizados na construção dos mosaicos nas
obras de arte.
Estratégia
Conversa sobre as diferentes profissões, o dom que as pessoas têm para
ensinar, tratar os doentes, construir nossas casas (vários exemplos, para as artes,
concluir que o que desenhará é uma arte).
Apresentação do vídeo: “Mosaicos geométricos”,
(http://www.youtube.com/watch?v=ENbS7Y-j1kw, Acesso em 30/11/2013) sobre as
obras de artes com mosaicos.
Serão abordados os diferentes tipos de obras artísticas citados utilizando
mosaicos, a criatividade e os polígonos utilizados.
Conteúdo
A arte, as figuras geométricas e o mosaico.
Avaliação
Observação pelo professor da participação dos alunos durante a explanação
e execução das atividades propostas.
11
DESCRIÇÃO DAS ATIVIDADES
Atividade 1
1. Após a execução do vídeo, fazer alguns questionamentos sobre o que foi
visto?
2. O que vocês observam que essas obras têm em comum?
3. Que tipos de figuras foram usados?
4. Elas têm algo em comum? O quê?
5. Todas as obras de arte seguem esse padrão?
6. Vocês gostam de apreciar obras de arte? Já tiveram acesso? Gostariam de
ter?
7. Após as discussões, conversar com os alunos sobre o que são polígonos,
sua classificação quanto ao número de lados, regulares e ângulos internos;
8. Registrar as informações adquiridas pelos alunos.
Atividade 2
1) Analisar os mosaicos abaixo e classificar quantos e quais polígonos foram
utilizados para a sua construção:
a)
12
b)
c)
d)
13
e) Construir uma faixa decorativa utilizando as malhas abaixo:
Fonte: http://portuguese.alibaba.com/products/mesh-for-mosaic-tiles.html. Acesso em 30/11/2013.
Agora, responda:
a) Que polígonos foram utilizados nas malhas?
b) Quantos polígonos diferentes foram utilizados em cada malha?
14
1) Classifique as figuras abaixo em polígono (P) e não polígono (NP):
2) Nomear os polígonos encontrados na atividade anterior.
UNIDADE II
OS MOSAICOS NA NATUREZA E CONSTRUÇÕES
Mosaicos são uma das mais bonitas aplicações práticas da geometria. Aliam
precisão matemática, senso estético e um grande número de conceitos, que muitas
vezes temos dificuldade de enxergá-los. Por isso, analisaremos essas
características presentes na natureza e edificações em geral.
Objetivos
Identificar os diferentes polígonos existentes nas figuras analisadas;
Construir mosaicos nas malhas quadriculada e triangular.
Estratégias
Análise das diversas figuras de mosaicos existentes na natureza e
edificações.
15
Utilização do geoplano na construção de polígonos regulares.
Conteúdo
Mosaicos e polígonos regulares.
Material
Figuras de mosaicos existentes na natureza, construções e
pavimentações;
Geoplano.
Avaliação
Participação dos alunos e execução das atividades propostas.
DESCRIÇÃO DAS ATIVIDADES
Atividade 1
1. Divididos em grupos de 4 elementos, será distribuído aos alunos diferentes
figuras ( abacaxi, milho, tartaruga, pele de cobra, calçada de Copacabana, colmeia)
de mosaicos existentes, envolvendo polígonos regulares e também irregulares que
estão presentes na natureza, nas calçadas das ruas, revestimentos de paredes e
construções, deixando que explorem à vontade com seus pares as características
das figuras.
2. Que figuras você encontrou? Compare suas respostas com as de seus
colegas.
3. Essas figuras recebem um nome, vocês conhecem? Qual?
4. Essas figuras recebem nomes especiais? Que nomes são?
5. O que elas possuem em comum? Que nome eles recebem?
6. Elas são desenhadas ordenadamente, que nome se dá a esse fato?
7. Que figuras foram utilizadas na construção dos mosaicos?
8. Que nome recebem esses polígonos?
9. Por que eles recebem esses nomes?
16
10. Que características eles têm em comum? Que nome recebem?
11. Por que são chamados de polígonos regulares?
12. Agora vamos produzir um texto coletivo sobre o assunto discutido.
Atividade 2
A NATUREZA ENSINA
Os animais invertebrados são geralmente pequenos, mas quando eles se
reúnem em grupo, é impressionante o que eles conseguem fazer...
