OS ELEMENTOS BÁSICOS DA GEOMETRIA · Web viewSe AB = 12 cm, calcule R. a) 1 cm b) 3 cm c) 5 cm d)...

PROF ANDRÉ FONSECA GEOMETRIA

Os elementos básicos do estudo da Geometria são ideias de ponto, reta e plano. No nosso dia-a-dia usamos essas palavras em diversas ocasiões, e com diversos significados, tais como:

– Esse é o ponto de partida para a execução do projeto.– A que ponto chegamos!– Estamos na reta final do trabalho.– Eu tenho um plano!

Sob o ponto de vista da Geometria, no entanto, essas palavras têm significados muito específicos. Contudo, apesar de serem conceitos importantes, são difíceis de serem definidos por serem intuitivos.Tente dar uma definição de um deles:– O que é reta?

O PONTO, A RETA E O PLANOO PONTO, A RETA E O PLANO

O ponto, a reta e o plano não existem no mundo real: um grão de areia, uma vareta ou um tampo de mesa nos dão uma ideia de ponto, de reta e de plano. Mas nunca vimos um grão que não tenha volume (por menor que ele seja), uma vareta que não tenha espessura e se prolongue indefinidamente, ou um tampo de mesa que se prolongue em todas as direções.

O ponto O ponto Graficamente, um ponto pode ser

representado pela figura “”, e é indicado por letras maiúsculas do nosso alfabeto. Assim, temos:

A retaA retaUma reta é uma figura com infinitos pontos.

Graficamente, uma reta pode ser representada pela figura a seguir, e é indicada por letras minúsculas do nosso alfabeto.

Podemos também indicar uma reta pelos pontos que pertencem a ela. Por exemplo: se uma reta contém os pontos A e B, podemos indicá-la por:

reta AB ou simplesmente reta AB, quando especificado que AB é uma reta.

Quando três ou mais pontos pertencem à mesma reta, eles são chamados de pontos colineares.

O planoO planoGraficamente, um plano pode ser

representado pela figura a seguir (um paralelogramo), e é indicado por uma letra minúscula do alfabeto grego: (alfa), (beta), (gama), (delta) etc.

plano

A Semi-retaA Semi-retaSe pudéssemos cortar uma reta ao meio e

ficar apenas com a sua metade, teríamos o que chamamos de semi-reta e o ponto onde a reta foi cortada seria o ponto de origem da semi-reta.

Graficamente, uma semi-reta pode ser representada pela figura a seguir:

O Segmento de RetaO Segmento de RetaVamos considerar a figura a seguir que representa uma reta que contém os pontos A e B.

A parte da figura que fica entre os pontos A e B, incluindo os pontos A e B, é o que chamamos de segmento de reta. Neste caso, A e B são chamados extremidades do segmento AB.

Para trabalhar com esses conceitos, precisamos raciocinar de forma a evitar erros. Queremos encontrar propriedades que sejam verdadeiras.

Justamente porque ponto, reta e plano não existem no mundo real, é importante que usemos certas regras que permitam dizer se nossas conclusões são verdadeiras ou não. Nem sempre os nossos sentidos, ou o nosso bom senso, nos levam a conclusões válidas, como você verá nos exemplos a seguir.

Na figura 1 a seguir, com o auxílio de uma régua, veja se as linhas que ligam M a N e P a Q são linhas retas.

Na figura 2 abaixo, qual das linhas é maior: a horizontal ou a vertical?

1

u

reta u

semi-reta OA

O

A

A B

OOSS ELEMENTOSELEMENTOS BÁSICOSBÁSICOS DADA

M N

QP

Fig. 1


Bem, se por um lado não podemos confiar apenas no bom senso e na intuição, por outro, eles são muito importantes. Isto porque em Geometria, algumas afirmações são aceitas como sendo verdadeiras sem quaisquer contestações, pois são situações bastante intuitivas.

Veja a seguir algumas dessas afirmações.

Por um único ponto passam inúmeras retas. Por dois pontos distintos (ou seja, diferentes), passa uma única reta.

Medida de um segmento de retaMedida de um segmento de retaDeterminar a medida de um segmento de reta é medir o seu comprimento, ou seja, dizer qual é o seu tamanho. Para isso, precisamos de uma unidade de medida, que é o que tomaremos por comparação (medir quer dizer comparar), como por exemplo: o palmo, o passo, a jarda, o metro, o quilômetro etc.Observe a figura a seguir.

Tomando como unidade de medida o segmento u, você seria capaz de dizer as medidas dos segmentos:XY PB PQ

POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETASPOSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETASNum mesmo plano, duas retas podem ser:

paralelas, concorrentes ou coincidentes. E, quando em planos diferentes, podem ser, também, reversas. Veja.

Retas paralelasRetas paralelasDuas retas são ditas paralelas quando não

têm pontos em comum.

Retas Concorrentes (ou secantes)Retas Concorrentes (ou secantes)Duas retas são ditas concorrentes (ou

secantes) quando têm apenas um ponto em comum.

OBS.: Há um caso particular de retas concorrentes que são as retas que se cruzam formando quatro ângulos congruentes (iguais); a representação deste caso lembra a figura do sinal de mais (+).

Retas CoincidentesRetas CoincidentesDuas retas são ditas coincidentes quando têm

mais de um ponto em comum.

Retas ReversasRetas ReversasDuas retas são ditas reversas quando não

possuem pontos em comum e se encontram em planos diferentes. Observe.

No desenho acima, temos um cubo, uma figura com várias faces. As retas u e v estão em faces diferentes e não se cruzam.

EEXERCÍCIOSXERCÍCIOS

1.1. Diga se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa.

Por um ponto passam infinitas retas. Por três pontos dados passa uma reta. Quatro pontos dados, todos distintos, determinam duas retas. Se dois pontos distintos A e B pertencem às retas r e s, então r = s. Duas retas distintas que têm um ponto em comum são concorrentes. Quatro pontos distintos, sendo três deles colineares, determinam quatro retas.

2.2. Dados três pontos distintos de uma reta, quantos segmentos distintos eles determinam?

3.3. Marque numa folha quatro pontos distintos, três a três não colineares. Quantas retas podemos traçar passando por dois desses pontos?

2

uv

u

vP

u

v

v

u

u

v

A

ponto A

D

ponto D

Fig. 2: Qual é a maior linha?

representação

indicação u // v

representação

indicação u v

representação

indicação u v

representação

indicação u v

u v =

u v = P

u v = uou

u v = v

X Y

A B P u

Q


4.4. Dados dois pontos distintos, A e B, quantos segmentos há com extremidades A e B? Quantos segmentos há que passam pelos pontos A e B?

5.5. Faça um desenho onde constem os pontos A, B, C, D e E, e retas r e s, satisfazendo ao mesmo tempo os itens a seguir:

r e s não são coincidentes; A r e A s; B r e C r; B e C estão em semiplanos opostos com respeito a s; D e E estão em semiplanos opostos com respeito a r, e nenhum dos dois pontos pertence a s.

6.6. Desenhe dois segmentos AB e CD tais que a interseção de AB e CD é o conjunto vazio, mas AB e CD têm um ponto em comum.

7.7. Desenhe dois segmentos AB e CD tais que a interseção de AB e CD é o conjunto vazio, mas AB = CD.

8.8. Escreva o que significa dizer que três pontos não são colineares.

9.9. (ESA) Na figura abaixo, o segmento AB mede 14 cm e o segmento MN mede 12 cm, M é o ponto médio de AB e N o ponto médio de BC. A medida do segmento AC, em cm, é:

a) 28 b) 20 c) 12 d) 19 e) 24

10.10. (ESA) Considere os pontos colineares A, B, O e C na ordem OABC. Se AO = 3 cm, OB = 5 cm e 4AB + AC – 2BC = 6, então a distância, em cm, entre os pontos O e C é igual a:a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

11.11.Observe a figura e leia com atenção as afirmações que seguem a seu respeito.

I. As retas t e u são concorrentes oblíquas.II. As retas s e u são reversas.III.As retas s e t são concorrentes perpendiculares.IV.As retas u e r são paralelas.V. As retas t e s são coplanares.

De acordo com a figura anterior, a alternativa correta é:a) todas as afirmações acima são verdadeirasb) nenhuma das afirmações acima é verdadeirac) As falsas são I, IV e Vd) as verdadeiras são II, III IVe) as verdadeiras são II e IV

3

A CM B N

t

u

sr


As 10 regras do Futebol de Rua,o verdadeiro futebol de macho!

1. A BOLA A bola pode ser qualquer coisa remotamente esférica. Até uma bola de futebol serve. No desespero, usa-se qualquer coisa que role, como uma pedra, uma lata vazia ou a merendeira do irmão menor.

2. O “GOL”O gol pode ser feito com o que estiver à mão: tijolos, paralelepípedos de concreto, camisas emboladas, chinelos, os livros da escola e até o seu irmão menor. Se for golzinho, há uma distância de mais ou menos 4 ou passos, dependo do tamanho do pé (38, 40 etc).

3. O CAMPO O campo pode ser só até o fio da calçada, calçada e rua, rua e a calçada do outro lado e, nos grandes clássicos, o quarteirão inteiro.

4. DURAÇÃO DO JOGO O jogo normalmente vira 5 e termina 10; pode durar até a mãe do dono da bola chamar ou escurecer. Nos jogos noturnos, até alguém da vizinhança ameaçar chamar a polícia.

5. FORMAÇÃO DOS TIMES Varia de 3 a 70 jogadores de cada lado. Ruim vai para o gol. Perneta joga na ponta, na esquerda ou na direita, dependendo da perna que faltar. De óculos é meia-armador, para evitar os choques. Os com mais corpo é beque.

6. O JUIZ Não tem juiz.

7. AS INTERRUPÇÕES No futebol de rua, a partida só pode ser paralisada em 3 eventualidades:

a) Se a bola entrar por uma janela. Neste caso os jogadores devem esperar 10 min pela devolução voluntária da bola. Se isso não ocorrer, os jogadores devem designar voluntários para bater na porta da casa e solicitar a devolução, primeiro com bons modos e depois com ameaças de depredação.

b) Quando passar na rua qualquer garota gostosa.

c) Quando passarem veículos pesados, de ônibus para cima. Bicicletas e Fusquinhas podem ser chutados junto com a bola e, se entrar, é gol.

8. AS SUBSTITUIÇÕES São permitidas substituições nos casos de:

a) Um jogador ser carregado para casa pela orelha para fazer lição.

b) Jogador que arrancou o tampão do dedão do pé. Porém, nestes casos, o mesmo acaba voltando a partida após utilizar aquela água “santa” da torneira do quintal de alguém.

c) Em caso de atropelamento.

9. AS PENALIDADES A única falta prevista nas regras do futebol de rua é atirar o adversário dentro do bueiro.

10. A JUSTIÇA ESPORTIVA Os casos de litígio serão resolvidos na porrada, prevalece os mais fortes e/ou quem pegar uma pedra antes.

QUEM NÃO JOGOU, PERDEU UM DOS MELHORES MOMENTOS DA VIDA.

Extraído e adaptado do sitehttp://estadio97.uol.com.br/forumMsg.asp?forumId=3821&vis=1Acessado em 17 de março de 2011.

O texto acima, escrito por um jovem chamado Carlos Eli nos leva a um momento incrível de nossas vidas (pelo menos para os homens).

Há um momento em que, ao falar sobre o “gol”, é citada a distância entre os objetos utilizados – 4 ou 5 passos (aqui, o passo se refere ao comprimento do pé do jogador).

Neste caso, “o passo” é a unidade de medida utilizada para medir a distância entre os objetos.

Saiba que medir significa comparar.Portanto, para medir uma distância, é

necessário ter alguma coisa que se possa comparar com essa distância.

No caso do “golzinho”, a distância está entre uma baliza e outra e a unidade de medida utilizada foi o passo.

AS DIFERENTES UNIDADES DE MEDIDAAO LONGO DA HISTÓRIA

4

UUNIDADESNIDADES DEDE M MEDIDAEDIDA DEDE

Para medir uma distância, é preciso uma unidade de medida. Esta unidade é o que será comparada com a distância em questão.


Medidas de comprimento:Côvado, do cotovelo à ponta dos dedos = 45 centímetrosBraça, 4 côvados = 1.80 metrosEstádio, 400 côvados = 1.480 metrosMilha = cerca de 3 metrosCaminho de um sábado = aproximadamente 1.080 metros

s elementos básicos do estudo da Geometria são ideias de ponto, reta e plano. No nosso dia-a-dia usamos essas palavras em diversas ocasiões, e com diversos significados, tais como:

– Esse é o ponto de partida para a execução do projeto.– A que ponto chegamos!– Estamos na reta final do trabalho.– Eu tenho um plano!

Sob o ponto de vista da Geometria, no entanto, essas palavras têm significados muito específicos. Contudo, apesar de serem conceitos importantes, são difíceis de serem definidos por serem intuitivos.Tente dar uma definição de um deles:– O que é reta?

O PONTO, A RETA E O PLANOO PONTO, A RETA E O PLANO

O ponto, a reta e o plano não existem no mundo real: um grão de areia, uma vareta ou um tampo de mesa nos dão uma ideia de ponto, de reta e de plano. Mas nunca vimos um grão que não tenha volume (por menor que ele seja), uma vareta que não tenha espessura e se prolongue indefinidamente, ou um tampo de mesa que se prolongue em todas as direções.

O ponto O ponto Graficamente, um ponto pode ser

representado pela figura “”, e é indicado por letras maiúsculas do nosso alfabeto. Assim, temos:

5


Ângulos são figuras geométricas formadas por duas semi-retas de mesma origem.

A cada ângulo podemos associar um número, ou seja, uma medida. A unidade de medida que vamos, inicialmente, utilizar para trabalhar com tais medidas é o Grau.Tomando uma circunferência e dividindo-a em 360 partes iguais, cada um dos ângulos centrais obtidos por essa divisão tem como medida 1 grau (indica-se: 1º).

CLASSIFICAÇÃO PARA OS ÂNGULOS DECLASSIFICAÇÃO PARA OS ÂNGULOS DEACORDO COM SUAS MEDIDAS:ACORDO COM SUAS MEDIDAS:

Ângulo nulo:Ângulo nulo:É a figura formada por duas semi-retas coincidentes, considerando que não há abertura entre elas.

Ângulo agudo:Ângulo agudo:Ângulo cuja medida está entre 0º e 90º.

Ângulo reto:Ângulo reto:Ângulo que tem medida igual a 90º.

Ângulo obtuso:Ângulo obtuso:Ângulo cuja medida está entre 90º e 180º.

Ângulo raso Ângulo raso ouou meia volta: meia volta:Ângulo que tem medida igual a 180º.

Ângulo rombo Ângulo rombo ouou uma volta: uma volta:Ângulo que tem medida igual a 360º.

OUTRAS CLASSIFICAÇÕES...OUTRAS CLASSIFICAÇÕES...

Ângulos congruentes:Ângulos congruentes:Dois ângulos são congruentes quando possuem e mesma medida.

Ângulos adjacentes:Ângulos adjacentes:Dois ângulos são adjacentes quando têm o mesmo vértice e um dos lados em comum e não possuem pontos interiores em comum.

6

ÂÂNGULOSNGULOS

AO

B

Para a figura ao lado,damos a indicação AÔB ou apenas Ô.As semi-retas OA e OB são os lados do ângulo.Dizemos ainda que o ponto O é o vértice do ângulo. trabalhar com tais medidas icialmente, utilizar para trabalhar

AOB

Ângulo nulo AÔB

AO

BÂngulo agudo AÔB menor que 90º e maior que 0º

AO

BÂngulo reto AÔB

Ângulo obtuso AÔB

A O B

Ângulo raso AÔB

AO B

Ângulo de uma volta AÔB

AO

B

D

O

C

m(AÔB) = 35ºm(CÔD) = 35º

AB

CO

Ângulos AÔB e BÔC são adjacentes e possuem o lado OB em comum

A O

B

50º60º

40º100º?

?

30º

80º

40º 50º


Ângulos complementares:Ângulos complementares:Dois ângulos são complementares quando a soma de suas medidas é 90º.

Ângulos suplementares:Ângulos suplementares:Dois ângulos são suplementares quando a soma de suas medidas é 180º.

Bissetriz de um ânguloBissetriz de um ânguloBissetriz de um ângulo é a semi-reta com origem no vértice desse ângulo e que o divide em dois outros ângulos congruentes (iguais).

Ângulos opostos pelo vérticeÂngulos opostos pelo vérticeDois ângulos são chamados opostos pelo vértice quando os lados de um ângulo são semi-retas opostas aos lados do outro.Dois ângulos opostos pelo vértice são sempre congruentes, ou seja, têm a mesma medida.


01.01. Descubra a medida dos ângulos centrais desconhecidos.

02.02. (ENEM-2004) Nos X-Games Brasil, em maio de 2004, o skatista brasileiro Sandro Dias, apelidado “Mineirinho”, conseguiu realizar a manobra denominada “900”, na modalidade skate vertical, tornando-se o segundo atleta no mundo a conseguir esse feito. A denominação “900” refere-se ao número de graus que o atleta gira no ar em torno de seu próprio corpo, que, no caso, corresponde aa) uma volta completa.b) uma volta e meia.c) duas voltas completas.d) duas voltas e meia.

03.03. A medida do suplemento de um ângulo cuja medida é a, é:a) 90º – a c) 90 + ab) 180º – a d) 180º + a

04.04. (U. Passo Fundo – RS) A diferença entre dois ângulos suplementares é 48º. O maior deles mede:a) 42º b) 69º c) 76º d) 204 e) 114º

05.05. Na figura abaixo, a medida de x é:

a) 20º b) 45º c) 27º d) 9º

06.06. Na figura abaixo, a medida do menor ângulo é:

a) 45º b) 70º c) 20º d)110º

07.07. Na figura abaixo, qual o valor de x?

08.08. Na figura abaixo, qual o valor de x e y?

7

AO

BC

a

b

Na figura, o ângulo AÔB tem medida b e o ângulo BÔC tem medida a. Como os ângulos BÔC e AÔB juntos formam um ângulo reto (a + b = 90º) então, eles são complementares.Dizemos ainda que o complemento do ângulo a é 90º - a e o complemento do ângulo b é 90º - b.

D

O

C A Na figura, a medida do ângulo CÔA é igual a medida do ângulo AÔD, portanto, OA é a bissetriz do ângulo CÔD.

Na figura, AÔB e BÔC, de medidas, respectivamente a e b, são suplementares, pois formam, juntos, um ângulo de meia volta.Dizemos ainda que o suplemento do ângulo a é (180º - a) e que o suplemento do ângulo b é (180º - b).

A O

Ba

b

C

AO

B

C

D

Na figura, AÔB e CÔD são opostos pelo vértice O.

AO

BC

2x + 20º

x + 10º

3x – 65º

A O B

2x + 20º

O

2x - 30ºº30

2

x

2x + 20º 50º y


09.09. Sobre a figura abaixo, é correto afirmar que:

a) AÔB = AÔC c) AÔC = EÔGb) AÔC = BÔE d) BÔD = CÔF

10.10. Qual o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio, supondo um relógio analógico, quando o relógio estiver marcando:a) 2hb) 18hc) 21hd) 12:30he) 3:40h

11.11. Qual é o ângulo que somado ao triplo do seu complemento é igual a 210?

12.12. Determine dois ângulos suplementares, sabendo que um deles é o triplo do outro.

13.13. Qual é a medida do ângulo formado pelas bissetrizes de dois ângulos adjacentes e suplementares?

GABARITO:1- a) 110º b) 160º; 2-D; 3-B; 4-E; 5-A; 6-B; 7-40º; 8-x=15º e y=130º; 9-C; 10- a) 60º, b) 180º, c) 90º, d) 165º, e) 130º; 11-30º; 12-45º e 135º, 13-90º;

RRETASETAS P PARALELASARALELAS CORTADASCORTADAS PORPOR UMAUMA TRANSVERSALTRANSVERSAL

Duas retas paralelas r e s, interceptadas por uma transversal, determinam oito ângulos, assim denominados.

Os ângulos formados têm nomes particulares. Veja:

Ângulos correspondentes: a e e, b e f, c e g, d e h;Ângulos alternos internos: c e e, d e f;Ângulos alternos externos: a e g, b e h;Ângulos colaterais internos: c e f, d e e; eÂngulos colaterais externos: a e h, b e g.

PROPRIEDADES Ângulos alternos internos são Ângulos alternos externos são Ângulos correspondentes são

Ângulos colaterais internos são Ângulos colaterais externos são


01.01. Na figura, r // s e t é transversal. t

a d r

b c e h

s f g

Então, a afirmativa correta é:a) a = b

8

xx

xxxx x x

A

BC

D

E

FG

H

O

r

s

b ac d

ef

g h

congruentes

suplementares


b) b + h = 180ºc) c + h = 180ºd) b = e

02.02. Dadas as retas paralelas cortadas por transversal abaixo, faça o que se pede:

a) Calcule x, y e z, sabendo que 2x + y + z = 240º.

b) Calcule x e y.

Então, a afirmativa correta é:e) a = bf) b + h = 180ºg) c + h = 180ºh) b = e

03.03. Qual é o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio, supondo o relógio analógico, quando este marcar 2:30h? E quando marcar 2:45h?

04.04. Qual é o ângulo que somado ao triplo do seu complemento é igual a 210º?

05.05. Determine dois ângulos suplementares, sabendo que um deles é o triplo do outro.

06.06. Qual é a medida do ângulo formado pelas bissetrizes de dois ângulos adjacentes e suplementares?

07.07. Na figura, AÊJ = DÔI e CÔI é o complemento de DÔI. Identifique a sentença correta.

a) AF // GI.b) CK GI.c) JÔK é o complemento de DÊF.

d) DÔI é suplemento de IÔK.

08.08. Calcule o valor de x, sendo r//s. r

40º 112º x

s

09.09. Duas retas paralelas cortadas por uma transversal formam ângulos alternos externos expressos em graus por 13x – 8º e 6x + 13º.A medida desses ângulos vale:a) 31º b) 3º ou 177º c) 30º e 150º d) 62º e) 93º

10.10. Para calcular a circunferência terrestre, o sábio Erastóstenes valeu-se da distância conhecida de 800km entre as localidades de Alexandria e Siena no Egito (A e B, respectivamente), situadas no mesmo meridiano terrestre. Ele sabia que quando em Siena os raios solares caiam verticalmente, em Alexandria eles faziam um ângulo de 7,2º com a vertical. Calcule, com esses dados, a circunferência terrestre, isto é, o comprimento de uma volta completa em torno da Terra.

7,2º raios A solares

800km

B

11.11. (UNIRIO) As retas r e s são paralelas. O valor do ângulo apresentado na figura abaixo é:

a) 40º b) 50º c) 130º d) 45º e) 65º

12.12. (CAP-UFRJ-06) Na figura a seguir, considere o par de retas t, v e o par de retas r, s.

9

130º

A

C

BD

E

F

O

G J

K

I

x

z

y

120º

4x y

2x r

s

A

B C

A

B C


a) Indique o par de retas paralelas.b) De acordo com a orientação apresentada, determine se o outro par de retas se interceptará ao norte, ao sul, à leste ou à oeste. Justifique.

GABARITO1-C; 2-A; 3-40.000km; 4-72º; 5-A; 6-B; 7-A; 8-a) t e v, b)?; 9-

1.1. CONCEITOCONCEITOOs triângulos, assim como as retas, os ângulos,

os segmentos de reta etc. são objetos idealizados, nascidos da observação de objetos materiais com forma triangular (como por exemplo um guardanapo de papel dobrado). Veja se você consegue identificar alguns triângulos na figura a seguir.

1.1. DefiniçãoDados três pontos A, B e C não colineares, à

reunião dos segmentos AB, AC e BC chama-se triângulo ABC (ou ΔABC).

Indicação:ABC = AB AC BC

1.2. Elementos de um TriânguloNo ABC acima, temos:lados: AB, BC e ACvértices: A, B e Cângulos internos: , e

ou ainda, , e .

1.3. Classificação

1.3.1. Quanto aos ladosQuanto aos lados, os triângulos podem ser classificados da seguinte maneira:

equiláteros: se, e somente se, têm os três lados congruentes;

isósceles: se têm dois lados congruentes; e

escalenos: se, e somente se, dois quaisquer lados não são iguais, ou seja, todos os lados diferentes.1.3.2. Quanto aos ângulos

Quanto aos ângulos, os triângulos podem ser classificados da seguinte maneira:

retângulo: se, e somente se, têm um ângulo reto;

acutângulo: se, e somente se, têm os três ângulos agudos; e

obtusângulo: se, e somente se, tem um ângulo obtuso.

É possível desenhar um triângulo acutângulo escaleno e um triângulo obtusângulo isósceles? E triângulos equiláteros obtusângulos? Procure verificar quais as combinações possíveis de acordo com seus desenhos.

Condição de Existência

1.4. “Em todo triângulo, a medida de qualquer lado é menor que a soma das medidas dos outros lados.”Chamando as medidas dos três lados de um triângulo qualquer de a, b e c, temos:

ExemploÉ possível formar um triângulo com as medidas

2cm, 3cm e 6cm?Vejamos...Se cada medida deve ser menor que a soma das outras, então...2 < 3 + 6 => verdadeiro3 < 2 + 6 => verdadeiro6 < 2 + 3 => falso

Conclusão» Não é possível formar um triângulo com essas medidas.

2. PROPRIEDADES QUE RELACIONAM OS ÂNGULOS DE UM TRIÂNGULO

1ª propriedade:A soma dos ângulos internos de um triângulo

qualquer é igual a 180º.

10

TRIÂNGULOS

a < b + cb < a + cc < a + b

a b

c

OBS.:O lado oposto ao ângulo reto de um triângulo retângulo é chamado de hipotenusa (maior lado) e os outros são chamados de catetos.


2ª propriedade:

A

medida do ângulo externo de um triângulo qualquer é igual à soma das medidas dos ângulos internos não-adjacentes a ele.

Na figura acima, x é um ângulo externo não adjacente aos ângulos A e C.Pela 2ª propriedade, temos:

3ª propriedade:Num triângulo, ao maior lado opõe-se o maior

ângulo, e ao menor lado opõe-se o menor ângulo.

3. PONTOS NOTÁVEIS

3.1. MedianaSegmento que une um vértice ao ponto médio do lado oposto a ele.

Todo triângulo possui três medianas, que se encontram em um ponto chamado baricentro.

3.1.1. Base Média de um TriânguloDef.: Base média de um triângulo é um

segmento que liga dois pontos médios dos lados de um triângulo. Este segmento é paralelo a um dos lados e vale metade do lado do qual ele é paralelo.

3.1.2. Propriedade do BaricentroSendo G o baricentro, temos:

3.2. Bissetriz (interna)Segmento que une um vértice a um ponto qualquer do lado oposto a ele e divide o ângulo desse vértice em dois ângulos de mesma medida (congruentes).Todo triângulo possui três bissetrizes, que se encontram em um ponto chamado Incentro.

3.2.1. Propriedade do Incentro3.2.1.1. Em todo triângulo, o Incentro é equidistante (tem a mesma distância) dos três lados.3.2.1.2. O incentro é, também, o centro do círculo inscrito no triângulo.

3.3. AlturaSegmento que liga um dos vértices ao lado oposto (ou ao seu prolongamento) e que é perpendicular a esse lado (ou prolongamento).Todo triângulo possui três alturas, que se encontram em um ponto chamado Ortocentro.

3.3.1. Posições do Ortocentro em relação a um triângulo

3.3.1.1. é interno, se o triângulo é acutângulo (todos os ângulos são agudos).

3.3.1.2. coincide com o vértice do ângulo reto, se o triângulo é retângulo.

3.3.1.3. é externo, se o triângulo é obtusângulo (possui um ângulo obtuso).

Você seria capaz de encontrar o Ortocentro de cada um dos triângulos a seguir?

11

N

M

A

B C

GP

Sendo P, N e M pontos médios dos lados AB, AC e BC, respectivamente, temos: PN // BC PN =

PM // AC PM =

MN // AB MN =

AG = AM ; GM = AM

BG = BN ; GN = BN

CG = CP ; PG = CP

A

B C

Incentro

I

D

EF

No triângulo ao lado temos:AD é a bissetriz relativa ao ângulo Â;BE é a bissetriz relativa ao ângulo B;CF é a bissetriz relativa ao ângulo C.

I

N

M

A

B C

GP

Baricentro

AM é mediana relativa ao lado BC;BN é a mediana relativa ao lado AC;CP é a mediana relativa ao lado AB.

OBS.:1. Um triângulo com dois lados congruentes é isósceles; o outro lado é chamado de base do triângulo isósceles.2. Todo triângulo equilátero é também isósceles.

A

B C

x̂


3.4. MediatrizÉ uma reta perpendicular ao lado de um triângulo, passando pelo seu ponto médio.Todo triângulo possui três mediatrizes, que se encontram em um ponto chamado Circuncentro.

3.4.1. Propriedade do Circuncentro

3.4.1.1. O ponto P (circuncentro), no triângulo anterior, é equidistante dos três vértices do triângulo.3.4.1.2. O circuncentro é também o centro da circunferência circunscrita ao triângulo.

Observações Importantes

I.Num triângulo retângulo, a mediana relativa a hipotenusa divide o triângulo original em dois triângulos isósceles.

II. No triângulo equilátero, o incentro, o baricentro, o ortocentro e o circuncentro coincidem num único ponto O, chamado “centro do triângulo equilátero”.

Na figura acima temos:R raio da circunferência (maior) circunscrita ao triângulor raio da circunferência (menor)inscrita ao triânguloh altura do triângulo equilátero

Como O é também o baricentro (encontro das medianas) do triângulo, esse ponto divide a altura AH em segmentos proporcionais a 2 e 1.Assim, se r e R são os raios das circunferências inscrita e circunscrita, respectivamente, e h é a altura, é imediato que


01.01. Observe a figura a seguir e determine:

a) os vértices do triângulo;b) a indicação do triângulo;c) o ângulo oposto ao lado PN;d) o lado oposto ao ângulo ;e) ;f) a medida do ângulo se = 140º;g) a medida do ângulo se = 45º.

02.02. É possível a construção de um triângulo retângulo equilátero?

03.03. É possível a construção de um triângulo que tenha dois ângulos retos? E a de um triângulo que tenha dois ângulos obtusos?

04.04. No triângulo ABC a seguir, AM é a mediana. Determine o perímetro desse triângulo.

12

No triângulo ao lado temos: s é a mediatriz de BC; t é a mediatriz de AB; r é a mediatriz de AC; P é o circuncentro do ABC.

C

A

B

r

s

t

P

A

B

P

C

No triângulo ao lado temos que: m(AP) = m(CP) = m(BP); AP, CP e BP são raios da circunferência.

O

O ponto O é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo.

r = h e R = h

A

B C H

O

R

r

R =

r =

h

A

NM

1̂

2̂

3̂

2,2 cm 3,5 cm

A

a) 30ºb) 50ºc) 80ºd) 100ºe) 220º

a) = 0ºb) = 5ºc) = 35ºd) = 15ºe) os dados são

insuficientes para a determinação de .


05.05. Considerando congruentes os triângulos abaixo, calcule o valor de x e de y.

06.06. Na figura a seguir, 5x, 3x – 15º e 2x + 5º representam as medidas dos três ângulos internos do triângulo AMN. Nestas condições, qual deve ser o valor de x?

07.07. Qual deve ser o valor da medida m do ângulo externo do triângulo abaixo?

08.08. (CAP-UFRJ-2006) Considere a figura a seguir.

a) Calcule a medida do ângulo BÂO.b) Identifique qual dos triângulos é um triangulo retângulo. Justifique.c) No triangulo CDO, identifique o lado de maior comprimento. Justifique.d) Determine o menor lado do polígono ABCDEO.

09.09. (PUC) Na figura abaixo, a = 100º e b = 110º. Quanto mede o ângulo x?

10.10. (FAETEC) Na figura abaixo, r é a bissetriz do ângulo ABC. Se = 40º e = 30º, então:

r

11.11. (UFMG) Na figura a seguir, , é bissetriz de , é bissetriz de e a medida do ângulo é 140º. A medida do ângulo

, em graus, é:

a) 35º d) 15ºb) 40º e) 20ºc) 30º

12.12. Analise, em cada um dos casos abaixo, se é possível construir um triângulo com as seguintes medidas dos lados:a) 6, 10 e 18b) 8, 4 e 6c) 3, 10 e 17

13.13. Classifique em verdadeira (V) ou falsa (F) cada afirmação a seguir:a) os ângulos agudos de um triângulo retângulo são suplementares.b) se a medida em graus de um ângulo é x, então o seu suplemento mede, em graus, 180º - x.c) qualquer triângulo isósceles tem todos os seus ângulos agudos.

13

1,9 cmMB C

5x - 2 37

4y + 8

6x

3y + 9

3768º

54º68º

A

NM

5x

2x + 5º 3x – 15º

m

110º155º

45º 59º

59º62º

60º

60º

60º

45º

46º

86º

A

O

E

D

C

B

C

A B

A

B C

D E

F

a b

x

100º

x

65º


d) se a medida em graus de um ângulo é x, então o seu complemento é 90º + x.