Fonte: https://www.google.com.br/search?q=colmeia&tbm=isch&hl=pt-BR Acesso em 30/11/2013.
1) O que você sabe sobre as abelhas? Troque ideias com seus colegas de
grupo.
2) Unindo os pontos do geoplano com elásticos coloridos, você poderá obter
um desenho com algo semelhante à construção das abelhas. Use elásticos coloridos
e mãos à obra.
.
17
Atividade 3
A natureza, além de oferecer ao homem tudo o que ele necessita para sua
subsistência, oferece elementos que estimulam seu raciocínio e criatividade.
1) O que o desenho do abacaxi e do milho tem em comum com a colmeia?
As formas encontradas nos elementos da natureza são produzidas pelo
homem no desenho, nas artes e construções.
Qual das figuras abaixo você usaria para fazer a representação da
colmeia?
E do abacaxi?
E do milho?
a) b)
c)
Faça um desenho usando:
a) A forma da figura a. b) A forma da figura b. c) A forma da figura c.
Fonte:https://www.google.com.br/search?newwindow=1&hl=pt-BR&tbm=isch&sa=1&q=milho &oq=milho&gs_l=img.3..0l10.310762.313882.0.314958.18.9.0.0.0.0.531.1373.1j3-2j0j1.4.0....0...1c.1.32.img..15.3.983.B7nb6caP9CQ Acesso em 30/11/2013.
Fonte: https://www.google.com.br/search?new window=1&hl=pt-BR&tbm=isch&sa=1&q= abacaxi&oq=abacaxi&gs_l=img.1.0.0l10.33745.36990.0.38363.11.9.0.1.1.0.390.1623.1j2j2j2.7.0....0...1c.1.32.img..4.7.1249.W9qu0-_Gk3I Acesso em 30/11/2013.
18
Atividade 4
Apresentação do vídeo: “Polígonos regulares e mosaicos”,
(http://www.youtube.com/watch?v=NCeL6wFFHXk. Acesso em 30/11/2013)
Os mosaicos são formados por polígonos regulares, então, devem ser
consideradas duas condições importantes sobre eles para a sua construção.
1. Se dois polígonos regulares intersectam, então essa interação é um lado
ou um vértice comum;
2. A distribuição dos polígonos regulares ao redor de cada vértice é sempre a
mesma.
Desta forma, são exemplos de mosaicos no plano que satisfazem as duas
condições estabelecidas.
Fonte: https://www.google.com.br/search?q=mosaicos+geometricos&tbm=isch&hl=pt-BR#imgdii=_ Acesso em 01/12/2013
Para a construção dos mosaicos, deve-se conhecer a medida dos ângulos
internos dos polígonos regulares.
19
Atividade 5
Após discutir juntamente com o professor sobre a construção de mosaicos
com figuras geométricas, observe as malhas abaixo e responda aos
questionamentos:
a)
b)
c)
20
Agora, responda:
a) Todas as malhas satisfazem às duas exigências na construção de mosaicos?
Justifique sua resposta.
b) Esses polígonos recebem um nome especial quanto ao número de lados.
Vocês sabem seus respectivos nomes? Em caso afirmativo nomeie-os.
c) Construir um mosaico utilizando pelo menos ddois polígonos diferentes.
UNIDADE III
POLÍGONOS REGULARES, NÃO REGULARES (IRREGULARES), CONVEXOS, E
NÃO CONVEXOS (CÔNCAVOS) E MOSAICOS
Objetivos
Identificar os polígonos regulares e irregulares;
Classificar os polígonos em côncavo ou convexo;
Nomear seus ângulos internos e externos, ângulos, vértices, lados e
arestas.
Identificar e construir mosaicos com polígonos regulares;
Calcular perímetro e área do mosaico construído.
Estratégias
Apresentar os vídeos: “Polígono regular
(http://www.youtube.com/watch?v=dvromS5_IpA Acesso em 30/11/2013),
“Polígonos convexos” (http://www.youtube.com/watch?v=VTksauRC9ps Acesso em
30/11/2013) e “ Conhecendo os mosaicos”,(http://www.youtube.com/watch?
v=MEu7KZj8_vo Acesso em 30/11/2013).