14.14. Na figura abaixo, a medida de AD é igual a medida de BD. Então, x, y e z medem, respectivamente:

a) 100º, 30º e 40ºb) 100º, 70º e 10ºc) 80º, 70º e 10ºd) 80º, 30º e 40º

15.15. (PUC-RJ) Dada a figura, coloque os segmentos em ordem crescente.

16.16. (UFMG) Na figura abaixo, DB = DE e AD é a bissetriz interna do triângulo ABC. O ângulo mede:

a) 10ºb) 14ºc) 16ºd) 18ºe)20º

17.17. (CP II) Na figura abaixo, os ângulos destacados medem 30º, 45º e 60º.Identifique, na figura, a medida de cada ângulo.

18.18. (UERJ/UFF) MNP é um triângulo isósceles (MN = NP) cujo ângulo M vale 40º. I é o ponto de interseção das bissetrizes internas do triângulo. O valor do ângulo NIP é:a) 35º b) 70º c) 90º d) 110º e) 140º

19.19. (UFF) O triângulo MNP é tal que M=80º e P=60º. A medida do ângulo formado pela bissetriz do ângulo interno N com a bissetriz do ângulo externo P é:a) 20º b) 30º c) 40º d) 50º e) 60º

20.20. (UFF) Determine o intervalo de variação de x, para que exista um triângulo com as medidas:a) x + 10, 2x + 4 e 20 – 2x.b) 40 – x, 3x – 15 e x + 10

(UFRJ-2000) Na figura ao lado, cada um dos sete quadros contém a medida de um ângulo expressa em graus. Em quaisquer três quadros consecutivos, temos os três ângulos internos de um triângulo.Determine o valor de x.

21.21. Na figura, temos:

a) x = a – b + cb) x = a + b + cc) x = a – b – cd) x = – a + b + ce) x = a + b – c

22.22. (UFU-MG) Na figura abaixo, AO e OB são perpendiculares, BC é bissetriz do ângulo DBA e AC é a bissetriz do ângulo EÂB. A medida do ângulo BCA é:

23.23. (PUC-RJ) As dimensões do triângulo ABC são AB = 11, AC = 18 e BC = 20. Calcule o perímetro do triângulo AMN, sabendo-se que MN é paralelo a BC, que OB é bissetriz do ângulo ABC e que OC é a bissetriz do ângulo ACB.

14

B

CD

z y

100º x 70ºA

50º

60º

80º

30º

e

d

b

a

c

A

B CD

50º46º

E B

C

A

O E

D

B C

M N

A

O

CB A

a

b c

x


24.24. (UNB-DF) Considere as afirmações:I. Se num triângulo, a altura relativa a um lado coincide com a bissetriz do ângulo oposto a ele, o triângulo é necessariamente isósceles.II. Num triângulo isósceles qualquer, as três medianas são necessariamente iguais.III. Se um triângulo tem duas alturas iguais, então ele é necessariamente equilátero.Pode-se afirmar que:a) I e II são corretas, III é falsa.b) todas são falsas.c) I é correta, II e III são falsas.d) n.r.a.

25.25. Obtenha x na figura abaixo, onde as retas r e s são paralelas.

26.26. Se a medida de um ângulo interno de um triângulo é igual a soma das medidas dos dois outros ângulos internos, então, necessariamente, este triângulo é:a) retângulob) equiláteroc) tem lados medindo 3, 4 e 5;d) é isósceles, não equiláteroe) tem ângulo interno de 30º

27.27. (FUVEST) As retas t e s são paralelas. A medida do ângulo x, em graus, é:

28.28. (PUC) O maior dos segmentos desenhados na figura a seguir é:

29.29. Em um triângulo AOE, os ângulos Â e Ô medem, respectivamente, 86º e 34º. Determine a medida do

ângulo formado pela mediatriz relativa ao lado OE e pela bissetriz do ângulo Ê.

30.30. O triângulo AOE é tal que Â = 80º e Ê = 60º. A medida do ângulo formado pela bissetriz interna de Ô com a bissetriz externa do ângulo externo de Ê é:a) 20º b) 30º c) 40º d) 50º e) 60º

31.31. (PUC-RJ-2005) Os ângulos de um triângulo medidos em graus são:3x – 48, 2x + 10 e x – 10.O maior ângulo mede:(A) 86° (B) 45° (C) 75° (D) 90° (E) 40°

15

2x + 20º x

70º

r

s

140º

120º

x

t s

B

A

C

D 60º 59º

57º 63º


1-a) A, M, N; b) AMN; c) Â ou MÂN; d) AN; e) 180º f) 40º; g) 135º; 2-Não. Justifique.; 3-Não. Justifique.; 4-9,5cm; 5- x=10 e y=13; 6-x=19; 7-85º; 8-a) 48º b) BOC c) CD; d) AB; 9-a; 10-b; 11-b; 12-a) não b)sim c) não; 13-F,V,F,F; 14-d; 15-b<a<c<e<d; 16-c; 17-B=60º, C=45º, Â=30º; 18-d; 19-c; 20-a)6/5<x<26/3, b)9<x<65/3; 21-x=15º; 22-m(BCA)=45º; 23-29; 24-c; 25-x=50; 26-a; 27-x=70º; 28-BD; 29-60º; 30-C;

Quadrilátero é o polígono de quatro lados.

SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOSSOMA DOS ÂNGULOS INTERNOSA soma dos ângulos internos de qualquer quadrilátero convexo vale 360º.

PARALELOGRAMOPARALELOGRAMOParalelogramo é o quadrilátero em que os pares de lados opostos são paralelos.

Propriedades:Em todo paralelogramo

os lados opostos são sempre iguais;ângulos consecutivos são suplementares; eas diagonais cortam-se nos seus pontos médios.

RETÂNGULORETÂNGULORetângulo é o paralelogramo cujos ângulos são sempre iguais (portanto retos).

Propriedades:Em todo retângulo

as diagonais são congruentes; eas diagonais se cortam nos pontos médios.

LOSANGOLOSANGOLosango é o paralelogramo cujos lados são iguais.

Propriedades:Em todo losango

as diagonais são perpendiculares entre si;as diagonais se cortam nos pontos médios; eas diagonais são bissetrizes dos ângulos iguais –

que neste caso, são os ângulos opostos.

QUADRADOQUADRADOQuadrado é o paralelogramo que possui lados e ângulos iguais.

Propriedades:Sendo o quadrado ao mesmo tempo losango e retângulo, ele possui as propriedades desses outros dois polígonos.

TRAPÉZIOTRAPÉZIOTrapézio é o quadrilátero que possui apenas dois de seus lados paralelos, denominados bases do trapézio. A distância entre as duas bases chama-se altura do trapézio.

Trapézio Isósceles: os lados não paralelos são iguais. Neste caso, os ângulos em cada base também são iguais.Trapézio Escaleno: se os lados não paralelos são desiguais.Trapézio Retângulo: se um dos lados não paralelos é perpendicular às bases.

Propriedades:Num trapézio isósceles os ângulos adjacentes a

uma mesma base são congruentes;Num trapézio isósceles as diagonais são

congruentes.

Base Média (bm) de um trapézio

A base média é paralela às bases e mede:

Mediana de Euler

16

D C

A B

M

A B

CD

M

A B

CD

45º45º

M

A B

D C

A B

CD

M Nbm

Base maior

base menor

QUADRILÁTEROS


Chama-se Mediana de Euler de um trapézio ao segmento que liga os pontos médios das diagonais e que fica sobre a base média.Seu comprimento mede:


32.32. Calcule x em cada uma das figuras.

33.33. Calcule x no paralelogramo.

34.34. Calcule x no paralelogramo.

35.35. Na figura a seguir, A e B distam 2 cm e 6 cm, respectivamente, da rata r, e M é o ponto médio de AB. Calcule a distância do ponto M à reta r.

36.36. (UNIFESP) Em um paralelogramo, as medidas de dois ângulos internos consecutivos estão na razão 1:3.

O ângulo menor desse paralelogramo mede:a) 45º b) 50º c) 55º d) 60º e) 65º

37.37. (UERJ-2000) Se um polígono tem todos os lados iguais, então todos os seus ângulos internos são iguais.

Para mostrar que essa proposição é falsa, pode-se usar como exemplo a figura denominada:a) losango c) retângulob) trapézio d) quadrado

38.38. (ENEM-00) Um marceneiro deseja construir uma escada trapezoidal com 5 degraus, de forma que o mais baixo e o mais alto tenham larguras respectivamente iguais a 60 cm e a 30 cm, conforme a figura:

Os degraus serão obtidos cortando-se uma peça linear de madeira cujo comprimento mínimo, em cm, deve ser:(A) 144. (B) 180. (C) 210.(D) 225. (E) 240.

39.39. (UFRJ-2003) De um retângulo de 18 cm de largura e 48 cm de comprimento foram retirados dois quadrados de lados iguais a 7 cm, como mostra a figura.

Qual o perímetro da figura resultante?

40.40. (UERJ-2001) O gráfico abaixo representa a indicação da velocidade de um carro em movimento, em função do tempo.

Sabendo-se que, em t = 2 s, a velocidade é de 6 m/s, a ordenada do ponto A é:(A) 3,5 (B) 3,0 (C) 2,5 (D) 2,0

41.41. (ITA-SP) Dadas as afirmações:I – Quaisquer dois ângulos opostos de um quadrilátero são suplementares.II – Quaisquer dois ângulos consecutivos de um paralelogramo são suplementares;III – Se as diagonais de um paralelogramo são perpendiculares entre si e se cruzam em seu ponto médio, então, este paralelogramo é um losango.Podemos afirmar que:a) todas são verdadeiras.b) apenas I e II são verdadeiras.c) apenas II e III ao verdadeiras.d) apenas II é verdadeira.e) apenas III é verdadeira.

17

A B

CD

M NmE

Base maior

base menor

P Q

x+50º

x

2x – 30º

x – 20º

a) 100º

x60º

xb)

x +70º

2x+10º

150º

x

rA

BM

30

60


GABARITO21-a) 72º b) 80º; 22-60º; 23-75º; 24-4 cm; 25-a; 26-a; 27-D; 28-160 cm; 29-D; 30-C

Chama-se polígono a toda linha poligonal simples.Quando um polígono possui as medidas de seus lados e ângulos congruentes ele é chamado de polígono regular.

GGÊNEROÊNERO DEDE UMUM P POLÍGONOOLÍGONOChama-se gênero de um polígono o número de lados que ele possui.

número de lados (n) nomen = 3 triangulon = 4 quadriláteron = 5 pentágonon = 6 hexágonon = 7 heptágonon = 8 octógonon = 9 eneágonon = 10 decágonon = 11 undecágonon = 12 dodecágonon = 15 pentadecágonon = 20 icoságono

NNÚMEROÚMERO DEDE D DIAGONAISIAGONAIS ( (dd))De qualquer vértice de um polígono de n lados partem n – 3 diagonais.O número total de diagonais é dado por:

ÂÂNGULOSNGULOS EXTERNOSEXTERNOS EE I INTERNOSNTERNOSEm qualquer vértice de um polígono a soma do ângulo interno com o seu adjacente externo é sempre 180º.

SSOMAOMA DOSDOS Â ÂNGULOSNGULOS I INTERNOSNTERNOS ( (SSii))A soma de todos os ângulos internos de um polígono convexo é dada por

SSOMAOMA DOSDOS Â ÂNGULOSNGULOS E EXTERNOSXTERNOS ( (SSee))A soma de todos os ângulos externos de um polígono convexo é

POLÍGONOS REGULARESPOLÍGONOS REGULARESNos polígonos regulares, podemos calcular o valor de cada ângulo interno ou externo.

ÂNGULOS INTERNOS

ÂNGULOS EXTERNOS

OBS.: O número de diagonais que passam pelo centro de um polígono regular é igual a n/2, quando n for um número par.


42.42. Quantos lados tem o polígono no qual se pode traçar 35 diagonais de cada vértice?

a) 35 b) 32 c) 10 d) 38 e) impossível

43.43. O número de diagonais que se pode traçar por um dos vértices de um icoságono é:

a) 10 b) 12 c) 17 d) 20 e) 170

44.44. Considere um polígono regular ABCD... . O ângulo formado pelos prolongamentos dos lados AB e DC mede 108º. Determine o polígono.

45.45. Em um polígono regular, o ângulo interno mede 8x–20º e o externo mede 3x–20º. Qual o polígono?

a) pentágono b) octógono c) decágonod) hexágono e) eneágono

46.46. (ENEM-02) Na construção civil, é muito comum a utilização de ladrilhos ou azulejos com a forma de polígonos para o revestimento de pisos ou paredes. Entretanto, não são todas as combinações de polígonos que se prestam a pavimentar uma superfície plana, sem que haja falhas ou superposições de ladrilhos, como ilustram as figuras:

18

ae

ai

ae+ ai = 180º

Si = 180º(n – 2)

Se = 360º

POLÍGONOS


Figura 1: Ladrilhos retangulares pavimentando o plano

Figura 2: Heptágonos regulares não pavimentam o plano (há falhas ou superposição)

A tabela traz uma relação de alguns polígonos regulares, com as respectivas medidas de seus ângulos internos.

Se um arquiteto deseja utilizar uma combinação de dois tipos diferentes de ladrilhos entre os polígonos da tabela, sendo um deles octogonal, o outro tipo escolhido deverá ter a forma de um

A) triângulo B) quadradoC) pentágono D) hexágono (E) eneágono

47.47. (CEFET) A soma de seis ângulos internos de um octógono convexo é 880º. Se a diferença entre os outros dois ângulos é de 20º, eles valem, respectivamente,

a) 80º e 100ºb) 90º e 110ºc) 110º e 130ºd) 420º e 440ºe) 430º e 450º

48.48. (CAP-UFRJ) Se ABCDE é um pentágono regular convexo, calcule a medida do ângulo formado pelas diagonais AC e AD.

49.49. (CN) Um aluno declarou o seguinte, a respeito de um polígono convexo P de n lados:

“Partindo da premissa de que eu posso traçar (n – 3) diagonais de cada vértice de P, então, em primeiro lugar, o total de diagonais de P é dado por n(n – 3); e, em segundo lugar, a soma dos ângulos internos de P é dada por 180º(n – 3)”.Logo, o aluno:a) errou na premissa e nas conclusões;b) acertou na premissa e na primeira conclusão, mas errou na segunda conclusão;c) acertou na premissa e na segunda conclusão, mas errou na primeira conclusão;d) acertou na premissa e nas conclusõese) acertou na premissa e errou nas conclusões.

50.50. (UFJF-MG) Em um pentágono convexo, os ângulos internos formam uma P.A. de razão r. O valor de r, tal que o maior ângulo desse pentágono meça 128º, é:

a) 10 b) 15º c) 20º d) 27º e) 36º

51.51. A figura descreve o movimento de um robô:

partindo de A, ele, sistematicamente, avança 2m e gira 45º para a esquerda.Quando esse robô retornar ao ponto A, a trajetória percorrida terá sido:a) uma circunferência.b) um hexágono regular.c) um decágono regular.d) um polígono não regular.e) um octógono regular.

GABARITO31-D; 32-C; 33-decágono; 34-E; 35-B; 36-B; 37-36; 38-E; 39-A; 40-E

19

Triângulo

60º

Quadrado

90º

Pentágono

108º

Hexágono

120º

Octógono

135º

Eneágono

140º

45º

45º

2 m

2 m

2 m


Circunferência de círculo, ou simplesmente circunferência, é o lugar geométrico dos pontos do plano que equidistam de um ponto fixo.O ponto fixo é chamado centro e a distância comum é o raio da circunferência.

PRINCIPAIS ELEMENTOS DA CIRCUNFERÊNCIA

Na figura acima, temos.O é o centro;AB é uma corda;AB é um arco;FE é uma flexaCD é o diâmetro;r é a reta secante à circunferência;s é a reta tangente à circunferência;t é a reta exterior à circunferência.

OBS.: Círculo é a superfície plana limitada pela circunferência.

PROPRIEDADES IMPORTANTESA mediatriz de uma corda sempre passa pelo

centro da circunferência, e pelo ponto médio do arco subtendido pela corda.

Duas cordas paralelas de uma circunferência sempre determinam, entre suas extremidades, arcos congruentes.

Quando, de um ponto exterior, traçamos duas retas tangentes a uma circunferência, os segmentos compreendidos entre o tal ponto e os pontos de tangencia são congruentes.

O ângulo formado na circunferência pelo raio e a reta tangente mede 90º.

TEOREMA DE PITOTSe um quadrilátero é circunscritível a uma circunferência, as somas das medidas dos lados opostos são iguais.

ÂNGULO CENTRAL E MEDIDA ANGULAR DE UM ARCOO ângulo formado no centro da circunferência por dois raios chama-se ângulo central, e sua medida é a mesma (medida angular) do arco formado pelos raios.

ÂNGULO INSCRITO EM UM ARCO

20

raioO

ODC

A

E B

F

rs

t

O

A

E B

F

O

A

B D

C

P

A

B

PA = PB

O

AB

CD

AB + CD = BC + DA

O

A

B

A

B

CIRCUNFERÊNCIA


Os ângulos, , e estão inscritos no arco AB da figura.

Consequências ImportantesSe um triangulo está inscrito em uma

circunferência, de tal forma que um de seus lados seja um diâmetro, então, este lado é a hipotenusa do triangulo, que é retângulo.

Para que um quadrilátero seja inscritível em uma circunferência, deve ter ângulos opostos suplementares.

ÂNGULO DE SEGMENTOÉ o ângulo formado por uma corda e uma reta tangente à uma circunferência em um dos extremos da corda.

ÂNGULO EXCÊNTRICO INTERNO

ÂNGULOS EXCÊNTRICOS EXTERNOS


52.52. Na figura, R, S e T são pontos de tangencia do circulo inscrito ao triangulo ABC. SE AB = 6

cm, AC = 7 cm e BC = 9 cm, determine AR, BS e CT.

53.53. (UFRJ) Na figura abaixo, o pentágono ABCDE é circunscrito ao círculo de centro O e F, G, H, I e J são pontos de tangência.

Os segmentos AF, CH e DI têm o mesmo comprimento x. EJ mede x + 1, enquanto BG mede x + 2. O perímetro do pentágono é igual a 16 e a distância OB é igual a 7.

Determine o raio do circulo inscrito no pentágono.

54.54. Determine o perímetro do triangulo da figura abaixo.

55.55. (PUC-MG) na figura abaixo, o valor de x é:

a) 15º b) 18º c) 24º d) 32º e) 35º

56.56. (CESGRANRIO-RJ) Se, na figura, m(AB) = 20º, m(BC) = 124º, m(CD) = 36º e m(DE) = 90º, então o ângulo x mede:

a) 34º b) 35º30’ c) 37º d) 38º30’ e) 40º

21

O B

A

C r r

AB

CD

A

B

A

B C

D

nm

n m

n

m

B

A

S

TR

C

A G

B

H C I D

J

E

F

O

2 cm

6 cm

E

x

D

CB

A

D

º

E

C

B

x3x+12º


57.57. Calcule o raio da circunferência inscrita em um triangulo retângulo de catetos 3 e 4.

58.58. Considere o círculo que tangencia a reta r no ponto A e tem seu diâmetro BC sobre a reta s. Então, os ângulos do triangulo ABC valem:

a) 35º, 55º e 90º d) 40º, 60º e 80ºb) 20º, 70º e 90º e) 50º, 50º e 80º c) 30º, 60º e 90º

59.59. Na figura abaixo, O é o centro do círculo e CD = BO. Calcule o ângulo .

a) 18º b) 36º c) 24º d) 9º e) 16º

60.60. A e B são pontos de um círculo que o dividem em arcos proporcionais a 5 e 4. As tangentes traçadas por A e B formam:

a) 60º b) 50º c) 40º d) 30º e) 20º

61.61. Calcule os ângulos , e da figura abaixo, sabendo-se que t é tangente ao círculo e que = 6.

a) = 10º, = 120º e = 60ºb) = 15º, = 160º e = 90ºc) = 20º, = 120º e = 120ºd) = 15º, = 150º e = 90ºe) = 15º, = 165º e = 90º

GABARITO41-AR=1cm, BS=5cm e CT=4cm; 42-210; 43-24cm; 44-C; 45-C; 46-1 cm; 47-B; 48-C; 49-E; 50-D

22

O 20º B C

A

A

B C

DEO

72º

O

t


L I N H A S P R O P O R C I O N A Antes de começar a discussão sobre o

assunto de que trataremos aqui, vamos compreender o significado de algumas expressões que serão muito utilizadas no desenvolver dessa questão.

ALGUMAS DEFINIÇÕES...

RazãoRazão é o quociente entre dois valores, ou

seja, a divisão ou comparação entre eles.Podemos ter como exemplo de razão a escala

de um mapa. Veja:1 : 100.000 cm

Na escala acima, vemos uma comparação entre o tamanho representado pelo mapa (representação de um espaço através de um figura) e o tamanho real. O “tamanho” a que se refere aqui pode ser, por exemplo, a distância entre duas cidades. A escala (que é uma razão) acima nos diz que se a distância entre duas cidades no mapa é de 1 cm, então, a distância real entre as duas cidades é de 100.000 cm, ou seja, 1km.

A razão que nos interessa aqui é a razão entre dois segmentos. Razão entre dois segmentos é o quociente entre os números que exprimem suas medidas, sendo sempre o segundo número diferente de zero, ou seja, dado um número a e um número b, a razão entre a e b é representada por

; b ≠ 0

. (lê-se: a está para b ou simplesmente a

para b).

A razão entre os lados de um televisor padrão widescreen é 16:9, ou seja, a cada 16 cm de comprimento, temos 9 cm de largura.Vale ressaltar que a mesma razão acima pode ser

também escrita na forma .

Proporção

Proporção é a igualdade (equivalência) entre duas razões. Dois segmentos são proporcionais a outros dois quando a razão entre os dois primeiros é igual à razão entre os outros dois, ou seja, sejam a, b, c e d números inteiros quaisquer; dizemos que esses números formam, nesta ordem, uma proporção, se

.

Exemplo numérico: .

Uma situação onde podemos verificar uma proporção acontecendo é quando queremos ampliar uma fotografia, seja digitalmente ou analogicamente.

Imagine que uma foto 3x4 (3 cm de largura por 4 cm de comprimento) deve ser ampliada de modo que o lado maior meça 20 cm. Dessa forma, o lado menor deverá medir 15 cm.

Veja.

Se simplificarmos a segunda fração, veremos que a fração resultante será a mesma que a primeira fração, portanto, são equivalentes. Neste caso, temos uma proporção acontecendo.

TEOREMA DE THALESUm feixe de retas paralelas (a, b, c e d na figura) determina em duas transversais quaisquer, (r e s na figura) segmentos proporcionais.

Podemos escrever, para a figura acima:

CONSEQUÊNCIAS DO TEOREMA DE THALES

1ª consequência:Quando uma reta paralela a um lado de um

triangulo intercepta os outros lados em dois pontos distintos, ela determina sobre esses lados segmentos proporcionais.

23

A

B

C

D

A’

B’

C’

D’

r s

a

b

c

d

Na figura, a//b//c//d.


2ª consequência:A bissetriz de um ângulo interno de um triângulo

divide o lado oposto em segmentos proporcionais aos lados adjacentes.

Observações:Se dois triângulos são semelhantes e a razão de semelhança é k, então:

a razão entre duas alturas correspondentes é k. a razão entre duas medianas correspondentes é k. a razão entre duas bissetrizes correspondentes é k. a razão entre seus perímetros é k. a razão entre suas áreas k2.

Semelhança aplicada a TriângulosDizemos que duas figuras – ou dois objetos – são

semelhantes quando se parecem. Uma lapiseira e uma caneta, por exemplo, são parecidos e, por isso, poderíamos dizer “são semelhantes”.

Mas, o conceito que semelhança que será abordado aqui não é o mesmo do dia-a-dia, o mesmo que poderíamos aplicar à lapiseira e à caneta, mas trataremos aqui o conceito de semelhança do ponto de vista da Geometria, ou seja, da Matemática.

Observe as imagens a seguir.

O que você diria sobre as figuras acima?São iguais?Se você respondeu que sim, experimente pegar uma régua e medir os lados de cada uma delas. E então, são iguais.Você deve ter percebido que não, não pela dificuldade visual, mas pelo conceito do “igual”. Quando dizemos que duas figuras são iguais, elas devem ter todas as características em comum, inclusive o tamanho. E isso, é fácil verificar que não acontece com as duas figuras anteriores.

Contudo, mesmo não podendo dizer que são iguais, podemos dizer que são figuras semelhantes.

Quando ampliamos ou reduzimos uma figura de modo que essa mudança aconteça de forma proporcional, obtemos assim duas figuras semelhantes.

Voltando às figuras anteriores...Você notou que o comprimento da figura maior é o

produto (multiplicação) entre o comprimento da primeira figura e um número k?

Você notou que o mesmo acontece com a largura?Esta é uma característica presente em figuras que

são semelhantes – seja uma ampliação ou redução de uma outra figura, isso só acontece multiplicando ou dividindo ambos os lados por um mesmo número – e k é chamado de razão de semelhança entre as figuras ou constante de proporcionalidade.

SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS

Dois triângulos são semelhantes quando tiverem: ângulos correspondentes congruentes; lados correspondentes proporcionais.

Se um triângulo ABC é semelhante a outro DEF, indicamos que são semelhantes da seguinte forma:

ABC ~ DEF

Observe os triângulos representados pelas figuras a seguir.

24

B

A

C

E F

r//BC EF//BC

A

B CD

â â

r

Duas figuras são semelhantes quando possuem a mesma forma, ou seja, quando possuem mesmos ângulos e os lados correspondentes dessas figuras são proporcionais.

a

b

a k

b k A

B C

D

E F

35º

65º 80º

35º


Pelas representações, verificamos que ABC ~ DEF, já que E

temos que .

Observe os exercícios resolvidos a seguir.

Exercício 1As retas r1, r2 e r3, na figura a seguir, são paralelas

e as medidas dos segmentos de transversais são dadas em centímetros. Nessas condições, calcule o valor de x.

Solução:

3 x = 1,2 15 3x = 18 x =

x = 3 cm.

Exercício 2Qual o valor de x na figura a seguir?

XERCÍCIOSXERCÍCIOS

62.62. Para medir a altura de um pinheiro, fiz o seguinte: peguei um bastão de 1,5 m e verifiquei que ele projetava uma sombra de 2 m, enquanto o pinheiro projetava uma sombra de 16m. Que altura encontrei?

63.63. (CAP-UFRJ-06) Na figura ao lado, o ABC é retângulo e isósceles.Considere AP = 3 e PQ = 6.a) Determine a medida do segmento AQ.b) Determine o perímetro do ABC.

64.64. Determine o valor de x e y nas figuras.

a) b)

c) d)

65.65. Determine a medida do lado do quadrado da figura abaixo.

66.66. (Enem) A sombra de uma pessoa que mede 1,80 m de altura mede 60 cm. No mesmo momento, a seu lado, a sombra projetada de um poste mede 2,00 m. Se, mais tarde, a sombra do poste diminui 50 cm, a sombra da pessoa passou a medir:a) 30 cm b) 45 cm c) 50 cm d) 80 cm e) 90 cm

67.67. Observe as afirmações a seguir. I. Todos os triângulos congruentes são semelhantes.II. Todos os triângulos semelhantes são congruentes.III. Todos os triângulos retângulos são semelhantes.IV. Todos os triângulos equiláteros são semelhantes.

25

16 m

1,5 m

h

2 m

A

B C

M N

x

4

15

6

y10

A

B C

D

E

12

5 4

yx 6

D

A

C

E

B 12 x

y 8 20

21

A

B

M N

x

5 4

y 4

C

6

6

4

r1

r2

r3

t1 t2

x

15

1,2

3

A

B C

D

E F

35º

65º 80º

35º

12 cm x

10 cm 30 cm

13 cm 39 cm


V. Dois triângulos isósceles que têm os ângulos do vértice congruentes são semelhantes.A respeito das afirmações, podemos dizer que:a) todas são verdadeiras.b) todas são falsas.c) uma delas é verdadeira.d) duas delas são verdadeiras.e) três delas são verdadeiras.

68.68. (UNIRIO) Numa cidade do interior, à noite, surgiu um objeto voador não identificado, em forma de disco, que estacionou a 50 m do solo, aproximadamente. Um helicóptero do exercito, situado a aproximadamente 30 m acima do objeto, iluminou-o com um holofote, conforme mostra a figura.

Sendo assim, pode-se afirmar que o raio do disco-voador mede, em m, aproximadamente:a. 3,0b. 3,5c. 4,0d. 4,5e. 5,0

69.69. (UFRJ – Específica) Três goiabas perfeitamente esféricas de centros C1, C2 e C3 e raios 2 cm, 8 cm e 2 cm estão sobre uma mesa tangenciando-se como sugere a figura abaixo.

Um bichinho que está no centro da primeira goiaba quer se dirigir para o centro da terceira pelo caminho mais curto.

Quantos centímetros percorrerá?

70.70. (UEL) O gráfico a seguir mostra a atividade de café, em milhões de toneladas, em certo município do estado do Paraná.

De acordo com o gráfico, é correto afirmar que, em 1994, a produção de café nesse município foi, em milhões de toneladas:a) 9,5 b) 9 c) 10,5 d) 11 e) 12,5

71.71. (UFF-2002) O circuito triangular de uma corrida está esquematizado na figura a seguir.

As ruas TP e SQ são paralelas. Partindo de S, cada corredor deve percorrer o circuito passando, sucessivamente, por R, Q, P, T, retornando, finalmente, a S. Assinale a opção que indica o perímetro do circuito.a) 4,5km b) 19,5km c) 20,0km d) 22,5km e) 24,0km

72.72. Na figura, AB e DE são paralelos. Calcule o valor de x.

73.73. A razão de semelhança de dois triângulos equiláteros é 2/5. O lado do menor mede 8 m. Calcule a medida do lado do outro triângulo.

74.74. Na figura, AD é a bissetriz interna do ângulo A. Calcule o valor de x.

75.75. Um triângulo, cujos lados medem 12 m, 18 m e 20m, é semelhante a outro cujo perímetro mede 10 m. Calcule as medidas dos lados do triângulo menor.

76.76. Um menino de 1,50 m de altura observa, num dia de sol, as sombras de uma torre de radio-emissora e a sua própria sombra. Não dispondo de uma fita métrica ou de trena, ele toma um cordão, mede sua sombra e a compara com a da torre, verificando ser esta 10 vezes a medida da sua. Calcule a altura da torre.

26

sombra

16 m

30 m

50 m

C2

C1 C3

5

14

1990 1996anos

Rua PQP Q R

T

S

Av. QR

3 km4 km2 km

Av. SR

Rua TS

B A

C

D E

7 cm 6 cm

5 cm x

A

B C D2 cm x

4 cm8 cm


77.77. Um menino de 1,50 m de altura observa, num dia de sol, as sombras de uma torre de radio-emissora e a sua própria sombra. Não dispondo de uma fita métrica ou de trena, ele toma um cordão, mede sua sombra e a compara com a da torre, verificando ser esta 10 vezes a medida da sua. Calcule a altura da torre.

GABARITO:62-12m; 63-18+92; 64-a) x=10 e y=6 b) x=8; y=3 c) x = 10/3 e y = 20/3 d) x = 18; y = 14; 65-2,4; 66-B; 67-E; 68-A; 69-16,8 cm; 70-D; 71-B; 72-35/6; 73-20m; 74-4 cm; 75-12/5, 18/5 e 4 cm; 76-15m; 77-15m

RELAÇÕES MÉTRICAS NOTRIÂNGULO RETÂNGULO

TRIÂNGULOS RETÂNGULOS

O ABC acima é chamado “triângulo retângulo” porque possui um ângulo interno reto, ou seja, 90º.Os lados perpendiculares entre si – que formam o ângulo reto – denominam-se catetos. O lado oposto ao ângulo reto (maior ângulo) é chamado hipotenusa.

No triângulo retângulo acima, no qual Â é o ângulo reto, temos:

a é a medida da hipotenusa BC.c é a medida do cateto AB.b é a medida do cateto AC.h é a medida da altura AH.m é a projeção do cateto b sobre a hipotenusa.n é a projeção do cateto c sobre a hipotenusa.

Em relação aos ângulos, temos as relações:

ou

Em relação aos lados, temos as relações:

1) a = m + n2) b2 = am3) c2 = na4) h2 = mn5) ah = bc

TEOREMA DE PITÁGORASEm qualquer triângulo retângulo vale a relação

Exemplo de aplicação do Teorema de Pitágoras:

(FAETEC-05) No topo de uma caixa d’água distante 6m do solo, apóia-se uma escada, como na figura abaixo.

Se a distância da viga de sustentação da caixa d’água até o pé da escada é de 8 m e a sua altura é de 6 m, o comprimento dessa escada, em metros é:Solução:Chamando o comprimento da escada de x, temos:a2 = b2 + c2

x2 = 62 + 82

x2 = 36 + 64x2 = 100x = 100x = 10Resposta: 10 metros


78.78. Em um triângulo retângulo os catetos medem 15cm e 20cm. Ache as medidas de sua hipotenusa.

79.79. Em um triângulo retângulo os catetos medem 15cm e 20cm. Ache as medidas de sua hipotenusa.

80.80. (UFPE) Um barco navegou 10 km para o oeste, depois 5 km para o sul, depois 13 km para o leste, e finalmente 9 km para o norte.Onde o barco parou relativamente ao ponto de partida?a) 5 km ao norteb) 3 km a sudestec) 4 km ao suld) 3 km a sudoestee) 5 km a nordeste

27

a

h

m n

b c

C B

A

H

Â1Â2

c

ba

a2 = b2 + c2

6 m

8 m

par

ede

muro

Figura 2

45º

par

ede

muro

Figura 1


81.81. Millôr Fernandes, em uma bela homenagem à Matemática, escreveu um poema do qual extraímos o fragmento abaixo:

Às folhas tantas de um livro de Matemática,um Quociente apaixonou-se um dia doidamente

por uma Incógnita.Olhou-a com seu olhar inumerável

e viu-a do ápice à base: uma figura ímpar;olhos rombóides, boca trapezóide,corpo retangular, seios esferóides.