Os vídeos falarão sobre o que são polígonos regulares e irregulares, convexo
e não convexo, bem como a classificação e nomenclatura desses polígonos.
Definição e construção de mosaicos na malha.
21
DESCRIÇÃO DA ATIVIDADE
1. Após a execução do vídeo: Polígonos regulares, convexos e não convexos,
fazer alguns questionamentos sobre o que foi visto?
2. O que são polígonos regulares? E irregulares?
3. Oque são polígonos convexos? E não convexos?
4. Como são classificados os polígonos?
5. O que são mosaicos?
6. Que figuras foram utilizadas na construção dos mosaicos?
7. Que nome recebem esses polígonos?
8. Por que eles recebem esses nomes?
9. Que características eles têm em comum? Que nome recebem?
10. Por que são chamados de polígonos regulares?
Atividade 1
1) Observe as figuras abaixo com muita atenção, separe-as em dois grupos:
Polígonos convexos Polígonos não convexos
22
2) Numere e classifique todos os polígonos do exercício 1 de acordo com o
número de lados.
3) Observe o polígono, nomeie todos os seus vértices, trace todas as suas
diagonais e depois responda:
a) Quais e quantas são as diagonais desse polígono?
4) Quais são os vértices, os lados, o número de lados, o número de ângulos
internos e o nome de cada polígono.
a)
A B
F C
E D
Vértices:.......................
Lados:...........................
Nº de lados:..................
Ângulos:........................
Nome:...........................
b)
A
B D
C
Vértices:..................
Lados:......................
Nº de lados:.............
Ângulos:...................
Nome:......................
c)
A
B E
C D
Vértices:...................
Lados:.......................
Nº de lados:..............
Ângulos:....................
Nome:.......................
23
5) Existem inúmeras figuras geométricas que se podem construir com
hexágonos regulares e iguais, unidos por um ou vários lados. Na figura, observa-se
uma dessas figuras geométricas com seis hexágonos.
Na malha triangular que se segue, construir uma figura com seis hexágonos
iguais, mas diferente da figura 1, e cujo perímetro seja:
a) igual ao da figura 1 b) diferente do da figura 1.
6. A partir da malha quadriculada construir um mosaico utilizando pelo menos
dois polígonos regulares diferentes.
24
Calcule o perímetro de cada polígono utilizado.
a) Calcule a área de cada polígono utilizado.
b) Calcule o perímetro do mosaico.
c) Calcule a área do mosaico.
9. A partir da malha triangular construir um mosaico utilizando pelo menos dois
polígonos regulares diferentes.
a) Calcule o perímetro dos polígonos utilizados.
b) Calcule a área dos polígonos utilizados.
c) Calcule o perímetro do mosaico.
d) Calcule a área do polígono.
10. Colorir os mosaicos construídos.
11. Trazer para a próxima aula figuras de mosaicos existentes na natureza,
revestimentos de calçadas e edificações.
25
UNIDADE IV
CLASSIFICAÇÃO DOS POLÍGONOS, SEUS VÉRTICES, ARESTAS, LADOS,
SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS E EXTERNOS
Objetivos
Classificar os polígonos quanto ao número de lados;
Reconhecer seus vértices, arestas e lados;
Calcular o número de vértices, arestas e lados de um polígono;
Calcular a soma dos ângulos internos e externos de um polígono.
Estratégias
Construir polígonos com varetas, destacando seus lados, vértices, arestas,
bem como sua classificação e ângulos internos e externos.
Conteúdos
Classificação dos polígonos;
Número de vértices, arestas e lados de um polígono;
Ângulos internos e externos de um polígono.
Avaliação
Participação e envolvimento dos alunos nas atividades propostas.
Atividade 1
Material
Varetas de madeira;
Bolinhas de isopor.