Fez da sua uma vida paralela à dela,até que se encontraram no Infinito.

"Quem és tu?" – indagou ele em ânsia radical."Sou a soma dos quadrados dos catetos.

Mas pode me chamar de hipotenusa."...................................................................................

(Millôr Fernandes. Trinta Anos de Mim Mesmo.)A Incógnita se enganou ao dizer quem era. Para atender ao Teorema de Pitágoras, deveria dar a seguinte resposta:a) "Sou a soma dos catetos. Mas pode me chamar de hipotenusa."b) "Sou o quadrado da soma dos catetos. Mas pode me chamar de hipotenusa."c) "Sou o quadrado da soma dos catetos. Mas pode me chamar de quadrado da hipotenusa."d) "Sou a soma dos quadrados dos catetos. Mas pode me chamar de quadrado da hipotenusa."

82.82. A medida da altura do trapézio a seguir é:

a) 9,5 b) 9 c) 8,5 d) 8

83.83. (UERJ-2000) Observe o desenho.Ele representa uma folha retangular com 8cm x 13cm, que foi recortada formando duas figuras I e II, que, apesar de distintas, possuem a mesma área.A diferença entre o perímetro da figura I e da figura II, em cm, corresponde a:

a) 0 b) 2 c) 4 d) 6

84.84. (UFF) Na figura abaixo, os triângulos ABC e DEF são equiláteros.

Sabendo que AB, CD e DE medem, respectivamente, 6m, 4m e 4m, calcule a medida de BE.

85.85. (UFRJ-99-2ª fase) Na figura, o triângulo AEC é equilátero e ABCD é um quadrado de lado 2 cm.

Calcule a distância BE.

86.86. Use o teorema de Pitágoras para encontrar

a fórmula da diagonal do cubo abaixo.

87.87. As circunferências da figura abaixo possuem raios R e r. Calcule o segmento da tangente comum.

88.88. Considere a figura a seguir na qual os segmentos de reta AB e CD são perpendiculares ao segmento de reta BC. Se AB = 19 cm, BC = 12 cm e CD = 14 cm, determine a medida, em cm, do segmento de reta AD.

28

24

h 10

12

10

A C

BE

D F

d

aa

a

x

A

D

A O B

O´R


89.89. Para trocar uma lâmpada, Roberto encostou uma escada na parede de sua casa, de forma que o topo da escada ficou a uma altura de 14 metros (figura 1). Enquanto Roberto subia os degraus, a base da escada escorregou por 1 metro, indo tocar o muro paralelo à parede (figura 2). Refeito o susto, Roberto reparou que, após deslizar, a escada passou a fazer um ângulo de 45º com a horizontal (figura 2).Pergunta-se:A) qual é a distância entre a parede da casa e o muro?B) Qual é o comprimento da escada de Roberto?

90.90. Os semicírculos de diâmetro AO, OB e AB têm centros sobre a reta AB. O círculo de centro O lhes é tangente. Se AB = 12 cm, calcule R.

a) 1 cmb) 3 cmc) 5 cmd) 2 cme) 4 cm

91.91. (ENEM-2006) Observe a figura.

Na figura acima, que representa o projeto de uma escada com 5 degraus de mesma altura, o comprimento total do corrimão é igual aA) 1,8 m.B) 1,9 m.C) 2,0 m.D) 2,1 m.E) 2,2 m.

92.92. (ENEM-2005) Quatro estações distribuidoras de energia A, B, C e D estão dispostas como vértices de um quadrado de 40 km de lado. Deseja-se construir

uma estação central que seja ao mesmo tempo equidistante das estações A e B e da estrada (reta) que liga as estações C e D.A nova estação deve ser localizada(A) no centro do quadrado.(B) na perpendicular à estrada que liga C e D passando por seu ponto médio, a 15 km dessa estrada.(C) na perpendicular à estrada que liga C e D passando por seu ponto médio, a 25 km dessa estrada.(D) no vértice de um triângulo equilátero de base AB, oposto a essa base.(E) no ponto médio da estrada que liga as estações A e B.

29

B C


GABARITO61-25 cm; 62- – 2 + 22 ou – 2(1 – 2); 63-E; 64-D; 65-D; 66-D; 67-BE = 84 ou 221; 68-6 – 2; 69-a3; 70-2Rr; 71-13cm; 72- a) 3m b) 32 m; 73-D; 14-D; 15-B

O CONCEITO DE ÁREAEm diversos contextos e por vários motivos os povos

sentiram necessidade de medir superfícies. No antigo Egito, por exemplo, a cada ano, os estiradores de cordas – homens incumbidos de demarcar as terras inundadas pelo rio Nilo, determinavam a área de cada propriedade, não apenas para que os proprietários pudessem preservar suas terras, mas também e principalmente, para que fosse garantido o pagamento dos impostos sobre essas propriedades aos faraós.

Atualmente, por outros motivos, temos a necessidade de determinar áreas. Por exemplo, ao fazer a previsão de gastos para azulejar uma cozinha, ou, ainda, para decidir qual a área que um escritório deve ter para acomodar uma determinada quantidade de funcionários.

É importante saber que para medir* uma superfície é necessário tomar uma outra superfície, considerada unidade de medida, e verificar quantas vezes essa superfície cabe naquela que se quer medir.

* um dos significados para a palavra medir é comparar. Ao medir uma superfície, estamos, na verdade, comparando-a com outra, que pode ser menor ou maior.

NOTASUnidade de medida é o instrumento usado para comparar

medidas. Por exemplo, o m2, a polegada, a jarda o ano-luz etc.Perímetro de um polígono é a soma das medidas dos seus

lados.Figuras congruentes têm mesma área.Se uma região R é dividida em duas regiões R1 e R2, então,

SR = SR1 + SR2.A área de uma região retangular é o produto dos

comprimentos de dois lados consecutivos.

Duas figuras são ditas equivalentes quando têm áreas iguais.

Um metro quadrado (1m2) é uma superfície que corresponde a um quadrado de 1 metro de lado.

ÁREA DAS PRINCIPAIS FIGURAS PLANAS

Área do Paralelogramo

Áreas de Triângulos

Conhecendo sua base e sua altura

Conhecendo o lado (l) de um triângulo equilátero

Conhecendo seus lados – Fórmula de Hierão

30

b

hSretângulo = b h

h

b

Slosango = b h

h

b

STriângulo =

l

STriângulo =

ab

c

STriângulo =

área de Figuras Planas


p é o semi-perímetro do triângulo

Conhecendo dois lados e o ângulo entre eles

Área do Losango

Área do Trapézio

Área do Círculo de raio R

Área do Setor Circular de raio R e ângulo


93.93. (UFRJ - 2004) Um grande ato publico em favor da Educação foi organizado em uma certa cidade. Uma avenida de 1,25 km de extensão e 40 m de largura foi totalmente tomada pelo público.Supondo que quatro pessoas ocupam 1 metro quadrado, calcule quantas pessoas foram ao evento.

94.94. (Unirio-2002) Considere um tablado para a Escola de Teatro da UNIRIO com a forma trapezoidal abaixo.

Quantos m2 de madeira serão necessários para cobrir a área delimitada por esse trapézio?a) 75 b) 36 c) 96 d) 48 e) 60

95.95. Calcule a área sombreada, sabendo que a área do paralelogramo é 80 m2.

96.96. (UENF 2000) Um terreno com a forma de um quadrado de 40m de lado foi dividido em três regiões retangulares, destinadas à construção de uma casa (I), um campo de futebol (II) e uma piscina (III), conforme sugere a figura a seguir:

31

b

c

STriângulo =

A B

CD

SLosango =

A B

CD

M Nbm

Base maior

base menor

STrapézio =

raioO A

SCírculo =

(II)(I)

(III)

40 m

25 m

x

15 m

5 m5 m

9 m

R O


Sabendo que as áreas das regiões I e II são iguais, calcule:A) a área da região II;B) o valor de x na região III.

97.97. (Enem) Um terreno com o formato mostrado na figura foi herdado por quatro irmãos e deverá ser dividido em quatro lotes de mesma área. Um dos irmãos fez algumas propostas de divisão para que fossem analisadas pelos demais herdeiros.Dos esquemas abaixo, onde lados de mesma medida têm símbolos iguais, o único em que os quatro lotes não possuem, necessariamente, a mesma área é:

98.98. (UFRJ) Na figura abaixo o quadrado ABCD tem lado 6. Q1, Q2, Q3 e Q4 são quadrados de lado x. A região hachurada tem área 16.

Determine x.

99.99. (PUC-SP) Uma pizzaria oferece aos seus clientes pizzas grandes de forma circular por R$ 50,00. Para atender alguns pedidos, a pizzaria passará a oferecer a seus clientes pizzas médias, também de forma circular. Qual deverá ser o preço da pizza média, se o preço das pizzas são proporcionais às suas áreas? (Dados: raio da pizza grande = 35 cm e raio da pizza média = 28 cm).

100.100. (UFF-2000) Os retângulos R1, R2 e R3, representados na figura, são congruentes e estão divididos em regiões de mesma área.

R1 R2 R3,Ao se calcular o quociente entre a área da região pintada e a área total de cada um dos retângulos R1, R2 e R3, verifica-se que os valores obtidos formam uma progressão geométrica (P.G.) decrescente de três termos.A razão dessa P. G. é:a)1/8 b) 1/4 c) 1/2 d) 2 e) 4

101.101. (ENEM-03) Dados divulgados pelo Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais mostraram o processo de devastação sofrido pela Região Amazônica entre agosto de 1999 e agosto de 2000. Analisando fotos de satélites, os especialistas concluíram que, nesse período, sumiu do mapa um total de 20000 quilômetros quadrados de floresta. Um órgão de imprensa noticiou o fato com o seguinte texto:

O assustador ritmo de destruição é de um campo de futebol a cada oito segundos.

Considerando que um ano tem aproximadamente 32x106 s (trinta e dois milhões de segundos) e que a medida da área oficial de um campo de futebol é aproximadamente 10-2 km2 (um centésimo de quilômetro quadrado), as informações apresentadas nessa notícia permitem concluir que tal ritmo de desmatamento, em um ano, implica a destruição de uma área deA) 10 000 km2, e a comparação dá a ideia de que a devastação não é tão grave quanto o dado numérico nos indica.B) 10 000 km2, e a comparação dá a ideia de que a devastação é mais grave do que o dado numérico nos indica.C) 20 000 km2, e a comparação retrata exatamente o ritmo da destruição.D) 40 000 km2, e o autor da notícia exagerou na comparação, dando a falsa impressão de gravidade a um fenômeno natural.(E) 40 000 km2 e, ao chamar a atenção para um fato realmente grave, o autor da notícia exagerou na comparação.

102.102. (ENEM-01) Um município de 628 km² é atendido por duas emissoras de rádio cujas antenas A e B alcançam um raio de 10km do município, conforme mostra a figura:

Para orçar um contrato publicitário, uma agência precisa avaliar a probabilidade que um morador tem de, circulando livremente pelo município, encontrar-se na área

de alcance de pelo menos uma das emissoras.

32


Essa probabilidade é de, aproximadamente,A) 20% B) 25% C) 30% D) 35% E) 40%

103.103. (UERJ-2003) Uma folha de papel retangular, como a da figura 1, de dimensões 8 cm × 14 cm, é dobrada como indicado na figura 2.

Se o comprimento CE é 8 cm, a área do polígono ADCEB, em cm2,é igual a:a) 112 b) 88c) 64 d) 24

104.104. (Unesp-SP) O menor país do mundo é o Vaticano, com 0,4 km2 de área. Se o território do Vaticano tivesse a forma de um quadrado, então a medida de seus lados, em metros, estaria entre:a) 200 e 201 b) 220 e 221c) 401 e 402 d) 632 e 633

105.105. (UFRJ - 2005) Uma pizzaria vende pizzas grandes e pequenas no tradicional formato circular. As grandes têm 40 cm de diâmetro e custam R$ 18,00; as pequenas têm 20 cm de diâmetro e custam R$ 6,00. Todas têm a mesma espessura.a) Lúcia e Raquel foram a essa pizzaria dispondo, cada uma, de R$ 10,00. Raquel propôs dividir uma pizzagrande; Lúcia sugeriu que pedissem três pequenas.Qual dessas opções permite que elas comam mais?b) Manuel e Joaquim foram a essa pizzaria, com muita fome, e gastaram R$ 60,00 em 10 pizzas pequenas.Determine de quantas outras formas eles poderiam, nessa pizzaria, gastar os mesmos R$ 60,00 em pizzas.c) Em qual das opções do item anterior os dois comeriam mais pizzas?

106.106. (UENF-UERJ-01) Um atleta está treinando em uma pista retilínea e o gráfico abaixo apresenta dados sobre seu movimento.

A distância percorrida pelo corredor, no intervalo entre 0 e 5 segundos, é igual à área do trapézio sombreado.Calcule essa distância.

107.107. (UERJ-2011-1ºEQ) A embalagem de papelão de um determinado chocolate, representada na figura abaixo, tem a forma de um prisma pentagonal reto de altura igual a 5 cm.

Em relação ao prisma, considere:- cada um dos ângulos A, B, C e D da base superior mede 120º;- as arestas AB, BC e CD medem 10 cm cada.Considere, ainda, que o papelão do qual é feita a embalagem custa R$10,00 por m2 e que 3 = 1,73.Na confecção de uma dessas embalagens, o valor, em reais, gasto somente com o papelão é aproximadamente igual a:a) 0,50 b) 0,95 c) 1,50 d) 1,85

108.108. (UFF-04) Dentre as previsões populacionais para o Brasil, a mais sensata parece ser a do Fundo das Nações Unidas. Essa instituição prevê que o país estacionará em torno de 400 milhões de habitantes, no fim do século XXI.

Trecho adaptado de reportagem da revista Veja, 27 de março de 1996.

A mesma reportagem considera, ainda, que tal crescimento populacional garantiria ao Brasil uma densidade demográfica (razão entre o número de habitantes e a área do país), no fim do século XXI, igual à metade da densidade demográfica da França no ano de 1996.Sabe-se que a área territorial do Brasil é, aproximadamente, 15,5 vezes a área da França.Pode-se concluir, de acordo com a reportagem, que a população da França, em 1996, em milhões de habitantes, era de, aproximadamente:A) 12,6 D) 75,7B) 25,8 E) 103,20C) 51,6

GABARITO

71-200.000 pessoas; 72-D; 73-40 m2; 74- a) 600 m2, b) 16 m; 75-E; 76- x = 1 ou x = 2; 77-R$ 32,00; 78-C; 79-E; 80-B; 81-C; 82-D; 83- a) A opção que Raquel sugeriu.b) Três maneiras diferentes: 3 grandes e 1 pequena, 2 grandes e 4 pequenas e 1 grande e 7 pequenas. c) Na opção: 3 grandes e 1 pequena; 84-22,5; 85- B; 86-C

33

5 10

2

4

v (m/s)

t (s)


TRIGONOMETRIA

TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

A palavra trigonometria, de origem grega (tri = três, gono = ângulo, metria = medida), significa “medida de triângulos”. Como o nome sugere, a Trigonometria é a parte da Matemática que estuda as relações entre as medidas dos lados e as medidas dos ângulos de um triângulo.

Embora não se tenha informações precisas sobre a origem desse estudo, há registros de sua aplicação por babilônicos e antigos egípcios, especialmente na Agrimensura e na Astronomia. A Trigonometria era usada, por exemplo, para determinar distâncias que não podiam ser medidas com instrumentos, como distâncias entre planetas. Entre os gregos, suas primeiras aplicações práticas ocorreram com Ptolemaios, por volta do ano 150 d.C., que a usou para determinar a latitude e longitude de cidades e de outros pontos geográficos em seus mapas.

Do mundo grego, a Trigonometria passou para a Índia, onde era usada, a partir do século V, nos cálculos astrológicos. No ano 800, aproximadamente, ela chega ao mundo islâmico, onde foi muito desenvolvida e aplicada na Astronomia e Cartografia. Alcança, com os livros de Ptolemaios, a Europa Cristã em torno do ano 1100. Com os portugueses encontra uma aplicação de enorme valor econômico na Navegação Oceânica.

Até cerca de 1600, todas as aplicações da Trigonometria (Astronomia, Cartografia e Navegação Oceânica) nada tinham a ver com problemas de agrimensura ou topografia. É importante observar que, nesse período, a Trigonometria estava num estágio bastante desenvolvido, em muito ultrapassando o que é hoje ensinado no ensino médio.

RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

Observe o triângulo retângulo ABC, indicado a seguir.

Chamamos de razões trigonométricas as divisões entre os lados do triângulo retângulo.

Para isso, tomemos como ângulo de referência o

ângulo .

Para , temos:

= seno de

= cosseno de

= tangente de

VALORES DAS RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS DOSÂNGULOS NOTÁVEIS (30º, 45º E 60º)

30º 45º 60º

34

A Matemática apresenta invenções tão sutis que poderão servir não só para satisfazer os curiosos como, também para auxiliar as artes e poupar trabalho aos homens. (Descartes)

A

B

C

a

b

c

No triangulo, temos:

BC - hipotenusa de medida a.AB e AC - catetos de medidas, respectivamente c e b.

< 90º < 90º + = 90º

Seno de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto oposto ao ângulo e a medida da hipotenusa. Indica-se: sen

Cosseno de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto adjacente ao ângulo e a medida da hipotenusa. Indica-se: cos

Tangente de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto oposto ao ângulo e a medida do cateto adjacente ao ângulo. Indica-se: tg

10

8

6

º

12

x


Seno

Cosseno

Tangente 1

Exercícios resolvidos:Calcular seno, cosseno e tangente de cada ângulo agudo na figura.

Calcular a medida x no triangulo retângulo a seguir.

Na figura acima temos, para o ângulo dado (30º), o cateto adjacente e a hipotenusa do triângulo.Das razões trigonométricas apresentadas, a única que trabalha com esses elementos é a razão cosseno. Portanto, vamos trabalhar com o cosseno de 30º, que

na tabela trigonométrica nos dá o valor .

Para resolver um problema desse tipo, devemos igualar o valor “numérico” do cosseno dado na tabela com o valor algébrico do cosseno representado pela figura.Logo, teremos:

Resolvendo essa regra de três, obtemos x = 6 .


1. (UNIRIO-2005) Ao ser indagado sobre o valor de sen 45º, um estudante pensou assim:

45º =

sen 45º =

Continuando nesse raciocínio, o estudante encontrou como resposta:a) um valor menor que o correto, diferente da metade do correto.b) o valor correto.c) a metade do valor correto.d) o dobro do valor correto.e) um valor maior que o correto, diferente do dobro docorreto.

2. Um avião levanta vôo em B, e sobe fazendo um ângulo constante de 15º com a horizontal. A que altura estará e qual a distância percorrida quando passar pela vertical que passa por uma igreja situada a 2 km do ponto de partida?Dados: sen 15º = 0,26 e tg 15º = 0,27.

3. (Fumec-MG) x = implica:

a) x = d) x =

b) x = e) x =

c) x =

4. (FUVEST-SP) Calcule x indicado na figura.

x

30º 60º

100m

5. (UERJ) Um barco navega na direção AB, próximo a um farol P, conforme a figura abaixo.

No ponto A, o navegador verifica que a reta AP, da embarcação ao farol, forma um ângulo de 30º com a direção AB. Após a embarcação percorrer 1.000 m, no ponto B, o navegador verifica que a reta BP, da embarcação ao farol, forma um ângulo de 60º com a mesma direção AB. Seguindo sempre a direção AB, a menor distância entre a embarcação e o farol será equivalente, em metros, a:a) 500 b) 5003 c) 1.000 d) 1.0003

6. (UERJ - 2000) Observe a bicicleta e a tabela trigonométrica.

35

sen =

cos =

tg =

sen =

cos =

tg =


ÂNGULO(em graus) SENO COSSENO TANGENTE

10 0,174 0,985 0,17611 0,191 0,982 0,19412 0,208 0,978 0,21313 0,225 0,974 0,23114 0,242 0,970 0,249

Os centros das rodas estão a uma distância PQ igual a 120 cm e os raios PA e QB medem, respectivamente, 25 cm e 52 cm.De acordo com a tabela, o ângulo AÔP tem o seguinte valor:a) 10º b) 12º c) 13º d) 14º

7. (UNI-RIO - RJ) Um disco voador é avistado, numa região plana, a uma certa altitude, parado no ar. Em certo instante, algo se desprende da nave e cai em queda livre, conforme mostra a figura. A que altitude se encontra esse disco voador?

Considere as afirmativas:I. A distância d é conhecida.II. A medida do ângulo e a tg do mesmo ângulo são conhecidas.Então, tem-se que:a) A I sozinha é suficiente para responder à pergunta, mas a II sozinha, não.b) A II sozinha é suficiente para responder à pergunta, mas a I, sozinha, não.c) I e II, juntas são suficientes para responder à pergunta, mas nenhuma delas, sozinha, não é.d) Ambas são, sozinhas, suficientes para responder à pergunta.e) A pergunta não pode ser respondida por falta de dados.

8. Um observador, com 1,70m de altura, vê uma luz no alto de uma torre de televisão, sob um ângulo de 60º, como mostra a figura. Esse observador se encontra a 20m da base da torre (distância horizontal). Determine a altura aproximada da torre.(Dado: )

9. (UERJ-09) Um piso plano é revestido de hexágonos regulares congruentes cujo lado mede 10 cm.Na ilustração de parte desse piso, T, M e F são vértices comuns a três hexágonos e representam os pontos nos quais se encontram, respectivamente, um torrão de açúcar, uma mosca e uma formiga.

Ao perceber o açúcar, os dois insetos partem no mesmo instante, com velocidades constantes, para alcançá-lo. Admita que a mosca leve 10 segundos para atingir o ponto T. Despreze o espaçamento entre os hexágonos e as dimensões dos animais.A menor velocidade, em centímetros por segundo, necessária para que a formiga chegue ao ponto T no mesmo instante em que a mosca, é igual a:(A) 3,5 (B) 5,0 (C) 5,5 (D) 7,0 10. (UFRJ-99-2ª fase) Na figura a seguir, os círculos de centros O1 e O2 são tangentes em B e têm raios 1cm e 3cm.

Determine o comprimento da curva ABC.

GABARITO1- ; 2- altura: h = 0,54 km ; distância: d 2,07 km; 3-B; 4-x = 503 m; 5-B; 6-C; 7-C; 8-35,70 m; 9-D; 10-5/3

36

d


ENTENDENDO O QUE É UMA CIRCUNFERÊNCIA

Observe a figura a seguir.

A figura apresenta alguns pontos, O, I, E e outros pontos que não foram nomeados.

Com o auxílio de uma régua, meça a distância, em cm, entre o ponto O e os pontos que não foram nomeados. Depois, coloque os resultados na tabela a seguir.Distância entre Valor encontradoO e IO e EO e os demais pontos

Agora, pense e responda:

Quantos outros pontos você acha que existem de modo que a distância entre o ponto O e cada um desses pontos seja

sempre igual à descrita na 3ª linha da tabela acima?

É a essa infinidade de pontos que chamamos CIRCUNFERÊNCIA, ou seja, circunferência é na verdade um conjunto de pontos tal que a distância entre eles e um ponto fixo – neste caso, o centro – é sempre a mesma.

E mais, a essa distância que é sempre constante (isso quer dizer que não há variação) chamamos RAIO da circunferência.

Na figura ao lado, tem-se que o segmento OB é um raio da circunferência. O segmento OC também é um raio.Repare que neste desenho o interior da circunferência foi sombreado (hachurado).A essa região sombreada chamamos CÍRCULO.

Em qualquer circunferência, dois raios colineares são chamados de DIÂMETRO. Na figura acima, CB é um diâmetro.

COMPRIMENTO DE UMA CIRCUNFERÊNCIA

Neste tópico, vamos desenvolver uma atividade e para isso você vai precisar de: algum material que seja redondo –

um CD, uma bandeja, uma roda etc; um barbante ou um pedaço de linha

(também pode ser uma fita métrica); uma régua (caso não tenha uma fita

métrica) um lápis ou uma caneta, ou algo que

possa marcar um ponto na linha (ou barbante) que estiver usando.

De posse dos materiais acima, encontre:

a) a medida do comprimento da borda (circunferência) do objeto redondo;

b) a medida do diâmetro desse mesmo objeto.

Anote os valores na tabela a seguir.

Comprimento da borda do objeto Diâmetro do objeto

37

A C i r c u n f e r ê n c i a e s e u C o m p r i m e n t o

O

E

I

O B C

http://www.google.com.br/imgres?hl=pt-BR&biw=1366&bih=628&gbv=2&tbm=isch&tbnid=gfNmJTKL0m8GMM:&imgrefurl=http://assoccmab.blogspot.com/2009/07/voce-pergunta-cmab-responde.html&docid=x2FSoTfhR53kvM&imgurl=http://1.bp.blogspot.com/_Sw1PfuPHh58/SlNwm3_IxSI/AAAAAAAAAP4/zL1iV-ckMc0/s320/pergunta2.jpg&w=300&h=300&ei=Jj2YT8esMKTr0gHPm4XOBg&zoom=1&iact=hc&vpx=109&vpy=160&dur=3071&hovh=225&hovw=225&tx=135&ty=119&sig=107496978515069838116&page=1&tbnh=119&tbnw=119&start=0&ndsp=25&ved=1t:429,r:0,s:0,i:93%00%E5%A1%B9%EF%92%81%E1%B4%BB%E4%A1%BF%E2%B2%AF%E5%B6%82%E8%97%84%E6%8C%A7%00%00%EA%AE%A5

N

M DA

B C


Agora, escreva no quadro a seguir o resultado da divisão (razão) entre o comprimento da borda (circunferência) e o diâmetro do objeto, e em seguida, compare o resultado encontrado com o resultado dos seus colegas.

Saiba que as razões que vocês encontraram devem ter valores próximos ao de um número muito importante da Matemática, o qual é representado pelo símbolo , que é a letra p do alfabeto grego e pronuncia-se “pi”. Observe o valor de a seguir com 100 casas decimais:

3,141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628034825342117068...

Saiba também que esse número não é um número racional, ou seja, não pode ser obtido por meio de uma razão, como você calculou nessa atividade. Ele é obtido por outros métodos matemáticos. Além disso, possui infinitas casas decimais.

O importante é você ter observado que todos os círculos (ou circunferências) apresentam uma característica de regularidade expressada por esse valor chamado .

Dessa regularidade, podemos então escrever a seguinte equação:

E a mesma equação pode ser escrita:

Ou ainda,


1. As rodas de uma bicicleta têm 60 cm de diâmetro.a) qual o comprimento da circunferência dessa roda?b) quantas voltas dará cada roda num percurso de 94,2 m? (apenas no item b, use = 3,14)

2. Um ciclista dá 500 pedaladas completas numa bicicleta cujo raio da roda é 25 cm.

Considerando que a roda dá uma volta completa a cada pedalada dada pelo ciclista, determine quantos metros ele percorreu aproximadamente.

3. Numa circunferência de raio r = 30 cm, qual é o comprimento de um arco que subentende um ângulo central de 60º?Considere = 3,14

4. Determine o perímetro da figura sombreada, indicada a seguir.

Sabe-se que ABCD é um quadrado de lado 10 cm. As linhas curvas são semicircunferências com centros nos pontos médios, M e N, dos lados do quadrado.

5. Supondo que a Terra seja uma esfera de raio r = 6.375 km, determine a distância do equador a um ponto situado a uma latitude 30º norte.Adote = 3,14.

6. (UFF) Um serralheiro deseja construir a grade de ferro desenhada abaixo.Sabe-se que MN é mediatriz do lado LK do retângulo IJKL, a medida do ângulo JMK = IML = 60º e as medidas de LK, MN e JK são, respectivamente, 2 m, 2 m e 3 m.Para construir o arco de circunferência IJ, o serralheiro deve utilizar uma vara de ferro com o seguinte comprimento:

a) b) c) d) e)

7. (ENEM-98) As bicicletas possuem uma corrente que liga uma coroa dentada dianteira, movimentada pelos pedais, a uma coroa localizada no eixo da roda traseira, como mostra a figura.O número de voltas dadas pela roda traseira a cada pedalada depende do tamanho relativo destas coroas.

38

Onde C representa o comprimento da circunferência e d, o diâmetro.

Onde r representa o raio da circunferência.


Em que opção abaixo a roda traseira dá o maior número de voltas por pedalada?

8. (ENEM-98 - Adaptada) Quando se dá uma pedalada na bicicleta a seguir (isto é, quando a coroa acionada pelos pedais dá uma volta completa), qual é a distância aproximada percorrida pela bicicleta, em metros?(use = 3)

GABARITO:1-a) 60 cm, b) 50 voltas; 2 – 785 m; 3- 31,4 cm; 4-10(2 + ) cm; 5 - 3.336,25 km; 6-A; 7-A; 8-7,2 m;

TRIGONOMETRIA

TRIGONOMETRIA NO CICLO

COMPRIMENTO DE CIRCUNFERÊNCIASupondo que pudéssemos cortar uma

circunferência e esticá-la, retificando-a, obteríamos um segmento de reta AB. O comprimento desse segmento é denominado comprimento da circunferência.

A medida do comprimento da circunferência é dada por:

Aqui, o valor de p é 3,1415926...

UNIDADES DE MEDIDA DE ARCOS E ÂNGULOSPara medir arcos e ângulos utilizam-se

duas medidas: o grau e o radiano.

O GrauDividindo uma circunferência em 360

partes iguais, cada uma dessas partes é um arco de 1º. (lê-se: um grau)

O RadianoUm radiano é o ângulo central de um

círculo que subentende um arco de comprimento igual ao raio do círculo.

Neste caso, como o comprimento do raio é igual ao comprimento arco, a medida do ângulo central é, em radianos, igual a 1.Como o comprimento de uma circunferência pode ser calculado pela expressão 2r, podemos dizer quantas vezes esse arco AB cabe na circunferência através da divisão: , ou seja, 2 vezes.Portanto, podemos concluir que o ângulo central correspondente a uma volta é, em radianos, 2 rad.Podemos, a partir dessa informação, estabelecer uma relação entre medidas de ângulos em graus e radianos. Algumas delas estão representadas a seguir.

Podemos, a partir da informação 180º = e de uma regra de três simples, calcular o valor de qualquer arco em graus ou em radianos.Exemplo: Qual é o arco em radianos, equivalente ao arco de 150º?Solução:Valor do arco em

grausValor do arco em

rad180º 150º x

39

r

circunferência retificadaA B

C = r

rA

B

arco AB de comprimento r

r

1 rad

0º

90º

180º

270º

360º 0

/2

3/2

2III

III IV

III

III IV


ARCO ORIENTADOA figura mostra que o

percurso de A para B pode ser feito no sentido anti-horário, seguindo o menor arco AB, ou no sentido horário, seguindo o maior arco AB.Estabelecendo como positivo o sentido anti-horário (contrário ao movimento dos ponteiros do relógio) e como negativo o sentido horário, temos:

CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA OUCICLO TRIGONOMÉTRICO

É a circunferência de raio unitário (r = 1) que se divide em quatro regiões, por dois diâmetros perpendiculares. Cada região é um quadrante.

ARCOS CÔNGRUOSConsidere um ponto P localizado no 1º

quadrante do ciclo trigonométrico de modo que o arco AP (A é ponto de origem do ciclo) forme um ângulo de 60º, ou seja, /3. É possível dar várias voltas num sentido ou noutro de maneira que sempre o arco produzido tenha a mesma extremidade P.

Chamamos esses arcos de arcos côngruos. Lembre-se: uma volta é equivalente a 360º ou 2 rad.Observe.

Existem infinitos arcos com extremidade em P, ou seja, côngruo a 60º ou .

60º (60º + 0 360º) 60º (60º + 0 360º)420º (60º + 1 360º) – 300º (60º – 1 360º)780º (60º + 2 360º) – 660º (60º – 2 360º)

1.140º (60º + 3 360º)

– 1.020º (60º – 3 360º)

De um modo geral, podemos escrever uma expressão que represente todos os arcos côngruos a 60º:

Exemplo:Determinar todos os arcos côngruos ao

arco de medida .Dando voltas no sentido positivo, temos:

, , ...

Ou no sentido negativo:

, , ...

De modo geral, podemos escrever que todos os arcos

côngruos a são arcos do tipo

, k .

SENO E COSSENO NO CICLOSeja P a extremidade do arco AP no

primeiro quadrante, como mostra a figura a seguir.Lembre-se: no ciclo trigonométrico, o raio vale 1.