26
DESCRIÇÃO DA ATIVIDADE
1. Em grupos de 4 elementos, os alunos construirão triângulos, quadrados,
pentágonos e hexágonos regulares com as varetas e bolinhas de isopor;
2. A partir desta construção, por meio de indagações do professor, os alunos
identificarão seus ângulos, vértices, arestas, lados e suas particularidades. Fazendo
registro das conclusões no quadro de giz, pelo professor, e no caderno pelos alunos;
Preencha a tabela:
POLÍGONO Nº
VÉRTICES
Nº ARESTAS Nº LADOS Nº ÂNGULOS
Triângulo
Quadrado
Pentágono
Hexágono
UNIDADE V
SIMETRIA E DIAGONAIS DE UM POLÍGONO
Objetivos
Reconhecer os eixos de simetria dos polígonos;
Traçar as diagonais dos polígonos;
Calcular o número de diagonais de um polígono qualquer.
Estratégias
Por meio das figuras trazidas pelo alunos e as que a professora oferecer,
reconhecer os polígonos existentes na natureza, construções e pavimentações, suas
diagonais e simetria.
Material
Figuras de mosaicos existentes na natureza, edificações e pavimentações;
Figura de triângulos, quadriláteros, pentágonos e hexágonos.
27
TEIA DE ARANHA
De um lugar estratégico, Rodolfo observa uma pequena aranha que busca no
terraço da casa um bom lugar para montar sua armadilha: sua teia.
Atividade 1
Você sabe por que a aranha faz sua teia?
Você sabe como a aranha faz sua teia?
Converse sobre esse assunto com seus colegas do grupo e leia com
atenção o relatório de Rodolfo.
Relatório sobre a Teia da Aranha
1. De um galho de uma planta a aranha lança um fio de seda. A
corrente de ar leva a extremidade do fio que gruda em outro
galho.
2. Depois ela anda sobre esse fio até a outra extremidade,
soltando atrás de si um outro fio mais forte.
Ela volta para o lugar onde estava soltando um fio frouxo. Depois
caminha até o centro do fio frouxo e lança outro fio para baixo. Então, ela
salta para um galho mais abaixo e fixa ali a extremidade desse fio.
A figura que ela fez é semelhante à letra Y fechado em cima.
3. O centro do “Y” é o centro da teia. Desse centro a aranha continua
28
distribuindo fios, como os raios de uma roda de bicicleta. Ela tece mais
ou menos 50 raios.
3. Do meio da teia a aranha começa a tecer linhas em espiral em
torno do centro.
Depois volta pelo mesmo caminho da espiral, reforçando a teia e
deixando-a pegajosa. O centro da teia não é grudento, pois é lá que a
aranha fica.
Fonte: http://portal.mec.gov.br/index.php?option=com_content&id=269&Itemid=333. Acesso em 30/11/2013.
Atividade 2
Olhe com cuidado as imagens da atividade 1.
a) Que figuras geométricas você pode observar na teia da aranha?
b) Quais delas são polígonos?
Atividade 3
A aranha vai ligando pontos e construindo sua teia. Ela não conhece outra
maneira de sobreviver.
Com o homem, deve ser diferente; usando sua inteligência, vai ligando
pontos, não para construir armadilhas, mas para construir seu conhecimento e uma
vida melhor.
1. Você concorda com essas afirmações?
2. Converse com seus colegas a respeito.
3. Use uma régua e ligue todos os pontos abaixo entre si.
29
Atividade 4
Analisando os resultados da atividade anterior.
1. Os segmentos de reta azuis são os lados do pentágono. E como se
chamam os segmentos de reta vermelhos?
2. Quantas diagonais tem o pentágono?
3. No geoplano construir um polígono, cada grupo poderá construir diferentes
polígonos entre si, utilizar uma cor de elástico para os lados, depois com outra cor
traçar todas as diagonais possíveis partindo de todos os vértices.
a) A partir das construções poderá ser concluído que:
Seja um polígono de n lados:
Fonte: http://jmpgeo.blogspot.com.br/2011/11/polignos-convexos.html. Acesso em 30/11/2013.
a) cada vértice dá origem a (n - 3) diagonais;
4 Que figura você obteve?
5 Ligue os pontos AC, AD, BC, BD, BE e CD
6 Pinte de azyl os lados dessa figura e de vermelho os demais traçados.
30
b) os n vértices dão origem a n.(n - 3) diagonais;
c) dividimos o resultado por 2 ( cada diagonal foi contada duas vezes).