Do triângulo retângulo OPB, temos:sen =

cos =

40

A

B

O

A

B

O

sentido negativo

A

B

O

sentido positivo

r = 1 A(1, 0)x

y

B(0, 1)

C(- 1, 0)

D(0, - 1)

Ax

y

P

60º

O

3

60º + 360ºk, k

Ax

y

P

O

C

B

1

A(1, 0); P(B, C)

N

M DA

B C


Daí, definimos: sen é a ordenada do ponto P; cos é a abscissa do ponto P.

O eixo y é o eixo dos senos e o eixo x é o eixo dos cossenos.Se P é um ponto do ciclo trigonométrico, podemos escrever: M(cos, sen).Essa nova ideia nos permite ir além dos ângulos agudos; e passamos a ter também valores de senos, cossenos e tangentes tanto positivos quanto negativos, dependendo do quadrante onde se encontra a extremidade do arco estudado.A tabela a seguir fornece os sinais das razões seno, cosseno e tangente de acordo com os quadrantes.

1º Quad

2º Quad

3º Quad

4º Quad

seno + + - -cossen

o + - - +tangente + - + -

Importante: como a circunferência trigonométrica possui raio unitário, ou seja, igual a 1, o seno ou o cosseno de qualquer arco nunca pode ser menor que – 1 ou maior que 1.

- 1 sen 1- 1 cos 1

A tangente pode ser calculada como a razão entre o seno e o cosseno e o seu valor pode ser qualquer número real.

Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triangulo retângulo OPB da última figura, obtemos:


9. As rodas de uma bicicleta têm 60 cm de diâmetro.a) qual o comprimento da circunferência dessa roda?b) quantas voltas dará cada roda num percurso de 94,2 m?Use = 3,14.

10. Numa circunferência de raio r = 30 cm, qual é o

comprimento de um arco que subentende um ângulo central de 60º?Considere = 3,14

11. Determine o perímetro da figura sombreada, indicada a seguir.

Sabe-se que ABCD é um quadrado de lado 10 cm. As linhas curvas são semicircunferências com centros nos pontos médios, M e N, dos lados do quadrado.Considere = 3,14.

12. Supondo que a Terra seja uma esfera de raio r = 6.375 km, determine a distância do equador a um ponto situado a uma latitude 30º norte.Adote = 3,14.

13. (UNICAMP) Os pontos A e B estão, ambos, localizados na superfície terrestre a 60º de latitude norte; o ponto A está a 15º 45’ de longitude leste e o ponto B a 56º 15’ de longitude oeste.a) Dado que o raio da Terra, considerada perfeitamente esférica, mede 6.400 km, qual é o raio do paralelo de 60º?b) Qual é a menor distância entre os pontos A e B, medida ao longo do paralelo de 60º?(use 22/7 como aproximação para ) 14. (UERJ-2005-II) A Terra pode ser representada por uma esfera cujo raio mede

6.400 km. Na representação abaixo, está indicado o trajeto de um navio do ponto A ao ponto C, passando por B.

Qualquer ponto da superfície da Terra tem coordenadas (x;y), em que x

representa a longitude e y, a latitude. As coordenadas dos pontos A, B e C estão indicadas na tabela a seguir.

41

Pontos

Coordenadas

x yA 135º 0ºB 135º 60ºC 90º 60º

P

BO


Considerando igual a 3, a distância mínima, em quilômetros, a ser percorrida pelo navio no trajeto ABC é igual a:a) 11.200 b) 10.800 c) 8.800 d) 5.600

15. (UFF) Um serralheiro deseja construir a grade de ferro desenhada abaixo.Sabe-se que MN é mediatriz do lado LK do retângulo IJKL e as medidas de LK, MN e JK são, respectivamente, 2 m, 2 m e 3 m.Para construir o arco de circunferência IJ, o serralheiro deve utilizar uma vara de ferro com o seguinte comprimento:

a) b) c) d) e)

16. (ENEM-98) As bicicletas possuem uma corrente que liga uma coroa dentada dianteira, movimentada pelos pedais, a uma coroa localizada no eixo da roda traseira, como mostra a figura.O número de voltas dadas pela roda traseira a cada pedalada depende do tamanho relativo destas coroas.

Em que opção abaixo a roda traseira dá o maior número de voltas por pedalada?

17. (ENEM-98) Quando se dá uma pedalada na bicicleta ao lado (isto é, quando a coroa acionada pelos pedais dá uma volta completa), qual é a distância aproximada percorrida pela bicicleta, sabendo-se que o comprimento de um círculo de raio R é igual a 2R, onde 3?

18.(PUC) O valor de sen 1200º é igual a:a) cos 60º d) – sen 30ºb) – sen 60º e) cos 45ºc) cos 30º

19.(UFF-97) Para = 89º, conclui-se que:a) tg < sen < cos b) cos < sen < tg c) sen < cos < tg d) cos < tg < sen e) sen < tg < sen

20.(UFF-2002) Seja x um arco do primeiro quadrante tal que sen x = 0,6. Pode-se afirmar que:

a) sen = - 0,3 d) cos x =

0,8b) cos 2x = - 0,6 e) sen 2x =

1,2

c) cos = 0,6

21.(CESGRANRIO) O número de soluções da equação sen2 x = 2 sen x, no intervalo [ 0, 2 ], é:a) 0 d) 3b) 1 e) 4c) 2 22.No intervalo [ 0 , 2 ], o número de soluções distintas da equação é:a) 0 d) 3b) 1 e) 4c) 2

23.(UGV - 78) Sejam sen x = e cos x = . Então, o valor de a é:

a) 1 ou 0 b) -1 ou 0 c) 2 ou - 2 d) 0 e) -1

24.(UFRJ - 2004 - 2ª fase) A equaçãox2 - 2x cos θ + sen2 θ = 0 possui raízes reais iguais.Determine θ, 0 θ 2.

25.(UFF-00) Considere os ângulos , e , conforme representados no círculo.

42


Pode-se afirmar que:a) cos < cos b) sen < cos c) cos > cos d) cos < cos e) sen > sen

26.(UERJ - 2003) Observe a matriz a seguir.

Resolvendo seu determinante, será obtido o seguinte resultado:a) 1 b) sen xc) sen2 x d) sen3 x

GABARITO:1-a) 1,884m, b) 50 voltas; 2- 31,4; 3-51,4 cm; 4-3.336,25 km; 5-a) 3.200km, b) 4.022,86km; 6-C; 7-A; 8-A; 9-C; 10-C; 11-B; 12-D; 13-D; 14-D; 15-D; 16- = ; = ; = ; = ; 17-E; 18-D.

SÓLIDOS GEOMÉTRICOS

Prismas

Considere um polígono contido num plano . Considere também uma reta que intercepta este plano. Observe a figura.

Para cada ponto do polígono no plano a, considere segmentos de reta paralelos à reta r.

Considere um plano paralelo a . Para cada ponto do polígono em , existe um segmento paralelo à reta r com extremidades nos dois planos.

Ao conjunto formado por todos os segmentos paralelos

à reta r com extremidades nos planos e (sólido geométrico), denominamos prisma.

ELEMENTOS43

r

r

r

paralelepípedo reto

d


bases: são os polígonos congruentes e paralelos.faces laterais: são os paralelogramos.arestas das bases: são os lados dos polígonos das bases.arestas laterais: são os lados do prisma que ligam uma base a outra. São paralelas e de comprimentos congruentes.altura: é a distância entre os planos das bases.

CLASSIFICAÇÃO

De acordo com os polígonos das bases, os prismas podem ser: triangulares – quando as bases são triângulos, quadrangulares – quando as bases são quadriláteros, pentagonais – quando as bases são pentágonos, hexagonais – quando as bases são hexágonos, etc.

De acordo com a inclinação (ângulo) entre as faces laterais e as bases, os prismas podem ser: retos – quando as arestas laterais são perpendiculares aos planos das bases. oblíquos – quando as arestas laterais são obliquas aos planos das bases.IMPORTANTE:Quando um prisma é reto e a bases são polígonos regulares, ele é denominado Prisma Regular.

Prismas Notáveis_____________________________

PARALELEPÍPEDOSão prismas formados por seis faces, todas em forma de

paralelogramos.

CUBOParalelepípedo reto formado por arestas de mesma medida.

DIAGONAL DE UM PARALELEPÍPEDO RETÂNGULO (D)

Considere o paralelepípedo ao lado.Chamaremos por a o seu comprimento, b a sua largura e c a sua altura.

O comprimento da diagonal D pode ser calculado aplicando o teorema de Pitágoras no triangulo retângulo de medidas D, d e c, onde D é a diagonal do paralelepípedo, d é a diagonal do retângulo da base e c é a altura.(I) Aplicando Pitágoras ao triângulo retângulo da base, temos:(II) (II) em (I)

Para o cubo, temos que sua diagonal D mede:

onde a é a medida da aresta.

ÁREA TOTAL DA SUPERFÍCIE DE UM PARALELEPÍPEDO RETÂNGULO (St)Calcular a área da superfície de um paralelepípedo retângulo é o mesmo que calcular a soma das áreas das faces retangulares.

Para o cubo, temos:

VOLUME (V)De modo geral, o volume de qualquer prisma pode ser calculado multiplicando a área da base do prisma pela sua altura.Para o paralelepípedo acima, temos que o seu volume é dado por:

onde a, b e c são, respectivamente, o comprimento, a largura e a altura do paralelepípedo.

Para o cubo, temos:

onde a é a aresta do cubo.


1.1. (UFRJ-03) Uma pedra de massa 25 kg tem a forma de um paralelepípedo com 2 cm de espessura. Sua base é um quadrado com 1 m de lado. Qual a massa de uma outra pedra, do mesmo material, que tem a forma de um paralelepípedo com 2 m de comprimento, 80 cm de

largura e 3 cm de espessura?

2.2. (UNIRIO-05) Uma sala de 8 m de comprimento, 60 dm de largura e 30 dm de altura deverá ser ocupada por 48 pessoas. Sabe-se que a quantidade de ar necessária para que uma pessoa tenha boas condições de permanecer numa sala é 4 m3.

44

aresta lateral

aresta da base

face

face lateral

base

h

paralelepípedo oblíquo

D

a

b

c


De quanto, no mínimo, se deve aumentar a medida da altura dessa sala, para que a necessidade de ar de todas as pessoas que lá estarão seja plenamente satisfeita?a) 2m b) 1,5m c) 1m d) 0,75m e) 0,50m

3.3. (UFF-01) Uma piscina tem a forma de um prisma reto, cuja base é um retângulo de dimensões 15 m e 10 m.

A quantidade necessária de litros de água para que o nível de água da piscina suba 10 cm é:a) 0,15 L b) 1,5 L c) 150 L d) 1.500 L e) 15.000 L

4.4. (UNI-RIO) Os lados de um cubo são multiplicados por 2. O volume do cubo fica:

a) 2 vezes maiorb) 3 vezes maiorc) 4 vezes maiord) 6 vezes maiore) 8 vezes maior

5.5. (UFPE) Segundo o regulamento de uma companhia de transporte, a bagagem de mão de um passageiro, na forma de um paralelepípedo reto, deve ter altura de, no máximo, 45 cm e a soma da largura e do comprimento não pode ultrapassar 80 cm.

Para qual valor da largura, medida em cm, o volume da bagagem de mão será o máximo?

6.6. (UERJ) Na construção de um hangar, com a forma de um paralelepípedo retângulo, que possa abrigar um “Airbus” foram consideradas as medidas apresentadas abaixo:

(Adaptado de Veja, 14/06/2000)

Calcule o volume mínimo desse hangar.

7.7. Um caminhão basculante tem a carroceria com as dimensões indicadas na figura.

Calcule quantas viagens deverá fazer para transportar 136m3 de areia.

8.8. Depositam-se 5.000 litros de água no interior de um reservatório com a forma de um paralelepípedo reto-retângulo de 10 m de comprimento por 5 m de largura. A partir desse instante, um vazamento começa a baixar o nível d’água, à base de um centímetro a cada 24 horas.

O número de horas que, no mínimo, deverão transcorrer para que o reservatório fique completamente vazio (desprezando-se qualquer outra eventual forma de perda d’água) é:a) 96 b) 120 c) 144 d) 192 e) 240

9.9. (UERJ-2012-2ºEQ) As figuras a seguir mostram dois pacotes de café em pó que têm a forma de paralelepípedos retângulos semelhantes.

Se o volume do pacote maior é o dobro do volume do menor, a razão entre a medida da área total do maior pacote e a do menor é igual a:a) b) c) d)

45

79,8 metros

73 metros

24,1 metros

base

base

altu

ra h

raio da base

eixo

geratriz

gera

triz

=al

tura

geratriz altura

gera

triz

raio


GABARITO1-60kg; 2-C; 3-E; 4-E; 5-40cm; 6-140.392,14 m; 7-20; 8-E.9-B;

Cilindros

Considere um plano e um círculo contido neste plano. Considere também uma reta r que intercepta este plano. Observe a figura.

Considere também segmentos de retas (paralelos a reta r) com extremidades no plano e em um plano , paralelo a .

Ao conjunto formado por todos os segmentos paralelos a r com extremidades nos planos e , chama-se cilindro.

ELEMENTOS

bases: são os círculos contidos nos planos e ..altura: é a distância entre as bases.eixo: é a reta que passa pelo centro das bases.geratriz: é qualquer segmento paralelo ao eixo, com extremidades nos pontos das circunferências das bases.

CLASSIFICAÇÃO

Um cilindro circular pode ser reto ou oblíquo.

reto – quando as geratrizes são perpendiculares as bases.

Nota: Quando num cilindro circular reto, a medida da altura é igual à medida do diâmetro do círculo da base, o cilindro é denominado cilindro equilátero.

oblíquo – quando as geratrizes são oblíquas as bases.

IMPORTANTE:Um cilindro circular reto pode ser obtido pela rotação completa de um retângulo em torno de um eixo. Por esse fato, dizemos que esse tipo de cilindro é um sólido de revolução.

VOLUME (V)Como a ideia da construção do (sólido) cilindro é

análoga à construção de um prisma, isto é, uma região localizada entre dois planos paralelos, o volume do cilindro será análogo ao volume do prisma, ou seja, o produto entre a área da base e a altura. Como a base é um círculo, teremos:

onde r é o raio da base e h é a altura do cilindro.

ÁREA TOTAL DA SUPERFÍCIE DO CILINDRO (ST)A área total da superfície de um cilindro será a soma das

áreas das bases com a área lateral. Se pudéssemos retirar as “cascas” de um cilindro, teríamos dois círculos (bases) e um retângulo (área lateral).

Portanto, a área total da superfície de um cilindro (ST) deve ser:


1.1. (ENEM-99) Uma garrafa cilíndrica está fechada, contendo um líquido que ocupa quase completamente seu corpo, conforme mostra a figura. Suponha que, para fazer medições, você disponha apenas de uma régua milimetrada.Para calcular o volume do líquido contido na garrafa, o número mínimo de medições a serem realizadas é:A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

46

r

r


2.2. (ENEM-99) Para calcular a capacidade total da garrafa, lembrando que você pode virá-la, o número mínimo de medições a serem realizadas é:A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

3.3. (ENEM-01) Em muitas regiões do Estado do Amazonas, o volume de madeira de uma árvore cortada é avaliado de acordo com uma prática dessas regiões:

I - Dá-se uma volta completa em torno do tronco com um barbante.

II - O barbante é dobrado duas vezes pela ponta e, em seguida, seu comprimento é medido com fita métrica.

1ª dobra 2ª dobra

III - O valor obtido com essa medida é multiplicado por ele mesmo e depois multiplicado pelo comprimento do tronco. Esse é o volume estimado de madeira.

Outra estimativa pode ser obtida pelo cálculo formal do volume do tronco, considerando-o um cilindro perfeito.A diferença entre essas medidas é praticamente equivalente às perdas de madeira no processo de corte para comercialização.Pode-se afirmar que essas perdas são da ordem deA) 30% B) 22% C) 15% D) 12% E) 5%

4.4. (ENEM-03) Uma editora pretende despachar um lote de livros, agrupados em 100 pacotes de 20 cm x 20 cm x 30 cm. A transportadora acondicionará esses pacotes em caixas com formato de bloco retangular de 40 cm x 40 cm x 60 cm. A quantidade mínima necessária de caixas para esse envio é:A) 9 B) 11 C) 13 D) 15 E) 17

5.5. (UERJ-01) Um recipiente cilíndrico de 60 cm de altura e base com 20 cm de raio está sobre uma superfície plana horizontal e contém água até a altura de 40 cm, conforme indicado na figura.Imergindo-se totalmente um bloco cúbico no recipiente, o nível da água sobe 25%.Considerando igual a 3, a medida, em cm, da aresta do cubo colocado na água é igual a:A) B)

C) D)

6.6. (UFF-04) “Uma das soluções encontradas para a escassez de água na região semi-árida do nordeste brasileiro é a captação da água da chuva que escorre dos telhados das casas. A água captada é conduzida por meio de calhas para um reservatório com a forma de um cilindro circular reto.”

Superinteressante, Edição 177, junho de 2002.

O reservatório citado tem altura aproximada de 1,8 metro e capacidade para armazenar 16000 litros da água da chuva.

Considerando R o raio da base do reservatório, pode-se afirmar que R2, em metro quadrado, é aproximadamente:a) 1,4 b) 1,9 c) 2,8 d) 3,8 e) 7,8

7.7. (FUVEST-04) Uma metalúrgica fabrica barris cilíndricos de dois tipos, A e B, cujas superfícies laterais são moldadas a partir de chapas metálicas retangulares de lados a e 2a, soldando lados opostos dessas chapas, conforme ilustrado ao lado.

Se VA e VB indicam os volumes dos barris do tipo A e B, respectivamente, tem-se:a) VA = 2VB

b) VB = 2VA

c) VA = VB

d) VA = 4VB

e) VB = 4VA

8.8. (UFF-01) Um reservatório, na forma de um cilindro circular reto, tem raio da base r, altura h e volume V. Deseja-se construir outro reservatório que tenha, também, a forma de um cilindro circular reto, volume V, porém, raio da base igual a r/2r e altura H.A relação entre as alturas desses reservatórios é dada por:

9.9. (UFRJ) Mário e Paulo possuem piscinas em suas casas. Ambas têm a mesma profundidade e bases com o mesmo perímetro. A piscina de Mário é um cilindro circular reto e a de Paulo é um prisma reto de base quadrada. A companhia de água da cidade cobra R$1,00 por metro cúbico de água consumida. a) Determine qual dos dois pagará mais para encher de água a sua piscina. b) Atendendo a um pedido da família, Mário resolve duplicar o perímetro da base e a profundidade de sua piscina, mantendo, porém, a forma circular. Determine quanto Mário pagará pela água para encher a nova piscina, sabendo que anteriormente ele gastava RS 50,00.

10.10. (RURAL-RJ) Carlos é um rapaz viciado em beber refrigerante diet. Um dia, voltando do trabalho, ele passou em frente a uma companhia de gás, onde viu um enorme reservatório cilíndrico de 3 metros de altura e 2 metros de diâmetro e pensou... “Em quanto tempo eu beberia aquele reservatório inteiro, se ele estivesse cheio de refrigerante diet?”Considerando = 3,14 e sabendo-se que Carlos bebe 3 litros de refrigerante diet por dia, pode-se afirmar que ele consumirá todo o líquido do reservatório em um período de:a) 86 dias.b) 86 meses.c) 86 anos.d) 8,6 anos.e) 860 meses.

GABARITO1-B; 2-C; 3-B; 4-C; 5-D; 6-C; 7-A; 8-A

47

40cm

60cm

20cm

a2a

a

2a

a

2a

Barril do TIPO A

Barril do TIPO B


PirâmidesConsidere um plano e um polígono

contido neste plano. Considere também um ponto V que não pertence a ao plano .

A figura geométrica formada pela reunião de todos os segmentos de reta que têm uma extremidade no ponto V e a outra num ponto do polígono P denomina-se pirâmide.

ELEMENTOS

base: é o polígono convexo situado no plano .vértice: é o “ponto de encontro” das arestas.faces laterais: são os triângulos.arestas das bases: são os lados do polígono da base.arestas laterais: são segmentos que ligam o vértice da pirâmide aos vértices do polígono da base.altura: distância entre o vértice da pirâmide e o plano .

As pirâmides são classificadas de acordo com o polígono da base, ou seja, podem ser: triangulares – quando a base é um triângulo. quadrangulares – quando a base é um quadrilátero. pentagonais – quando a base é um pentágono. Etc.

IMPORTANTE:

VOLUME (V)O volume de uma pirâmide é a terça

parte do produto da área da sua base pela sua altura.

Seja P uma pirâmide cuja área da base é Sb e a sua altura, h. Então, seu volume será:

ÁREA TOTAL DA SUPERFÍCIE DA

PIRÂMIDE (ST)A área total da superfície de uma pirâmide regular é a soma das áreas lateral e da base, ou seja:

onde Sl é a área lateral e Sb é a área da base.

Lembre-se de que a área de um triangulo é:

VOLUME DO TRONCO DA PIRÂMIDEConsidere uma pirâmide seccionada (“cortada”) por um plano paralelo a base da pirâmide, que intercepta todas as suas laterais; o sólido limitado pela base da pirâmide e pelo plano secante é chamado de tronco de pirâmide.

ondeh é a altura da pirâmide,SB é a área da base maior do tronco da pirâmide eSb é a área da base menor do tronco da pirâmide. IMPORTANTE:

A relação entre os volumes e as alturas das pirâmides acima é

48

V

V

aresta lateralface lateral

basearesta da base

vértice

altura

SB

Sb

d

k

h

Uma pirâmide é regular quando sua base é um polígono regular e a projeção ortogonal do vértice sobre o plano da base é o centro da base.Numa pirâmide regular, as faces laterais são triângulos isósceles congruentes.A altura de cada um desses triângulos é chamada de apótema da pirâmide.

ST = Sl + Sb


onde V1 é o volume da pirâmide maior (pirâmide inicial), V2 é o volume da pirâmide menor (obtida com a secção plana), h1 é a altura da pirâmide maior e h2 é a altura da pirâmide menor.


1.1. (FUVEST) O número de faces triangulares de uma pirâmide é 11. Pode-se, então, afirmar que esta pirâmide possui:a) 33 vértices e 22 arestas.b) 12 vértices e 11 arestas.c) 22 vértices e 11 arestas.d) 11 vértices e 22 arestas.e) 12 vértices e 22 arestas.

2.2. (UNIRIO) Um prisma de altura H e uma pirâmide têm bases com a mesma área. Se o volume do prisma é a metade do volume da pirâmide, a altura da pirâmide é:a) H/6 b) H/3 c) 2H d) 3H e) 6H

3.3. (UNIRIO) Uma pirâmide é mergulhada num aquário cúbico cheio d’água, como na figura.

O número que expressa a relação entre a quantidade de água final no aquário e a inicial (antes de mergulhar a pirâmide) é de, aproximadamente,a) 25%. b) 33%. c) 50%. d) 67%. e) 72%.

4.4. (Transpetro-2006) A pirâmide reta, ilustrada abaixo, tem base quadrada de aresta igual a 10cm, o ponto O como centro do quadrado, M como ponto médio de AB, e VM = 13cm. O volume dessa pirâmide, em cm3, é:

a) 1 200 b) 400 c) 250 d) 4003 e) 2503

5.5. (FUVEST-2003) Um telhado tem a forma da superfície lateral de uma pirâmide regular, de base quadrada. O lado da base mede 8m e a altura da pirâmide 3m. As telhas para cobrir esse telhado são vendidas em lotes que cobrem 1m2. Supondo que possa haver 10 lotes de telhas desperdiçadas (quebras e emendas), o número mínimo de lotes de telhas a ser comprado é:a) 90 b) 100 c) 110 d) 120 e) 130

6.6. (UERJ-98) Dispondo de canudos de refrigerantes, Tiago deseja construir pirâmides. Para as arestas laterais, usará sempre canudos com 8 cm, 10 cm e 12 cm de comprimento. A base de cada pirâmide será formada por 3 canudos que têm a mesma medida, expressa por um número inteiro, diferente das anteriores.

Veja o modelo abaixo:

A quantidade de pirâmides de bases diferentes que Tiago poderá construir, é:a) 10 b) 9 c) 8 d) 7

7.7. (UERJ-2000) A figura abaixo representa o brinquedo Piramix. Ele tem a forma de um tetraedro regular, com cada face dividida em 9 triângulos equiláteros congruentes.

Se, a partir de cada vértice, for retirada uma pirâmide regular cuja aresta é 1/3 da aresta do brinquedo, restará um novo sólido.A razão entre as superfícies totais desse sólido e do Piramix equivale a:a)4/9 b) 5/9 c) 7/9 d) 8/98.8. (UERJ-02) Leia os quadrinhos.

HAGAR, o horrível Chris Browne

Suponha que o volume de terra acumulada no carrinho-de-mão do personagem seja igual ao do sólido esquematizado na figura abaixo,

formado por uma pirâmide reta sobreposta a um paralelepípedo retângulo.

(O globo, março 2000)

Assim, o volume médio de terra que Hagar acumulou em cada ano de trabalho é, em dm3, igual a:A) 12 B) 13 C) 14 D) 15

9.9. (UFRJ-2006-1ª fase) Em um tanque no formato de um cubo de aresta 25 cm, contendo líquido, foi posta uma pirâmide P1, de altura igual a 6 cm, com a base apoiada no fundo do tanque. Com isso, o nível de líquido passou de 18 cm para 19 cm.

a) Calcule o volume, em cm3, da pirâmide P1.

b) A pirâmide P1 foi retirada do tanque e o nível de líquido voltou ao inicial. Uma pirâmide P2, de 30 cm de altura, foi então posta no tanque, com a base apoiada no fundo, o que elevou em 2 cm o nível de líquido.

Determine o volume da pirâmide P2.

10.10. (UFF-2005) A grande pirâmide de Quéops, antiga construção localizada no Egito, é uma pirâmide regular de base quadrada, com 137 m de altura. Cada face dessa pirâmide é um triângulo isósceles cuja altura relativa à hipotenusa mede 179 m.A área da base dessa pirâmide, em m2 é:

49

812

10

100cm

60cm

40cm

70cm

BEM, LEVEI 20 ANOS, MAS FINALMENTE, ECONOMIZEI O BASTANTE PARA COMPRAR AQUELE PEDACINHO DE TERRA QUE QUERIA

É PRACOLOCAR

ONDE?

A

BC

DO

V

M

18 19

20


a) 13.272 b) 26.544 c) 39.816 d) 53.088 e) 79.432

GABARITO:1-E; 2-C; 3-D; 4-B; 5-A; 6-C; 7-C; 8-D; 9-a) 625 cm3, b) 16.875/13 cm3; 10-D

ConesNa figura a seguir, temos um plano ,

um círculo C não contido em e um ponto V que não pertence a .

A figura geométrica formada pela reunião de todos os segmentos de reta que têm uma extremidade no ponto V e a outra num ponto do círculo C denomina-se cone circular ou, simplesmente, cone.

ELEMENTOS

base: é o círculo C, de centro O.vértice: é o ponto V.altura: é a distância do ponto V ao plano da base.eixo: é a reta que contém o vértice V e o centro do círculo da base.geratriz: é qualquer segmento que liga o vértice a qualquer ponto da circunferência da base.

Um cone é classificado como oblíquo quando o seu eixo é oblíquo ao plano da base. Neste caso, o eixo não coincide com a altura do cone.

Um cone é classificado como reto quando o seu eixo é perpendicular ao plano da base. Neste caso, o eixo coincide com a altura do cone.

IMPORTANTE:

VOLUME (V)O volume de um cone é a terça parte do

volume de um cilindro que tenha a mesma base a mesma altura do cone.

onde SB é a área da base do cone e h, a sua altura.

ÁREA TOTAL DA SUPERFÍCIE DO CONE (ST)

A área total da superfície de um cone é a soma da sua área lateral com a sua base.

Ao “descascarmos” o cone, temos duas regiões planas: um círculo (base do cone) e um setor circular (área lateral do cone). Portanto, a área total da superfície de um cone será:

Área da base + Área lateral

onde r é o raio da base do cone e g é o comprimento da sua geratriz.

50

V

V

C

V

C

geratriz

O

alturaeixo

base

vértice

V

V

raio dabase do cone

geratriz do cone

altu

ra d

o co

ne

r2 + rg

Um cone reto pode ser obtido pela rotação (revolução) de um triangulo retângulo em torno de um de seus catetos. O cone é denominado cone de revolução.

10cm

h



1.1. (UNI-RIO) Uma tulipa de chopp tem a forma cônica, como mostra a figura a seguir. Sabendo-se que a sua capacidade é de 100 ml, a altura h é igual a:

2.2. (CESGRANRIO) No desenho a seguir, dois reservatórios de altura H e raio R, um cilíndrico e outro cônico, estão totalmente vazios e cada um será alimentado por uma torneira, ambas de mesma vazão. Se o reservatório cilíndrico leva 2 horas e meia para ficar completamente cheio, o tempo necessário para que isto ocorra com o reservatório cônico será de:

a) 2h b) 1h 30min c) 1h d) 50min e) 30min

3.3. (CESGRANRIO) Uma ampulheta é formada por dois cones de revolução iguais, com eixos verticais e justapostos pelo vértice, o qual tem um pequeno orifício que permite a passagem de areia da parte de cima para a parte de baixo. Ao ser colocada para marcar um intervalo de tempo, toda a areia está na parte de cima e, 35 minutos após, a altura da areia na parte de cima reduziu-se à metade, como mostra a figura. Supondo que em cada minuto a quantidade de areia que passa do cone de cima para o de baixo é constante, em quanto tempo mais toda a areia terá passado para a parte de baixo?

a) 5 minutos. b) 10 minutos. c) 15 minutos.d) 20 minutos. e) 30 minutos.

4.4. (UFF-98) A figura abaixo representa um prisma obliquo de bases quadradas. Na base inferior foi inscrita uma circunferência C e na base superior foram traçadas as diagonais RT e SU. Assinale a alternativa que estabelece a comparação correta entre os volumes VR, VP e VT dos três cones de base comum C e vértices R, P e T, respectivamente.

a) VR < VP < VT

b) VR < VP = VT

c) VR > VP > VT

d) VR = VP = VT

e) VR = VP < VT

5.5. (UFRJ-2001-Não específica) Um recipiente em forma de cone circular reto de altura h é colocado com vértice para baixo e com eixo na vertical, como na figura. O recipiente, quando cheio até a borda, comporta 400 ml.

h

Determine o volume de líquido quando o nível está em h/2.

6.6. (UFF-01) Considerando um lustre de formato cônico com altura e raio da base igual a 0,25 m, a distância do chão (H) em que se deve pendurá-lo para obter um lugar iluminado em forma de círculo com área de 25 m2, é de

a) 12 m. b) 10 m. c) 8 m. d) 6 m. e) 5 m.

7.7. (UFF-2006) Populariza-se, na região da seca no nordeste do Brasil, a construção de cisternas que armazenam as águas das chuvas. Uma vez tratada, a água abastecerá as famílias que ali vivem.

(Texto adaptado de Discutindo Geografia. Ano 1 nº 3. 2005)

Considere os três recipientes a seguir que podem ser usados para carregar água das cisternas.

O cilindro I tem a forma de um cilindro circular reto, de raio da base igual a L e altura igual a 2L.

51

R

TS

U P 2L

L


O recipiente II tem a forma de um tronco de cone com raio da base maior igual a 2L, raio da base menor igual a L e altura igual a L.

O recipiente III tem a forma de um paralelepípedo de base quadrada de lado igual a L e altura igual a 2L.

Considerando VI, VII e VIII os volumes dos recipientes I, II e III, respectivamente, pode-se afirmar que:a) VI VII VIII

b) VI VIII VII

c) VII VI VIII

d) VII VIII VI

e) VIII VI VII

8.8. (ENEM-01) Um fabricante de brinquedos recebeu o projeto de uma caixa que deverá conter cinco pequenos sólidos, colocados na caixa por uma abertura em sua tampa. A figura representa a planificação da caixa, com as medidas dadas em centímetros.

Os sólidos são fabricados nas formas deI. um cone reto de altura 1 cm e raio da base 1,5 cm.II. um cubo de aresta 2 cm.III. uma esfera de raio 1,5 cm.IV. um paralelepípedo retangular reto, de dimensões 2 cm, 3cm e 4 cm.V. um cilindro reto de altura 3 cm e raio da base 1 cm.

O fabricante não aceitou o projeto, pois percebeu que, pela abertura dessa caixa, só poderia colocar os sólidos dos tipos

A) I, II e III B) I, II e V C) I, II, IV e VD) II, III, IV e V E) III, IV e V

GABARITO1-12 cm; 2-D; 3-A; 4-D; 5-50 ml; 6-E; 7-C; 8-C.

Questão Esfera

01. (UERJ-2012-2ºEQ) Na fotografia abaixo, observam-se duas bolhas de sabão unidas.

Quando duas bolhas unidas possuem o mesmo tamanho, a parede de contato entre elas é plana,conforme ilustra o esquema:

Considere duas bolhas de sabão esféricas, de mesmo raio R, unidas de tal modo que a distância entre seus centros A e B é igual ao raio R.A parede de contato dessas bolhas é um círculo cuja área tem a seguinte medida:a)

b)

c)

d)

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2L

LL

LL

2L


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OS ELEMENTOS BÁSICOS DA GEOMETRIA · Web viewSe AB = 12 cm, calcule R. a) 1 cm b) 3 cm c) 5 cm d)...

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