Assim:
d=n . n− 3
2
d) Complete a tabela com as informações coletadas:
POLÍGONO
Nº
VÉRTICES
Nº
ÂNGULOS
Nº
LADOS
Nº DIAGONAIS
Atividade 5
1. Trace uma circunferência de raio r, na folha de papel ofício.
2. Utilizando o transferidor, divida a circunferência em n partes iguais 3600
n .
É interessante que, numa mesma turma, os grupos tomem valores diferentes para n.
3. Una os pontos consecutivos determinados sobre a circunferência, obtendo
um polígono regular de n lados.
4. Com o lápis de cor, trace todas as diagonais do polígono.
5. Verifique o número de diagonais traçadas em cada vértice.
6. Procure estabelecer uma relação entre o número de diagonais feitas em
cada vértice e o número de lados do polígono. Verifique o número total de diagonais
traçadas.
7. Procure estabelecer uma relação entre o número total de diagonais e o
B C
D
E F
A
31
número de lados do polígono.
8. Fixe a folha de papel na madeira e finque pregos nos vértices do polígono.
9. Com os fios de linha coloridos, contorne os pregos não consecutivos,
estabelecendo as diagonais do polígono. Identificar e contar as diagonais dentre
todos os segmentos de retas obtidos.
O professor deve conduzir as atividades de tal modo que os alunos percebam
que o número de diagonais feitas em cada vértice é de n – 3 e que o número total de
diagonais de um polígono regular é de d=n⋅ n− 3
2.
Atividade 6
a) Este mosaico é um exemplo de mosaico construído com dois tipos de
peças geométricas. Reproduzir esse mosaico e pintar como achar melhor.
32
b) A figura abaixo é formada pela união de dois hexágonos e possui dois
eixos de simetria:
d) Fazer no caderno, um desenho unindo dois trapézios para fazer uma figura
que possua 2 eixos de simetria.
Com losangos e com trapézios fazer figuras sem eixos de simetria e com
um eixo de simetria.
33
b) Pintar o mosaico abaixo de forma que as figuras iguais entre si tenham a
mesma cor.
Esse mosaico é formado por quais peças?
Esse mosaico possui eixo de simetria? Quantos?
c) Observe as figuras abaixo e construa dentro de cada uma o mosaico que
se pede:
Com um eixo de simetria
Sem eixo de simetria
34
Atividade 5
a) Observar os desenhos no quadriculado e reproduzir obedecendo o eixo de
simetria:
35
UNIDADE VI
CONSTRUÇÃO DE POLÍGONOS REGULARES: TRIÂNGULO, QUADRADO E
HEXÁGONO COM VARETAS E BOLINHAS DE ISOPOR
Objetivos
Identificar ângulos, vértices e arestas de um polígono;
Nomear seus vértices, arestas e ângulos.
Material
Varetas;
Bolas de isopor.
DESCRIÇÃO DAS ATIVIDADES
Atividade 1
1. Análise das figuras trazidas pelos alunos e as usadas em aula anterior,
suas características particulares, ângulos, vértices, arestas e lados;
2. Eixos de simetria dos polígonos existentes nos mosaicos;
3. Montagem de um mural com as figuras usadas na construção dos
mosaicos e os eixos de simetria dos polígonos encontrados.
Atividade 2
1. Em grupos de 4 elementos, os alunos construirão triângulos, quadrados e
hexágonos regulares com as varetas e bolinhas de isopor;
2. A partir desta construção, por meio de indagações do professor, os alunos
identificarão seus ângulos, vértices, arestas, lados e suas particularidades. Fazendo
registro das conclusões no quadro de giz, pelo professor, e no caderno pelos alunos;
36
UNIDADE VII
SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS E EXTERNOS DE UM POLÍGONO
Objetivos
Identificar as diagonais dos polígonos;
Calcular a soma dos ângulos internos do triângulo, quadrilátero, pentágono e
hexágono.
Material
Caderno;
Lápis;
Régua.
Avaliação
Execução das atividades propostas.
DESCRIÇÃO DA ATIVIDADE
1. Pedir para que cada aluno desenhe numa folha de papel um triângulo
qualquer, nomeando seus ângulos internos de alfa, beta e gama, respectivamente.
Depois cortá-lo em três partes, partindo de seus vértices. Em seguida, unir as três
partes por seus vértices. Formando assim, um ângulo raso, ou seja, de 180°.
Alfa + beta + gama= 180°
37
2. Pedir para que os alunos desenhem um quadrilátero, escolher um de seus
vértices e traçar todas as diagonais possíveis partindo desse vértice. Questionar em
quantas partes foi dividido o quadrilátero. Concluirão que em duas partes, ou seja,
dois triângulos, 180° + 180° = 360°. Logo a soma dos ângulos internos de qualquer
quadrilátero é de 360°.
3. Pedir para que os alunos desenhem um pentágono, escolher um de seus
vértices e traçar todas as diagonais possíveis partindo desse vértice. Questionar em
quantas partes foi dividido o pentágono. Concluirão que em três, ou seja, três
triângulos, 180° + 180° + 180°= 540°. Logo, a soma dos ângulos internos de
qualquer pentágono é de 540°.
4. Pedir para que os alunos desenhem um hexágono, escolher um de seus
vértices e traçar todas as diagonais possíveis partindo desse vértice. Questionar em
quantas partes foi dividido o hexágono. Concluirão que em quatro partes, ou seja,
quatro triângulos, 180° + 180° + 180° + 180°= 720°. Logo, a soma dos ângulos
internos de qualquer hexágono é de 720º.
38
Nos casos apresentados, qual a relação entre o número de lados do polígono
e o número de triângulos encontrados em cada um, a partir de um dos vértices?
Polígono Número de lados Número de
triângulos
Relação
Quadrilátero 4 2 4 - 2 = 2
Pentágono 5 3 5 - 2 = 3
Hexágono 6 4 6 - 2 = 4
Se continuarmos desenhando polígonos e achando os triângulos possíveis a
partir das diagonais de um dos vértices, perceberemos a mesma relação sempre.
Assim, podemos escrever a seguinte relação:
1) Reunir-se com um colega para resolver o problema.
Desenhem um hexágono qualquer e pintem cada um dos seus ângulos
internos de uma cor. Em seguida, recortem esses ângulos e juntem-nos para
mostrar que a soma de todos eles é igual a 720°.
Como vocês resolveram esse problema?
Expliquem para os outros colegas de classe.
2) Calcule a soma das medidas dos ângulos internos dos polígonos abaixo:
a) Pentágono
b) Octógono
39
c) Icoságono
3) Responda às questões:
a) Um ângulo interno de um triângulo mede 35°, outro mede 40°. Qual é a
medida do outro ângulo interno desse triângulo?
b) Um triângulo retângulo tem um ângulo de 10°. Qual é a medida dos
ângulos desse triângulo?
4) Observe o mosaico composto de hexágonos regulares:
a) Sem o auxílio de um transferidor, diga qual é a medida de cada um dos
ângulos internos dos hexágonos desse mosaico.
b) Para formar o encaixe perfeito entre as peças do mosaico, qual deve ser a
medida dos ângulos das peças encaixadas?
5) As medidas dos ângulos de um triângulo são, respectivamente, x, 3x e 5x.
Calcule o valor de x.
6) Calcule o valor de x nas figuras:
40
a)
b)
Fonte: http://educacao.uol.com.br/matematica/soma-dos-angulos-internos-de-um-triangulo-por-que-a-soma-vale-sempre-180suposup.jhtm Acesso em 03/12/2013
7) Calcule o valor de x:
a) b)
Fonte: http://blogdaprofanamaria.blogspot.com.br/2012/05/exercicios-resolvidos-sobre-soma-
dos.html
41
c)
UNIDADE VIII
ÁREA E PERÍMETRO DOS POLÍGONOS
Objetivo
Calcular perímetro e área dos polígonos.
Material
Malha quadriculada.
Avaliação
Resolução das atividades propostas.
DESCRIÇÃO DAS ATIVIDADES
1. Na malha quadriculada construir um triângulo, um quadrilátero, um
pentágono e um hexágono, sendo todos regulares.
42
2. Calcular o perímetro e a área dos polígonos desenhados.
3. Calcular o perímetro e a área dos polígonos abaixo:
a)
4) Observe o quadriculado abaixo e responda:
a) Calcule o perímetro (em lados de quadradinhos), e a área (em
quadradinhos) de cada figura.
b) Quais figuras têm mesma área e perímetros diferentes?
c) Quais figuras têm mesmo perímetro e área diferente?
5) Luciana comprou um terreno com as seguintes dimensões:
Num primeiro momento, ela irá cercar todo o terreno com 4 voltas de arame
farpado.
a) Qual é o perímetro do terreno?
b) Quantos metros de arame ela deverá comprar?
43
5m 4m
6m 10m
UNIDADE IX
CONSTRUÇÃO DE POLÍGONOS REGULARES: TRIÂNGULO, QUADRADO,
PENTÁGONO E HEXÁGONO, UTILIZANDO RÉGUA E COMPASSO.
Objetivo
Construir os polígonos regulares utilizando régua e compasso.
Material
Régua;
Compasso;
Lápis;
Caderno.
DESCRIÇÃO DA ATIVIDADE
1. Construção de um triângulo equilátero com 5cm de lado.
1. Trace um segmento de reta
de 5 cm no papel.
2.Em seguida, abra o compasso:
Fixe a ponta perfurante no início
do segmento e a ponta que risca
no fim desse segmento.
3.Trace um arco mais ou menos
44
até 90º desse segmento(linha
fraca)
3. Depois inverta os lados do
compasso e faça o mesmo, até
que esse último arco cruze com
o outro (o primeiro).
4. Agora é só ligar com a régua
até o ponto de interseção e terá
um triângulo equilátero.
2. Construção do quadrado com 5cm de lado:
1. Traçar um segmento de reta
A B com a medida do lado
pretendida.
2. Na extremidade A construir uma
perpendicular A C.
3. Colocando o compasso em A
com a mesma medida de A B,
transporta-se esta medida para o
segmento de reta perpendicular e
encontra-se o ponto C.
4. Mantendo sempre a mesma
abertura e fazendo primeiro centro
em C e depois em B, traçar dois
arcos de circunferência que se
cruzem e dando origem ao ponto
D.
5. Unindo C com D e B com D,
obtêm-se o quadrado.
45
3. Construção do pentágono regular com 5 cm de lado:
1. Descreva uma circunferência com 5 cm
de raio com o compasso, com centro em
O;
2. Trace, agora, dois segmentos de retas
perpendiculares entre si, que interceptam-
se no centro O da circunferência. Nas
intersecções com a circunferência, marque
os pontos E, F e G.
3. Trace a mediatriz H do segmento OF.
4. Com centro em H, descreva uma
circunferência de raio HE e marque a
intersecção com o segmento OG como I.
5. Trace um segmento de reta EI, será o
comprimento do lado do pentágono.
6. Abra o compasso e posicione a ponta
seca em D. Descreva uma nova
circunferência com raio EI e marque a
intersecção com a primeira circunferência
como A.
7. Analogamente, faça uma nova
circunferência de raio EI marcando os
pontos de intersecção como B, C e D.
46
8. Unindo os pontos D e E, formamos o
pentágono regular ABCDE.
4. Construção de um hexágono regular com 5cm de lado:
10. Desenhe uma circunferência
com raio de 5 cm e centro em
O.
11. Trace uma reta passando pela
origem O e marque as
intersecções com a
circunferência como A e D.
12. Com centro em A, descreva
uma circunferência de raio AO
e marque as intersecções com
a primeira circunferência como
B e F.
13. Com centro em D, descreva
uma circunferência de raio DO
e marque as intersecções com
a primeira circunferência como
C e E.
14. Os pontos ABCDEF definem
um hexágono regular.
47
UNIDADE X
CONSTRUÇÃO DE MOSAICOS GEOMÉTRICOS COM POLÍGONOS
REGULARES
Objetivo
Construir mosaicos geométricos.
Material
Cartolina;
Cola.
DESCRIÇÃO DA ATIVIDADE
1. Utilizando como matriz os polígonos regulares construídos anteriormente,
os alunos farão, em grupos de 4 elementos, um mosaico utilizando dois polígonos
diferentes.
2. Cada grupo classificará os polígonos utilizados na construção dos
mosaicos, identificará seus ângulos, vértices, arestas, eixos de simetria e soma dos
ângulos internos.
3. Após a construção dos mosaicos, cada equipe calculará o perímetro e a
área do mosaico construído.
UNIDADE XI
COMPOSIÇÃO DE UMA EXPRESSÃO ARTÍSTICA UTILIZANDO TRAÇADOS DE
RETAS
Objetivos
Identificar polígonos na expressão artística desenhada;
Classificar os polígonos presentes nas expressões artísticas criadas.
48
Material
Sulfite;
Régua;
Lápis de cor.
Avaliação
Verificar os resultados obtidos com a construção da expressão artística e
envolvimento na atividade.
DESCRIÇÃO DA ATIVIDADE
Em uma folha de sulfite pedir para que os alunos tracem retas com régua e lápis,
aleatoriamente, até preencher toda a folha. Após esta etapa, pedir a eles para que
destaquem os polígonos encontrados colorindo-os.
UNIDADE XII
COMPOSIÇÃO ARTÍSTICA COM FIGURAS GEOMÉTRICAS NO LABORATÓRIO
DE INFORMÁTICA
Objetivos
Criar uma composição artística utilizando figuras geométricas.
Material
Computador;
Papel vergè;
Lápis de cor.
49
DESCRIÇÃO DA ATIVIDADE
1. Na sala de informática, os alunos produzirão uma composição artística,
utilizando, pelo menos duas figuras geométricas no programa paint.
2. Colorir a obra artística criada;
3. Confecção do mural com as obras artísticas produzidas.
Avaliação
Analisar as obras artísticas produzidas pelos alunos e seu envolvimento na
tarefa.
50
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
BRASIL, Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. Secretaria de educação Fundamental. Brasília: MEC/SEF. 1998. DANTE, Luiz R. Didática da resolução de problemas de Matemática. 12. ed. São Paulo: Ática, 2007. ECHEVERRÍA, M. P. P. A solução de problemas em matemática. In: POZO, J. I. (Org.). A solução de problemas: aprender a resolver, resolver para aprender. Porto Alegre: Artmed, 1998. IMENES, Luiz M. & JAKUBOVIC, José & LELLIS, Marcelo C. Geometria. Pra que serve matemática? São Paulo: Atual, 1992. JAKUBOVIC, José; LELLIS, Marcelo C. Matemática na medida certa, 7ª série. 2. ed. São Paulo: Scipione, 1995. JESUS, Ana M. Geometria dos mosaicos. Disponível em: <http://pt.scribd.com/doc/58350190/geometria-dos-mosaicos>. LOPES, Antonio J. et al. Resolução de problemas: observações a partir do desempenho dos alunos. A educação matemática em revista. Revista da Sociedade Brasileira de Educação Matemática (SBEM) Ano II – n. 3 e 2 semestre 94. LORENZATO, Sérgio (org). O Laboratório de Ensino de Matemática na Formação de Professores. 3. ed. Campinas: Autores Associados, 2012. OCHI, F. Hori. et al. O uso de quadriculados no ensino da geometria. 3. ed. São Paulo: IME-USP, 1997. PARANÁ, Secretaria do Estado da Educação. Diretrizes Curriculares da Rede Pública na Educação Básica do Estado do Paraná – Matemática. Curitiba: SEED, 2008. POLYA, George. A arte de resolver problemas. Rio de Janeiro: Interciência, 1995. PROJETO ARARIBÁ. Obra coletiva concebida, desenvolvida e produzida pela editora Moderna. São Paulo. Moderna. 2006 RABELO, Edmar H. Textos matemáticos: produção, interpretação e resolução de problemas. 4. ed. Petrópolis, RJ: Vozes, 2002. SANTOS, Márcia R. F. L. A importância do ensino de Geometria no Ensino Fundamental: disponível em: <http://www.artigonal.com/educacao-artigo/a-importancia-do-ensinodageometria--no-ensino-fundamental-2726959-html>. Acesso em 20/06/2013.
